定积分的定义及几何意义

精品文档 定 积 分

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．

教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解．

1.定积分的概念：

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<

<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n

-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a S f x dx =⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：

（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a

f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n

i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()b

a S f x dx =⎰； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()b

a W F r dr =⎰ 2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=b

a

b

a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）

精品文档 性质3

1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()b

c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中

例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n

-∆=-= （2）近似代替：

2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和： 1n

i i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：

1111115lim lim lim 112323

n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(21

0+⎰的值。

例2．计算定积分21(1)x dx +⎰=52。 练习：

1.利用定积分的定义计算dx x )12(1

0+⎰的值。 2.计算下列定积分

（1）50(24)x dx -

⎰ （2）11x dx -⎰ （3） dx x )43(222--⎰-

（4）求定分3-⎰x ．