九年级数学上册一元二次方程及应用青岛版
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的知识结构》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法、判别式以及应用。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和二元一次方程，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从一元一次方程和二元一次方程的基础上过渡到一元二次方程。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过自主学习、合作交流的方式，探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法以及应用。
2.难点：一元二次方程的解法以及判别式的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生自主探究一元二次方程的解法，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
4.案例教学法：通过典型例题的讲解，引导学生掌握一元二次方程的应用。
六. 教学准备1.教材：青岛版数学九年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：PPT课件，用于辅助教学。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数，求物体在一段时间内的位移。
九年级数学上册一元二次方程一元二次方程的应用课件青岛
4. 我市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番, 那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
(1 x)2 2.
解这个方程: (1 x) 2, x 1 2,
x1 1 2 41.42%; x2 1 2 0(不合题意,舍去). 答: 每年的平均增长率约为41.42%.
回例顾题与赏复析习 1
生活经中济的腾增飞长率
例3：某工厂2002年的产值是500万元,2004年的产值是 605万元, 求2002-2004年该厂产值的平均增长率。
解: 设每年平均增长率为x,根据题意,得
500(1 x)2 605
解这个方程: (1 x)2 1.21,
(1 x) 1.1,
x 11.1, x1 11.1 10%; x2 11.1 0(不合题意, 舍去).
解: 设这种储蓄的年利率为 x,根据题意,得
5000 (1 80 x%)2 5145 .
解这个方程: (1 0.8x)2 1.029 ,
(1 0.8x) 1.0144, x 11.0144 ,
0.8 x1 0.018 1.8%; x2 2.518 0(不合题意,舍去). 答: 这种储蓄的年利率约是1.8%.
分析:
相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.5万册.
去年 今年
基数 平均增长率
5
x
明年 5(1+x)
x
年底数量 5
5(1+x) 5(1+x)(1+x) =5(1+x)2.
1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年 底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
青岛版九年级上册数学《一元二次方程的应用》PPT教学课件
原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
解得 x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了 矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
解：设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽 为(20-x)m，根据等量关系列出方程。
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x²-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50 x2=50＞32 ，不符合题意，舍去,故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例4 如图2-6所示，在△ABC中，
答：截去的小正方形的边长为 7 cm．
例3 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上 修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分 进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.
分析： 虽然“整个矩形的面积-道 路所占面积=绿化面积”，但道路 不是规则图形，因此不便于计算。 若把道路平移，此时绿化部分就成 了一个新的矩形了，
整理，得 (1+x)²=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)
答：平均每年藏书增长的百分率为20%。
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20
件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可
多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价
多少元？
解：设应降价x元，则 (44-x)(20+5x)=1600
青岛版数学九上47《一元二次方程的应用》ppt课件
x(20 x) 30 2
即
2
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4130 20 0
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应 该怎么设计
（一）几何中面积、长度问题
例1、如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三 边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2， 求矩形空地的长和宽．
分析：根据长方形面积公式，运用长×宽=125列出方程，即可求 得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果 的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则， 这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。
例2 如图所示，一架长为10 m
的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 A
端A处到地面的距离为8 m，如 果梯子的顶端沿墙面下滑2 m， A’
那么梯子的底端在地面上滑动
的距离是多少？
C
B B’
分析：首先设出未知数，其次再根据勾股定理列出方程．
解：设梯子的底端在地面上滑动的距离 BB′为 x m．
∵AB＝10 m，AC＝8 m，
少万辆？
（四）储蓄问题
例1.王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了 300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定 期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次存款年 利率的 3 ，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率
5
解：第一次存款的年利率为x，根据题意，可得方程：
长点．据某市交通部门统计，2007 年底全市汽车拥有量为 180 万辆，而截止到 2009 年底，全市的汽车拥有量已达 216 万辆．
青岛版数学九年级上册用配方法解一元二次方程课件15张
x2
3
4
17
自我尝试
解方程： 1.x2 +12x+25=0 x1=-3, x2=-9
2.x2+ 1 x=1
2
x1=
1 4
17
,
x2=
1 4
17
合作交流 用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题： 1.将方程变为一般情势. 2.移项,把常数项移到等号的右边.（变号） 3.配方,方程的两边都加上一次项系数一半的平方, (等式的性质) 4.写成完全平方的情势. 5.利用直接开平方法进行开方求得两根.
