(浙江专版)2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点

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2018高考一轮数学浙江专版练习第3章热点探究训练2 含

热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.2分由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.6分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.9分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.12分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14分 2．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.【导学号：51062133】[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，4分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，9分把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.14分 3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .6分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，7分单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.9分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋b c ＝cos (A ＋C )cos C .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求使△ABC 周长最大时a ，b 的值． [解] (1)∵2a ＋b c ＝cos (A ＋C )cos C ，∴2sin A ＋sin B sin C＝cos (A ＋C )cos C ，∴2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0， ∴2sin A cos C ＋sin A ＝0，4分又sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.6分 (2)∵3sin 2π3＝a sin A ＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，10分∴△ABC 的周长＝3＋2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝3＋sin A ＋3cos A ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴当A ＝π6时，△ABC 的周长最大，此时a ＝b ＝1.14分。

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值最值课件

1 3 2 2 跟踪训练3 若函数 f(x)＝ x ＋x －在区间(a，a＋5)上存在最小值， 3 3 则实数 a 的取值范围是答案
A.[－5,0) C.[－3,0)
解析
B.(－5,0) D.(－3,0)
答题模板系列3
利用导数求函数的最值
典例 (15分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
7.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于 A.11或18 C.18 √ B.11 D.17或18
答案解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
8.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取 2 ( 2 ，＋∞) 答案解析值范围是____________.
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是答案 A.x＝1 C.x＝1或－1或0 B.x＝－1 D.x＝0
解析
1 (2)函数 y＝2x－ 2的极大值是________. －3 答案 x
2 y′＝2＋ 3，令 y′＝0，得 x＝－1. x
解析
当x<－1，x>0时，y′>0；当－1<x<0时，y′<0.
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.

2018年浙江高考一轮第3章热点探究训练2

热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6的值． [解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.2分由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝6×2235＝5 2.6分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.9分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.12分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.14分2．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值. 【导学号：51062133】[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，4分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，9分把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.14分 3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .6分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，7分单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.9分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋b c ＝cos (A ＋C )cos C .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求使△ABC 周长最大时a ，b 的值．[解] (1)∵2a ＋b c ＝cos (A ＋C )cos C ，∴2sin A ＋sin B sin C＝cos (A ＋C )cos C ， ∴2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0， ∴2sin A cos C ＋sin A ＝0，4分又sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.6分(2)∵3sin 2π3＝a sin A ＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，10分 ∴△ABC 的周长＝3＋2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝3＋sin A ＋3cos A ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴当A ＝π6时，△ABC 的周长最大，此时a ＝b ＝1.14分。

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第三章三角函数、解三角形 3.6

第十二页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
第十三页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
[授课提示：对应学生用书第 059 页]
考向一化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
第二十七页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
[解析] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin2ωx＋π4，所以 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ＝ωπ. 依题意，得ωπ ＝π，解得 ω＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式
＝ cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
第六页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________. 解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
故选 C.
答案：C
第三页，编辑于星期六：二十二点二十三分。
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－

浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数课件

[ 规律方法]
1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、
简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解． 1 1 2．利用公式：(1)l＝|α|R；(2)S＝ lR；(3)S＝ |α|R2.其中 R 是扇形的半径，l 2 2 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量．
抓基础 · 自主学习
第三章
第一节
三角函数、解三角形
明考向 · 题型突破
任意角、弧度制及任意角的三角函数
课时分层训练
1．角的概念的推广
端点从一个位置旋转到另一个位 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_____
置所成的图形．
正角、_____ 负角、_____. 零角按旋转方向不同分为_____ (2)分类象限角和轴线角. 按终边位置不同分为_______
B．第二象限角 D．第二或第四象限角
(2)已知角 α 的终边在如图 311 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，
图 311
(1)C
π ∴ ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， 2 π α π ∴ ＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 4 2 2 α 当 k 为偶数时，是第一象限角； 2 α 当 k 为奇数时，是第三象限角． 2 α 综上，是第一或第三象限角． 2
3 .14 分 2
三角函数的定义
(1)若 tan α＞0，则( A．sin α＞0 C．sin 2α＞0 ) B．cos α＞0 D．cos 2α＞0
(2)(2017· 浙江名校第三次联考)已知角 α 的终边经过点 A(－ 3，a)， 1 2 若点 A 在抛物线 y＝－ x 的准线上，则 sin α＝( 4 3 A．－ 2 1 C．－ 2 3 B. 2 1 D. 2 )

