2017年高考数学(文)大二轮复习配套_八大提分笔记八、推理与证明、复数、算法 (共23张PPT)

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(全国新课标)2017年高考数学大二轮温习第三编考前冲刺攻略第一步八大提分笔记八推理与证明、复数、

第三编考前冲刺攻略
第一步考前必看八大提分笔记八、推理与证明、复数、算法
1 推理方法 (1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
(2)间接证明——反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．
解析进行第一次循环时，S＝1050＝20，i＝2，S＝20>1；进行第二次循环时，S＝250＝4，i＝3，S＝4>1；进行第三次循环时，S＝45＝0.8，i＝4，S＝0.8<1，此时结束循环，输出的 i＝4.
归纳不严密致误
例3
[2016·湖北七市联考]观察下列等式
1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)；
复数的实部是a－2 2，虚部是a＋2 2.
由题意，知a＋2 2＝2×a－2 2.
解得 a＝6.故选 A.
循环结构判断不准致误
例2
[2016·山西质检]运行如图所示的程序框图，若
输出的点恰有 5 次落在直线 y＝x 上，则判断框中可填写的
条件是( )
A．i>6
B．i>7
C.i>8

【步步高】2017版高考数学一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.1合情推理与演绎推理理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理理1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．( ×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.答案123解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________． ①使用了归纳推理； ②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误．答案 ③解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c＝201.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．答案 ①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________.答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)题型一归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________．答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.答案 n n解析第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．答案 (1)3×2n－3 (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n－3) (n ∈N *)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 (n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案 (1)183 (2)8解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6n －12×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④非以上错误．答案 ③解析因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．10．高考中的合情推理问题典例1 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： ①b 2 014是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示) 解析 ①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，b 1＝4×52＝a 4， b 2＝5×62＝a 5，b 3＝92×52＝a 9， b 4＝2×5×112＝a 10，b 5＝14×3×52＝a 14，b 6＝3×5×162＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k 5k －12.答案 ①5 035 ②5k5k －12(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故①是；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故②是；对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故③是．④不符合，不是保序同构．答案 ④温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．答案 ②解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理． 2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．答案 ③解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________. 答案n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋12＝n 2＋n ＋22个区域．4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是________．答案 1解析 (a ＋b )n≠a n＋b n(n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________． ①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn②d n ＝c 1·c 2·…·c nn③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nn④d n ＝nc 1·c 2·…·c n答案 ④解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)(1)21·n n nc q-＝，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n (1)21·n n c q-＝，即{d n}为等比数列．6．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b2＝1， x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________. 答案10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.证明：设x 1＋x 2＝1，12()()f x f x +=+==12123x x x x === 10．在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.证明：如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD 2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号) 答案 ①解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．答案 2π2r 2d解析平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为 111222111222.O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sinα)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)．解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

(全国通用)2017年高考数学大二轮专题温习第三编考前冲刺攻略第一步八大提分笔记七概率与统计讲义

[错解] 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；
∴出现“两正一反”的概率为14. [错因分析] 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的． [防范措施] 对于公式 P(A)＝mn (n 和 m 分别表示基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性．
(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率．
解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B，随机选取两种的情况为(0,1)， (0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，…，(4,5)，共 15 种．
分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ) ＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
所给出的检验随机变量 K2 的观测值 k，并且 k 的值越大，说
明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确
定“X 与 Y 有关系”的可信程度．
14 一般地，如果对于任意实数 a<b，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布．正态
a
补救训练 3 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

热点21推理与证明2017年高考数学二轮核心考点总动员(无答案)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点21 推理与证明【热点考法】本热点考题类型为选择填空题或解答题，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合考查推理与证明思想方法的应用，考查对新概念的理解和新概念的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、阅读理解新概念及应用新概念解决问题能力、转化与化归思想，其难度较多是中等题，分值为5至10分.【热点考向】考向一逻辑推理【解决法宝】1.合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论．（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．2.合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形根据，再通过对这些个体的观察、分析、比较，发现它们的相同性质或变化规律，找出它们之间的联系，从这些相同性质或变化规律推出一个明确表述的一般命题，从而归纳出一般结论，对所得的一般性命题进行检验．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．例1【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在（）A ．第44行第78列B ．第45行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列【分析】【解析】例2【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【分析】【解析】例3【2017届河北定州中学高三月考1】已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为（） A. ()123412V s s s s R =+++ B. ()123413V s s s s R =+++ C. ()123414V s s s s R =+++ D. ()1234V s s s s R =+++ 【分析】【解析】考向二间接证明【解决法宝】用反证法证明数学命题步骤如下：第一步，分清命题“q p ⇒”的条件和结论；第二步，作出与结论q 相反的假设q ⌝；第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定矛盾结果的原因在于开始所作的假设q ⌝不真，于是结论q 成立，从而证明了命题q p ⇒为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果和已知公理、已知定义、已知定理、已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.例4 【2017届河北武邑中学高三上学期月考2】在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对【分析】【解析】考向三数学归纳法【解决法宝】1.数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(i)证明当n 取第一个值0n (*0N n ∈)时命题成立．(ii)假设n ＝k (k ≥0n ，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立．2. 在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一是“凑”假设，二是“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时命题形式之间的差异和联系，利用拆、添、并、放、缩等方法，或从)(k P 出发拼凑)1(+k P ，或从)1(+k P 中分离出)(k P ，再进行局部调整；也可以寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察-归纳-猜想-证明”这一特殊到一般的推理方法.并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．例5【2017届山东省实验中学高三第一次诊断】已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+（k R ∈）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+…（*n N ∈，且2n ≥）．【分析】【解析】考向四新定义【解决法宝】一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．结合高等数学的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．结合其他学科的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算． “新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算．因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝．例6【湖南永州市2017届高三第一次模拟，16】函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]m n D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域为[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()y f x =的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.①2()f x x =； ②12()log f x x =； ③()x f x e =； ④1()3f x x x=-+. 【分析】【解析】【热点集训】1.【2017届黑龙江虎林一中高三文上学期月考三】用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设（）A ．三个内角都不大于 60B ．三个内角都大于60C. 三个内角至多有一个大于 60D ．三个内角至多有两个大于 602.【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三文上学期考试二】在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A ．甲丙丁戊乙B ．甲丁丙乙戊C ．甲乙丙丁戊D ．甲丙戊乙丁3.【2017届湖南师大附中高三文上学期月考四】已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈），观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 4lg 2lg3a a ⋅=⋅=⋅2=；123456a a a a a a 237log 3log 4log 8=⋅…lg3lg 4lg83lg 2lg3lg 7=⋅=…；若122016m a a a =…（*m N ∈），则m 的值为（）A ．201622+B ．20162C ．201622-D ．201624-4.【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月】观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（）A ．()82484n n n n -+=---B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+- C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+- 5.【2017届安徽皖南八校高三理联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ． 6.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】已知如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推，则2018会出现在第（）个等式中.A.33B.30C.31D.327.【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，11】观察下列各式：211122ni i n n ==+∑，2321111326n i i n n n ==++∑，34321111424n i i n n n ==++∑，454311111 52330n i in n n n ==++-∑，…， 11211211n kk k k k k k k k i i a n a n a n a n a n +--+--==++++∑…，可以推测，当10k =时，129a a a +++…等于（）A ．922B ．911 C.12 D ．1118.【2017届江西南昌市高三新课标一轮复习一】观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．1999.【湖北黄石2017届高三9月调研，12】定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭10.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考三】将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）A ．4B ．6 C. 8 D ．1011.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，11】给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上12.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，12】已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦13.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，16】如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．14.【江西九江地区2017届高三七校联考，14】设A ，B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⊗=∈且}x A B ∉，已知2{|2,02}M y y x x x ==-+<<，1{|2,0}x N y y x -==>，则M N ⊗=_________.15.【河北省唐山一中2017届高三上学期12月调研考试数学试题】用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n （+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的代数式为_______________.16.【河北邯郸2017届9月联考，15】6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向；⑵乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；⑶丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；⑷丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断正确的序号是 .17.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），15】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：6123=++；28124714=++++；4961248163162124248=++++++++.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如12622=+，23428222=++，……，按此规律，8128可表示为．18.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式()21nx x ++展开，当1,2,3,n =时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形： ()0211x x ++= 第0行 1()12211x x x x ++=++ 第1行 1 1 1()2243212321x x x x x x ++=++++ 第2行 1 2 32 1()32654321367631xx x x x x x x ++=++++++ 第3行 1 3 6 7 6 3 1 ()42876543214101619161041x x x x x x x x x x ++=++++++++ 第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k 行共有21k +个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为___________．19.【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,16】函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是．20.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,21】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积.21.【天津六校2017届高三上学期期中联考，18】已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =-+∈，(1,)x ∈+∞.（1）若函数()f x 有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）对于函数()f x ，1()f x ，2()f x ，若对于区间D 上的任意一个x ，都有12()()()f x f x f x <<，则称函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间D 上的一个“分界函数”.已知21()(1)ln f x a x =-，22()(1)f x a x =-，问是否存在实数a ，使得函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间(1,)+∞上的一个“分界函数”？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.22.【2017届江苏徐州等四市高三11月模拟考】设*n ∈N ，()372n n f n =+-．（1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．。

