2019高考数学考点突破——选考系列:坐标系 Word版含解析

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2019届高考数学备考关键问题指导 专题07 极坐标系与参数方程 Word版含解析

2019届高考数学备考关键问题指导 专题07 极坐标系与参数方程 Word版含解析

专题七 极坐标系与参数方程【高考考场实情】极坐标与参数方程为高考选考内容之一,一道解答题,满分10分,考查难度定位中等偏易,是考生容易突破的一道题目。

【考查重点难点】主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程,考查直线、圆、椭圆的参数方程,考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化,考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立,考查参数方程与极坐标方程的直接应用,如极坐标系下两点间距离的求解等,交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问,第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ϑρ,的几何意义解决问题,内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说,本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后,均可用解析几何的相关知识加以解决,但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查,下面从学生存在的主要问题剖析出发,提出相应的教学对策. 【存在问题分析】(一)对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 【例1】在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2,()23x tt y t=--⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长;【名师点睛】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清,错误的由点,A B 对应的参数分别为12,t t 得2121212||||()414AB t t t t t t =-=+-=. 当直线的参数方程非标准式时,其参数并不具有距离的几何意义,只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时,||t 才表示距离.一般地,直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t表示参数),当122=+b a 时,||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例2】在直角坐标系xOy ,直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 是参数).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C :4cos ρθ=,若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,设(1,0)P ,且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角.【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线,由1cossin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=,整理得22cos 30t t α--=,2(2cos )120α∆=+>,设,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122cos t t α+=,1230t t ⋅=-<, 所以1t ,2t 异号, 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==,所以1cos 2α=±,又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【名师点睛】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致,||t 表示距离,t 是包含符号的,由于本题中,,A B 在P 点的两侧,12t ,t 异号,故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外,本题的参数方程中含两个字母参量,哪个是参数在审题时也是值得特别注意的. (二)忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例题3】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩(θ为参数)化为普通方程.【名师点睛】本题易错点主要在于忽视了三角函数sin y x =的有界性,即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把其中的参数消去,还要注意y x ,的取值范围. (三)对极径的意义理解不到位,不能灵活使用极径解决问题【例题4】(2017全国II 卷22)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.(Ⅰ)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足6⋅=OM OP ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点A 的极坐标为)3,2(π,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.【解析】(Ⅰ)设P 的极坐标为(,)(>0)ρρθ,M 的极坐标为11()(>0),ρθρ,则由已知得116⋅=ρρ即416cos ⋅=ρθ,得2C 的极坐标方程为4cos (0)=>ρθρ, 所以2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠【名师点睛】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位,其一,不能将极径与OM 、OP 建立联系,从而无法快速求出P 的轨迹方程,其二,不能利用极径的几何意义建立OAB ∆的面积模型进行求解,而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路,结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB ∆面积关于直线OB 斜率的函数关系,致使解题过程复杂化,计算量加大,最终无法准确求解. 此外,在第(Ⅰ)问题目中还隐含着一个条件0>ρ,如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件. (四)思维不严谨性,完备性欠缺【例题5】在平面直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数).(Ⅰ)将1C 的方程化为普通方程;(Ⅱ)以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线2C 的极坐标方程是)(3R π∈=ρθ求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【解析】(Ⅰ)曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)的普通方程为22(2)4x y -+=;(Ⅱ)把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=,把3π=θ代入得4cos23πρ==,又因为曲线1C 和曲线2C 的均过原点,.所以曲线1C 与2C 交点的极坐标为(0,0),(2,).3π【名师点睛】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏(0,0)点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中,经常需要在方程两边同乘以或除以ρ,这时需要考虑等价问题:如果曲线0),(=θρϕ不通过极点,那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ不等价;如果曲线0),(=θρϕ通过极点,那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ等价,这是因为0=ρ包含在方程(,)0ϕρθ=的曲线中. 本题由于曲线1C 和曲线2C 的均过原点,所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难,且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题,一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.【例题6】在直角坐标系xOy 中,直线4:1=+y x C 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C (θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)写出直线1C 与2C 的极坐标方程;(Ⅱ)若射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于A ,B 两点,求OAOB 的取值范围.【解析】(Ⅰ) 在直角坐标系xOy 中,直线4:1=+y x C ∴直线1C 的极坐标方程为,4)sin (cos =+θθρ 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C 的普通方程为1)1(22=+-y x ,∴曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=.【名师点睛】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘,求出OA OB ],1)42(cos 2[41)12sin 2(cos 41)sin (cos cos 241||||12+-=++=+⋅==πααααααρρOA OB 后直接得OAOB 的取值范围是]4221,4221[+-忽略了射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于相交,隐含着24ππ<<-α这一条件.【解决问题对策】(一)关注两个“互化”的技能训练【指点迷津】参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一,考查形式多样,有直接要求互化的,也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程,然后利用解析几何的相关知识解决问题的,因此,应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例7】(2017年高考全国III 卷23)在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数),直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数).设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)写出C 的普通方程;(Ⅱ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3cos sin 20l ρθθ+-=:,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.(Ⅱ)将极坐标方程转化为一般方程3:20l x y +-=,联立22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩,解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,解得5ρ=,即M 的极半径是5. (二)强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识【指点迷津】利用直线参数方程中参数t 的几何意义,可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例8】在极坐标系中,已知曲线1C :θρcos 2=和曲线2C :3cos =θρ,以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)若点P 是曲线1C 上一动点,过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ,求线段PQ 长度的最小值.可知2|||||2cos |AP t θ==代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=, 可知/1||||||cos AQ t θ== 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号, 所以线段PQ 长度的最小值为22.(三)关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用【指点迷津】涉及有关最值或参数范围问题的求解,常可利用圆与椭圆的参数方程,化为三角函数的最值问题处理.【例9】(2017年高考全国I 卷22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.(Ⅰ)若1a =-,求C 与l 的交点坐标;(Ⅱ)若C 上的点到l 的距离的最大值为17,求a .(四)关注极径、极角几何意义的认识与应用 【例10】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以原点O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(Ⅰ)求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈,点A 是曲线3C 与1C 的交点,点B 是曲线3C 与2C 的交点,且A ,B 均异于原点O ,且||42AB =,求实数α的值. 【解析】(Ⅰ)由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=,.4sin ρθ=,∴24sin ρρθ=,由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=;(Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线1C :22(2)4x y -+=,其极坐标方程为4cos ρθ=, 由题意设1(,)A a ρ,2(,)B a ρ,则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42|sin()|424πα=-=,∴sin()14πα-=±,∴42k ππαπ-=+()k Z ∈,π<<α0,∴43π=α.(五)注重算法的选择,关注运用本领域知识进行的问题解决【指点迷津】将陌生的问题化为已知的问题加以解决,是问题解决的常见思维模式,对极坐标、参数方程的有关问题解决,最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程,再利用解析几何的知识解决问题,然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程,有时还会出现无法计算结果的情形,近年来高考全国卷就经常出现这种情况,因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外,还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例11】(2016年高考全国Ⅲ卷22)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= . (Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解法一】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(Ⅱ)设点(3cos sin )P αα+,因2C 为直线,所以PQ 的最小值即为点P 到直线2C 的距离的最小值.而点P 到直线2C 的距离为3cos sin 42sin()232d ααπα+-==+-当且仅当2(Z)6k k παπ=+∈时,d 取得最小值2,即PQ 的最小值为2,此时点31(,)22P . 【解法二】(Ⅰ)同法(Ⅰ).当2c =-时,方程2246(33)0x cx c ++-=可化为241290x x -+=,即2(23)0x -=所以32x =,122y x =-+=,即切点31(,)22P ,此时 4222d -+==,即PQ 的最小值为2.【名师点睛】显然,法一优于法二,即利用椭圆参数方程,将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决.【新题好题训练】1.已知直线的参数方程:(为参数),曲线的参数方程:(为参数),且直线交曲线于两点.(Ⅰ)将曲线的参数方程化为普通方程,并求时,的长度;(Ⅱ)已知点,求当直线倾斜角变化时,的范围.【答案】(I);(II).【解析】试题分析:(I)利用消参后可得曲线C的普通方程,把代入交消去参数可得直线的普通方程,再把直线方程代入曲线C方程,结合韦达定理、弦长公式可得弦长;(II)直线的参数方程是标准参数方程,直接代入曲线C的普通方程,A、B两点参数是此方程的解,且,由此可得其取值范围.试题解析:(Ⅰ)曲线的参数方程:(为参数),曲线的普通方程为.当时,直线的方程为,代入,可得,∴.∴.(Ⅱ)直线参数方程代入,得.设对应的参数为,∴.2.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与的直角坐标方程;(2)判断曲线是否相交,若相交,求出相交弦长.【答案】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2).试题解析:(1)由题知,将曲线的参数方程消去参数,可得曲线的普通方程为.由,得.将,代入上式,得,即.故曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知,圆的圆心为,半径,因为圆心到直线的距离,所以曲线相交,所以相交弦长为.3.在直角坐标系中,曲线的参数方程为:,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1) 若把曲线上的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线,求的极坐标方程;(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点,求三角形的面积.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)根据坐标变换得到曲线,利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程;(2)转化为直角坐标系方程后,联立方程组,解出点的坐标,计算即可.(2)(法一)直线与曲线的交点为,则的极坐标满足方程组:解之得:、,(法二)直线与曲线C1的交点为,则A、B的直角坐标满足方程组:联立方程可得:、,所以边上的高为,4.已知圆锥曲线(为参数)和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点,以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的直角坐标方程;(2)经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点,求的值.【答案】(1);(2).解析:(1)得圆锥曲线的直角坐标方程为,椭圆的左焦点为,右焦点为,∴直线的直角坐标方程为,即为(2)∵直线与直线垂直且过点,∴直线的参数方程为(为参数).将其代入得,即,∴,,∴与异号,∴.∴=.5.选修4-4:坐标系与参数方程已知在极坐标系中,点,,是线段的中点,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标系,曲线的参数方程是(为参数). (1)求点的直角坐标,并求曲线的普通方程;(2)设直线过点交曲线于两点,求的值.【答案】(Ⅰ),. (Ⅱ)12.试题解析:((Ⅰ)将点,的极坐标化为直角坐标,得和.所以点的直角坐标为.将消去参数,得,即为曲线的普通方程.(Ⅱ)解法一:直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角)代入,整理得:.设点、对应的参数值分别为、.则,.解法二:过点作圆:的切线,切点为,连接,因为点由平面几何知识得:,所以.6.在平面直角坐标系中,以为极点,轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数,),直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)若为曲线上任意一点,为直线任意一点,求的最小值.【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.试题解析:(1)曲线的参数方程为(为参数,),消去参数可得,由于,所以,故曲线的轨迹方程是.由,可得,即,把代入上式可得,故直线的直角坐标方程为.(2)由题意可得点在直线上,点在半圆上,半圆的圆心到直线的距离等于,故的最小值为.点睛:解答本题时注意以下两点:(1)消去参数方程中的参数得到普通方程时,要注意参数取值范围的限制,在普通方程中仍要注明取值范围.(2)解答解析几何中的最值问题时,对于一些特殊的问题,可根据几何法求解,以增加形象性、减少运算量.7.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),已知直线的方程为. (1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最小值;(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方,求的取值范围.【答案】(1).(2).(Ⅱ)若曲线上的所有点均在直线的右下方则,有恒成立,即恒成立,恒成立,即可求的取值范围.试题解析:(Ⅰ)依题意,设,则点到直线的距离,当,即,时,,故点到直线的距离的最小值为.(Ⅱ)因为曲线上的所有点均在直线的右下方,所以对,有恒成立,即恒成立,所以,又,所以.故的取值范围为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查参数方程的运用,考查学生转化问题的能力,属于中档题.8.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点是曲线上一点,点是曲线上一点,的最小值为,求实数t的值.【答案】(1)见解析;(2)或.试题解析(1)由曲线的参数方程,消去参数,可得的普通方程为,即,化为极坐标方程为,由曲线的极坐标方程(),得(),∴曲线的直角坐标方程为,即.(2)曲线的圆心到直线的距离,故的最小值为,解得或.9.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的曲线上运动.(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设,求面积的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) .【解析】试题分析:试题解析:(Ⅰ)设,则,又,,,,.将代入上式可得点的直角坐标方程为.(Ⅱ)设,则,的面积,当且仅当,即时等号成立面积的最大值为.10.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(I)求圆的直角坐标方程;(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】分析: (I)直接利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程. (II)先求出直线l与圆的公共点,再数形结合分析出的取值范围.详解:(Ⅰ)∵圆的极坐标方程为又∴∴圆普通方程为,设.故点在线段上从而当与点重合时,当与点重合时,故的取值范围为[-1,1].点睛:对于第(Ⅱ)问,方法比较多,本题的解答时利用了数形结合的方法.,z表示直线的纵截距,纵截距最大,z最大,纵截距最小,z最小. 一般看到二元一次多项式要联想到利用直线的纵截距的几何意义解答比较方便.。

