Strongart数学笔记：正则局部环与CM局部环
Strongart数学笔记：浅谈局部上同调及其对偶定理
浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。
约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。
首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。
下文若无混淆，我们将把I省去。
可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。
下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。
由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。
若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。
除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。
Strongart数学笔记：交换环的参数系与正则列比较
交换环的参数系与正则列比较(2014-12-09 13:23:56)在交换环理论中，参数系（system of parameters，缩写为s.o.p）与正则列（regular sequence）是两个密切相关的概念，下面就来比较一下它们的关系。
下面约定，作为系数的k是域，环是指含单位元1是交换环。
基本概念：先看什么是参数系，元素x_1，…，x_d称为局部环（R，m）的参数系，若rad（x_1，…，x_d）=m；假若（x_1，…，x_d）=m，则它称为局部环（R，m）的正则参数系，此时R 称为正则局部环。
再看什么是正则列，它实际上就是依次出现的非零因子序列。
元素序列x_1，…，x_n称为环R-正则序列，若x_i 是R/（x_1，…，x_(i-1)）是正则元素，即不是零因子，1≤i≤n，这里约定x_0=0，并且还满足基本条件（x_1，…，x_n）≠R.对局部环（R，m），最后的基本条件可以由各x_i∈m保证，在m内的正则列又称为m-正则列。
元素顺序：参数系的各个元素同时给出，显然是与顺序无关的。
正则列的各个元素逐次给出，因此可能与顺序相关，一个流行的实例是在R=k[x,y,z]内，x，y（1-x），z（1-x）是R-正则列，但y（1-x），z（1-x），x就不是R-正则的。
令人惊讶的是，局部环（R，m）上的m-正则列与元素顺序无关，对此我们可以化为二元正则列来证明。
数量特征：参数系对应的数量是局部环Krull维数，对此我们有下面的维数定理，这个定理一般出现在交换代数初级教科书（比如【1】）的结尾处。
维数定理：设（R，m）是Noether局部环，则δ（R）= d（R）=dim R，这里δ（R）=min{μ（q）；q是m-准素理想}，而μ（q）表示q是生成元的最小数。
由维数定理，我们一般只对Noether局部环定义参数系的概念，Noether局部环的参数系一定是存在的，同时若x_1，…，x_d是局部环（R，m）的参数系，则有维数关系：dim R/（x_1）=dim R-1.正则列对应的数量是环的深度，局部环（R，m）内极大m-正则列的长度称为R的深度，记作depth R.一般环的深度定义为对各极大理想局部化的深度的最大值。
Strongart数学笔记：小结模与环上的Morita性质
小结模与环上的Morita性质我曾经在自己的交换代数讲座中提到过，理解环大概有三个层次：第一个是元素，这是最初级的讨论；第二个是理想，包括理想基本运算、链条件、根基（理想的交）等等，第三个是模，它可以看出被环操纵的一个傀儡，经常可以反馈一些信息。
可最近我意识到还有第四个层次，那就是（模）范畴，与之相关的理论被称为Morita theory.Morita theory可以从矩阵环的理论中推广出来，起初是注意到环R的很多性质往往与矩阵环Mn（R）相似，然后发现这样的现象可以在范畴的高度上进行解释，也就是说R与Mn（R）是Morita范畴等价的，相应模范畴的等价性质被称为Morita性质（Morita不变性）。
当然，推广后的结构并不仅限于矩阵环，而是构造一个形式化的Morita Context六元组（R,P,Q,S,α,β），这里我就是不再展开了。
实际上最常遇到的例子除了矩阵环之外，也就是在半本原环（semiperfect ring）R中对基本幂等元e，R与eRe之间的关系了。
如果肯定了某个性质P是Morita性质，那么关于它的一切命题都可以放心的在等价类中搬运，在代数K理论中Mn（R）与R的Ki 群同构就是典型的例子。