2017高考数学文二轮复习讲义：第三编考前冲刺攻略第一步考前必看八大提分笔记

第一步考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.5注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Ve nn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍．6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．在否定条件或求结论时，应把“且”改成“或”，“或”改成“且”．7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．忽视互异性致误例1 已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．[错解]由题意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a ＝－1或a＝－2或a＝0.[错因分析]当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互异性；同理a＝－1时，也不符合要求．[正解]由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a ＝－1或a＝－2或a＝0.又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.[防范措施]上述解法造成本题失分的主要原因是忽视了集合元素具有互异性的特征.在解此类问题时注意代入检验是防范失分的一个重要措施.补救训练1若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x为________．答案±3或0解析由已知得B⊆A，∴x2∈A且x2≠1.①x2＝3，得x＝±3，都符合．②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1，∴x＝0.综合①②，共有3个值.忽视空集致误例2 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．[错解]∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5.∴A ＝{x |－2≤x ≤5}．由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5，即－3≤m ≤3. ∴m 的取值范围是－3≤m ≤3.[错因分析] B ⊆A ，B 可以为非空集合，B 也可以是空集．漏掉对B ＝∅的讨论，是本题的一个失分点．[正解] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A.∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}．①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，故m <2时，A ∪B ＝A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A ，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5. 解得－3≤m ≤3.又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A.[防范措施] 造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．补救训练2 已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R＋＝∅，则实数p 的取值范围为________．答案 (－4，＋∞)解析由于A ∩R ＋＝∅，先求A ∩R ＋≠∅的情况有⎩⎨⎧ Δ＝(p ＋2)2－4≥0，－p ＋22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R ＋＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞).忽视集合运算中的边界点致误例3 记f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[错解1] f (x )的定义域为A ，则A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． g (x )的定义域为B ，则B ＝(a ＋1,2a )．∵B ⊆A ，∴a ＋1≥1或2a ≤－1.∴a ≥0或a ≤－12.[错解2] 由2－x ＋3x ＋1≥0，得x <－1或x ≥1. ∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0.且a <1，∴2a <x <a ＋1.∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a >1或 a ＋1<－1，∴a >12或a <－2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(－∞，－2)． [错因分析] 错解1忽视对条件a <1的考虑；错解2忽视了界点，事实上：2a ≥1或a ＋1≤－1.[正解] ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1x ＋1≥0. ∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)．∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2.故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. [防范措施] 对于错解1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯.对于错解2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.补救训练3 [2015·太原一模]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D.(－3，－1)答案 D解析由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1).对命题的否定不当致误例4 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________．[错解] (－∞，－2)∪(5，＋∞)[错因分析] 5∉M ，把x ＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a ＋105a －25>0；②5a －25＝0，答案中漏掉了第②种情况． [正解] 解法一：∵5∉M ，∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0. ∴a <－2或a >5或a ＝5，故填a ≥5或a <－2.解法二：若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5.∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.[答案] (－∞，－2)∪[5，＋∞)[防范措施] 本题失分率高达56%，实质上当x ＝5时，ax ＋10ax －25≤0不成立，即是对命题ax ＋10ax －25≤0的否定．失分的原因就在于对命题的否定不当．对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为ax ＋10ax －25>0或ax －25＝0.当然，就本题而言，也可以先求出5∈M 时的a 的范围，再求其补集．补救训练4 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a 2x ＋2x －3ax －1<0，若2∉M ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12. ∴当2∉M 时，a 的取值范围为a ≥12.错误理解简易逻辑中的概念致误例5 x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的________条件． [错解1] 由x 2＝x ＋2⇒x ＝x ＋2⇒x 2＝x x ＋2得出x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的充分条件．[错解2] 由x x ＋2＝x 2⇒x ＋2＝x ⇒x ＋2＝x 2 得出x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的必要条件．[错因分析] 错解1中，事实上x 2＝x ＋2⇒/ x ＝x ＋2；错解2中，x x ＋2＝x 2⇒/ x ＋2＝x .[正解] 方程x 2＝x ＋2的解集为{－1,2}，x x ＋2＝x 2的解集为{0,2}，但是{－1,2}⃘{0,2}，且{0,2}⃘{－1,2}，所以x 2＝x ＋2是x x ＋2＝x 2的既不充分也不必要条件．[答案] 既不充分也不必要[防范措施] ①因为在错解1的推理过程中，当x ＝－1时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．②因为在错解2的推理过程中，当x ＝0时“⇒”左边成立，而右边不成立，所以这里“⇒”不成立．事实上，在推理过程中错误地进行了开方，方程两边同时相消，无理方程中忽略了被开方数的范围等等．这是应该注意防范的．补救训练5 [2016·江西八校高三联考]在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 AB →·AC →＝BA →·BC →⇔bc cos A ＝ac cos B ⇔b cos A ＝a cos B ⇔si nB cos A ＝si nA cos B ⇔t anA ＝t anB ⇔A ＝B ⇔a ＝b ，故AB →·AC →＝BA →·BC →是|AC →|＝|BC →|的充要条件.二、函数与导数1函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多．2求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．3用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．4分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．6弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．7求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．8函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．9求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于己知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适用于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．11有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1f(x)(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.12(1)指数运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r，s∈Q)．(2)对数运算性质已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a . 推论：log amN n＝n m log a N ；log a b ＝1log b a . (3)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．13幂函数y ＝x α(α∈R )(1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的． ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．14函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．15求导数的方法(1)基本导数公式：c ′＝0(c 为常数)；(x m )′＝mx m －1(m ∈Q )；(si nx )′＝cos x ；(cos x )′＝－si nx ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x l n a ；(l n x )′＝1x ；(log a x )′＝1x l n a (a >0且a ≠1)．(2)导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)． (3)复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′.如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则(f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a.16函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意：过某点的切线不一定只有一条．17利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．18导数为零的点并不一定是极值点，如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．函数概念不清致误例1 已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．[错解]由x2x2－4>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．[错因分析]错把lgx2x2－4的定义域当成了f(x)的定义域．[正解]由f(x2－3)＝lgx2x2－4，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg t＋3 t－1.∵x2x2－4>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.∴f(x)的定义域为{x|x>1}．[防范措施]失分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg x2x2－4与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错．补救训练1[2016·河南郑州一模]若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________．答案[0,1)解析∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，∴0≤x<1，即函数g(x)的定义域是[0,1).分段函数的意义理解不准确致误例2 函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax ，x >0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．[错解1] 若f(x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，解得a <－1；若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，解得a >1. [错解2] ∵f (x )在R 上单调，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解得a ≤－ 2.[错解3] ∵f (x )在R 上单调，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤ 2.[错因分析] 对分段函数的意义理解不准确或情况考虑不全致误．[正解] 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－ 2 ]∪(1，2]．[答案] (－∞，－2]∪(1，2][防范措施] 上述错解1是对分段函数在R 上单调的限制条件不全而造成失分；错解2、3简单的认为单调只是增或减，没有进行分情况讨论．对此类问题的求解一定要考虑周全．补救训练2 [2016·陕西高三质检]设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 13 ，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，27]解析当x ≥8时，x 13 ≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立，故x <8.综上，x ∈(－∞，27].忽视函数的定义域致误例3 函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调递增区间为________． [错解] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 [错因分析] 忽略了x 2－5x ＋6>0，即函数的定义域．[正解] 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．[答案] (－∞，2)[防范措施] 本题失分的原因就在于忽略了函数的定义域这一隐含条件.在研究函数问题时，不论什么情况，首先研究函数的定义域，这是研究函数的一条最基本原则.补救训练3 [2016·辽宁沈阳质检]已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞]上单调递增，∴f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23.故选A.混淆“过点”和“切点”致误例4 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．[错解] ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1.∴切线方程为：y ＋1＝x －1即x －y －2＝0.[错因分析] 错把(1，－1)当切点．[正解] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′⎪⎪ x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.[防范措施] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1).本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.补救训练4 已知函数f (x )＝a l n x －2ax ＋b ，函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则a ＋b 的值是________．答案－3解析因为f ′(x )＝a x －2a ，函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，所以f ′(1)＝－a ＝2，所以a ＝－2，f (x )＝－2l n x ＋4x ＋b ，由切线方程可得f (1)＝3，所以f (1)＝4＋b ＝3，可得b ＝－1.所以a ＋b ＝－3.极值的概念不清致误例5已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.[错解] 由已知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，故a ＋b ＝－7或a ＋b ＝0.[错因分析] x ＝1是f (x )的极值点⇒f ′(1)＝0；忽视了“f ′(1)＝0⇒/ x ＝1是f (x )的极值点”的情况．[正解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ①②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.[答案] －7[防范措施] “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f (x )在x ＝x 0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则易产生增根.