河南省南阳市高一数学下学期期中质量评估试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。
2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．把5π化成角度制是( ) A ．36︒B ．30︒C ．24︒D ．12︒〖解 析〗根据180π=︒，可得11803655π=︒⨯=︒． 〖答 案〗A 2．55sin()(6π-= )A ．12-B ．12C ． D〖解 析〗因为55551sin()sin(10)sin sin 66662πππππ-=--===．〖答 案〗B3．(AB AD BC -+= ) A ．CDB ．DCC ．DBD ．BD〖解 析〗AB AD BC DB BC DC -+=+=． 〖答 案〗B4．已知向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则sin a <，(b >= )A ．B ．CD 〖解 析〗根据题意，向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则||11a =+=||94b =+，则321a b ⋅=-=，则有cos a <，1||||26a b b a b ⋅>===，则sin a <，1126b >=-=． 〖答 案〗C5．如图，圆1O 内切于圆心角为3π，半径为3的扇形OAB ，则图中阴影部分面积为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 〖解 析〗设圆1O 的半径为r ，圆1O 与OA 切于E ，与弧AB 切于F ，如图：依题意可得16AOO π∠=，1122OO O E r ==，根据对称性可知，O ，1O ，F 三点共线，所以23r r +=，所以1r =， 所以图中阴影部分面积为22131232πππ⨯⨯-⨯=．〖答 案〗D6．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗在ABC ∆中，“sin sin A B >”，由正弦定理可得a b >，A B ⇔>， 又A ，(0,)B π∈，cos cos A B ∴<．∴在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的充要条件．〖答 案〗C7．已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-，若AP xAB y AC =+，则2(x y +=) A ．1B ．2C ．3D ．4〖解 析〗由点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-， 则22()2AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， 又AP xAB y AC =+，则1x =-，2y =，则21223x y +=-+⨯=． 〖答 案〗C8．函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-， ()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ． 〖答 案〗A9．将函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数〖解 析〗式是( ) A ．4cos(4)5y x π=- B ．4sin(4)5y x π=+C ．44cos(4)5y x π=-D ．44sin(4)5y x π=+〖解 析〗由题意函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平移2π个单位长度， 得到4cos(2)cos(2)55y x x πππ=-+=-，再把横坐标缩短为原来的一半， 得到cos(4)5y x π=-，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到4cos(4)5y x π=-， 考察四个选项知，A 是正确的． 〖答 案〗A10．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，02)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )A ．3()4sin(2)4f x x π=+B ．13()4sin()24f x x π=+C ．15()4sin()24f x x π=+D ．5()4sin(2)4f x x π=+〖解 析〗由函数()f x 图象可得4A =， 又函数的周期72()422T ππππω=--==，可得12ω=， 可得1()4sin()2f x x ϕ=+，又函数图象经过点3(2π，0)，即：134sin()022πϕ⨯+=， ∴解得：13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，可得：324k πϕπ=-，k Z ∈， 02ϕπ<<，∴取1k =，得54πϕ=． 〖答 案〗C11．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( ) A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心〖解 析〗设OA a =，OB b =，OC c =，则BC c b =-，CA a c =-，AB b a =-． 由题可知，222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，2222||||||||a c b b a c ∴+-=+-， 化简可得c b a c ⋅=⋅，即()0b a c -⋅=，∴0OC AB ⋅=，∴AB OC ⊥，即OC AB ⊥．同理可得OB AC ⊥，OA BC ⊥． O ∴是ABC ∆的垂心．〖答 案〗C12．已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[0x ∈，1]时，()sin2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[2021-，2022]上零点的个数为( ) A ．2021B ．2020C ．4043 D．4044〖解 析〗当[1x ∈-，0]时，()()sin()2f x f x x π=-=-，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象如图：由图可知，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象有2个交点， 又因为()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数， 因为2022(2021)4043220221--==⨯+，所以函数()y f x =的图象与函数||x y e -=的图象在[2021-，2022]上的交点个数为4043． 〖答 案〗C二、填空题（本大题共4小题、每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，则实数λ= ． 〖解 析〗向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，222()()5(1)0a b a b a b λ∴+⋅-=-=-+=， 则实数2λ=±． 〖答 案〗2±14．函数(1tan )y lg x π=++ ．〖解析〗对于函数(1tan )y lg x π=++21tan 0140x x π+>⎧⎨-⎩， 即2tan 114x x π>-⎧⎪⎨⎪⎩，即,421122k x k k Z x πππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，求得1122x-，故该函数的定义域为1[2-，1]2． 〖答 案〗1[2-，1]215．如图，O 为ABC∆的外心，||2,||4AB BC ==，则()BA BC BO +⋅= ．〖解 析〗22221111()||||24102222BA BC BO BA BO BC BO BA BC +⋅=⋅+⋅=+=⨯+⨯=． 〖答 案〗1016．下列6个函数：①|sin |y x =，②sin ||y x =，③|cos |y x =，④cos ||y x =，⑤|tan |y x =，⑥tan ||y x =，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 ．〖解 析〗①|sin |y x =是偶函数，且周期为1221ππ⨯=，故满足条件；②sin ||y x =是偶函数，但它不是周期函数，故不满足条件； ③|cos |y x =是偶函数，最小正周期是π，故满足条件； ④cos ||y x =不是周期函数，故不满足条件； ⑤|tan |y x =是偶函数，周期为π，故满足条件； ⑥函数tan ||y x =是偶函数，没有周期，故不满足条件． 〖答 案〗①③⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α= （1）求m 的值；（2）求sin()cos()tan(2022)23sin(2023)sin()2παπαπαππαα-++--++的值．解：（1）因为角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α==，所以解得1m =；（2）由（1）可得11tan 22α==--， 所以1sin()cos()tan(2022)1cos (cos )(tan )cos sin 1tan 12231sin cos sin cos tan 13sin(2023)sin()122παπαπαααααααπαααααπαα-++--+--++=====-----++--． 18．（12分）已知(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ． （1）若AB CD =，求D 点的坐标；（2）设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值． 解：（1）(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ，设(,)D x y ，则由AB CD =，可得(1，5)(4x -=-，1)y -，41x ∴-=，15y -=-，求得5x =，4y =-，可得(5,4)D -．（2）向量(1,5)a AB ==-，(2,3)b BC ==，故a 、b 不共线， 若ka b -与3a b +平行，则113k -=，∴实数13k =-． 19．（12分）已知O 是坐标原点，(1,3)OA =-，(4,0)OB =，点P 满足0PA PB PO ++=． （1）求||OP ；（2）设t R ∈，求||OA tOP +的最小值． 解：（1）0PA PB PO ++=，∴0OA OP OB OP OP -+--=，故3(3,3)OP OA OB =+=，故(1,1)OP =，故||2OP =（2）|||(1OA tOP t +=-，3)|t +=1022=； 当且仅当1t =-时，等号成立；故||OA tOP +的最小值为20．（12分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m ，直径153m ．匀速旋转一圈需时30min ．以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图1．设座舱A 为起始位置如图2，经过xmin 后，OA 逆时针旋转到OP ，此时点P 距离地面的高度()()h x m 满足()sin()h x M x K ωϕ=++，其中0M >，0ω>，[ϕπ∈-，]π． （1）根据条件求出()()h x m 关于()x min 的〖解 析〗式；（2）在摩天轮转动的第一圈内，有多长时间P 点距离地面不低于45.25m ？ 解：（1）由题意得160160153M K M K +=⎧⎨-+=-⎩，可得76.583.5M K =⎧⎨=⎩，又23015ππω==， 由于(0,7)A 在函数图象上，可得776.5sin 83.5ϕ=+，可得sin 1ϕ=-，又[ϕπ∈-，]π，所以2πϕ=-，所以()76.5sin()83.5152h x x ππ=-+，0x ．（2）由76.5sin()83.545.25152x ππ-+，可得1sin()1522x ππ--，又030x 时，可得321522x ππππ--，所以761526x ππππ--， 解得525x ，故在摩天轮转动的第一圈内，有20分钟P 点距离地面不低于45.25m ． 21．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c b c ac b a b++=+-． （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆外接圆半径1R =，求ABC ∆面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状． 解：（1）由于c b c ac b a b++=+-，整理可得222a b c ab +-=， 可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又(0,)C π∈，可得3C π=．（2）由题意3C π=，ABC ∆外接圆半径1R =，根据正弦定理2sin cR C=，可得2sin c R C = 由余弦定理，基本不等式可得2232a b ab ab ab ab =+--=，当且仅当a b =时等号成立，可得11sin 3222ABC S ab C ∆=⨯⨯=，可得ABC ∆，此时三角形为等边三角形． 22．（12分）已知向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，函数()f x m n =⋅，当3[,]44x ππ∈时，函数()f x 的值域为[1]-．（1）求实数a ，b 的值；（2）设函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，求实数λ的取值范围；（3）若对x R ∀∈，都有2()(8)()40f x k f x k +--恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）由向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，则函数()2sin(2)26f x m n a x a b π=⋅=+--，由3[,]44x ππ∈，则252[,]633x πππ+∈，又0a >，则函数()f x 的值域为[4a b --2]a b --，又函数()f x 的值域为[1]-，即4321a b a b --=-⎧⎪--=，则1a =，1b =-；（2）由（1）得()2sin(2)16g x x π=+-，又[0,]2x π∈，易得()g x 在[0，]6π为增函数，在[,]62ππ为减函数，又(0)0g =，()16g π=，()22g π=-，又函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，则实数λ的取值范围为[0，1)； （3）设()t f x =，则[3t ∈-，1]，则原不等式可转化为对[3t ∀∈-，1]，都有2(8)40t k t k +--恒成立， 设2()(8)4h t t k t k =+--，([3,1])t ∈-，则(3)0(1)0h h -⎧⎨⎩，即95k ，即实数k 的取值范围为9[,)5+∞．。
2019-2020学年河南省南阳市高一下学期期中质量评估数学试题(解析版)
秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ．
10．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 和 进行统计分析区时，得到如下数据：由表中数据求得 关于 的回归方程为 ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用已知条件求出回归直线方程，然后结合点与直线的位置关系求解即可.
【详解】
解：对于①，由于总体容量较小，较为合理的抽样方法为简单随机抽样；
对于②，由于高中三个年级的人数存在明显的差异，较为合理的抽样方法为分层抽样；
对于③，由于总体容量较大，较为合理的抽样方法为系统抽样，
故较为合理的抽样方法依次是①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样，
故选：D.