(全国通用版)2019版高考数学总复习专题八选考内容8.1坐标系与参数方程课件理

(全国通用版)2019版高考数学总复习专题八选考内容8.1坐标系与参数方程课件理
8.1 坐标系与参数方程 (二选一)
1.每年必考考题,二选一选作题中的第1个(2017年以前为三选一). 2.解答题,选作题,10分,中低档难度. 3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.
2014 2015 2016 年 年 年 2017 年 2018 年
2019 年高考必备 命 题 角 度1 命 题 角 度2
2 sin2������, 2 2 2 - 2 - 2 cos2������
α 为参数,4<α< 4 .
π

-10-
4.(2017 全国Ⅰ· 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ������ = 3cos������, ������ = ������ + 4������, (θ 为参数),直线 l 的参数方程为 (t 为参数). ������ = 1-������, ������ = sin������, (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.
|-������+2|
2
������ +1
=2,故 k=-3或 k=0.经检验,当 k=0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k=-3 Nhomakorabea4
4
时,l1 与 C2 只有一个公共点,l2 与 C2 有两个公共点. 当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以
|������+2|
4(2cos������+sin������) 又由①得 t1+t2=- 1+3cos2 ������ ,故 2cos
������2 的直角坐标方程为 4
������2 + 16=1.

2019版高考数学(文)选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲坐标系 Word版含答案

2019版高考数学(文)选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲坐标系 Word版含答案

第讲坐标系
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点坐标变换
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点(,)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点(,)对应到点′(′,′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
考点极坐标与直角坐标
.极坐标系:在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系.
.点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点,若设=ρ(ρ≥),以极轴为始边,射线为终边的角为θ,则点可用有序数对(,θ)表示.
.极坐标与直角坐标的互化公式:在平面直角坐标系中,以为极点,射线的正方向为极轴方向,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点的直角坐标为(,),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为
考点常用简单曲线的极坐标方程。

2019届高三数学(理)二轮专题复习文档专题七选考系列 第1讲 坐标系与参数方程 Word版含解析

2019届高三数学(理)二轮专题复习文档专题七选考系列 第1讲 坐标系与参数方程 Word版含解析

第讲坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟.(·全国Ⅱ卷)在直角坐标系中,曲线的参数方程为θ,= θ)) (θ为参数),直线的参数方程为α,=+ α))(为参数).()求和的直角坐标方程;()若曲线截直线所得线段的中点坐标为(,),求的斜率.解()曲线的直角坐标方程为+=.当α≠时,的直角坐标方程为=α·+-α,当α=时,的直角坐标方程为=.()将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程(+α)+ ( α+α)-=.①因为曲线截直线所得线段的中点(,)在内,所以①有两个解,设为,,则+=.又由①得+=-α+ α)+α),故α+α=,于是直线的斜率=α=-..(·全国Ⅰ卷)在直角坐标系中,曲线的方程为=+.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρ+ρθ-=.()求的直角坐标方程;()若与有且仅有三个公共点,求的方程.解()由=ρθ,=ρθ,得的直角坐标方程为++-=,即(+)+=.()由()知是圆心为(-,),半径为的圆.由题设知,是过点(,)且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为,轴左边的射线为.由于在圆的外面,故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点,或与只有一个公共点且与有两个公共点.当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以=,故=-或=.经检验,当=时,与没有公共点;当=-时,与只有一个公共点,与有两个公共点.当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以=,故=或=.经检验,当=时,与没有公共点;当=时,与没有公共点.综上,所求的方程为=-+.考点整合.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(,)和(ρ,θ),则θ,=ρ θ,))θ=()(≠).)).直线的极坐标方程若直线过点(ρ,θ),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρ(θ-α)=ρ(θ-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程:()直线过极点:θ=α;。

2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义:第12章选4系列 12.1 坐标系 Word版含解析

2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义:第12章选4系列 12.1 坐标系 Word版含解析