补救训练5 [2016·兰州质检]函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即36a 2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a >2或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).函数零点求解讨论不全致误例6函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1} C.(－∞，0)∪{1} D ．(－∞，1)[错解] 若Δ＝0，解得m ＝1；若Δ>0，则x 1·x 2＝1m <0，解得m <0，故选C.[错因分析] 没有对m 是否为零进行讨论．[正解] 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)<0，即m <0.故选B.[答案] B[防范措施] 解决此类问题的关键是对参数的讨论要全面，对函数零点的定理使用要正确，如本题错解中忽略了对m ＝0的讨论.补救训练6 [2016·东三省联考]已知在区间[－4,4]上f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(x ＋5)＋43(x ＋1)，－4≤x ≤－1，2|x －1|－2，－1<x ≤4，g (x )＝－18x 2－x ＋2(－4≤x ≤4)，给出下列四个命题：①函数y ＝f [g (x )]有三个零点；②函数y ＝g [f (x )]有三个零点；③函数y ＝f [f (x )]有六个零点； ④函数y ＝g [g (x )]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是( )A.1B ．2 C.3D ．4 答案 D解析如图，画出f (x )，g (x )的草图．①设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，则t ＝g (x )有三个不同值，由于y ＝g (x )是减函数，所以f [g (x )]＝0有3个解，所以①正确；②设m ＝f (x )，若g [f (x )]＝0，即g (m )＝0，则m ＝x 0∈(1,2)，所以f (x )＝x 0∈(1,2)，由图象知对应f (x )＝x 0∈(1,2)的解有3个，所以②正确；③设n ＝f (x )，若f [f (x )]＝0，即f (n )＝0，n ＝x 1∈(－3，－2)或n ＝0或n ＝x 2＝2，而f (x )＝x 1∈(－3，－2)有1个解，f (x )＝0对应有3个解，f (x )＝x 2＝2对应有2个解，所以f [f (x )]＝0共有6个解，所以③正确；④设s ＝g (x )，若g [g (x )]＝0，即g (s )＝0，所以s ＝x 3∈(1,2)，则g (x )＝x 3，因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝x 3只有1个解，所以④正确.导数与单调性的关系理解不准致误例7函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．[错解] 由f (x )＝ax 3－x 2＋x －5得f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得a >13. [错因分析] f (x )在R 上是增函数等价于f ′(x )≥0在R 上恒成立．漏掉了f ′(x )＝0的情况．[正解] f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. [答案] a ≥13[防范措施] f ′(x )>0(<0)(x ∈(a ，b ))是f (x )在(a ，b )上单调递增(递减)的充分不必要条件.实际上，对可导函数f (x )而言，f (x )在(a ，b )上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )≥0(≤0)且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间上都不恒为零.在解题时，若求单调区间，一般用充分条件即可.若由单调性求参数，一般用充要条件即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，否则容易漏解.补救训练7 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －l n x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，所以f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，易知y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x m ax ＝83，所以2a ≥83，解得a ≥43.选D.三、三角函数、解三角形、平面向量1α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么si nα＝y r ，cos α＝x r ，t anα＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：si n 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：t anα＝si nαcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限(1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝si nx ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝si nx ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝t anx ，⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .(3)单调区间：y ＝si nx 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝t anx 的增区间：⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝si nx 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝t anx 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A si n (ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 si n (α±β)＝si nαcos β±cos αsi nβ. cos(α±β)＝cos αcos β∓si nαsi nβ. t an (α±β)＝t anα±t anβ1∓t anαt anβ.si n 2α＝2si nαcos α.cos 2α＝1＋cos2α2，si n 2α＝1－cos2α2，t an 2α＝2t anα1－t an 2α. 在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. 5三角变换基本方法：化切为弦、降幂升幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名．6解三角形(1)正弦定理：a si nA ＝b si nB ＝csi nC ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝si nA ∶si nB ∶si nC ；(ⅱ)si nA ＝a 2R ，si nB ＝b 2R ，si nC ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R si nA ，b ＝2R si nB ，c ＝2R si nC ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔si nA >si n B.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 等，常选用余弦定理判定三角形的形状．7解三角形的实际应用问题注意区分俯角和仰角，方位角和方向角的不同．8数0与零向量有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同．9平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →.(2)向量满足三角形不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λ>0，λa 与a 同向；λ<0，λa 与a 反向；λ＝0或a ＝0，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．10向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ⊥b (a ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同． 11当a·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b·c )与a 平行．12向量的数量积 |a |2＝a 2＝a ·a ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a ·b >0且a 、b 不同向；〈a ，b 〉为直角⇔a ·b ＝0且a 、b ≠0；〈a ，b 〉为钝角⇔a ·b <0且a 、b 不反向．13两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．14向量a 在向量b 上的投影|a |cos θ是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．15几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；(3)向量λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； (4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．忽视角的范围致误例1 已知si nα＝55，si nβ＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________.[错解] ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－si n 2α＝255，cos β＝1－si n 2β＝31010. ∴si n (α＋β)＝si nαcos β＋cos αsi nβ ＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.[错因分析] 错解中没有注意到0<α＋β<π，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负关系即可判断．[正解] 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－si n 2α＝255，cos β＝1－si n 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－si nαsi nβ ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4. [答案] π4[防范措施] 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos (α＋β)来避免增解.补救训练1 [2016·嘉兴测试]已知α为钝角，si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则si n ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 答案－74解析 cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34⇒cos ⎝ ⎛π4－α )＝34，因为α为钝角，即π2<α<π⇒－3π4<π4－α<－π4，所以si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α<0，则si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74.三角函数图象平移致误例2 函数y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可由函数y ＝3si n 2x 的图象( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到 C.向左平移π12个单位长度得到 D.向右平移π12个单位长度得到 [错解] A[错因分析] 在三角函数图象变换时，对于先进行伸缩变换再进行平移变换的平移量搞错．[正解] y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3si n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12， ∴只需将y ＝3si n 2x 的x 换成x ＋π12即可． ∴y ＝3si n 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝3si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象． [答案] C[防范措施] 三角函数图象变换时，由f (x )→f (x ±a )(a >0)是左加右减，即x ＋a 是f (x )向左平移a 个单位，x －a 是f (x )向右平移a 个单位．我们所说的平移多少是对x 说的，即“对x 说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如x 有系数ω，则先写成ω(x ＋φ)的形式．补救训练2 将函数h (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数h (x )的图象( )A.关于直线x ＝0对称B.关于直线x ＝1对称C.关于(1,0)点对称D.关于(0,1)点对称答案 D解析依题意，将h (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位后得y ＝2si n [ 2( x －π4 )＋π4 ]＋2，即f (x )＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2的图象，又∵h (－x )＋f (x )＝2，∴函数f (x )的图象与函数h (x )的图象关于点(0,1)对称.三角函数的单调性判断致误例3 函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3的单调区间是________． [错解] 函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2，解得3k π＋3π8≤x ≤3k π＋98π；单调递减区间为2k π＋π2≤π4－2x 3≤2k π＋3π2，解得3k π－158π≤x ≤3k π－3π8，其中k ∈Z .[错因分析] 受思维定势，按函数y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4的单调区间的判断方法求解．[正解] 原函数变形为y ＝－12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝si nu 的单调区间即可，所以y ＝si nu 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y ＝si nu 在2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3＝－si nu 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡ 3k π＋9π8，⎦⎥⎤3k π＋21π8(k ∈Z )． [答案] 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [防范措施] 当题目涉及f (x )＝A si n (ωx ＋φ)的性质时，要将ωx ＋φ视为整体，再与y ＝si nx 的相关性质对应，同时注意ω与零的大小.补救训练3 [2016·海口调研]已知函数f (x )＝si n 2(ωx )－12(ω>0)的最小正周期为π2，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >0)，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为( )A.π4B.3π4C.π2D.π8答案 D解析依题意得f (x )＝1－cos2ωx 2－12＝－12cos2ωx ，最小正周期T＝2π2ω＝π2，ω＝2，f (x )＝－12cos4x ，将f (x )＝－12cos4x 的图象向右平移a 个单位后得到的是函数g (x )＝－12cos[4(x －a )]的图象. 又函数g (x )的图象关于原点对称，因此有g (0)＝－12cos4a ＝0,4a ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π4＋π8，k ∈Z ，因此正实数a 的最小值是π8，选D.解三角形多解、漏解致误例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b.[错解] (1)在△ABC 中，a si nA ＝c si nC ，∴si nA ＝a si nC c ＝12，∴A ＝π6或5π6.(2)由a si nA ＝c si nC ，得si nC ＝c si nA a ＝32.∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.[错因分析] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得si nA ＝a si nC c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由si nC＝c si nA a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现丢解的错误．[正解] (1)由正弦定理得a si nA ＝c si nC ，即si nA ＝a si nC c ＝12.又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a si nA ＝c si nC ，得si nC ＝c si nA a ＝3·si n π61＝32.∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.[防范措施] 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系.补救训练4 [2016·郑州质检]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解 (1)由已知得2si n 2A －2si n 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14si n 2C ，化简得si nA ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)由正弦定理b si nB ＝c si nC ＝a si nA ＝2，得b ＝2si nB ，c ＝2si nC ，故2b －c ＝4si nB －2si nC ＝4si nB －2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ 3si nB －3cos B ＝23si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2.所以2b －c ＝23si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).向量夹角定义不明致误例5 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2017年高考(全国新课标)数学(文)大二轮复习配套-八大提分笔记六、解析几何 (共79张PPT)