方程两边都加
(1 )2 2
,得
x2 x (1)2 2
1 (1)2 2
即 ( x 1)2 5
24
由平方根的意义,得
x
1 2
5 2
所以 x1
5 1 0.618, 2
x2
5 1 1.618 2
在4.1节问题(3)中,x 为线段AC与AB的比,必须满足x>0. 所以x2不合题意,应当舍去,问题(3)的答案是：AACB 的值 约为0.618
学以致用 如图，在一块长Байду номын сангаас5m,宽26m的矩形地面上,修建同样
宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩
余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解:设道路的宽应为xm
35m
26×35=35x+26x+850 -x2 26m x2_61x+60=0
x2_61x=-60
x2_61x+ 3721 =-60+ 3721
解: (2)移项,得x2-3x=-2
配方,方程两边都加 ( 3)2，得 x2 3x ( 3)2 2 ( 3)2
青岛版九年级上册 第四章 一元二次方程
一元二次方程学习目标：1.熟练掌握一元二次方程及有关概念，认识一元二次方程的一般形式。
2.会用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
3.熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，并能用这些知识解决相关问题。
4.会列一元二次方程解决相关实际问题 学习重点：1.理解一元二次方程必须同时具备三个条件，缺一不可2.会用适当的方法解一元二次方程3.能找到问题中的相等关系并列出方程 学习过程：（知识网络架）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+=++⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔<-⇔=-⇔>-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧利润问题几何图形问题增长率问题数字问题一元二次方程的应用根与系数的关系一元二次方程没有实根方程有两个相等的实根方程有两个不相等的实根方程式一元二次方程根的判别因式分解法公式法配方法直接开平方法一元二次方程的解法形式一元二次方程的一般一元二次方程的定义念一元二次方程的有关概一元二次方程a c x x a b x x c bx ax ac b ac b ac b 212122220040404根据网络架进行知识学习 一、一元二次方程的概念 形如：()002≠=++a c bx ax1.下列关于x 的方程：其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=二、自学一元二次方程的解法，尝试解下列方程（相信你一定能行！）： （1）直接开平方法： （2）配方法： （3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0. （直接开平方法）（2） 02722=--x x .（配方法）1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x x（3）02722=--x x .（公式法）（4）()()2322+=+x x （因式分解法）（5）0)52()13(22=+--x x （因式分解法）（6）请用四种方法解方程：（2x-3)2=x 2三、一元二次方程的根的判别式（这部分是重点考点哦，加油！）： （1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
青岛版数学九年级上册一元二次方程的应用课件(共19张)
解:设该商品每个涨价x元,则 根据题意，得 (50 x 40)(500 10x) 8000 整理,得 x2 -40x+300=0 解,得 x1 =30,x2=10
经检验,x1=30,x2=10 均合题意.
∴售价为 50+x =80或60
∴该商品的售价为80元或60元.
例题讲授
例6、某专卖店销售某种脐橙，其进价是每千克40元，按 每千克60元出售时，平均每天可售出100千克。经市场调 查发现,该脐橙每千克降价2元,其平均每天的销量可增加 20千克，若该专卖店要想平均每天获利2240元，为尽快 减少库存，则每千克脐橙应降价多少元？
②当x 4时，16 x 12
经检验,当两个正方形的边 长分别是12cm和4cm时，都 符合题意.
∴两个正方形的边长分别是 12cm和4cm.
例题讲授
例2、有一块长40m,宽30m的矩形铁片,在它的四周截去一 个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子， 怎样截能使底面积所占面积为本来矩形面积的一半？
复习回顾
2、列方程（组）解应用题时的题型：
（1）
：（2）工程问题：（3）市场营销问题：
（4）
： （5）银行存款问题：
（6）利率问题： （7）数字问题；等等
同样，与我们学习过的一元一次方程、二元一次方程组 和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实生长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成 正方形(如图),如果这两个正方形的面积和等于160cm2, 求两个正方形的边长。
10m
M A
N D
B
C
解:设花圃的宽AB为xcm,则长
BC为(24-3x)cm,根据题意，得
x(24 3x) 45
整理,得 x2 -8x+15=0 解,得 x1 =3,x2=5 经检验,当x1=3时, 24-3x=15>10 不合题意，舍去. ∴花圃的宽AB为5cm.
