【配套K12】高考数学二轮复习数列 6.3 等比数列学案理

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高中数学《数列》二轮复习教学设计

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必修 5 第 2 章教学内容分析
《数列》是高考的热点，同时也是高考的难点，在高考中一般占 19 分，小题 5 分，
解答题 14 分，其中小题和解答题的第一问往往是基础题，所以这 9 分是学生必得的
分数。同时引导学生利用函数的思想去直观的认识数列的本质是高考能力立意的指导
（1）设数列 bn1 an1 2an ，
且
b1=
3 2
证明{ bn
}是等比
数列。
（2）
设
数
列
cn
an 2n
，证明
学生分析问题，并合作解决问题，教师适时点拨第（1）问，注意 n 2 第（2）问，可利用第一问结论，亦可用题设
用等差数列，等比数列的定义证明数列，并求通项公式和前 n 项的和；解题时要总览全局，注意上一问的结论可作为下面问题的条件。
反思
题在高考中考什么，怎么考。学生通过自主探索和合作交流中理解并掌握本节内容。在课堂教学中充满了师生，生生之间的交流互动。
本节课不足：1、例 3 的幻灯片没设计好，存在有重叠看不清的问题，以后课前要
预看。2、还应更注重细节，讲究规范，强调反思。本节课基本达到了预定的目标，在
教学过程中学生参与度高，课堂气氛活跃。在以后的教学中努力提高教学技巧，逐步
4、通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功经验，吸取失败教训。
4/5
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1、在数列{ an }中， a1 =8， a4 2 且满足 an2 2an1 an
（1）求数列{ an }的通项公式

高三数学第二轮复习教案《数列》

数列（第二轮复习）1.等差(比)数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.2.通项公式等差 a n =a 1+(n-1)d ，等比a n =a 1q n -13.等差(比)中项如果在a 、b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差(比)数列，则A 叫a 、b 的等差(比)中项．A ＝(a+b)/2或A ＝±ab4.重要性质：m+n=p+q ⇔ a m ·a n ＝a p ·a q (等比数列)a m +a n ＝a p +a q (等差数列) (m 、n 、p 、q ∈N*) 特别地 m+n=2p ⇔ a m +a n ＝2a p (等差数列) a m ·a n ＝a p 2 (等比数列)5.等差数列前n 项和等比数列前n 项和6.如果某个数列前n 项和为Sn ，则7.差数列前n 项和的最值（1）若a1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由 ⎩⎨⎧≥≥+0a 0a 1n n （2）若a1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由 ⎩⎨⎧≤≤+0a 0a 1n n 8．求数列的前n 项和S n ，重点应掌握以下几种方法：（1）.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.（2）.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.（3）.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.（4）.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n ()()d n n na n a a S n n 21211-+=+=()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==111111q qq a q na S n n在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.9. 三个模型：（1）复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x（2）.单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) （3）.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x10．例、习题：1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( )A. 3/8B. 11/24C. 13/24D. 31/722.在等差数列{a n}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)3.下列命题中正确的是( )A.数列{a n}的前n项和是S n=n2+2n-1，则{a n}为等差数列B.数列{a n}的前n项和是S n=3n-c，则c=1是{a n}为等比数列的充要条件C.数列既是等差数列，又是等比数列D.等比数列{a n}是递增数列，则公比q大于14.等差数列{a n}中，a1＞0，且3a8=5a13，则S n中最大的是( )(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S215.等差数列{a n}中，S n为数列前n项和，且S n/S m＝n2/m2 (n≠m)，则a n / a m值为( )(A)m/n (B)(2m-1)/n (C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)6.已知{a n}的前n项和S n=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…|a10|=( )(A)67 (B)65 (C)61 (D)567.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）(A)12 (B)10 (C)8 (D)68.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(111…11)2 （16个1）位转换成十进制形式是( )(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-19.{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且b1=0,C n＝a n+b n，若数列{C n}是1，1，5，…则{C n}的前10项和为___________.10.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)log m x+(c-a)log m y+(a-b)log m z=_______.11.数列{a n}的前n项和S n=n2+1，则a n=_________________.12.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.13.已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项的和为S n ，且S 3，S 9，S 6成等差数列.(1)求q 3的值；(2)求证a 2，a 8，a 5成等差数列.14.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.15.数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为前n 项的和，是否存在正常数c ，使得对任意的n ∈N +成立?并证明你的结论.16.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大?17.已知等比数列{a n }的首项a1＞0，公比q ＞0.设数列{b n }的通项b n =a n+1+a n+2(n ∈N*)，数列{a n }与{b n }的前n 项和分别记为A n 与B n ，试比较A n 与B n 的大小.()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg18.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=100，S 100=10，试求S 110.19.已知数列{a n }和{b n }满足(n ∈N +)，试证明：{a n }成等差数列的充分条件是{b n }成等差数列.20.已知数列{a n }中的a 1=1/2，前n 项和为S n ．若S n =n 2a n ，求S n 与a n 的表达式.21.在数列{a n }中，a n ＞0， 2Sn = a n +1(n ∈N) ①求S n 和a n 的表达式；②求证： n a n a a b n n +++⋅++⋅+⋅= 21212121111321<+++nS S S S。

2024届高三数学二轮专题复习教案数列

2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。

熟练运用数列的通项公式、求和公式。

能够解决数列的综合应用题。

2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。

2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。

（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。

（3）数列的项数：数列中项的个数。

（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。

（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。

（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。

（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。

4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。

5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。

（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。

（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。

6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。

2023届高考数学二轮专题复习：等比数列教学设计

等比数列教学设计教学目标1、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导，会根据条件解决问题2、从具体情境中抽象出等比数列的概念，从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来理解等比数列的概念。

类比等差数列通项公式的推导，导出等比数列的通项公式。

在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力。

3、通过对等比数列通项公式的推导，培养发现意识、创新意识；感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养对数学学习的积极情感。

教学重点等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用教学难点应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题教学方法：启发探究，猜想归纳，讲练结合教学准备：PPT 课件教学过程一、情境引入1）细胞的分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，16…2）庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭。

如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的长度构成数列：81,41,21,1 3）出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（《孙子算经》）堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：9，92，93，94，95，96，97（通过生活情境中的实例激发学生的学习动机，培养学生思维的主动性，自然地引入课题。

）二、探索研究问题1：上面生活情境中的三个数列1），2），3），有什么共同特点？1）1，2，4，8，16…2）81,41,21,1 3）9，92，93，94，95，96，97学生活动：发现每一个数列从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

（让学生对等比数列对数的特点有初步印象，从而形成概念）老师归纳：我们把拥有这种特点的数列叫做等比数列。

引出课题等比数列的概念：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），数学表达式：)2(1≥=-n q aan n或)1(1≥=+n q a a nn 概念应用：判断下列数列是否是等比数列？①0，3，9，27，81，243… 否 ②4，-4，4，-4，4，-4 … 是 ③-5，-5，-5，-5，-5，-5…是④1, a, a 2, a 3, a 4 , a 5…否（a ≠0）是进一步理解概念：1.a n ≠0 (即等比数列的每一项都不为0)2.q ≠0 （公比是非零常数）3、q=1时，等比数列是常数列，4、非零常数列，既是等比数列，又是等差数列。

【配套K12】等比数列教学设计(共2课时)

等比数列教学设计(共2课时)《等比数列》教学设计成都航天中学刘杨勇一、教材分析： 1、内容简析：本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教学目标确定：从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。

在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。

从而可以确定如下教学目标：第一课时：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识第二课时：加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点：第一课时：重点：等比数列的定义及通项公式难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题第二课时：重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题二、学情分析：从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。