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4 两直线的平行与垂直 (1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有 l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1· k2＝－1. (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有 l1 ∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 ＝0. A1 B1 C1 A1 B1 A1 B1 C1 特别提醒：(1)A ＝B ≠C 、A ≠B 、A ＝B ＝C 仅是两 2 2 2 2 2 2 2 2 直线平行、相交、重合的充分不必要条件； (2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.
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(4)抛物线的标准方程焦点在 x 轴上：y2＝± 2px(p>0)；焦点在 y 轴上：x2＝± 2py(p>0)． 10(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．
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第三编考前冲刺攻略
第一步考前必看八大提分笔记六、解析几何
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1 直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90° 的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k，即 k＝tanα(α≠90° )；倾斜角为 90° 的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2， y1－y2 y2)的直线的斜率为 k＝ (x1≠x2)；③直线的方向向量 a x1－x2 ＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.

2017年高考数学考前回扣教材10 理科复数、算法、推理与证明

回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0. ②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ). (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ；其中a ，b ，c ，d ∈R . 2.复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示. (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.推理模式：框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.推理模式：框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.用数学归纳法证明时，易盲目以为n 0的起始值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设.6.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果.1.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.2.复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A.－1－3i B.－1＋3i C.1＋3i D.1－3i 答案 A解析 z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.3.阅读如图所示的程序框图，若m ＝8，n ＝10，则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120 答案 C解析第一次循环：S ＝10，k ＝1；第二次循环：S ＝10×92＝45，k ＝2；第三次循环：S ＝45×83＝120，k ＝3；第四次循环：S ＝120×74＝210，k ＝4；第五次循环：S ＝210×65＝252，k ＝5；第六次循环：S ＝252×56＝210，k ＝6；第七次循环：S ＝210×47＝120，k ＝7；第八次循环：S ＝120×38＝45，k ＝8＝m ；结束循环，输出S ＝45.4.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于( ) A.n B.2n C.n 2 D.n n 答案 D解析第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝n n.5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a，b都被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法. 8.执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32答案 B解析列表分析如下是否继续循环S n循环前0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小正整数值为16.9.在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.答案S21＋S22＋S23＝S24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.10.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________. 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb2＝1.。

2017年高考数学备考笔记

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 64.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上l o g ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ.',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n rn rr rr r rC C C C C . (6)nnn rn n n n C C C C C 221=++++++ . (7)1425312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .(9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法。

2017高考数学总复习资料

2017年高考数学总复习资料要提高高三数学的复习效率，就必须合理利用复习资料，时间不容置疑地把我们推到命运的分水岭。

小编为大家搜集了高考数学总复习资料，一起来看看吧。

2017年高考数学总复习资料：立体几何1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.高三数学总复习资料：直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.高考数学总复习资料介绍到这里，大家一定不要慌，做好最后的冲刺~精心整理，仅供学习参考。