【点睛】
本题考查了抽样方法，重点考查了简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，属基础题.
对于B，事件 发生的概率为 ，则 ，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为 ，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】
本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
C．输入 ， ， 三个数，将其按从大到小的顺序输出
D．输入 ， ， 三个数，求 ， ， 的平均数
【答案】C
【解析】先阅读题意，然后结合算法判断即可.
【详解】
解：由题意可得：该算法要解决的问题是输入 ， ， 三个数，将其按从大到小的顺序输出，
故选：C.
【点睛】
本题考查了算法，重点考查了阅读能力，属基础题.
3．我国宋代数学家秦九韶完成数学巨著《数书九章》，其中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1533石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为（）
河南省南阳市2019-2020学年高一下期中数学测试卷-附答案(精校版)
2019-2020学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．304．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．07 B．04 C．02 D．016．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．3589．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜910．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，412．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为．14．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款元．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．2019-2020学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取【考点】分层抽样方法．【分析】要求分析三种抽样的共同点，这三种抽样只有简单随机抽样是从总体中逐个抽取，只有系统抽样是事先按照一定规则分成几部分，只有分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．故选C．2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】分层抽样方法．【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取×50=15．故选：B．4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由已知得A与B能同时，B与C不能同时发生，但能同时不发生，由此利用对立事件、互斥事件的定义能求出结果．【解答】解：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，则事件A包含的基本事件有：1，3，5，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，则事件B包含的基本事件有：1，2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件C包含的基本人：4，5，6，∴A与B能同时发生，故A与B不是互斥事件，故A和B错误；B与C不能同时发生，但能同时不发生，故B与C是互斥而非对立事件，故C正确，D错误．故选：C．5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）（）A．07 B．04 C．02 D．01【考点】收集数据的方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04则第6个个体的编号为04．故选：B．6．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数，由此能求出2张卡片上的数字之积为奇数的概率．【解答】解：甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，基本事件总数n==8，2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数m==2，∴2张卡片上的数字之积为奇数的概率为p==．故选：C．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数、中位数与众数的定义，分别求出即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：该组数据的平均数为a=×（9+9+12+15+16+17+17+17+18+20）=15，中位数为b==16.5，众数为c=17，所以a＜b＜c．故选：D．8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．358【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行求解．【解答】解：样本间隔为360÷30=12，若在抽出的样本中有一个编号为105，则105÷12=8+9，则第一个编号为9，则在抽出的样本中最大的编号为9+12×29=357，故选：C9．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．10．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，4【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=12，b=16，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=16﹣12=4，i=2满足a＞b，a=12﹣4=8，i=3满足a＞b，a=8﹣4=4，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为4．故选：B．12．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为5050．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，得出该程序的作用是累加并输出S的值，由此求出结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，知该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+…+100的值．且S=1+2+3+…+100==5050．故答案为：505014．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款37770元．【考点】频率分布直方图．【分析】根据统计图计算出高一、高二、高三的学生数，再求出捐款数．【解答】解：根据统计图，得；高一人数为3000×32%=960，捐款数是960×15=14400元；高二人数为3000×33%=990，捐款数是990×13=12870元；高三人数为3000×35%=1050，捐款数是1050×10=10500元；所以该校学生共捐款为14400+12870+10500=37770元．故答案为：37770．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．【考点】收集数据的方法．【分析】由题意得出有记号的鱼所占的比例数，再设水库内鱼的尾数是x，由比例数相等列出方程，即可求出x的值．【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是x，则有=，解得x=．故答案为：．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据平均数以及方差的定义代入计算即可．【解答】解：∵x1+x2，…+x5=25，x+x，…+x=5×33，∴[++…+]=[x+x，…+x﹣10（x1+x2，…+x5）+5×25]=（5×33﹣10×25+5×25）=8，即数据x1，x2，…，x5的方差为8，故答案为：8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．【考点】程序框图．【分析】（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序和判断框的功能，可得该算法程序的功能是计算并输出分段函数的函数值．（2）对照流程图写成语句即可．【解答】解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的值．故该算法框图所表示的函数为：y=．（2）程序语句如下：INPUT xIf x＜﹣2 Theny=1﹣2*xElseIf x＜=2 Theny=5Elsey=2*x+1End IfEnd IfPRINT yEND18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）．估计中位数为：70+×10=（分）．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，利用列举法能求出这两只球都是白球的概率．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，利用列举法能求出这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【解答】解：（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，取2个球的所有可能情况有：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15种不同的结果．设取出的两球都是白球为事件A，则事件A包含其中的6种结果，所以P（A）==．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，由（1）可知事件B包含其中的8种结果，所以P（B）=．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）=12，=8，40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，64+100+144+196+256﹣5×144=40，∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；（3）由上一问可知0.7x﹣0.4≤10，解得x≤14.85．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：设事件A为“方程为有实数根”，事件A发生时a，b满足△=4a2﹣4b2≥0，就|a|≥|b|，（1）基本事件共有12个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a，第二个数表示b的取值．事件A包含11个基本事件，故事件A发生的概率P（A）=．（2）实验的全部结果构成的区域为{（a，b）|}，其面积为6构成事件A的区域为{（a，b）|}，其面积为4故事件A发生的概率P（A）=．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【考点】古典概型及其概率计算公式；程序框图．【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：_._ _._。
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·新乡月考) 已知等差数列的前三项依次为 为（ ），则此数列的第 项A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·佛山月考) 如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.4. （2 分） (2020 高一下·台州期末) 在，则（）中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，第 1 页 共 16 页A. B. C.2 D.5. （2 分） (2020 高一下·吉林期中) 在等比数列 的值为（ ）中， ， 是方程的根，则A.B.C.D.26. （2 分） (2020 高一下·金华期中) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若A.当（ 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）时，是直角三角形B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是钝角三角形7. （2 分） 等比数列{an}的各项均为正数，且 A . 12 B . 10 C.8，则（）第 2 页 共 16 页D . 148. （2 分） (2016 高二上·洛阳期中) 设 x，y 满足约束条件 b＞0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为（ ），若目标函数 z=abx+y（a＞0，A.2B.4C.6D.89. （2 分） 设锐角 为（ ）的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，且 a=1，B=2A,则 b 的取值范围A.B.C. D.10. （2 分） 化简 A.5的结果为（）B.C.－ D . －5二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2017 高二下·惠来期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=2，c=2 ，第 3 页 共 16 页且 C= ，则△ABC 的面积为________．12. （1 分） (2020 高三上·石家庄月考) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 Sn＋an＝1，记 bm 为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前 99 项之和为________．13. （1 分） (2018·长春模拟) 设实数 满足约束条件14. （1 分） (2019 高三上·新洲月考) 已知中，角，，，则________.三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)，则的最大值为________.所对边分别为，15. （1 分） (2018 高二上·赣榆期中) 函数的最小值为________．16. （1 分） (2019 高一上·哈尔滨月考) 设函数对的一切实数都有，则=________17. （1 分） (2019 高一上·台州期中) 已知函数________；若在上是单调函数，则 的取值范围是________．，若为偶函数，则四、 解答题 (共 5 题；共 40 分)18. （10 分） (2019 高一下·杭锦后旗期中) 在中的内角 , , 所对的边分别为 ， ，，且.（1） 求角 的大小；（2） 若，且，求的值.19. （10 分） (2017 高二上·阳朔月考) 解下列不等式并将结果用集合的形式表示。
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题
2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。
河南省南阳市高一数学下学期期中质量评估试题(扫描版)
2016春期期中高一数学试题参考答案 一． 选择题1—12 CABDB CDACD BC 注意：评卷时第10题都给5分。
二．填空题13. 5050 14. 37770 15. nm M 16. 8 三． 解答题 17.(1)2,22,2,12521>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+-=x x x x x y(2) 输入xIf x<-2 Theny=1-2xElseIf x ≤2 Theny=5Elsey=2x+1End IfEnd If输出y18.（1）由频率分布直方图可知：1.002.003.004.02=+++a ，所以005.0=a（2）根据频率分布直方图，估计平均数为7305.0952.0853.0754.06505.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（分）估计中位数为：3215103.005.070=⨯+（分） 19.(1)用a ，b ，c ，d 表示4个白球，用E,F 表示2个黑球，取2个球的所有可能情况有：ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF 共15种不同的结果. 设取出的两球都是白球为事件A ，则事件A 包含其中的6种结果所以P （A ）52156== （2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B ，由（1）可知事件B 包含其中的8种结果所以P （B ）=158 20.解：（1）设所求回归方程为a x b y ˆˆˆ+=，则由上表可得12=x ，8=y ρ，107ˆ=b ， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ． （2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y ，解得，7104≤x 所以机器的运转速度应控制在7104转/秒内．21.设事件A 为“方程为有实数根” 事件A 发生时b a ，满足△=||||04422b a b a ≥≥-，即 (1) 基本事件共有12个：（2-，0），（2-，1），（2-，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a , 第二个数表示b 的取值.事件A 包含11个基本事件，故事件A 发生的概率P （A ）=1211 (2) 实验的全部结果构成的区域为}02,03|),{≤≤-≤≤-b a b a （，其面积为6构成事件A 的区域为|}|||02,03|),{b a b a b a ≥≤≤-≤≤-，且（，其面积为4 故事件A 发生的概率P （A ）3264== 22.解:(Ⅰ)变量x 是在24,,3,2,1Λ这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能.当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1,故211=P ; 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故312=P ; 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故613=P . 所以输出y 的值为1的概率为21,输出y 的值为2的概率为31,输出y 的值为3的概率为61. (Ⅱ)当2100n =时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲21001027 2100376 2100697 乙 21001051 2100696 2100353。