本课正是此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。

而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。

高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。

高考数学二轮复习第一部分专题三数列第一讲等差数列、等比数列教案-人教版高三全册数学教案

第一讲等差数列、等比数列[考情分析]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点.年份卷别考查角度及命题位置 2017Ⅰ卷等差、等比数列的综合应用·T 172015Ⅰ卷等差数列的通项公式及前n 项和公式·T 7等比数列的概念及前n 项和公式·T 13Ⅱ卷等差数列的通项公式、性质及前n 项和公式·T 5等比数列的通项公式及性质·T 9[真题自检]1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5.解析：A2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C ．10D ．12解析：∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：B3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，求n 的值．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n ＝6.等差数列、等比数列的基本运算[方法结论]1．两组求和公式 (1)等差数列：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ；(2)等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q(q ≠1)．2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．[题组突破]1．(2017·贵阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( ) A ．88 B ．48 C ．96D ．176解析：依题意得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 3＋a 92＝11×162＝88，选A. 优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即a n ＝8，因此S 11＝88，选A. 答案：A2．(2017·海口模拟)已知数列{a n }，a n ＞0, 它的前n 项和为S n ，且2a 2是4a 1与a 3的等差中项．若{a n }为等比数列，a 1＝1，则S 7＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，依题意有a 1＝1,4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，故q ＝2，则S 7＝1－271－2＝127. 答案：1273．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝2，从数列{a n }中取出第b n 项记为c n ，若{c n }是等比数列，求{b n }的前n 项和．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d，解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)c 1＝ab 1＝a 1＝1，c 2＝ab 2＝a 2＝3，从而等比数列{c n }的公比为3，因此c n ＝1×3n －1＝3n －1.另一方面，c n ＝a n b ＝2b n －1，所以2b n －1＝3n －1，因此b n ＝3n －1＋12. 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1＋31＋…＋3n －1＋n 2＝3n＋2n －14.[误区警示]在运用等比数列前n 项和公式时，一定要注意判断公比q 是否为1，切忌盲目套用公式导致失误．等差数列、等比数列的性质[方法结论]1．等差数列、等比数列常用性质：等差数列等比数列性质 (1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；(2)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； (2)a n ＝a m qn －m ；(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S m ≠0)(1)若n 为奇数，则S n ＝na 12n+.(2)若n 为偶数，则S n ＝n2(a 2n ＋a 12n ＋)．3．在等差数列中，当项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n；当项数为奇数2n －1时，有S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n. 4．在等比数列中，当项数为偶数2n 时，S 偶S 奇＝q . [题组突破]1．(2017·洛阳模拟)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．9D ．10解析：依题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，∴a 1a 10＝10，又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1＜a 10，∴a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1＝1，选A.答案：A2．(2017·江西红色七校联考)等比数列{a n }满足a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则公比q 为( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：通解：由已知可得a 21q 6＝64，即a 1q 3＝8，得a 4＝8，所以8q＋8q ＝20，化简得2q 2－5q＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)，故q ＝2，选C.优解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 5＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16a 5＝4(舍去)，故a 5a 3＝164＝4＝q 2，故q ＝2，选C. 答案：C3．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1B.22C ．－22D ．－ 3解析：{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan(－7π3)＝tan(－2π－π3)＝－tan π3＝－ 3. 答案：D [误区警示]在等比数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m …仍成等比数列的前提是S m ≠0，易忽视这一条件．等差数列、等比数列的判定与证明[方法结论]1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明{a n }是等比数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项性质，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，a n ≠0)． [典例] (2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解析：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． [类题通法]等价转化思想在解决a n 与S n 关系问题中的应用在已知a n 与S n 的关系问题中，通常利用a n 与S n 的关系转化为{a n }中a n 与a n －1或a n ＋1与a n 的关系，然后求解其他问题．[演练冲关]1．(2017·华南师大附中测试)在数列{a n }中，a 1＝p ，a n ＋1＝qa n ＋d (n ∈N *，p ，q ，d 是常数)，则d ＝0是数列{a n }是等比数列的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当d ＝0，p ＝0时，a n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；当q ＝0，p ＝d ，d ≠0时，a n ＝d ，则数列{a n }为公比为1的等比数列，所以必要性不成立．综上所述，d ＝0是数列{a n }是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D2．(2017·临川一中模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. (1)证明：数列{a n n}是等差数列； (2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＜1.证明：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， ∴数列{a n n}是首项为3，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1， ∴a n ＝n (2n ＋1)， ∴1a n ＝1n2n ＋1＜1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＜(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝11－1n ＋1＜1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＜1.等差、等比数列与其他知识的交汇1．交汇点数列与其他知识的交汇数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．[典例1] (2017·宜昌月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴a 1＋a 2 016＝1，∴S 2 016＝2 016a 1＋a 2 0162＝1 008，故选B.答案：B [类题通法]本题巧妙地将三点共线条件(PA →＝xPB →＋yPC →且A ，B ，C 三点共线⇔x ＋y ＝1)与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体求值思想．[演练冲关]1．(2017·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．－32解析：因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32.答案：B2．创新点新定义下数列的创新问题[典例2] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析：由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，所以S 2nS n ＝2nc 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案：4 [类题通法]解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解．本例的关键是抓住S 2nS n为非零常数来确定参数值．[演练冲关]2．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④。

高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教学案理新人教A版

高考数学一轮复习第六章数列6．3等比数列及其前n 项和教学案理新人教A 版考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n }的有关概念及公式定义 a n ＋1a n ＝q(q 是常数且q≠0，n∈N *)或a n a n －1＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N *且n ≥2)通项公式 a n ＝__________，a n ＝a m ·q n －m前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1，，q ≠1等比中项如果三个数a ，G ，b 组成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，且__________.2.等比数列有关性质(1)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝__________(m ，n ，p ，q ∈N *)． (2)间隔相同的项，如a 1，a 3，a 5，…仍为等比数列，且公比为__________．(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为__________．(4)单调性若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1⇔{a n }__________．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1⇔{a n }__________．q ＝1⇔{a n }为常数列，q ＜0⇔{a n }为摆动数列．1．在等比数列{a n }中，若a 5＝4，则a 2a 8等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32 2．在等比数列{a n }中，若a 4＝8，q ＝－2，则a 7的值为( )． A ．－64 B ．64 C ．－48 D ．48 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．114．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝__________.一、等比数列的判定与证明【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列．方法提炼等比数列的判定方法： (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．请做演练巩固提升5二、等比数列的基本运算【例2－1】 (2012重庆高考)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝__________.【例2－2】设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 方法提炼1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．提醒：数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝aq n＋b (a ，b ∈R )，{a n }是等比数列，则a ，b应满足a ＋b ＝0且a ，b 均不为0.∵由S n ＝aq n＋b ，可知{a n }的公比q ≠1，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q ·q n＋a 11－q .观察可知a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0且a 与b 不等于0.请做演练巩固提升1,3三、等比数列的性质及其应用【例3－1】 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值．(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.【例3－2】已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，求m n的值．方法提炼1．等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．等比数列的常用性质(1)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列；(2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k ，…为等比数列，公比为q k；(3)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；(5)若等比数列{a n }的公比不为－1，前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k是等比数列．请做演练巩固提升4未注意数列首项的特殊而致误【典例】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．错解：(1)证明：∵b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是等比数列．(2)解：b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N )．正解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列．(2)解：由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．答题指导：本题难度并不大，属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{b n }的首项和公比．解第(2)题时未对n ＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性．1．(2012大纲全国高考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )．A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －12．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，n ∈N *，若数列{a n ＋pn ＋q }是等比数列，则实数p ，q 的值分别等于( )．A ．1,2B ．2,1C ．2,2D ．1,33．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于__________． 4．在正项等比数列{a n }中，若1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，则1a 3＋1a 5＝__________.5．(2012陕西高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a 1·q n －1na 1 a 1(1－q n )1－q G 2＝ab2．(1)a p ·a q (2)q 2 (3)q n(4)递增递减基础自测1．C 解析：∵{a n }是等比数列且2＋8＝2×5，∴a 2·a 8＝a 52＝16.2．A 解析：依题意得a 7＝a 4q 3＝8×(－2)3＝－64. 故选A.3．A 解析：由8a 2＋a 5＝0， ∴a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，q ＝－2.∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 4．2n ＋1－n －2 解析：由已知得数列的通项a n ＝1×(1－2n)1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2×(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2.考点探究突破【例1】证明：(1)由a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2得a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵b n ＝a n ＋1－2a n . ∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．【例2－1】 15 解析：由等比数列前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 得，S 4＝1－241－2＝15.【例2－2】解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.【例3－1】解：(1)∵a 3a 11＝a 72＝4a 7，且a 7≠0， ∴a 7＝4.∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1，①a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得，a 14·q 54a 14·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 14·q 166＝a 14·q 6·q 160＝(a 14·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.【例3－2】解：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.演练巩固提升1．B 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n －1＝2a n (n ≥2)，两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋1a n ＝32. ∴数列{a n }从第2项起为等比数列．又n ＝1时，S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴S n ＝a 1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．A 解析：依题意有a n ＋1＋p (n ＋1)＋q a n ＋pn ＋q＝m 对任意n ∈N *都成立，得a n ＋1＋p (n ＋1)＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ，又a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，则2a n ＋n ＋1＋pn ＋p ＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ，即(2－m )a n ＋(p ＋1－mp )n ＋p ＋1＋q －mq ＝0. 由已知可得a n ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，p ＋1－mp ＝0，p ＋1＋q －mq ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，p ＝1，q ＝2.故选A.3．403 解析：由题意得S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，a 2＝3a 1，∴S 4a 2＝403. 4．9 解析：∵a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52，a 42＝a 3·a 5，∴1a 2a 4＋2a 42＋1a 4a 6＝1a 32＋2a 3a 5＋1a 52＝81，即⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 52＝81.又a 3＞0，a 5＞0，故1a 3＋1a 5＝9.5．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．。

