高中数学必修三《变量的相关性》课后练习(含答案)
高中数学人教A版必修3课时作业：132.3 变量间的相关关系含解析
课时作业13变量间的相关关系两个变量的线性相关|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列变量是线性相关的是()A．人的体重与视力B．圆心角的大小与所对的圆弧长C．收入水平与购买能力D．人的年龄与体重解析：B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.答案：C2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是()A．①②B．①③C．②④D．②③解析：具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．答案：D3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.答案：B4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．答案：A5．下列有关回归方程y^＝b^x＋a^的叙述正确的是()①反映y^与x之间的函数关系②反映y与x之间的函数关系③表示y^与x之间的不确定关系④表示最接近y与z之间真实关系的一条直线A．①②B．②③C．③④D．①④解析：y^＝b^x＋a^表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列关系：(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系．(3)柑橘的产量与气温之间的关系．(4)森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中具有相关关系的是________．解析：(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还要受冶炼温度等其他因素的影响，故具有相关关系．(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一种确定性关系．)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系关系数加以说明；关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测生活垃圾无害化处理量．a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得：y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
高中数学必修3第二章：统计2.3变量间的相关关系
Y 研考点·知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 相关关系的判断 【例 1】 河北国欣农研会的科研人员在 7 块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的 试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455
D 读教材·抓基础
回扣教材 扫除盲点
课本导读
1．两个变量的线性相关 (1)在散点图中，点散布在从 左下角 到 右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角的区域，两个 变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布在整体上看大致在一条直线附近 ， 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
() (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm (B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上 (C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
2.经调查知,某品牌汽车的销售量y(辆)与广告费用x(万元)之 间的回归直线方程为 yˆ =250+4x,当广告费用为50万元时,预计 汽车销售量约为 ______辆.
2．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方
和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，
^^ ^
y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝bx＋a，则
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题：变量的相关关系、样本相关系数(课后习题)【含答案及解析】
第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性8.1.1变量的相关关系8.1.2样本相关系数课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列说法正确的是()A.圆的面积与半径之间的关系是相关关系B.粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系C.一定范围内,学生的成绩与学习时间呈现正相关关系D.人的体重与视力呈现负相关关系A,圆的面积与半径之间的关系是确定的关系,是函数关系,所以A错误;对于B,粮食产量与施肥量之间的关系不是函数关系,是相关关系,所以B错误;对于C,一定范围内,学生的成绩与学习时间呈现正相关关系,所以C正确;对于D,人的体重与视力是没有相关关系的,所以D错误.2.在下列各图中,两个变量具有相关关系的是()A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)(1)、(2)、(3)中,散点图中的点大致分布在一条直线附近,呈带状分布,所以变量间具有线性相关关系;图(4)中,散点图中的点分布杂乱无章,不在一条直线附近,也不呈带状分布,所以变量间不具有线性相关关系.3.如下四个散点图中,呈现正相关关系的是(),依次分析选项:对于A,散点图中的点从左向右是上升的,且在一条直线附近,呈现正相关关系;对于B,散点图中的点从左向右是下降的,且在一条直线附近,呈现负相关关系;对于C,散点图中的点呈片状分布,没有明显的相关性;对于D,散点图中的点也呈片状分布,没有明显的相关性.4.为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱,小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数,其数值分别为0.939,0.937,0.948,则()A.甲组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱B.乙组数据的线性相关性最强,丙组数据的线性相关性最弱C.丙组数据的线性相关性最强,甲组数据的线性相关性最弱D.丙组数据的线性相关性最强,乙组数据的线性相关性最弱0.939,0.937,0.948,所以线性相关系数最大的丙组数据的线性相关性最强,线性相关系数最小的乙组数据的线性相关性最弱.5.下列两个变量之间具有相关关系的是.①正方形的边长a和面积S;②一个人的身高h和腿长x;③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t;④一个人的身高h和体重x.①,正方形的边长a和面积S是函数关系,不是相关关系;对于②,一般情况下,一个人的身高h和腿长x是正相关关系;对于③,真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系,不是相关关系;对于④,一般情况下,一个人的身高h和他的体重x是正相关关系.6.为了对某班考试成绩进行分析,现从全班同学中随机抽取8位同学,他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据分析:是否可以认为变量x与y具有线性相关关系?物理分数y72 77 80 85 88 90 93 95=18×(60+65+70+75+80+85+90+95)=77.5,y =18×(72+77+80+85+88+90+93+95)=85.i=18(x i -x )(y i -y )=685, i=18(x i -x )2=1 050, i=18(y i -y )2=456. 所以线性相关系数r= i=18(x i -x )(y -y )√ i=1(x i -x )2 i=1(y i -y )2=√1 050×456≈0.99,接近于1,所以可以认为变量x 与y 具有线性相关关系.关键能力提升练7.在各散点图中,两个变量具有正相关关系的是( ),依次分析选项为:对于A,是相关关系,但不是正相关关系,不符合题意;对于B,是相关关系,也是正相关关系,符合题意;对于C,是相关关系,是负相关关系,不符合题意;对于D,所示的散点图中,样本点不呈带状分布,这两个变量不具有线性相关关系,不符合题意.8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对x ,y 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r ,如表:则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性?( )A.甲B.乙C.丙D.丁,丁同学的相关系数|r|=0.87为最大,所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性.9.(2021江西九江二模)恩格尔系数(Engel’s Coefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和,即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.给出三个结论:①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系;②一个国家的恩格尔系数越小,说明这个国家越富裕;③一个家庭收入越少,则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.其中正确的是()A.①B.②C.①②D.②③,恩格尔系数在逐年下降,居民人均可支配收入在逐年增加,故两者之间存在负相关关系;恩格尔系数越小,居民人均可支配收入越多,经济越富裕,故选项①②正确.10.如图所示,5组数据(x,y)中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是()A.相关系数r不变B.相关系数r变小C.负相关变为正相关D.解释变量x与预报变量y的相关性变强,去掉点D(3,10)后,y与x的线性相关性加强,相关系数r变大,选项A错误,选项B错误;仍然是正相关,选项C错误;解释变量x与预报变量y的相关性变强,所以选项D正确.11.如图是某市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温(单位:℃)的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r=0.83,则下列结论错误的是()A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关B.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月C.9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大D.每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加r=0.83,可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关,由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月,9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大,每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加,第六个月开始减少,所以选项A,B,C正确,D错误.12.关于变量x,y的一组样本数据(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n)(n≥2,a1,a2,…,a n不全相等)的散点图中,若所有样本点(a i,b i)(i=1,2,…,n)恰好都在直线y=-2x+1上,则根据这组样本数据推断的变量x,y的相关系数为.1,说明这两个变量间完全负相关,故其相关系数为-1.学科素养创新练13.许多先进国家对驾驶员的培训大多采用室内模拟教学和训练,而后再进行实地训练并考试,这种方法可以大大节约训练的费用.问题是这种方法有效吗?如表是12名学员的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录(单位:分):试问:两者的相关性如何?请画出散点图,并求出x与y间的线性相关系数..画出散点图,如图所示,由散点图中的点分布在一条直线附近,知两变量线性相关性很强; 由表中数据,计算x =112×(98+55+…+73)≈80, y =112×(95+60+…+72)≈78. 相关系数为r=x y 1+x y 2+…+x y 12-12x y√x 12+x 22+…+x 122-12x 2·√y 12+y 22+…+y 122-12y 2=√98+55+…+73-12×80×√95+60+…+72-12×78≈2 12246.08×46.73≈0.985 5. 所以y 与x 间的线性相关系数为0.985 5,接近于1,知两变量的线性相关性很强.。