既然Morita性质建立在范畴等价的基础上，那么只要是范畴性质，那么它自然就是Morita不变的。
这里的范畴性质主要就是那些不依赖于具体元素确定的性质，而关于主理想（有生成元啊！）、循环模、零因子等等性质，它们就可能不是Morita性质。
但我们不能说它一定不是，因为它可能有其他范畴性的等价刻画，使用元素定义只是方便一点而已，比如下面的奇异模与非异模就是典型。
遗憾的是，假若性质P蕴含性质Q，P与Q是否属于Morita性质是毫无关联的，因此我们只能一个个进行检验，顺便也可以回顾一下相应环与模的基本性质。
在Morita性质的检验过程中，环的性质总是建立在模的基础上的，因此我们先检验的模的常见性质（为了方便，我以右侧为例）,像子模、商模、直和项等关系都是明显的，而本性子模与多余子模也可以不依赖元素定义，因此也属于Morita性质的范围内，而且可以作为判断其他性质的基础。
Strongart数学笔记：趣谈Banach代数中非交换元素的谱
趣谈Banach代数中非交换元素的谱设A是一个（带单位元e）的复Banach代数，a与b是A的两个元素，试问：ab与ba的谱是不是相同的？这个问题本身并不难，但却是非常有趣味的。
根据谱的定义，我们要研究λe-ab与λe-ba的可逆性，对此可以化为e-ab与e-ba的可逆性。
假若你学得非常仔细的话，就会发现这个问题有N多个版本：1）线性代数中的矩阵：I-AB可逆iff I-BA可逆；2）抽象代数中的环论：1-ab可逆iff1-ba可逆；3）泛函分析中的算子：id-TS可逆iff id-ST可逆；……在这些版本中，矩阵版应该是最初等的，环论版则是最为本质的，而这里是算子版似乎是最具有应用价值的，这里的Banach代数版是算子版的升级形式，但却又只能作为环论版的特例。
下面我们来证明这个命题，主要就是下面的“等式”：e-ab=e+ab+abab+ababab+…=e+a（e+ba+baba+…）b=e+a(e-ba)^(-1)b这里的等式加引号是因为它的中间步骤并不严格，就是Banach代数而言，只有在|ab|<1时才能展开e-ab，但只要直接考虑首尾，就可以跳过这个收敛性问题。
换句话说，先假设e-ba可逆，那么可以直接验证e-ab的逆就是e+a(e-ba)^(-1)b，反之亦然。
这样一来，我们似乎已经证明了谱σ（ab）=σ（ba），可事实上并非如此。
仔细分析上述步骤，我们会发现λe-ab与λe-ba要转为e-ab与e-ba的可逆性，就得先同除以一个λ，这就得补充要求λ≠0.换句话说，ab与ba的谱最多只能差个零，有的书上把它记成σ（ab）∪{0}=σ（ba）∪{0}，有的书上则记成σ（ab）\{0}=σ（ba）\{0}.接下来我们要追问，这个可能是差别是否一定存在？显然，a与b交换时是不存在的，因此我们只能找非交换的例子。
第一个念头就是矩阵，可假若矩阵AB的谱包括零，那么AB就是奇异的，其行列式det（AB）=det（A）det（B）=det(BA)，因为矩阵BA也是奇异的，其谱也包括零。
Strongart数学笔记：初等数学研究
平面几何是可以替代的吗我们通常会有这样一种看法，一种理论之所以高级，就在于它能够蕴含一些低级的理论，也就是说，低级理论所能达到的地方，高级理论也一样能够达到，而且往往还要更多一些。
但绝大多数情况都没有这样理想，这样的蕴含往往不是完全的，更加准确的称呼应该是局部的专题化。
让我们以平面几何为例子来说明一下这个问题，很多高级的几何脱胎于平面几何，但正如人们一般不会注意在人类进化时灭绝了多少种猿猴一样，很少有人会注意在平面几何发展的同时，我们到底丢失了一些什么东西。
单从字面上看，平面几何似乎应该被立体几何所包含，因为前者只是后者在一个平面上的特殊情况。
然而仔细一看，却可以发现立体几何所推广的内容只是平面几何的一部分，平面几何的基础内容（比如三角形全等与相似）在立体几何中并没有明显的对应，或许我们也可以把它们依葫芦画瓢的推广出来，但这样做似乎比较麻烦，而且缺乏朴素的直观（看三棱锥的全等与相似！），所以价值并不是太大。
其实，立体几何所推广的只是简单的线面关系和几何体计算，前者在于建立一个空间的直观框架，后者更多是出于实际生产的需要，但这些都只是平面几何中最浅层的部分。
可见，立体几何只是平面几何的局部推广而已，它们的关系并不是完全包含的。
解析几何的情形也是类似，其中引入了新的元素——坐标，也给平面几何奠定更严格的数量基础，但其主要研究内容还是由坐标确定的，也就是说它自己带来了自己的问题，并未对早先的平面几何有太多的帮助。
尽管理论上说，用平面几何可以证明的定理都能用解析法证明，可实际上即使再加上平面三角与向量等高级工具，操作起来（特别是遇到角度有关的问题）也还是非常麻烦的，稍微复杂一点的问题还是只能用平面几何定理来推论。