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一个盛满水的三棱锥容器，如图所示，不久发现三个侧棱上各有一个小洞D，E，F。
且知，若仍用该容器盛水，最多盛水（可以任意情形放置）为原三棱锥体积的（）A .B .C .D .2. （2分）半径为15 cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是（）A . 14 cmB . 12 cmC . 10 cmD . 8 cm3. （2分）对于直线m、 n 和平面 a、b、γ，有如下四个命题：（1）若,则,（2）若,,则,（3）若，，则，（4）若,则，其中正确的命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A . 若，则B . 若,则C . 若,则D . 若,则5. （2分）一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）A .B .C .D .6. （2分）某球与一个的二面角的两个面相切于A、B两点，且A、B两点间的球面距离为，则此球的表面积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·南昌期中) 圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（-3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A .B .C .D .8. （2分）若a、b表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·吉安期中) 已知直线l：与直线平行，则直线l在x轴上的截距是A . 1B .C .D .10. （2分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm311. （2分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）A . 14斛B . 22斛C . 36斛D . 66斛12. （2分） (2019高二上·长治期中) 若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（）A .B . 或C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=________．14. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=________．15. （1分） (2017高二上·黑龙江月考) 圆与圆相外切，则的值为________.16. （1分）一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 已知直线经过直线与直线的交点（1）若直线平行于直线，求直线的方程；（2）若直线垂直于直线，求直线的方程.18. （10分） (2017高二上·武清期中) 已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．（1）求证△ABC为等腰直角三角形；（2）若直线3x﹣y=0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．19. （10分） (2017高二上·景县月考) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．20. （10分） (2017高一上·葫芦岛期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求点M到平面PBC的距离．21. （10分）如图，正三棱锥P﹣ABC，已知AB=2，PA=3（1）求此三棱锥体积（2）若M是侧面PBC上一点，试在面PBC上过点M画一条与棱PA垂直的线段，并说明理由．22. （5分） (2017·安徽模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题一、单选题1．14πsin 3=（）A B ．12-C ．12D 【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4π)sin sin(πsin 33333=+==-==故选：D2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且30A =︒，3,4a b ==，则满足条件的三角形有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】根据sin b A 与,a b 的大小判断可得.【详解】因为30A =︒，3,4a b ==，1sin 422b A =⨯=，所以sin b A a b <<，所以满足条件的三角形有2个.故选：C3．若α为第三象限角且()3sin π5α-=-，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为()3sin πsin 5αα-==-，则π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故选：B.4．下列说法正确的是（）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量,a b 满足a b > 且,a b 同向，则a b>C ．若P A B ，，三点满足3OP OA OB =+，则P A B ，，三点共线D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3【正确答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确；因为两个向量不能比较大小，所以B 错误；由3OP OA OB =+ ，可得1341+=≠，根据向量的共线定理可知，P A B ，，三点不共线，所以C 错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60 ，所以分针转过的角的弧度数为π3-，所以D 错误，故选:A.5．将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能值为（）A ．712π-B ．4π-C ．4πD ．512π【正确答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后的函数为cos 3(cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为cos(3)4y x ϕπ=++的图像关于原点对称，所以π42k ππϕ+=+，即π4k πϕ=+，当0k =时，4πϕ=.故选：C6．已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则7π24f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．23B 3C ．33-D ．3【正确答案】C【分析】由图象可求得π2T =，2ω=.然后根据3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值即可推出π4ϕ=，根据()01f =，求出1A =，即可得出()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.然后将7π24x =代入，即可得出答案.【详解】由图象可知，3πππ8842T -==，所以π2T =.由ππ2T ω==可得，2ω=，所以()()tan 2f x A x ϕ=+.又3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3ππ,4k k ϕ+=∈Z ，所以3ππ,4k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()01f =，所以πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1A =，所以()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以7π7ππ5π3tan 2tan 2424463f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.7．在ABC 中，1,90AC BC C ==∠=︒．P 为AB 边上的动点，则PB PC ⋅的取值范围是（）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，得到231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y轴，建立直角坐标系，则()()0,1,1,0A B ，直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，[]0,1t ∈，则()1,1PB t t =-- ，(),1PC t t =--，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ ，当0=t 时，()max1PB PC ⋅= ，当3t 4=时，()min18PB PC⋅=-，故其取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（）A ．()() cos cos cos sin CB >B ．()() cos sin cos cos A B >C ．()()cos sin cos cos C B >D ．()()cos sin cos cos A A >【正确答案】A 【分析】利用2B C π+>，即022C B ππ<-<<，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判断D.【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2B C π+>，所以022C B ππ<-<<，所以1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以()() cos cos cos sin C B >，故A 正确；同理，1sin cos 0A B >>>，所以cos(sin )cos(cos )A B <，故B 错误；同上，1sin cos 0C B >>>，所以()()cos sin cos cos C B <，故C 错误；又4A π=时，cos(sin )cos(cos )44ππ=，故D 错误.故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（）A ．若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C ．若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【正确答案】BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +，D 错.故选：BC.10．已知函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--，则下面结论正确的是（）A ．()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z B ．()f x 的最小正周期为2πC ．() fx ，最小值为1-D ．()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减【正确答案】ABC【分析】化简函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z 时，即当()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≥，即sin cos x x ≥，此时，()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=；当()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z 时，即当()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≤，即sin cos x x ≤，此时，()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=.所以，()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z .作出函数()f x的图象如下图中实线所示：对于A 选项，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3π4x =-、π4x =、5π4x =对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x kx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，A 对；对于B 选项，对任意的x ∈R ，()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，B 对；对于C 选项，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()()min πcos π1f x f ===-，因为ππsin 442f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π5ππsin sin 4442f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以，()max π4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，()f x 的最大值为2，最小值为1-，C 对；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错.故选：ABC.关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【正确答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出C S ，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定理”可得出::a b c 的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.12．已知函数()() sin (0)f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．() f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，由2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项知π3T ≥，所以2π6T ω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中k ∈Z ，解得123125k k ω+≤≤+()k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当1k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：BCD ．思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线y =()0x ≥上的一个角___________(用弧度制表示).【正确答案】π3（满足π2π,3k k +∈Z 即可，答案不唯一）【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得tan θ=.【详解】设θ的终边落在射线y =()0x ≥上，则θ为第一象限角，取y =()0x ≥上的一个点(A ，根据三角函数的定义可得，tan 1θ==又θ为第一象限角，所以π2π,3k k θ=+∈Z ，取0k =，可得π3θ=.故答案为.π314．在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，M N C ，，三点共线，若DN NB λ=，则λ=_______________.【正确答案】2【分析】由已知可推得，11NB DB λ=+.结合图象及已知，用,AB AD 表示出111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 以及12MC AB AD =+ .然后根据三点共线，得出μ∃∈R ，有MN MC μ=.然后列出方程组，即可求出答案.【详解】取基底{},AB AD ，由图可知DB AB AD =-，因为DN NB λ=，所以()1B D DN N B B N λ=++= ，所以11NB DB λ=+ ，显然1λ≠-.又M 是AB 的中点，所以12MB AB =，所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+ .又12MC MB BC AB AD =+=+ ，M N C ，，三点共线，所以μ∃∈R ，有MN MC μ=，即1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= .因为,AB AD 不共线，所以有1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.【正确答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出a ，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得28A a =+，18A a =-+解得5A =，23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令10x =得2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦.故20.5四、双空题16．H 为ABC 所在平面内一点，且满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点H 为ABC 的_________心.若7AB = ,5AC =uuu r ，π3C =，则AH AC ⋅= ___________【正确答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出AB AC ⋅uu u r uuu r的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得AH AC ⋅的值.