第 12章 选4系列 12.1 坐标系[知识梳理] 1.伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:⎩⎪⎨⎪⎧ x =ρcos θ,y =ρsin θ;⎩⎨⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=yx (x ≠0).[诊断自测] 1.概念思辨(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)点P 的直角坐标为(-2,2),那么它的极坐标可表示为⎝⎛⎭⎪⎫2,3π4.( )(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α.( )(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ=2a sin θ.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.教材衍化(1)(选修A4-4P 15T 4)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A .ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π2B .ρ=1cos θ+sin θ,0≤θ≤π4C .ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2 D .ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y =1-x (0≤x ≤1), ∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1); ∴ρ=1sin θ+cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.故选A. (2)(选修A4-4P 8T 5)通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换,可以把椭圆(x +1)29+(y -1)24=1变为圆心在原点的单位圆,求上述平移变换和伸缩变换,以及这两种变换的合成的变换.解先通过平移变换⎩⎨⎧x ′=x +1,y ′=y -1,把椭圆(x +1)29+(y -1)24=1变为椭圆x ′29+y ′24=1;再通过伸缩变换⎩⎨⎧x ″=x ′3,y ″=y ′2,把椭圆x ′29+y ′24=1变为单位圆x ″2+y ″2=1.上述两种变换的合成变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″=x +13,y ″=y -12.3.小题热身(1)(2017·东营模拟)在极坐标系中,已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π6,则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A .ρsin θ=1B .ρsin θ= 3C .ρcos θ=1D .ρcos θ= 3 答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π6转化为点x =ρcos θ=2cos π6=3,y =ρsin θ=2sin π6=1,即(3,1),过点(3,1)且平行于x 轴的直线为y =1,再化为极坐标为ρsin θ=1.故选A.(2)(2016·北京高考)在极坐标系中,直线ρcos θ-3ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A ,B 两点,则|AB |=________.答案 2解析 将ρcos θ-3ρsin θ-1=0化为直角坐标方程为x -3y -1=0,将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1,圆心坐标为(1,0),半径r =1,又(1,0)在直线x -3y -1=0上,所以|AB |=2r =2.题型1 平面直角坐标系中的伸缩变换典例将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(1)求曲线C 的标准方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.由题意找出(x ,y )与(x 1,y 1)的关系,采用代入法求解.解 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上点(x ,y ),依题意,得⎩⎨⎧x =x 1,y =2y 1,由x 21+y 21=1得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1, 故曲线C 的方程为x 2+y24=1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得⎩⎨⎧x =1,y =0或⎩⎨⎧x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 故所求直线的极坐标方程为ρ=34sin θ-2cos θ. 方法技巧伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y =f (x )在变换φ:⎩⎨⎧x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x =x ′λ,y =y ′μ代入y =f (x ),得y ′μ=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ,整理之后得到y ′=h (x ′),即为所求变换之后的方程.见典例.提醒:应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x ,y )与变换后的坐标(x ′,y ′).冲关针对训练求双曲线C :x 2-y 264=1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =2y ′代入x 2-y264=1,得x ′29-4y ′264=1,化简得x ′29-y ′216=1,即x 29-y 216=1为曲线C ′的方程,可见仍是双曲线,则焦点F 1(-5,0),F 2(5,0)即为所求.题型2 极坐标与直角坐标的互化典例(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.(1)用转化公式;(2)理解ρ1,ρ2的几何意义,化成ρ的二次方程后,利用韦达定理求ρ1,ρ2.解 (1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12. 方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化1.直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x =ρcos θ及y =ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.冲关针对训练(2016·北京高考改编)在极坐标系中,已知极坐标方程C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0,C 2:ρ=2cos θ.求曲线C 1,C 2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状.解 由C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0, ∴x -3y -1=0,表示一条直线. 由C 2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ. ∴x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1.所以C 2是圆心为(1,0),半径r =1的圆. 题型3 极坐标方程的应用典例 (2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B两点,|AB |=10,求l 的斜率.解方程组⎩⎨⎧θ=α,ρ2+12ρcos α+11=0,利用韦达定理求|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2即可.解 (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ). 设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C的极坐标方程,得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos 2α-44.由|AB |=10,得cos 2α=38,tan α=±153.所以l 的斜率为153或-153. 方法技巧极坐标方程及其应用的类型及解题策略1.求极坐标方程.可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程.2.求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.3.求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度.冲关针对训练在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =7cos α,y =2+7sin α(其中α为参数),曲线C 2:(x -1)2+y 2=1.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB |. 解(1)由⎩⎨⎧x =7cos α,y =2+7sin α,得⎩⎨⎧x =7cos α,y -2=7sin α,所以曲线C 1的普通方程为x 2+(y -2)2=7.把x =ρcos θ,y =ρsin θ代入(x -1)2+y 2=1,得(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(2)依题意可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1,π6,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2,π6. 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2-4ρsin θ-3=0, 将θ=π6(ρ>0)代入曲线C 1的极坐标方程,得 ρ2-2ρ-3=0,解得ρ1=3.同理,将θ=π6(ρ>0)代入曲线C 2的极坐标方程, 得ρ2=3,所以|AB |=|ρ1-ρ2|=3- 3.1.(2017·南阳期末)直线l :y +kx +2=0与曲线C :ρ=2cos θ有交点,则k 的取值范围是( )A .k ≤-34B .k ≥-34C .k ∈RD .k ∈R 但k ≠0答案 A解析 由曲线C :ρ=2cos θ化为ρ2=2ρcos θ, ∴x 2+y 2=2x ,联立⎩⎨⎧x 2+y 2=2x ,y +kx +2=0,化为(1+k 2)x 2+(4k -2)x +4=0.∵直线l 与曲线C 有交点, ∴Δ=(4k -2)2-16(1+k 2)≥0,化为16k ≤-12, 解得k ≤-34.∴k 的取值范围是k ≤-34.故选A.2.(2017·甘谷期末)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,3π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫-2,7π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2,7π4答案 B 解析由⎩⎨⎧ρ=2sin θ,ρcos θ=-1,可得sin2θ=-1,再根据0≤θ<2π求得2θ=3π2,∴θ=3π4,∴ρ=2sin θ=2,∴曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,3π4.故选B.3.(2017·大庆期中)已知A ,B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6,π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8,4π3,则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32 答案 D解析 ∵A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6,π3,∴x A =6×cos π3=3,y A =6×sin π3=33,∴A (3,33);同理可得B (-4,-43).设线段AB 的中点为M (m ,n ),由线段的中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ m =-4+32=-12,n =-43+332=-32,∴线段AB 中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32.故选D. 4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.解 (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ.由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积S =12|OA |·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π3 =2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3-32≤2+ 3.当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3.所以△OAB 面积的最大值为2+ 3.[基础送分 提速狂刷练]1.(2018·延庆县期末)在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是( )A .ρsin θ=2B .ρcos θ=2C .ρcos θ=4D .ρcos θ=-4答案 B解析 ρ=4sin θ的普通方程为x 2+(y -2)2=4,选项B :ρcos θ=2的普通方程为x =2.圆x 2+(y -2)2=4与直线x =2显然相切.故选B.2.(2017·渭滨区月考)在极坐标系中,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5,π2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8,11π6,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,7π6,则△ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .等腰三角形C .等边三角形D .钝角三角形答案 C解析 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8,5π6,∴OA =5,OB =8,OC =3,∴∠AOB =5π6-π2=π3,∠BOC =7π6-5π6=π3,∠AOC =7π6-π2=2π3,在△AOB 中,由余弦定理可得AB =25+64-2×5×8×12=7,同理可得,BC =64+9-2×8×3×12=7, AC =25+9-2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=7, ∴AB =BC =AC ,∴△ABC 是等边三角形.故选C.3.牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中,第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点,牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系.在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22. (1)求O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. 解 (1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -y =0,直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线l 的直角坐标方程为x -y +1=0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程,将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,解得⎩⎨⎧ x =0,y =1, 即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π2. 4.(2018·郑州模拟)在极坐标系中,曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ,在OQ 上取一点P ,使|OP |·|OQ |=2,求点P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形.解 (1)C 1的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C 2的直角坐标方程为x -3y -2=0,所以曲线C 2为直线,由于圆心到直线的距离为d =32>1,所以直线与圆相离,即曲线C 1和C 2没有公共点.(2)设Q (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则⎩⎨⎧ ρρ0=2,θ=θ0,即⎩⎪⎨⎪⎧ ρ0=2ρ,θ0=θ.①因为点Q (ρ0,θ0)在曲线C 2上,所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0+π3=1,② 将①代入②,得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=1, 即ρ=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3为点P 的轨迹方程,化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +322=1,因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-32为圆心,1为半径的圆.5.(2017·湖北模拟)在极坐标系中,曲线C :ρ=2a cos θ(a >0),l :ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=32,C 与l 有且仅有一个公共点. (1)求a ;(2)O 为极点,A ,B 为曲线C 上的两点,且∠AOB =π3,求|OA |+|OB |的最大值.解 (1)曲线C :ρ=2a cos θ(a >0),变形ρ2=2aρcos θ,化为x 2+y 2=2ax ,即(x -a )2+y 2=a 2.∴曲线C 是以(a,0)为圆心,a 为半径的圆.由l :ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=32,展开为12ρcos θ+32ρsin θ=32,∴l 的直角坐标方程为x +3y -3=0.由题可知直线l 与圆C 相切,即|a -3|2=a ,解得a =1.(2)不妨设A 的极角为θ,B 的极角为θ+π3,则|OA |+|OB |=2cos θ+2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3=3cos θ-3sin θ =23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6, 当θ=-π6时,|OA |+|OB |取得最大值2 3.6.(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C 的极坐标方程为ρ2-42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+6=0. (1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点P (x ,y )在圆C 上,求x +y 的最大值和最小值.解 (1)由ρ2-42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4+6=0,得 ρ2-42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4+sin θsin π4+6=0, 即ρ2-42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ+22sin θ+6=0, ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0,即x 2+y 2-4x -4y +6=0为所求圆的普通方程, 整理为圆的标准方程(x -2)2+(y -2)2=2,令x -2=2cos α,y -2=2sin α.得圆的参数方程为⎩⎨⎧ x =2+2cos α,y =2+2sin α(α为参数).(2)由(1)得, x +y =4+2(cos α+sin α)=4+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4, ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1时,x +y 的最大值为6, 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-1时,x +y 的最小值为2. 故x +y 的最大值和最小值分别是6和2.。

