湖南省衡阳市第八中学2017届高三第二次质检数学(理)试题含答案
2017届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ） A. 向右平移π6 B. 向左平移π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ）A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ． 978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ． ()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(,,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-= 16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
湖南省衡阳市2017届高三数学第二次模拟试题实验班理201707270321
2017届高三年级第二次高考模拟试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞） B．（3，+∞）C.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里D．24里4.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25.已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6.己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A． B．C． D．7.已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A.（0，1）B.（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48） D．（15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数()[)1,0cos,0,2xf xx xπ∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区P M2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19.（本题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．选做题（本题满分10分）22.[选修4-4坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23.[选修4-5不等式选讲]设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学13.7014.π15.①③④⑤16.π+417.（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1=，S2=；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|=|=．而当n≥2时，，即．18.（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a， a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20.（1）由丨AB丨==， =，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在[，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[，]．21.（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[]22.（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23.(Ⅰ)当a＝2时，f(x)≥3x＋2可化为|x－2|≥2，由此可得x≥4或x≤0.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，。
(全优试卷)湖南省衡阳市高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ） A ．cos2θ B ．1 C ．2cos θ D ．cos2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B xx -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有（ ） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇ 3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．23π+．4π D ．2π4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤uu r uu u r成立的概率为（ ） A ．16 B ．13 C.12 D ．236.设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，e a ，1a e -的大小关系为（ ） A ．1a e e a a -<< B ．1e a a a e <<- C.1e a a e a <-< D ．1a e a e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（ ）A ．3?n >B ．5?n > C.32?n > D ．203?n >8.集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（ ）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C.2⎣ D ．1,2⎡⎢⎣⎦9.已知()()sin f x t ωθ=+，其中0ω>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min 2x x π-=，()f x = 3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是（ ）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦C. 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 10.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线x =的距离为128PF PF +=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22188x y -= C. 2211616x y -= D ．以上答案都不对11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=，()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A ．1212S =，58a a > B ．1224S =，58a a > C.1212S =，58a a < D ．1224S =，58a a <12.设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（ ）AB ．D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为p ，其二项式系数之和为q ，若64是p 与q 的等比中项，则n = ．14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0cos ,0,2x f x x x π∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 ．15.如图所示，在正方体1AC 中，2AB =，1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-= ． 16.若数列{}n a 满足11912a =，20212n n a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a Bb A=，4a =，5c =. （1）求边b 的长；（2）若1a b >，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，当12AEF ABC S S =V V 时，求AEF V 周长l 的最小值.18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ，2P ，20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X 为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X =，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥平面PCD ，平面PAD 平面ABCD ，CD AD ⊥，APD V为等腰直角三角形，PA PD ===（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值. PDCAB20.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-，()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ，B分别作抛物线2y =的切线1l ，2l ，1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB ⋅=uur uu u r；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S V 为定值，并求出这个定值. 21.已知函数()ln f x x =. （1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x （12x x <，0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫'<- ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ：1p =.（1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ，B ，点()1,1M ，证明：MA MB ⋅为定值；（2）将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x=+()0x ≠（1）求不等式()1f x x <-的解集；（2）若对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，不等式()1f x x a x >--+恒成立，求实数a 的取值范围.2017届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 4π+ 15.6692- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得sin 2sin 2A B =，A B ∴=或2A B π+=当2A B π+=时，直角ACB V ，易知3b =.当A B =时，等腰ABC V ，4b =.（2）依题可知：a b >，2C π∴∠=，3b =，3cos 5A =.依题：1sin 2AE AF A ⋅⋅11sin 22bc A =⋅⋅AE AF ⇒⋅=11522bc =.由余弦定理EF =周长()l AE AF =+≥=当AE AF ==. 18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ()2250201310730202723K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X 可能取值为0,1,2，可得分布列为()12 1.12E X P P =+=10.72P⇒=，120.320.3P P -=≥，二人适合结为“师徒”. 19.解：（1）依题：CD ADPAD ABCD⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD（2）ABCD PCD CD BA PCD ⋂=⎧⎨⎩平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=， 取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r.()1,1,1PB =-uu r ，()2,1,1PC =--uu u r.0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu ur 020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =r . cos ,m n =u rr 7m n m n⋅=u r ru r r，故所求二面角的余弦值为7.20.解：（1）依题意：1224y y x x ⋅=-+-()22124x y x ⇒+=≠±（2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k，设切线为：(y t k x -=(2y t k x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩2120ky k ⇒-++=， 0∆=⇒2330k +-=，121k k =-，0NA NB ∴⋅=uur uu u r.（Ⅱ）由条件得：12124y y x x =-，2222121216y y x x =2212161144x x ⎛⎫⎛⎫=--⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22124x x +=，22121y y ∴+=.AOBS =V==1==. 21.