【详解】因为222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ，则2222HA CB HB CA +=+ ，即2222HA HB CA CB -=- ，即()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ ，即()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ ，即()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= ，所以，HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，故点H 为ABC 的垂心，因为()222222π22cos3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ 252549CB CB =-+= ，即25240CB CB --=，因为0CB ≥ ，解得8CB =，因此，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=，解得5AB AC ⋅=，因此，()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=.故垂；5.五、解答题17．已知向量a ，b满足2a = ，3b = .(1)若//a b ，求a b ⋅ ;(2)若a 与b的夹角为60︒，求()()2a b a b -⋅+ .【正确答案】(1)6或6-(2)2【分析】（1）分为a ，b方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；（2）根据数量积的定义求出3a b ⋅=，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.【详解】（1）若a ，b方向相同，则236a b a b ⋅=⋅=⨯= ；若a ，b方向相反，则236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- .（2）由已知可得，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= .18．某同学用“五点作图法”画函数()()(sin >02f x A x πωϕωϕ=+<，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数()f x 的解析式；(2)若()()f x m m =∈R 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得ω，带点可得ϕ；（2）令24t x π=+，将问题转化为sin t =[,]44t π5π∈上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知A =又12522882T ωππππ=⋅=-=，故2ω=再根据五点作图法，可得282ϕππ⋅+=，得4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令24t x π=+，则[,]44t π5π∈所以()f x =m t m =在[,]44t π5π∈上有两个根.即sint =[,]44t π5π∈上有两个根.由sin y t =在[,]44t π5π∈的图像和性质可得：12<,所以1m ≤<故实数m 的取值范围为19．已知向量()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ．(1)求a r的取值范围；(2)求a b ⋅的最大值．【正确答案】(1)⎡⎣(2)178【分析】（1）依题意先求出a = ，再结合cos x 的二次式即可求得a r 的取值范围；（2）依题意先求出21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ ，再结合sin x 的二次式即可求得a b ⋅ 的最大值．【详解】（1）因为()1,2cos a x = ，所以a = 又cos 1x ≤，则20cos 1x ≤≤，所以2114cos 5x ≤+≤，所以a ⎡=⎣ ．（2）因为()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ，则222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4x =时，a b ⋅ 取得最大值，且最大值为178．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为3a =，5b =，7c =.（1）求ABC 的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S =.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求ABC 的面积.【正确答案】（1）120︒；（2）4.（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式1sin 2S ac B =，以及22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=，从而证明结论的成立，代入3a =、5b =、7c =即可求出三角形ABC 面积．【详解】（1）∵3a =、5b =、7c =∴角C 最大.由余弦定理得：2222223571cos 22352a b c C ac +-+-==-⨯⨯，又角C 为ABC 内角，∴120C =︒.（2）在ABC 中，1sin 2S ac B =∵22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ====.当3a =、5b =、7c =时，154S =，即ABC .此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),e b c =，()sin ,sin f C B = ，() ,g c a b a =--．(1)若e f，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若e g ⊥ ，2a =，π3A =求ABC 的面积．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到sin sin b B c C =，再根据正弦定理可得到²²b c =，进而即可证明结论；（2）根据题意化简整理可得到bc b c =+，再根据余弦定理即可得到4bc =，进而即可求得ABC 的面积．【详解】（1）因为(),e b c = ，()sin ,sin f C B = ，且e f ，所以sin sin b B c C =，由正弦定理可得22b cb c R R⋅=⋅，所以²²b c =，所以ABC 为等腰三角形．（2）因为(),e b c =，(),g c a b a =-- ，且e g ⊥ ，所以()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=，又2a =，则bc b c =+，因为2a =，π3A =，则由余弦定理可得22π42cos3b c bc =+-，解得4bc =，所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=22．已知函数()()π2cos 20).2f x x ωϕωϕ=++<<<<，请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数()f x 的图像过点(0；②函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当()2,0a ∈-时，是否存在实数a 满足不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过(0可以求ϕ的值，由函数()f x 相邻两个对称轴之间距离可以求ω的值，结合上述两个条件之一，再由函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称可以求ω或ϕ的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭进行求解.【详解】（1）选择①②:因为函数()f x 的图像过点(0，所以()02cos f ϕ=+，解得cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，因为函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得()π2πZ 2k k ω=+∈，因为02ω<<，所以π02k ω==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择①③:若函数()f x 的图像过点(所以()02cos f ϕ=+，解得cos ϕ=02πϕ<<，所以4πϕ=因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω若函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为02πϕ<<所以π04k ϕ==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)当()2,0a ∈-时，3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，令53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ,π24x +∈-，记ππ24x m +=，则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-轴对称，所以m m <₁₂，即ππππ24a a +<+，所以()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即()()21228150,23650a a a a ++<++<，解得：3526a -<<-所以实数a 的范围是.35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题(含答案)
南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.与角终边相同的角是（ ）A. B. C. D.2.已知，，，若，则（ ）A.10B.11C.12D.133.在扇形中，，弦，则扇形的面积是（ ）A.B.C. D.4.在梯形中，，，则（ ）A.25B.15C.10D.55.在与中，已知，，，若，则（ ）A. B.C. D.6.小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）20244'-︒4044'-︒2244'-︒31556'︒67556'︒()1,2A ()4,3B (),6C x AB AC ∥x =AOB 2AOB ∠=2AB =AOB 1sin1()21sin1sin1()2sin1ABCD 90BAD CDA ∠=∠=︒5AD =AD BC ⋅=ABC △111A B C △11AB A B x ==11BC B C ==13C C π∠=∠=111ABC A B C ≌△△30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(x ∈)x ∈+∞)32x ⎧⎫∈+∞⎨⎬⎩⎭G 1F 2F12F F = 1F 2FθA.越小越费力，越大越省力B.始终有C.当时， D.当时，7.若，且，，，则，，的大小是（ ）A. B.C. D.8.已知，其中，.其部分图象如下图，则（ ）A.-1B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列等式恒成立的是（ ）A. B.C. D.10.已知向量，，，则（）θθ122GF F ==23πθ=1F G= 2πθ=1F G= ,,0,2παβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos tan αα=cos ββ=cos sin θθ=αβθαθβ<<αβθ<<βαθ<<βθα<<()()sin f x x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<6f π⎛⎫=⎪⎝⎭12-()sin sin παα+=cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin cos 2παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()tan tan παα+=-()1,2a = 2b = a b +=A.在上的投影数量是B.在上的投影向量是C.与D.11.设函数（其中，，），若在上具有单调性，且）A. B.C. D.当时，12.在中，，，，则（ ）A.的周长是B.C.D.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，满足条件的的集合是_______.14.将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________.15.已知，则_______.16.在中，为边上的任一点，若，，则_______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为.a b 12-b a⎛ ⎝a b ()4a b b+⊥()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>0πϕ-<<()f x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5266f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2A =23ω=2πϕ=-3,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ⎡∈-⎣ABC △2AB =3AC =60BAC ∠=︒ABC △5BC BC BC []0,2x π∈sin cos 0x x +>x 1sin 22y x =3π135sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭19cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC △D BC 1cos 3B =22AB AD BD DC =+⋅sin C =Ox α02πββαπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭x ⎛⎝（1）求的值；（2）若，求P 的坐标.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形中，点M 为中点，点N 在上，.（1）设，，用，表示向量；（2）求证：M ，N ，C 三点共线.19.（本小题满分12分）（1）已知，，求满足，的点D 的坐标；（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.20.（本小题满分12分）在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求C ；（2）若，，求的面积.21.（本小题满分12分）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.（1）求解析式；（2）若函数在上有两个零点，，求的值.2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-OP OQ ⊥ABCD AB BD 3BN BD =AD a = AB b = a b NC()1,0A -()0,2B 5AB AD ⋅=210AD = a b 12a b ⋅=- c a b + b c + ABC △2cos 2c B a b =-5b =c =ABC △()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭x ∈R ()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()f x ()()()g x f x m m =-∈R 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12f x x +22.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为中角A ，B ，C 的对边，G 为的重心，为边上的中线.（1）若，且，，求的长；（2）若，求的最小值.ABC △ABC △AD BC ABC △60CGD ∠=︒1CG =AB GB GC ⊥cos BAC ∠南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题参考答案一、选择题题号12345678答案BDBADCBC二、选择题题号9101112答案BCADACACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）因为点在单位圆上且，所以，得由三角函数定义知，，，故.（2）由题意：，故.18.【解析】（1）（2）因为，370,,244πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 12sin 623y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 02πβ<<221x +=x =sin β=cos β=2sin 5cos 123sin 2cos ββββ+=--sin sin cos 2παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭cos cos sin 2παββ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭P ⎛⎝13NC BC BN a BD=-=-()()11213333a AD AB a ab a b=--=--=+ 12MC MB BC b a =+=+且由（1）知，所以，所以，又C 为公共点，所以M ，N ，C 三点共线.19.【解析】（1）设D 点坐标为，则，，∴，解得或，即点D 的坐标为（2，1）或（-2，3）.（2）由向量与共线，令，，则，而向量，为单位向量，且，于是得，（当且仅当时取“=”）所以的最小值为.20.【解析】（1）（方法一：：）由余弦定理得：，又由题知：，所以，化简得，所以：，因为，故.（方法二：）由正弦定理得：，因为2132NC a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 23NC MC = NC MC ∥(),x y ()1,2AB = ()1,AD x y =+()22125110x y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩c a b +()a c tb =+ R t ∈()1bc ta t b +=++ a b 12a b ⋅=- b c +=== =≥12t =-b c + 222cos 2a c b B ac+-=2cos 2c B a b =-222222a c b c a b ac ⎛⎫+-⋅=- ⎪⎝⎭222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3C π=2sin cos 2sin sin C B A B =-()sin 2sin 2sin cos B B C C B =+-sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠所以：，因为，故.（2）由余弦定理：，整理得，解得或.当时，，最大角B 是钝角，为钝角三角形，舍去；当时，，最大角B 是锐角，为锐角三角形，符合题意.所以.21.