2017年全国卷高考数学复习专题——推理与证明

2017年全国卷高考数学复习专题——推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案 B2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A3.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=24.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T 1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T 2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d 时,T 2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T 2(P)≤T 2(P'). 所以无论m=a 还是m=d,T 2(P)≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P)值最小,T 1(P)=10,T 2(P)=26,T 3(P)=42,T 4(P)=50,T 5(P)=52. 考点二直接证明与间接证明5.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x 3+ax+b=0没有实根B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A考点三数学归纳法6.(2014安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N *. (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p >1+px; (2)数列{a n }满足a 1>c 1,a n+1=p -1p a n +cpa n 1-p.证明:a n >a n+1>c 1. 解析 (1)证明:用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x 2>1+2x,原不等式成立. ②假设p=k(k≥2,k∈N *)时,不等式(1+x)k >1+kx 成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k >(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x. 所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p >1+px 均成立. (2)证法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N *)时,不等式a k >c 1成立. 由a n+1=p -1pa n +c p a n 1-p易知a n >0,n∈N *.当n=k+1时,a k +1a k=p -1p+c p a k -p=1+1p ca kp -1 .由a k >c 1>0得-1<-1p <1p ca kp -1 <0.由(1)中的结论得a k +1a kp = 1+1p ca kp -1 p>1+p·1p c a kp -1 =ca kp .因此a k +1p>c,即a k+1>c 1.所以n=k+1时,不等式an >c1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >c1p均成立.再由a n+1a n =1+1pca n p-1可得a n+1a n<1,即an+1<an.综上所述,an >an+1>c1,n∈N*.证法二:设f(x)=p-1p x+cpx1-p,x≥c1p,则x p≥c,并且f '(x)=p-1p +cp(1-p)x-p=p-1p1-cx>0,x>c1p.由此可得, f(x)在[c 1p,+∞)上单调递增.因而,当x>c 1p时, f(x)>f(c1p)=c1p,①当n=1时,由a1>c1>0,即a1p>c可知a 2=p-1pa1+cpa11-p=a11+1pca1p-1<a1,并且a2=f(a1)>c1p,从而a1>a2>c1p.故当n=1时,不等式an >an+1>c1成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak >ak+1>c1p成立,则当n=k+1时, f(ak )>f(ak+1)>f(c1p),即有a k+1>a k+2>c1p.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >an+1>c1均成立.7.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=x1+x(x≥0).(1)由已知,g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x))=x1+x1+x=x1+2x,g 3(x)=x1+3x,…,可得gn(x)=x1+nx.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.②假设n=k 时结论成立,即g k (x)=x1+kx . 那么,当n=k+1时, g k+1(x)=g(g k (x))=g k (x )1+gk(x )=x 1+kx1+x =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N +成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ax1+x 恒成立. 设φ(x)=ln(1+x)-ax1+x (x≥0), 即φ'(x)=11+x -a (1+x )2=x +1-a (1+x )2,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立), ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥ax1+x 恒成立(仅当x=0时等号成立). 当a>1时,对x∈(0,a -1]有φ'(x)<0, ∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥ax 1+x不恒成立,综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=12+23+…+nn +1, n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n -ln(n+1). 证明如下:证法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n+1), 在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x 1+x ,x>0. 令x=1n ,n∈N +,则1n +1<lnn +1n.下面用数学归纳法证明. ①当n=1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n=k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k+1). 那么,当n=k+1时,1 2+13+…+1k+1+1k+2<ln(k+1)+1k+2<ln(k+1)+ln k+2k+1=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于12+13+…+1n+1<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x1+x,x>0.令x=1n ,n∈N+,则ln n+1n>1n+1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n+1)-ln n>1n+1,上述各式相加可得ln(n+1)>12+13+…+1n+1.结论得证.证法三:如图,nxx+1dx是由曲线y=xx+1,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而1 2+23+…+nn+1是图中所示各矩形的面积和,∴12+23+…+nn+1>nxx+1dx=n1-1x+1dx=n-ln(n+1),结论得证.8.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=sin xx(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1π2+π2f2π2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式 nfn-1π4+π4f nπ4=22都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f '(x)=sin xx'=cos xx-sin xx2,于是f2(x)=f' 1(x)=cos xx'-sin xx2'=-sin xx-2cos xx2+2sin xx3,所以f1π2=-4π2, f2π2=-2π+16π3.故2f1π2+π2f2π2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f(x)+xf '(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin x+π2,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin x+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin x+kπ2.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf 'k-1(x)+fk(x)+xf 'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sin x+kπ2'=cos x+kπ2· x+kπ2'=sin x+(k+1)π2,所以(k+1)fk (x)+xfk+1(x)=sin x+(k+1)π2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sinπ4+nπ2(n∈N*).所以 nfn-1π4+π4f nπ4=22(n∈N*).9.(2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n <c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(an -1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k 时结论成立,即a k = k -1+1,则a k+1= (a k -1)2+1+1= (k -1)+1+1= (k +1)-1+1. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以a n = n -1+1(n∈N *).(2)解法一:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 令c=f(c),即c= (c -1)2+1-1,解得c=14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c<a 2n+1<1.当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(0)= 2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立. 假设n=k 时结论成立,即a 2k <c<a 2k+1<1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a 2k+1)>f(1)=a 2,即1>c>a 2k+2>a 2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a 2k+2)<f(a 2)=a 3<1. 故c<a 2k+3<1,因此a 2(k+1)<c<a 2(k+1)+1<1. 这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n∈N *).① 当n=1时,结论明显成立.假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)= 2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)= -1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N *成立.由②得a2n<a2n2-2a2n+2-1,即(a2n +1)2<a2n2-2a2n+2,因此a2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n )>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>a2n+12-2a2n+1+2-1,解得a2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.。

2017年高考数学真题考点汇总

文科数学考点：1.集合的交集，一元一次不等式。

2.统计量，方差3.复数运算，纯虚数概念。

4.几何概型，割补法求面积5.过双曲线焦点的直线，且与x轴垂直的模型6.线面平行7.简单的线性规划，目标函数为线性，且没有参数8.已知函数解析式，判断函数图形（奇偶，特殊值，单调性）9.由函数解析式判断函数性质，复合函数的单调性与对称性。

10.程序框图，容易11.解三角形。

边角互化，正弦定理，余弦定理。

12.解析几何中，顶点三角形问题。

二、填空题13.向量的坐标运算。

14.利用导数的几何意义，求切线方程。

15.已知正切，求余弦16.三棱锥内接球模型，把握确定球心，使球心到每个点距离都相等。

三、17数列，等比数列已知等式，解方程，确定首项和公比。

计算等比数列的特定前n项，判断三个数字，是否为等差数列。

18.（1）四棱锥模型，证明，面面垂直。

（2）已知四棱锥的体积，求表面积，重视平面中的面积计算。

19.（1）随机抽样中，。

2017年高考数学全国二卷完整解析汇报及问题详解(无水印精编版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2．设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. {}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ． 33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国新课标2017年高考数学大二轮温习第二编专题整合冲破专题一集合常用逻辑用语向量复数算法合情推理不

