二次函数中考试题选讲一
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
初三数学09 二次函数-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题09 二次函数一．选择题1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x >时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<【答案】D【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为1x =，再求出抛物线与x 轴的两个交点坐标为(1,0)-和(3,0)，根据开口向上即可判断．【详解】解： 抛物线2223(1)4y x x x =--=--，∴对称轴1x =，顶点坐标为(1,4)-，当0y =时，2(1)40--=x ，解得1x =-或3x =，∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：(1,0)-，(3,0)，∴当110x -<<，212x <<，33x >时，213y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．4-D ．4【答案】B【分析】根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．【详解】解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根，∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y =（x -1）2+5，∵a =1>0，故抛物线开口向上，故A 错误；顶点坐标为（1，5），故B 错误；该函数有最小值，是小值是5，故C 错误；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．4．（2022·山东青岛）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为直线1x =-，且经过点(30)-，，则下列结论正确的是（ ）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=【答案】D【分析】图象开口向下，得a <0， 对称轴为直线12b x a=-=-，得b =2a ，则b <0，图象经过(30)-，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c >0，当x =1时，a +b +c =0，将b =2a 代入，可知3a +c =0．【详解】解：∵图象开口向下，∴a <0，∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴b =2a ，∴b <0，故A 不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)-，，∴图象经过点(1)0，，∴c >0，故B 不符合题意；当x =1时，a +b +c =0，故C 不符合题意；将将b =2a 代入，可知3a +c =0，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可得顶点坐标为(,)h k 即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3y x =+- ，∴顶点坐标为(9,3)--；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A ．y=2x -3B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x -【答案】B【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】∵抛物线y=x 2向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=x 2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.7．（2022·湖北武汉）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2y x =的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度 ④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数2y x =向右平移2个单位长度得到：()22y x =-，把点(2,0)代入得：()2220y =-=，所以该平移方式符合题意；②将二次函数2y x =向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：()211y x =--，把点(2,0)代入得：()22110y =--=，所以该平移方式符合题意；③将二次函数2y x =向下平移4个单位长度得到：24y x =-，把点(2,0)代入得：2240y =-=，所以该平移方式符合题意；④将二次函数2y x =沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：24y x =-+，把点(2,0)代入得：2240y =-+=，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-【答案】A 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标，再分两种情况：0m >或0m <，根据二次函数的性质求得m 的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数2243y mx m x =--，∴对称轴为2x m =，抛物线与y 轴的交点为()0,3-，∵点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，∴①当0m >时，对称轴20x m =>，此时，当4x =时，3y ≤-，即2244433m m ⋅-⋅-≤-，解得m 1≥；②当0m <时，对称轴20x m =<，当04x ≤≤时，y 随x 增大而减小，则当04p x ≤≤时，3p y ≤-恒成立；综上，m 的取值范围是：m 1≥或0m <．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10．（2022·四川宜宾）已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，若以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则a 的取值范围是（ ）A ．13a ≥B ．13a >C ．103a <<D ．103a <≤【答案】A【分析】根据题意，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解： 抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-()222819y ax ax a a x a ∴=--=--顶点坐标为()1,9a -，6AB = ,以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，93a ∴-≤-解得13a ≥故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．11．（2022·山东威海）如图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0【答案】D【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当1x =时，0y a b =+>，故B 选项结论正确，不符合题意，0a < ，0b ∴>，故A 选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为12b x a=-=，2b a ∴=-，20a b a a a ∴+=-=->，故B 选项结论正确，不符合题意；根据图像可知2x =是关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 的一个根，故C 选项结论正确，不符合题意，若点()11,x y ，()22,x y 在二次函数的图像上，当122x x >>时，120y y <<，故D 选项结论不正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．12．（2022·广西）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b >0，再分当a >0，a <0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数(0)b y b x =≠的图象在第一和第三象限内，∴b >0，若a <0，则-2b a >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，故A 、B 、C 、D 选项全不符合；当a >0，则-2b a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，故只有C 、D 两选项可能符合题意，由C 、D 两选图象知，c <0，又∵a >0，则-a <0，当c <0,a >0时，一次函数y =cx -a 图象经过第二、第三、第四象限，故只有D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD 中，∠A =60°，AB =2，AD =1，点E ，F 在▱ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分0≤x ≤1，1<x <2，2≤x ≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x ≤1时，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，∵∠A=60°，AE=AF=x，x，∴AG=12由勾股定理得FG，AE×FG2，图象是一段开口向上的抛物线；∴y=12当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=1，2由勾股定理得DH(DF+AE)×DH∴y=12当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI x)，CF×EI x)22，图象是一段开口向下的抛物线；∴y= AB×DH -12观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．