2019-2020年高考数学总复习算法初步复数推理与证明双基过关检测理

2019-2020年高考数学总复习算法初步复数推理与证明双基过关检测理一、选择题1．(xx·广州模拟)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则 (a ＋b i)2＝( )A ．3＋4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．5－4i解析：选A 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1，故(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．(xx·西安质检)已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．i 解析：选C ∵z ＝1＋2i2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i ， 故虚部为1.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．5．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．－2B ．0C ．－1D ．－3解析：选A 第一次循环：x ＝2×1＝2，y ＝1－1＝0，满足条件继续循环；第二次循环：x ＝2×2＝4，y ＝0－1＝－1，满足条件继续循环；第三次循环：x ＝2×4＝8，y ＝－1－1＝－2，不满足条件，跳出循环体，输出的y ＝－2，故选A.6．(xx·龙岩质检)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋(n －1)·d2(d 为等差数列{a n }的公差)，{b n }也为等差数列，因为正项数列{c n }是等比数列，设公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝nc 1·c 1q ·…·c 1q n －1＝c 1q n －12，所以{d n }也是等比数列．7．按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内应补充的条件为( )A ．i ＞7B ．i ≥7C ．i ＞9D ．i ≥9解析：选B 由程序框图可知：第一步，S ＝0＋31＝3，i ＝3；第二步，S ＝3＋33＝30，i ＝5；第三步，S ＝30＋35＝273，i ＝7.故判断框内可填i ≥7，选B.8．(xx·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n n ＋2个“整数对”，注意到＋2＜60＜＋2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．二、填空题9．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．答案：a ，b 中没有一个能被5整除 10．(xx·郑州一中质检)若复数z ＝a ＋ii(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a ＝________.解析：因为复数z ＝a ＋i i ＝a i ＋i 2i2＝1－a i ，所以－a ＝1，即a ＝－1. 答案：－111．(xx·江西八校联考)执行如图所示的程序框图，输出的s 是________．解析：第一次循环：i ＝1，s ＝1；第二次循环：i ＝2，s ＝－1；第三次循环：i ＝3，s ＝2；第四次循环：i ＝4，s ＝－2，此时i ＝5，执行s ＝3×(－2)＝－6.答案：－612．(xx·河南三市联考)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________．解析：∵f (21)＝32，f (22)＞2＝42，f (23)＞52，f (24)＞62，∴归纳得f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．答案：f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)三、解答题13．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即证a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，因为a ＋d ＝b ＋c ，所以只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc ， 设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)，得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．2019-2020年高考数学总复习统计与统计案例双基过关检测理一、选择题1．(xx·邯郸摸底)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝( )A ．660B ．720C ．780D ．800解析：选B 由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n ＝720.2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A ，B 得A 正确．3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0,1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15,16，…，24，共10人．4．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0解析：选B 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b ^<0，a ^>0.故选B.5.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )7 98 4 4 6 4 793A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是80＋15×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.6.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：选C 由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.7．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如表所示的2×2列联表：由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，算得K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析：选A 由K 2≈7.8，得P (K 2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．8．(xx·长沙一模)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( ) A ．15名女生成绩的平均分为78 B ．17名男生成绩的平均分为77C ．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D ．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重解析：选C 对于A,15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A 正确；对于B,17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B 正确；对于D ，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；对于C ，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C 错误．二、填空题9．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是________．解析：间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.答案：710．(xx·南昌一模)若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．解析：由1＋2＋3＋4＋m 5＝3得m ＝5，所以这五个数的方差为15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.答案：211．(xx·抚顺模拟)某学院的A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取学生________名．解析：抽样比为1201 200＝110，∴A ，B 专业共抽取38＋42＝80名，故C 专业抽取120－80＝40名．答案：4012．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K 2≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：① 三、解答题13．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地xx 年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，b^＝－－＋－－＋2×19＋4×29－5×0×3.2－2＋－2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a^＝y－b^x＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝b^(x－xx)＋a^＝6.5(x－xx)＋3.2，即y^＝6.5(x－xx)＋260.2.(*)(2)利用回归直线方程(*)，可预测xx年的粮食需求量为6.5(xx－xx)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．14．(xx·唐山统考)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生的各项平均成绩(满足100分)，按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成绩在区间[30,60)内有20人．(1)求m的值及中位数n；(2)若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？解：(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200.由直方图可知，中位数n位于[70,80)内，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5.(2)设第i(i＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，则由x i＝200×p i，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，故该校学生测试平均成绩是x＝35x1＋45x2＋55x3＋65x4＋75x5＋85x6＋95x7200＝74＜74.5，所以学校应该适当增加体育活动时间．。