【解析】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值.因为在是单调函数，且的图象关于点对称，所以得，所以又因为函数在时取得最大值，所以，，即，.因为，所以，所以：.（2）因为，令，则在内的图象如图所示，1cos 2C =0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3C π=2222cos c a b ab C =+-2560a a -+=2a =3a =2a =222a cb +<ABC △3a =222a cb +>ABC △11sin 5322ABC S ab C ==⨯⨯=△x ∈R ()512f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭512x π=()f x ()f x 5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ,06π⎛⎫⎪⎝⎭541264T πππ=-=T π=22Tπω==()f x 512x π=5262k ππϕπ+=+k Z ∈23k πϕπ=-+k Z ∈2πϕ<3πϕ=-()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23t x π=-2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由题函数在有两个零点，，即与在内有两个交点，，，，即，所以22.【解析】（1）由题可知：，即，所以，从而为等边三角形，则，，因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以在中，由余弦定理得：，所以（2）（方法一：）由，且为中点，则，不妨设，则，，在中，由余弦定理：①，又因为，易得：②由①②解得：，（当且仅当时取“=”）故的最小值为.（方法二：）∵()()g x f x m =-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x sin y t =y m =2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1t 2t 1m ≤<12122233t t x x πππ+=-+-=1256x x π+=()125sin sin sin 3333f x x πππππ⎛⎫⎛⎫+=-=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113326CGD ACD ABC S S S ⎛⎫==⨯==⎪⎝⎭△△△1sin 602CGGD ︒=1GD =GCD △120BDG ∠=︒1BD CD ==G ABC △G AD 3AD =ABD △2222cos AB AD BD AD BD BDG =+-⋅⋅∠2231231cos12013=+-⨯⨯⨯︒=AB =GB GC ⊥D BC BD CD GD ==BD CD GD x ===3AD x =2BC x =ABC △()22222cos x b c bc BAC =+-∠ADB ADC π∠+∠=()()()()2222223302323x x c x x b x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅22224cos 555b c b c BAC bc c b ⎛⎫+⎛⎫∠==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b c =cos BAC ∠4523GB AB AG AB AD=-=-，同理：，由，得，即，即，∴，当且仅当时，取“=”故的最小值为.()21213233AB AB AC AB AC =-⨯+=- 2133GC AC AB =- GB GC ⊥0GB GC ⋅=21213333GB GC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225220999AB AC AB AC =⋅--=22522cos 999bc BAC c b ∠=+222224cos 555b c b c BAC bc c b +⎛⎫∠==+≥= ⎪⎝⎭b c =cos BAC ∠45。
河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（ ）A ．43-B ．34-C ．43± D ．34±2．已知非零向量(4,0)a k =-r ，(6,2)b k =+r ，若//a b r r，则a =r （ ）A．8 B ．C ．6 D 3．17tan6π的值为（ ）AB ．CD ．4．如图，在ABC V 中，E 为边AB 的中点，2BD DC =u u u r u u u r ，则DE =u u u r（ ）A ．1263AB AC -+u u ur u u u rB ．5163AB AC +u u ur u u u rC ．1263AB AC +u u ur u u u rD ．1263AB AC -u u ur u u u r5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD ，选取与碑基C 在同一水平面内的两个测量点A ，B ．现测得30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，156AB =米，在点B 处测得碑顶D 的仰角为30︒，则纪念碑高CD 为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量,a b r r 满足22a b a b ==+=r r r r ，则a r 在b r方向上的投影数量为（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数π()2cos()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则||θ的最小值为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．18．如图，在ABCD Y 中，60DAB ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点F ，则cos AFE ∠=（ ）A ．B ．C ．D ．17-二、多选题9．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b =60A =︒，a 为常数，满足条件的ABC V 唯一确定，则a 的值可能为（ ）A ．2BC 2D ．3210．已知向量(1,3)a =r ，(,2)(0)b x x =->r ，且()a b b +⊥r r r ，则（ ）A ．与b r 同向的单位向量为⎝⎭B ．a r 与b r的夹角为4πC ．||a b +=rr D ．a r 在b r上的投影向量是(1,2)-11．已知函数()|sin |cos f x x x =（注：sin 22sin cos x x x =⋅），则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π2x =三、填空题 12．若扇形的弧长为4π3，圆心角为π6，则扇形的面积为． 13．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()s i ns i n s i n s i n a b c A B C a B+++-=，则C =．14．如图，在面积为3的ABC V 中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则254PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为.四、解答题15．已知向量,a b r r 满足||a r ||2b =r，且|2|a b +=r r(1)求,a b 〈〉r r ；(2)在ABC V 中，若AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，求BC uu u r ．16．已知函数ππ()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π8x =对称．(1)求()f x 的解析式及零点；(2)将()f x 的图象向右平移5π24个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最高点为7π,26M ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)完善下面的表格，并画出()f x 在[0,]π上的大致图象；(3)当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8a =，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-.(1)求ABC V 面积的最大值；(2)若8,AB AC D ⋅=u u u r u u u r为边BC 的中点，求线段AD 的长度．19．如图，记OA a =u u u r r ，OB b =u u ur r ，OC c =u u u r r ，已知||2||2b a ==r r ，,60a b 〈〉=︒r r ．(1)若点D 在线段OA 上，且13OD OA =，求BD BA ⋅u u u r u u u r 的值；(2)若向量c a -r r 与b r 方向相同，且||c =rACB ∠；(3)若()0b c c -⋅=r r r，求||a c -r r 的最大值．。
高一数学期中试卷南阳_高一数学第二学期期中考试试卷
高一数学第二学期期中考试试卷说明：1．试卷总分150分，考试时间120分钟； 2．不允许．．．用计算器。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．把答案填入答题卷的表中）1、若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知53)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（ ） A ．54 B ．54- C ．54± D ．533、．已知为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．24、、设点A ()0,4-、B ()3,0，则与向量B A同向的单位向量的相反向量坐标是（ ）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,54B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54C ．()3,4--D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,535、化简00sin15-得到的结果是 （ ）A B 、- C 、 D +6、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=（ ）A. B ．．53 D ．53-7、已知A （1，0），B ()2,5-，C （8，4），则C B B A与的夹角为（ ）A ．45B ． 90C ． 0D 1358、已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于 （ ）A ．34± B ．43±C ．53±D ．54±9与,54==的夹角为60，则-3等于（ ）A ．109B ．49C ．49D ．10910、在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形11、已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．6112、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案写在答题卷上）13、设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ；14、 在ABC ∆中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ∆的面积是______________；15、已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为 ；16、函数)2,0,0(),sin(πϕωϕω<>>+⋅=A x A y 的部分图象如图所示，则此函数的解析式为 ；高一数学第二学期期中考试答题卷班级__________ 姓名__________ 学号__________ 分数_________13、_____________ 14、_______________15、_____________ 16、_______________三、解答题（本大题共有6小题，共计70分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）已知40,sin 25παα<<=⑴ 求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； ⑵求5tan()4πα-的值18、（本小题满分10分）已知βα、为锐角，且,54cos =α()178cos -=+βα，求βsin 的值。
河南省南阳市高一数学下学期期中试卷（含解析）
1河南省南阳市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）没有信息损失的统计图表是（）分）没有信息损失的统计图表是（） A ． 条形统计图条形统计图 B ． 扇形统计图扇形统计图 C ． 折线统计图折线统计图 D ． 茎叶图茎叶图 2．（5分）将两个数a=2a=2，，b=b=﹣﹣6交换，使a=a=﹣﹣6，b=2b=2，下列语句正确的是（），下列语句正确的是（），下列语句正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）从学号为1号至50号的2014-2015学年高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）名学生的学号可能是（） A ． 1，2，3，4，5 B ． 5，1515，，2525，，3535，，45 C ． 2，4，6，8，10 D ． 4，1313，，2222，，3131，，40 4．（5分）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别是0.20.2、、0.20.2、、0.30.3、、0.30.3，则下列说法正确的是（），则下列说法正确的是（），则下列说法正确的是（） A ． A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 B ． B+C 与D 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 C ． A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件是互斥事件，但不是对立事件 D ． A 与B+C+D 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件5．（5分）现要完成下列3项抽样调查：项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．盒进行食品卫生检查． ②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．的样本． 较为合理的抽样方法是（）较为合理的抽样方法是（） A ． ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B ． ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C ． ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D ． ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样6．（5分）如果一组数x 1，x 2，…，，…，x x n 的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）的平均数和方差分别是（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）如图所示的程序运行结果为（）分）如图所示的程序运行结果为（）A ． 7B ． 6C ． 5D ． 4 8．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1{1，，2，3，4，5，6}6}，若，若，若|a |a |a﹣b|≤1，就称甲﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．B ．C ．D ．9．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，，…，960960960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A ，编号落入区间的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为（）的人数为（） A ． 7 B ． 9 C ． 10 D ． 15 1010．．（5分）袋中共有8个球，其中3个红球、个红球、22个白球、个白球、33个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）个红球的概率是（） A ． B ．C ．D ．1111．．（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）条件是（）A ． i ＜5B ． i ＜6C ． i ＜7D ． i ＜8 1212．．（5分）如图，在0～1随机选择两个数x ，y ，这两个数对应的点把0～1的线段分成了三条线段a ，b ，c ，则这三条线段a ，b ，c 能构成三角形的概率为（）能构成三角形的概率为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 1313．．（5分）如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是．的概率是．1414．．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的m=1734m=1734，，n=816n=816，则输出的，则输出的m 的值为．的值为．1515．．（5分）（理科做）（理科做） 如图，∠AOB=60°，如图，∠AOB=60°，OA=2OA=2OA=2，，OB=5OB=5，在线段，在线段OB 上任取一点C ，则△ACO为钝角三角形的概率为 1616．．（5分）如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为40004000，请根据该图提供的信息，请根据该图提供的信息，请根据该图提供的信息 （图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 14 14 0.28 0.28 合 计 1.00（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图； （2）试估计该年段成绩在，）试估计该年段成绩在，c c ∈，求f （﹣（﹣22）＞）＞00成立时的概率．成立时的概率．河南省南阳市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）没有信息损失的统计图表是（）分）没有信息损失的统计图表是（） A ． 