从这个意义上说，坐标的引入反倒是缩小了平面几何研究的深入程度，只是因为方便了曲线的表达，特别是得到了二次曲线的丰富成果，所以才有其存在的价值，但更高级的代数曲线似乎就仅满足于判断一些点的重数与分支的维数。
Strongart数学笔记：半单环上的模特征与环的同调维数小结
半单环上的模特征小结记得刚开始学模的时候，总觉得其中有一种不协调感，后来知道是主角与配角之间的关系有点错乱，作为系数的环似乎喧宾夺主的成了主角，但是这也使得环与模的关系非常密切。
下面我就结合最近学到的东西，以半单环上的模特征为例作一个小结。
先看这样的一个命题：A right ring R is von-Neumann regular ring iff every right R-module is divisible.其实直观上也容易理解，类比于semisimple ring中any right ideal均可作为直和加项，在von-Neumann regular ring中的principal right ideal是直和加项，而divisible module则等价于principally injective，后者是指Baer Criterion 中的any right ideal换成any principal right ideal，可以视为我们熟知的结论injective→divisible的本质解释。
我们还可以从另一个角度看这个问题，初级教科书中一般只在domain上介绍divisible module，其实可以推广到一般环上如下：A R-module M is divisible if for any u∈M and a∈R,(for any x∈R,ax=0→ux=0)→u∈Ma.我们把它推广到相应的族，就得到fully divisible的概念，也就是说：A R-module M is fully divisible if for any{u_i}CM and {a_i}CR,(for any{x_i}CR,Σa_ix_i=0→Σu_ix_i=0)→u_i=va_i，v∈M.可以证明，fully divisible与injective也是等价的。
在初级环论中，我们知道semisimple→von-Neumann regular→Jacobson semisimple，一个自然的问题就是它们对应的模有什么性质？事实上，我们还有命题：A(right)ring R is semisimple ring iff every right R-module is injective，这与上文中的injective→divisible高度契合。
Strongart数学笔记：代数数论入门指南
代数数论入门指南一般代数数论都是先在具体的代数数环上出发的，常常可以在Dedekind整环上统一处理，然后通过数域的完备化发展到局部域，最后建立局部与整体类域论，本文主要科普的是局部类域论之前的代数数论基础概念。
先从迹与范的概念开始，它们实际上都源于线性代数，是特征多项式上的两个特殊的系数。
设A与B是两个交换环，且B是秩为n 的自由A-模，那么任何b∈B都可以视为B的乘子L_b(x)=bx，那么这个乘子就是一个线性变换（给定基之后可以写成n×n矩阵），它的迹、范与特征多项式就是元素b对于扩张B/A的特征多项式。
分别记作Tr（b），N（b）与f_b(X).代数数论中最常见的还是域的扩张，设L/K是有限n次扩域，u∈L在K上的不可约多项式的（可能重复的）根分别为u_1,…，u_s，则u的迹与范分别为：Tr(u)=[L:K(u)]Σu_i; N(u)=(∏u_i)^[L:K(u)]假若K是整环A的函数域，a∈L是A上的整元素，那么a对于L/K的特征多项式的系数（特别是迹与范）在A上都是整的且属于K。
特别当A是整闭的，那么它们的系数搜属于A.假若L/K是有限n次可分扩域，那么其迹形式T(u,v)=Tr(uv)是非退化的对称双线性型。
可定义L的元素a_1,…,a_n对L/K的判别式为：Disc（a_1,…,a_n）=det[Tr(a_ia_j]=（det[σ_ia_j])^2，1≤ij≤n其中σ_i是L的K-共轭。
若L=K(a),a在K上的极小多项式为f(x)=(x-a_1)…(x-a_n)，其中a_i=σ_i(a)，则定义a对于f（x）的判别式为：Disc（1,a,…,a^(n-1)）=∏(i＜j)(a_i-a_j)^2=(-1)^n(n-1)/2Nf'(a)这里f"(a)称为a的微分或差分（different）.通过对三项式f（x）=x^n+bx+c的验证，这里的判别式与通常二三次多项式的判别式是一致的（见[1]).代数数环都是Dedekind整环，其理想可以被唯一分解为素理想之积，下面我们就着重研究素理想。