专题一集合、经常使用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式及线性计划第一讲集合与经常使用逻辑用语适考素能特训文一、选择题1．[2016·郑州质检]设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，那么∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 A解析因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，因此∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，应选A.2．[2016·沈阳质检]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，那么以下结论正确的选项是( )A ．A ∩B ＝{－1}B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1} 答案 D解析集合A ＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，那么(∁R A )∩B ＝{－1}，应选D.3．[2021·福建高考]假设集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，那么A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅ 答案 C解析因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，因此A ∩B ＝{1，－1}，应选C. 4．[2021·辽宁五校联考]设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，那么M ∪N ＝( ) A ．{x |x ≥－2} B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A 解析因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，因此M ∪N ＝[－2，＋∞)，应选A.5．[2016·合肥质检]“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析此题要紧考查函数的性质与充分必要条件．由题意得，x ＋1x≥2⇔x >0，∴“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分没必要要条件，应选A. 6．[2016·西安质检]已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，那么( )A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0答案 B解析此题要紧考查命题的真假判定、命题的否定．∵3x >0，∴3x ＋1>1，那么log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故应选B.7．[2016·广州模拟]以下说法中正确的选项是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．假设p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，那么綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0C ．假设p ∧q 为假命题，那么p ，q 均为假命题D ．命题“假设α＝π6，那么sin α＝12”的否命题是“假设α≠π6，那么sin α≠12”答案 D解析此题要紧考查命题的相关知识及充要条件．f (0)＝0，函数f (x )不必然是奇函数，如f (x )＝x 2，因此A 错误；假设p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，那么綈p ：∀x ∈R ，x 2－x－1≤0，因此B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，那么p ∧q 为假命题，因此C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．8．以下四个命题中正确命题的个数是( )①关于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，那么綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估量值为1.23，样本点的中心为(4,5)，那么线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④假设实数x ，y ∈[－1,1]，那么知足x 2＋y 2≥1的概率为π4； A ．1B ．3C ．4D ．5答案 A 解析 ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，因此m ＝3是两直线垂直的充分没必要要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，知足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，因此知足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4. 9．给定以下四个命题：命题p ：当x >0时，不等式ln x ≤x －1与ln x ≥1－1x等价；命题q ：不等式e x ≥x ＋1与ln (x ＋1)≤x 等价；命题r ：“b 2－4ac ≥0”是“函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值点”的充要条件；命题s ：假设对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式a <sin x x 恒成立，那么a ≤2π.其中为假命题的是( )A ．(綈s )∧pB ．(綈q )∧sC ．(綈r )∧pD ．綈(q ∧p ) 答案 A解析由1x >0，ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x，故命题p 为真命题；由于x 的取值范围不同，故命题q 是假命题；当b 2－4ac ＝0时，函数f (x )无极值点，故命题r是假命题；设h (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2，由于函数h (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，故sin x x >2π，a ≤2π，即命题s 是真命题．依照复合命题的真值表可知选A. 10．[2016·武昌调研]“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 C解析此题要紧考查函数的单调性与充要条件．当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f (x )在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a ≤0是函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，应选C.二、填空题11．[2021·山东高考]假设“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，那么实数m 的最小值为________．答案 1解析由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.12．[2016·贵阳监测]已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且知足以下三个条件：①若a 1∈A ，那么a 2∈A ；②若a 3∉A ，那么a 2∉A ；③若a 3∈A ，那么a 4∉A .那么集合A ＝________.(用列举法表示)答案 {a 2，a 3}解析若a 1∈A ，那么a 2∈A ，那么由假设a 3∉A ，那么a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；假设a 4∈A ，那么a 3∉A ，那么a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．13．已知命题p ：实数m 知足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 知足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示核心在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分没必要要条件，那么a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示核心在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分没必要要条件，因此⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，因此实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 14．[2016·山东临沂高三模拟]已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，假设“p 且q ”为真命题，那么a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x ≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为2.假设不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，那么3a ≤2，即a ≤23.假设函数y ＝(2a －1)x 为减函数，那么0<2a －1<1，即12<a <1，由“p 且q ”为真命题知命题p ，q 均为真命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，12<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23.。

2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练：专题四数列、推理与证明第2讲特训17题(一)含答案

第一部分专题四第2讲1．（2016·江苏南京模拟）已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＝错误! (n∈N*，n≥2)，数列{b n｝满足关系式b n＝错误!(n∈N＊）．（1)求证：数列｛b n｝为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．解析:（1)证明:∵b n＝错误!,且a n＝错误!，∴b n＋1＝1a n＋1＝错误!＝错误!，∴b n＋1－b n＝错误!－错误!＝2。

又b1＝错误!＝1，∴数列{b n｝是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1）×2＝2n－1，又b n＝错误!,∴a n＝错误!＝错误!。

∴数列{a n｝的通项公式为a n＝错误!。

2．(2016·福建厦门模拟）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，若S n＝3a n＋2n.(1）求证：数列{a n－2｝是等比数列;（2)求数列错误!的前n项和T n.解析：(1）证明:由S n＝3a n＋2n，得S n＋1＝3a n＋1＋2（n＋1）,以上两式相减得a n＋1＝3a n＋1－3a n＋2，即a n＋1＝32a n－1，所以a n＋1－2＝错误!（a n－2)．又因为S1＝a1＝3a1＋2,所以a1＝－1,a1－2＝－3.故数列{a n－2}是以－3为首项，错误!为公比的等比数列．(2)由(1)得a n－2＝－3×错误!n－1，所以a n＝2－3×错误!n－1，所以错误!＝错误!－错误!，所以T n＝错误!－错误!＝错误!－错误!－错误!.3．（2016·河北石家庄模拟）设数列{a n｝的前n项和为S n，a1＝1，a n＋1＝λS n＋1(n∈N＊，λ≠－1），且a1,2a2，a3＋3为等差数列{b n}的前三项．(1）求数列｛a n｝,{b n｝的通项公式；（2)求数列｛a n b n}的前n项和．解析:（1)方法一∵a n＋1＝λS n＋1(n∈N＊),∴a n＝λS n－1＋1（n≥2），∴a n＋1－a n＝λa n，即a n＋1＝（λ＋1）a n（n≥2)，λ＋1≠0，又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1,∴数列{a n｝是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a3＝（λ＋1)2,∴4(λ＋1）＝1＋（λ＋1）2＋3,整理得λ2－2λ＋1＝0,解得λ＝1，∴a n＝2n－1，b n＝1＋3(n－1）＝3n－2。