2017-2018学年高中数学必修三(人教B版)练习：2.3变量的相关性2.3.2 Word版含解析
第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．设一个回归方程为y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时导学号 95064522( A ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位[解析] 由题意可知，变量x 每增加一个单位时，y 平均增加1.2个单位. 2．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：显然y 与x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为导学号 95064523( D ) A ．y ^＝0.7x ＋5.25 B ．y ^＝－0.6x ＋5.25 C ．y ^＝－0.7x ＋6.25D ．y ^＝－0.7x ＋5.25[解析] 由于随着x 的增大，y 减小，所以x 与y 负相关，所以b ^<0，排除A ；由于x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，所以样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入其他三个选项，得直线y ^＝－0.7x ＋5.25通过样本点的中心，故选D ．3．某商店对每天进店人数x 与某种商品成交量y (单位：件)进行了统计，得到如下对应数据：由表中数据，得线性回归方程为y ＝b x －3.25.如果某天进店人数是75，预测这一天该商品销售的件数为导学号 95064524( B )A ．47B ．52C ．55D ．38[解析] x ＝10＋15＋20＋25＋30＋35＋407＝25，y ＝5＋6＋12＋14＋20＋23＋257＝15，将(x ，y )代入回归方程得15＝25b ^－3.25，b ^＝0.73.∴预测这一天该商品销售的件数大约为0.73×75－3.25＝51.5，故选B ．4．(2015·湖北文，4)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是导学号 95064525( C )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关[解析] 因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，其中－0.1<0，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k >0)，则将y ＝－0.1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0.1x ＋1)＋b ＝－0.1kx ＋(k ＋b )，所以－0.1k <0，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C ．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为导学号 95064526( B )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[解析] 本题主要考查了回归分析及回归直线方程. 依题意：x ＝3.5，y ＝42，又b ^＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋a ^. ∴a ^＝9.1，∴y ^＝9.4x ＋9.1，当x ＝6时，y ^＝65.5，故选B ．6．(2017·山东理，5)为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系.设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为导学号 95064527( C )A ．160B ．163C ．166D ．170[解析] ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5.∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160.又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70. ∴回归直线方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式得y ^＝4×24＋70＝166. 故选C ． 二、填空题7．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为__450kg__.导学号 95064528[解析] 将x ＝50代入回归直线方程得y ^＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg. 8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__0.254__万元.导学号 95064529[解析] 本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义.由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254.三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：导学号 95064530(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得是大值， 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.B 级 素养提升一、选择题1．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为y ＝0.67x ＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为导学号 95064531( C )A ．60B ．62C ．68D ．68.3[解析] 由题意可得x ＝30， 代入回归方程得y ＝75. 设看不清处的数为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.2．某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x ℃与当天销售量y (个)之间的线性回归方程为：y ^＝－2.352x ＋147.767，当x ＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为导学号 95064532( D )A ．109B ．128C ．134D ．143 [解析] 把x ＝2℃代入线性回归方程得y ^＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D ． 3．某化工厂为了预测产品的销售量y ，需要研究它与某原料有效成分含量x 之间的相关关系.现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝48，∑i ＝18y i ＝144，回归直线方程为y ^＝a ＋2.5x ，则当x ＝10时，y 的预测值为导学号 95064533( A )A ．28B ．27.6C ．26D ．25[解析] x ＝x 1＋x 2＋…＋x 88＝488＝6，y ＝y 1＋y 2＋…＋y 88＝1448＝18，将(x ，y )代入回归直线方程得 18＝a ＋2.5×6，∴a ＝3. ∴y 的预测值为3＋2.5×10＝28.4．下表提供了某场节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (t)与相应的生产能耗y (t)的几组对应数据：根据上表提供的数据，x ＋0.35，那么表中t 的值为导学号 95064534( B )A ．1B ．3C ．5D ．7[解析] x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，∵回归直线y ＝0.7x ＋0.35过点(x ，y )， ∴y ＝0.7×4.5＋0.35＝3.5. ∴y ＝2.5＋t ＋4＋4.54＝3.5，∴t ＝3. 二、填空题5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是 y ^＝1.23x ＋0.08 .导学号 95064535[解析] 设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，(x －，y －)是样本点的中心.依题意，b ^＝1.23，x －＝4，y －＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝0.08，所以回归直线的方程是y ^＝1.23x ＋0.08.6．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y ^＝－2x ＋60.导学号 95064536__100__.[解析] 由题意得，x －＝14(c ＋13＋10－1)＝22＋c 4，y －＝14(24＋34＋38＋d )＝96＋d 4，又线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，故－2×22＋c 4＋60＝96＋d 4，解得2c ＋d ＝100.三、解答题7．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：导学号 95064537(1)(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？[解析] 先作出散点图，再根据散点图判断y 与x 呈线性相关，从而建立回归直线方程求解.(1)作散点图如图所示.(2)由散点图可知y 与x 线性相关.故可设回归直线方程为y ^＝bx ＋a . 依题意，用计算器可算得：x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438.∴b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ＝y －b x ≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.∴所求回归直线方程为y ^＝0.73x －0.875. (3)令y ^＝10，得0.73x －0.875＝10，解得x ≈15. 即机器的运转速度应控制在15转/秒内.C 级 能力拔高某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表导学号 95064538(2)利用(1)中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .[解析] (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2018年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元.。
高中数学必修三《变量的相关性》课后练习[含答案解析]
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变量的相关性课后练习题一：下面哪些变量是相关关系( )A ．出租车车费与行驶的里程B ．房屋面积与房屋价格C ．身高与体重D ．铁块的大小与质量题二：下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④题三：观察下列各图形其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③题四：已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A ．y ^＝1.5x ＋2B ．y ^＝－1.5x ＋2C ．y ^＝1.5x －2D ．y ^＝－1.5x －2题五：一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i =1x i y i ＝3245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i =1x 2i ＝5075，7(x )2＝4375，7x y ＝2 695 (3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．题七：由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题八：设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg题九：工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D．劳动产值为1 000元时，工资为90元题十：某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．题十一：如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．题十二：甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析m如下表：A，B两个变量有更强的线性相关性．题十三：对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝0，1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关题十四：对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3题十五：对五个样本点(1，2.98)，(2，5.01)，(3，m )，(4，8.99)，(6，13)分析后，得到回归直线方程为y ＝2x ＋1，则样本点中m 为________．