高考数学一轮复习第六章数列 6.3 等比数列及其前n项和教学案理

§6.3 等比数列及其前n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．属于中低档题.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac . 题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 题组三易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案－12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案－11解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB ＝210MB) 答案 39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒).等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析因为S 2＝3，S 4＝15，S 4－S 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q 2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q ＝2，故选D.2．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.3．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论．等比数列的判定与证明例1 (2019·衡阳模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋12b n ,2b n ＋1＝12a n＋b n .(1)证明：数列{a n ＋b n }，{a n －b n }为等比数列； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103.证明 (1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2an ＋1＝a n ＋12b n ，2bn ＋1＝12a n ＋b n ，两式相加得，a n ＋1＋b n ＋1＝34(a n ＋b n )，又∵a 1＋b 1＝32≠0，∴{a n ＋b n }为首项为32，公比为34的等比数列，两式相减得，a n ＋1－b n ＋1＝14(a n －b n )，又∵a 1－b 1＝12≠0，∴{a n －b n }为首项为12，公比为14的等比数列．(2)由(1)可得，a n ＋b n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，①a n －b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，②①＋②得，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，∴S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n4n 1－34<141－14＋341－34＝103.思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法 (1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列． (2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若a n ＝Aq n(A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．跟踪训练1 已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n，所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n)，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n}是首项为5，公比为5的等比数列．所以a n －3n＝5n，所以a n ＝3n＋5n.(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52.等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2019－a 22020＋2a 2021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2020＝a 2020，则log 2(b 2019·b 2021)的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析因为等差数列{a n }中a 2019＋a 2021＝2a 2020，所以2a 2019－a 22020＋2a 2021＝4a 2020－a 22020＝0，因为数列{a n }各项不为零，所以a 2020＝4，因为数列{b n }是等比数列，所以b 2019·b 2021＝a 22020＝16. 所以log 2(b 2019·b 2021)＝log 216＝4.故选C.(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 答案 10解析根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 3＝10，或S 3＝90(舍)．思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析由已知a 1a 2…a 9＝1，又a 1a 9＝a 2a 8＝a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，所以a 95＝1，即a 5＝1，所以a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝1，a 1＝16.故选B.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．答案－12解析很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得，S 3S 6＝a 1()1－q 31－q a 1()1－q 61－q＝11＋q 3＝89，解得q ＝12，则a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列. (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ，与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1)，所以a n ＋dc －1＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋d c －1(n ≥2)，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋d c －1构成以a 1＋dc －1为首项，以c 为公比的等比数列．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________. 答案 2×3n －1－1解析 a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又因为a 1＋1＝2≠0，所以{a n ＋1}构成以2为首项，以3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，a n ＝2·3n －1－1.构造法2 形如a n ＋1＝pa n ＋q ·pn ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a npn ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．(n ＋1)·2nC ．n ·2n ＋1D ．(n －1)·2n答案 B解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，又∵a 121＝42＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴a n2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，故选B.(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n＋3×2n －1D ．5n－3×2n －1答案 D解析方法一在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，所以a n5n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n. 故a n ＝5n －3×2n －1.方法二设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n)，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D.构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．解由a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n 可得，a n ＋2－a n ＋1＝－13(a n ＋1－a n )，所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－13的等比数列，当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝－13，a 4－a 3＝19，…，a n －a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，将上面的式子相加可得a n －1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，从而可求得a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，故有a n ＝74＋94·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n(n ≥2).又a 1＝1符合上式，所以a n ＝74＋94·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n.构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *). 1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34B.38C ．12D ．24 答案 D解析数列{a n }是等比数列，各项均为正数，4a 23＝a 1a 7＝a 24，所以q 2＝a 24a 23＝4，所以q ＝2.所以a 5＝a 2·q 3＝3×23＝24，故选D.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1＝83·9n －1，所以3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.3．等比数列{a n }中，a 2>0，则“a 2<a 5”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析当a 2<a 5时，q 3>1，q >1，a 5＝a 3q 2>a 3，为充分条件．当a 3<a 5时，a 3<a 3q 2，若a 3<0则0<q 2<1，－1<q <1，－1<q 3<1，a 5＝a 2q 3<a 2，故不是必要条件．综上所述，为充分不必要条件，故选A.4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189C.18916D ．378 答案 B解析设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1，且2()a 2＋2＝a 1＋1＋a 3，即2×()6＋2＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×()1－261－2＝189. 5．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案 D解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知其是公比为q 2的等比数列；对于B ，若q ＝－1，则{a n ＋a n ＋1}项中有0，不是等比数列；对于C ，若q ＝1，则数列{a n －a n ＋1}项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故选D. 6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2B ．－16 2C ．2D ．16 2答案 D解析设正项等比数列{a n }的公比为q >0，∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22n ＋122n ＝4＝q 2，解得q ＝2， ∴a 2n ×2＝22n ，a n >0，解得a n ＝2122n -，则a 6－a 5＝1122－922＝162，故选D.7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 2a 3＝16，则数列{log 2a n }的前四项和等于________．答案 8解析各项为正数的等比数列{a n }中，a 2a 3＝16，可得a 1a 4＝a 2a 3＝16，即有log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＝log 2(a 1a 2a 3a 4)＝log 2256＝8.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2021＝________. 答案 2020解析 ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0，∵a 2≠0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1.∵a 1＝2020， ∴S 2021＝a 11－q 20211－q ＝2020×[1－－12021]2＝2020. 9.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫229＝132.10．(2019·呼伦贝尔模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a n ＝1n n ＋1，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，则正整数n 的值为________．答案 8解析 ∵a n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，又S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，∴S 2m ＝S 1·S n ，即m 2m ＋12＝12·n n ＋1，2m 2m ＋12＝n n ＋1， ∴2m 2<(m ＋1)2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，结合m >1可得m ＝2，∴n ＝8.11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n ，将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．(1)解由S n ＝S n －1＋a n －1＋12，得S n －S n －1＝a n －1＋12，即a n －a n －1＝12(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }是以34为首项，12为公差的等差数列，因此a n ＝34＋(n －1)×12＝12n ＋14. (2)证明因为3b n －b n －1＝n ＋1(n ≥2)，所以b n ＝13b n －1＋13(n ＋1)(n ≥2)， b n －a n ＝13b n －1＋13(n ＋1)－12n －14＝13b n －1－16n ＋112＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12n ＋14(n ≥2)， b n －1－a n －1＝b n －1－12(n －1)－14＝b n －1－12n ＋14(n ≥2)，所以b n －a n ＝13(b n －1－a n －1)(n ≥2)，因为b 1－a 1＝－10≠0，所以数列{b n －a n }是以－10为首项，13为公比的等比数列． 13．(2019·山西省太原第五中学月考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝n 2＋n2解析由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1(n ≥2)，代入2b n ＝a n ＋a n ＋1得2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1(n ≥2)，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，则{b n }是首项为b 1的等差数列．又a 1＝1，a 2＝3，所以2b 1＝4，b 1＝2，故b 2＝a 22b 1＝92，则公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋22(n －1)＝2n ＋12，即b n ＝n ＋12，b n ＋1＝n ＋22，则a n ＋1＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，所以a n ＝n n ＋12＝n 2＋n 2.14．(2019·江西省上饶横峰中学模拟)已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2020的个位数字是________．答案 7解析由等比数列的性质可得a 1a 5＝a 2a 4，因为a 22＋a 24＝900－2a 1a 5＝900－2a 2a 4，所以a 22＋a 24＋2a 2a 4＝(a 2＋a 4)2＝900，又因为a n >0，所以a 2＋a 4＝30，又由a 5＝9a 3，所以a 1(q ＋q 3)＝30，a 3q 2＝9a 3，且q >0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a 2020＝a 1q 2019＝32019＝(34)504×33，所以a 2020的个位数字是7.15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．解 a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2]＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1，所以a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n －12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n －12＝32×3n －1，所以a n ＝3n＋12. 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．解因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，所以S n n ＝3＋(n －1)×2，化简得S n ＝2n 2＋n ，则S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)] ＝4n －1(n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝3，也符合上式，所以a n ＝4n －1，因为b n ＝2n a ，所以b 1＝a 2，b 2＝a 4，b 3＝a 8，b 4＝a 16，b 5＝a 32，b 6＝a 64，… 所以T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋a 16＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(23－1)＋(24－1)＋(25－1)＋…＋(2n ＋1－1)＋(2n ＋2－1) ＝23＋24＋25＋…＋2n ＋1＋2n ＋2－n ＝2n ＋3－n －8，所以S 1＋T 1＝(2×12＋1)＋(24－1－8)＝10，S 2＋T 2＝(2×22＋2)＋(25－2－8)＝32， S 3＋T 3＝(2×32＋3)＋(26－3－8)＝74， S 4＋T 4＝(2×42＋4)＋(27－4－8)＝152， S 5＋T 5＝(2×52＋5)＋(28－5－8)＝298，所以使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值为5.。

高考数学第二轮专题复习数列教案

高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差〔比〕数列的概念，掌握等差〔比〕数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明〞这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四那么运算法那么、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势〔1〕数列是特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点〔2〕数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

〔3〕加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即〔a3+a5〕2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中表达，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

【K12学习】XX届高考数学数列复习教案

XX届高考数学数列复习教案XX高中数学精讲精练第五章数列【知识图解】【方法点拨】．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差数列的比较简单的数列进行化归与转化．．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课数列的概念【考点导读】．了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数；．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。

【基础练习】已知数列满足，则=。

分析:由a1=0,得由此可知:数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:．在数列中，若，，则该数列的通项2n-1。

．设数列的前n项和为，，且，则____2__.．已知数列的前项和，则其通项．【范例导析】例1．设数列的通项公式是，则0是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。

这个数列的前5项是；由函数的单调性：是减区间，是增区间，所以当时，最小，即最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。

例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上,求数列的通项公式。

分析：根据题目的条件利用与的关系：，求出数列的通项。

【K12学习】XX届高考数学第二轮数列备考复习教案

XX届高考数学第二轮数列备考复习教案XX届高考数学二轮复习资料专题三数列【考纲解读】理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【考点预测】等差数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.运用方程的思想解等差数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.深刻理解等差数列的定义，能正确使用定义和等差数列的性质是学好本章的关键.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【要点梳理】证明数列是等差数列的两种基本方法：定义法：为常数；等差中项法：.证明数列是等比数列的两种基本方法：定义法：；等差中项法：.常用性质:等差数列中,若,则;等比数列中,若,则.求和:等差等比数列,用其前n项和求出;掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法;掌握等差等比数列前n项和的常用性质.【考点在线】考点1等差等比数列的概念及性质在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。