解：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x -'=>+Q ，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>=（2）1x >Q ，()21ln 1x x x ->+，取21xx x =⇒121212ln ln 2x x x x x x -+<-.21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧+-=⎪⇒⎨+-=⎪⎩1212ln ln x x x x --()121212x x a x x +=<+()1212210a x x x x ⇒-+-<⎡⎤⎣⎦+. ()112g x ax x '=+-，121222x x g x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭()1210a x x +-<⎡⎤⎣⎦. ()2120g x a x ''=--<，()g x '在()0,+∞上递减，1212232x x x x ++>Q ， 故12122032x x x x g g ++⎛⎫⎛⎫''<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ln 0x x ax +-=⇒()2ln x x a h x x +==，()312ln x x h x x --'=， 令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减，()10s =， 01x <<，()0s x >，()h x ↑，1x >，()0s x <，()h x ↓，()()1h x h ∴≤， 1x >，()0h x >，0x →，()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线1C ：221x y +=. 221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==. （2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 23.解：（1）不等式211x x x+⇔<-()211x x x ⇒+<- ()()21011x x x x x -≥⎧⎪⇒⎨+<-⎪⎩或()()21011x x x x x -<⎧⎪⎨+<--⎪⎩得{}1x x <-（2）11x a x a --+≤+Q ，此题可转化为()min 1f x a >+ 由均值不等式12x x⇒+≥，21a ∴>+ 得{}31a a -<<。
湖南省衡阳市第八中学高三数学第二次质检试题 文
衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷文科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。
其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则M∩N=（）A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}2.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33.要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位4.已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a5.如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤2014 B．i＞2014 C．i≤2013 D．i＞20136.已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ． 1 B ．116 C ． 14 D ．127.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 A ．12 B ．－12C ．－2D ．4 8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n+1，则当n ＞1时，S n =（ ）A ．（）n ﹣1B ．2n ﹣1C ．（）n ﹣1D ．（﹣1）9.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．B ．C ．πD ．10.函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）12.已知f （x ）=x （1+lnx ），若k ∈Z ，且k （x ﹣2）＜f （x ）对任意x ＞2恒成立，则k 的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．14.已知抛物线方程为y2=﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4=0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为．15.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为．16.设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣7，S8=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b1=，b n b n+1=2an，求数列{b n}的通项公式．18.（本题满分12分）某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；11,15（单位：（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．19.（本题满分12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．20.（本题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．选做题请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷及答案(理科)
2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25．（5分）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6．（5分）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=．14．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16．（5分）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC ⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y 轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2014•红桥区二模）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，C B A=[3，+∞）．故选A．2．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）（2017•凉山州模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．4．（5分）（2017•雁峰区校级二模）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：画出可行域如图，由得到H（1，1），∵当a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）处取得最小值，故a+b=2，∴，所以的最小值是2；故选D．5．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）•（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α ）×（+1）=2．故选：A．6．（5分）（2017•泰安一模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．7．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n 的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴1=m2+n2+2mncos∠AOB当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．故选B．8．（5分）（2016•长宁区二模）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1=﹣log3x2，即log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x=9对称，∴=9，则x3+x4=18，则x4=18﹣x3，则x1x2x3x4=x3x4=x3（18﹣x3）=﹣x32+18x3=﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．9．（5分）（2017•洛阳三模）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．10．（5分）（2017•洛阳三模）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h （0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．11．（5分）（2017•上饶一模）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5【解答】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足f[f（x）+log x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+log x=a，f（a）=4，①∴f（a）+log a=a，②由①②得：4+log a=a，log a=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+log x=a=3，f（x）=3﹣log x，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．12．（5分）（2015•江西校级一模）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2017•奉贤区二模）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=70．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．14．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为π．【解答】解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，AB⊥面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球∵△BCD是边长为2的正三角形，∴△BCD的外接圆半径r=，球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=1故球的半径R==，∴三棱锥的外接球体积为=π．故答案为：π．15．（5分）（2017•雁峰区校级二模）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是①③④⑤．【解答】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；③，，则=tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B）∴必有A+B＞，且A，B都为锐角∴C也必为锐角，∴△ABC为锐角三角形，正确，④O为△ABC的外心，•=•（﹣）=•﹣•，=||•||cos＜，＞﹣||•||•cos＜，＞=||2﹣||2=（b2﹣c2），正确，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，∴（﹣）•（﹣）=0，∴﹣•（+）+=0，∴=﹣2，∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即结论成立．故答案为①③④⑤．16．（5分）（2017•衡阳二模）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为π+4．【解答】解：由题意，函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A的面积为π+=π+1，∴此圆柱的体积为4（π+1）=π+4，故答案为：π+4．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足S n=2a n+1，则S n=2a n+1=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，∴，即数列{S n}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴S n=（）n﹣1（n∈N*）．∴S1=1，S2=；（Ⅱ）在数列{b n}中，，T n为{b n}的前n项和，则|T n|=|=．而当n≥2时，，即．18．（12分）（2017•雁峰区校级二模）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．【解答】解：（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：19．（12分）（2017•葫芦岛一模）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a，a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a ＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N 两点，求|MN|的取值范围．【解答】解：（1）由丨AB丨==，=，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在[，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[，]．21．（12分）（2016•湘潭一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[][选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•郑州三模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．[选修4-5不等式选讲]23．（2017•雁峰区校级二模）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣2|≥2，由此可得x≥4或x≤0．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，即或，即或，又a＞0，故不等式组的解集是{x|x≤﹣}，由题设得﹣=﹣1，故a=2．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；sxs123；陈高数；zcq；qiss；刘长柏；lcb001；maths；742048；双曲线；whgcn；zlzhan；铭灏2016；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。