Strongart数学笔记：Going up与Going down
Going Up与Going Down在整性扩张理论中，Going-up(GU）与Going-down（GD）是关于素理想链的两个很有意思的定理，下面我就来对它们做一点评述。
讨论的基本前提是“整环R与S，S包含R且在R上为整”，这并不是最一般的情况，但已经能够说明其本质问题，下文中若无特别声明，均默认此约定。
处理GU与GD的基础是Lying Over（LO），称S的素理想Q是Lying over于R的素理想P，若Q∩R=P.所谓LO问题，就是给定R的素理想P，是否存在S的素理想Q是LO于其上？事实上，在上述的约定条件下，LO是成立的。
在证明这个结论之前，我先注记一下它的反问题（LU=Lying under？）是平凡成立的，即给定S的素理想Q，Q∩R一定是R的素理想。
一般而言，push out是有风险的，往往需要考虑像是不是保持原先的性质；但pull back却是保守的，相应性质常常可以自然保持。
这里扩张的整性使得S的素理想在pull back后会退化成R本身。
LO的证明思路是归约，一个是商的划归，另一个则是局部化归约。
为此有这样的引理，假若S的素理想Q是LO于R的素理想P上，那么相应的商S/Q是R/P的整扩张，相应的局部化S Q也是R P的整扩张。
可以证明，在基本前提上，R是域iffS是域。
借助于商归约可得若Q=P∩R，则Q是极大理想iffP是极大理想。
再对P进行局部化归约，可以证明S中LO于同一素理想P是两个素理想Q1与Q2没有包含关系（弱唯一性），这是因为在局部环R P中PR P是极大理想，所对应的QS P（=Q（R-P）^(-1)S)也是极大理想，因此是不能相互包含的。
同样利用对P的局部化，可以通过拉回S P的LO 于PR P的极大理想来构造出LO于P是素理想Q，这里极大理想的存在性是一个重要的援兵，而它的背后则是Zorn lemma。
所谓GU，就是说在基本条件下，假设S的素理想Q是LO于P，若R的素理想P1包含P。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
Strongart数学笔记：浅析交换环到非交换环的推广
浅析交换环到非交换环的推广最近我读完了Lam的《非交换环初级教程》，发现非交换的情形确实很有意思，下面就简单谈几点交换环到非交换环的推广。
非交换环的一个最常见的例子或许就是矩阵了，利用矩阵可以一批非交换环的反例。
若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域，那么A=Re_11+Re_12+Se_22是左Noether与左Artin的，但不是右Noerther与右Artin，这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。
在除环上的所有矩阵的有限直积构成了所谓的半单环类，这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理，这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。
更加有趣的是，它通过矩阵的对称结构，自然说明了左半单环等价于右半单环，尽管非交换环中有左与右的区别，但也不乏此类殊途同归的有趣现象。
在交换环中，我们经常要研究它的根，也就是某类条件理想的交集。
最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根，前者简称为大根，它是所有极大理想的交；后者简称为素根或小根，它是所有素理想的交。
而在非交换的情形中，一个根就可能分化为三个根，满足某类条件左、右理想以及理想的交。
尽管一般不作为重点，但在非交换环中也一样可以讨论（双边）理想。
事实上，非交换环R所有极大左理想的交恰恰就是所有极大右理想的交，并且它们良好的继承了相应的可逆性质，因此就称其为非交换环的Jacobson根，也记作rad(R)。
而对于R有极大理想的交，就要比rad(R)更大一些，被称为Brown-McCoy根。
反例要稍微复杂一点，设k是除环，V=∑e_ik（Σ是直和，i=1，2…），R=End（V_k)，可以证明R是von Neumann 正则的，因此Jacobson根为零，但它却有唯一的极大理想I={f∈R;dim f(V)<∞}！这类的自同态环的例子可以视为矩阵的一种无穷维推广。
小根的情况似乎要简单一些，可能是定义的不方便，书中并没有出现所谓的左素理想与右素理想，而只是笼统的定义了素理想的概念。
Strongart数学笔记：评述Artin环的基本性质
注：半局部性的这个定义仅在交换环中成立，对非交换环 R 定 义为 R/rad(R)是左（或右）Artin ring.