青岛版九上配方法(2)《一元二次方程的解法》PPT课件
回顾与复习
你还认识“老朋友” 吗
你还能规范解下列方程吗?
(2) x2=4.
(3) (x+2)2=5.
(4) (x-1)2=4
独立 作业
2. 解下列方程:
你还认识“老朋友” 吗
(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). (x-1)2-4 =0 (4). x2 -2x-1 = 4.
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(2)一元二次方程的解法
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” 吗
x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 解方程 (1)
解 : 1.x 5. x 5,
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
结束寄语
下课了!
• 配方法是一种重要的数学方 法——配方法,它可以帮助你 到达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实 世界的一个有效数学模型.
解这个方程,得 x1 ＝1
26m
x2 ＝60 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为1m.
挑战 自我
知识的升华
x2 +12x+ 25 = 0; x2 +4x =1 0; x 2 –6x =11; x2 –2x-4 = 0.
2. 解下列方程:
(1). (2). (3). (4).
你能解:（x+1)2+2(x+1) = 8 吗？
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部 分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
青岛版九年级上册数学《一元二次方程的应用》PPT课件(第1课时)
【解析】 (1）依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰 直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可 求DF的长． （2）要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
8
【解析】（1）连结 DF，则 DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里．
∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45° ∴CD= 1 AC=100 2 海里
2
DF=CF， 2 DF=CD
∴DF=CF= 2 CD= 2 ×100 2 =100（海里）
2
2
所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里．
9
【解析】 （ 1）连结 DF，则 DF⊥ BC
(2)设EF为x
∵军舰速度为补给船的2倍，时间相同
9
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
2.建立一元二次方程的数学模型，解决增长率问题．
10
解得x1=1.8（不合题意舍去），x2=0.2=20% .
答案：20%
6
2. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈 利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率 相同，那么该公司在2010年的盈利额为_______万元． 【解析】设每年比上一年盈利额增长的百分率是x.则 200（1+x）2=242. 解得： x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去)
(x+m)2=n (n≥0)
因式分解法 (x-p)(x-q)=0
3
例题
【例1】 将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，再将每段分别 围成正方形，如果两个正方形的面积之和等于160 cm2，求 两个正方形的边长.
青岛版数学九年级上册一元二次方程课件
课堂小结
确定其解的大致范围
解一元二次方程 （“两边夹”方法）
列表、计算 进行两边“夹逼”
……
求得近似解
2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1．
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想.
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
(1)估计一个大致范围; (2)取中间值(靠近一端的值)缩小范围,直到确定 出个位上的数字; (3)继续取值缩小范围,确定十分位上的数字; (4)继续取值缩小范围,确定百分位上的数字…… 需要注意,如果不要求精确度,估计时还可以进行 下去.用“夹逼法”求一元二次方程的根时,一般 都要确定根的近似值的精确度.