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3.1导数的概念及运算课件

π (4)y＝sin(2x＋3)；解答 π 设 u＝2x＋3，则 y＝sin u，
π 则 y′＝(sin u)′· u′＝cos(2x＋ )· 2 3 π ∴y′＝2cos(2x＋ ). 3
(5)y＝ln(2x－5). 解答
令u＝2x－5，则y＝ln u， 1 2 则 y′＝(ln u)′· u′＝ · 2＝， 2x－5 2x－5 2 即 y′＝ . 2x－5
(4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号
反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲
线在这点处的切线越“陡”.
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( × )
3.若直线 y＝x 是曲线 y＝x3－3x2＋px 的切线，则实数 p 的值为 A.1 B.2 13 C. 4
√
13 D.1 或 4
答案
解析
∵y′＝3x2－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，
2 3 x 0－6x0＋p＝1， ∴ 3 2 x － 3 x 0＋px0＝x0， 0
x ＝3， 0 2 x0＝0，解得或 13 p＝1 p＝ 4 .
π x 2
解析
C.－2
－1.
D.2
－1－cos x ∵y′＝ sin2x ，∴ y '

[推荐学习]2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点

2018高考一轮数学(浙江专版)第3章第3节三角函数的图象与性质

高三一轮总复习
[ 变式训练 2]
(1)函数
π f(x)＝tan2x－的单调递增区间是________． 3
(2)若函数 f(x)＝sin
π π π ， ωx(ω＞0)在区间0，3上单调递增，在区间 3 2上单调
递减，则 ω＝________. 【导学号：51062104】
5π π －，调递增区间是，故选 3 3
C.]
高三一轮总复习
1 5．(教材改编)函数 f(x)＝4－2cos x 的最小值是________，取得最小值时， 3 x 的取值集合为________． 2 {x|x＝6kπ，k∈Z} 1 [f(x)min＝4－2＝2，此时， x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k 3
又 sin x∈[ －1,1] ，∴当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B.
sin 2x＞0， (2)由 2 9 － x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋，k∈Z， 2 得－3≤x≤3，
π π ∴－3≤x＜－或 0＜x＜， 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
∈Z)，所以 x 的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]
高三一轮总复习
三角函数的定义域与值域
(1)函数 f(x)＝cos A．4 C．6
π 2x＋6cos －x 的最大值为( 2
)
B．5 D．7
(2)函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为________. 【导学号：51062103】
(1)B
高三一轮总复习 π π π (2)－3，－2∪0，2 [(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos2－x ＝cos 2x＋6sin x

(浙江专版)高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －απ－απ2－απ2＋α 正弦 sin α－sinα－sinαsin α cosαcos_α余弦 cos α－cosαcos α －cos_α sinα －sin α正切 tan αtan α－tanα－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·某某质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.] [规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：51062099】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·某某质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·某某模拟训练卷(三))已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，则sin α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________.－2319 [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，得sin α＝－23；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防X]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(十六)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－24B.24C ．－22D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3.cos 350°－2sin 160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2017·某某镇海中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.] 5．(2017·某某某某五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2tan 2θ＋13tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32＋1]3×－32－1＝1013.故选C.]二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角，所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.14分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 2．(2016·某某高考冲刺卷(二))若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θ＝1.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，则sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，则有sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.word 11 / 11 ∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.]3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α. (1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：51062102】 [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·si n α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。

高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文

例 1 (1)[2017·衡水中学二调]cos130°－sin1170°＝(
)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析]
3－ 1 ＝
3－ 1 ＝
cos10° sin170° cos10° sin10°
3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
3 2