A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176题十七：以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)若销售价格(1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．题十八：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)变量的相关性课后练习参考答案题一： C ．详解：A ，B ，D 都是函数关系，其中A 一般是分段函数，只有C 是相关关系．题二： C ．详解：由回归分析的方法及概念判断．题三： C ．详解：从散点图可看出③④所有点看上去都在某条直线(曲线)附近波动，具有相关关系．题四： B ．详解：设回归方程为y ^＝bx ＋a ．由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此其回归直线方程可能为y ^＝－1.5x ＋2．题五： (1)见详解；(2)y ^＝0.79x －4.32；(3) 59．详解：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32．(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59．题六： (1) 略；(2) y ^＝0.5x ＋0.4；(3) 5.9万元．详解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^．则b ^＝∑x =15(x i －x)(y i －y －)∑x =15 (x i －x)2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4．(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9 (万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．题七： B ．详解：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．题八： D ．详解：由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．题九： C ．详解：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．题十： 68．详解：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60．∴y ^＝－2x ＋60．令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68．题十一： D ．详解：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D ．题十二： 丁．详解：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．题十三： C ．详解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C ．题十四： A ．详解：第1组和第3组为正相关，第2组和第4组为负相关，所以r 1，r 3>0，r 2，r 4<0，并且从图中可知第1组比第3组相关性要强，第2组比第4组相关性要强．故选A ．题十五： 7.02．详解：回归直线方程y ＝2x ＋1过样本中心点，将x ＝3.2代入方程得y ＝7.4，则可算出m ＝7.02．题十六： C ．详解：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176， 又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C ．题十七： (1) 回归直线方程为 y ^＝0.1962x ＋1.8142；(2) 31.2442(万元)．详解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109， y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2． 设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n (x i －109)2＝3081 570≈0.1962，a ＝y －b x ≈23.2－0.1962×109＝1.8142， 故回归直线方程为y ^＝0.1962x ＋1.8142．(2) 由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)．题十八： (1) y ^＝－20x ＋250；(2)单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．详解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80． 所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250．(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25． 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
高中数学必修三习题：第二章2.3-2.3.2两个变量的线性相关 Word版含答案
第二章 统计 2.3 变量间的相关关第 2.3.1 变量之间的相关关第 2.3.2 两个变量的线性相关A 级 基础巩固一、选择题1．设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时，y 平均( ) A ．增加1.5个单位 B ．增加2个单位 C ．减少1.5个单位D ．减少2个单位解析：由于b ^＝－1.5<0，故选C. 答案：C2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫作散点图C ．回归方程最能代表观测值x ，y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线解析：只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线． 答案：D3．下表是一组学生的物理和数学成绩对比表．由下表可知( )A.B ．数学与物理成绩是一种正相关关系 C ．数学与物理成绩是一种负相关关系 D ．数学与物理成绩没关系解析：由数据可知数学好的同学物理成绩也好，但也具有一些随机性，故选B. 答案：B4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.答案：A5．(2015·湖北卷)已知变量x 和y 满足相关关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．答案：C 二、填空题6．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1，7，5，13，19}，则y －＝__________________．解析：因为x －＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x －，y －)，所以y－＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为__________________．解析：设回归直线方程为y ＝b x ＋a ，则b ＝6.5.易知y ＝50，x ＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5.答案：y ^＝6.5x ＋17.58．如图所示，有5组(x ，y )数据的散点图，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大．解析：在散点图中，点的分布越接近回归直线，两个变量的相关性越大． 答案：D 三、解答题9．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x (单位：年)与所支出的总费用y (单位：万元)有如下的数据资料：(1)试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^，b ^； (2)当使用年限为10年时，估计车的使用总费用． 解：(1)列表：＝于是b ＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23； a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)线性回归直线方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10年时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38 (万元)，即当使用10年时，估计支出总费用是12.38万元．10．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； (3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内． B 级 能力提升1．(2014·湖北卷)根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：作出散点图如下图所示：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，当x ＝0时，y ^＝a >0.故a >0，b <0. 答案：B2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案：203．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数． 解：(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．。
高中数学变量间的相关关系课文练习答案 新课标 人教版 必修3(A)
变量间的相关关系课文练习答案P75思考答案：物理成绩与数学成绩确实是相关的，但两者之间不是确定的函数关系，两者之间的对应不严格，有一定的随机性，它们是相关关系.当然两者水涨船高，属正相关关系.P76练习1.答案：吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系.但两者是相关关系，而且属负相关，吸烟影响健康是事实，故应禁烟.2.答案：（1）不对，从表面看，似有因果关系，但函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，是环境条件改善的两种伴随关系.（2）不对，两者只是相关而非因果.我们必须透过现象看本质，反对封建迷信.P77思考（1）负相关的两个变量的散点图中点分布的区域为左上角到右下角.（2）正相关如学习时间与成绩，负相关如日用眼时间和视力等.P82思考方法点拨正确理解相关关系和函数关系的意义，明确相关关系中两变量间的对应具有随机性.答案：把年龄x代入回归直线方程，可以看到yˆ与数据y的值是有差距的，这说明两个方面的问题：（1）体内脂肪含量与年龄是相关关系，而非函数关系；（2）回归直线能较好地逼近两变量的关系，直线在整体上的接近程度最好，但因相关关系的非确定性，有些点的差距还是较大的.P84思考答案：不一定，因为回归方程整体上的接近程度最好，但只能是较好地逼近，相关变量有随机性.P84练习1.答案：回归直线在整体上的接近程度最好，但因相关关系的非确定性，有些点的差距较大是可以理解的.2.答案：画出散点图，如图2－3－7.20 15 10拔(m)海拔(m)线))y x=23.1+402.94种类图2－3－7从图2－3－7中可看出两者属正相关. P84习题2.3A组应结合统计的基本思想来分析.1.答案：教师的水平与学生的水平是正相关.“强将手下无弱兵”等.线性分析，其一般步骤是：画出散点图；若呈直线形，求回2.答案：（1）画出散点图，如图2－3－8.（2）作出回归直线.y x =1.5649+37.8291008060402000 10 20 30 40热量百分比口味记录口味记录线性(口味记录)图2－3－8 （3）两变量是正相关.（4）相同热量百分比时，口味越好当然越受欢迎.归直线方程；推测实际问题.结合实际问题来诠释统计结果.线性分析，其一般步骤是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；推测实际问题.3.答案：（1）画出散点图，如图2－3－9.（2）作出回归直线，求出回归方程yˆ=0.6685x +54.933. y x =0.6685+54.9331401201008060402000 2040 60 80 100 120 加工时间 加工时间线性(加工时间)零件数图2－3－9（3）两者线性正相关，且由回归方程估算加工一个零件需0.67 min.根据问题需要，有时需判断是正相关还是负相关.散点图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作正相关.若因变量随自变量的增大而减小则称作负相关.4.答案：（1）画出散点图，如图2－3－10.y x =0.5463+876.43居民消费水平140001200010000800060004000200000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000职工平均工资图2－3－10 线性分析，其一般步骤是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；推测实际问题.（2）作出回归直线，求出回归方程yˆ=0.5463x +876.43.