0.5 1 1.5 2 28 18 10 4
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 1m
说法正确吗？为什么？
10m 8m
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0，
即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过视察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意，得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过视察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
青岛版数学九上41《一元二次方程》ppt课件
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
例2：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3
-8
-10
1
5
0
2
0
-1
2
16
-17
一元二次方程
二次项系数
一次项系数
常数项
4
2x2+x+4=0
解：当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
关于x的方程(m2-9) x2+(m-3) x +5m-1=0， (1)当m取何值时是一元二次方程？ (2)当m取何值时是一元一次方程？
m ≠±3
m =-3
一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
ax+b=0 (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
认识了一元二次方程,接下来我们就要探求一元二次方程的解.方程解的定义是怎样的呢
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解
探 究
③
① x2=2(2－x)
探究新知
② （25－2x）（15－2x）=300
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程的应用素材新版青岛版
一元二次方程的应用（二）一、平均增长（或降低）率问题【课前热身】1．某商品原价是800元,现决定９折出售,则出售价是_______元．2．某商品原价是540元,为了促销,决定降价%10,则现价是________元．3．某商品去年的利润是230万元,决定今年利润提高%20,则今年利润是_______万元．4．某村的粮食产量去年是5000千克,以后每年要增长10%,则今年粮食产量是_________千克,明年的粮食产量是______千克．5．某厂制造一种机器,原来制造一台机器需3000元,改进技术后,连续两次降低成本,平均每次降低的百分率为x ,则第一次降低成本后,制造一台机器需_______元,第二次降低成本后,制造一台机器需___________元．【例题分析】例1、某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2012年,A 市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,2014年该市计划投资“改水工程”1176万元.求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；分析：对于增长率问题,若增长前的量为a, 平均增长率为x,经过连续两次增长后的量为b,则a(1+x)2=b.解： 设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x,则600(1+x)2=1176 解得x ＝0.4或x ＝－2.4（不合题意,舍去）所以,A 市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.例2、某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同,求两次降价的百分率．分析：对于降低率问题,与增长率问题类似,若降低前的量为a, 平均降低率为x,经过连续两次降低后的量为b,则a(1―x)2=b.解：设每次降价的百分率为x,根据题意得：100(1－x)2=81 解得：1x =0.1,2x =1.9经检验2x =1.9不符合题意,∴x=0.1=10%答：每次降价百分率为10%．例3：某商厦二月份的销售额为100万元,三月份销售额下降了20%。
青岛数学九年级上册《 一元二次方程的应用1》课件
解这个方程，得 x1=0.1，x2=-2.1.
根据题意，605万元>500万元，故年增长率x>0, x1=0.1符合题意.所以，该养殖场2010～2012年产值
例题
【例4】 某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售 价的64﹪，求该药品平均每次降价率.
解 设该种药品平均每次降价率为x，那么第1次降价后 该药品每盒售价为原售价的（1-x），第2次降价后该药 品每盒售价为原售价的（1-x)2 . 根据题意，得 （1-x)2 =64﹪. 解这个方程，得 x1=0.2，x2=1.8. 根据题意，降价率应满足0<x<1, 故x=0.2符合题意.所 以，该种药品平均每次降价率为0.2，即20﹪.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还பைடு நூலகம்路上……
200（1+10%）=220. 答案:220
3. 在国家宏观调控下，某市的商品房成交 价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2 ⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数
据： 0.90.95）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分 率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破 10000元/m2？请说明理由。
4.7 一元二次方程的应用 (第2课时)
1.掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、 解、检、答． 2.建立一元二次方程的数学模型，解决增长率问题．
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法 x b b 2 4 a( c a 0 ,b 2 4 a c 0 )
九年级数学上册第4章一元二次方程考点分析(青岛版)