14．（2022·辽宁）如图，在Rt ABC 中，90,24ABC AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 匀速运动，当点P 运动到点B 时，停止运动，过点P 作PQ AB ⊥交AC 于点Q ，将APQ 沿直线PQ 折叠得到A PQ ' ，设动点P 的运动时间为t 秒，A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意易得AP t =，1tan 2A ∠=，则有12PQ t =，进而可分当点P 在AB 中点的左侧时和在AB 中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵90,24ABC AB BC ∠=︒==，∴1tan 2A ∠=，由题意知：AP t =，∴1tan 2PQ AP A t =⋅∠=，由折叠的性质可得：,90A P AP APQ A PQ ''=∠=∠=︒，当点P 与AB 中点重合时，则有2t =，当点P 在AB 中点的左侧时，即02t ≤<，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为211112224A PQ S A P PQ t t t ''=⋅=⋅= ；当点P 在AB 中点的右侧时，即24t ≤≤，如图所示：由折叠性质可得：,90A P AP t APQ A PQ ''==∠=∠=︒，1tan tan 2A A '∠=∠=，∴4BP t =-，∴24A B t '=-，∴tan 2BD A B A t ''=⋅∠=-，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为()()2111324442224PBDQ S BD PQ PB t t t t t ⎛⎫=+⋅=+-⋅-=-+- ⎪⎝⎭梯形；综上所述：能反映A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积S 与t 之间函数关系的图象只有D 选项；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若OAC OCB ∠=∠．则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．12-D ．13-【答案】A 【分析】观察图象，先设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，根据已知条件OAC OCB ∠=∠及OC AB ⊥证明OAC OCB ∽△△，得出21212x x c x x ⋅==-⋅，利用根与系数的关系知12c x x a ⋅=，最后得出答案．【详解】设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，∵二次函数2y ax bx c =++的图象过点(0,)C c ，∴OC c =，∵OAC OCB ∠=∠，OC AB ⊥，∴OAC OCB ∽△△，∴OA OC OC OB=，∴2OC OA OB =⋅，即21212x x c x x ⋅==-⋅，令20ax bx c ++=，根据根与系数的关系知12c x x a ⋅=，∴212c x x c a -=-=，故1ac =- 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠与关于方程20ax bx c ++=(0)a ≠之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点（ ）A ．（2，4）B ．（－2，－4）C ．（－4，2）D ．（4，－2）【答案】A【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （－2，4）代入2y ax =，得()2421a a =-⇒=，∴二次函数解析式为2y x =．∴所给四点中，只有（2，4）满足2y x =．故选A ．17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A ．()221y x =--B ．()223y x =-+ C ．21y x =+ D ．21y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()2211121y x x =-++-=-故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．18．（2022·四川遂宁）如图，D 、E 、F 分别是ABC 三边上的点，其中8BC =，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则DEF 面积的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A 【分析】过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，根据∥DE BC ，证明ADE ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到43DE a =，列出DEF 面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．【详解】如图，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，DE BC ∥，,ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，ADE ABC ∴ ，DE AN BC AM ∴=，86DE a ∴=，∴43DE a =,2211422(6)4(3)622333DEF S DE MN a a a a a ∴=⋅⋅=⨯⨯-=-+=--+ ，∴当3a =时，S 有最大值，最大值为6，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x22224 ()4b c b aca a a-=--⨯=，根据顶点坐标公式，2424ac ba-=-，∴248ac ba-=-，即248b aca-=，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=12，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D ．．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y 轴上的情况．20．（2022·江苏泰州）已知点()()()1233,,1,,1,y y y --在下列某一函数图像上，且312y y y <<那么这个函数是( )A ．3y x=B ．23y x =C ．3y x =D ．3y x=-【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y 1、y 2、y 3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-9，y 2=-3，y 3=3，所以y 1<y 2<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；B ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x 2，解得y 1=27，y 2=3，y 3=3，所以y 1>y 2=y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；C ． 把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-1，y 2=-3，y 3=3，所以y 2<y 1<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；D ． 把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =-3x ，解得y 1=1，y 2=3，y 3=-3，所以312y y y <<，这与已知条件312y y y <<相符，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．21．（2022·广西贺州）已知二次函数y =2x 2−4x −1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y =15时，x 的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y =2x 2-4x -1=2（x -1）2-3，∴抛物线的对称轴为x =1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x =1的右侧，y 随x 的增大而增大，∵当0≤x ≤a 时，即在对称轴右侧，y 取得最大值为15，∴当x =a 时，y =15，∴2（a -1）2-3=15，解得：a =4或a =-2（舍去），故a 的值为4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．22．