条形统计图条形统计图 B ． 扇形统计图扇形统计图 C ． 折线统计图折线统计图 D ． 茎叶图茎叶图考点：考点： 茎叶图．茎叶图． 专题：专题： 函数的性质及应用．函数的性质及应用． 分析：分析： 茎叶图处理现有的数据，优点1，能保留原始数据，，能保留原始数据，22，便于添加新数据，，便于添加新数据，33比较直观，进而可得没有信息损失的统计图表类型．观，进而可得没有信息损失的统计图表类型． 解答：解答： 解：茎叶图处理现有的数据时有以下优点：解：茎叶图处理现有的数据时有以下优点： 1，能保留原始数据，，能保留原始数据， 2，便于添加新数据，，便于添加新数据， 3，比较直观．，比较直观．而其它统计图表，都会丢失原始数据的某些信息，而其它统计图表，都会丢失原始数据的某些信息， 故没有信息损失的统计图表是茎叶图，故没有信息损失的统计图表是茎叶图， 故选：故选：D D 点评：点评： 本题主要考查茎叶图的识别和判断，正确理解茎叶图的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．键，比较基础． 2．（5分）将两个数a=2a=2，，b=b=﹣﹣6交换，使a=a=﹣﹣6，b=2b=2，下列语句正确的是（），下列语句正确的是（），下列语句正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：考点： 顺序结构．顺序结构． 专题：专题： 阅读型．阅读型．分析：分析： 要实现两个变量a ，b 值的交换，需要借助中间量c ，先把a 的值赋给中间变量c ，这样c=2c=2，，再把b 的值赋给变量a ，这样a=a=﹣﹣6，把c 的值赋给变量b ，这样a=2a=2．．问题解决． 解答：解答： 解：先把a 的值赋给中间变量c ，这样c=a c=a，， 再把b 的值赋给变量a ， 把c 的值赋给变量b ， 故选B 点评：点评： 本题考查的是赋值语句，属于基础题．语句，属于基础题． 3．（5分）从学号为1号至50号的2014-2015学年高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）名学生的学号可能是（） A ． 1，2，3，4，5 B ． 5，1515，，2525，，3535，，45 C ． 2，4，6，8，10 D ． 4，1313，，2222，，3131，，40考点：考点： 系统抽样方法．系统抽样方法． 专题：专题： 概率与统计．概率与统计． 分析：分析： 计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案． 解答：解答： 解：系统抽样的抽取间隔为=10=10，，由此可得所选5名学生的学号间隔为1010，由此判定，由此判定B 正确，正确， 故选：故选：B B ． 点评：点评： 本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．4．（5分）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别是0.20.2、、0.20.2、、0.30.3、、0.30.3，则下列说法正确的是（），则下列说法正确的是（），则下列说法正确的是（） A ． A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 B ． B+C 与D 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件 C ． A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件是互斥事件，但不是对立事件 D ． A 与B+C+D 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件考点：考点： 互斥事件与对立事件．互斥事件与对立事件． 专题：专题： 计算题．计算题． 分析：分析： 由互斥事件和对立事件的定义，逐个验证即可，注意对立事件的概率和必为1 解答：解答： 解：选项A ，A+B 与C 是互斥事件，但不对立，因为P （A+B A+B））+P +P（（C ）=0.7≠1，故A 错误；错误；选项B ，B+C 与D 是互斥事件，但不对立，因为P （B+C B+C））+P +P（（D ）=0.8≠1，故B 错误；错误； 选项C ，A+B 与C+D 是互斥事件，也是对立事件，因为P （A+B A+B））+P +P（（C+D C+D））=1=1，故，故C 错误；错误； 选项D ，A 与B+C+D 是互斥事件，也是对立事件，因为P （A ）+P +P（（B+C+D B+C+D））=1=1，故，故D 正确；正确； 故选D点评：点评： 本题考查互斥事件与对立事件，仔细研究事件与事件的关系是解决问题的关键，属基础题．基础题． 5．（5分）现要完成下列3项抽样调查：项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．的样本． 较为合理的抽样方法是（）较为合理的抽样方法是（） A ． ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B ． ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C ． ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D ． ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样考点：考点： 收集数据的方法．收集数据的方法． 专题：专题： 综合题．综合题． 分析：分析： 观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．②系统抽样，③分层抽样． 解答：解答： 解；观察所给的四组数据，解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A ． 点评：点评： 简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．6．（5分）如果一组数x 1，x 2，…，，…，x x n 的平均数是，方差是s 2，则另一组数的平均数和方差分别是（）的平均数和方差分别是（）A ．B ．C ．D ．考点：考点： 众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 专题：专题： 计算题．计算题． 分析：分析： 根据一组数是前一组数x 1，x 2，…，x n 扩大倍后，再增大，故其中平均数也要扩大倍后，再增大，而其方差扩大（）2倍，由此不难得到答案．倍，由此不难得到答案．解答：解答： 解：∵x 1，x 2，…，，…，x x n的平均数是，方差是s 2， ∴的平均数为，的方差为3s 2故选C点评：点评： 本题考查的知识点是平均数，方差，其中一组数扩大a 倍后，平均数也扩大a 倍，方差扩大扩大a 2倍，一组数增加b 后，平均数也增加b ，方差不变是解答本题的关键．，方差不变是解答本题的关键． 7．（5分）如图所示的程序运行结果为（）分）如图所示的程序运行结果为（）A ． 7B ． 6C ． 5D ． 4考点：考点： 循环结构．循环结构．专题：专题： 算法和程序框图． 分析：分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s ，n 的值，当s=40时不满足条件s ＜4040，，退出循环，输出n 的值为5． 解答：解答： 解：模拟执行程序，可得解：模拟执行程序，可得 n=10n=10，，s=0s=10s=10，，n=9满足条件s ＜4040，，s=19s=19，，n=8 满足条件s ＜4040，，s=27s=27，，n=7 满足条件s ＜4040，，s=34s=34，，n=6 满足条件s ＜4040，，s=40s=40，，n=5不满足条件s ＜4040，退出循环，输出，退出循环，输出n 的值为5． 故选：故选：C C ． 点评：点评： 本题主要考查了循环结构的程序，正确依次写出每次循环得到的s ，n 的值是解题的关键，属于基础题．的关键，属于基础题． 8．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1{1，，2，3，4，5，6}6}，若，若，若|a |a |a﹣b|≤1，就称甲﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．B ．C ．D ．考点：考点： 古典概型及其概率计算公式．古典概型及其概率计算公式．专题：专题： 新定义．新定义． 分析：分析： 本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足件的满足|a |a |a﹣b|≤1﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．根据古典概型概率公式得到结果． 解答：解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，种猜字结果， 其中满足其中满足|a |a |a﹣b|≤1﹣b|≤1的有如下情形：的有如下情形： ①若a=1a=1，则，则b=1b=1，，2；②若a=2a=2，则，则b=1b=1，，2，3； ③若a=3a=3，则，则b=2b=2，，3，4；④若a=4a=4，则，则b=3b=3，，4，5； ⑤若a=5a=5，则，则b=4b=4，，5，6；⑥若a=6a=6，则，则b=5b=5，，6， 总共16种，种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D ． 点评：点评： 本题是古典概型问题，属于2015届高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．得到他们“心有灵犀”的各种情形． 9．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，，…，960960960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A ，编号落入区间的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为（）的人数为（） A ． 7 B ． 9 C ． 10 D ． 15考点：考点： 系统抽样方法．系统抽样方法． 专题：专题： 概率与统计．概率与统计． 分析：分析： 由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n =9+=9+（（n ﹣1）30=30n 30=30n﹣﹣2121，由，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n 的个数． 解答：解答： 解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n =9+=9+（（n ﹣1）30=30n 30=30n﹣﹣2121．． 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．15.7≤n≤25.7． 再由n 为正整数可得为正整数可得 16 16≤n≤25，且≤n≤25，且 n n ∈z ，故做问卷B 的人数为1010，， 故选：故选：C C ． 点评：点评： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题． 1010．．（5分）袋中共有8个球，其中3个红球、个红球、22个白球、个白球、33个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（）个红球的概率是（） A ．B ．C ．D ．考点：考点： 互斥事件与对立事件．互斥事件与对立事件． 专题：专题： 概率与统计．概率与统计．分析：分析： 所有的取法共有种，其中，没有红球的取法有种，只有1个红球的取法有种，由此求得所取3个球中至多有1个红球的概率．个红球的概率．解答：解答： 解：所有的取法共有=56种，其中，没有红球的取法有=10种，只有1个红球的取法有=30种，种，故所取3个球中至多有1个红球的取法有10+30=40种，种，故所取3个球中至多有1个红球的概率为个红球的概率为 =， 故选D ． 点评：点评： 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．系，属于基础题．1111．．（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）条件是（）A ． i ＜5B ． i ＜6C ． i ＜7D ． i ＜8考点：考点： 循环结构．循环结构． 专题：专题： 图表型．图表型． 分析：分析： 首先判断循环结构类型，首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．得到判断框内的语句性质．得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，然后对循环体进行分析，然后对循环体进行分析，找出找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i 的关系．最终得出选项．的关系．最终得出选项． 解答：解答： 解：经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句解：经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句 第1次循环：次循环：S=0+S=0+=，i=1+1=2 第2次循环：次循环：S=S=+=，i=2+1=3 第3次循环：次循环：S=S=+=，i=3+1=4 第4次循环：次循环：S=S=+=，i=3+1=5此时退出循环，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句根据判断框内为跳出循环的语句 ∴i＜∴i＜5 5故选A ． 点评：点评： 本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题在规律．本题属于基础题 1212．．（5分）如图，在0～1随机选择两个数x ，y ，这两个数对应的点把0～1的线段分成了三条线段a ，b ，c ，则这三条线段a ，b ，c 能构成三角形的概率为（）能构成三角形的概率为（） A ．B ．C ．D ．考点：考点： 几何概型．几何概型． 专题：专题： 概率与统计．概率与统计．分析：分析： 由已知，其中两段的长度分别为a ，b ，分别表示出线段随机地折成3段的a ，b 的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率可求出构成三角形的概率 解答：解答： 解：设三段长分别为a ，b ，c ，则c=1c=1﹣﹣a ﹣b ，则总样本空间为则总样本空间为 ，所表示的平面区域为三角形OAB OAB，其面积为，其面积为，其面积为 ，能构成三角形的事件的空间为能构成三角形的事件的空间为 ，所表示的平面区域为三角形DEF DEF，，其面积为 ，则所求概率为．故选：故选：C C ．点评：点评： 本题考查几何概型，对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 1313．．（5分）如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是．考点：考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：专题： 计算题；概率与统计．计算题；概率与统计．分析：分析： 沿田字型的路线从A 往N 走，共分4步完成，步完成，其中有其中有2步向右，有2步向下，故所有的走法共有•=6种方法．其中经过点C 的走法有2×2=4种，由此求得经过点C 的概率．率．解答：解答： 解：沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，共分4步完成，其中有2步向右，有2步向下，故所有的走法共有•=6种方法．种方法．其中经过点C 的走法有2×2=4种，故经过点C 的概率是的概率是 =，故答案为故答案为 ．点评：点评： 本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．1414．．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的m=1734m=1734，，n=816n=816，则输出的，则输出的m 的值为102102．．考点：考点： 程序框图．程序框图．专题：专题： 计算题；算法和程序框图．计算题；算法和程序框图．分析：分析： 算法的功能是利用辗转相除法求m 、n 的最大公约数，利用辗转相除法求出17341734，，816的最大公约数，可得答案．的最大公约数，可得答案．解答：解答： 解：由程序框图知：算法的功能是利用辗转相除法求m 、n 的最大公约数，的最大公约数， 当输入的m=1734m=1734，，n=816n=816，，1734=2×816+102；1734=2×816+102；816=102×8+0，16=102×8+0，∴输出的m=102m=102．．故答案为：故答案为：102102102．．点评：点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．键．1515．．（5分）（理科做）（理科做） 如图，∠AOB=60°，如图，∠AOB=60°，OA=2OA=2OA=2，，OB=5OB=5，在线段，在线段OB 上任取一点C ，则△ACO为钝角三角形的概率为考点：考点： 几何概型．几何概型．专题：专题： 计算题．计算题．分析：分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况，包括两种情况，第一种∠ACO 为钝角，第二种∠OAC 为钝角，根据等可能事件的概率得到结果．为钝角，根据等可能事件的概率得到结果．解答：解答： 解：点C 的活动范围在线段OB 上，所以D 的测度为5，△ACO 为钝角三角形包含∠OAC，∠OCA 为钝角，为钝角，△AOC 为钝角三角形时，∠ACO 为钝角，或∠OAB 是钝角．是钝角．当∠ACO=90°时，有勾股定理可求当∠ACO=90°时，有勾股定理可求 OC=1 OC=1； ∠OAB=90°时，由直角三角形中的边角关系∠OAB=90°时，由直角三角形中的边角关系 可得OC=4OC=4，，BC=1综上，所以d 的测度为2，故△AOC 为钝角三角形的概率等于：．故答案为：．点评：点评： 本题考查等可能事件的概率，几何概型的解法，体现了分类讨论的数学思想．1616．．（5分）如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为40004000，请根据该图提供的信息，请根据该图提供的信息，请根据该图提供的信息（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在端点，不包括右端点，如第一组表示收入在样本容量与总体中的个体数比为，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2、 （2）设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，个，全部的可能结果有：全部的可能结果有：C C 72种，种，随机抽取2个工厂至少有一个来自A 区的结果有区的结果有 （A 1，A 2），（A 1，B 2）（A 1，B 1）（A 1，B 3）（A 1，C 2）（A 1，C 1），同理A 2还能组合5种，一共有11种．种．所以所求的概率为点评：点评： 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．1919．．（12分）青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对2014-2015学年高二600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分 组 频 数 频 率14 0.28合 计 1.00（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；（2）试估计该年段成绩在）试估计该年段成绩在考点：考点： 茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．专题：专题： 概率与统计．概率与统计．分析：分析： 本题中“茎是百位和十位”，本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，从图中分析出参与运算的数据，代入相应代入相应公式即可解答．公式即可解答．解答：解答： 解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160160～～169之间，而乙班身高集中于170170～～180之间．之间．因此乙班平均身高高于甲班因此乙班平均身高高于甲班（2），甲班的样本方差为+（170170﹣﹣170170））2+（171171﹣﹣170170））2+（179179﹣﹣170170））2+（179179﹣﹣170170））2+（182182﹣﹣170170））2]=57]=57．．（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181181，，173173））（181181，，176176）） （181181，，178178））（181181，，179179））（179179，，173173））（179179，，176176））（179179，，178178））（178178，，173173））（178178，，176176））（176176，，173173））共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件．∴．（12分）分）点评：点评： 茎叶图的茎是高位，茎叶图的茎是高位，叶是低位，叶是低位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，所以本题中“茎是百位和十位”，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．问题的关键．2121．．（12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，沿着折线BCDA 由点B 起（起点）向点A （终点）运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出程序．间的函数关系式，并写出程序．。