湖南省衡阳市八中2017届高三第二次月考(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第二次月考试卷数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设复数21211,2,z z i z bi z =+=+若为实数，则实数b 等于 （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22、对于函数()cos f x x x =+，下列命题中正确的是 （ ）A ．,()2x R f x ∀∈=B ．,()2x R f x ∃∈=C ．,()2x R f x ∀∈>D ．,()2x R f x ∃∈>3、下列命题正确的是 （ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形4、已知0a >函数3()f x x ax =-在[1，)+∞是单调增函数，则a 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 35、设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象向左平移ϕ个单位后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 （ ）A. 2πB. 43πC.πD. 23π6、已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2m n == ，在△ABC 中，22m B n A =+ ，26m C n A =- ，D 为BC 边的中点，则||AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87、设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]8、已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3OP OA OB λλ=-+-(12)](OC λλ++∈R且0)λ≠，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、已知集合，则集合A 的子集的个数为_____ ______.10、函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是________ _______ 11、由曲线12,1,x x y x=-=-=以及x 轴所围成的封闭图形面积为________ _______ 12、已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<1 )(R x ∈，则不等式1)(33+>x x f 的解集为______ __ _______13、不等式||(1)x a x ≥+对任意的实数 x 都成立，则实数a 的最值范围是 _____ __14、对于任意实数x ，[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考理数试题解析(解析版)含解斩
（考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.设R b a ∈,,则“4>+b a "是“2,2>>b a 且”的（ )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件【答案】B【解析】2.已知是函数3()12f x x x =-的极小值点，则=（ ）（A ）—16 （B) —2（C)16 (D ）2【答案】D【解析】试题分析：()()()2'312322f x x x x =-=+-，令()'0f x =得2x =-或2x =,易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x的极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D. 1考点：利用导数研究函数的单调性及极值.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值,属于难题。
求函数()f x 极值的步骤：（1）确定函数的定义域；(2)求导数()f x ';(3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值,如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值.3。
设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b,c 的大小关系是（ ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a【答案】A考点：指数函数的单调性与幂函数的单调性.4．函数y=sin （2x+错误!)的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到 ( )A. 向右平移错误!B. 向左平移错误!C. 向右平移 π12D 。
湖南省衡阳市2017届高三第二次联考数学试题(理)含答案
2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ） A ．cos 2θ B ．1 C ．2cos θ D ．cos 2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B xx -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有（ ） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇ 3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．23π+．4π D ．2π 4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤uu r uu u r成立的概率为（ ） A ．16 B ．13 C.12 D ．236.设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，e a ，1a e -的大小关系为（ ） A ．1a e e a a -<< B ．1e a a a e <<- C.1e a a e a <-< D ．1a e a e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（ ）A ．3?n >B ．5?n > C.32?n > D ．203?n >8.集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（ ）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C.⎣ D ．⎡⎢⎣⎦9.已知()()sin f x t ωθ=+，其中0ω>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min 2x x π-=，()f x = 3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是（ ）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦C. 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 10.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线2x a =-的距离为128PF PF +=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -= B ．22188x y -= C. 2211616x y -= D ．以上答案都不对11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=，()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A ．1212S =，58a a >B ．1224S =，58a a > C.1212S =，58a a < D ．1224S =，58a a <12.设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（ ）A．2B ．．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为p ，其二项式系数之和为q ，若64是p 与q 的等比中项，则n = ．14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0cos ,0,2x f x x x π∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 ．15.如图所示，在正方体1AC 中，2AB =，1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-= ． 16.若数列{}n a 满足11912a =，20212n n a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A=，4a =，5c =. （1）求边b 的长；（2）若1a b>，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，当12AEF ABC S S =V V 时，求AEF V 周长l 的最小值.18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ，2P ，20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X 为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X =，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥平面PCD ，平面PAD 平面ABCD ，CD AD ⊥，APD V为等腰直角三角形，2PA PD ===（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值. PDCAB20.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-，()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ，B分别作抛物线2y =的切线1l ，2l ，1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB ⋅=uu r uu u r；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S V 为定值，并求出这个定值. 21.已知函数()ln f x x =. （1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x （12x x <，0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫'<- ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ：1p =.（1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ，B ，点()1,1M ，证明：MA MB ⋅为定值；（2）将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x=+()0x ≠ （1）求不等式()1f x x <-的解集；（2）若对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，不等式()1f x x a x >--+恒成立，求实数a 的取值范围.2017届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 4π+692- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得sin 2sin 2A B =，A B ∴=或2A B π+=当2A B π+=时，直角ACB V ，易知3b =.当A B =时，等腰ABC V ，4b =.