专题1 坐标系-备战2019高考理科数学选做题 Word版含解析

专题1 坐标系-备战2019高考理科数学选做题 Word版含解析

专题01 坐标系知识通关1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系:在平面上取一个定点O 叫做极点;自点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系(如图).(2)极坐标:设M 是平面上的任一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标,记作M (ρ,θ).3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x (x ≠0).4.圆的极坐标方程圆心为M (ρ0,θ0),半径为r 的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)如图,圆心在极点,半径为r :ρ=r (02π)θ≤<;(2)如图,圆心为M (r,0),半径为r :ρ=2r cos θππ()22θ-≤<;(3)如图,圆心为π(,)2M r ,半径为r :ρ=2r sin θ(0π)θ≤<.5.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)如图,直线过极点,且极轴到此直线的角为α:θ=α和θ=π+α(ρ∈R );(2)如图,直线过点M (a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a ππ()22θ-<<;(3)如图,直线过π(,)2M b 且平行于极轴:ρsin θ=b (0π)θ<<.基础通关1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 题组一 平面直角坐标系中的伸缩变换解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P (x ,y )与变换后的点P ′(x ′,y ′)的坐标关系,利用方程思想求解.【例1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y .(1)求点1(,2)3A -经过φ变换所得点A ′的坐标; (2)求直线l :y =6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.【解析】(1)设点A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=y 2,∴x ′=13×3=1,y ′=-22=-1. ∴点A ′的坐标为(1,-1).(2)设P ′(x ′,y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′3,y =2y ′,代入y =6x ,得2y ′=6·x ′3=2x ′,∴y ′=x ′,故y =x 即为所求直线l ′的方程. 题组二 极坐标和直角坐标的互化一是坐标点的互化,极坐标的点化为直角坐标的点较简单,代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可,直角坐标化极坐标利用公式222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩即可,要注意ρ、θ的取值范围; 二是方程的互化,直角坐标的方程化极坐标的方程代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化为极坐标,极坐标方程化直角坐标方程,为公式逆用,构造公式右边,常在等式两边同乘ρ,角化为单角θ的正、余弦.注意:进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧. 【例2】在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l:πsin()42ρθ-=. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.【例3】在极坐标系中,已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=1,圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π4,圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程; (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.【解析】(1)设O 为极点,OD 为圆C 的直径,A (ρ,θ)为圆C 上的一个动点,则∠AOD =π4-θ或∠AOD=θ-π4,∴OA =OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-θ或OA =OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4, ∴圆C 的极坐标方程为ρ=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=1,得22ρ(sin θ+cos θ)=1,∴直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0, 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22,22,满足直线l 的方程, ∴直线l 过圆C 的圆心,故直线被圆所截得的弦长为直径2. 能力通关1.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.极坐标与P 点之间不是一一对应的,所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.2.求解与极坐标有关的问题,主要有两种方法:一是直接利用极坐标求解;二是转化为直角坐标后,用直角坐标求解,使用后一种时应注意若结果是要求极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.利用极坐标的几何意义解决问题【例1】在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN △的面积.坐标系的综合问题【例2】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ),依题意,得112x x y y =⎧⎨=⎩.由x 21+y 21=1得22()12y x +=,故曲线C 的方程为22=14y x +.(2)由221422=0y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为1(,1)2,所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为111()22y x -=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 故所求直线的极坐标方程为3=4sin 2cos ρθθ-.高考通关1.在极坐标系中,已知曲线C 1,C 2的极坐标方程C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0,C 2:ρ=2cos θ. (1)求曲线C 1,C 2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状; (2)若曲线C 1,C 2交于A ,B 两点,求两交点间的距离.【解析】(1)由C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0,得x -3y -1=0,表示一条直线. 由C 2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ, ∴x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1.∴曲线C 2是圆心为(1,0),半径r =1的圆.(2)由(1)知点(1,0)在直线x -3y -1=0上, 因此直线C 1过圆C 2的圆心.∴两交点A ,B 的连线段是圆C 2的直径. 因此两交点A ,B 间的距离为|AB |=2r =2.2.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=(0a >),Q 为l 上一点,以OQ 为边作等边三角形OPQ ,且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列. (1)当点Q 在l 上运动时,求点P 运动轨迹的直角坐标方程; (2)若曲线C :222x y a +=,经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ',试判断点P 的轨迹与曲线C '是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,如果没有,请说明理由.【解析】(1)设点P 的坐标为(),ρθ,则由题意可得点Q再由点Q 的横坐标等于a ,0a >可得1cos sin 2a ρθθ=,故当点Q 在l 上运动时,点P 的直角坐标方程为20x a -=.3.在直角坐标系xOy 中,直线1C :0x =,圆2C :()(22111x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C ,2C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ,设1C 与2C 的交点为A ,2C 与3C 的交点为B ,求OAB △的面积.【解析】(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=, 所以1C 的极坐标方程为cos 0ρθ=,即π2θ=()ρ∈R ,2C 的极坐标方程为((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=.(2)将π2θ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=,得((22130ρρ-+++=,解得11ρ=将π4θ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--+++=,得((22130ρρ-+++=,解得21ρ=.故OAB △的面积为(21π1sin 124⨯+⨯=.【名师点睛】本题着重考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,三角形的面积问题可以利用面积公式或者转化成弦长问题和点到直线的距离解决.(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 可得其极坐标方程; (2)分别将ππ,24θθ==代入2C 的极坐标方程,可求得12,ρρ的值,进而计算OAB △的面积. 4.已知椭圆W :2214x y +=,抛物线N :24y x =,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求椭圆W 及抛物线N 的极坐标方程;(2)过原点O 的直线l 与椭圆W 交于点A 、B ,与抛物线N 交于点D (异于原点),设抛物线N 的焦点为F ,若AB =,求ABF △的面积. 【解析】(1)椭圆的极坐标方程为:22413sin ρθ=+, 抛物线的极坐标方程为:2sin4cos ρθθ=.(2)设直线l 的极坐标方程为()(,0,π)θαρα=∈∈R ,22244cos ,13sin sin OB OD ααα∴==+,,AB =,OB ∴=22120OB OD ∴=, 222414cos 13sin 20sin ,ααα⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭28sin ,25OB OB α∴===,1sin 2OBF S OF OB α∴=⋅⋅=△2ABF OBF S S ∴==△△. 【名师点睛】以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中极坐标与直角坐标的关系是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,代入可相互转化,由于ρ表示点到极点(原点O )的距离,因此本题用极坐标方程求解显得更加方便.。