（2022·内蒙古包头）已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为1x =-，∴1,2b x a=-=- ∴2,b a =故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x =-，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x =-1时，4-+=a b c∴24a a c -+=∴4c a =+，∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1<c <2∴1<4+a <2∴32a -<<-，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴24<0ac b -，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24ax bx c m ++=-有两个不相等的实数根，∴044m <-<∴48m <<，故④错误；由图象可得，当x >-1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b+c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a 、b 、c 的正负即可解答；③将点A 的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a ＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P （1，m ）∴12b a-=，b =-2a ∵a ＜0∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在正半轴∴c ＞0∴abc ＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A （2，1）∴1＝a ·22+2b +c ，即4a +2b +c ＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P （1，m ），且开口方向向下∴x >1时，y 随x 的增大而减小，即④正确；⑤∵a ＜0∴at 2+bt -（a +b ）= at 2-2at -a +2a = at 2-2at +a =a （t 2-2t +1）= a （t -1）2≤0∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A ．②③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x 轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解： y ＝（x ﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；故①符合题意；y ＝（x ﹣2）2﹣9的对称轴为2x =，而3242,-<- 21,y y ∴> 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x +1）2﹣5，故③不符合题意；当0y =时，则()2290,x --= 解得：125,1,x x ==- 而()516,--= 故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x 轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ 的面积为()2cm y ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．【答案】354【分析】根据题意以及函数图像可得出AED APQ ∽，则点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时3x =，则26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，则此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，分别表示出相关线段可得y 与x 之间的函数解析式，将7(s)2x =代入解析式求解即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，在Rt ADE △中，∵90AED ∠=︒，45EAD ∠=︒，∴AE AD =，∵点P /s ，点Q 的速度为2cm /s ，∴,2AP AQ x =，∴AP AQ 在APQ 和AED 中，∵AE AP AD AQ =45A ∠=︒，∴AED APQ ∽，∴点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，∴AP PQ ==，∴当点Q 在AD 上运动时，21122y AP AQ x =⋅==，由图像可知，当9y =此时面积最大，3x =或3-（负值舍去），∴26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，如图：此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，在Rt APQ 中，AP =，45A ∠=︒，∴AF PF x ==，6FD x =-，26QD x =-，∴2111(26)(6)6(26)222APQ S x x x x x =++-⋅--⨯⨯- ，即26y x x =-+，所以当7(s)2x =时，227735(6(cm )224y =-+⨯=，故答案为：354．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．27．（2022·江苏无锡）把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．【答案】m >3【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m -3），根据题意得到不等式m -3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y =x 2+4x +m =(x +2)2+m -4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m -4+1），即（1，m -3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m -3>0，解得：m >3，故答案为：m >3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．28．（2022·福建）已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．【答案】8【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•福建B卷•14分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0.2）.且抛物线上任意不同两点M（x1.y1）.N（x2.y2）都满足：当x1＜x2＜0时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心.OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B.C.且B在C 的左侧.△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行.且M.N位于直线BC的两侧.y1＞y2.解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由A的坐标确定出c的值.根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0.可得出抛物线的增减性.确定出抛物线对称轴为y轴.且开口向下.求出b的值.如图1所示.可得三角形ABC为等边三角形.确定出B 的坐标.代入抛物线解析式即可；（2）①设出点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.由MN与已知直线平行.得到k值相同.表示出直线MN解析式.进而表示出ME.BE.NF.BF.求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等.进而得到BC为角平分线；②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点.得到y轴为BC的垂直平分线.设P为外心.利用勾股定理化简PB2=PM2.确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0.2）.∴c=2.当x1＜x2＜0时.x1﹣x2＜0.由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0.得到y1﹣y2＜0. ∴当x＜0时.y随x的增大而增大.同理当x＞0时.y随x的增大而减小.∴抛物线的对称轴为y轴.且开口向下.即b=0.∵以O为圆心.OA为半径的圆与抛物线交于另两点B.C.如图1所示. ∴△ABC为等腰三角形.∵△ABC中有一个角为60°.∴△ABC为等边三角形.且OC=OA=2.设线段BC与y轴的交点为点D.则有BD=CD.且∠OBD=30°.∴BD=OB•cos30°=.OD=OB•sin30°=1.∵B在C的左侧.∴B的坐标为（﹣.﹣1）.∵B点在抛物线上.且c=2.b=0.∴3a+2=﹣1.解得：a=﹣1.则抛物线解析式为y=﹣x2+2；（2）①由（1）知.点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.∵MN与直线y=﹣2x平行.∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m.则有﹣x12+2=﹣2x1+m.即m=﹣x12+2x1+2.∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2.把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2.解得：x=x1或x=2﹣x1. ∴x2=2﹣x1.即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10.作ME⊥BC.NF⊥BC.垂足为E.F.如图2所示.∵M.N位于直线BC的两侧.且y1＞y2.则y2＜﹣1＜y1≤2.且﹣＜x1＜x2.∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3.BE=x1﹣（﹣）=x1+.NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9.BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1.