（2）依题可知：a b >，2C π∴∠=，3b =，3cos 5A =.依题：1sin 2AE AF A ⋅⋅11sin 22bc A =⋅⋅AE AF ⇒⋅=11522bc =.由余弦定理EF =周长()l AE AF =+≥=当AE AF ==. 18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ()2250201310730202723K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X 可能取值为0,1,2，可得分布列为()12 1.12E X P P =+=10.72P⇒=，120.320.3P P -=≥，二人适合结为“师徒”. 19.解：（1）依题：CD ADPAD ABCD⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD（2）ABCD PCD CDBA PCD ⋂=⎧⎨⎩平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD 1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=， 取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r.()1,1,1PB =-uu r ，()2,1,1PC =--uu u r.0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu ur 020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =r . cos ,m n =u rr 7m n m n⋅=u r ru r r720.解：（1）依题意：1224y y x x ⋅=-+-()22124x y x ⇒+=≠± （2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k，设切线为：(y t k x -=(2y t k x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩2120ky k ⇒-++=， 0∆=⇒2330k -=，121k k =-，0NA NB ∴⋅=uu r uu u r.（Ⅱ）由条件得：12124y y x x =-，2222121216y y x x =2212161144x x ⎛⎫⎛⎫=--⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22124x x +=，22121y y ∴+=.AOBS =V==1==.21.解：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x -'=>+Q ，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>= （2）1x >Q ，()21ln 1x x x ->+，取21x x x =⇒121212ln ln 2x x x xx x -+<-.21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧+-=⎪⇒⎨+-=⎪⎩1212ln ln x x x x --()121212x x a x x +=<+()1212210a x x x x ⇒-+-<⎡⎤⎣⎦+. ()112g x ax x '=+-，121222x x g x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭()1210a x x +-<⎡⎤⎣⎦. ()2120g x a x ''=--<，()g x '在()0,+∞上递减，1212232x x x x ++>Q ， 故12122032x x x x g g ++⎛⎫⎛⎫''<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ln 0x x ax +-=⇒()2ln x x a h x x +==，()312ln x x h x x --'=， 令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减，()10s =， 01x <<，()0s x >，()h x ↑，1x >，()0s x <，()h x ↓，()()1h x h ∴≤， 1x >，()0h x >，0x →，()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线1C ：221x y +=. 221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==. （2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 23.解：（1）不等式211x x x+⇔<-()211x x x ⇒+<- ()()21011x x x x x -≥⎧⎪⇒⎨+<-⎪⎩或()()21011x x x x x -<⎧⎪⎨+<--⎪⎩得{}1x x <-（2）11x a x a --+≤+Q ，此题可转化为()min 1f x a >+ 由均值不等式12x x⇒+≥，21a ∴>+ 得{}31a a -<<。
湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十校2017届高三第二
湖南省2017届高三十校联考第二次考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|(21)(3)0A x x x =-->，{}|10B x x =-<，则A B = （ ） A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)2-∞D ．1(,1)22.若复数z 满足23zi i =+，z =（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.在各项为正数的等比数列{}n a 中，29S =，321S =，则56a a +=（ ） A ．144B ．121C ．169D ．1484.长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为（ ） A ．24π B ．14C ．13D ．8π5.若抛物线22y px =的焦点到双曲线2218x y p-=的渐进线的距离为4p ，则抛物线的标准方程为（ ） A ．216y x =B ．28y x =C ．216y x =或216y x =-D ．28y x =或28y x =-6.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．223π+ B ．4233π+ C ．2233π+ D ．43π+ 7.函数||sin x y e x =⋅的图象大致为（ ）8.已知11a b=>，如果方程log x b a x =，log x a b x =，log x b b x =的根分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（ ） A ．312x x x <<B ．321x x x <<C ．132x x x <<D ．123x x x <<9.执行如图所示的程序框图，如果输出的10i =，则输入的n 值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 11.三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离最大值为（ ）A ．2B ．6C ．3D ．312.已知函数()y f x =对于任意的(0,)2x π∈满足'()cos ()sin 1ln f x x f x x x +=+（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ<B ()()34f ππ>C ()()64ππ>D ()()36f ππ>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满足||1a = ，||3b = ，||a b -= ，则|2|a b -=．14.在9(3)ax -（a R ∈）的展开式中，x 的偶数次的项系数之和比x 的奇数次的项系数之和大1，则a 的值为 ． 15.在等差数列{}n a 中，3111a =，1113a =，则33a = ． 16.2016年被业界称为VR （虚拟现实技术）元年，未来VR 技术将给教育、医疗、娱乐、商业、交通旅游等多领域带来极大改变，某VR 教育设备生产企业有甲、乙两类产品，其中生产一件甲产品需A 团队投入15天时间，B 团队投入20天时间，总费用10万元，甲产品售价为15万元/件；生产一件乙产品需A 团队投入20天时间，B 团队投入16天时间，总费用15万元，乙产品售价为25万元/件，A 、B 两个团队分别独立运作．现某客户欲以不超过200万元订购该企业甲、乙两类产品，要求每类产品至少各3件，在期限180天内，为使企业总效益最佳，则最后交付的甲、乙两类产品数之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 20A a B a --=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a ，c 的值． 18.在正方形ABCD 中，BC 的中点为点E ，CD 的中点为点F ，沿DE 将CDE ∆向上折起得到'C DE ∆，使得面'BC D ⊥面ABCD ，此时点F 位于点'F 处．（Ⅰ）证明：'AF DE ⊥；（Ⅱ）求面'ADC 与面'BEC 所成二面角的正弦值．19.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点． 21.已知函数()5ln 1kxf x x x =+-+（k R ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线220x y +-=垂直，求k 的值与曲线在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若*k N ∈，且当(1,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求k 的最大值．（ln(3 1.76+≈）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+，直线l 的极坐标方程为3πθ=．（Ⅰ）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 交曲线1C 于O ，M 两点，交曲线2C 于O ，N 两点，求MN 的长． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+．（Ⅰ）若不等式()f x a ≤的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在0x R ∈，使得202()4||f x t t ≤-+成立，求实数t 的取值范围．湖南省2017届高三十校联考第二次考试数学（理工类）答案一、选择题1-5:CBACA 6-10:DACBC 11、12：DB二、填空题13.3 14.4- 15.1 16.9或10三、解答题17.解：sin cos 20A a B a --=，sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，又(0,)A π∈，sin 0A ≠cos 2B B -=，sin()16B π-=，∴23B π=． （Ⅱ）∵2221sin ,22cos ,ABC S ac B b a c ac B ∆⎧=⎪⎨⎪=+-⎩∴2212sin 23222cos 7,3ac a c ac ππ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩即222,5,ac a c =⎧⎨+=⎩ ∴1,2,a c =⎧⎨=⎩或2,1.a c =⎧⎨=⎩18.（Ⅰ）证明：连接AF ，交DE 于点P ，交BD 于点M ，连接'PF ，'MF ， 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为CD 中点，E 为BC 中点，所以AF DE ⊥； 由于'PF 为PF 沿着DE 翻折而来，从而'PF DE ⊥，所以DE ⊥面'FPF ， 而'AF 在平面'FPF 内，所以'AF DE ⊥.（Ⅱ）设AB 中点为Q ，连接CQ ，交BD 于点N ，连接'NC . 同（Ⅰ）可证'DE CQC ⊥，从而面'//CQC 面'FPF ，所以'//'C N F M ；由DE ⊥面'CQC ，可得面'CQC ⊥面ABCD ，又因为面'BDC ⊥面ABCD ，且面'BC D 与面'CQC 相交于'C N ，所以CN ⊥面ABCD ．设N 为原点，过点N 作x 轴平行于AB ，作y 轴平行于BC ，'NC 为z 轴，如图所示，不妨设正方形ABCD 边长为3，从而(1,1,0)B -，(1,2,0)C ，(2,1,0)A --，(2,2,0)D -，AF =MF = 又因为DPF DCE ∆∆，所以10PF =，PM ='F PM ∆中，由勾股定理可得1'2F M =，所以'1NC =，即'(0,0,1)C ，所以可以求得面'BCC 的法向量1n为(1,0,1)，面'ADC 的法向量2n 为(1,0,2)-，所以可以得出法向量12cos ,n n <>=为10．19.解：（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为2601770C =， 且这2人在同一班级的基本事件个数为222220151510445C C C C +++=，故所求概率445891770354P ==． （Ⅱ）由题意的X 的所有可能的取值为0,1,2．则24026026(0)59C P X C ===，11204026080(1)177C C P X C ⋅===，22026019(2)177C P X C ===， 所以X 的分布列为：26()01259177177177E X =⨯+⨯+⨯=． 20.