一元二次方程考点分析一、给你点一点1、一元二次方程及方程根的概念、一元二次方程的四种解法．2、一元二次方程的根判别式及其应用，一元二次方程根与系数的关系及其综合应用．3、分式方程的概念，增根的概念，分式方程的解法4、一元二次方程及分式方程的在生活中实际应用．5、会解简单的二元二次方程组．二、一块做一做1、一元二次方程的定义，一般形式及方程的根，并知道它们的逆向应用用． 例1 若方程013)2(=+++mx m x m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A m =±2B m=2C m=- 2D m≠±2分析：我们知道一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，那么，是一元二次方程肯定满足这个形式，不难有2=m ，且m+2≠0，故m=2例2 已知2是关于x 的方程02223=-a x 的一个解，则2a-1的值是（ ） 分析：根据方程解的定义的可逆性，2就应该使方程左右两边值相等，所代入方程，就有2a=6，则2a-1=52、一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．在解一元二次方程时，一般先选择因式分解法和直接开平方法，然后再考虑用公式法．同时注意求根公式的推导．例3 阅读材料，解答问题阅读材料，为解方程（x 2-1）2-3(x 2-1)+2=0我们可以将x 2-1视为整体，然后设x 2-1=y ，则（x 2-1）2=y 2，原方程化为y 2-3y+2=0 ① 解得y 1=2 y 2=1当y 1=2时，x 2-1=2 ∴ x =±3；当y 2=1时，x 2-1=1 ∴x=±2∴ 原方程的解为 x 1=3 x 2=-3 x 3=2 x 4=-2解答问题 ⑴ 填空 在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．⑵ 解方程 x 4+x 2-6=0分析：（1）换元法，转化 （2）设x 2=y ，则原方程化为y 2+y-6=0，解之得y 1=-3 y 2=2 由y 不难求出x 1=2,x 2=-23、一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac.(1) △ )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根；△=0 )0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；（2）（3△<0 )0(02≠=++a c bx ax 没有实数根；一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别一元二次方程根的情况；②已知一元二次方程根的情况，确定某些字母的值或范围；③进行有关的证明． 例4关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根（C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定分析：△= b 2-4ac=（2k+1）2-4(k-1)=4k 2+5>0，从而这个方程有两个不相等的实数根．这种方法常用于判断△的符号．4、如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两根（△≥0）为x 1、x 2，则x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=ac ．应用 ①已知一根，求另一根及求知系数；②不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；③已知两数，求以这两数为根的方程；④ 已知两数的和与积，求这两个数 ⑤确定根的符号例5 已知一元二次方程0122=--x x 的两个根是1x 、2x ，则2221x x += ，=-21x x ．分析：由根和系数的关系，有x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，只要能用x 1+x 2、x 1·x 2来表示2221x x +、21x x -就可以实现由已知向未知的转化．容易2221x x +=2122)21(x x x x -+=62142)21(2)21(x x x x x x -+=-=8 即21x x -=±22 5、解分式方程的思路是把分式方程转化为整式方程，常用去分母和换元法，去分母就是用各分式的最简公分母去乘以方程的两边．对于含有未知数的部分有数量关系的分式方程可采用换元法．例6．当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0 分析：含有未知数的部分有数量联系，因此如设1+=x x y ，那么原方程可变形为y 2－2y －3＝0．故选 D6、简单的二元二次方程组的解法及其它知识的综合要知道简单的二元二次方程组是通过消元，转化为一元二次方程来解决的．又是通过降次，来变二次为一次的．例7、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==)2()1(22mx y x y 有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且232111=+x x ，求m 的值． 分析: 方程组是转化为方程来解决的，因此把（2）代入（1）就有x 2+2(m-1)x +m 2=0依题意得 这个方程有两个实数根．即△≥0，x 1+x 2=-2（m-1），x 1·x 2=m 2，又已知232)1(221212111=--==+mm x x x x x x ，解之得m 1=-2，m 2=32 但是当m 2=32时，△＜0，舍去．故m=-2 注：在利用根和系数时，一定要注意到字母的取值应保证这个方程有根，即△≥07、生活中的实际应用，关键是多从事实际活动，建立一些实际经验，在这个基础上，尽量掌握一些常见的等量关系．例8、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱了，赚多少？分析：这道题首先要知道常识：利润=售出价-进贷价，而总价=单价×本数 ．要知赔钱和赚钱，得找到售出价和进贷价．因此设第二次购买x 本，则第一次购买（x-10）本，依题意得，xx 1502110100=+-，整理得: 030001102=+-x x ，解之，得x 1=50,x 2=60.经检验，x 1=50,x 2=60都是原方程的根．当x 1=50时，每本书的批发价为150÷50=3（元）高于定价，不合题意，舍去．当x 2=60时，每本书的批发价为150÷60=2.5（元）．低于定价，符合题意．在这里，我们要注意不仅要检验是否是增根，还是看是否符合题意．因此，第二次购书60本，第二次的售出价=60×⨯54 2.8+60×51×2.8×21=151.2，进货价为150，故赚了1.2（元）．三、请你试一试1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是________．2、若实数a≠b 满足a 2+2a-2004=0，b 2+2b-2004=0则a 2+3a+b 的值是（ ）A –2004B 2004C 2003D 20023、．用换元法解方程433322=-+-x x x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为 （ ）（A ）043=-+y y （B ）043=+-yy （C ）0431=-+y y （D ）0431=++y y 4、关于x 的方程m 2x 2+(2m +3)x +1=0有两个乘积为1的实数根,方程x 2+(2a +m )x +2a +1-m 2=0有一个大于0且小于4的实数根,则a 的整数值是_________．5、已知a 、b 、c 是△ABC 三条边的长，那么方程04)(2=+++c x b a cx 的根的情况是（ ）A 没有实数根B 有两个不相等的正实数根C 有两个不相等的负实数根D 有两个异号实数根 6、若分式方程xx x m x x 12112+=+-+有增根，则m 的值是（ ）A –1或1B -1或2 C1或2 D 1或-27、关于的一元二次方程0)1(2=-+-a a x x 有两个不相等的正根，则a 可取值为 ．（注：只要填写一个可能的数值即可）8、 阅读下列材料：关于x 的方程x+c c x 11+=的解是x 1=c ，x 2=c 1, x-c c x 11-=即x+cc x 11-+=-的解是x 1=c ，x 2=-c1． x+c c x 22+=的解是x 1=c ，x 2=c2． x+c c x 33+=的解是x 1=c ，x 2=c3 ……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x+)0(≠+=m cm c x m 与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程的解的概念进行验证．