，1，f(x)∈0，1＋

23.
故

f(x)的值域为0，1＋
23.
核心规律重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2sin20°
2sin20°
(2)4cos50°－tan40°＝(
)
A． 2
B．
2＋ 2
3
C． 3 [解析]
D．2 2－1
4cos50°－
tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°＝ cos40°
2sin80°－sin40°
＝
cos40°
2sin100°－sin40°
＝
cos40°
2sin60°＋ cos4400°°－sin40°＝2×
23cos10°＋12sin10° cos20°
考向三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
例 2 [2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝(

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文

【解】 (1)f(8)＝10－ 3cos1π2×8－sin1π2×8＝10－ 3 cos23π－sin23π
＝10－ 3×－12－ 23＝10. 故实验室这一天上午 8 时的温度为 10 ℃.
(2)因为 f(t)＝10－2122s3inco1πs21tπ2t＋＝10－2sin1π2t＋π3，又 0≤t<24，所以π3≤1π2t＋π3<73π，－1≤sin1π2t＋π3≤1. 当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1；当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃.
则 A＝3－2－1＝2， b＝3＋2－1＝1. 又 T＝223π－π6＝π，ω＝2Tπ＝2ππ＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1.所以π3＋φ＝π2＋2kπ， k∈Z，即 φ＝π6＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<π2，所以 φ＝π6，所以 f(x)＝2sin2x＋π6＋1. (2)由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈ Z)，所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
解析：(1)将 y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数 y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故 x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．
(2)把 y＝12sinx＋π3的图象向左平移 m 个单位长度后得到函数 y＝12sinx＋m＋π3＝12sinx＋m＋π3的图象，由题意得 m＋π3＝kπ ＋π2，k∈Z，即 m＝kπ＋π6，k∈Z，又 m>0，取 k＝0，得 m 的最小值为π6.

浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例

第七节正弦定理、余弦定理应用举例1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图371①)．① ②图3712．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图371②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)如图372，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．( )图372[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( )A ．10 3 n mile B.1063 n mile C ．5 2 n mileD ．5 6 n mileD [如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°，∴BCsin 60°＝10sin 45°， ∴BC ＝5 6.]3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°B [如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A 在点B 的北偏西15°.]4．如图373，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m图373D [设塔高为x m ，则由已知可得BC ＝x m ，BD ＝3x m ，由余弦定理可得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，即3x 2＝x 2＋5002＋500x ，解得x ＝500(m)．]5．如图374，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( ) A．50 3 mB．25 3 mC．25 2 mD．50 2 m图374D[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsin B ＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]如图375，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图37560[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得 92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BC sin 37°，解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．] [规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：(1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．[变式训练1] 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【导学号：51062125】 10 3 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300 ＝103(m)．]如图376，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.图376 100 6 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．][规律方法] 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．[变式训练2] 如图377，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米. 【导学号：51062126】图377521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米．在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]在海岸A 处，发现北偏东45°方向、距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？[解] 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°.4分根据余弦定理，可得BC ＝ 3－1 2＋22－2×2× 3－1 cos 120°＝6，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，∴∠ABC ＝45°，因此BC 与正北方向垂直.8分于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BC sin 30°，即103t3＝6，得t ＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.14分 [规律方法] 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．[变式训练3] 如图378，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．图378[解] 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.4分由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.8分由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.14分[思想与方法]解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[易错与防范]1．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．课时分层训练(二十一)正弦定理、余弦定理应用举例A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图379所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )图379A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a kmB [在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝120°，∴AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，AB ＝3a .]2．如图3710，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )【导学号：51062127】A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]4．如图3711，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为 ( )图3711A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/hB [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.]5．如图3712，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝ 305 2＋ 2010 2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.]二、填空题6．在地上画一个∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为________米. 【导学号：51062128】16 [如图所示，设BD ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x ×cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，x ＝－6(舍去)，x ＝16，∴x ＝16(米)．]7．如图3713，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米. 【导学号：51062129】图371310 6 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．]8．如图3714所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3714 63[由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．] 三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3715[解] 在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.4分在△ABC 中，BC sin 30°＝ABsin 45°， ∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.8分在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600. ∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 14分10．如图3716，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3716(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值. 【导学号：51062130】[解] (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.4分在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时.8分 (2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，10分即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.14分 B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]2．如图3717，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图3717150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．] 3．如图3718已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．图3718[解] 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，4分又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3.8分在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55.12分在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.14分。

