北京市海淀区高三下册期中练习数学(文)试题及答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（文科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B I ＝ A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1--C ．{}|21x x -<<D ．{}|21x x -≤<2、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若a b r rP ，则t ＝A ．1B ．2C ．3D ．43．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A ．33 B ．32 C ．233 D ．2636、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：24y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为A 、12 B 、1 C 、32D 、2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数22x y -10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为＿＿14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X g g g ，均满足,,,i j s t X X M X X M ∀∈∃∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3c 的值． 16．（本小题满分13 分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。

（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数n ，使得n S ＞2016？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ．（Ⅰ）求证： 平面P BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD ； （Ⅲ）当AB ＝3，PA ＝4时，求点A 到直线MN 距离的最小值。

18．（本小题满分13 分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。

由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。

（I ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （II ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需直接写出结果）； （III ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。

（注：成绩大于等于75分为优良）19．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝1x xe- （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )的零点和极值；（Ⅲ）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221()()ef x f x -≥-成立，求实数a 的最小值。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C A B A B共30分）说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分9． [1,)+∞ 10． 211. 22(2,0),122x y -=12．1213．5ππ[π,π],1212k k k -++∈Z 14． 5 6 7 8，，，2.第13题写成开区间 5ππ(π,π),1212k k k -++∈Z 的不扣分, 没有写k ∈Z 的,扣1分3. 第14题有错写的，则不给分只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一：在ABC ∆中，因为sin sin a cA C=， ……………………….2分即6sin 32A = (3)分 所以33sin 14A =. ……………………….5分方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3BCA ∠=，所以π3BCD ∠=……………………….1分 在Rt BDC∆中，333BD BC ==……………………….3分 在Rt ABD ∆中，33sin 14BD A AB ==……………………….5分 （Ⅱ）方法一： 因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅. ……………………….7分 所以133362b =⨯⨯，解得2b =. ……………………….9分又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅. …………………….11分所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-, 所以52213c ==. …………………….13分1462π3DC方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3ACB ∠= , 所以π3ACD ∠=. 又因为12ABC S BC AD ∆=⋅⋅, (7)分 即13362AD =⨯⨯ , 所以 3 , 1AD CD ==. (9)分在Rt ABD ∆中，222AB BD AD =+. ……………………….11分 所以52213AB ==…………………….13分16.解：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ，因为210S a +=，所以1120a a q +=. ……………………….1分 因为10,a ≠所以2,q =- ……………………….2分又因为23112a a q ==， ……………………….3分所以13a =, ……………………….4分所以13(2)n n a -=⨯-（或写成3(2)2n n a =-⨯-） ……………………….7分说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分(Ⅱ)因为31(2)1(2)1(2)n n n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----. (10)分令2016n S >, 即1(2)2016n-->，整理得(2)2015n-<-. ……………………….11分当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22015n>，解得11n ≥，所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. ……………………….13分17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. ............................1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥. ............................2分 又AB PA A =I ，,AB PA ⊂平面PAB ， ............................3分 所以BC ⊥平面PAB . . (4)13AD 2π36分因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB . ……………………….5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥. ……………………….6分 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， ……………………….7分 又BC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， ……………………….9分所以MN //平面ABCD . …………………….10分（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， …………………….11分而AM ⊂平面PAB ，所以MN ⊥AM ， …………………….12分所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， …………………….13分 而点M 在线段PB 上所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离，在Rt PAB ∆中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为125. (14)分18.解:（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x .则16476777873.754x +++== ……………………….2分2567976708887766x ++++++== (4)分 （Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. ……………………….7分（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， ……………………….8分男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ，女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法 …………………….10分 11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ， 41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，其中两名同学均为优良的取法有12种取法 …………………….12分 23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b所以121()242P A ==， 即两名同学成绩均为优良的概率为12. …………………….13分19. 解：（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =, ……………………….1分3，所以3c a =. ……………………….2分因为222a b c =+，所以2,a =, ……………………….4分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. (5)分（Ⅱ）解法一：假设存在.设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ……………………….8分 所以082MN m n x =-=-， ……………………….9分 线段 MN 的中点04(4,)y x ， ……………………….10分若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则22200044(42)(0)(1)y x x -+-=-, ……………………….11分因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=，代入化简得0810x -=， (13)分所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾，所以这样的点P 不存在. (14)分解法二：假设存在，记(20)D ，. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ……………………….8分 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 因为MN 为直径，所以0DM DM ⋅=u u u u r u u u u r……………………….9分所以 DM DN ⋅=u u u u r u u u r00004(1)4(1)(2,1)(2,1)0y y x x -++⋅-= 所以 22002016(4)40y x DM DN x --⋅=+=u u u u r u u u r ……………………….11分因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到22200000220048840x x x x x DM DN x x -+--⋅=+==u u u u r u u u r ……………………….13分所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 ……………………….14分 所以不存在法三 ：假设存在，记(20)D ，, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n由已知可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，004(1)1y n x +=-， ……………………….8分 所以 004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-，因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =⋅ ……………………….9分 所以 4=00004(1)4(1)|1||1|y y x x -++⋅- 所以220002161684=||y x x x -+- ……………………….11分 因为点P 在椭圆上，所以220014x y +=， ……………………….12分代入得到0854||x x -=, 解得08x =或089x =……………………….13分当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾当089x =时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾所以不存在 ……………………….14分20.解：（Ⅰ）因为2'()ex x f x -=， (1)分所以'(0)2f =-. ……………………….2分因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=.……………………..4分（Ⅱ）令1()0e xxf x -==，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. ……………………….5分由2'()0ex x f x -==解得2x =，则'()f x 及()f x 的情况如下：x (,2)-∞ 2 (2,)+∞ '()f x 0 + ()f x ] 极小值21e-Z……………………….7分所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21e- ……………………….8分（Ⅲ）法一：当1x >时，1()0e x xf x -=<.当1x <时，1()0ex xf x -=>. (9)分若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，…………………….10分所以“对任意12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()e f x f x -≥-恒成立”等价于21(2)()ef f a -≥- 即22111e a a e e ---≥-， ……………………….11分解得1a ≥. ……………………….12分所以a 的最小值为1. ……………………….13分法二：当1x >时，1()0e x xf x -=<. 当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， (10)分若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞而121121()()()0()(2)ef x f x f x f x f -<--=<=，不符合要求，所以1a ≥. ……………………….11分 当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤所以12121()()()0(2)ef x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ……………………….12分综上，a 的最小值为1. ……………………….13分法三：当1x >时，1()0e x xf x -=<.当1x <时，1()0ex xf x -=>. ……………………….9分且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为21(2)ef =-， (10)分若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时， 令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞,有12222211()()(2)()()e ef x f x f f x f x -=-=--≥-所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞⊆++∞，即1a ≥. ……………………….11分而当1a =时，12,[1,)x x ∀∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤所以12121()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， ……………………….12分而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1，综上，a 的最小值为 1. ……………………….13分欢迎访问“高中试卷网”——。