河南省南阳市2020-2021学年高一下学期期中质量评估数学试卷
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（）A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定2．下列事件中，随机事件的个数为（）①明天是阴天；②方程x2+2x+5＝0有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到80%；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．A．1B．2C．3D．43．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．1674．一组数据的方差为S2（S≥0），将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（）A．B．S C．D．2S5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6．某校有高一学生660人，高二学生440人，高三学生550人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取12人，则n为（）A．24B．30C．32D．367．一个总体的60个个体的编号分别为01，02，03，…，60，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第8行（表中为随机数表的最后10行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的最后一个个体的号码是（）60 36 59 46 53 35 07 53 39 49 42 61 42 92 97 01 91 82 83 16 98 95 37 323183 79 94 24 02 56 62 33 44 42 34 99 44 13 74 70 07 11 47 36 09 95 8180 6532 96 00 74 05 36 40 98 32 32 99 38 54 16 00 11 13 30 75 86 15 91 7062 5319 32 25 38 45 57 62 05 26 05 66 49 76 86 46 78 13 85 65 59 19 64 0994 1311 22 09 47 47 07 39 93 74 08 48 50 92 39 29 27 48 24 54 76 85 24 4351 5931 75 15 72 60 68 98 00 53 39 15 47 04 83 55 88 65 12 25 96 03 15 2152 2188 49 29 93 82 14 45 40 45 04 20 09 49 89 77 74 84 39 34 13 22 10 9785 0830 93 44 77 41 07 48 18 38 28 73 78 80 65 33 28 59 72 04 05 94 20 5203 8022 88 84 88 93 27 49 99 87 48 60 53 04 51 28 74 02 28 46 17 82 03 7102 6878 21 21 69 93 35 90 29 13 86 44 37 21 54 86 65 74 11 40 14 87 48 1372 80A．11B．13C．16D．548．闰年（LeapYear）是为了弥补因人为历法规定造成的年度天数与地球实际公转周期的时间差而设立的，补上时间差的年份为闰年，闰年共有366天（1﹣12月分别为31天、29天、31天、30天、31天、30天、31天、31天、30天、31天、30天、31天）．如图是判断年份是否为闰年的算法框图，则下列年份不是闰年的年份是（）A．2000年B．2020年C．2024年D．2100年9．同时掷3枚硬币，那么互为对立的事件是（）A．至少有1枚正面和最多有1枚正面B．最多有1枚正面和恰有2枚正面C．不多于1枚正面和至少有2枚正面D．至少有2枚正面和恰有1枚正面10．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤11．若以连续掷2次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2＝25外的概率是（）A．B．C．D．12．两个相关变量满足如下关系：x1015202530y10031005101010111014则两变量的回归方程为（）A．＝0.56x+997.4B．＝0.63x﹣231.2C．＝0.56x+501.4D．＝60.4x+400.7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为．14．从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为．15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20（a，b∈N），且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则ab＝．16．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人、中年人、老年人所占比例如图1所示，且游泳组的职工人数是登山组的3倍，在登山组中青年人、中年人、老年人所占比例如图2所示．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，则游泳组中中年人应抽取人．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．阅读下面的算法语句：（1）写出该算法语句对应的函数解析式；（2）要使输出的y的值最小，求输入的x的值．18．为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，得到每个轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km），并制成如图所示的茎叶图．（1）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数、平均数；（2）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、方差，并判断哪种型号的轮胎性能更加稳定？19．设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．（Ⅰ）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．如表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温x/℃261813104﹣1杯数y/杯202434385064（1）将上表中的数据制成散点图；（2）试用最小二乘法求出线性回归方程（精确到0.001）；（3）如果某天的气温是﹣3℃，请你预测这天可能会卖出热茶多少杯？参考公式：，．参考数据：，，，．21．移动支付是指允许移动用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式，某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．组数第1组第2组第3组第4组第5组分组[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65]频数203630104（Ⅰ）求x；（Ⅱ）用分层抽样的方法在1，3，4组中抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．22．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（）A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定【分析】根据简单随机抽样中，各个个体被抽中的机会相等，与先后顺序无关，逐个判断各个选项即可．解：简单随机抽样中，各个个体被抽中的机会相等，与先后顺序无关，故选：B．2．下列事件中，随机事件的个数为（）①明天是阴天；②方程x2+2x+5＝0有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到80%；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．A．1B．2C．3D．4【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的定义即可求解．解：根据题意，依次分析4个事件，①明天是阴天，可能发生，也可能不发生，是随机事件，②∵△＝4﹣20＜0，∴方程x2+2x+5＝0有两个不相等的实数根是不可能事件，③明年鸭河水库储水量将达到80%，可能发生，也可能不发生，是随机事件，④一个三角形的大边对大角，小边对小角，是必然事件，则其中是随机事件的有2个，故选：B．3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．解：初中部女教师的人数为110×70%＝77；高中部女教师的人数为150×40%＝60，∴该校女教师的人数为77+60＝137，故选：C．4．一组数据的方差为S2（S≥0），将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（）A．B．S C．D．2S【分析】根据已知条件，结合方差公式，即可求解．解：设该组数据为x1，x2，x3，•••，x n，原来的数据的平均数为，则将该数据中每一个数据，都乘以2，则有2x1，2x2，2x3，•••，2x n，新数据的平均数为，原来数据的方差为+，新数据的方差为＝4S2，故新数据的标准差为2S．故选：D．5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；故选：A．6．某校有高一学生660人，高二学生440人，高三学生550人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取12人，则n为（）A．24B．30C．32D．36【分析】利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．解：某校有高一学生660人，高二学生440人，高三学生550人，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取12人，则n×＝12，解得n＝30．故选：B．7．一个总体的60个个体的编号分别为01，02，03，…，60，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第8行（表中为随机数表的最后10行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的最后一个个体的号码是（）60 36 59 46 53 35 07 53 39 49 42 61 42 92 97 01 91 82 83 16 98 95 37 323183 79 94 24 02 56 62 33 44 42 34 99 44 13 74 70 07 11 47 36 09 95 8180 6532 96 00 74 05 36 40 98 32 32 99 38 54 16 00 11 13 30 75 86 15 91 7062 5319 32 25 38 45 57 62 05 26 05 66 49 76 86 46 78 13 85 65 59 19 64 0994 1311 22 09 47 47 07 39 93 74 08 48 50 92 39 29 27 48 24 54 76 85 24 4351 5931 75 15 72 60 68 98 00 53 39 15 47 04 83 55 88 65 12 25 96 03 15 2152 2188 49 29 93 82 14 45 40 45 04 20 09 49 89 77 74 84 39 34 13 22 10 9785 0830 93 44 77 41 07 48 18 38 28 73 78 80 65 33 28 59 72 04 05 94 20 5203 8022 88 84 88 93 27 49 99 87 48 60 53 04 51 28 74 02 28 46 17 82 03 7102 6878 21 21 69 93 35 90 29 13 86 44 37 21 54 86 65 74 11 40 14 87 48 1372 80A．11B．13C．16D．54【分析】利用随机数法的定义求解．解：从随机数表的倒数第8行第11列开始向右读取，依次抽取的编号为36，40，32，38，54，16，所以抽取的最后一个个体的号码是16，故选：C．8．闰年（LeapYear）是为了弥补因人为历法规定造成的年度天数与地球实际公转周期的时间差而设立的，补上时间差的年份为闰年，闰年共有366天（1﹣12月分别为31天、29天、31天、30天、31天、30天、31天、31天、30天、31天、30天、31天）．如图是判断年份是否为闰年的算法框图，则下列年份不是闰年的年份是（）A．2000年B．2020年C．2024年D．2100年【分析】根据算法框图可知，该程序的功能是判断输入y是否为闰年，结合判断闰年的条件，即可求解．解：由算法框图可知，能被4整除且不能被100整除，或能被100整除且能被400整除的年份为闰年，故2100年不是闰年．故选：D．9．同时掷3枚硬币，那么互为对立的事件是（）A．至少有1枚正面和最多有1枚正面B．最多有1枚正面和恰有2枚正面C．不多于1枚正面和至少有2枚正面D．至少有2枚正面和恰有1枚正面【分析】至少有一枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况，像这样列举出选项中包含的事件情况，分析出事件之间的关系．解：由题意知至少有一枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，最多有一枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故A不正确，最多有一枚正面包括一正两反，三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件，故B不正确，不多于一枚正面一正两反，三反，至少有2枚正面包括2正和三正，故C正确，至少有2枚正面包括2正和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，故D不正确，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S＝++＝（此时k＝6），因此可填：S≤．故选：C．11．若以连续掷2次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2＝25外的概率是（）A．B．C．D．【分析】由点P落在圆x2+y2＝25外可得m2+n2＞25，又点P的所有可能情况有6×6＝36种，其中满足m2+n2＞25的有21种，所以利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率．解：由点P落在圆x2+y2＝25外，得m2+n2＞25，又点P的所有可能情况有6×6＝36种，其中满足m2+n2＞25的有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共21种，∴点P在圆x2+y2＝25外的概率为P＝＝．故选：B．12．两个相关变量满足如下关系：x1015202530y10031005101010111014则两变量的回归方程为（）A．＝0.56x+997.4B．＝0.63x﹣231.2C．＝0.56x+501.4D．＝60.4x+400.7【分析】根据表中数据，计算、，求出回归系数，写出回归方程．解：根据表中数据，计算＝×（10+15+20+25+30）＝18，＝×（1003+1005+1010+1011+1014）＝1008.6，回归系数为＝＝≈0.56，＝﹣＝1008.6﹣0.56×18＝997.4，∴两变量x、y的回归方程为＝0.56x+997.4．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为．【分析】利用古典概型直接求解．解：某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为P＝＝．故答案为：．14．从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为．【分析】列举出从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成的全部两位数，再找出能被3整除的两位数的个数，利用古典概型的概率公式即可求出结果．