解：（Ⅰ）连接QF ，根据题意，可知||||QP QF =，则||||||||4||QE QF QE QP EF +=+=>，故Q 点的轨迹T 为以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =，1c =， ∴b =所以点Q 的轨迹T 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与x 轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43(,)77M ，43(,)77N -，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4(,0)7． 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643k y y k +=-+，即22243(,)4343k kM k k -++，同理：2243(,)3434k N k k ++， 于是直线MN 的斜率为2222223373443444(1)3443MNk k k k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为222374()344(1)34k k y x k k k -=-+-+，显然47x =时，0y =，故直线经过定点4(,0)7．21.解：（Ⅰ）因为21'()(1)kf x x x =-+，所以(1)52k f =-，'(1)14k f =-． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线220x y +-=垂直，故124k-=，解得4k =-，所以(1)7f =，'(1)2f =．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为72(1)y x -=-，即250x y -+=． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立等价于5ln 1kxx x +>+恒成立，等价于当(1,)x ∈+∞时，(1)(5ln )x x k x++<恒成立．设(1)(5ln )()x x h x x ++=（1x >），则24ln '()(1)x xh x x x--=>，记()4ln (1)p x x x x =-->，则11'()10x p x x x-=-=>，所以()p x 在(1,)x ∈+∞上单调递增． 又(5)1ln 50p =-<，(6)2ln 60p =->，所以()p x 在(1,)x ∈+∞上存在唯一的实数根(5,6)m ∈，使得()4ln 0p m m m =--=，① 因此当(1,)x m ∈时，()0p x <，即'()0h x <，则()h x 在(1,)x m ∈上单调递减； 当(,)x m ∈+∞时，()0p x >，即'()0h x >，则()h x 在(,)x m ∈+∞上单调递增． 所以当(1,)x ∈+∞时，min (1)(5ln )()()m m h x h m m++==，由①可得ln 4m m =-，所以(1)(1)1()2m m h m m m m ++==++．因为(5,6)m ∈，136492(,)56m m ++∈，又(38h +=，(31ln(30p +=-+>，所以(5,3m ∈+，因此36()(,8)5h m ∈， 又*k N ∈，所以max 7k =．22.解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，即2220x y y +-=，曲线1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=．因为曲线2C的极坐标方程为2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+， 故曲线2C的直角坐标方程为222x y x +=+，即22(1)(4x y -+=． （Ⅱ）直线l 的极坐标方程为3πθ=，化为直角坐标方程得y =，由22,20,y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则||OM ==由22,2,y x y x ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩则||4ON ．故||||||4MN ON OM =-=23.解：（Ⅰ）4,1,3()|23||1|32,1,234,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--+=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x 的图象（略）， 数形结合知()f x 的最小值min 5()2f x =-. ∵不等式()f x a ≤的解集是空集，∴实数a 的取值范围为5(,)2-∞-.（Ⅱ）存在0x R ∈，使得202()4||f x t t ≤-+成立，等价于2min 2()4||f x t t ≤-+， 由（Ⅰ）可知min 5()2f x =-， 所以2||4||50t t --≤，解得0||5t ≤≤，故实数t 的取值范围为[]5,5-.。
湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考数学理试题
2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）A ．cos 2θB ．1C ．2cos θ D ．cos 2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B xx -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有（ ） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇ 3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．23π+．4π D ．2π4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤uu r uu u r成立的概率为（ ） A ．16 B ．13 C.12 D ．236.设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，ea ，1ae -的大小关系为（ ） A ．1aee a a -<< B ．1eaa a e <<- C.1eaa e a <-< D ．1aea e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（ ）A ．3?n >B ．5?n > C.32?n > D ．203?n >8.集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（ ）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C.⎣ D ．⎡⎢⎣⎦9.已知()()sin f x t ωθ=+，其中0ω>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min 2x x π-=，()f x = 3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是（ ）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦C. 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 10.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线2x a =的距离为128PF PF +=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -= B ．22188x y -= C. 2211616x y -= D ．以上答案都不对11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=，()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A ．1212S =，58a a >B ．1224S =，58a a > C.1212S =，58a a < D ．1224S =，58a a <12.设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（ ）A．2B ．．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为p ，其二项式系数之和为q ，若64是p 与q 的等比中项，则n = ．14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0cos ,0,2x f x x x π∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 ．15.如图所示，在正方体1AC 中，2AB =，1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-= ． 16.若数列{}n a 满足11912a =，20212n n a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A=，4a =，5c =. （1）求边b 的长；（2）若1a b>，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，当12AEF ABC S S =V V 时，求AEF V 周长l 的最小值.18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ，2P ，20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X 为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X =，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥平面PCD ，平面PAD 平面ABCD ，CD AD ⊥，APD V为等腰直角三角形，2PA PD ===（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （2）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值. PDCAB20.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-，()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ，B分别作抛物线2y =的切线1l ，2l ，1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB ⋅=uu r uu u r；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S V 为定值，并求出这个定值. 21.已知函数()ln f x x =. （1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x （12x x <，0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫'<- ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ：1p =.（1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ，B ，点()1,1M ，证明：MA MB ⋅为定值；（2）将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x=+()0x ≠ （1）求不等式()1f x x <-的解集；（2）若对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，不等式()1f x x a x >--+恒成立，求实数a 的取值范围.2017届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 4π+692- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得sin 2sin 2A B =，A B ∴=或2A B π+=当2A B π+=时，直角ACB V ，易知3b =.当A B =时，等腰ABC V ，4b =.（2）依题可知：a b >，2C π∴∠=，3b =，3cos 5A =.依题：1sin 2AE AF A ⋅⋅11sin 22bc A =⋅⋅AE AF ⇒⋅=11522bc =.由余弦定理EF =周长()l AE AF =+≥=当AE AF ==. 18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ()2250201310730202723K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X 可能取值为0,1,2，可得分布列为()12 1.12E X P P =+=10.72P⇒=，120.320.3P P -=≥，二人适合结为“师徒”. 19.解：（1）依题：CD ADPAD ABCD⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD（2）ABCD PCD CDBA PCD⋂=⎧⎨⎩平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD 1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=， 取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r.()1,1,1PB =-uu r ，()2,1,1PC =--uu u r.0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu ur 020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =r . cos ,m n =u rr 7m n m n⋅=u r ru r r7.20.