2019年高考数学真题专题18 坐标系与参数方程

2019年高考数学真题专题18    坐标系与参数方程

专题18 坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-;l 的直角坐标方程为23110x y ++=;(2)7.【解析】(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l 的直角坐标方程为23110x y ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=.当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)023ρ=,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 233ρπ==. 由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中,cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=. 因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型. 3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,(2,)4B π,(2,)4C 3π,(2,)D π,弧»AB ,»BC ,»CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧»AB ,曲线2M 是弧»BC ,曲线3M 是弧»CD. (1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||3OP =,求P 的极坐标.【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.(2)π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】(1)由题设可得,弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=,2sin ρθ=,2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若π04θ≤≤,则2cos 3θ=,解得π6θ=; 若π3π44θ≤≤,则2sin 3θ=,解得π3θ=或2π3θ=; 若3ππ4θ≤≤,则2cos 3θ-=,解得5π6θ=. 综上,P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题. 4.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】(1)5;(2)2.【解析】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B (2,2π), 由余弦定理,得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点(32,)2π,倾斜角为34π. 又(2,)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【答案】(1)2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.;(2)1C 的方程为4||23y x =-+. 【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,所以2|2|21k k -+=+,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,所以2|2|21k k +=+,故0k =或43k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+. 6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=,l 的直角坐标方程为1x =;(2)l 的斜率为2-.【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点()02-,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)α的取值范围是(,)44π3π.;(2)点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 【解析】(1)O e 的直角坐标方程为221x y +=.当2απ=时,l 与O e 交于两点. 当2απ≠时,记tan k α=,则l 的方程为2y kx =-.l 与O e 交于两点当且仅当22||11k<+,解得1k <-或1k >,即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈. 综上,α的取值范围是(,)44π3π.(2)l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数,44απ3π<<). 设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t 满足222sin 10t t α-+=.于是22sin A B t t α+=,2sin P t α=.又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 8.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为23. 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ, 所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π6.连结OB,因为OA为直径,从而∠OBA=π2,所以π4cos236AB==.因此,直线l被曲线C截得的弦长为23.9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩(为参数).(1)若1-=a,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.【答案】(1)(3,0),2124(,)2525-;(2)8a=或16a=-.【解析】(1)曲线C的普通方程为2219xy+=.当1a=-时,直线l的普通方程为430x y+-=.由22430,19x yxy+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,xy=⎧⎨=⎩或21,2524.25xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C与l的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-.(2)直线l的普通方程为440x y a+--=,故C上的点(3cos,sin)θθ到l的距离为|3cos4sin4|17adθθ+--=.当4a ≥-时,d 的最大值为917a +. 由题设得91717a +=,所以8a =; 当4a <-时,d 的最大值为117a -+. 由题设得11717a -+=,所以16a =-. 综上,8a =或16a =-.【名师点睛】本题为选修内容,先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,可得交点坐标,利用椭圆的参数方程,求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值,直接利用点到直线的距离公式,表示出椭圆上的点到直线的距离,利用三角有界性确认最值,进而求得参数a 的值.10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值. 【答案】(1)()()22240x y x -+=≠;(2)23+.【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>, 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>. 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠. (2)设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △的面积S =13sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2 3.2332B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时,S 取得最大值23+,所以OAB △面积的最大值为23+. 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

(全国通用版)2019版高考数学总复习专题八选考内容8.1坐标系与参数方程课件理

(全国通用版)2019版高考数学总复习专题八选考内容8.1坐标系与参数方程课件理
8.1 坐标系与参数方程 (二选一)
1.每年必考考题,二选一选作题中的第1个(2017年以前为三选一). 2.解答题,选作题,10分,中低档难度. 3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.
2014 2015 2016 年 年 年 2017 年 2018 年
2019 年高考必备 命 题 角 度1 命 题 角 度2
π 2 2 1+������
2
当 α≠ 时,记 tan α=k,则 l 的方程为 y=kx- 2,l 与☉O 交于两点当 <1,
π π , 4 2 π 3π , . 4 4
且仅当
解得 k<-1 或 k>1,即 α∈ 综上,α 的取值范围是
或 α∈
π 3π , 2 4
.
-9-
������ = ������cos������, π 3π (2)l 的参数方程为 t 为参数,4<α< 4 .设 ������ = - 2 + ������sin������ ������ +������ A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP= ������ 2 ������,且 tA,tB 满足 t2-2 2tsin α+1=0. 于是 tA+tB=2 2sin α,tP= 2sin α.又点 P 的坐标(x,y)满足 ������ = ������������ cos������, 所以点 P 的轨迹的参数方程是 ������ = - 2 + ������������ sin������. ������ = ������ =
|-������+2|
2
������ +1
=2,故 k=-3或 k=0.经检验,当 k=0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k=-3

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文(含解析)

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文(含解析)

坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识. 【重点、难点剖析】 1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x x2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α;(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴:ρcos θ=a ;(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ,π2且平行于极轴:ρsin θ=b .3.圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0,θ0),半径为r 的圆方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r :ρ=r ;(2)当圆心位于M (r,0),半径为r :ρ=2r cos θ;(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ,π2,半径为r :ρ=2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数,0≤θ≤2π).圆心在点A (ρ0,θ0),半径为r 的圆的方程为r 2=ρ2+ρ20-2ρρ0cos(θ-θ0). 4.直线的参数方程经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点,则t 表示有向线段P 0P →的数量. 5.圆的参数方程圆心在点M (x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数,0≤θ≤2π).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a +y 2b =1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =b sin θ(θ为参数).(2)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =a sec θ,y =b tan θ(θ为参数).(3)抛物线y2=2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;【思路方法】(1)先列方程,再进一步转化为参数方程. (2)解出交点,再求得直线方程,最后转化为极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1.由x 21+y 21=1,得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =2sin t(t 为参数).【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标. 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx - 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1+k 2<1,解得k <-1或k >1,即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2.综上,α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数,π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数,π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x ,y 有范围限制,要标出x ,y 的取值范围.【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上,设,从而点P 到直线l 的的距离,当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时,曲线C 上点P 到直线l【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a . 【答案】(I )圆,(II )1【解析】解:(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心,a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中,得到1C 的极坐标方程为.(Ⅱ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ,由方程组得,由已知2tan =θ,可得,从而012=-a ,解得1-=a (舍去),1=a .1=a 时,极点也为21,C C 的公共点,在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.【变式探究】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =2+2sin α(α为参数),M 是C 1上的动点,P 点满足OP →=2OM →,点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB .【解析】(1)设P (x ,y ),则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y2,由于M 点在C 1上,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2cos α,y2=2+2sin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α(α为参数).(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=π3与C 1的交点A的极径为ρ1=4sin π3,射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π3.所以AB =|ρ2-ρ1|=2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路,一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【变式探究】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21+y 21=1得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数).(2)由解得:1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝⎛⎭⎪⎫x -12,化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sin θ-2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos α,y =sin α(α为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1-t ,y =3+t(t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线m :θ=β(ρ>0).(1)求C 和l 的极坐标方程;(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点),点B 是m 与l 的交点,求|OA ||OB |的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1,由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,得()ρcos θ-12+ρ2sin 2θ=1,化简得C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. 因为l 的普通方程为x +y -4=0,所以极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0, 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=2 2. (2)设A (ρ1,β),B (ρ2,β), 则|OA ||OB |=ρ1ρ2=2cos β·sin β+cos β4=12(sin βcos β+cos 2β)=24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β+π4+14,由射线m 与C ,直线l 相交,则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π4, 则2β+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,3π4,所以当2β+π4=π2,即β=π8时,|OA ||OB |取得最大值,即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max=2+14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用. 【变式探究】在平面直角坐标系中,以原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α(α为参数),求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程;(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α(t 为参数),A (0,1),且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ,Q ,求1|AP |+1|AQ |的取值范围. 【解析】 (1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, 又∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0, 曲线C 2的普通方程为x 2+(y -1)2=t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2+y 2-2x =0,得t 2+(2sin α-2cos α)t+1=0.∵Δ=(2sin α-2cos α)2-4=8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4-4>0,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22,1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,-22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22,1. t 1+t 2=-(2sin α-2cos α)=-22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4,t 1t 2=1>0,∵t 1t 2=1>0,∴t 1,t 2同号,∴|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|. 由点A 在曲线C 2上,根据t 的几何意义,可得 1|PA |+1|AQ |=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1||t 2| =|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2|1=22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈(2,22].∴1|PA |+1|AQ |∈(2,22]. 【变式探究】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为.(1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la. 【答案】(1)C 与l 的交点坐标为()3,0, 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0, 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)直线l 的普通方程为,故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时, d=8a =; 当4a <-时, d由题设得,所以16a =-.综上, 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数), l 与C 交于,A B两点,||AB =l 的斜率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】(I )由可得C 的极坐标方程(II )在(I )中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得,所以l【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0,3π4<θ<5π4,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.解析 直线l 的直角坐标方程为y =x +2,由ρ2cos 2θ=4得ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,直角坐标方程为x 2-y 2=4,把y =x +2代入双曲线方程解得x =-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π). 答案 (2,π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =4cos θ,y =4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想.【解题思路】(1)消去参数,即可求出直线l 与圆C 的普通方程.(2)求出圆心的坐标,利用圆心到直线l 的距离不大于半径,得到关于参数a 的不等式,即可求出参数a 的取值范围.【解析】(1)直线l 的普通方程为2x -y -2a =0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d =|-2a |5≤4, 解得-25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解. 【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=m (m ∈R ). ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程;②设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.。

2019版高考数学总复习 专题八 选考内容 8.1 坐标系与参数方程

2019版高考数学总复习 专题八 选考内容 8.1 坐标系与参数方程

K12教育课件
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5.(2017 全国Ⅱ·22)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,
求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程;
2,此时
P 的直角坐标为
3 2
,
1 2
.
K12教育课件
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新题演练提能·刷高分
1.(2018
安徽淮南一模)已知曲线
C1
的参数方程为
������ ������
= =
4 5
+ +
55csions������������,(t
为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
������ ������
= =
24csions������������,(θ
为参数),直线
l
的参数方程为
������ ������
= =
1 2
+ +
������������csions����������求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率.
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0,