2018高考一轮数学浙江专版课件第3章三角函数、解三角形精品

第三章
三角函数、解三角形
[ 五年考情] 考点三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式三角函数的图象与性质 5,5 分(理) 2016 年 2015 年 7,5 分(理) 16,4 分(理) 18(1)，7 分 8,5 分(文) 16,4 分(文) 5,5 分(文) 4,5 分(理) (理) 2014 年 2013 年 2012 年 18， (1)， 7 6,5 分(理) 分(理) 3,5 分(文) 18,5 分 (文) 6,5 分(文) 4,5 分(理) 4,5 分(理) 6,5 分(文)
3,5 分(文) 11,6 分(理) 10,5 分(理)
三角(1)，7 分(理) 11,6 分(文) 7,5 分(理)
4,5 分(理) 18(2)，7 分(理) 18,4 分(文) 17,4 分(理)
6,5 分(理) 18(1)， 7 6,5 分(文) 7,5 分(理) 分(理) 18,14
16(2)， 7 分(文) 16(1)，7 分(文)
正弦定理、余弦定理
16,14 分(理) 16,14 分(文)
16,14 分(理)
18(2)，7 分(理) 16,4 分(理) 分(理) 18,14 分 (文) 18,14 分(文)
16(2)，7 分(文) 20(2)，7 分(理) 18,6 分(文)
[ 重点关注] 三角函数，解三角形是浙江高考命题的热点，分值一般在 20 分左右，主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换、正、余弦定理及其应用、且题目常考常新．

2018高考浙江版数学一轮复习讲义：第3章第3节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin |x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D ．直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z .] 4．(2017·绍兴模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )。

近年高考数学复习第3章三角函数、解三角形热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题(

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热点探究训练(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC中，AC＝6，cos B＝错误!，C＝错误!.（1）求AB的长；（2)求cos错误!的值．［解](1）因为cos B＝错误!，0〈B〈π，所以sin B＝错误!＝错误!＝错误!.2分由正弦定理知错误!＝错误!，所以AB＝错误!＝错误!＝5错误!.6分（2）在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cos A＝－cos（B＋C)＝－cos错误!＝－cos B cos 错误!＋sin B sin 错误!.9分又cos B＝错误!，sin B＝错误!,故cos A＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

12分因为0〈A〈π，所以sin A＝错误!＝错误!。

因此，cos错误!＝cos A cos 错误!＋sin A sin 错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

14分2．设f（x）＝23sin(π－x）sin x－(sin x－cos x)2.（1）求f（x)的单调递增区间；(2)把y＝f（x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移错误!个单位，得到函数y＝g（x）的图象,求g错误!的值.【导学号：51062133】［解]（1)f(x)＝2错误!sin（π－x）sin x－(sin x－cos x)2＝2错误!sin2x－(1－2sin x cos x）＝错误!(1－cos 2x）＋sin 2x－1＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin错误!＋错误!－1，4分由2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!(k∈Z)，得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是错误!（k∈Z)错误!.7分(2）由（1）知f（x)＝2sin错误!＋错误!－1，9分把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin错误!＋错误!－1的图象，再把得到的图象向左平移错误!个单位，得到y＝2sin x＋3－1的图象，即g(x)＝2sin x＋错误!－1，所以g错误!＝2sin 错误!＋错误!－1＝错误!.14分3．设f(x)＝sin x cos x－cos2错误!.（1）求f（x)的单调区间;（2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f错误!＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．［解](1）由题意知f（x）＝错误!－错误!＝sin 2x2－错误!＝sin 2x－错误!.2分由－错误!＋2kπ≤2x≤错误!＋2kπ,k∈Z,可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；3分由错误!＋2kπ≤2x≤错误!＋2kπ，k∈Z，可得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z。

浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数课时分层训练

——教学资料参考参考范本——浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数课时分层训练______年______月______日____________________部门A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C [－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin 2C. D．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝.]3．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [由题意可得则所以角α的终边在第二象限，故选B.] 4．(20xx·宁波镇海中学)已知点P 在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A. B.2π3C.D.5π3C [因为点P 在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，则θ＝π.]5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－B ．－35C.D.45B [取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.]二、填空题6．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.【导学号：51062095】π3[设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr＝π3，解得]7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y ＝________.－8 [因为sin θ＝＝－，所以y ＜0，且y2＝64，所以y ＝－8.]8．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________.【导学号：51062096】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x∈.]三、解答题9．一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB.[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则解得4分 ∴圆心角α＝＝2.如图，过O 作OH⊥AB 于H ，则∠AOH＝1 rad.8分 ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.14分10．已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.[解] ∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－，2分又tan θ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.4分当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，因此sin θ＋cos θ＝0；9分当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值为0或－.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·杭州二中模拟)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为( )A. B.45C．－D．－45D [由于角φ的终边经过点P(－4,3)，所以cos φ＝－.再根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得＝2×，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以f＝sin＝cos φ＝－.故选D.]2．函数y＝＋的定义域是________. 【导学号：51062097】⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k∈Z) [由题意知即⎩⎨⎧sin x≥0，cos x≤12，∴x 的取值范围为＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.] 3．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上．由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为.4分(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋，k∈Z，得k π＋＜＜k π＋，k∈Z，故终边在第二、四象限.8分 (3)当在第二象限时，tan ＜0， sin ＞0，cos ＜0，所以tan sin cos 取正号；10分当在第四象限时，tan ＜0， sin ＜0，cos ＞0，所以tan sin cos 也取正号．因此，tan sin cos 取正号.14分。

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热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】[思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分于是T ＝2π1＝2π.6分(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.8分∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2].13分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.14分[答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·ba 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[对点训练1] (2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.6分(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).9分由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，11分又k ∈Z ，知k ＝5，13分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.14分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.6分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.8分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .12分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.14分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A ．2分又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.6分 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.14分热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A －cos A ＝－105，cos B ＝255. (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为2，求a 的值. 【导学号：51062132】 [解] (1)∵sin A －cos A ＝－105， ∴1－2sin A cos A ＝25，2分∴2sin A cos A ＝35，∴A 为锐角．∴sin A ＋cos A ＝1＋2sin A cos A ＝2105.3分由⎩⎪⎨⎪⎧sin A －cos A ＝－105，sin A ＋cos A ＝2105，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝1010，cos A ＝31010.∵cos B ＝255，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55.则cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－22，而0<C <π，∴C ＝3π4.8分(2)由正弦定理得b a ＝sin Bsin A＝2，则b ＝2a .由(1)得sin C ＝22， △ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×2a ×22＝12a 2＝2，∴a ＝2.14分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.8分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.11分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.2分由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.6分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.9分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.12分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14分 2．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.【导学号：51062133】[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，4分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，9分把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.14分 3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .6分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，7分单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.9分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分 4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝A ＋Ccos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求使△ABC 周长最大时a ，b 的值． [解] (1)∵2a ＋bc＝A ＋Ccos C ，∴2sin A ＋sin Bsin C＝A ＋Ccos C，∴2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0， ∴2sin A cos C ＋sin A ＝0，4分又sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.6分(2)∵3sin 2π3＝a sin A ＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，10分∴△ABC 的周长＝3＋2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝3＋sin A ＋3cos A ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴当A ＝π6时，△ABC 的周长最大，此时a ＝b ＝1.14分。

(浙江专版)2018高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点

2018高考一轮数学浙江专版练习第3章 热点探究训练2 含