高一数学平面向量的坐标运算2

性有发作了。“不就是些不要的瓶瓶罐罐吗，有什么好惊叹的。”茉莉无奈的扭过头去，一副我不认识你的样子。“不，不， 不，小茉莉，你的思想太简单了。”慕容凌娢指着那些废旧器具说道，“也许现在看来，它们就是一群破铜烂铁，但只要回到 21世纪，它们就能变成不折不扣的金山银山。”“不许叫小茉莉！”茉莉不知为何突然紧张起来，她有些语无伦次的说道， “我……我明明比你大的。”“什么啊，原来茉莉你也是个傲娇……”慕容凌娢装作若无其事的摇了摇头，“所以说你带我来 这里干什么？”“百蝶说让你肉偿……”“来真的啊！怎么可以！”慕容凌娢大声叫道，引来了不少正在干活的女工的注意。 面对这么多人好奇的眼神，慕容凌娢第一次觉得有些不好意思。“这些群众的眼神还真是犀利啊……哈哈哈……”慕容凌娢心 虚的想要转移话题。“明明就是你太吵了。”茉莉已经恢复了往常那种阴冷的表情。“看什么看，赶快干活，还想不想吃晚饭 了！”一个严厉的女声响起。“哟，这不是茉莉姑娘吗？怎么，不呆在百蝶楼主身边，来这种脏乱的地方干什么。”这女子一 脸讨好的冲着茉莉笑道。这个女子应该就是这里管事的人了，慕容凌娢上下打量眼前这个人，穿着灰色的布衣，头发干练的盘 在头顶用一枝木簪固定住，虽然衣着朴素，但由内而外散发出一种凌厉的气势。一看就是那种不好惹的人，还是先套近乎好了。 慕容凌娢想到这儿便也是满脸堆笑。“您还，我叫白绫。”既然百蝶在人前都这样称呼自己，她也就只好接受了这个化名。 “初来乍到，还请……”“她惹百蝶生气了，所以被罚到这里打杂。”茉莉冷冷地打断了慕容凌娢的话，“你随便给她点活干 干就好了。”“是是是，茉莉姑娘方心，我一定会好好管教她的。”那女子连连点头，但看慕容凌娢的眼神已经完全不同了， 多了几分不屑和侥幸。这也太势利了吧，茉莉还没离开就已经暴露本性了，如果茉莉离开，那自己还不得被她给……慕容凌娢 打了一个冷颤，轻轻拽了拽茉莉的袖子，用可怜兮兮的眼神看着茉莉，想要向她求助。然而茉莉就像什么都没有看见一样，极 其冷淡地甩开了慕容凌娢的手。“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去了。”茉莉漠然的看了慕容凌 娢一眼，便转身离去了。留下了感觉整个世界都要崩塌了的慕容凌娢。“行了，新来的，我是醉影楼一楼的层主，你得叫我层 主……愣着干什么，赶快过来，你的任务可不少呢。”她那铁青着的脸吓得慕容凌娢赶紧跟了上去。(古风一言)那时，谁渡江 湖雨漂泊。而今，心愁难叙千里外。第023章 原来只是刷盘子“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去 了。”茉莉漠然的看了慕容凌娢一眼，便转身
同理得 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) (2) a xi y j xi y j ( x, y )
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 (5,1)
x 5 ∴ y 1
例4、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
解： BA 2,3 3,5 5, 2.
y
a
O
x
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
a
x
3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
x
结论 1: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
P（x，y）
yj
1
j
-2
O
-1 y j ( x, y)
向量
-3
OP
一一对应
P（x ，y）
小结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
j
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
c
d
d 2i 3 j (2, 3)
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系?
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系?
若a b ， a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
上海自动化仪表厂是上海自动化仪表有限公司是上海上自仪股份控股的子公司，是向国内发行A股，向国外发行B股的上市公司， 是国家大型一级企业，上海自动化仪表厂DCS公司 上海自动化仪表厂DCS公司 “中国500家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一，是上海高新技术企业，连续多年被上海市人民政府 和原机械工业部授予“优秀企业”称号
4
C(3,4)
3
2
A(-2,1)
-6 -4 -2
D(x,y) x
1
O
-1 -2
2
4
6
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B 解：当平行四边形为ADCB时， 由 AB DC得D1=(2, 2) A C
D1
O
当平行四边形为ACDB时， 得D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时， 得D3=(6, 0)
D3
x
课堂总结:
1.向量的坐标的概念: a xi y j ( x, y) 2.对向量坐标表示的理解:
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.
平面的基底有多少组?
无数组
（一）平面向量坐标的概念 y 在直角坐标系内，我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o i a ( x , y ) ⑴ 记作
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 求顶点D的坐标。
y B(-1,3))
若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则
AB
( x2 x1, y2 y1)
y B1 P(x,y) 1
O
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标 有什么关系？ 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。
B(x2,y2)
( x1 x2 , y1 y2 )





已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
O
a
x
.
o
b
o
x
（二）平面向量的坐标运算：
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: (1)若a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b ( x1 x2 , y1 y2 ),
a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 2) 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 ) 4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
DC (3 x,4 y)
A O x
B D
有AB DC得：（ 1， 2）（ 3-x, 4 y)
x 2 1 3 x 2 4 y y 2 顶点D的坐标是（ 2， 2 ）
变式： 已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点 D2 y 构成平行四边形四个顶点。