因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以①有两个

高考数学中的坐标系与几何知识点

高考数学中的坐标系与几何知识点

高考数学中的坐标系与几何知识点坐标系与几何是高考数学中的重要组成部分,主要考查考生对坐标系的理解与应用,以及平面几何、空间几何的基本知识。

以下是该知识点的主要内容:一、坐标系1. 直角坐标系直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴(横轴和纵轴)所围成的平面区域。

在直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数(横坐标,纵坐标)来表示。

2. 参数方程参数方程是另一种描述曲线的方法,它将曲线上的点与一个参数(通常为角度或弧长)联系起来。

参数方程通常分为两种:极坐标方程和参数方程。

3. 极坐标系极坐标系是由原点、半径和角度三个参数来描述一个点的位置。

在极坐标系中,一个点的坐标可以表示为(r,θ),其中r是点与原点的距离,θ是点与正半轴的夹角。

4. 空间坐标系空间坐标系是由三个互相垂直的坐标轴(x轴、y轴、z轴)所围成的空间区域。

在空间坐标系中,每个点都可以用三个有序实数(x坐标,y坐标,z坐标)来表示。

二、平面几何1. 点、线、面点、线、面是平面几何最基本的概念。

点是没有长度、宽度、高度的实体;线是由无数个点连成的,有方向但没有宽度的实体;面是由无数个线连成的,有长度和宽度的实体。

2. 直线方程直线方程是描述直线位置关系的一组式子。

在平面直角坐标系中,直线方程通常分为两种:点斜式和一般式。

3. 圆圆是由平面上所有与给定点(圆心)距离相等的点组成的。

圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2,其中(a,b)是圆心的坐标,r是圆的半径。

4. 三角形三角形是由三个顶点、三条边和三个内角组成的。

三角形的性质包括:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形的内角和为180度。

三、空间几何1. 点、线、面与平面几何类似,空间几何中的点、线、面也有类似的概念。

在空间几何中,点是没有长度、宽度、高度的实体;线是由无数个点连成的,有方向但没有宽度的实体;面是由无数个线连成的,有长度和宽度的实体。

2. 空间直线方程空间直线方程是描述空间直线位置关系的一组式子。

2019版高考数学(文)大一轮优选(全国通用版)讲义:第57讲 坐标系 Word版含答案

2019版高考数学(文)大一轮优选(全国通用版)讲义:第57讲 坐标系 Word版含答案

第十一章 坐标系与参数方程第57讲 坐标系考纲要求考情分析命题趋势1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′= λx ,λ>0 ,y ′= μy ,μ>0 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系 (1)相关概念 ①极坐标系:如图所示,在平面内取一个__定点__O ,点O 叫做极点,自极点O 引一条__射线__Ox ,Ox 叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.②极坐标:一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. ③点与极坐标的关系:一般地,极坐标(ρ,θ)与__ (ρ,θ+2k π)(k ∈Z )__表示同一个点,特别地,极点O的坐标为__(0,θ)(θ∈R ) __,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:⎩⎪⎨⎪⎧x = ρcos θ ,y = ρsin θ ;⎩⎪⎨⎪⎧ρ2= x 2+y 2 ,tan θ= yx (x ≠0) . 3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆ρ=r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0),半径为r 的圆ρ=2r cos θ⎝⎛⎭⎫-π2≤θ<π2圆心为⎝⎛⎭⎫r ,π2,半径为r 的圆ρ=2r sin θ (0≤θ<π) 过极点,倾斜角为α的直线__ θ=α(ρ∈R ) __或__ θ=π+α(ρ∈R ) __过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2过点⎝⎛⎭⎫a ,π2,与极轴平行的直线ρsin θ=a (0<θ<π)1.思维辨析(在括号内打“√”或打“”).。

专题21坐标系与参数方程(热点难点突破)-2019年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破Word版含解析

专题21坐标系与参数方程(热点难点突破)-2019年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破Word版含解析

1.在极坐标系中,过点⎝⎛⎭⎫2,π2且与极轴平行的直线方程是( ) A .ρ=2B .θ=π2C .ρcos θ=2D .ρsin θ=2解析 先将极坐标化成直角坐标表示,⎝⎛⎭⎫2,π2化为(0,2),过(0,2)且平行于x 轴的直线为y =2,再化成极坐标表示,即ρsin θ=2.故选D. 答案 D2.在直角坐标系xOy 中,已知点C (-3,-3),若以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点C 的极坐标(ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________. 解析 依题意知,ρ=23,θ=-5π6.答案 ⎝⎛⎭⎫23,-5π6 3.在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =sin α,y =cos α+1(α为参数),若以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程可写为________. 解析 依题意知,曲线C :x 2+(y -1)2=1, 即x 2+y 2-2y =0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0. 化简得ρ=2sin θ. 答案 ρ=2sin θ4.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.解析 将ρ=2sin θ+4cos θ两边同乘以ρ得ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ, ∴曲线的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +4x , 即x 2+y 2-4x -2y =0. 答案 x 2+y 2-4x -2y =05.在极坐标系中,已知两点A ,B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3,π3,⎝⎛⎭⎫4,π6,则△AOB (其中O 为极点)的面积为________.解析 由题意得S △AOB =12×3×4×sin ⎝⎛⎭⎫π3-π6=12×3×4×sin π6=3. 答案 36.已知曲线C :⎩⎨⎧x =2cos t ,y =2sin t (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为________.解析 曲线C 的普通方程为x 2+y 2=2,由圆的几何性质知,切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直,故l 的斜率为-1,从而l 的方程为y -1=-(x -1),即x +y =2,化成极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4= 2. 答案 ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4= 2 7.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x = t ,y =2t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ-ρsin θ+1=0.则l 与C 的交点直角坐标为________. 解析 曲线C 的普通方程为y =2x 2(x ≥0),直线l 的直角坐标方程是y =x +1,二者联立,求出交点坐标. 答案 (1,2)8.在极坐标系中,曲线C 1:ρ(2cos θ+sin θ)=1与曲线C 2:ρ=a (a >0)的一个交点在极轴上,则a 的值为________. 答案 213.在平面直角坐标系下,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =2t +2a ,y =-t (t 为参数),曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =2sin θ,y =1+2cos θ(θ为参数),若曲线C 1,C 2有公共点,则实数a 的取值范围是________.解析 曲线C 1的直角坐标方程为x +2y -2a =0,曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y -1)2=4,圆心为(0,1),半径为2, 若曲线C 1,C 2有公共点, 则有圆心到直线的距离|2-2a |1+22≤2,即|a -1|≤5, ∴1-5≤a ≤1+5,即实数a 的取值范围是[1-5,1+5]. 答案 [1-5,1+5]14.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos t ,y =2sin t(t 为参数),曲线C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为________.15.已知点P (x ,y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+cos θ,y =sin θ(θ为参数,θ∈R )上,则yx 的取值范围是________.解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x +2)2+y 2=1, 圆心为(-2,0),半径为1. 设yx=k ,则直线y =kx , 即kx -y =0,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d =|-2k |k 2+1=1,即|2k |=k 2+1,平方得4k 2=k 2+1,k 2=13,解得k =±33,由图形知k 的取值范围是-33≤k ≤33, 即y x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-33,33. 答案 ⎣⎡⎦⎤-33,3316.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos θ,y =2sin θ(θ为参数).(1)将C 1的方程化为普通方程;(2)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C 2的极坐标方程是θ=π3,求曲线C 1与C 2的交点的极坐标.解 (1)C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4. (2)设C 1的圆心为A ,∵原点O 在圆上, 设C 1与C 2相交于O ,B ,取线段OB 的中点C , ∵直线OB 倾斜角为π3,OA =2,∴OC =1,从而OB =2,∴O ,B 的极坐标分别为O (0,0),B ⎝⎛⎭⎫2,π3. 17.已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+cos t ,y =1+sin t (t 为参数),C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θ,y =3sin θ(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ,B 两点,求|AB |的值.18.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C :ρsin 2θ=2a cos θ(a >0),已知过点P (-2,-4)的直线l 的参数方程为:⎩⎨⎧x =-2+22t ,y =-4+22t (t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M ,N两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若|PM |,|MN |,|PN |成等比数列,求a 的值. 解 (1)y 2=2ax ,y =x -2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =-2+22t ,y =-4+22t(t 为参数),代入y 2=2ax ,得到t 2-22(4+a )t +8(4+a )=0,则有t 1+t 2=22(4+a ),t 1·t 2=8(4+a ), ∵|MN |2=|PM |·|PN |,∴(t 1-t 2)2=(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=t 1·t 2,即a 2+3a -4=0.解得a =1或a =-4(舍去). 19.在直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α+sin αy =23sin αcos α-2sin 2α+2(α为参数),若以直角坐标系中的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22t (t 为参数). (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程;(2)若直线l 交E 于点A ,B ,且OA ⊥OB ,求证:1|OA |2+1|OB |2为定值,并求出这个定值. 解 (1)将点P ⎝⎛⎭⎫1,233代入曲线E 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧1=a cos α,233=2sin α,解得a 2=3,所以曲线E 的普通方程为x 23+y 22=1,极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫13cos 2θ+12sin 2θ=1. (2)不妨设点A ,B 的极坐标分别为 A (ρ1,θ),B ⎝⎛⎭⎫ρ2,θ+π2,ρ1>0,ρ2>0, 则⎩⎨⎧13(ρ1cos θ)2+12(ρ1sin θ)2=1,13⎣⎡⎦⎤ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π22+12⎣⎡⎦⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π22=1,即⎩⎨⎧1ρ21=13cos 2θ+12sin 2θ,1ρ22=13sin 2θ+12cos 2θ,所以1ρ21+1ρ22=56,即1|OA |2+1|OB |2=56, 所以1|OA |2+1|OB |2为定值56. 29.已知在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3,π4,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos ⎝⎛⎭⎫θ-π4(θ为参数). (1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 的中点M 到直线l :2ρcos θ+4ρsin θ=2的距离的最小值. 解 (1)点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫322,322,由ρ=2cos ⎝⎛⎭⎫θ-π4, 得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,①将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,ρsin θ=y 代入①, 可得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x -222+⎝⎛⎭⎫y -222=1. (2)直线2ρcos θ+4ρsin θ=2的直角坐标方程为2x +4y -2=0, 设点Q 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22+cos θ,22+sin θ,则M ⎝⎛⎭⎫2+cos θ2,2+sin θ2, ∴点M 到直线l 的距离d =⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫2+cos θ2+4⎝⎛⎭⎫2+sin θ2-222+42=|52+cos θ+2sin θ|25=52+5sin (θ+φ)25,其中tan φ=12.∴d ≥52-525=10-12(当且仅当sin(θ+φ)=-1时取等号),∴点M 到直线l :2ρcos θ+4ρsin θ=2的距离的最小值为10-12. 30.已知α∈[0,π),在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数);在以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ-α)=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6(θ为参数). (1)求证:l 1⊥l 2;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3,P 为直线l 1,l 2的交点,求|OP ||AP |的最大值.。