（3）两者线性正相关，职工平均工资每增长1万元，消费水平增加5453元，增长率约为54%.相关若是线性的，正负相关的判断可以根据回归直线的斜率来判断.斜率为正是正相关.B 组1.答案：（1）画出散点图，如图2－3－11.y x =1.4415－ 15.589商品销售额(万元)年收入(亿元)10 20 3040 506050403020100 图2－3－11 （2）作出回归直线，求出回归方程yˆ=1.4415x －15.589.（3）当x =40时，yˆ=1.4415×40－15.589≈42.1，如果这座城市居民的收入达到40亿元，该商品的销售额预计约为42.1万元.2.略. 复习参考题二 A 组 1.答案：A方法点拨2.答案：（1）这组数据的个数，频数与总体个数之比.（2）N mn.3.答案：（1）这个结果不能意味着该城市的人比其他地方的人较少地倾向于选咖啡色.（2）样本抽取的差异，样本对总体的代表性较差. 4.答案：例如可通过了解个人所得税来调查. 5.略.我们研究对象的全体就是总体.等比例是分层抽样的特点.调查结果的偏差往往是样本的抽取对总体来说缺乏代表性.6.答案：（1）可通过各小组打分的方差或标准差来衡量各组成员的相似性，SA=3.73，SB=11.79，显然，A 组成员打的分波动小，近似性较好. （2）由于A 组打分的标准差较小，显示了其专业的专业性.故A 组应是专业组.方差或标准差是反映数据波动大小的统计量，应正确理解其数学意义. 7.答案：（1）中位数是2190175 =182.5，平均数是x =217.（2）由于S=99.25较大，数据离散程度大，故选择中位数更合适. 区分中位数和平均值应从它们的数学意义和性质去理解. 8.答案：（1）如图1.1020203010--252015105-5-10xy Ofx =9.50+2.84()xg x ()x =6.76+2.32h x ()x =1.80+0.42图1（2）意味着平均每年增长0.42%，增速最慢. （3）城市增长最快.（4）略.可用几何画板来作图.B 组1.答案：作频率分布图和频率直方图. （1）求极差在上述数据中，极差是25.14－12.34=12.8. （2）确定组距与组数如果将组距定为1.60，那么由12.8÷1.60=8，组数为8. （3）决定分点根据数据的特点，第1小组的起点可取为12.34，第1小组的终点可取为13.94，所得到的分组是［12.34，13.94），［13.94，15.54），…，［23.54，25.14）.频率分布图虽不能体现原始数据，但它能使我们了解数据的具体分布情况及在各组的频率.（4）列频率分布表 分 组人 数 频 率 ［12.34，13.94） 2 0.04 ［13.94，15.54） 5 0.1 ［15.54，17.14） 5 0.1 ［17.14，18.74） 18 0.36 ［18.74，20.34） 12 0.24 ［20.34，21.94） 4 0.08 ［21.94，23.54） 2 0.04 ［23.54，25.14） 2 0.04 合计501.00（5）平均数x =18.30，结合频率分布表可知指标可定在［15.54，21.94］. 2.答案：（1）将表中的数据制成散点图如图2. 200150100505101520年龄/周岁身高/c m图2 （2）利用计算机Excel 软件求出回归直线方程如图3.20015010050005101520年龄/周岁身高/c m y x =6.3167＋ 71.984图3用回归方程y ˆ=6.3167x+71.984来近似地表示这种线性关系.［15.54，21.94］内的数据频率约为0.78.根据题意确定使用线性分析，其一般步骤是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；利用回归直线推测实际问题.（3）回归系数说明平均每年身高增长估计为6.3 cm. （4）年平均增长数约为6.323 cm.（5）两相关变量的线性相关较好时，回归系数是年平均增长数的近似值.正确理解回归系数反映增长率的数学意义.高中数学变量间的相关关系课文练习答案 新课标 人教版 必修3(A)。
(人教b版)数学必修三练习：2.3.1变量间的相关关系(含答案)
第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．以下关于相关关系的说法正确的个数是()①相关关系是函数关系②函数关系是相关关系③线性相关关系是一次函数关系④相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析]根据相关关系的概念可知，只有④正确，故选B.2．下列关系属于线性负相关的是()A．父母的身高与子女身高的关系B．农作物产量与施肥量的关系C．吸烟与健康的关系D．数学成绩与物理成绩的关系[答案] C[解析]若以吸烟量为横轴，健康为纵轴画出散点图，则由生活常识知，这些点散布在从左上角到右下角的区域内. 因此，吸烟与健康的关系属于线性负相关．3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系[答案] C[解析]给出一组样本数据，总可以作出相应散点图，但不一定分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．4．下列两个变量之间的关系具有相关关系的是()A．家庭的支出与收入B．某家庭用电量与水价间的关系C．单位圆中角的度数与其所对孤长D．正方形的周长与其边长[答案] A[解析]C、D均为函数关系，B用电量与水价间不具有函数关系，也不具有相关关系故选A5．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是()[答案] A[解析]选项A中的点大致分布在一条直线附近，故选A.6．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸咽量和其身体健康情况；④立方体的边长和体积；⑤汽车的重量和行驶100 km的耗油量．其中两个变量成正相关的是()A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤[答案] C[解析]②⑤中的两个变量成正相关.二、填空题7．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．[答案]①③④[解析]②⑤为确定性关系．8．据两个变量x、y之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)__________．[答案]否[解析]如图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系.三、解答题9．5名学生的数学和化学成绩见下表：[解析]散点图如图所示：由图可知，它们之间具有相关关系一、选择题1．如右图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系()A．E B．DC．B D．A[答案] B[解析]去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系．2．图中的两个变量是相关关系的是()A．①②B．①③C．②④D．②③[答案] D[解析]相关关系所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们是相关关系，故选D.二、解答题3．某老师为了了解学生的计算能力，对曲胜仁同学进行了10次测试，收集数据如下：相关？[解析]散点图分如图所示由散点图可见，该同学的做题时间与题数之间具有相关关系且是正相关．4．对某种珍稀动物胚胎的生长进行研究，测得9～20日龄动物的胚胎的质量如下：(1)(2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？[解析](1)以动物胚胎的日龄为x轴，以胚重为y轴，作出散点图如图所示：(2)从图象观察，许多点在同一曲线附近，且可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以两变量具有相关关系．5．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关．[解析]散点图如下：由散点图知销售价格与房屋面积这两个变量是正相关的关系．。
人教B版高中数学必修3同步练习 第2章 变量的相关性
2.3 变量的相关性学习目标 1.了解变量间的相关关系,会画散点图.2.根据散点图,能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想,会求回归直线的方程．知识点一 变量间的相关关系思考1 粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？ 答案 在施肥不过量的情况下,施肥越多,粮食产量越高,所以是正相关． 思考2 怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？答案 画出散点图,若点大致分布在一条直线附近,就说明这两个变量具有线性相关关系,否则不具有线性相关关系． 梳理1．相关关系的定义变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,那么这两个变量之间的关系叫做相关关系,两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． 2．散点图将样本中n 个数据点(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． 3．正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关． 知识点二 两个变量的线性相关思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？答案 用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断),否则求出的回归直线方程是无意义的． 梳理 回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线．(2)回归直线方程：回归直线对应的方程叫做回归直线方程． (3)最小二乘法：求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^时,使得样本数据的点到回归直线的离差平方和最小的方法叫做最小二乘法．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中,b ^是回归直线方程的斜率,a ^是回归直线方程在y 轴上的截距．1．人的身高与年龄之间的关系是相关关系．( × ) 2．农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系．( √ ) 3．回归直线过样本点中心(x ,y )．( √ )题型一 变量间相关关系的判断例1 下列两个变量之间是相关关系的是( ) A ．圆的面积与半径之间的关系 B ．球的体积与半径之间的关系 C ．角度与它的正弦值之间的关系 D ．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 答案 D解析 由题意知A 表示圆的面积与半径之间的关系S ＝πr 2,B 表示球的体积与半径之间的关系V ＝4πr33,C表示角度与它的正弦值之间的关系y ＝sin α,都是确定的函数关系,只有D 是相关关系,故选D. 反思与感悟 函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系． 跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．正方体的棱长与体积 B ．角的度数与它的正切值C ．单产为常数时,土地面积与粮食总产量D ．日照时间与水稻的单位产量 答案 D解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系,但是这两种关系是不同的,函数关系是指当自变量一定时,函数值是确定的,是一种确定性的关系．因为A项V＝a3,B项y＝tan α,C项y＝ax(a＞0,且a 为常数),所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．题型二散点图的应用例2 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生A B C D E成绩数学成绩80 75 70 65 60物理成绩70 66 68 64 62判断它们是否具有线性相关关系．解以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,得相应的散点图如图所示．由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟(1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系,最简便的方法是绘制散点图．变量之间可能是线性的,也可能是非线性的(如二次函数),还可能不相关．(2)画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形偏大或偏小,或者是点的坐标在坐标系中画不准,使图形失真,导致得出错误结论．跟踪训练2 下列图形中两个变量具有线性相关关系的是( )答案 C解析A是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系,因此变量间是不相关的．题型三 回归直线的求解与应用例 3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y 对x 有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中,若它们的近似方程为y ＝5170x －67,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解 (1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y ≤10得5170x －67≤10,解得x ≤14.9,所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．