定积分的定义及几何意义

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定积分的几何意义

2
在[- ， ]上连续，且在[- ，0]上
22
2
y f(x)=sinx
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
2
A1 = A2 ,所以
2 -
f
(x)dx
=
A2
-
A1
=
0
2
1
-2
A2
A1
x
-1 2
变式:
1）
2
sin xdx = 0
2） sin xdx = 2
2 sin xdx
3、定积分的几何意义：
b a
f (x)d x
的实质
（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，ba f (x) d x 表示
由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲
边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.
（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，ba f (x) d x 表示
上述曲边梯形面积的负值。
y=-f (x)
b
S = a[- f (x)]dx
b
S = a[- f (x)]dx
=- b f (x)dx ．， a
Oa
bx
b
c
b
a f (x)dx ==-aS f (x)dxc f (x
b
c
b
f (x)dx ==-S f (x)dx
a
a
c
f (x)dyx=f。(x)
ba1dx
=1
S = 0-1[(x -1)2 -1]dx - -102[(x -0 1)2 -1 1x]dx 01 2x
S = 2 x2dx 1
S = 1 1- x2 dx -1

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分，可以研究市场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以用来分析投资回报率的变化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分，掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解决与几何形状、物理量分布等有关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

定积分的几何意义是什么

定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上局部为正，x轴之下局部为负，根据cosx 在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的几何意义
定积分定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。

即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；假设只有有限个连续点，那么定积分存在；假设有跳跃连续点，那么原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分的定义性质和几何意义

b
f ( x)dx
b g( x)dx 。
a
a
15
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解：∵ x2在[0, 1]上连续，∴ x2在[0, 1]上可积。
将[ 0,1]
n等分，分点为 xi
i ，(i 1,2, n
,n)
小区间
[ xi1 , xi ]
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x) 在区间[a,b]
上的定积分： A b f ( x)dx 。 a
变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数
v v(t) 在时间区间[a,b]上的定积分： s
b
v(t )dt
。
a
13
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2．定积分定义的剖析
b f ( x)dx 0 。 a
性质 5 若 f R[a,b]，则| f | R[a,b]，且
b
f ( x)dx
b f ( x) dx 。
a
a
26
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2 比较下列各对积分值的大小.
（1）
13 xdx 与
1 x3dx ；（2）
1 xdx 与
161n12n1,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上连续，∴ e x在[0, 1]上可积。

定积分的概念

f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限
b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被积函数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表达式
变量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2

4
sin
xdx
所以

5
A sin xdx 4 sin xdx
1

内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义

1.5.3定积分的几何意义3.14

a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义说明等式成立。

2

2
sin xdx 0
y
解：在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[

， ]上连续，且在，]上 [ 0 2 2 2

2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,

b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x

b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5

A1
-1
A2
2
x

2

2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2

定积分的概念

小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割求和化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
取极限
精确值——定积分
四.定积分的性质一、基本内容
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
(4) s lim v ( i )t i v ( t )dt 0 T
T2
1
n
i 1
A lim f ( i )xi
0 i 1
n

b
a
f ( x )dx
二、定积分存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上连续时， [
[ 称 f ( x ) 在区间 a , b] 上可积.
1 . 2
例2 利用定义计算定积分
i 解将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n
0 x dx.
2
1
i 取 i xi ( i 1,2,3,4...,n) y n n n 2 f ( i )xi i xi
o
i 1 n
i n
1
x
f ( )x
i 1 i i
n 1
n 1 i 1
i 1 n 1 2 i n( n 1) 2 2 n n i 1 2n
n1 2n
0 n

1
0
xdx lim i xi 0

定积分的定义及几何意义

定积分教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义．教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点:过程的理解．1。

定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆(b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式:11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞)时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间,b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ． (2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ; ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰; 积分的物理意义: 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的性质根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx b a -=⎰1 性质2⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）性质31212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例题:求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积解：（1）分割：将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n-∆=-= （2）近似代替:2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和: 1ni i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= (4）取极限：1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(210+⎰的值。

定积分的几何意义

单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼兹公式求出定积分的值.
第一节定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似求和取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的小曲边梯形，把每一个小曲边梯形近似看作一个矩形，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。把这些近似值加起来，就是大曲边梯形面积的近似值。显然，分得越细，近似程度越高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示积分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的