2019年高考数学考点突破——选考系列:坐标系

2019年高考数学考点突破——选考系列:坐标系

坐标系【考点梳理】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx ,λ>0,y ′=μy ,μ>0的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点O (极点),自极点O 引一条射线Ox (极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.图1(2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化(1)直线l 过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l 的极坐标方程是θ=α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρcos θ=a ⎝⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ,π2且平行于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ=b (0<θ<π).【考点突破】考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-2经过φ变换所得点A ′的坐标;(2)求直线l :y =6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.[解析] (1)设点A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=y 2,∴x ′=13×3=1,y ′=-22=-1.∴点A ′的坐标为(1,-1).(2)设P ′(x ′,y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′3,y =2y ′,代入y =6x ,得2y ′=6·x ′3=2x ′,∴y ′=x ′为所求直线l ′的方程. 【类题通法】1.平面上的曲线y =f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′λ,y =y ′μ代入y =f (x ),整理得y ′=h (x ′)为所求. 2.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P (x ,y )与变换后的点P ′(x ′,y ′)的坐标关系,用方程思想求解. 【对点训练】1.求双曲线C :x 2-y 264=1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.[解析] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′),由⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′3,y =2y ′,代入曲线C :x 2-y 264=1,得x ′29-y ′216=1,即曲线C ′的方程为x 29-y 216=1, 因此曲线C ′的焦点F 1(-5,0),F 2(5,0).2.求直线l :y =6x 经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y 变换后所得到的直线l ′的方程.[解析] 设直线l ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 由题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =2y ′代入y =6x 得2y ′=6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′,所以y ′=x ′,即直线l ′的方程为y =x .考点二、极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程; (2)若直线C 3的极坐标方程为θ=4π(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. [解析] (1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.【类题通法】1.直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x ,y 分别用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程.2.求直角坐标系中的点(x ,y )对应的极坐标的一般步骤:【对点训练】把曲线C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0化为极坐标方程.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+y 2-8x -10y +16=0,得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.【例3】在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.[解析] (1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆O 的直角坐标方程为:x 2+y 2=x +y , 即x 2+y 2-x -y =0,直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l 的直角坐标方程为:y -x =1,即x -y +1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,π2.【类题通法】极坐标方程化为直角坐标方程的步骤(1)判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x 轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.(2)通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解.(3)根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ及ρ2=x 2+y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程. 【对点训练】在极坐标系中,已知极坐标方程C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0,C 2:ρ=2cos θ. (1)求曲线C 1,C 2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状; (2)若曲线C 1,C 2交于A ,B 两点,求两交点间的距离. [解析] (1)由C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0, ∴x -3y -1=0,表示一条直线. 由C 2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ. ∴x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1. 所以C 2是圆心为(1,0),半径r =1的圆. (2)由(1)知,点(1,0)在直线x -3y -1=0上, 所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ,B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ,B 间的距离|AB |=2r =2.考点三、直线与圆的极坐标方程的应用【例4】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .[解析] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y -1)2=a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0, 由已知tan θ=2,得16cos 2θ-8sin θcos θ=0, 从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去)或a =1. 当a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a =1. 【类题通法】1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考查学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进而求解.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解. 【对点训练】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.[解析] (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ.由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积S =12|OA |·ρB ·sin∠AOB =4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π3 =2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3-32≤2+ 3.当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3.所以△OAB 面积的最大值为2+ 3.。

专题15坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)考试大纲解读Word版含解析

专题15坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)考试大纲解读Word版含解析

2019 年考试纲领解读15坐标系与参数方程选考内容(一)坐标系与参数方程1.坐标系(1)理解坐标系的作用 .(2)认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况.(3)能在极坐标系顶用极坐标表示点的地点,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的地点的差别,能进行极坐标和直角坐标的互化 .(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程 . 经过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义.(5)认识柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的地点的方法,并与空间直角坐标系中表示点的地点的方法对比较,认识它们的差别 .2.参数方程(1)认识参数方程,认识参数的意义 .(2)能选择适合的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)认识平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)认识其余摆线的生成过程,认识摆线在实质中的应用,认识摆线在表示行星运动轨道中的作用 .1.从考察题型来看,波及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考察与参数方程、极坐标方程有关的互化与计算2.从考察内容来看,主要考察:(1)极坐标系中直线和圆的方程;( 2)已知直线和圆的参数方程,判断直线和圆的地点关系.考向一参数方程与一般方程的互化样题 1(2018 新课标 III 卷理)在平面直角坐标系xOy⊙O的参数方程为x cos ,中,y sin (为参数),过点 0 , 2 且倾斜角为的直线 l 与⊙O 交于 A ,B 两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【答案】(1)( ,) ;(2)( 为参数,) .4444(2)l的参数方程为为参数,) .44设 A, B , P 对应的参数分别为t A,t B,t P,则 t P tAtB,且 t A, t B知足.2于是, .又点 P 的坐标 (x, y) 知足因此点 P 的轨迹的参数方程是(为参数,).学-44科网样题2(2018考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化新课标 I 卷理)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的方程为y k|x| 2 .以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴成立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程为.( 1)求 C 2 的直角坐标方程;( 2)若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点,求 C 1 的方程 .【答案】(1);(2).当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时,A 到 l 1 所在直线的距离为2 ,因此,故k4 或 k0.3经查验,当k0 时, l 1 与 C 2 没有公共点;当k4 时, l 1 与 C 2 只有一个公共点,3l 2 与 C 2 有两个公共点.当l2 与C2 只有一个公共点时,| k 2 |A 到l2所在直线的距离为 2 ,因此22 ,故k1k 0 或k 4 .3经查验,当 k0 时,l1与C2没有公共点;当k 4时, l2与 C2没有公共点.3综上,所求C1的方程为.考向三极坐标方程与参数方程的综合应用样题 3 已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A, B两点,求OA OB.样题 4系,在平面直角坐标系中 , 以坐标原点为极点 ,已知曲线的极坐标方程为轴正半轴为极轴成立极坐标, 过点的直线的参数方程为为参数 ), 直线与曲线订交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的一般方程 ;(2) 若, 求的值 .【分析】(1)由, 得,因此曲线的直角坐标方程为,直线的一般方程为.(2) 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,得,设两点对应的参数分别为,则有,由于, 因此, 即,因此, 解之得或( 舍去 ),因此的值为 1.。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程文