引申探究1．本例中近似方程不变,若每增加一个单位的转速,生产有缺点的零件数近似增加多少？ 解 因为y ＝5170x －67,所以当x 增加一个单位时,y 大约增加5170.2．本例中近似方程不变,每小时生产有缺点的零件件数是7,估计机器的转速． 解 因为y ＝5170x －67,所以当y ＝7时,7＝5170x －67,解得x ≈11.反思与感悟 求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据,设为(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图,确定x,y 具有线性相关关系．(3)把数据制成表格x i ,y i ,x 2i ,x i y i .(4)计算x ,y ,∑i ＝1nx 2i,∑i ＝1nx i y i .(5)代入公式计算b ^,a ^,公式为⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .(6)写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^.跟踪训练3 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)画出散点图； (2)求回归直线方程． 解 (1)散点图如图所示．(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i 60 160 300 300 560 x 2i416253664x ＝5,y ＝50,∑i ＝15x 2i＝145,∑i ＝15x i y i ＝1 380于是可得,b ^＝∑i ＝15x i y i －5xy∑i ＝15x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5, a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.1．设有一个回归直线方程为y ^＝2－1.5x,则变量x 增加1个单位时,y 平均( ) A ．增加1.5个单位 B ．增加2个单位 C ．减少1.5个单位 D ．减少2个单位答案 C2．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归直线方程为y ^＝50＋80x,下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时,工人工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高130元D ．当月工资为250元时,劳动生产率为2 000元 答案 B解析 因为回归直线的斜率为80,所以x 每增加1,y 平均增加80,即劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元．3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i＝1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71,则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点中心(x ,y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 当x ＝170时,y ^＝0.85×170－85.71＝58.79,体重的估计值为58.79 kg. 4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23,且过定点(4,5),则回归直线方程是________．答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 回归直线的斜率的估计值为1.23,即b ^＝1.23,又回归直线过定点(4,5),∴a ^＝5－1.23×4＝0.08,∴y ^＝1.23x ＋0.08.5．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^＝0.8x ＋0.1(单位：亿元),预计今年该地区居民收入为15亿元,则今年支出估计是________亿元． 答案 12.1解析 将x ＝15代入y ^＝0.8x ＋0.1,得y ^＝12.1.1．判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图,可以很容易看出两个变量是否具有相关关系,是不是线性相关,是正相关还是负相关． 2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 成线性相关关系,无需进行相关性检验,否则应首先进行相关性检验,如果两个变量之间本身不具有相关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回归直线方程也是毫无意义的,而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^,b ^的值时,要先计算b ^,然后才能算出a ^.3．利用回归直线方程,我们可以进行估计和预测．例如,若回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.一、选择题1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归直线方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200答案 A解析 x 的系数为负数,表示负相关,排除B,D,由实际意义可知x ＞0,y ＞0,C 中,散点图在第四象限无意义,故选A.2．对变量x,y 有观测数据(x i ,y i )(i ＝1,2,3,…,10),得散点图1；对变量u,v 有观测数据(u i ,v i )(i ＝1,2,3,…,10),得散点图2,由这两个散点图可以断定( )A ．x 与y 正相关,u 与v 正相关B ．x 与y 正相关,u 与v 负相关C ．x 与y 负相关,u 与v 正相关D ．x 与y 负相关,u 与v 负相关 答案 C解析 由图1可知,点散布在从左上角到右下角的区域,各点整体呈递减趋势,故x 与y 负相关； 由图2可知,点散布在从左下角到右上角的区域,各点整体呈递增趋势,故u 与v 正相关． 3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的回归直线方程为y ^＝2.2x ＋0.7,则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.5 答案 D解析 x ＝0＋1＋2＋34＝1.5,y ＝m ＋3＋5.5＋74,将其代入y ^＝2.2x ＋0.7,可得m ＝0.5,故选D.4．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则( )A.a ^＞0,b ^＞0B.a ^＞0,b ^＜0C.a ^＜0,b ^＞0 D.a ^＜0,b ^＜0答案 B解析 画出散点图,知a ^＞0,b ^＜0.5．已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x ＝3,y ＝3.5,则由该观测数据算得的回归直线方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4答案 A解析 由变量x 与y 正相关知C,D 均错,又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),代入验证得A 正确,B 错误． 故选A.6．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1357若y 与x 线性相关,则y 与x 的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．点(2,2) B ．点(1.5,0) C ．点(1,2) D ．点(1.5,4) 答案 D 解析 ∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5,y ＝1＋3＋5＋74＝4, ∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D. 7．已知x,y 的取值如表所示：x 2 3 4 y645如果y 与x 线性相关,且回归直线方程为y ^＝b ^x ＋132,则b ^等于( )A ．－12 B.12 C ．－110 D.110答案 A 解析 ∵x ＝2＋3＋43＝3,y ＝6＋4＋53＝5,∴回归直线过点(3,5), ∴5＝3b ^＋132,∴b ^＝－12,故选A.8．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元答案 B解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5,y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x ,y ),所以42＝9.4×3.5＋a ^,解得a ^＝9.1.故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.所以当x ＝6时,y ^＝6×9.4＋9.1＝65.5. 二、填空题9．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得到了下表中的数据,计算得回归直线方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息,可得表中c 的值为________.答案 6解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5,y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c5,代入回归直线方程中得14＋c5＝0.85×5－0.25,解得c ＝6.10．如图所示的五组数据(x,y)中,去掉________后,剩下的四组数据相关性增强．答案 (4,10)解析 去掉点(4,10)后,其余四点大致在一条直线附近,相关性增强． 11．在一次试验中测得(x,y)的四组数据如下：x 16 17 18 19 y50344131根据上表可得回归直线方程y ^＝－5x ＋a ^,据此模型预报当x ＝20时,y 的值为________． 答案 26.5解析 x ＝16＋17＋18＋194＝17.5,y ＝50＋34＋41＋314＝39,∴回归直线过点(17.5,39),∴39＝－5×17.5＋a ^,∴a ^＝126.5, ∴当x ＝20时,y ＝－5×20＋126.5＝26.5.12．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x(千件) 2 3 5 6 成本y(万元)78912由表中数据得到的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝1.1,预测当产量为9千件时,成本约为________万元． 答案 14.5解析 由表中数据得x ＝4,y ＝9,代入回归直线方程得a ^＝4.6,∴当x ＝9时,y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5. 三、解答题13．某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据：第x 年 1 2 3 4 5 需求量y(万吨)36578(1)利用所给数据求两变量之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地第6年的粮食需求量． 解 (1)由所给数据得x ＝3,y ＝5.8,b ^＝∑i ＝15(x i －x)(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝1.1,a ^＝y －b ^x ＝2.5,∴y ^＝1.1x ＋2.5.故所求的回归直线方程为y ^＝1.1x ＋2.5.(2)第6年的粮食需求量约为y ^＝1.1×6＋2.5＝9.1(万吨)．14．从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料,算得∑i ＝110x i ＝80,∑i ＝110y i ＝20,∑i ＝110x i y i ＝184,∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的回归直线方程； (2)若该居民区某家庭的月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄． 解 (1)由题意知n ＝10,x ＝1n ∑i ＝110x i ＝110×80＝8,y ＝1n ∑i ＝110y i ＝110×20＝2,又∑i ＝110x 2i －n x 2＝720－10×82＝80,∑i ＝110x i y i －n xy ＝184－10×8×2＝24,由此得b ^＝2480＝0.3,a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4,故所求回归直线方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归直线方程,可以得到该家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
2017-2018学年高中数学必修三教材用书：第二章 统计 2
