安徽高考物理压轴题数学方法应用赏析 -文松 方军模板

安徽高考物理压轴题数学方法应用赏析
淮南一中 文松 方军
物理高考考试大纲明确要求考生必须具备“应用数学处理物理问题的能力”，因此借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。

近几年安徽高考物理压轴题特别注重对考生应用数学方法解决物理问题能力的考查。

处理物理问题常用的数学方法有极值法、极限思维法、几何法、分类讨论法、图象法、归纳法、微元法、三角函数法、等差(比)数列求和法等。

安徽高考物理压轴题已考查了其中的多种方法。

一、分类讨论法
分类讨论法是解决问题的一种重要的逻辑思维方法，指解决某个问题时，由于存在一些不确定的因素，难以统一解答，这时需要将可能出现的各种情况进行分类，然后逐一分析讨论，最后再对讨论得到的各类情况的结果进行归纳整理，以得出问题的最佳答案。

高中物理解题中运用分类讨论的方法，一方面可使复杂问题简单化，有助于学生发现解题思路，优化解题过程，掌握解题技巧；另一方面可避免丢值漏解，有助于锻炼学生逻辑思维的条理性和严谨性，增强学生逻辑思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

【2009安徽卷·24】过山车是游乐场中常见的设施。

下图1是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径R 1=2.0m 、R 2=1.4m 。

一个质量为m =1.0kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以v 0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1=6.0m 。

小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。

假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。

重力加速度取g=10m/s 2
，计算结果保留小数点后一位数字。

试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离。

解析：（1）（2）略
R 1
R 2 R 3 A B C D v 0
第一圈轨道
第二圈轨道 第三圈轨道
L L L 1 图1
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足
3
23R v m mg = ， ()202331212122mv mv mgR L L mg -=-+-μ 得 m R 4.03=
II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理
()20312
1022mv mgR L L mg -=-+-μ 解得 m R 0.13=
为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足
()()2232232R R L R R -+=+
解得 R 3=27.9m
综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
m R 4.003≤< 或 m R m 9.270.13≤≤
当m R 4.003≤<时，小球最终停留点与起始点A 的距离为L ′，则 202
10mv L mg -='-μ 解得 m L 0.36=' 当m R m 9.270.13≤≤时，小球最终停留点与起始点A 的距离为L 〞，则
()m L L L L L 0.26221=--'-'=''
二、极限思维法
极限思维法是把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。

极限思维法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。

因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

【2010安徽卷·24】如图2，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径R=0.2m 的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×103
V/m 。

一不带电的绝缘小球甲，以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10-2kg ，乙所带电荷量q=2.0×10-5C ，g 取10m/s 2。

(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离；
（2）在满足(1)的条件下。

求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离范围。

解析：（1）（2）略
（3）设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为v M 、v m ，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
m M mv Mv Mv +=0 ， 22202
12121m M mv Mv Mv += 联立得：m
M Mv v m +=02 结合极限法 m M >> ，可得： 002v v v m <≤
设乙球过D 点的速度为D v '，由动能定理得： 222
12122m D mv v m R qE R mg -'=
⋅-⋅- 联立得：s m v s m D /8/2<'≤
设乙在水平轨道上的落点到B 点的距离为x '，则有： t v x D '='
联立得：m x m 6.14.0<'≤
三、微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法。

物理中经常遇到一些复杂的物理过程，描述这些过程的物理量是非线性变化的，处理这类问题时我们常常可将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学或物理方法处理，从而使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量来进行研究，进而求解问题，这就是微元的思想，如常用的线段元、面积元、体积元、时间元。

有时还需要对这些非线性变化的物理量进行累积(求和)，就是对微元进行积分，如非匀变速运动的位移和路程，变力所做的功等，其实就是将一个微元的求解结果推广到其它微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体或全过程的合理解答。

【2011安徽卷·24】如图3所示，质量M =2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m =1kg 的小球通过长L =0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v 0=4 m/s ，g 取10m/s 2。

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P 时对轻杆的作用力大小和方向。

（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。

图2
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

解析：（1）（2）略
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s 1，滑块向左移动的距离为s 2，任意时刻小球的水平速度大小为v 3，滑块的速度大小为v '。

由系统水平方向的动量守恒，得
03='-v M mv
将等式两边同乘以t ∆，得 03=∆'-∆t v M t mv
因上式对任意时刻附近的微小间隔t ∆都成立，累积相加后，有 021=-Ms ms
又 L s s 221=+ 解得 m s 3
21=
四、递推归纳法
递推归纳法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。

即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。

具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。

再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。

用递推归纳法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

【2012安徽卷·24】如图4所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=2kg 的小物块A 。

装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。

传送带始终以u =2m /s 的速率逆时针转动。

装置的右边是一光滑的曲面，质量m =1kg 的小物块B 从其上距水平台面h =1.0m 处由静止释放。

已知物块B 与传送带之间的摩擦因数μ=0.2，l =1.0m 。

设物块A 、B 中间发生的是对心弹性碰撞，第一次碰撞前物块A 静止且处于平衡状态。

取g=10m /s 2。

（1）求物块B 与物块A 第一次碰撞前速度大小；
（2）通过计算说明物块B 与物块A 第一次碰撞后能否运动到右边曲面上？
（3）如果物块A 、B 每次碰撞后，物块A 再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B 第n 次碰撞后的运动速度大小。

M v 0
O
P
L 图3
【解析】（1）略
（2）设物块A 、B 第一次碰撞后的速度分别为V 、v 1，取向右为正方向，由弹性碰撞知
MV mv mv +=-1 ，
2212212121MV mv mv += 解得 s m v v /3
4311== 即碰撞后物块B 在水平台面上向右匀速运动，设物块B 在传送带上向右运动的最大位移为l '，则 l a v '-=-2021 解得 m m l 194<=
' 所以物块B 不能通过传送带运动到右边的曲面上
（3）当物块B 在传送带上向右运动的速度为零时，将会沿传送带向左加速。

可以判断，物块B 运动到左边台面时的速度大小为v 1，继而与物块A 发生第二次碰撞。

设第二次碰撞后物块B 速度大小为v 2，同上计算可知 v v v 2123131⎪⎭
⎫ ⎝⎛== 物块B 与物块A 第三次碰撞、第四次碰撞……，碰撞后物块B 的速度大小依次为 v v v 3233131⎪⎭⎫ ⎝⎛== ， v v v 4343131⎪⎭
⎫ ⎝⎛== …… 则第n 次碰撞后物块B 的速度大小为 1()3n
n v v =
五、图象法
图象法体现了数形结合的思想，是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图象法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。

【2014安徽卷·24】在光滑水平地面上有一凹槽A ，中央放一小物块B ，物块与左右两边槽壁的距离如图5所示，L 为1.0m ，凹槽与物块的质量均为m ，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v 0＝5m/s 初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。

g 取10m/s 2。

求：
⑴物块与凹槽相对静止时的共同速度；
⑵从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；
⑶从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。

图4
2014年高考已落下帷幕，2015年高考的战斗号角即将吹响。

加强数学思想方法的渗透是高中物理新课程改革呈现出来的一个新内容和新理念。

近几年的安徽高考物理试题（压轴题）对应用数学能力的要求逐年提高，因此，在新一轮的高三复习备考中应高度关注数学思想方法的应用。

参考文献
[1]石亚力.极限法在物理解题中的应用[J].物理教学，2001/6.
[2]冯占余.高考物理中的图像问题[J].物理教学探讨，2008/9.
图5。