2017高考数学文新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

第3讲复数、算法、推理与证明复数[学生用书P61]自主练透夯实双基 1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i . (2)－b ＋a i ＝i (a ＋b i )．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i .(4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[题组通关]1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B.－2 C ．2D.3A [解析] (1＋2i)(a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，由已知条件，得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.故选A.2．(2016·福建毕业班质量检测)已知复数z ＝3＋i 1－i ，则|z －|＝( )A ．1 B.2 C. 5D.5C [解析] 因为z ＝3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2＋4i 2＝1＋2i ，所以z －＝1－2i ，所以|z－|＝5，故选C.3．(2016·河南六市第一次联考)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2B.11C. 3D. 6C [解析] 由题意得，2－ia ＋i ＝t i ，t ≠0，所以2－i ＝－t ＋ta i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，所以z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝3，故选C.复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题.算法[学生用书P62]高频考点多维探明利用循环结构表示算法要注意的三个问题(1)要准确地选择表示累计的变量；(2)要注意在哪一步结束循环；(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．根据程序框图求解输出结果(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3 B.4C．5 D.6(2)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为________．【解析】(1)第一次循环，得a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环，得a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环，得a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环，得a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＝20＞16，退出循环，输出的n＝4，故选 B.(2)第一次循环：S＝8，n＝2；第二次循环：S＝2，n＝3；第三次循环：S＝4，n＝4，此时结束循环，则输出S的值为4.【答案】(1)B(2)4根据程序框图选择(填充)判断条件(2016·河南六市第一次联考)运行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是()A．k＞3? B.k＞4?C．k＞5? D.k＞6?【解析】依次运行程序框图中的语句：k＝2，S＝2；k＝3，S＝7；k＝4，S＝18；k ＝5，S＝41；k＝6，S＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k＞5？”，故选C.【答案】 C解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，同时注意区分计数变量与循环变量．[题组通关]1．(2016·南昌第一次模拟)执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为()A ．1 B.2 C ．3D.4B [解析] 由x 2－1＝3得，x ＝－2＜1(或x ＝2＞1，舍去)，由log 2x ＝3得x ＝8＞1符合要求，所以可以输入的实数x 有2个．2．(2016·重庆适应性测试(二))执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出的s 的值为( )A.916B.54C.2116D.118D [解析] 依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s ＝1，k ＝2＜5，s ＝1＋12，k ＝3＜5，s ＝1＋12－122，k ＝4＜5，s ＝1＋12－122＋123，k ＝5≥5，此时结束循环，输出的s ＝1＋12－122＋123＝118，选D.3．(2016·贵州适应性考试)执行如图程序框图，若输出的结果为170，则判断框内应补充的条件为( )A．i＞9 B.i≥9C．i＞11 D.i≥11B[解析] 要使输出的结果是170，则i＝7不满足判断框内的条件，i＝9满足判断框内的条件，故判断框内补充的条件为i≥9，选项B正确．推理与证明[学生用书P63]自主练透夯实双基1．归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论2．类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论[题组通关]1．(2016·广州综合测试(一))以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A．2 017×22 015 B.2 017×22 014C．2 016×22 015 D.2 016×22 014B[解析] 当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2×(3＋1)；当第一行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅有一个数为48＝25－2×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝26－2×(6＋1)；…，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2×(2 016＋1)＝2 017×22 014.2．(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．[解析] 根据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．[答案] 43n (n ＋1)3．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________________________________________________．[解析] 将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0.[答案] V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0课时作业[学生用书P 135(独立成册)]1．已知i 为虚数单位，则复数1＋ii ＝( )A ．1＋iB .1－iC ．1＋i2D .1－i2B [解析]1＋i i ＝i （1＋i ）i 2＝1－i. 2．若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z －在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B.(2，－4) C ．(－4，－2)D.(－4，2)D [解析] 由题意得，z ＝2－4i i＝－4－2i ，所以z －＝－4＋2i ，故其在复平面内对应的点的坐标是(－4，2)，选D.3．(2016·兰州诊断考试)若复数z 满足z ＝|8＋6i|6－8i (i 是虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．4 B.45 C ．－4D.－45B [解析] z ＝|8＋6i|6－8i ＝|8＋6i|（6＋8i ）（6－8i ）（6＋8i ）＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，选 B.4．(2016·郑州第二次质量检测)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A ．2 014 B.2 015 C ．2 016D.2 017D [解析] 分析程序框图可知，当i 为偶数时，S ＝2 017，当i 为奇数时，S ＝2 016，而程序在i ＝0时跳出循环，故输出的S ＝2 017，故选 D.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B.正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D.正四面体的内切球的半径是其高的15C [解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，故选C.6．(2016·长春质量检测(二))复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1·z 2＝( )A ．12＋13i B.13＋12i C ．－13iD.13iD [解析] 复数z 1在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称的点表示的复数z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选 D.7．(2016·石家庄第一次模拟)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15A.1360B.1504C.1840D.11 260C [解析] 依题意，结合题图，归纳规律，可知第8行的第一个数、第二个数分别为18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别为19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别为110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110 ＝1840. 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若甲同学每科成绩不低于乙同学，且至少有一科成绩比乙高，则称“甲同学比乙同学成绩好．”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生()A．2 B.3C．4 D.5B[解析] 用A，B，C分别表示成绩为优秀、合格、不合格，显然事件A，B，C中都是最多只有一个元素，因此学生最多只有3个，容易验证，3个同学的语文、数学成绩分别为(A，C)，(B，B)，(C，A)时满足条件．故学生最多有3人．9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是()A．k≤6? B.k≤7?C．k≤8? D.k≤9?B[解析] 第一次执行循环，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环，得到S＝720，k＝7.此时满足条件，故选 B.10．(2016·兰州实战考试)已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m的余数，例如MOD(8，3)＝2.如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为()A．16 B.14C．12 D.10A[解析] 分析题意可知，输入的n的值可以被4整除但不能被3整除，故选A.11．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为()A ．t ≥14B.t ≥18C ．t ≤14D.t ≤18B [解析] 依次运行程序框图中的语句可得，n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x ＝38t ≥3，则8t ≥1，t ≥18，故选 B.12．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006 B.1 007 C ．1 008D.1 009B [解析] 通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.13．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1·z 2∈R ，则a 等于________． [解析] 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.[答案] 414．(2016·湖北七市(州)协作体联考)观察下列等式 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)；可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________． [解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)． [答案] 1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 15．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为________．[解析] 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13，22，31，40，49，58，67，76，所以输出的x 不小于40的概率为58. [答案] 5816．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是________.[解析] 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.[答案] 10。

2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第10章推理与证明、复数 10.2

(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.
3.利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，
又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方
法都可以应用.
第三十七页，编辑于星期六：三点八分。
失误与防范
第十章推理与证明、复数
§10.2 数学归纳法
第一页，编辑于星期六：三点八分。
内容索引
基础知识自主学习题型分类深度剖析答题模板系列思想方法感悟提高练出高分
第二页，编辑于星期六：三点八分。
基础知识自主学习
第三页，编辑于星期六：三点八分。
1
知识梳理
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1； 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
第三十八页，编辑于星期六：三点八返分回。
练出高分
第三十九页，编辑于星期六：三点八分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( C)
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，
a4后，猜想an的表达式是( ) B
A.3n－2
B.n2
C.3n－1
D.4n－3
解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16. 可猜an＝n2，故应选B.
第四十二页，编辑于星期六解：三析点八答分案。
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D)

(浙江通用)2017版高考数学一轮复习第十章推理与证明、复数 10.3 复数

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第十章推理与证明、复数 10.3 复数1.复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部.(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( √ )1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i答案 C解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i 答案 C解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i 答案 C解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i答案 A解析 ∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.答案 2＋i 解析 ∵z ＝4＋3i1＋2i＝＋－＋－＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.题型一复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A.－3B.－1C.1D.3(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A.1 B.i C.25D.0(3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 (1)D (2)A (3)A解析 (1)z ＝a －103－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件. 引申探究1.对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值. 解若|z |＝10，则(a －3)2＋1＝10， ∴|a －3|＝3，∴a ＝0或a ＝6.2.在本例(2)中，若z 1z 2为实数，则a ＝________. 答案－4解析若z 1z 2为实数，则4＋a5＝0.∴a ＝－4.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.(2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件. 题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·湖北)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A.i B.－i C.1D.－1(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案 (1)A (2)A 解析 (1)方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i＝－i ，其共轭复数为i.故选A.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2015·湖南)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i ＝________.答案 (1)D (2)－1＋i 解析 (1)由－2z＝1＋i ，知z ＝－21＋i＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D. (2)原式＝[＋22]6＋2＋33＋232＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例 4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________. 答案 (1)－2 (2)21解析 (1)(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2. (2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2 ＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z等于( )A.－2B.－2iC.2D.2i(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A.－4 B.－45 C.4 D.45答案 (1)C (2)D解析 (1)∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i＝－i 2＋ii＝1－i ，∴zi ＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________.答案 (1)A (2)1 (3)1＋i解析 (1)∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. (3)原式＝＋231＋23i＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i.题型三复数的几何意义例6 (1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B. (2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心答案 D解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D答案 B解析表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. (2)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 解设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6).24.解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来； (2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题. 规范解答解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[11分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.[方法与技巧]1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.[失误与防范]1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4答案 A解析∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，∴a＝3，b＝－2，故选A.2.设z＝11＋i＋i，则|z|等于( )A.12B.22C.32D.2答案 B解析∵z＝11＋i＋i＝1－i＋－＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，∴|z|＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B.3.(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 B解析因为a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.4.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A.EB.FC.GD.H 答案 D解析由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .5.(2014·江西)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i答案 D解析方法一设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.6.(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________. 答案5解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5.7.若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3 解析3＋b i1－i＝＋b＋2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 8.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________. 答案 m <23 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 9.计算：(1)－1＋＋i 3； (2)＋2＋－2＋i ； (3)1－i ＋2＋1＋i －2； (4)1－3i 3＋2. 解 (1)－1＋＋i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)＋2＋－2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝－5＝15＋25i. (3)1－i ＋2＋1＋i －2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋2＝3＋－3＋2 ＝－i3＋i ＝－3－4＝－14－34i. 10.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值. 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组专项能力提升(时间：15分钟)11.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C 解析由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 12.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素.13.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________.答案 3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 14.设a 是实数，若复数z ＝a 1－i ＋1－i 2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为__________________________________________________________________. 答案 0解析 ∵z ＝a 1＋2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ， ∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0.15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案－2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根.由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ ＋2＋－2＝－b ，＋2－2＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.。