2.3变量间的相关关系[提出问题](1)吸烟可导致肺癌．(2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表．(3)y＝x2＋5(x问题1：吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？提示：吸烟不一定患肺癌，但它们有一定的关系．问题2：小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？提示：两者间有关系．随着气温的降低卖出的热茶杯数增加．问题3：y＝x2＋5(x∈R)中，x，y间是什么关系？提示：y与x间是函数关系，是一种确定关系．[导入新知]相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．[化解疑难]两个变量间的关系分类两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，如某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；再一类是不相关，即两变量没有任何关系．[提出问题]下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：问题1：以x提示：如图所示：问题2：房屋的销售价格与房屋的面积有关系吗？提示：有关系．问题3：怎样描述房屋的销售价格与房屋的面积之间的变化关系？提示：大体上来看，面积越大，售价越高．但不是正比例函数关系．[导入新知]1．散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．2．正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．[化解疑难]对正相关和负相关的理解(1)正相关随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多．(2)负相关随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就越短．[提出问题]问题：在“知识点二”的问题中，能否估计出房屋面积为120 m2时的销售价格？如何估计？提示：能．根据散点图作出一条直线，求出直线方程，即可预测．[导入新知]回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；(2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )； ②设所求回归方程为，其中a ^，b ^是待定参数；③由最小二乘法得其中：b ^是回归方程的斜率，a ^是截距． [化解疑难]回归直线方程与直线方程的区别线性回归直线方程中y 的上方加记号“^ ”是与实际值y 相区别，因为线性回归方程中“y ^”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y ^的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y ＝y ^＋e (其中e 为随机变量)，预测值y ^与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差决定．[例1] (1)) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．②判断y与x是否具有线性相关关系．[解](1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．(2)①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．[答案](1)②④[类题通法]两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．[活学活用]如图所示的两个变量不具有相关关系的是______(填序号)．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．答案：①④[例2] 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(1)(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． [解] (1)散点图如下：(2)数据如下表：可以求得b ^＝0.5，a ^＝0.4， 线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. [类题通法]求线性回归方程的步骤(1)计算平均数x ，y ； (2)计算x i 与y i 的积，求∑i ＝1nx i y i ；(3)计算∑i ＝1nx 2i ；(4)将结果代入公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x2，求b ^；(5)用a ^＝y －b ^x ，求a ^； (6)写出回归方程． [活学活用]1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176 解析：选C 由题意得 x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x ，y )一定满足线性回归方程，经验证知选C. 2．已知变量x ，y 有如下对应数据：(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示：(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134，∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39.∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ^＝39－4×52×13430－4×⎝⎛⎭⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求回归直线方程．[例3] 零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：(1)如果y (2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？[解] (1)由题意，可得x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，则b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ^＝y －b ^x ＝－0.857 5.所以回归直线的方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (2)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， 解得x ≤14.90.所以机器的转速应该控制在15转/秒以下． [类题通法]回归分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义；(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得a ^，b ^； (3)根据直线方程进行预测． [活学活用](全国乙卷)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得 b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．6.线性相关关系的判断及回归方程的应用[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？[解题流程][规范解答]x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， i ＝1nx 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能约减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．[类题通法]解答回归分析问题的四个注意点 (1)先用散点图确定是否线性相关； (2)准确计算回归方程中的各个系数； (3)回归直线必过样本中心；(4)利用回归直线方程求出的值只是估计值，会与实际值有一定的误差． [活学活用]某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件数x (件)之间有一组数据如下表：(1)求x ，y ；(2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？(以下数据供选择：∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17y 2i ＝45 309，∑i ＝17x i y i ＝3 487)解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917≈79.86.(2)∵b ^＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75，a ^＝79.86－4.75×6＝51.36，∴纯利与每天销售件数x 之间的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x . (3)当y ^＝200时，200＝4.75x ＋51.36，所以x ≈31.29.因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．[随堂即时演练]1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B ．y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D ．y ^＝10x －200解析：选A ∵商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，∴b ＜0，排除B ，D.又∵x ＝0时，y ＞0，∴选A.2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．3．若施肥量x (kg)与水稻产量y (kg)的线性回归方程为y ^＝5x ＋250，当施肥量为80 kg 时，预计水稻产量约为________kg.解析：把x ＝80 kg 代入回归方程可得其预测值 y ^＝5×80＋250＝650(kg)． 答案：6504．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．__________________． 解析：由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)．设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋b ^， ∵回归直线过样本中心(x ，y )， ∴50＝6.5×5＋b ^， 即b ^＝17.5，∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 答案：y ^＝6.5x ＋17.55．2015年元旦前夕，某市统计局统计了该市2014年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解：(1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98， 又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．[课时达标检测]一、选择题1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．A ．①③④B ．②③④C ．③④⑤D ．②④⑤答案：C2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：D3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案：B4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0 D ．只能小于0答案：C 二、填空题6．正常情况下，年龄在18岁到38岁之间的人，体重y (单位：kg)对身高x (单位：cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg左右．解析：用回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．答案：69.967．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x (单元：万元)和年教育支出y (单位：万元)．调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.15x ＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．解析：因为回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．答案：0.158．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x (单位：小时)与当天投篮的命中率：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：小李这5天的平均投篮命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x ＝3，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝0.2＋0＋0＋0.1＋(－0.2)(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.47，∴线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.47， 则当x ＝6时，y ＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 答案：0.5 0.53三、解答题9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数为5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数． 解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2则 y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11， 当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈30. 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11.10．某工厂对某种产品的产量与成本进行资料分析后有如下数据：(1)画出散点图；(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程； (3)预计产量为8千件时的成本．解：(1)散点图如下：(2)设成本y 与产量x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9.b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝1110＝1.1， a ^＝y －b ^x ＝9－1.1×4＝4.6. 所以，回归方程为y ^＝1.1x ＋4.6.(3)当x ＝8时，y ^＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．。
