概率论与数理统计(1-3章重点梳理)

公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程
有实根的概率是( )
7、指数分布 E( ) 【背景了解：机器元件使用寿命、生物生命周期等】
2、分布律 P(X= )= ，i=1 2 n （表述 1）
X
…
…
(表述 2)
P
…
…
满足：①非负性
, i=1 2 n ； ②
【逆向思维的隐含条件】
3、分布函数 设 X 分布律 P(X= )= ，i=1 2 n
则 F(x)=P(X )=
， <x<
【若已知 X 的分布函数 F(X),则易求得 X 分布律：P(X= )=F( )-F( -0),i=1 2 】 三、连续型随机变量
另三对也独立
【A、B 对立 A、B 互斥（小推大），但 A、B 互斥 A、B 对立】
第二章 随机变量及其分布
(一)考试内容 随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 (二)考试要求
连续型随
1．理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)= P{X≤x}( <x< )的概念及性质，会计
(1)定义 F(x)=P{X≤x}, <x< 为 X 的分布函数
①显然任何随机变量都有分布函数
②分布函数 F(x)是普通函数，定义域(
)，值域[0,1]
③F(x)在某 处 F( )表示 X 在（
(2)性质 ①0≤F(x)≤1 ②单调不减，即对任何
, ]内取值概率
③右连续，即对任何实数 ，有 F(x+0)=F(x)
立下，条件概率中分母事件变化不影响概率，分子事件变化会影响概率) ②A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 中有一对相互独立 另三对也独立
③P(A)>0，P(B)>0
【口诀：独立不互斥，互斥不独立(注意前提条件)】 (2)A、B、C 相互独立 ①P(AB)=P(A)P(B) ②P(BC)=P(B)P(C) ③P(CA)=P(C)P(A) ④P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 若①②③④同时成立，则 ABC 相互独立；若仅满足①②③，则 ABC 两两独立。 【同理，“n 个事件相互独立”与“n 个事件两两独立”并非一回事】
算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布B(n, p)、几
何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P( )及其应用。
3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U(a,b) 、正态分布N( ， )、
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
指数分布的无记忆性：设 X E( )，则对任意 s 0，t 0,有 P(X=s+t∣X s)=p(X t)
推导：
8、正态分布【用图像法解题】 (1)一般正态分布 X N( ， )
密度函数 f(x)=
, <x< ，其中 ， < <
分布函数 F(x)= (2)标准正态分布 X N( ，1)
② P( )＝1-P( )
③ P(
)＝P(
) + P(
) - P(
) 【由加法公式变型】
特别地，
（互斥），则 P(
)＝P(
) + P(
)
④ P(
)＝P( ) - P(
) 【由减法公式变型】
特别地，
（包含），则 P(
3、两大基本概型
)＝P(
) - P(
)
(1)古典概型 P(A)＝
随机试验 E 的样本空间Ω＝｛
P(A)＝
j= i=1 2 n.
例：从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，2...X 中任取一个数记为 Y，则 P(Y=2)=( ),p(X=3｜Y=2)=( )
三、独立相关概念 1、事件独立性
(1)A、B 相互独立
P(AB)=P(A)P(B)
①P(A)>0 时 P(A∣B)＝
＝P(A)【同理 P(A∣ )＝P(A)】(※A、B 相互独
, <x<
密度函数 (x)=
, <x<
分布函数 (x)=
, <x<
性质：① (-x)= (x) ② (0)= ③
补充：P( P(
)=1-2P(X a)=1-2[1-P(X )]=2 )=2[1- ]
(3)标准化 如果 X N( ， )，则
N（0，1）
①求概率 P(a X b)=P{
}=
②对称性 P(X )=P(X )=
②结合律
A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C
③分配律
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
④德摩根律(对偶律)
【小技巧：“∪”看成“+”，“∩”看成“ ”】
(4)关系运算 10 类（熟练掌握） 设 A、B、C 是三个随机事件
①恰好 A 发生
(1)特征：①独立重复②每次试验结果只有两个(A 与 )
(2)公式：
, k=1 2 n.
【
】
3、易混淆类 (1)独立性与互不相容(互斥)
①两个不同的概念
②A、B 既独立又互不相容，则 P(A)=0 或 P(B)=0
③A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 中有一对相互独立 ④概率为 0 或 1 事件与任何事件独立 (2)对立与互不相容(互斥)
（※若事件 A、B、C 相互独立，则 ABC 中任何一个事件与另外两事件的并(和)、交(积)或差 均分别独立）【同理，可推广到 n 个事件】 例：设 A、B、C、D 相互独立，则下列事件中可能不独立的是（ ）
A．
B. A+B-C 与
C.