配套K12高三数学数列知识点复习等比数列三教案新人教A版

第八课时等比数列 _________热点考点题型探析一、复习目标：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质，能灵活运用等比数列的性质解题. 二、重难点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质. 三、教学方法：讲练结合，归纳总结，巩固强化。

四、教学过程：（一）、热点考点题型探析考点3 等比数列的性质【例1】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】 {}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S . 【反思归纳】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法. 考点4 等比数列与其它知识的综合【例2、08年四川20题12分】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21nn n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n =，主要利用：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =，且 ()21nn n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减，得()()1121n n n n b a a b a ++--=-，即 12nn n a ba +=+ ① ⑴当2b =时，由①知 122nn n a a +=+于是 ()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅ 又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2=q 的等比数列。

高考数学总复习专题6.3等比数列及其前n项和导学案理

2，∴S7＝a111－－qq7＝a111－－227＝381，解得 a1＝3.故选 B. （2）设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且aan＋n 1<1，若 a3＋a5＝20，a3a5＝64，则 S4 等于( )
A．63 或 120
BБайду номын сангаас256
C．120
D．63
【答案】 C
【解析】由题意得Error!解得Error!或Error!
1
当 q＝1 时，数列{an}是常数列. (5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm. (6)当 q≠－1，或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn. 典型例题
考点一等比数列基本量的运算
3
【答案】 Sn＝2n－1. 【解析】设等比数列的公比为 q，则有Error!解得Error!或Error! 又{an}为递增数列，∴Error!∴Sn＝11－－22n＝2n－1. 5.设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3＝7，且 a1＋3，3a2，a3＋4 构成等差数列，则 an ＝________. 【答案】an＝2n－1. 【解析】解得 a2＝2.设数列{an}的公比为 q，由 a2＝2，可得 a1＝2q，a3＝2q.又 S3＝7，可知2q＋2＋ 2q＝7，即 2q2－5q＋2＝0，解得 q1＝2，q2＝12.由题意得 q＞1，所以 q＝2，所以 a1＝1. 故数列{an}的通项为 an＝2n－1.
{ } { } (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，
1 an

高考数学二轮复习等比数列学案(全国通用)

等比数列【考纲要求】1．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式.2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.3．了解等比数列与指数函数的关系.4．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.【知识网络】【考点梳理】数列的概念388518 知识要点】考点一：等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.*1(1,,0,)n na q n n N q q R a +=≥∈≠∈ 考点二、等比数列的通项公式11n n a a q -=要点诠释：①方程观点：知二求一； ②函数观点：函数1n a y q q=⋅的图象上一群孤立的点； ③当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列；当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。

考点三、等比数列通项公式的主要性质：等比数列等比中项通项公式及相关性等比数列与函数的关系（1）等比中项：a 、G 、b成等比数列，则G =（2）通项公式的推广：n m n m a a q -=；（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅；（4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列. 要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。

【典型例题】类型一：等比数列的概念、公式例1.若数列{}n a 为等比数列，1510a =, 4590a =, 求60a .思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。

高考数学二轮复习等比数列的概念与性质学案(全国通用)