高中数学人教B必修三优质练习：2.3 变量的相关性 Word含答案
2.3变量的相关性课后篇巩固探究A组1.有五组变量:①汽车的质量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和学习成绩;③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④立方体的棱长和体积;⑤汽车的质量和行驶100千米的耗油量.其中两个变量成正相关的是()A.①③B.②④C.②⑤D.④⑤解析:①是负相关;②是正相关;③是负相关;④是函数关系,不是相关关系;⑤是正相关.答案:C2.下列有关线性回归的说法中,不正确的是()A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程最能代表观测值x,y之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程解析:只有所有的数据点都分布在一条直线附近时,才能得到回归直线方程.答案:D3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下:建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是()A.=2.799 1x-27.248 5B.=2.799 1x-23.549 3C.=2.699 2x-23.749 3D.=2.899 2x-23.749 4解析:利用计算器容易求得,x i y i,代入公式求出得方程为=2.799 1x-23.549 3.答案:B4.工人月工资y(单位:元)随劳动生产率x(单位:千元)变化的回归直线方程为=60+90x,下列判断正确的是()A.劳动生产率为1 000元时,工资平均为150元B.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高150元C.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高90元D.劳动生产率为1 000元时,工资平均为90元解析:由表示回归直线=60+90x 的斜率,得C 正确. 答案:C5.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:如果回归方程的斜率是,则它的截距是( )A.=11-22B.=22-11C.=11-22D.=22-11解析:由=11,(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22,得=22-11.答案:B6.(2017湖南株洲二中高三七模)已知x ,y 如下表所示:若x 和y 线性相关,且线性回归直线方程是x+2.1,则=( ) A.0.7B.0.8C.0.9D.1解析:根据所给的数据,得到 =3, =4.5,∴这组数据的样本中心点是(3,4.5).∵线性回归直线的方程一定过样本中心点,∴4.5=3+2.1,解得=0.8.答案:B7.变量x与y具有线性相关关系,当x取值为16,14,12,8时,通过观测得到y的值分别为11,9,8,5.若在实际问题中,y的预测最大取值是10,则x的最大取值不能超过.解析:通过计算可求得回归直线方程为=0.728 6x-0.857 1,将y=10代入计算得x=15,从而x的最大取值不能超过15.答案:158.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm,因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.解析:设父亲的身高为x cm,儿子身高为y cm,则所以=173,=176,=1,=176-1×173=3,所以=x+3.当x=182 cm时,=185 cm.答案:1859.某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应关系:x/百万元24568y/百万元3040605070(1)假定y与x之间有线性相关关系,求其回归直线方程;(2)若实际的销售额不少于60百万元,则广告费支出应不少于多少?解:(1)=5,=50,=145,=13 500,x i y i=1 380,----=6.5, =50-6.5×5=17.5.故所求回归直线方程为=6.5x+17.5.(2)由回归方程得≥60,即6.5x+17.5≥60,解得x≥.故广告费支出应不少于百万元.10.导学号17504034假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:(1)回归方程x+的系数.(2)使用年限为10年时,试估计维修费用是多少.解:(1)列表如下:=-=1.23,-=5-1.23×4=0.08.(2)回归直线方程是=1.23x+0.08.当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时维修费用是12.38万元.B组1.(2017四川成都高三诊断)某设备的使用年限x(单位:年)与所支付的维修费用y(单位:千元)的几组数据如下表:y与x呈线性相关关系,根据上表中数据可得其线性回归直线方程x+中的=1.54,由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是()A.7.2千元B.7.8千元C.8.1千元D.9.5千元解析:由题表中数据得=3.5,=4.25,又因为线性回归直线x+经过(),=1.54,所以4.25=1.54×3.5+,得=-1.14,所以回归直线方程为=1.54x-1.14,当x=6时,维修费用约为=1.54×6-1.14=8.1(千元).故选C.答案:C2.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)得到回归直线方程x+,那么下面说法中不正确的是()A.直线x+必经过点()B.直线x+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)中的一个点C.直线x+的斜率为--D.直线x+和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)的总离差[y i-(x i+)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线答案:B3.为了考察两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2.已知两人所得的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都相等,且分别都是s,t,则下列说法正确的是()A.直线l1和l2一定有公共点(s,t)B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)C.必有直线l1∥l2D.l1和l2必定重合解析:因为l1,l2均过点(),即(s,t),故l1,l2有公共点(s,t).答案:A4.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验收集到的数据如下表:由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为.解析:设表中模糊不清的数据为m,由表中数据得=30,,将=30,代入回归直线方程,可解得m=68.答案:685.(2017湖北黄冈高三调研)许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中的一个,某机构在研究这两个因素的关系时,收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x%)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y%)的数据,建立的回归直线方程是=0.8x+4.6,这里,斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加,则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加左右.解析:回归直线方程y=0.8x+4.6中,回归系数是0.8,回归截距是4.6,斜率的估计0.8表示一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%,则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右.答案:1%0.8%6.(2017安徽安庆高三三模)某电脑公司的三名产品推销员的工作年限与年推销金额数据如下表:由表中数据算出线性回归直线方程x+中的,若该电脑公司的第四名推销员的工作年限为6年,则估计他的年推销金额为万元.解析:由已知可知回归直线方程为x+×(3+5+10)=6,×(2+3+4)=3,代入回归直线方程得,因此他的年推销金额为×6+=3(万元).答案:37.导学号17504035炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一些数据,如下表所示:(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?(2)求回归直线方程.(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?解:(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示:从图中可看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.(2)列出下表,并用科学计算器进行计算:高中数学必修3设所求的回归直线方程为=bx+a,其中a,b的值使Q=(y i-bx i-a)2的值最小.-≈1.267 3,≈-30.514 5,-即所求的回归直线方程为=1.267 3x-30.514 5.(3)当x=160时,y=1.267 3×160-30.514 5≈172(min),即大约冶炼172 min.。
2019-2020学年人教课标A版高中数学必修三课后作业15变量间的相关关系 Word版含解析
姓名，年级：时间：课后作业（十五)（时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟）1．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后,两个变量的相关关系更明显( ）A．D B．EC．F D．A［解析] A、B、C、D、E五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F点离得远,故去掉点F.[答案］C2．已知变量x和y满足关系错误!＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关,x与z正相关［解析］因为错误!＝－0。
1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝错误!y＋错误!，错误!〉0，则z＝错误!y＋错误!＝－0.1错误!x＋错误!＋错误!，故x与z负相关．［答案］C3．下列有关回归方程错误!＝错误!x＋错误!的叙述正确的是（）①反映错误!与x之间的函数关系;②反映y与x之间的函数关系；③表示错误!与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①② B．②③ C．③④ D．①④［解析] 错误!＝错误!x＋错误!表示错误!与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系,且它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．故选D。
[答案] D4．设有一个回归方程为错误!＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时( )A．y平均增加1。
5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1。
5个单位D．y平均减少2个单位[解析] ∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1。