解：（1）依题意：1224y y x x ⋅=-+-()22124x y x ⇒+=≠± （2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k ，设切线为：(y t k x -=+(2y t k x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩2120ky k ⇒-++=， 0∆=⇒2330k -=，121k k =-，0NA NB ∴⋅=uu r uu u r.（Ⅱ）由条件得：12124y y x x =-，2222121216y y x x =2212161144x x ⎛⎫⎛⎫=--⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22124x x +=，22121y y ∴+=.AOBS =V==1==. 21.解：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x -'=>+Q ，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>= （2）1x >Q ，()21ln 1x x x ->+，取21x x x =⇒121212ln ln 2x x x xx x -+<-.21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧+-=⎪⇒⎨+-=⎪⎩1212ln ln x x x x --()121212x x a x x +=<+()1212210a x x x x ⇒-+-<⎡⎤⎣⎦+. ()112g x ax x '=+-，121222x x g x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭()1210a x x +-<⎡⎤⎣⎦. ()2120g x a x ''=--<，()g x '在()0,+∞上递减，1212232x x x x ++>Q ， 故12122032x x x x g g ++⎛⎫⎛⎫''<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ln 0x x ax +-=⇒()2ln x x a h x x +==，()312ln x x h x x --'=， 令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减，()10s =， 01x <<，()0s x >，()h x ↑，1x >，()0s x <，()h x ↓，()()1h x h ∴≤， 1x >，()0h x >，0x →，()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线1C ：221x y +=. 221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==. （2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 23.解：（1）不等式211x x x+⇔<-()211x x x ⇒+<- ()()21011x x x x x -≥⎧⎪⇒⎨+<-⎪⎩或()()21011x x x x x -<⎧⎪⎨+<--⎪⎩得{}1x x <-（2）11x a x a --+≤+Q ，此题可转化为()min 1f x a >+ 由均值不等式12x x⇒+≥，21a ∴>+ 得{}31a a -<<。
【数学】湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学2017届高考二模试卷(理)(解析版)
湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学2017届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z满足=1﹣i，则复数z在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数f（x）=ln x+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“α∥β”是“l∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）=0.3，则P（X＞8﹣m）=（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．与σ的值有关5．（5分）中心在坐标原点的双曲线C的两条渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．2或6．（5分）已知函数y=2sin（x+）cos（x﹣）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则||等于（）A．B．6πC．D．12π7．（5分）曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A．1 B．﹣1C．﹣7 D．﹣118．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．20169．（5分）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（）A．2 B．C．3 D．411．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和动直线l：y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b ≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k OA•k OB=恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0）B．（﹣2p，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）12．（5分）已知函数f（x）=，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，] C．（0，）D．（0，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（x++2）3的展开式中，x2的系数是（用数字作答）．14．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|[x]2﹣2[x]=3}，B={x|2x＞8}，则A∩B=．15．（5分）已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=．16．（5分）已知在△ABC中，（2﹣3）•=0，则角A的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=+，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．优秀人数非优秀人数总计甲班乙班30总计60（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+dP（K2＞k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87919．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面P AD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|P A|•|PB|，并求λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，不等式e f（x）+x2＞1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】由=1﹣i，得=，则复数z在复平面对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．2．A【解析】函数f（x）=ln x+e x在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．当x→0+时，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函数f（x）=ln x+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是．故选：A．3．A【解析】∵α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α．∴由“l∥β”得“α与β相交或平行”，由“α∥β”，得“l∥β”，∴“α∥β”是“l∥β“的充分不必要条件．故选：A．4．C【解析】∵随机变量X服从正态分布N（4，o2），∴正态曲线的对称轴是x=4，∵P（X＞m）=0.3，而m与8﹣m关于x=4对称，由正态曲线的对称性得：∴P（X＞m）=P（X＜8﹣m）=0.3，故P（X＞8﹣m）=1﹣0.3=0.7，故选：C．5．D【解析】圆（x﹣2）2+y2=3的圆心为（2，0），半径为，设切线方程为y=kx，由=，解得k=±，可得双曲线的渐近线的方程为y=±x，①当焦点在x轴上时双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有=，e====2；②当焦点在y轴上时，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有=，e====．故选：D．6．A【解析】∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，），M12（5π+，），∴||=，故选A．7．D【解析】x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成的平面区域如图，由，解得A（6，7）由y=3x+b，平移直线y=3x+b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y=3x+b的截距最小，此时b最小．∴b=﹣3x+y的最小值为﹣18+7=﹣11．故选：D．8．A【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．9．D【解析】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．B【解析】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，最大的侧面面积为S△OAD=，故选B．11．D【解析】将直线与抛物线联立，消去y，得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0，∴x1+x2=，x1x2=；∵k OA•k OB=，∴y1y2=x1x2，∴y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=；∴=•，解得b=，∴y=kx+=k（x+）令x=﹣，得y=0，∴直线过定点（﹣，0）．故选D．12．A【解析】当x≤0时，由y=得y2﹣9x2=1，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=﹣3x，此时渐近线的斜率k1=﹣3，当x＞0时，f（x）=1+x e x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，1+a e a﹣1），函数的导数f′（x）=e x﹣1+x e x﹣1=（x+1）e x﹣1，则切线斜率k2=f′（a）=（a+1）e a﹣1，则对应的切线方程为y﹣（1+a e a﹣1）=（1+a）e a﹣1（x﹣a），即y=（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+a e a﹣1，当x=0，y=0时，（1+a）e a﹣1（﹣a）+1+a e a﹣1=0，即a2e a﹣1+a e a﹣1=1+a e a﹣1，即a2e a﹣1=1，得a=1，此时切线斜率k2=2，则切线和y=﹣3x的夹角为θ，则tanθ=||=，则θ=，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题13．6【解答】解（x++2）3=[（x+）+2]3的展开式的通项公式为T r+1=C3r23﹣r（x+）r．对于（x+）r，通项公式为T m+1=C r m•x r﹣2m．令r﹣2m=2，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得r=2，m=0，（x++2）3的展开式中，x2的系数是C322C20=6故答案为：614．∅【解析】由[x]2﹣2[x]=3，解得：[x]=3或[x]=﹣1，故2＜x≤3或﹣2＜x≤﹣1，∴A=（2，3]∪（﹣2，﹣1]，而B={x|2x＞8}={x|x＞3}，故A∩B=∅．故答案为：∅．15．【解析】x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．16．【解析】∵（2﹣3）•=0，即（2﹣3（﹣））•（）=0，即（）•（）=0，∴﹣4+3=0，设A，B，C所对的边为a，b，c，则c2﹣4bc cos A+3b2=0，又cos A=，∴b2﹣c2+2a2=0，即a2=（c2﹣b2），∴cos A===≥=．∴0＜A≤．故答案为．三、解答题17．（Ⅰ）证明：令n=1，得a1=2a1﹣1，由此得a1=1．由于S n=2a n﹣n，则S n+1=2a n+1﹣（n+1），两式相减得S n+1﹣S n=2a n+1﹣（n+1）﹣2a n+n，即a n+1=2a n+1．∴a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1），即=2，故数列{a n+1}是等比数列，其首项为a1+1=2，故数列{a n+1}的通项公式是a n+1=2•2n﹣1=2n，故数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=+==，==﹣，所以T n=b1+b2+…+b n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣，），=﹣+﹣+…+﹣，=1﹣，数列{b n}的前n项和T n=1﹣．18．