2020届二轮复习等比数列的概念与性质学案（全国通用）等比数列的概念与性质•等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示(q≠0)．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．等比数列的通项公式：a n=a1q n−1．•等比数列的性质（1）a n，a m为等比数列中任意两项，则a n=a m q n−m(n,m∈N+)．（2）若n，m，p，r∈N∗且n+m=p+r，则a n⋅a m=a p⋅a r．（3）下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．•等比数列前n项和等比数列的前n项和S n={na1,q=1, a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q,q≠1.•等比数列的前n项和的性质当S n，S2n−S n，S3n−S2n均不为零时，数列S n，S2n−S n，S3n−S2n构成等比数列．精选例题等比数列的概念与性质1. 已知等比数列{a n}的前n项和S n=m⋅2n−1−3，则m=．【答案】 62. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1+a 3=4，a 2+a 4=2，则 log 2(S2015a 2015+1)= ．【答案】 2015【分析】设等比数列的公比为 q ，则 q =a 2+a 4a 1+a 3=12．所以 S 2015a 2015=a 1[1−(12)2015]1−12a 1(12)2014=2[1−(12)2015](12)2014=22015−1.所以 log 2(S 2015a 2015+1)=2015．3. 已知首项为 1，公差不为 0 的等差数列 {a n } 的第 2，4，9 项成等比数列，则这个等比数列的公比 q = ；设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n = ．【答案】 52；n (3n−1)24. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，满足 a n +S n =1(n ∈N ∗)，则通项公式 a n = ．【答案】 12n【分析】因为 a n +S n =1，①所以 a 1=12，a n−1+S n−1=1，(n ⩾2) ②①－②可得 a n −a n−1+a n =0，即得a na n−1=12，所以数列 {a n } 是首项为 12，公比为 12的等比数列，则 a n =12×(12)n−1=12n ．5. 在等比数列 {a n } 中，若 a 1=1，a 2a 3=4(a 4−1) 则 a 7= ．【答案】 169【分析】设等比数列 {a n } 中因为 a 1=1，a 2a 3=4(a 4−1) 所以 q 3=4(q 3−1)解得 q 3=43则 a 7=1×(43)2=1696. 已知等比数列 {a n } 的公比为正数，且 a 1=2，4a 2⋅a 8=a 42，则 a 3= ．【答案】 127. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1=1，S n =2(a 1+a n )（n ⩾2，n ∈N ∗），则 S n = ．【答案】 2−2n−1【分析】解法1 当 n =2 时，S 2=2(a 1+a 2)，从而得 a 2=−a 1=−1．当 n ⩾3 时，有 S n−1＝2(a 1+a n−1)，所以 a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1，即 a n =2a n−1．而 a 2≠2a 1，所以数列 {a n } 是从第二项起以 a 2=−1 为首项，2 为公比的等比数列，所以当 n ⩾2 时，S n =1+(−1)(1−2n−1)1−2=2−2n−1．又 S 1=a 1=1=2−20，所以 S n =2−2n−1．解法2 当 n =2 时，S 2=2(a 1+a 2)，从而 a 2=−a 1=−1．当 n ⩾3 时，a n =S n −S n−1，所以 S n =2(1+S n −S n−1)，即 S n =2S n−1−2，所以 S n −2=2(S n−1−2)．又因为 S 2−2=−2，S 1−2=−1，所以 S 2−2=2(S 1−2)，所以数列 S n −2 是以 −1 为首项，2 为公比的等比数列，从而 S n −2=(−1)⋅2n−1，所以 S n =2−2n−1． 8. 设等比数列 {a n } 的公比为 q (0<q <1)，前 n 项和为 S n ，若 a 1=4a 3a 4，且 a 6 与 34a 4 的等差中项为 a 5，则 S 6= ．【答案】 634【分析】因为 a 1=4a 3a 4，所以 4a 1q 5=1，所以 a 6=14．又因为 a 6 与 34a 4 的等差中项为a 5，所以 a 6+34a 4=2a 5，即 1+34q 2=2q ，化简得 4q 2−8q +3=0，解得 q =12 或 q =32（舍去），所以 S 6=a 1(1−q 6)1−q=a 6(1−q 6)q 5(1−q )=14⋅1−(12)5(12)6=634．9. 已知等比数列 {a n } 的公比 q =13，且 a 1+a 3+a 5+⋯+a 199=180，则 a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 200= ．【答案】 240【分析】在等比数列中，若项数为 2n ，则 S 偶S 奇=q ，所以 a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 200=a 1+a 3+a 5+⋯+a 199+13(a 1+a 3+a 5+⋯+a 199)=180+60=240．10. 每项均为正数的等比数列 {a n } 满足：a 2a 4=1，S 3=13，且 b n =log 3a n ，则数列的 {b n } 前 10 项和是．【答案】 −2511. 一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数和的 2 倍，又它的首项为 1，中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为．【答案】 8【分析】设该数列有 2n 项，公比为 q ，则 S 偶=qS 奇=2S 奇，解得 q =2．又首项为 1，中间两项的和为 24，则 2n−1+2n =24，解得 n =4，所以 2n =8．12. 已知在等比数列 {a n } 中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=40，则 a 5a 6a 7= ．【答案】 20【分析】由条件得 a 2=√53，a 8=√403，于是 q 6=2，故a 5a 6a 7=a 23q 12=5×4=20．13. 已知等比数列 {a n } 的公比 q =13，且 a 1+a 3+a 5+⋯+a 99=66，则其前 100 项的和S 100= ．【答案】 88【分析】因为 a 2+a 4+a 6+⋯+a 100=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 99)q =66×13=22，所以 S 100=(a 1+a 3+⋯+a 99)+(a 2+a 4+⋯+a 100)=66+22=88．14. 若等比数列 {a n } 满足 a 2a 6=64，a 3a 4=32，则公比 q = ．【答案】 215. 在等比数列 {a n } 中，若 a 3a 5a 7=−8，则 a 2a 8= ．【答案】 4【分析】据等比数列的性质可知 a 3a 5a 7=a 53=−8，从而 a 5=−2，故 a 2a 8=a 52=4．16. 正项等比数列 {a n } 中，a 1=18，前 m(m ∈N ∗,m 为常数) 项的乘积是 8m ，若从前 m 项中，抽出一项后，余下的 m −1 项的乘积是 (4√2)m−1，则抽出的是第项．【答案】 13【分析】不妨设公比为 q ，抽出来的是第 k 项，因为正项等比数列 {a n } 中，前 m(m ∈N ∗,m 为常数) 项的乘积是 8m ，所以 a 1m ⋅q m (m−1)2=8m ，所以 a 1⋅q(m−1)2=8，所以 q =212m−1．8m (4√2)m−1=2m+52为抽出来的那一项．所以 2m+5218=(212m−1)k−1，所以m+112=12(k−1)m−1，又因为 m ∈N ∗，所以解得 k =13．17. 在等比数列 {a n } 中，公比 q =12，且 log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 10=55，则 a 1+a 2+⋯+a 10= ．【答案】 211−2【分析】据题意知 log 2(a 110⋅q 1+2+⋯+9)=log 2(a 110⋅q 45)=55，即 a 110=2100，结合 a n >0，解得 a 1=210，所以 S 10=211−2．18. 已知等比数列 a n ，首项 a 1=2，公比 q =3，a p +a q+1+⋯+a k =2178(k >p,p,k ∈N +)，则 p +k = ．【答案】 10【分析】 a n =2⋅3n−1，a p +a p+1+⋯+a k =2⋅3p−1(1−3k−p+1)1−3=3p−1(3k−p+1−1)，又 2178=9⋅(243−1)=32⋅(35−1)，则 {p −1=2,k −p +1=5, 得 {p =3,k =7.19. 已知等比数列 {a n } 的公比 q =−12，S n 为其前 n 项和，则S 4a 4= ．【答案】 −5【分析】因为 S 4=a 1(1−q 4)1−q，a 4=a 1q 3，所以 S 4a 4=1−q 4q 3(1−q )=1−116(−18)×(1+12)=−5．20. 若数列 {a n } 是各项均为正数的等比数列，且 a 22=a 3，a 3−a 2=6a 1．则 {a n } 的公比q = ．【答案】 3【分析】设等比数列 {a n } 的公比为 q >0，依题意有 {a 12q 2=a 1q 2a 1(q 2−q )=6a 1，解得 a 1=1，q =3．21. 已知等比数列 {a n } 中，a 2=2，a 5=128． (1)求通项 a n ；【解】因为数列 {a n } 是等比数列，a 2=2，a 5=128，所以 {a 1q =2,a 1q 4=128, 解得 {a 1=12,q =4,从而 a n =a 1q n−1=12×4n−1=22n−3．(2)若数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ，求满足不等式 S n <2012 的 n 的最大值．【解】因为 a n =22n−3，所以 b n =log 2a n =log 222n−3=2n −3，又因为 b n −b n−1=(2n −3)−[2(n −1)−3]=2，所以数列 {b n } 是一个以 −1 为首项，2 为公差的等差数列．所以 S n =−n +n (n−1)2×2=n 2−2n ．由 S n <2012，得 n 2−2n <2012，整理，得 n 2−2n −2012<0．解得 −1−√2013<n <1+√2013，经过估算，得到 n 的最大值为 32．22. 设数列 {a n } 的首项 a 1=a ≠14，且 a n+1={12a n ,n 为偶数a n +14,n 为奇数，记 b n =a 2n−1−14，n =1，2，3，⋯ (1)求 a 2，a 3；【解】 a 2=a 1+14=a +14，a 3=12a 2=12a +18．(2)判断数列 {b n } 是否为等比数列，并证明你的结论；【解】因为 a 4=a 3+14=12a +38，所以 a 5=12a 4=14a +316．故 b 1=a 1−14=a −14≠0，b 2=a 3−14=12(a −14)，b 3=a 5−14=14(a −14)．猜想 {b n } 是公比为 12 的等比数列．证明如下：b n+1=a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ,(n ∈N ∗)，所以 {b n } 是首项为 a −14，公比为 12的等比数列． (3)求 b 1+b 2+⋯+b n ．【解】由（2），b 1+b 2+⋯+b n =b 1(1−12n )1−12=2b 1(1−12n )=2(a −14)(1−12n )．23. 已知公差不为 0 的等差数列 {a n }，首项 a 1=1，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列， (1)求等差数列 {a n } 的通项公式；【解】设公差为 d ，则 d ≠0，又 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则有 a 22=a 1a 4，又首项 a 1=1，所以 (1+d )2=1×(1+3d ) 化简得：d 2−d =0，又 d ≠0，解得：d =1．所以 a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)×1=n ，即：a n =n ．(2)若从数列 {a n } 中抽出部分项：a 1，a 2，a 4，⋯，a 2n−1 构成一个新的数列 {a 2n−1}，n ∈N ∗，证明：数列 {a 2n−1}，n ∈N ∗ 为等比数列；【解】由（1）可知：a n =n ，所以 a 2n−1=2n−1(n ∈N ∗)，所以a 2n−1a 2n−2=2n−12n−2=2．所以，数列 {a 2n−1}，n ∈N ∗ 为等比数列． (3)求和：a 1+a 2+a 4+⋯+a 2n−1(n ∈N ∗)．【解】由（2）可知：数列 {a 2n−1}，n ∈N ∗ 为等比数列，所以 a 1+a 2+a 4+⋯+a 2n−1=1+2+4+⋯+2n−1=1×(1−2n )1−2=2n −1．即 a 1+a 2+a 4+⋯+a 2n−1=2n −1．24. 已知数列 {a n } 为等比数列，S n 为其前 n 项和． (1)已知 a 6=192，a 8=768，求 S 10；【解】由 a 6=192,a 8=768，得 {a 1=−6,q =−2 或 {a 1=6,q =2.故 S 10=2046 或 6138．(2)若 S 30=13S 10，S 10+S 30=140，求 S 20 的值；【解】由于数列 {a n } 为等比数列，所以 S 10，S 20−S 10，S 30−S 20 成等比数列，公比为 q 10．所以由题可得 {1+q 10+q 20=13,S 10(2+q 10+q 20)=140.解得 S 10=10，q 10=3．故 S 20=(1+q 10)S 10=40．(3)已知 a n >0(n ∈N ∗)，a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81．求 a 4+a 6 的值．【解】由 a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，得 a 42+2a 4a 6+a 62=81，又 a n >0，所以，a 4+a 6=9．25. 把一个正方形等分成 9 个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成 9 个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此下去 ⋯…(1)如此下去，第三次共挖掉了多少个正方形？