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程文

坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识. 【重点、难点剖析】 1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ,⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x x2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α;(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴:ρcos θ=a ;(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ,π2且平行于极轴:ρsin θ=b .3.圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0,θ0),半径为r 的圆方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为r :ρ=r ;(2)当圆心位于M (r,0),半径为r :ρ=2r cos θ;(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ,π2,半径为r :ρ=2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数,0≤θ≤2π).圆心在点A (ρ0,θ0),半径为r 的圆的方程为r 2=ρ2+ρ20-2ρρ0cos(θ-θ0). 4.直线的参数方程经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点,则t 表示有向线段P 0P →的数量. 5.圆的参数方程圆心在点M (x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数,0≤θ≤2π).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =b sin θ(θ为参数).(2)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =a sec θ,y =b tan θ(θ为参数).(3)抛物线y 2=2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2pt 2,y =2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;【思路方法】(1)先列方程,再进一步转化为参数方程. (2)解出交点,再求得直线方程,最后转化为极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1.由x 21+y 21=1,得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =2sin t(t 为参数).【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标. 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx - 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1+k2<1,解得k <-1或k >1,即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2. 综上,α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数,π4<α<3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P =t A +t B2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t P cos α,y =-2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数,π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x ,y 有范围限制,要标出x ,y 的取值范围.【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上,设,从而点P 到直线l 的的距离,当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时,曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .【答案】(I )圆,(II )1【解析】解:(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心,a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中,得到1C 的极坐标方程为.(Ⅱ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ,由方程组得,由已知2tan =θ,可得,从而012=-a ,解得1-=a (舍去),1=a .1=a 时,极点也为21,C C 的公共点,在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.【变式探究】在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =2+2sin α(α为参数),M 是C 1上的动点,P点满足OP →=2OM →,点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB .【解析】(1)设P (x ,y ),则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2,由于M 点在C 1上,所以⎩⎪⎨⎪⎧x2=2cos α,y2=2+2sin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α(α为参数).(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π3,射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π3.所以AB =|ρ2-ρ1|=2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路,一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【变式探究】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解 (1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21+y 21=1得x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22=1, 即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数).(2)由解得:1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y-1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sin θ-2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos α,y =sin α(α为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1-t ,y =3+t (t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线m :θ=β(ρ>0).(1)求C 和l 的极坐标方程;(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点),点B 是m 与l 的交点,求|OA ||OB |的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1,由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,得()ρcos θ-12+ρ2sin 2θ=1,化简得C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. 因为l 的普通方程为x +y -4=0,所以极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0, 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=2 2. (2)设A (ρ1,β),B (ρ2,β), 则|OA ||OB |=ρ1ρ2=2cos β·sin β+cos β4=12(sin βcos β+cos 2β)=24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β+π4+14,由射线m 与C ,直线l 相交,则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π4, 则2β+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,3π4,所以当2β+π4=π2,即β=π8时,|OA ||OB |取得最大值,即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max=2+14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.【变式探究】在平面直角坐标系中,以原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =t cos α,y =1+t sin α(α为参数),求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程;(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α(t 为参数),A (0,1),且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ,Q ,求1|AP |+1|AQ |的取值范围. 【解析】 (1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, 又∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0, 曲线C 2的普通方程为x 2+(y -1)2=t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =1+t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2+y 2-2x =0,得t 2+(2sin α-2cos α)t+1=0.∵Δ=(2sin α-2cos α)2-4=8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4-4>0,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22,1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,-22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22,1. t 1+t 2=-(2sin α-2cos α)=-22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4,t 1t 2=1>0,∵t 1t 2=1>0,∴t 1,t 2同号,∴|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|. 由点A 在曲线C 2上,根据t 的几何意义,可得 1|PA |+1|AQ |=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1||t 2| =|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2|1=22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4∈(2,22].∴1|PA |+1|AQ |∈(2,22]. 【变式探究】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为.(1)若a =−1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la. 【答案】(1)C 与l 的交点坐标为()3,0, 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=.从而C 与l 的交点坐标为()3,0, 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)直线l 的普通方程为,故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时, d=8a =; 当4a <-时, d由题设得,所以16a =-.综上, 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数), l 与C 交于,A B两点,||AB =,求l 的斜率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)3±.【解析】(I )由可得C 的极坐标方程(II )在(I )中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得,所以l的斜率为3或3-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0,3π4<θ<5π4,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.解析 直线l 的直角坐标方程为y =x +2,由ρ2cos 2θ=4得ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,直角坐标方程为x 2-y 2=4,把y =x +2代入双曲线方程解得x =-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,π). 答案 (2,π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a -2t ,y =-4t(t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θ,y =4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想.【解题思路】(1)消去参数,即可求出直线l 与圆C 的普通方程.(2)求出圆心的坐标,利用圆心到直线l 的距离不大于半径,得到关于参数a 的不等式,即可求出参数a 的取值范围.【解析】(1)直线l 的普通方程为2x -y -2a =0, 圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d =|-2a |5≤4, 解得-25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=m (m ∈R ). ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程;②设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.。

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坐标系【考点梳理】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=λx ,λ>0,y′=μy ,μ>0的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点O (极点),自极点O 引一条射线Ox (极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.图1(2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角.3.极坐标与直角坐标的互化45(1)直线l 过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l 的极坐标方程是θ=α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρcos θ=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ,π2且平行于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ=b (0<θ<π).【考点突破】考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y.(1)求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13,-2经过φ变换所得点A ′的坐标;(2)求直线l :y =6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程. [解析](1)设点A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,y′=y2,∴x ′=13×3=1,y ′=-22=-1.∴点A ′的坐标为(1,-1).(2)设P ′(x ′,y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x′3,y =2y′,代入y =6x ,得2y ′=6·x′3=2x ′,∴y ′=x ′为所求直线l ′的方程. 【类题通法】1.平面上的曲线y =f (x )在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=λx (λ>0),y′=μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x =x′λ,y =y′μ代入y =f (x ),整理得y ′=h (x ′)为所求.2.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P (x ,y )与变换后的点P ′(x ′,y ′)的坐标关系,用方程思想求解. 【对点训练】1.求双曲线C :x 2-y264=1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.[解析]设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′),由⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x′3,y =2y′,代入曲线C :x 2-y264=1,得x′29-y′216=1, 即曲线C ′的方程为x29-y216=1,因此曲线C ′的焦点F 1(-5,0),F 2(5,0).2.求直线l :y =6x 经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x′=3x ,2y′=y 变换后所得到的直线l ′的方程.[解析]设直线l ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 由题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x′,y =2y′代入y =6x 得2y ′=6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x′,所以y ′=x ′,即直线l ′的方程为y =x .考点二、极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程; (2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.[解析](1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.【类题通法】1.直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x ,y 分别用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程.2.求直角坐标系中的点(x ,y )对应的极坐标的一般步骤:【对点训练】把曲线C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0化为极坐标方程.[解析]将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+y 2-8x -10y +16=0,得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.【例3】在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.[解析](1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆O 的直角坐标方程为:x 2+y 2=x +y , 即x 2+y 2-x -y =0,直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l 的直角坐标方程为:y -x =1,即x -y +1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x2+y2-x -y =0,x -y +1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,π2.【类题通法】极坐标方程化为直角坐标方程的步骤(1)判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x 轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.(2)通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解.(3)根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ及ρ2=x 2+y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程. 【对点训练】在极坐标系中,已知极坐标方程C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0,C 2:ρ=2cos θ. (1)求曲线C 1,C 2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状; (2)若曲线C 1,C 2交于A ,B 两点,求两交点间的距离. [解析](1)由C 1:ρcos θ-3ρsin θ-1=0, ∴x -3y -1=0,表示一条直线. 由C 2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ. ∴x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1. 所以C 2是圆心为(1,0),半径r =1的圆. (2)由(1)知,点(1,0)在直线x -3y -1=0上,所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ,B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ,B 间的距离|AB |=2r =2.考点三、直线与圆的极坐标方程的应用【例4】在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =acos t ,y =1+asin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .[解析](1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y -1)2=a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0, 由已知tan θ=2,得16cos 2θ-8sin θcos θ=0, 从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去)或a =1. 当a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a =1. 【类题通法】1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考查学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进而求解.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解. 【对点训练】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且|OM |·|OP |=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.[解析](1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP |=ρ,|OM |=ρ1=4cos θ. 由|OM |·|OP |=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA |=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积 S =12|OA |·ρB ·sin∠AOB =4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π3 =2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3-32≤2+3.当α=-π12时,S 取得最大值2+3.所以△OAB 面积的最大值为2+3.。

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