D.A+ 与 B+D-C
【解析：D 中出现相同字母，故不独立（理由由上述※而来）】 2、独立重复试验(伯努利概型)
例：设 X N( ， )且 P(2 X )=0.3，则 P(X 0)=(
有
，其中
】
例：设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为 ,则
这段时间内至少有两辆通过的概率为（ ）
4、超几何分布 H(N,M,n) 分布律
【古典概型问题】
5、几何分布 G(p) 分布律
, k=1 2 (0 p 1)
模型：做独立重复试验中首次出现的概率（e.g 首次出现成功次数的概率）（区别二项分布）
④F( )=0，F( )=1 3、相关事件概率 ①P(X b)=F(b)，P(X b)=F(b-0) 【必背】
②P(a X b)=F(b)-F(a)
③P(a X b)=F(b-0)-F(a-0)
④P(X b)=F(b)-F(b-0)
二、离散型随机变量 1、定义 X 取值只有有限个或可列无穷个 【离散型分布律(一维)，联合分布规律(二维)是一个充分有效的信息】
模型是 n 重伯努利试验 【难点：模型要自己建立】（e.g 出现成功的次数概率）
3、泊松分布 分布律
, k=1 2 n.
泊松定理：设在 n 重伯努利试验中，A 每次发生概率 ( 与 n 有关)，n 时，
n
( ),对任一非负整数 k，有
【泊松定理表明，X
，当 n 很大(n>100),p 很小(p<0.1),而 np 适中时，
《概率论与数理统计》知识梳理
第一章 随机事件和概率
(一)考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 (二)考试要求 1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运 算。 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概 率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式。 3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概 念，掌握计算有关事件概率的方法。 (三)知识点 一、关系与运算 1、样本空间 试验每一可能结果——样本点ω 所有样本点集合——样本空间Ω 2、随机事件 样本空间子集——随机事件（一般用大写 A，B，C 表示） Ω——必然事件 Φ——不可能事件 【随机试验→(结果)→样本点→(集合化)→样本空间→(子集)→随机事件】 3、事件关系及运算 (1)事件间关系：包含，相等，互斥，对立，完备事件组，独立
特别地，
（包含）P(
)＝P( ) - P( ) 【由非负性 P(
)≥0 还知 P( )≥P( )】
(3)乘法公式 P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
(4)全概率公式 设
是完全事件组，且 P( )>0,i=1 2 n,对任一事件 A
P(A)＝
(5)贝叶斯公式 设
是完全事件组，且 P( )>0,i=1 2 n,对任意概率不为零事件 A
A
②A 和 B 发生而 C 不发生
A
③A、B、C 全发生
ABC
④A、B、C 不全发生
⑤A、B、C 全不发生
⑥A、B、C 至少有一个发生
A+B+C
⑦至少有两个事件发生
AB+BC+CA
⑧至多有一个事件发生
⑨恰有一个事件发生
+
+
⑩恰有两个事件发生
+
+
二、概率性质及两大基本概型和五大公式 1、概念 (1)概率——P(A) 满足三条公理 公理 1（非负性）0≤P(A)≤1 公理 2（规范性）P(Ω)＝1
｝适用条件:
① n 为有限的正整数；②每个样本点 （i=1,2 ,n）出现的可能性相等。 例：随机取一非负整数，则此数平方的个位数是 4 的概率为（ ）
(2)几何概型 P(A)＝
使用条件：①试验样本空间是某区域(一维、二维或三维)以 面积、体积)；②事件 A 的样本点所表示的区域为
表示其几何度量(长度、
②A、B 积事件 A∩B 或 A B A、B 同时发生
是一个完全事件组
③A、B 差事件
A 发生且 B 不发生【即 =A(1-B)】(※差事件可以转化积事件)
【小技巧：“∪”看成“+”，“∩”看成“ ”，“ ”化成乘积形式】
(3)运算四律：交换律，结合律，分配律，对偶律
①交换律
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
【众多题型另一个隐含条件】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④P(a X b)=P(a X b)=P(a X b)=
【连续型 x<a 和 x a 在概率中相等】
四、八大分布【1、2、3、4、5 为离散型随机变量；6、7、8 为连续型随机变量】
1、0-1 分布 X 0
1
(0<p<1) P 1-p p
2、二项分布 B(n,p) 分布律
, k=1 2 n.
例：在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 的概率为（ ）
4、五大公式 (1)加法公式 P(A∪B)＝P(A) + P(B) - P(AB) P(A∪B∪C)＝P(A) +P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)【规律：偶(个)减，奇(个)加】
(2)减法公式 P( )＝P( ) - P( )＝P( )
指数分布及其应用，其中参数为 ( )的指数分布E( )的概率密
5．会求随机变量函数的分布． (三)知识点 一、随机变量及其分布函数 1、随机变量概念及分类 (1)定义：…一般用大写英文字母 X、Y、Z 等表示随机变量 (2)类型：①离散型随机变量（X 所取值只有有限个或可列无穷个）；②连续型随机变量；③ 非离散非连续型随机变量 2、分布函数