不定积分和定积分的几何意义

不定积分和定积分的几何意义摘要：一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念2.不定积分的几何意义与应用3.不定积分与定积分的联系与区别二、定积分的几何意义1.定积分的概念2.定积分的几何意义与应用3.定积分与不定积分的联系与区别三、实例分析与计算1.简单实例分析2.复杂实例分析3.实际问题求解正文：一、不定积分的几何意义1.不定积分的概念不定积分是一种数学运算，通常表示为∫f(x)dx，其中f(x)是关于x的函数，x的取值范围为（a，b）。

在不定积分中，我们关心的是函数f(x)在区间（a，b）上的“面积”。

2.不定积分的几何意义与应用不定积分在几何上的意义可以理解为曲线y=f(x)与x轴所围成的面积。

在实际应用中，不定积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域，如求解速度、加速度、密度等问题。

3.不定积分与定积分的联系与区别不定积分与定积分有着密切的联系，它们都是对函数进行积分运算。

不同的是，不定积分关注的是曲线与x轴所围成的面积，而定积分关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。

二、定积分的几何意义1.定积分的概念定积分是一种数学运算，通常表示为∫∫f(x，y)dydx，其中f(x，y)是关于x 和y的函数，x和y的取值范围为（a，b）和（c，d）。

在定积分中，我们关心的是函数f(x，y)在区域内的“体积”。

2.定积分的几何意义与应用定积分在几何上的意义可以理解为曲面z=f(x，y)与xy平面所围成的体积。

在实际应用中，定积分广泛应用于物理、力学、地理信息系统等领域，如求解流量、速度场、密度场等问题。

3.定积分与不定积分的联系与区别定积分与不定积分都是积分运算，它们之间存在着联系。

定积分是三维空间中的积分，通常关注的是曲面与坐标平面所围成的体积，而不定积分是二维空间中的积分，关注的是曲线与坐标轴所围成的面积。

三、实例分析与计算1.简单实例分析例如，求解函数f(x)=x^2在区间[0，2]上的定积分。

根据定积分的几何意义，我们可以将问题转化为求解曲线y=x^2与x轴所围成的面积。

定积分的概念,几何意义及其运算

三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
预习：
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积前上为正下相反有上有下代数和同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S

定积分的定义

2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
=8－4=4.
答案:4
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略（1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.

2
0 f
x dx

2
20
f

x

dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能判断
【解析】选A.由定积分的概念可知,
2
1
f

x的d值x 为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）012d表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0 2dx

2.
答案:2
(2)
2
1
x表dx示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3所, 以
2
2 xdx 3 .
2
分的形式为_______.

【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S

2 0
sin
xdx.

答案: 2 sin xdx 0

定积分定义

x i ] 为底
,
f ( i )
y
为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积
Ai f ( i )x i
得
o a ( x i xi xi 1 )
x1 xi 1 xi
i
Definite integral
求和:
A
n
n
A i f ( i )x i （ A 的近似值）
《微积分》第三章
第五节
引例
定积分
Definite
定积分的定义定积分的性质
integral
定积分的几何意义
Definite integral
曲边梯形
引例1 求曲边梯形的面积 A
由连续曲线
y
y f
y f ( x )( f ( x ) 0)、
x轴与两条直线 x a、
x
A
x b所围成的图形.
1 6
n
(1
1 n
)( 2
1 n
)
o
i n
1 x

Definite integral
定积分的性质
对定积分的补充规定:
（ 1）当 a b 时，
（ 2）当 a b 时，
a
b
b
f ( x ) dx
b
a
f ( x ) dx .
a
f ( x ) dx 0 ；
说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
④
1i n
n
③再求和 f (i ) xi
i 1
max{xi } , 若不论对[a,b]怎样的划分，也不论

4(1)定积分的概念与性质

(1) 当a b时,
b
f ( x)dx 0
a
(2) 当a b时,
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
说明在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
18
定积分的概念与性质
性质1 设f (x)和g(x)在a,b上可积,则f (x) g(x)也在a,b上可积.
12
定积分的概念与性质
3、定积分的几何意义和物理意义
(1). 几何意义
f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
f ( x) 0, b f ( x)dx A 曲边梯形的面积
a
y
的负值
f (x)
A1
a
A2 O
A3
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
13
定积分的概念与性质
即小区间的最大长度 max{x1,x2,xn}
趋近于零 ( 0) 时，取极限, 极限值就是曲边梯
形的面积:
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
7
定积分的概念与性质
思想以不变代变
(2).求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t)
是时间间隔 [T1,T2 ]上t 的一个连续函数,且v(t) 0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路把整段时间分割成若干小段, 每小段上速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
第四章一元函数积分
定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.