解：（Ⅰ）2×2列联表如下优秀非优秀总计甲班40 20 60乙班20 30 50总计60 50 110由算得，，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关（Ⅱ）设A，B，C成绩优秀分别记为事件M，N，R，则∴随机变量X的取值为0，1，2，3，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2 3PE（X）=0×+1×+2×+3×=19．证明：（Ⅰ）∵几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，∴AD⊥AF，AD⊥AB，又AF∩AB=A，∴AD⊥平面ABEF，又AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面ABFE．解：（Ⅱ）以A为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz 设正四棱棱的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1）设平面ACF的一个法向量=（x，y，z），=（2，2，0），=（2，0，2），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设平面ACP的一个法向量=（a，b，c），则，取b=1，则=（﹣1，1，1+h），二面角C﹣AF﹣P的余弦值，∴|cos＜＞|===，解得h=1．20．解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，如图所示；则==，==，两式相比，得：=，由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，所以=，即λ=，原命题成立．【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|P A|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|P A|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．21．解：（1）当a=﹣1时，f（x）=ln（x﹣1）﹣x，x＞1，f′（x）=﹣1=，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）递减，故f（x）在（1，2）递增，在（2，+∞）递减；（2）由题意得：x≥1时，x+a＞0恒成立，故a＞﹣1，①，不等式e f（x）+x2＞1恒成立，即x2+﹣1＞0对任意的x≥1恒成立，设g（x）=x2+﹣1，x≥1，g′（x）=，a≤0时，g（2）=a（2+）﹣1+＜0，不合题意，a＞0时，要使x≥1时，不等式e f（x）+x2＞1恒成立，只需g（1）=a（+）﹣1+＞0，即a＞，a＞时，a e x x﹣x+1﹣a=a（e x x﹣1）+1﹣x＞（e x x﹣1）+1﹣x，设h（x）=（e x x﹣1）+1﹣x，x≥1，h′（x）=e x x+e x﹣1，x≥1，显然h′（x）在（1，+∞）递增，∴h′（x）＞h′（1）=＞0，∴h（x）在（1，+∞）递增，h（x）＞h（1）=＞0，即a e x x﹣x+1﹣a＞0，②，由①②得：a＞时，满足题意．22．解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．23．解：（Ⅰ）①当x＜﹣2时，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x ＜﹣2，∴x＜﹣2；②当﹣2≤x≤时，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣，又∵﹣2≤x≤，∴﹣2≤x＜﹣；③当x时，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x，∴x＞3．综上，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．（Ⅱ）由（I）得f（x）=，∴f min（x）=f（）=﹣．∵∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣，整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜，∴m的取值范围是（﹣，）．。
湖南省衡阳市2017届高三数学第二次模拟试题实验班理201707270321
2017届高三年级第二次高考模拟试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里4.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25.已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6.己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7.已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A.（0，1）B.（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8.已知函数f（x）= ，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f （x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2 C．π（2﹣h）2 D．π（4﹣h2）11.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=．14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若 sin 2A+sin 2B=sin 2C ， ，以上叙述正确的序号是 ．16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行 平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，1 x , x1,02f xcos x , x 0,在空间直角坐标系 xOy 平面内，若函数的图象与 轴围成一个封x2闭的区域 A ，将区域 A 沿 z 轴的正方向平移 4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高 的圆柱如图二，其底面积与区域 A 的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共 8题，共 70分） 17.（本题满分 12分）已知数列{a n }满足 a 1=1，S n =2a n+1，其中 S n 为{a n }的前 n 项和（n ∈N *）． （Ⅰ）求 S 1，S 2及数列{S n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足，且{b n }的前 n 项和为 T n ，求证：当 n ≥2时， ．418.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35 微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：组别PM2.5浓度（微克/ 频数频率立方米）（天）第一组（0，25] 3 0.15第二组（25，50] 12 0.6第三组（50，75] 3 0.15第四组（75，100] 2 0.1（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19.（本题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t ．（1）当t= 时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆C：+ =1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|= ．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）= ﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[ ]上有解，求实数a的取值范围．选做题（本题满分10分）22.[选修4-4坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23.[选修4-5不等式选讲]设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A D B B C D A D13.7014. π15.①③④⑤16.π+417.（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1= ，S2= ；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|= |=．而当n≥2时，，即．18.（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）= •（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0 .001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.001 0.027 0.243 0.72919.（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t= 时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a，a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ== = ，解得t= 或t= ，由图形知，当t= 时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t= ．20.（1）由丨AB丨= = ，= ，解得：a=2，b= ，c=1则椭圆离心率e= = ；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2= ，由直线l与圆x2+y2=2相切，则= ，则m2=2（k2+1），则丨MN丨= •= ，= ，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨= •= •，由≤≤，∴f（）= ，在[ ，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[ ，]．21.（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ ，∴φ′（x）= = ；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2= ﹣，∴a= ﹣x3，设y= ﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[ ]∴函数在[ ]上单调递增，在[ ，1]上单调递减∵x= 时，y= ；x= 时，y= ；x=1时，y= ，∴y∈[ ]∴a∈[ ]22.（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，= = ．当时，|AB|的最小值为2．23.(Ⅰ)当a＝2时，f(x)≥3x＋2可化为|x－2|≥2，由此可得x≥4或x≤0.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，。
精选高三数学第二次质检试题理
衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。
其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.设全集U={x ∈N|x ≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A ）∩B 等于（ ） A ．{0，2}B ．{5} C ．{1，3}D ．{4，6}2.在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.函数y=2cos 2（x ﹣）﹣1是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数4.已知121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5.已知椭圆：（a ＞b ＞0），左右焦点分别是F 1，F 2，焦距为2c ，若直线与椭圆交于M 点，满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,)a ，其中常数0a >，点P 在线段AB 上，且AP t AB =(01)t ≤≤，则OA OP ⋅的最大值是（ ）A.2aB.aC.2aD.3a7.已知数列{an }为等差数列，满足=a 3+a 2013，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．2015C ．2016D ．20138.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+B ．16+．8+ D ．89.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(4,10]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞ 10.若x ，y 满足|x|﹣ln =0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知函数()()()()22212121x x x x f x x e e x e e -+--=+-++，则满足()0f x >的实数x 的取值范围是（ ）A.11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.(),1-∞-C.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭12.过双曲线)0(152222>=--a ay a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.)5,2(B.C.)2,1(D.第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a =．14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．15.已知变量x ，y 满足，则的取值范围是．16.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是．三.解答题（共8题，共70分） 17.（本题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n =f （n ）=n 2+2a|n ﹣2|． （1）若数列{a n }为递增数列，求实数a 的取值范围；（2）当a=时，设数列{b n }满足：b n =2an ，记{b n }的前n 项和为T n ，求T n ，并求满足不等式T n ＞2015的最小整数n ．18.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M ；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为y x ,.若10||≥-y x ，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率1P ；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．20.（本题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．21.（本题满分12分） 已知函数()ln af x x x=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