5个单位．［答案］C5．已知x与y之间的一组数据:则y与x错误!错误!错误!必过点（）A．(2，2）B．(1,2）C．(1.5，0）D．（1。
5，4）［解析］易得错误!＝1.5，错误!＝4，由于回归直线过样本点的中心(错误!，错误!），故选D。
［答案］D6．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是________．［解析] ①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系成正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积之间是函数关系;⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤.［答案] ②⑤7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：错误!错误!错误!错误!＝0。
人教课标版(B版)高中数学必修3《变量的相关性》同步练习2
2.3变量的相关性一、跟踪练习2.3.1 变量间的相关关系1.下面两个变量有相关关系的是（ ）A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重D.铁的大小与质量2.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ）A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似的表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 3.观察下列四个散点图，两个变量具有相关关系的是（ ）4.下列变量之间的关系①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程②平均每日的学习时间和平均学习成绩③某人每日的吸烟量和其身体健康状况④森正方形的边长和面积⑤汽车的重量和百公里的耗油量，其中是正相关关系的是2.3.2 两个变量的线性相关1.下列有关线性回归的说法，不正确的是（ ）A.一变量取值一定时，另一变量的取值有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程能代表观测值x 、y 之间的关系D.任何一组观测值都能得到相应的回归直线方程。
2.线性回归直线方程表示的直线y a bx =+必定过点（ ） A.(0,0) B.(,0)x C.(0,)y D.(,)x y3.已知某车间加工零件的个数x 与所花费的时间y(h)之间的线性回归方程为0.010.5y x =+BACD则加工600个零件大约需要（）A .6.5h B.5.5h C.3.5h D.0.5h4. 一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，如下表（单位：kg）(参考数据7217000iix==∑，7211132725iiy==∑，7187175i iix y==∑)（1）判断x与y是否具有相关关系；（2）如果x与y具有相关关系，求出回归直线方程。
二、考题连线1. 已知x与y之间的一组数据：x 0 1 23y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程为y=a+bx必过点（）A．(2,2) B. (1.5,2)C．(1,2)D．(1.5,4)2. 某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系。
2020学年高中数学课时分层作业14变量的相关性(含解析)新人教B版必修3(2021-2022学年)
课时分层作业(十四）变量的相关性(建议用时：6０分钟）［合格基础练]一、选择题1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D.人的年龄和身高D［A、B、C都是函数关系，对于Ａ,Ｖ=ａ3；对于B，S＝πr2;对于Ｃ,ｇ(n）=（ｎ-２）π。
而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D。
]2.已知变量ｘ,y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示,则其回归方程可能为( )Ａ.错误!未定义书签。
＝1。
5x＋２B。
错误!未定义书签。
=-1。
5x＋2C.错误!未定义书签。
=1.5ｘ－２D。
错误!未定义书签。
=-1。
５ｘ-2B[由散点图知，变量x、ｙ呈负相关，且回归直线在y轴上的截距大于０，故错误!<0,错误!＞0。
因此回归方程可能为错误!未定义书签。
＝-1.5x+２.］3．有几组变量:①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩;③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是()A.①③ ﻩB.②③C ．② ﻩ D.③Ｃ [①是负相关;②是正相关；③是函数关系，不是相关关系．]４．设某大学的女生体重y (单位:ｋｇ)与身高x （单位:cm ）具有线性相关关系．根据一组样本数据（ｘi ,y i )(ｉ=1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归直线方程为＼o （y ，^）＝0．85x －８5.71,则下列结论中不正确的是（ ）Ａ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ,错误!）C ．若该大学某女生身高增加1 ｃm ，则其体重约增加0.85 kgＤ．若该大学某女生身高为１７0 c ｍ，则可断定其体重必为５8。
7９ kgD ［错误!未定义书签。
为正数,所以两变量具有正的线性相关关系，故A 正确；Ｂ,C 显然正确；若该大学某女生身高为170 ｃｍ，则可估计其体重为58.79 kg.]５.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归直线方程=＋中的!未定义书签。
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变量的相关性课后练习题一：下面哪些变量是相关关系( )A ．出租车车费与行驶的里程B ．房屋面积与房屋价格C ．身高与体重D ．铁块的大小与质量题二：下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④题三：观察下列各图形其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．②③题四：已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A ．y ^＝1.5x ＋2B ．y ^＝－1.5x ＋2C ．y ^＝1.5x －2D ．y ^＝－1.5x －2题五：一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i =1x i y i ＝3245，x ＝25，y ＝15.43，⎭⎫∑7i =1x 2i ＝5075，7(x )2＝4375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．题七：由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题八：设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg题九：工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元题十：某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．题十一：如图所示，有A，B，C，D，E5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．题十二：甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析m如下表：A，B两个变量有更强的线性相关性．题十三：对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝0，1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关题十四：对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3题十五：对五个样本点(1，2.98)，(2，5.01)，(3，m )，(4，8.99)，(6，13)分析后，得到回归直线方程为y ＝2x ＋1，则样本点中m 为________．A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176题十七：以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)若销售价格y (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．题十八：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)变量的相关性 课后练习参考答案题一： C ．详解：A ，B ，D 都是函数关系，其中A 一般是分段函数，只有C 是相关关系．题二： C ．详解：由回归分析的方法及概念判断．题三： C ．详解：从散点图可看出③④所有点看上去都在某条直线(曲线)附近波动，具有相关关系．题四： B ．详解：设回归方程为y ^＝bx ＋a ．由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此其回归直线方程可能为y ^＝－1.5x ＋2．题五： (1)见详解；(2)y ^＝0.79x －4.32；(3) 59． 详解：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32． (3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59．题六： (1) 略；(2) y ^＝0.5x ＋0.4；(3) 5.9万元．详解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^．则b ^＝∑x =15(x i －x )(y i －y －)∑x =15(x i －x )2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4． (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9 (万元)． ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．题七： B ．详解：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．题八： D ．详解：由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．题九： C ．详解：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．题十： 68．详解：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60．∴y ^＝－2x ＋60． 令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68． 题十一： D ．详解：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D ．题十二： 丁．详解：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．题十三： C ．详解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C ．题十四： A ．详解：第1组和第3组为正相关，第2组和第4组为负相关，所以r 1，r 3>0，r 2，r 4<0，并且从图中可知第1组比第3组相关性要强，第2组比第4组相关性要强．故选A ．题十五： 7.02．详解：回归直线方程y ＝2x ＋1过样本中心点，将x ＝3.2代入方程得y ＝7.4，则可算出m ＝7.02．题十六： C ． 详解：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C ．题十七： (1) 回归直线方程为 y ^＝0.1962x ＋1.8142；(2) 31.2442(万元)． 详解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2．设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n(x i －109)2＝3081 570≈0.1962，a ＝y －b x ≈23.2－0.1962×109＝1.8142， 故回归直线方程为y ^＝0.1962x ＋1.8142．(2) 由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)．题十八： (1) y ^＝－20x ＋250；(2)单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．详解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80．所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250． (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20()x －3342＋361.25．当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。