定积分概念、性质

cos2 x 2 cos2 2x
d [ x cos2 tdt 2x cos2 tdt]
dx 0
0
(u 2x)
例3
x sin t3dt
求极限lim 0 x0
x4
解：此极限为0 型，由罗必达法则
0
原式
lim x0
sin x3 4x3
1 4
例4 求f (x) x t.et2 dt的极值。 0 解： f (x) x.ex2 ,
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m，于是，由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
b
a f (x)dx f ( )(b a), (a b)
n
6n3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定： a f (x)dx 0,
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
三、定积分存在的充分条件
1. 若函数 f x在 a, b 上连续，则 f x 在 a, b 上可积。
a
记作
F ( x)
b a
证明思路
F
x
x
a
f
x dx
C
F
b
b
a
f
x dx
C
F
a
a
a
f
x
dx
C

定积分概念-定积分的定义和几何意义

y
O a b
新课讲授实践探究课堂小结

b
a
f ( x )dx A.
课后巩固
x 轴下方的曲边梯形面积的
负值，即
x
A
A y=f (x) B

b
a
f ( x )dx A.
定积分的定义及其几何意义
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时，定积分
a f ( x)dx 在几何上表示
b
定积分的概念
---定积分的定义及其几何意义
主讲：蔡承文
定积分的定义及其几何意义
课题引入
lim f ( i )xi
0
i 1
n
非均匀分布总量计算方法
新课讲授
实践探究课堂小结课后巩固
------函数 f (x) 在 [a, b] 上的定积分
定积分的定义及其几何意义
定积分的定义
设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有定义．在 [ a , b ]
课后巩固
定积分的定义及其几何意义
把所有乘积加起来，得和式
f ( ) x ,
i 1 i i
n
课题引入
新课讲授实践探究课堂小结
当 n 无限增大，且子区间的最大长度 (即 = max{xi }) 趋于零时，如果上述和式的极限存在，则称函数 f (x) 在区间[a, b]上可积，并将此极限值称为函数 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，记作
a
b

T2
T1
v ( t )dt
新课讲授实践探究课堂小结
(2) 定积分是一个数! 区间分法被积函数有关，与 (3) 定积分仅与 ξi的取法无关积分区间积分变量记法

定积分的极限定义,几何意义

定积分的极限定义,几何意义
定积分的极限定义是通过将区间分割成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值与区间长度的乘积进行求和，最后将分割的区间长度趋近于零，得到的和即为定积分。

几何意义上，定积分表示了函数曲线与x轴之间的面积。

对于非负函数，定积分可以看作是曲线下方到x轴之间的面积。

而对于有正负值的函数，定积分可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积。

这里的面积是指在函数曲线与x轴之间的区域所包围的面积，即在x轴的上方或下方的区域，而不是绝对值。

如果函数的值为负，则表示在x轴的下方，面积为负值。

因此，定积分的几何意义是计算函数曲线与x轴之间的面积，可以用于求解各种几何问题，如曲线长度、曲线重心、平均值等等。

高等数学- 定积分概念

点 i 怎样的取法, 只要当 0时，和S 总趋于
n
确定的极限 I ，即
I
lim
0 i1
f (i )xi
我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上
的定积分 . 记为
积分上限
积分号
b
n
f ( x)dx
a
lim 0
i 1
f (i )xi
积分和
积分下限
被积函数
被积
积表达式
e
e
例2 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则 m(b a) b f ( x)dx M (b a). a
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例3 估计积分
0
3
1 sin3
dx的值. x
例4 证明: 4 3 (x2 1)dx 20 1
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx

问题的提出定积分的定义定积分的几何意义

求近似：以直（不变）代曲（变）
取极限
3．可积的充分条件与必要条件。
4．定积分的性质。
5．典型问题:
(１) 估计积分值；
(２)（不计算）比较积分大小．
定义
被积函数
被积表达式
积分变量
记为
积分上限
积分下限
积分和
注：
2、可积的必要条件
存在定理
可积的充分条件
三、定积分的几何意义
为曲边梯形的面积；为曲边梯形的面积的负值。一般地
例1 计算
解
四、定积分的性质补充规定: 说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 性质2 性质1与2合为定积分的线性性质: 性质3过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
曲边梯形面积的计算：
曲边梯形面积的近似值为有，小矩形面积和
2 、求变速直线运动的路程
性质4
推论1（比较定理）性质5（保号性）推论2
解
性质6 （估值不等式）
（此性质可用于估计积分值的大致范围）解
性质7（积分中值定理）