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1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一复数的有关概念例1、(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i (2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【答案】（1）D （2）D 【提分秘籍】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。

【举一反三】设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B 。

【答案】B热点题型二复数的几何意义例2、(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝2－i2i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25B .41C ．5 D. 5【答案】（1）B （2）C 【提分秘籍】(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →。

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离。

2017年高考数学真题-北京卷(文)答案

数学试题答案一、选择题1．【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A＝{x|x＜﹣2或x＞2}＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U＝R，A＝[﹣2，2]，∴∁U故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．【分析】复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝1，S＝2，当k＝1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝2，S＝，当k＝2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝3，S＝，当k＝3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z＝x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．【分析】由已知得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，结合“增”﹣“减”＝“增”可得答案．【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积＝＝10．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．【分析】根据对数的性质：T＝，可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T＝，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题9．【分析】推导出α+β＝π+2kπ，k∈Z，从而sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα，由此能求出结果．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα＝，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα＝．故答案为：．【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．10．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：双曲线x2﹣＝1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．11．【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x＝，开口向上，所以函数的最小值为：f（）＝＝．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12．【分析】设P（cosα，sinα）．可得＝（2，0），＝（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.＝（2，0），＝（cosα+2，sinα）．则•＝2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα＝1时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y ＜x ＜8，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则，即z ＜y ＜x ＜2z即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．三、解答题15．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n }的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n }，a 1＝1，a 2+a 4＝10，可得：1+d +1+3d ＝10，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式：a n ＝1+（n ﹣1）×2＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a 5＝a 1+4d ＝9，等比数列{b n }满足b 1＝1，b 2b 4＝9．可得b 3＝3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q 2＝3，{b 2n ﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1＝＝．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．16．【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+），根据周期的定义即可求出，（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题17．【分析】（Ⅰ）根据频率＝组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．18．【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD 的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）PA ∥平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，可得PA ∥DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE ＝PA ＝1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC ＝S △ABC ＝××2×2＝1，则三棱锥E ﹣BCD 的体积为DE •S △BDC ＝×1×1＝．【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a ＝2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c ，则b 2＝a 2﹣c 2＝1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）由题意分别求得DE 和BN 的斜率及方程，联立即可求得E 点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得＝，因此可得△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：（a ＞b ＞0），则a ＝2，e ＝＝，则c ＝，b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：设D （x 0，0），（﹣2＜x 0＜2），M （x 0，y 0），N （x 0，﹣y 0），y 0＞0，则直线AM 的斜率k AM ＝＝，直线DE 的斜率k DE ＝﹣，直线DE 的方程：y ＝﹣（x ﹣x 0），直线BN 的斜率k BN ＝，直线BN 的方程y ＝（x ﹣2），，解得：，过E 做EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则|EH |＝，则＝，∴：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．20．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）＝f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）＝cos﹣＝﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．。

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输出的点恰有 5 次落在直线 y＝x 上，则判断框中可填写的
[正解] 依次执行程序框图中的语句：x＝1，y＝1，i＝ 2，输出(1,1)(1 次)；x＝0，y＝1，i＝3，输出(0,1)；x＝－1， y＝0，i＝4，输出(－1,0)；x＝0，y＝0，i＝5，输出(0,0)(2 次)；x＝1，y＝1，i＝6，输出(1,1)(3 次)；x＝0，y＝1，i＝7，输出(0,1)；x＝－1，y＝0，i＝8，输出(－1,0)；x＝0，y＝0， i＝9，输出(0,0)(4 次)；x＝1，y＝1，i＝10，输出(1,1)(5 次)，此时跳出循环，故判断框中可填写的条件是“i>9？”，故选 D.
[正解] 根据式子中的规律可知，等式右侧为 1 1 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝120n(n＋1)· (n ＋ 5×4×3×2×1 2)(n＋3)(n＋4)．
[错解]
根据式子的给出规律可知，
1 等式右侧为96n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)． [错因分析] [防范措施] 右侧的出现规律归纳不准确．熟练掌握归纳推理的解题思路：观察——
(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法． (3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；
①类比推理是用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，类比的结论不一定正确． ②归纳推理是由部分推知整体的一种合情推理，和类比推理一样，“合乎情理”是其主要特征，即我们作出的归纳首先要适合“部分”． (2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理的一般模式是“三段论”，包括： ①大前提； ②小前提； ③结论．
解析
100 进行第一次循环时， S＝＝20， i＝2， S＝20>1； 5
20 进行第二次循环时，S＝ 5 ＝4，i＝3，S＝4>1；进行第三次 4 循环时，S＝5＝0.8，i＝4，S＝0.8<1，此时北七市联考]观察下列等式例3 1 1＋2＋3＋„＋n＝ n(n＋1)； 2 1 1 1＋3＋6＋„＋2n(n＋1)＝6n(n＋1)(n＋2)； 1 1 1＋4＋10＋„＋6n(n＋1)(n＋2)＝24n(n＋1)(n＋2)· (n ＋ 3)； 1 可以推测，1＋5＋15＋„＋ n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝ 24 1 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 120 ________________________________.
解析
由题知 13＝12；
2 × 3 2 13＋23＝； 2 3 × 4 2 13＋23＋33＝； 2
1 ＋2 ＋3 ＋4 „
3
3
3
3
4×52 ＝； 2
n n ＋ 1 2 ∴13＋23＋33＋43＋„＋n3＝ . 2
5 解决程序框图问题时，一定要仔细分析程序框图的实际意义是什么，也就是这个程序框图要解决什么问题，从什么时候开始、中间按照什么规律进行、在什么条件下结束．这是分析程序框图的一个基本思路．
循环结构判断不准致误例2 条件是( A．i>6 C.i>8 ) B．i>7 D．i>9 [2016· 山西质检]运行如图所示的程序框图，若
推广——猜测，把握所给式子的结构特征及出现规律.
补救训练 3
观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋
33＝62,13＋23＋33＋43＝102，„，根据上述规律，第 n 个等
n n ＋ 1 2 13＋23＋33＋43＋„＋n3＝ 2 式为______________________________________ ．
第三编考前冲刺攻略
二轮复习之算法、推理与证明
1 推理方法 (1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
2 证明方法 (1)直接证明 ①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法． ②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．
[错解] C，条件判断不准，循环次数减少． [错因分析] 对循环结束的条件判断不准确． [ 防范措施 ] 条件结构的程序框图是对判断条件的分类，是逐级进行的，其中不能有遗漏和重复，在解题时要对判断条件仔细辨别，看清条件的函数的对应关系.
补救训练 2 [2016· 海口调研]执行如图的程序框图，则 4 输出的 i＝________.