【解】 8×9+1=73．(2)第 n 个图共挖掉了多少个正方形？若原正方形的边长为 a (a >0)，则这些正方形的面积之和为多少？【解】我们把由图①分割为图②看作是一次操作，则一次操作挖去 8 个小正方形，且由图①分割为图②时，增加了 8 个图①，所以 n −1 次操作后得到第 n 个图，共挖掉了 1+8+82+⋯+8n−1=1−8n 1−8=8n −17个正方形，这些正方形的面积和为a 2[1×(1)2+8×(1)4+82×(1)6+⋯+8n−1×(1)2n]=19[1−(89)n]1−89a2=[1−(89)n ]a2.26. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 2=6，6a 1+a 3=30，求 a n 和 S n ．【解】设 {a n } 的公比为 q ，由题设得{a 1q =6,6a 1+a 1q 2=30,解得{a 1=3q =2或{a 1=2,q =3.当 a 1=3，q =2 时，a n =3×2n−1,S n =3×(2n −1);当 a 1=2，q =3 时，a n =2×3n−1,S n =3n −1.27. 在等差数列 {a n } 中，a 2=5，a 4=13． (1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ；【解】 ∵ a 2=5，a 4=13，∴ {a 1+d =5,a 1+3d =13,解得 a 1=1，d =4，则 a n =a 1+(n −1)d =4n −3． (2)求数列 {a n } 前 20 项和 S 20．【解】 ∵ a 1=1，d =4，∴ S 20=20×1+20×192×4=780．28. 已知等差数列 {a n } 的首项 a 1=1，公差 d >0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列 {b n } 的第二项、第三项、第四项． (1)求数列 {a n } 与 {b n } 的通项公式；【解】设数列 {b n } 的公比为 q ．由题意，得 (1+d )(1+13d )=(1+4d )2，整理，得 d 2−2d =0．结合 d >0，解得 d =2．所以 a n =2n −1．于是 b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，b 4=a 14=27，所以公比 q =b3b 2=3，b 1=1，因此，b n =b 1q n−1=3n−1．(2)设数列 {b n } 对任意正整数 n 都有 c 1b 1+c 2b 2+⋯+cn b n=a n+1 成立，求 c 1+c 2+⋯+c 2013 的值．【解】由（1），得 a n =2n −1，则 a n+1=2n +1．由 c 1b 1+c 2b 2+⋯+cn b n =a n+1，得 c 1b 1+c 2b 2+⋯+c n−1bn−1=a n (n ⩾2)．以上两式相减，得c nb n =a n+1−a n =2(n ⩾2)，即 c n =2b n =2⋅3n−1(n ⩾2)．当 n =1 时，由 c 1b 1=a 2，得 c 1=b 1⋅a 2=1×3=3．由此 c n ={3,n =1,2⋅3n−1,n ⩾2.所以 c 1+c 2+c 3+⋯+c 2012+c 2013=3+2×3+2×32+⋯+2×32012=3+2(3+32+⋯+32012)=3+2×3(1−32012)1−3=32013.29. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1=1，2a n+1=2a n +p （p 为常数，n =1,2,3,⋯）． (1)若 S 3=12，求 S n ；【解】因为 a 1=1，2a n+1=2a n +p ，所以 2a 2=2a 1+p =2+p ，2a 3=2a 2+p =2+2p ．因为 S 3=12，即 2S 3=24．所以 2+2+p +2+2p =6+3p =24，即 p =6．所以 a n+1−a n =3(n =1,2,3,⋯)．所以数列 {a n } 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列．所以 S n =1×n +n (n−1)2×3=3n 2−n2．(2)若数列 {a n } 是等比数列，求实数 p 的值．【解】若数列 {a n } 是等比数列，则 a 22=a 1a 3，由 (1) 可得 (1+p 2)2=1×(1+p )．解得 p =0．当 p =0 时，由 2a n+1=2a n +p ，得 a n+1=a n =⋯=1．显然，数列 {a n } 是以 1 为首项，1 为公比的等比数列．所以 p =0．(1)已知数列{c n}，其中c n=2n+3n，且数列{c n+1−pc n}为等比数列，求常数p．【解】因为{c n+1−pc n}是等比数列，故有(c n+1−pc n)2=(c n+2−pc n+1)(c n−pc n−1),将c n=2n+3n代入上式，得 [2n+1+3n+1−p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2−p(2n+1+3n+1)]2⋅[2n+3n−p(2n−1+3n−1)],即 [(2−p)2n+(3−p)3n]2=[(2−p)2n+1+(3−p)3n+1][(2−p)2n−1+(3−p)3n−1],整理得16(2−p)(3−p)⋅2n⋅3n=0，解得p=2或p=3．(2)设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明数列{c n}不是等比数列．【解】设{a n}、{b n}的公比分别为p、q，c n=a n+b n，为证{c n}不是等比数列只需证c22≠c1⋅c3．事实上，c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,c1⋅c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2).由于p≠q，p2+q2>2pq，又a1、b1不为零，因此，c22≠c1⋅c3，故{c n}不是等比数列．31. 设{a n}的公比不为1的等比数列，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；【解】设数列{a n}的公比为q(q≠0,q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3=a5+a4，即2a3=a3q2+a3q．由a3≠0，得q2+q−2=0．解得q=−2或q=1（舍去），所以q=−2．(2)若a1=−2，求数列{1a n}的前n项和S n．【解】依题意，得{1a n }是以1a1=−12为首项，−12为公比的等比数列，S n=−12[1−(−12)n]1−(−12)=−1−(−12)n3=(−12)n−13．32. 在等比数列{a n}中，已知a2=18，a4=8，求首项a1和公比q．【解】因为q2=a4a2=49，所以q=±23．当q=23时，a1=27；当 q =−23时，a 1=−27．综上，{a 1=27,q =23, 或 {a 1=−27,q =−23.33. 设等比数列 {a n } 的公比 q <1，前 n 项和为 S n ．已知 a 3=2，S 4=5S 2，求 {a n } 的通项公式．【解】由题设知 a 1≠0，S n =a 1(1−q n )1−q，则{a 1q 2=2, ⋯⋯①a 1(1−q 4)1−q =5×a 1(1−q 2)1−q. ⋯⋯②由②得1−q 4=5(1−q 2),(q 2−4)(q 2−1)=0,(q −2)(q +2)(q −1)(q +1)=0,因为 q <1，解得 q =−1 或 q =−2．当 q =−1 时，代入①得 a 1=2，通项公式为a n =2×(−1)n−1;当 q =−2 时，代入①得 a 1=12，通项公式为a n =12×(−2)n−1.34. 等比数列 {a n } 共有 2n 项，其和为 −240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，求公比 q ．【解】由题意知{S 奇+S 偶=−240,S 奇−S 偶=80, 所以{S 奇=−80,S 偶=−160. 所以公比q =S 偶S 奇=−160−80=2.35. 三个数成等比数列，其积为 512．若第一个数与第三个数各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数．【解】设三个数为 aq ，a ，aq ，则{aq ⋅a ⋅aq =512,2a =aq−2+(aq −2),解得{a =8,q =2 或 {a =8,q =12.所以所求三数依次为 4，8，16 或 16，8，4．36. 在等比数列 {a n } 中，已知 a 6−a 4=24，a 3a 5=64，求 {a n } 前 8 项的和 S 8．【解】设数列 {a n } 的公比为 q ，依题意，a 6−a 4=a 1q 3(q 2−1)=24,a 3a 5=(a 1q 3)2=64,所以a 1q 3=±8.所以，将 a 1q 3=−8 代入到①式，得 q 2−1=−3,q 2=−2，舍去；将 a 1q 3=8 代入到①式，得 q 2−1=3,q =±2．当 q =2 时，a 1=1,S 8=a 1(q 8−1)q−1=255；当 q =−2 时，a 1=−1,S 8=a 1(q 8−1)q−1=85．37. 在各项均为负数的数列 {a n } 中，已知 2a n =3a n+1，且 a 2⋅a 5=827．(1)求证：数列 {a n } 是等比数列，并求出通项公式；【解】由 2a n =3a n+1，得 a n+1a n=23，故数列 {a n } 是公比为 23的等比数列．由 a 2⋅a 5=827，得 a 1=±32．因为数列 {a n } 的各项均为负数，故 a 1=−32．所以 a n =−(23)n−2 (n ∈N ∗)．(2)试问 −1681 是否为该数列的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．【解】设 −1681 是数列 {a n } 的第 n 项，得 −1681=−(23)n−2，即 (23)4=(23)n−2，所以 n =6，即 −1681 是这个等比数列的第 6 项．38. 已知数列 {a n } 是首项 a 1=4，公比 q ≠1 的等比数列，且 4a 1，a 5，−2a 3 成等差数列． (1)求公比 q 的值．【解】因为 4a 1，a 5，−2a 3 成等差数列，所以 2a 5=4a 1−2a 3，即 2a 1q 4=4a 1−2a 1q 2，解得 q 2=1，又因为 q ≠1，所以 q =−1． (2)记 T n =a 2+a 4+⋯+a 2n ，求 T n 的值．【解】因为 a n ={4,(n 为奇数)−4,(n 为偶数)所以 T n =a 2+a 4+⋯a 2n =−4n ．39. 若实数 a ，b ，c 成等比数列，试证明 a 2+b 2，ab +bc ，b 2+c 2 也成等比数列．【解】要证 a 2+b 2，ab +bc ，b 2+c 2 成等比数列，须证 (ab +bc )2=(a 2+b 2)(b 2+c 2)，即证 2ab 2c =a 2c 2+b 4，即证 (ac −b 2)2=0．由已知 b 2=ac ，所以 a 2+b 2，ab +bc ，b 2+c 2 成等比数列．40. 已知等比数列 {a n } 中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8．求 a n ．【解】解法一：因为 a 1a 3=a 22，所以 a 1a 2a 3=a 23=8，所以 a 2=2．从而{a 1+a 3=5,a 1a 3=4,解得{a 1=1,a 3=4 或 {a 1=4,a 3=1.当 a 1=1 时，q =2；当 a 1=4 时，q =12，故 a n =2n−1 或 a n =23−n ．解法二：由等比数列的定义知 a 2=a 1q ，a 3=a 1q 2，结合已知得{a 1+a 1q +a 1q 2=7,a 1⋅a 1q ⋅a 1q 2=8,即{a 1(1+q +q 2)=7,a 13q 3=8,所以{a 1(1+q +q 2)=7, ⋯⋯①a 1q =2. ⋯⋯②由 ② 得 a 1=2q ，将 a 1=2q 代入 ① 得 2q 2−5q +2=0，所以 q =2 或 q =12．由 ② 得{a 1=1,q =2 或 {a 1=4,q =1.故 a n =2n−1 或 a n =23−n ．课后练习1. 在等比数列 {a n } 的前 n 项和中，S 1 最小，且 a 1+a n =66，a 2a n−1=128，前 n 项和 S n =126，则 n 为，公比 q 为．2. 已知在等比数列{a n}中，a1+a2=12，a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10=．3. 在等比数列{a n}中，已知a3=4，a7−2a5−32=0，则a7=．4. 已知等比数列{a n}的前n项和S n=x⋅3n−1−16，则x=．5. S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0．则S20S10的值是．6. 已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，12a3，2a2成等差数列，则a11+a13a8+a10=．7. 在等比数列{a n}中，a7⋅a11=6，a4+a14=5，则a20a10=．8. 已知a，b，c成等比数列，x为a，b的等差中项，y为b，c的等差中项，则ax+ cy=9. 已知θ∈(−π6,π6)，在等比数列{a n}中，a1=1，a4=√39tan33θ，若数列{a n}的前2014项和为0，则θ的值为．10. 若{a n}是等比数列，其中a3，a7是方程x2−3kx+2=0的两个根，而且(a3+a7)2= 2a2a8+5那么k的值为．11. 已知数列{a n}为等比数列，a1=1，a2=a，满足a n+1=k(a n+a n+2)对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，则k的值为．12. 等比数列{a n}中，a4a10=16，则a7=．13. 已知数列{a n}满足a n+1=2a n+3a n+4(n∈N∗)，设b n=a n−λa n−μ（n∈N∗，λ，μ为均不等于2的且互不相等的常数），若数列{b n}为等比数列，则λ⋅μ的值为．14. 若数列{a n}是等差数列，首项a1>0，a2009+a2010>0，a2009⋅a2010<0，则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是．15. 已知等比数列{a n}中，公比q>1，且a1+a4=9，a2a3=8，则a2011+a2012a2009+a2010=．16. 正项等比数列{a n}中，a3a11=16，则log2a2+log2a12=．17. 在等比数列{a n}中，a1+a3=9，a2+a4=6，则a4+a6=．18. 记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N∗)，若a m−1⋅a m+1−2a m=0，且T2m−1=128，则正整数m=．