3）根的幂零性：这里我们要先区分 nil ideal 与 nilpotent ideal 的 概念（nil ideal 在中文里直译为零理想，这非常容易与 0 混淆，有些 书中生造了个“诣零理想”，以此来与幂零理想区别对照），前者指元 素幂零，后者则是指理想本身幂零，也就是对交叉项依然有要求。显 然，nilpotent ideal 一定是 nil ideal，但在 R=k[x1,x2,…]/(x1^2,x2^2,…) 中由取模后的未定元 x1，x2，…生成理想即为显然是 nil ideal，却不 是 nilpotent ideal。
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1）零维性：就是说 Artin ring 中素理想都是极大理想。通过取商 它又等价于命题：Artin 整环是域，后者是非常容易证明的。既然素 理想与极大理想等价，那么素根就是等价与 Jacobson 根等同，也就是 说在 Artin ring 中可以笼统的称为根。
Strongart数学笔记：自反空间的性质与判定定理
自反空间的性质与判定定理赋范空间X称为自反空间，就是说在自然映射下有到其二次对偶空间的到上同构X≌X**.实际上，它有一个简单的直观解释，就是对X上的泛函f（x），把自变量x∈X升级解释成X*上的泛函。
为了突出x的特殊地位，我们常在x上加hat或是放到下标中写成Φx（f），有时也引入表示自反性的算符Q记作Qx，在不至于混淆的情况下，直接把X等同于X**的子空间也是可以的。
假若这个空间中，其所有的泛函的泛函都可以由X中的元素升级决定的话，那么此空间就称为是自反空间。
请注意，并不是只要X≌X**就是自反空间，这里的同构必须是在自然映射下才行。
假若要证明l p（1＜p＜∞），单纯给出（l p）**=（l q）*=l p （1/p+1/q=1)是不完全的，必须要说明这个对偶过程才行。
实际上，还真是存在同构于其二次对偶的非自反空间，即所谓的James空间。
本文不准备详细讨论这个空间，主要是介绍一下自反空间中的若干定理。
第一个定理被称为范数可达性（norm attain），就是说若X自反，则对任何x*∈X*，存在x∈B X*，使得‖x*‖=|x*（x）|.实际上，由Hahn-Banach延拓定理的典型推论，存在X**中的元素x**，使得‖x*‖=|x**（x*）|，而这里的自反性恰恰保证了x**一定在X=X**内。
利用这个范数可达性，我们容易证明c0不是自反空间（（c0）*=l1中的{2^(-n)}范数不可达）。
事实上，假若Banach空间（这里的完备性条件是不可少的!）满足范数可达性，那么它也一定是自反的，这被称为James定理。
它是相当深刻的一个结论，感兴趣的读者请参考：Robert E.Meggginson的An Introduction To Banach Space Theory1.13与2.9.第二个定理称为Pettis定理，就是说自反空间的闭子空间是自反的。
利用零因子可以得到它的一个“不依赖于元素”的简单证明，设M是赋范空间X的闭子空间，由X的自反性，x∈⊥（M⊥）iff Qx∈M⊥⊥，故有M⊥⊥=Q（⊥（M⊥）=Q（M），这就可以说明M确实是自反空间。
Strongart数学笔记：浅谈代数观点下的代数簇
浅谈代数观点下的代数簇在一般线性代数群的书籍中，开头总有一个关于代数几何的综述，它主要是从代数方面来介绍代数簇理论，读过之后还是小有心得的，下面就对其代数簇理论做一个小结，假设我们的讨论都在特征为零的代数闭域k上进行。
所谓代数簇，说白了就是多项式族的公共零点集。
给定多项式环k[x_1,…,x_n]内的一个理想I，所有I内的多项式（可由其生成元代替）的公共零点就称为一个仿射代数簇。
记作V（I）；反之，给定任何仿射代数簇X，在X上限制为零的多项式集构成它的定义理想，记作I（V）。
代数簇与其定义根理想按照包含关系反序一一对应，并且有I（V（I））=rad（I），这被称为Hilbert's Nullstellenstaz （零点定理）。
这里的等号右边为什么是rad（I）内，可以考虑I=（x^n)，V（I）={x^n=0}={x=0},结果I（V（I））=（x）=rad（I）.在仿射代数簇上。
我们通常考虑所谓的Zariski topology，即把多项式的零点作为闭集的拓扑。
在仿射空间k上，其Zariski拓扑的闭集由有限个点组成，换句话说其开集非常的大，要包括它的几乎所有的点，因此非常的不满足通常的Hausdorff性质，当然通常我们只要用到它的稠密性就足够了。
此外，Zarishi拓扑不是可乘的，在k×k上去掉原点，剩下的部分是k×k上Zariski topology的开集，但却不是k上Zariski topology的积拓扑的开集。
有了拓扑之后，关于仿射代数簇的一些理论可以在拓扑空间上讨论，最常见的一条是不可约性。
拓扑空间X称为不可约的，假若C不能表示成两个真非空闭子集的并。
仿射代数簇X是不可约的iff I （X）的素理想。
假若拓扑空间是Noether的（开集满足ACC），那么它可以分解为有限个极大不可约（闭）子空间的并，这实际上就相当于交换代数中Noether rong上的准素分解。
Strongart数学笔记：微分几何部分的学习小结
微分几何部分的学习小结最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完了。
尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。
书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所说的“天地连通”。
先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gauss law，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致解释。
最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。
既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。
作者先给出了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。
