18-19 第3章 §3 3.2 基本不等式与最大(小)值

3.2基本不等式与最大(小)值学习目标：1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2.会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s2 4；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．[基础自测]1．判断正误(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．()(2)函数y＝sin x＋1sin x的最小值为2.()(3)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2.()[解析](1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与4sin x的积为定值，但sin x≠4sin x；(2)错误，sin x ＜0时，函数不存在最小值． (3)错误，因为只有x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，x 2＝－3时才能取到最小值，但x 2＝－3不成立，故(3)错．[答案] (1)× (2)× (3)×2．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________． [解析] 因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时等号成立．[答案] 63．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________.【导学号：91022247】[解析] 因为x ∈(0,1)， 所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14， 当x ＝1－x ， 即x ＝12时等号成立． [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难](1)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．(3)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 [解析] (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1t ，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2， 即x ＝3时，等号成立． [答案] (1)－2 (2)3 (3)D[规律方法] 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.[跟踪训练]1．(1)已知x ＞0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值； (2)已知x ＜3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． [解] (1)因为x ＞0，所以f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12，当12x ＝3x ，即x ＝2时，f (x )的最小值为12. (2)当x ＜3时，x －3＜0，f (x )＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3－x )＋43－x ＋3， 因为3－x ＋43－x≥2(3－x )×43－x＝4， 当3－x ＝43－x，即x ＝1时， f (x )≤－4＋3＝－1.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ [思路探究] 先以购买面粉间隔天数为自变量，平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型，再利用基本不等式求最值．[解] 设该厂每隔x 天购买一次面粉，则其每次购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． [规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案. [跟踪训练]2.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3-3-2，设池塘所占总面积为S 平方米．图3-3-2(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． [解] (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3.即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x >0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352，当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45， 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？ (2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？ [提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x 有最小值2. (2)当x ＞0时x x 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12. 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？[提示] (1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.(1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值.【导学号：91022248】[思路探究] (1)在x x 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a 的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b 的最小值． [解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母题探究：1.(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值． [解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b ＝1， 故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ×2ab ＝9.当a ＝b ＝3时等号成立．母题探究：2.(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1， 故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2， 当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立． [规律方法] 最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81C [A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.]2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )【导学号：91022249】A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8B [∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.] 3．函数f (x )＝x (3－3x )，x ∈(0,1)，的最大值为________． [解析] f (x )＝3x (1－x )≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34， 当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立． [答案] 344．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．[解析]设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝400＋16⎝⎛⎭⎪⎫v202v＝400 v＋16v400≥2400v×16v400＝8(小时)，当且仅当400v＝16v400，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．[答案]85．求函数f(x)＝xx＋1的最大值.【导学号：91022250】[解]f(x)＝xx＋1＝1x＋1x，因为x＋1x≥2x×1x＝2，当x＝1时等号成立，所以f(x)≤12.。