19. 已知等比数列{a n}的首项为2，公比为2，则a a n+1a a1⋅a a2⋅a a3⋅⋯a a n=．20. 等比数列{a n}中，若a1=12，a4=−4，则∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣a6∣=．21. 等比数列{a n}满足a3+a4=12，a1a6=32，且公比q>1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若该数列前 n 项和 S n =63，求 n 的值．22. 对于数列 {a n }，已知 a n ={12,n =1−12n 或12n ,n ⩾2，设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和． (1)S 3 的所有可能值组成的集合为；(2)若 S 3n =17(1−18n )，则 a 3n−2+a 3n−1+a 3n = ．23. 已知等比数列 {a n } 中，a 2，a 3，a 4 分别是某等差数列的第 5 项，第 3 项，第 2 项，且 a 1=64，公比 q ≠1． (1)求 a n ；(2)设 b n =log 2a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和的最大值． 24. 在等比数列 {a n } 中， (1)若 q =2，S 4=1，求 S 8；(2)若 a 1+a 3=10，a 4+a 6=54，求 a 4 和 S 5．25. 已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0，其前四项和为 10，且 a 2，a 3，a 7 成等比数列． (1)求通项公式 a n ；(2)设 b n =2a n ，求数列 b n 的前 n 项和 S n ．26. 在下列程序框图中，将 n =1 时的 a 值定义为 a 1，n =2 时的值定义为 a 2，如此类推．(1)写出数列{a n}的递推公式与通项公式；(2)设b n=(2n−1)⋅a n，求{b n}的前n项和T n．(3)求出程序框图的相应输出结果．27. 已知数列{a n}满足a1=12，a n+1={2a n+2n−2,n为奇数−a n−n,n为偶数，b n=a2n，其中n∈N+．(1)求a2+a3的值；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．28. 在数列{a n}中，已知a n=2n（n∈N+）．判断是否存在等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9？若存在，求出数列{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．29. 已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)令b n=x a n(x>0)，求数列{b n}的前n项和（用x表示）．30. 已知 y =f (x ) 是一次函数，且 f (2)，f (5)，f (4) 成等比数列，f (8)=15，求 S n =f (1)+f (2)+⋯+f (n )（n ∈N ∗）的表达式．31. 已知等比数列 {a n } 中，a 3=32，S 3=92，求 a 1 和 q ．32. 在等比数列 {a n } 中，a 1+a 3=10，a 4+a 6=54，求 a 4 和 S 5．33. 已知数列 {a n } 是等比数列，a 2=6，a 5=162，设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ． (1)求数列 {a n } 的通项公式； (2)若 S n =242，求 n ．34. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 2=1，S 11=33． (1)求 {a n } 的通项公式；(2)设 b n =(14)a n．求证：{b n } 是等比数列，并求其前 n 项和 T n ．35. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1=1，a n+1=13S n ，n =1，2，3，⋯．(1)求 a 2，a 3，a 4 的值及数列 {a n } 的通项公式； (2)求 a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1 的值．36. 已知 {a n } 是公差不为零的等差数列，a 1=1，且 a 1，a 3，a 9 成等比数列． (1)求数列 {a n } 的通项公式；(2)设 b n =2a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 S n ． 37. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n =n 2+n ． (1)求数列 {a n } 的通项公式；(2)令 b n =3a n ，求证：数列 {b n } 是等比数列．38. 已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 3=S 3=9． (1)求 {a n } 的通项公式；(2)若等比数列 {b n } 满足 b 1=a 2，b 4=S 4，求 {b n } 的前 n 项和公式．39. 数列 {a n }：满足 a 1=2，a n+1=a n 2+6a n +6(n ∈N ∗)．(1)证明数列 {log 5(a n +3)} 是等比数列； (2)求数列 {a n } 的通项公式； (3)设 b n =1a n −6−1a n 2+6a n，数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，求证：−516⩽T n <−14．40. 给出下面的数表序列：其中表 n (n =1,2,3,…) 有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5,…，2n −1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表 4．(1)验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n⩾3)（不要求证明）．等比数列的概念与性质-出门考姓名成绩1. 在等比数列 {a n } 中，a 1+32a 6=0，a 3a 4a 5=1，则数列的前 6 项和为．2. 已知等比数列 {a n } 的各项均为正数，且 a 1+2a 2=3，a 42=4a 3a 7，则数列 {a n } 的通项公式为．3. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中，若 a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则 a 6= ( )．4. 已知数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ，若 S n =3n−1(n ∈N ∗)，则a 2009+a 2011a 2010的值为．5. 已知数列 a n 满足 a 3=a 2=1,a n+2={2a n ,n 为偶数,a n +1,n 为奇数, 设 T n =a 2+a 3+⋯+a 2n−1，若T n =a 10−1，则 n = ．6. 设 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和，a n >0，若 S 6−2S 3=5，则 S 9−S 6 的最小值为．7. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 4，a 3，a 5 成等差数列，且 S k =33，S k+1=−63，其中 k ∈N ∗，则 S k+2 的值为．8. 已知各项都为正数的等比数列 {a n } 中，a 2⋅a 4=4，a 1+a 2+a 3=14，则满足 a n ⋅a n+1⋅a n+2>19 的最大正整数 n 的值为．9. 已知一个等比数列的前三项的积为 3，最后三项的积为 9，且所有项的积为 243，则该数列的项数为．10. 在等比数列 {a n } 中，若 a 1=12 ， a 4=4 ，则公比 q = ； a 1+a 2+⋯+a n = ．11. 设 {a n } 是公比不为 1 的等比数列，其前 n 项和为 S n ，若 a 4，a 3，a 5 成等差数列，则S 4S 2= ．12. 等比数列 {a n } 中，a 2+a 4+⋯+a 20=6，公比 q =3，则前 20 项和 S 20= ． 13. 首项为 1 ，公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4= ．14. 在等比数列 {a n } 中， a 1=12 ， a 4=−4 ，则公比 q = ； ∣a 1∣+∣a 2∣+⋯+∣a n ∣= ．15. 在等比数列 {a n } 中，若 a 1=−24，a 4=−89，则公比 q = ；当 n = 时，{a n } 的前 n 项积最大．16. 在等比数列 {a n } 中，若 a 1+a 2=30，a 3+a 4=60，则 a 7+a 8= ．17. 已知数列 {a n } 是递增的等比数列，且 a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则 a 6 的值等于．18. 设公比为 q (q >0) 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ．若 S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则 q = ．a n = ．19. 已知等比数列 {a n } 中，a 2=1，则其前 3 项和 S 3 的取值范围是．20. 等比数列前 n 项和 S n =2(13)n +k ，则常数 k 的值为． 21. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，a 1=−1,b 1=1，a 2+b 2=2．(1)若 a 3+b 3=5，求 {b n } 的通项公式；(2)若 T 3=21，求 S 3．22. 设数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n =a 1(3n −1)2，且 a 4=54，求 a 1 的值．23. 已知数列 {a n } 是等比数列，其前 n 项和为 S n ，满足 S 2+a 1=0，a 3=12．(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数 n ，使得 S n >2016 ？若存在，求出符合条件的 n 的最小值；若不存在，说明理由．24. 一个等比数列 {a n } 中，a 1+a 4=133，a 2+a 3=70，求这个数列的通项公式．25. 已知公比为 q 的等比数列 {a n }（n ∈N ∗）中，a 2=2，前三项的和为 7．(1)求数列 {a n } 的通项公式；(2)若 0<q <1，设数列 {b n } 满足 b n =a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n （n ∈N ∗），求使得 0<b n <1 的 n 的最小值．(1)等比数列 {a n } 中，a 1+a n =66，a 2⋅a n−1=128，前 n 项的和 S n =126，求 n 和公比 q ．(2)等比数列 {a n } 中，q =2，S 99=77，求 a 3+a 6+⋯+a 99．27. 已知 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和，S 4，S 2，S 3 成等差数列，且 a 2+a 3+a 4=−18，求数列 {a n } 的通项公式．28. 在正项等比数列 {a n } 中，公比为 q ，b n =√a 1a 2⋯a n n ．求证：{b n } 为等比数列，并求其公比．29. 已知数列 {a n } 满足 a 1=78，且 a n+1=12a n +13，n ∈N ∗． (1)求证：{a n −23} 是等比数列；(2)求数列 {a n } 的通项公式．30. 已知等差数列 {a n } 的公差为 d (d ≠0)，等比数列 {b n } 的公比为 q (q >1)．设 S n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，T n =a 1b 1−a 2b 2+⋯+(−1)n−1a n b n ,n ∈N ∗．(1)若a1=b1=1，d=2，q=3，求S3的值；(2)若b1=1，证明(1−q)S2n−(1+q)T2n=2dq(1−q2n)1−q2，n∈N∗；(3)若正整数n满足2⩽n⩽q，设k1,k2,⋯,k n和l1,l2,⋯,l n是1,2,⋯,n的两个不同的排列，c1=a k1b1+a k2b2+⋯+a knb n，c2=a l1b1+a l2b2+⋯+a lnb n，证明c1≠c2．31. {a n}为首项是正数的等比数列，前n项和S n=80，前2n项和S2n=6560，在前n项中数值最大的项为54，求通项a n．32. 设数列{a n}的前n项和为S n，其中a n≠0，a1为常数，且−a1，S n，a n+1成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1−S n，问：是否存在a1，使数列{b n}为等比数列？若存在．求出a1的值；若不存在，请说明理由．33. 已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2(a1+a4)成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n2n−1}的前n项和为S n，求证：S n<6．34. 等比数列{a n}中，a1+a n=66，a2a n−1=128，前n项和S n=126，求n和公比q．35. 如图，在边长为l的等边三角形ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切，⋯，圆O n+1与圆O n外切，且与AB、BC相切，如此继续，记圆O n的面积为a n，求{a n}的通项公式．36. 在等比数列{a n}中，若a2a6=36，a3+a5=15，求公比q．37. 设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项的和．证明：S n⋅S n+2<S n+12．38. 在等比数列{a n}中，已知a1=1，a2+a3=6，求数列{a n}的通项公式．39. 已知数列{log2(a n−1)}(n∈N∗)为等差数列，且a1=3，a3=9．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2−a1+1a3−a2+⋯+1a n+1−a n<1．40. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=3a n−1−4n+6(n⩾2,n∈N∗)．(1)设b n=a n−2n，求证：{b n}是等比数列．(2)求数列{a n}的前n项和S n．。