在此观点的影响下，作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。
作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。
很多书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些书为了防止惯性思维还要特强调一下。
但作者却是先讨论了协变导数差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。
Strongart数学笔记：代数K理论的代数基础小结
代数K理论的代数基础小结最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。
代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。
所谓环R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。
这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K→K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。
一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel 群的结构定理；另一个答案则是局部环（未必交换），这可以通过推广Nakayama lemma来证明。
顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊！对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain （DD），它是交换的遗传环，有着各种等价的描述：1）从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。
这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。
2）从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。
3）从理想的角度来看：DD的分式理想构成群。
此等价于其任意（分式）理想均可逆。
4）从模的角度来看：DD的f.g.投射模是理想的直和。
注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。
此外，DD还有一些重要的性质：a）1+1/2的Noether性：理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。
b）理想的因子分解性：可以分解为素理想（=极大理想）的乘积。
正则曲面的定义-概述说明以及解释
正则曲面的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正则曲面是几何学中的基本概念，它在数学和物理学领域中都具有重要的应用价值。
正则曲面可以简单地理解为在局部范围内与平面相似的曲面，具有光滑连续的性质。
通过对曲面上的曲线、切线、法向量等性质进行研究，可以更好地理解曲面的特征和性质。
本文将从定义、特征和应用三个方面介绍正则曲面，希望读者能通过本文对正则曲面有一个全面的了解，进而在相关领域中更深入地探究其应用和意义。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讲解正则曲面的定义。
在引言部分，我们将对正则曲面这一概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。
接着在正文部分，我们将详细解释正则曲面的概念，探讨其特征以及介绍其在实际应用中的意义。
最后在结论部分，我们将总结正则曲面的重要性，展望其未来的发展，并得出结论。
通过这三个部分的内容，读者将能够全面了解正则曲面的定义及其重要性。
1.3 目的：本文旨在详细介绍正则曲面的定义及其重要性，使读者能够深入了解正则曲面在数学和工程领域中的应用。
通过对正则曲面的概念、特征和应用进行分析和讨论，希望能够帮助读者加深对正则曲面的理解，并促进正则曲面研究在科学技术领域的发展和应用。
同时，本文也旨在引起读者对正则曲面领域的兴趣，激励更多人投身于正则曲面研究，推动该领域的进一步发展与创新。
2.正文2.1 正则曲面的概念在几何学中，正则曲面是指在每一点处都具有良好定义的曲率的曲面。
换句话说，正则曲面是一种光滑且连续的曲面，在其中每个点都存在一个唯一的切平面，并且曲面在该点处的法线存在且唯一。
这种特性使得正则曲面具有一定程度的可微性和连续性，使得我们能够用数学方法来研究和描述它们的性质。
正则曲面的概念是微分几何学中一个重要的概念，它为我们研究曲面的性质和特征提供了一种有效的数学工具。
通过对正则曲面的曲率、法向量和切平面等性质进行研究，我们可以更深入地了解曲面的几何特征和形态。
在数学和物理学中，正则曲面广泛应用于曲面积分、曲面积分、流形和微分几何等领域。
Strongart数学笔记：高中以后学什么数学
高中以后学什么数学如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数学之类也仅仅是一层皮毛。
除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAME OVER了。
当然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。
从这个意义上来说，报什么专业就真的无所谓了，只要负担轻就OK了。
下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：因为那时候没有人交流，也不是太懂得节约时间。
可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是在一两个方向入门罢了：高中以后的数学（当然是专业的）课程要大致由三个部分组成，分析、代数和几何，但我认为现行的教育安排是非常失衡的。
大致说来是，数学分析太臃肿，高等代数没前途，解析几何又太狭隘。