湖南省衡阳市高三数学第二次模拟试题 理(实验班)
湖南省衡阳市2017届高三数学第二次模拟试题理（实验班）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．∪时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7.已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A.（0，1）B.（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数()[)1,0cos,0,2xf xx xπ∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19.（本题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈上有解，求实数a的取值范围．选做题（本题满分10分）22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学13.7014.π15.①③④⑤16.π+417.（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1=，S2=；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|=|=．而当n≥2时，，即．18.（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a， a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20.（1）由丨AB丨==， =，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围．21.（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈∴函数在上单调递增，在上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y ∈∴a ∈22.（1）由ρsin 2θ﹣2cos θ=0，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ．∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ；（2）将直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2θ﹣2tcos θ﹣1=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则，，==． 当时，|AB|的最小值为2． 23.(Ⅰ)当a ＝2时，f(x)≥3x ＋2可化为|x －2|≥2，由此可得x ≥4或x ≤0.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x －a|＋3x ≤0，。
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衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。
其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.设全集U={x ∈N|x ≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A ）∩B 等于（ ） A ．{0，2} B ．{5} C ．{1，3} D ．{4，6} 2.在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.函数y=2cos 2（x ﹣）﹣1是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数4.已知121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ． a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5.已知椭圆：（a ＞b ＞0），左右焦点分别是F 1，F 2，焦距为2c ，若直线与椭圆交于M 点，满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,)a ，其中常数0a >，点P 在线段AB 上，且AP t AB = (01)t ≤≤，则OA OP ⋅的最大值是（ ）A. 2aB.aC.2aD.3a7.已知数列{an }为等差数列，满足=a 3+a 2013，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．2015C ．2016D ．20138.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+．16+．8+．89.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(4,10]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞ 10.若x ，y 满足|x|﹣ln =0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知函数()()()()22212121x x x x f x x e e x e e -+--=+-++，则满足()0f x >的实数x 的取值范围是（ ）A.11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.(),1-∞-C.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.()1,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭12.过双曲线)0(152222>=--a ay a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.)5,2(B.C.)2,1(D.第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = ．14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．15.已知变量x ，y 满足，则的取值范围是 ．16.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 ．三.解答题（共8题，共70分） 17.（本题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n =f （n ）=n 2+2a|n ﹣2|． （1）若数列{a n }为递增数列，求实数a 的取值范围；（2）当a=时，设数列{b n}满足：b n=2an，记{b n}的前n项和为T n，求T n，并求满足不等式T n＞2015的最小整数n．18.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；x,.若（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为y 10-yx，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率|≥|P；1（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．20.（本题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C 于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．21.（本题满分12分） 已知函数()ln af x x x=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．衡阳八中2017届高三年级第二次质检参考答案理科数学13.414.15.16.3πa217.（1）n=1，a1=S1=1+2a．n≥2时，S n=n2+2a（n﹣2），a1+a2=4，解得a2=3﹣2a．n≥3时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2a（n﹣2）﹣=2n﹣1+2a．∵数列{a n}为递增数列，∴a2＞a1，a3＞a2，n≥4时，a n＞a n﹣1，联立解得：．（2）a=时，a n=，∴b n=2an=．∴n=1时，T1=4．n=2时，T2=4+4=8．n≥3时，T n=8+=﹣．∴T n=．T5=1352，T6=5448，因此满足不等式T n＞2015的最小值为6．18.（1）频率分布直方图见解析，114.5；（2）25；（3）分布列见解析，910.5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M .故ξ的分布列如下依题意)10,3(~B ξ，故109103=⨯=ξE . 19.（1）求证：∵AD ∥BC ，BC=AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ．又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ；（2）解：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为；Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，）．设M（x，y，z），则，，∵PM=tMC，∴，则，即，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量，由，，取z=t，得x=．∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，解得t=3．20.（Ⅰ）由题意知，所以，即a 2=4b 2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C 的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y=k （x ﹣4）．由得（4k 2+1）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣4=0．①由△=（﹣32k 2）2﹣4（4k 2+1）（64k 2﹣4）＞0，得12k 2﹣1＜0，∴又k=0不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则M （x 1，﹣y 1）．直线ME 的方程为．令y=0，得．将y 1=k （x 1﹣4），y 2=k （x 2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线ME 与x 轴相交于定点（1，0）． 21.(1) 当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增；(2)[)85ln 2,-+∞.（2）当2a =时，()225ln g x x x x =--，()22252x x g x x -+'=由()0g x '=得12x =或2x = 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<.所以在()0,1上，()max 135ln 22g x g ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭而“()10,1x ∃∈，[]21,2x ∀∈，总有()()12g x h x ≥成立”等价于 “()g x 在()0,1上的最大值不小于()h x 在[]1,2上的最大值” 而()h x 在[]1,2上的最大值为()(){}max 1,2h h所以有()()112122g h g h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩()85ln 235ln 2585ln 2135ln 282115ln 22m m m m m ≥-⎧-+≥-⎧⎪⇔⇔⇔≥-⎨⎨-+≥-≥-⎩⎪⎩ 所以实数m 的取值范围是[)85ln 2,-+∞ 22.（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．。