高考数学二轮复习专题09 等差数列、等比数列讲学案理-人教版高三全册数学学案

专题09 等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (3)前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －1d2；(4)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n 、m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列 (1)定义式：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1q n －1；(3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1，a 11－q n1－qq ≠1.(4)性质：①a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0.考点一等差数列的运算例、(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】通解：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27a 10＝a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A【解析】通解：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.优解：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.【方法规律】1．通解是寻求a 1与d 的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．2．在等差数列中，当已知a 1和d 时，用S n ＝na 1＋n n －12d 求和．当已知a 1和a n 或者a 1＋a n ＝a 2＋a n －1形式时，常用S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2求解．【变式探究】若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A ．10B ．20C ．30D ．40考点二等比数列的运算例2、【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．【答案】64【解析】通解：求a 1a 2…a n 关于n 的表达式a 2＋a 4a 1＋a 3＝a 1＋a 3·q a 1＋a 3＝510，∴q ＝12∴a 1＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝10，∴a 1＝8∴a 1·a 2·a 3…a n ＝a n1·q n n －12＝8n×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n n －12＝2－n 2＋7n 2当n ＝3或n ＝4时，－n 2＋7n 2最大为6.∴a 1a 2…a n 的最大值为26＝64 优解：利用数列的单调变化设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.(2)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18【答案】C【方法规律】1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【变式探究】等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3【解析】选C.由题意知a 1·a 8＝a 2·a 7＝a 3·a 6＝a 4·a 5＝10，∴数列{lg a n }的前8项和等于lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝4lg(a 4·a 5)＝4lg 10＝4.故选C.考点三数列递推关系的应用例3、(2016·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式． (2)求{b n }的前n 项和．【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法 1．定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数．2．中项公式法：(1)若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； (2)若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．【变式探究】已知等差数列{a n }的公差d ≠0，{a n }的部分项ak 1，ak 2，…，ak n 构成等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解：设等比数列ak 1，ak 2，…，ak n 的公比为q ，因为k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，所以a 1a 17＝a 25，即a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，化简得a 1d ＝2d 2. 又d ≠0，得a 1＝2d ，所以q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝2d ＋4d2d＝3.一方面，ak n 作为等差数列{a n }的第k n 项，有ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝2d ＋(k n －1)d ＝(k n ＋1)d ，另一方面，ak n 作为等比数列的第n 项，有ak n ＝ak 1·q n －1＝a 1·3n －1＝2d ·3n －1，所以(k n ＋1)d ＝2d ·3n －1. 又d ≠0，所以k n ＝2×3n －1－1.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】选A.由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×－22＝－24.故选A.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.【答案】－84．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江文数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．2{}n d 是等差数列【答案】 A3.【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为．【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30TS.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令UE CD =，UF DC =则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C DS S S =+，D F C DS S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.1.【2015高考重庆，文2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .2.【2015高考福建，文8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D3.【2015高考北京，文6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >113a a a ⇒>，选C.【2015高考新课标2，文16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【2015高考广东，文10】在等差数列中，若，则= .【答案】10．【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【2015高考陕西，文13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【2015高考浙江，文3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴da d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【2015高考安徽，文14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-1. 【2014高考北京版文第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C【解析】假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.【考点定位】等差数列的性质.3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．【考点定位】等比数列的通项公式．4. 【2014辽宁高考文第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列.5. 【2014重庆高考文第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6. 【2014天津高考文第11题】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-．【解析】依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式．7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式． 8. 【2014高考广东卷文第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =，因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a e e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++==.【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.【答案】1【解析】∵1351,3,5a a a +++成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++，令11,1a x d y +=+=，则2(4)(2)x x y x y +=+，即222444x xy x xy y +=++，∴0y =，即10d +=，∴1q =.【考点定位】等差、等比数列的性质.10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质，89873a a a a =++，08>a ，又因为0107<+a a ，所以098<+a a所以09<a ，所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大. 【考点定位】等差数列的性质，前n 项和的最值 11. 【2014高考大纲文第18题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）133na n ；（2）()10103n nT n =-．【解析】（1）由已知可得等差数列{}n a 的公差d 为整数．由4n S S ≤可得450,0,a a ≥≤列出不等式组解得d 的范围，从而可确定整数d 的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；1030,1040d d +≥+≤，解得10532d，因此3d ，故数列{}n a 的通项公式为133na n ．（2）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前n 项和． 12. 【2014高考广东文第19题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+.【考点定位】数列的通项13. 【2014高考湖北文第18题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明文由.【答案】（1）2=n a 或24-=n a n . 【解析】【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.。

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0.3 等比数列
【考纲解读】
1．理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．
3.了解等比数列与指数函数的关系．【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有，在解答题中，经常与不等式、函数等知识相结合，在考查数列知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】
1. 定义: 数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.
2.通项公式：a n =a 1q
n －1
，推广形式：a n =a m q
n －m
. 变式：q =m
n m
n a a -（n 、m ∈N *
）. 3.前n 项和S n =⎪⎩
⎪
⎨⎧≠≠--=--=).
10(11)1(),1(111q q q q
a a q q a q na n n 或
注：q ≠1时，m n S S =m n
q
q
--11. 4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac . 5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3q
a 、q a 、aq 、aq 3
为好. 6.证明等比数列的方法：
（1）定义法：只需证n n a a 1+=非零常数；（2）等比中项法：只需a n +12
=a n ·a n +2或n n a a 1+=1
2++n n a a .
【例题精析】
考点一基本量的计算
例1. (黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟)已知等比数列{}n a 中，364718,36.a a a a +=+=若
63
2
n a =
，则n = . 【变式训练】
1. (2011年高考广东卷文科11)已知{}n a 是递增等比数列，4,2342=-=a a a ，则此数列的公比
=q ．
考点二等比数列的性质
例2.（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =
（）
(A)
【变式训练】
2. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ﹡
),且2446=-a a ,6453=a a ,则{a n }的前6项和是 .
【易错专区】
问题：忽略对公比1q =和1q ≠的讨论例.求和2n n S a a a =++
+（0)a ≠.
【课时作业】
1.（2011年高考辽宁卷)若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n
，则公比为（）
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
2.(2012年高考新课标全国卷理科5)已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
3. (山东省威海市2012年3月高三第一次模拟）数列{}n a 中，已知对任意+++∈321*a a ，a N n …,13-=+n n a 则+++2
32
22
1a a a (2)
n a +等于( ) A.(
)
2
13-n
B.
()
192
1-n
C.19-n
D.
()
134
1-n
4．（2010年高考山东卷）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（）（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
5. (2010年高考浙江卷文科5)设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则5
2
S S =（） (A)-11
(B)-8 (C)5
(D)11
6. (东北哈三中等四校2012届高三第二次联考文科)设等比数列{}n a 的公比q ＝2，前n 项和为n S ，则2
4
a S 等于 A. 2
B ．4 C.
215 D. 217
【考题回放】
1. （2012年高考安徽卷文科5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且31116a a =，则5a =（）
（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8
2．(2012年高考北京卷文科6)已知为等比数列，下面结论种正确的是（）
（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）22
23212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
3. (2012年高考湖北卷文科7)定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x ²；②f （x ）=2x
；③；④f （x ）=ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
4.（2012年高考辽宁卷文科14）已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________.
5. (2012年高考广东卷文科12)若等比数列{a n }满足2412
a a =，则2
135a a a = .
6.（2012年高考新课标全国卷文科14）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______
7.(2012年高考重庆卷文科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S =
8. (2012年高考江西卷文科13)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的
都有a n
＋2
＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

9. (2012年高考陕西卷) 已知等比数列{}n a 的公比为q=-1
2
. （1）若
3
a
=1
4
，求数列{}n a 的前n 项和；（Ⅱ）证明：对任意k N +∈，k
a
，
2
k a
+，
1
k a
+成等差数列.。