下面我就结合自己的经历来谈谈这个问题：先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。
既有各种初级计算技巧，甚至包括近似估计；又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到初步的理论中，却不能充分展开。
我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。
其实实数公理部分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直观一些），又如像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切都被压缩到数学分析之中。
要解决这个困难，比较方便的办法的把数学分析分成两个部分，初等的部分相当于稍微严格的微积分，还可以把初步的微分方程与曲线曲面理论放入其中，重在对具体问题的解决与计算技术的熟练化（以后就用不着再害怕计算了）。
我想，在彻底严格化之前先做一番计算练习，这应该是非常有趣的。
等有了这样的微积分基础之后，同时严格抽象的思想也已经从代数学中建立起来，这是就可以把它们汇合起来，向分析的主干挺进。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛1就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(Qyxyx∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
Strongart数学笔记：C星代数的表示论与单、本原和素C星代数
谈谈C*-代数的表示论下面我们来谈谈C*-代数的表示论，先从有限群表示论开始介绍。
就最初级的讲法而言，有限群G的（有限）表示就是指它到矩阵群的一个同态f：G→M_n(k). 我们可以把矩阵群M_n(k)视为n维线性空间V到V上的线性映射，这样就相当于G→（V→V），它又可以等价于（G→V）→V，这就得到了群表示论中的G-模观点。
实际上，只要把G视为被表示对象，V视为表示空间，那么一般的表示论都有这样的类似结构，称为表示论的基本等价关系。
就这里C*-代数的情形而言，被表示对象就是C*-代数A，表示空间是Hilbert 空间H，C*-代数A的表示是指同态f：A→B(H)（这里的同态实际上是指*同态，表示实际上是指*表示，对于C*-代数而言，*结构一般总是被默认的）.由这个基本等价关系出发，我们可以得到C*-代数的两种单射表示。
一是忠实表示，它是指表示同态f：A→B(H)是单射；二是非退化表示，它是指A在B（H）上的作用是单射，即若f（a）h=0对任何h∈H成立，则a=0.下面讨论C*-代数表示的性质，首先它一定是收缩的，即‖f(a)‖≤‖a‖对任何a∈A均成立。
假若这个表示是忠实的，那么我们还可以取等号，也就是说f就是一个等距嵌入。
这样为了把C*-代数A嵌入Hilbert 空间H上的算子代数B（H）内，只要证明它有忠实表示就可以了，为此我们要先介绍一个GNS结构。
所谓GNS结构，主要由C*-代数上的一个态可以生成一个对应的表示。
具体来说，就是给定一个C*-代数A上的一个态（或非零正泛函）f，我们可以得到一个呗对应的表示三元组（π，H，ξ），满足条件1）f(a)=<π(a)ξ，ξ>, 对任何a∈A2）π（A）ξ在H内稠密实际上，我们可以令L={a∈A；f（a*a）=0}，借助f在A/L上定义内积：<x+L.y+L>==f(y*x)把H就取为A/L对此内积的完备化。
表示π而由左乘算子直接诱导，同时向量ξ就是A的逼近单位在H上像的极限，其存在性由完备化直接保证。
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正则局部环与CM局部环
在完成了交换代数的初步课程之后，接着就是处理维数、深度之类的东西，它要涉及一些数量特征的估计，通常被称为是硬交换代数。
本文主要讨论其中最为重要的正则局部环与Cohen-Macauley局部环，对于非局部的情形，我们有如下的通用定义：一个环称为X环iff它对任何素理想的局部化均为X环。
约定:本文中的环均为包含1的交换环。
先从Noether局部环的维数谈起，假设（R，m）是Noether 局部环，那么其Krull维数dim（R）=d（R）=δ（R），这里有个多少让人尴尬的地方，就是d（R）与δ（R）似乎没有专门的名称。
下面我来解释它们的意义，假设q是m-准素理想，则存在多项式F_q（t）∈Q（t），使得F_q（n）=l（R/q^n）,其中l表示模的长度。
这里多项式F_q实际上对应分次模⊙q^n/q^(n+1)的Hilbert多项式，只不过次数要少1.在此基础上，我们可定义d（R）=deg F_q，可以证明它与m-准素理想q的选择无关，在实际应用时常常就取q=m.记q的极小生成元族所含的元素个数为δ（q），可定义δ（R）
=min{δ（q）；q为R的m-准素理想}，这个定义要稍微简单一点，但在计算dim（R）时却是最常用到的。
这个定理属于所谓的结构型定理，其证明要涉及很多细节，这里我就略过了，下面借助一个简单例子分析一下其应用方法。
首先是计算多项式环的维数，假设K是代数闭域，那么dim（K[X_1,…，X_n]）=n.首先考虑由（X_1，…，X_i）生成的素理想链。
我们可以得到≤的部分。
反过来的步骤的关键的，主要是看δ（q），为此先要转化到局部环的形式，任取它的一个极大理想m，有dim（K[X_1,…，X_n]）=dim （K[X_1,…，X_n]_m），注意其极大理想总是形如
（X_1-a_1,…，X_n-a_n),各a_i∈K，在局部环内也由n个元素生成，因此有δ（q）≥δ（m）=n（为什么不能直接写等号？），这样就证明了≥的部分。
利用类似的技术，我们可以证明所谓的主理想定理，对Noether环R，假若其真理想I由r个元素a_1,…,a_r生成，则它的高ht（I）≤r.在证明这个具体结论之前，要先解释一下环内理想的高的概念，它实际上可以视为理想的Krull 维数，即它所包含的素理想链的长度。
对于局部环R而言，其Krull维数就是其极大理想的高。
下面我们来证明主理想定理，先进行局部化，可以找包含I的极小素理想p，既然IR_p由r个元素生成，有dim（R_p)=δ（R_P)≤r，得ht （I）=ht(p）=ht（pR_p)=dim(R_p)≤r.