解：从0，1，2，3，4中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，所有情况如下：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共有16个，其中能被3整除的有：12，21，24，30，42，共5个，所以所求概率为，故答案为：．15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20（a，b∈N），且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则ab＝110．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次式，利用配方法可求出函数的最小值即可得到a和b的值解：由总体的中位数为10.5，即＝10.5，则a+b＝21，∴平均数为＝10，要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2＝（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2＝（11﹣b）2+（b﹣10）2＝2b2﹣42b+221＝2（b﹣）2+，∵a，b∈N，∴当b＝11或10时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b＝21，∴a＝11，b＝10，或a＝10，b＝11，∴ab＝110，故答案为：110．16．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人、中年人、老年人所占比例如图1所示，且游泳组的职工人数是登山组的3倍，在登山组中青年人、中年人、老年人所占比例如图2所示．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，则游泳组中中年人应抽取75人．【分析】利用分层抽样性质和扇形图先求出中年人应抽取人数和其中登山组中青年人抽取人数，由此能求出游泳组中中年人应抽取人数．解：用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，则中年人应抽取：200×47.5%＝95人，其中登山组中青年人抽取：200××40%＝20人，∴游泳组中中年人应抽取95﹣20＝75人．故答案为：75．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．阅读下面的算法语句：（1）写出该算法语句对应的函数解析式；（2）要使输出的y的值最小，求输入的x的值．【分析】（1）根据算法语句，即可求解分段函数f（x）．（2）结合配方法，分别求解当x＜0，x≥0时，f（x）的最小值，通过比较两者的大小，即可求解．解：（1）．（2）当x＜0时，y＝x2+10x+27＝（x+5）2+2，∴x＝﹣5时，y min＝2，当x≥0时，y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，∴x＝3时，y min＝2，综上综上，当输入x＝﹣5或3时，输出的y的值最小．18．为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，得到每个轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km），并制成如图所示的茎叶图．（1）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的中位数、平均数；（2）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、方差，并判断哪种型号的轮胎性能更加稳定？【分析】（1）分别计算轮胎A、B的中位数和平均数即可；（2）求出轮胎A、轮胎B的极差和方差，比较即可得出结论．解：（1）轮胎A的中位数为，轮胎A的平均数＝（6+6+7+8+8+3+2+80+90×3+100×3+110）＝100，轮胎B的中位数为，轮胎B的平均数为．（2）轮胎A的极差为112﹣86＝26，轮胎B的极差为108﹣93＝15，轮胎A的方差，轮胎B的方差，因为，，所以轮胎B的性能更加稳定．19．设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．（Ⅰ）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】（1）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共12个，当a＞0，b ＞0时，方程x2+2ax+b2＝0有实根的充要条件为a≥b，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到结果．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b ≤3}．构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3，a≥b}．根据几何概型公式得到结果．解：设事件A为“方程a2+2ax+b2＝0有实根”．当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2＝0有实根的充要条件为a≥b．（Ⅰ）基本事件共12个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）（4，3），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3}．构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3，a≥b}．所以所求的概率为．20．如表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温x/℃261813104﹣1杯数y/杯202434385064（1）将上表中的数据制成散点图；（2）试用最小二乘法求出线性回归方程（精确到0.001）；（3）如果某天的气温是﹣3℃，请你预测这天可能会卖出热茶多少杯？参考公式：，．参考数据：，，，．【分析】（1）由表格中的数据作出散点图即可；（2）先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；（3）将x＝﹣3代入回归方程，求解即可．解：（1）散点图如图所示：（2）由题意可得，，，所以，故，所以线性回归方程为y＝﹣1.648x+57.557；（3）当气温为﹣3°C时，卖出热茶的杯数估计为﹣1.648×（﹣3）+57.557＝62.501≈63（杯）．21．移动支付是指允许移动用户使用移动终端（通常是手机）对所消费的产品或服务进行支付的一种服务方式，某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“您会使用移动支付吗？”其中回答“会”的共有100人，把这100人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．组数第1组第2组第3组第4组第5组分组[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65]频数203630104（Ⅰ）求x；（Ⅱ）用分层抽样的方法在1，3，4组中抽取6人，求第1，3，4组分别抽取的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出x的值．（Ⅱ）第1，3，4组共有60人，抽取的比例是，由此能求出从第1，3，4组抽取的人数．（Ⅲ）设第1组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，由此能求出从这6人中随机抽取2人，抽取的2人来自同一个组的概率．解：（I）由题意可知，（II）第1，3，4组共有60人，故抽取的比例为．∴从第1组抽取的人数为：人，从第3组抽取的人数为：人，从第4组抽取的人数为：人；（III）设从第1组抽取的2人分别为A1，A2，第3组抽取的3人分别为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，则从这6人随机抽取2人，共有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C15个基本事件．其中符合所抽取的2人来自同一个组的有4个基本事件，∴所抽取的2人来自于同一个组的概率为．22．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数、中位数（保留2位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．解：（1）由已知作出频率分布表为：[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）质量指标值分组频数62638228频率0.060.260.380.220.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（2）质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，∵[75，95）内频率为：0.06+0.26＝0.32，∴中位数位于[95，105）内，设中位数为x，则x＝95+×10≈99.74，∴中位数为99.74．（3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08＝0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．。
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2017年春期高中一年级期中质量评估数 学 试 题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷 选择题一、选择题．1．下列赋值语句正确的是A ．S ＝a ＋1B ．a ＋1＝SC ．S －1＝aD ．S －a ＝1 2．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人3．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两人命中个数的中位数分别为甲 乙 8 0 9 3 2 1 1 3 4 8 7 6 5 4 2 0 2 0 0 1 1 3 7 3A ．22,20B ．24,18C ．23,19D ．23,204．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”5．某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 6．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t =（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.57．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落在正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是（ ）A ．nmB ．2n mC ．3n mD ．2mn8．在样本容量为160的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若其中某一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的14，则该组的频数是（ ）A ．32B ．20C ．40D ．259．如图所示是一个算法程序框图，在集合{}R x x x A ∈≤≤-=,1010|中随机抽取一个数值作为x 输入，则输出的y 值落在区间（-5，3）内的概率为（ ） A ．0.8 B ．0.6 C ．0.5D ．0.410．将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是（ ）A ．167B ．3215C ．21D ．3217 11．执行如下图的程序框图，输出S 的值是（ ） A ．2B ．1C ．12D ．－112．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．52B ．107C ．54 D ．109第Ⅱ卷 非选择题二、填空题．13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204923449358200362348696938748114．已知如下算法语句输入t ;If t <5 Theny=t 2+1;ElseIf t <8 Then y =2t －1; Elsey 1;End If End if输出y若输入t =8,则下列程序执行后输出的结果是 .15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．16．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______.①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。
三、解答题．17．（10分）根据下面的要求，求1+3+5+…99的值． （1）请将该程序框图补充完整； （2）请用for 语句写出该算法．18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？19．（12分）甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，记x =|a ﹣b |．（1）求x =1的概率；（2）若x ≤1，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率．20．（12分）关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：（1）由资料可知y 对x 呈线形相关关系.试求：线形回归方程；（a y b x ∧∧=-，1221()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21．（12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55）岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n,a,p 的值（直接写结果）；（2）从年龄段在[40,50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中至少有1人年龄在[45,50）岁的概率．22．（12分）已知某中学高一学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取的学生数为n ，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设y x ,分别表示数学成绩与地理成绩.例如：表中地理成绩为A 等级的共有64104014=++人，数学成绩为B 级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的频率是07.0.（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是%30，求b a ,的值；（2）已知6,8≥≥b a ，求数学成绩为A 等级的人数比数学成绩为C 等级的人数多的概率.南阳市2017春期中高一数学期中参考答案 1-5 ADCCA 6-10 CBAAC 11-12 AC13. 01 14. 9 15. 1/3 16. (4) (5)17.（1）.1、s s i =+;2、2i i =+；3、100i ≥或99i >或或（写一个即可） 4分（2）s=0For i=1 To 99 Step 2 s=s+i Next输出s 10分18. 解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5. 3分(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户． 12分19.解：由甲任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，基本事件总数n=6×6=36，（列表或树状图） 4分（1）x=1包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4）， （4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共10个，∴x=1的概率P （x=1）==． 8分（2）x ≤1包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16个， ∴“甲乙心有灵犀”的概率p==． 12分20．解：（1）55.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x∑∑====515123.112,90i i i i i y x x ()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧xx yx yx b i i i ii 6分； 于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .所以线性回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y 8分； （2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y ，即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 12分；21．解：（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=，图略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 1000,60,0.65n a p ===．（没有求出n 的不扣分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人，设[)40,45岁中的4人为a b c d 、、、，[)45,50岁中的2人为m n 、，则选取2人作为领队的有()()()()()()()()()()()()()()(,,,d ,,,,,,,,,,,a b a c a a m a n b c b d b m b n c d c m c n d m d n m、、、、、、、、、、、、、、共15种；其中至少有1人年龄在[)45,50岁的有()()()()()()()()(),,,m ,,m ,,,,a m a n b b n c c n d m d n m n 、、、、、、、、共9种，∴选 取的2名领队中至少有1人年龄在[)45,50岁的概率为35p =．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）20007.014=⇒=n n ，所以3.02002814=++a ，故18=a 而2003410836402814=++++++++b a ，所以12=b 5分（2）30=+b a 且8≥a ，6≥b ，由34102814++>++b a 得2+>b a .),(b a 的所有可能结果为)6,24(,),19,11(),20,10(),21,9(),22,8( ，共有17组，其中2+>b a 的共有8组，则所求概率为178=P . 12分。