（2）由上述的观察，比较，猜想，验证，可以得出结论：如果方程的左边未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x 的方程：1212-+=-+a a x x 9、1998年，中国南方地区发生严重洪涝灾害，某部队奉命派甲排跑步前往离驻地90千米的公安县抢险，1小时45分后因险情加重，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲排每小时快28千米，恰好在全程的31处追上甲排． （1） 求乙连的行进速度及追上甲排的时间．（2）当乙连追上甲排时，上级改令甲排前往离此24千米的石首市执行紧急任务，且要求甲排与乙连同时到达各自的指定地点，问甲排每小时应加快多少千米？答案或提示1、m=6 2、D 3、A 4、-1 5、C 6、D 7、只要0<a<1且a≠21 就可以了 8、解：（1）x 1=c ，x 2=c m ，同学们可以自己验证一下．（2）原方程化为121121-+-=-+-a a x x ∴x-1=a-1或x-1=12-a ∴ x 1=a ，x 2=11-+a a 经检验它们都是原方程的解．9、（1）乙连的速度为40千米/时，追上甲排的3时间为小时．（2）每小时应加快4千米．4。
九年级数学上册 4.5 一元二次方程的应用 日常生活中一元二次方程的应用素材 (新版)青岛版
日常生活中一元二次方程的应用当今社会正处在市场经济的时代，我们的日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助．问题1：联华超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：我们知道商品的定价和进货量应该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务．解：设该种商品的单价为（50+x ）元，则每个的利润是[]40)50(-+x 元，销售数量为（500-10x ）个，由题意得方程：[]8000)10500(40)50(=--+x x ；整理得：0300402=+-x x ；解之得：101=x ，302=x故这个商品的单价可定为60元时，其进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个．注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元．问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=该区人口总数该区住房总面积，单位平方米/人）．该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，请根据此提供的信息解答下面问题：（1）该区2003年和2004年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？（2）由于经济发展需要，预计到2006年底，该地区人口总数将比2004年底增加2万，为使到2006年底地区人均住房面积达到11平方米/人，试求2005年和2006年这两年该地区住房总面积的年增长率应达到百分之几？分析：随着我们国家经济迅速发展，经济实力的不断强大，广大人民的住房条件正在得到不断的改善，生活水平正在得到不断地提高．我们从上述问题的图象中可以获取一些信息：解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米． （2）设住房总面积年平均增长率应达到x ，由题意得：0 2002 2003 2004 99.6 10 平方米/年开发区近三年人均住房面积变化曲线17 2004 2003 2002 年 20 万人开发区近三年人口变化图)220(11)1(2002+⨯=+x ；解得：101.01==x ℅；1.22-=x （不合题意，舍去）． 答略．应该说一元二次方程在日常生活中的应用应该说是非常广泛的，还有诸如储蓄、利税问题等，同学们有兴趣的话还可以作更多的研究．。
初中数学青岛版九年级上册第4章 一元二次方程 一元二次方程的应用
一、填空题：1、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为X，根据题意列出的方程是：。
2、某县2023年农民人均年收入为4800元计划到2023年农民人均年收入翻一番，设人均年收入的平均增长率为X，根据题意列出的方程是：。
3、某果农2023年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2023年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是。
4、某制药厂两年前生产一吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产一吨这种药品的成本是81万元，则这种药品的成本的下降率为。
5、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，则a= 。
二、选择题：6、在某次聚会上，每两人都握一次手，所有人共握了10次，设有X人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A x(x+1)=10B x(x+1)x2=10C x(x-1)=107、（2023贵州铜仁）某商品原价为180元，连续两次提价x％后售价为300元，下列所列方程正确的是（）8、A．180(1＋x％)＝300 B．80(1＋x％)2＝3009、C．180(1－x％)＝300 D．180(1－x％)2＝30010、解答题11、8、某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求下降的百分率。
那平均每月产值下降的百分率呢？12、13、14、9、某企业2023年盈利1500万元，2023年克服全球的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2023年到2023年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2023年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2023年盈利多少万元？。
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6．已知关于 x 的一元二次方程 x2－2(k＋r)x＋d2＝0 没有实数根，其中 k、r 分别为⊙O1、 ⊙O2 的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为外离．
7．用配．方．法．解方程：6x2－x－12＝0. x1＝32，x2＝－43
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13．某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为 x， 可列方程为__________．
14．方程 x2－3x＋1＝0 的解是__________． 15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根， 则m的取值范围是__________．