下面我们遇到一个自然的问题，其中的等号什么时候成立？这一点对于极大理想格外有意义，对于d维Noether局
部化（R，m），假若有d个元素a_1，…，a_d，使得I=（a_1，…，a_d）是m-准素的，则称a_1，…，a_d为R的一个参数系。
参数系的特点就具有某种齐次性，即dim（R/(a_1，…，
a_i))=d-i,i=1,…,d.更有意思的则I=m的特例，此时我们称R为正则局部环，称a_1，…，a_d为正则参数系。
正则局部环是一个相当重要的环，对于d维Noether局部环，我们有如下结论：R是正则局部环iff dim（m/m^2)=d iff gl.dim(R)（=d）有限，其中D（R）表示环R的整体维数，这是从同调意义上进行刻画的。
作为正则局部环的典型例子，我们有如下的结构定理：设R是剩余域为k的d维完备正则局部环若包含一个域，则它同构于域上的d元幂级数环k[[X_1,…，X_d]]，并且（X_1,…，X_d）就对应它的正则参数系。
此外，我们有还有正则局部环是整环，而且还是UFD，还是Cohen-Macauley的局部环（见下文）。
正则局部环的几何意义则是代数簇或概形的非异性。
注：本文主要阐述交换代数，对于涉及到的同调代数与代数几何方面的内容，就只能一笔带过，不再相加解释了。
接下来，我们看一下正则的意义，它实际上是零因子概念的推广，更适合在模上进行讨论。
设M是非零有限生成R-模，a∈R，若a不是M的零因子，则称a是M的正则元。
对于a_1,…,a_n∈R，若满足条件
1）a_i是M/(a_1,…,a_(i-1))M-正则的，i=1,…,n；
2）M≠(a_1,…,a_n)M
则称a_1,…,a_n是一个正则序列。
此时，我们有
ht((a_1,…,a_n))=n，即主理想定理中的等号成立，同时可以证明，正则局部环的正则参数系就是正则序列。
设R是Noether环，I是R的理想，M是有限生成R-模且IM≠M，则I中的正则列都可以扩成成I内的极大正则列且所有I内极大正则列的元素个数相同，它称为模M关于理想I的深度，记作depth（I，M），它可以用同调语言刻画为使得Ext^i(R/I,M)≠0的最小的i.若（R，m）的局部环，则模M关于极大理想m的深度称为模M的深度，记作depth （M）.对此，我们有如下的Auslander-Buchsbaum公式，若pd（M）＜∞，则
depth(M)+pd(M)=depth(R)
由此可得，gl.dim（R）≤depth（R）.
当M=R时，则有depth（I，M）=depth（I）称为I的深度，由主理想定理可得，depth（I）≤ht（I）.什么时候可以取等号呢？为此我们定义Noehter局部环（R，m）为Cohen-Macaulay局部环（简称CM局部环），若depth（R）=dim（R）.此时，对于R内的任何理想I，深度都等于高度。
这就好比是一个绳子，只要两边都拉紧，那么中间自然也就
拉紧了。
类似的，对一般交换环R内的任何真理想I，有depth(I)+dom(R/I)≤dim(R)，但是在CM局部环中，同样也是可以取等号的。
这就好比是绳子中间被砍断后，重新接起来就可能稍微短一点，但CM环却是一个神奇的绳子，能够毫无损伤的恢复原状。
CM局部环的典型例子一维Noether约化局部环与二维正规（整闭）局部整环，非正则的CM局部环的例子是Artin 环k[x]/(x^2).CM环不像正则局部环的要求那么苛刻，但也保持了很多良好性质。
称一个环R是连接的（catenary），若它满足饱和链条件，即给定R内任何两个素理想P≤Q，有P与Q之间的所有素理想链的长度是相同的。
CM局部环不但是连接的，而且还是万有连接的（universally catenary），即任何有限生成R-代数都是连接的。
由此可得，CM环的等维数的（equidimensional），即所有极大理想的高均相同，所有极小理想的维数均相同。
CM局部环的几何意义是代数簇或概形的各部分能够保持维数上的一致，这显然比非异的光滑条件要弱一些。
最后简单提一下Gorenstein局部环，它可以通过典型模来定义，这里我只介绍下列等价条件：d维Noether局部环是Gorenstein环iff它是CM局部环且其（任何或某个）参数系是不可约的iff它的内射维数id（A）有限（=d）.由
于内射维数被整体维数控制，正则局部环就是Gorenstein 环，因此我们有正则局部环→Gorenstein局部环→CM局部环。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。
然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。
这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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