3．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不．相．等．的实 数根，则 b2－4ac 满足的条件是( )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac>0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≥0
4．方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( )
A．1－ 5
1－ 5 B. 2
C．－1＋ 5
－1＋ 5 D. 2
前情检测：
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一元二次方程 x2＋3x－4＝0 的解是( )
A．x1＝1，x2＝－4
B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝－1，x2＝－4
D．x1＝1，x2＝4
（2)已知一元二次方程 x2＋x－1＝0，下列判断正确的是( ) A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
A．a<1 B．a<1 且 a≠0 C．a≤1 D．a≤1 且 a≠0
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10．(2011 中考预测题)在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的 矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2，设金色纸 边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是( )
【解题方案】 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. (1)用含 x 的代数式表示： ①2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x)； ②2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x)2； (2)根据题意，列出相应方程 8_000(1＋x)2＝9_680； (3)解这个方程，得 x1＝0.1__x2＝－2.1； (4)检验：x1＝0.1，x2＝－2.1 都是原方程的根，但 x2＝－2.1 不符合题意，所以只能取 x ＝0.1； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
A．x2＋130x－1 400＝0 C．x2－130x－1 400＝0
B．x2＋65x－350＝0 D．x2－65x－350＝0
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二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
11．方程 x2－4x 的解是________． 12．等腰三角形两边长是一元二次方程 x2－5x＋4＝0 的 两个根，三角形周长是__________．
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训练题组（二）：
第9页是( )
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝－3
C．x＝ 3
D．x1＝ 3，x2＝－ 3
2．一元二次方程 x2－5x＋6＝0 的两根分别是 x1、x2，则
x1＋x2 等于( )
A．5
B．6
C．－5
D．－6
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A．x＝0
B．x＝3
C．x＝3 或 x＝－1
D．x＝3 或 x＝0
8．用配方法解一元二次方程 x2－4x＝5 的过程中，配方
正确的是( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
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9．如果方程 ax2＋2x＋1＝0 有两个不等的实根，则实数 a 的取值范围是( )
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8．【前情提示】 为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依 照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填 空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg，求该村水 稻每公顷产量的年平均增长率．
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5．上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a% 后售价为 128 元，下列所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128 C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
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7．方程(x－3)(x＋1)＝x－3 的解是( )
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训练题组（一）
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1．方程(x－1)2＝4 的解是 x1＝3，x2＝－1. 2．已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 2x2＋kx－1＝0 的一个根，则实数 k 的值是 k＝ －1.
3．方程 x(x＋1)＝5(x＋1)的解是 x1＝5，x2＝－1.
4．已知 2＋ 3是方程 x2－4x＋m＝0 的一个根，则方程的另一个根为 x＝2－ 3，m 的 值为 1.
16．已知 x＝－1 是方程 x2＋mx－5＝0 的一个根，则 m ＝________，方程的另一根为________．
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三、解答题(共 46 分)
19．解方程． (1)用配方法解一元二次方程：2x2＋1＝3x； (2)x2－6x－16＝0； (3)(x－1)2＝9(x－1)．
(3)用配方法将代数式 a2＋4a－5 变形，结果正确的是( ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
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解方程． (1)x2－6x－6＝0； (2)解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
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例 3 如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面 积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长．