在Rt△BEM中.tan∠MBE===﹣x1.在Rt△BFN中.tan∠NBF=====﹣x1.∵tan∠MBE=tan∠NBF.∴∠MBE=∠NBF.则BC平分∠MBN；②∵y轴为BC的垂直平分线.∴设△MBC的外心为P（0.y0）.则PB=PM.即PB2=PM2.根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2.∵x12=2﹣y2.∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2.即y0=y1﹣1.由①得：﹣1＜y1≤2.∴﹣＜y0≤0.则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．【点评】此题属于二次函数综合题.涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式.二次函数的图象与性质.锐角三角函数定义.勾股定理.熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2.（2018•广东•9分）如图.已知顶点为C（0.﹣3）的抛物线y=ax2+b （a≠0）与x轴交于A.B两点.直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M.使得∠MCB=15°？若存在.求出点M的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）把C（0.﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标.再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0.﹣3）代入y=x+m.可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3.所以点B的坐标为（3.0）.将（0.﹣3）、（3.0）代入y=ax2+b中.可得：.解得：.所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；（3）存在.分以下两种情况：①若M在B上方.设MC交x轴于点D.则∠ODC=45°+15°=60°.∴OD=OC•tan30°=.设DC为y=kx﹣3.代入（.0）.可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M1（3.6）；②若M在B下方.设MC交x轴于点E.则∠OEC=45°﹣15°=30°.∴OE=OC•tan60°=3.设EC为y=kx﹣3.代入（3.0）可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M2（.﹣2）.综上所述M的坐标为（3.6）或（.﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题.需要掌握待定系数法求二次函数解析式.待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．3.（2018•广西贵港•11分）如图.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1.0）.B（3.0）两点.与y轴相交于点C（0.﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点.PH⊥x轴于点H.与BC交于点M.连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时.求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法.可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标.可得二次函数.根据二次函数的性质.可得答案；②根据等腰三角形的定义.可得方程.根据解方程.可得答案．【解答】解：（1）将A.B.C代入函数解析式.得.解得.这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析是为y=kx+b.将B.C的坐标代入函数解析式.得.解得.BC的解析是为y=x﹣3.设M（n.n﹣3）.P（n.n2﹣2n﹣3）.PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+.当n=时.PM最大=；②当PM=PC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣（不符合题意.舍）.n3=. n2﹣2n﹣3=2﹣2﹣3=﹣2﹣1.P（.﹣2﹣1）．当PM=MC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣7（不符合题意.舍）.n3=1.n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4.P（1.﹣4）；综上所述：P（1.﹣4）或（.﹣2﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题.解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式.解（2）①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数.又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程.要分类讨论.以防遗漏．4.（2018•贵州黔西南州•14分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x 之间的关系如图1所示.成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段.图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低.此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜.每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4.5两个月的总收益为22万元.且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克.求4.5两个月的销售量分别是多少万千克？【分析】（1）找出当x=6时.y1.y2的值.二者做差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标.利用待定系数法即可求出y1.y2关于x 的函数关系式.二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时.y1﹣y2的值.设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克.根据总利润=每千克利润×销售数量.即可得出关于t的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）当x=6时.y1=3.y2=1.∵y1﹣y2=3﹣1=2.∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y1=mx+n.y2=a（x﹣6）2+1．将（3.5）、（6.3）代入y1=mx+n..解得：.∴y1=﹣x+7；将（3.4）代入y2=a（x﹣6）2+1.4=a（3﹣6）2+1.解得：a=.∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．∵﹣＜0.∴当x=5时.y1﹣y2取最大值.最大值为.即5月份出售这种蔬菜.每千克的收益最大．（3）当t=4时.y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克. 根据题意得：2t+（t+2）=22.解得：t=4.∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克.5月份的销售量为6万千克．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用.解题的关键是：（1）观察函数图象.找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标.利用待定系数法求出y1.y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系.正确列出一元一次方程．5.（2018•贵州铜仁•14分）如图.已知抛物线经过点A（﹣1.0）.B （4.0）.C（0.2）三点.点D与点C关于x轴对称.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为（m.0）.过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q.交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0.）.当点P在x轴上运动时.试求m为何值时.四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中.是否存在点Q.使得以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在.求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2.则Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF.据此列出关于m的方程.解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB.故分①∠DOB=∠MBQ=90°.利用△DOB∽△MBQ 得==.再证△MBQ∽△BPQ得=.即=.解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.易得点Q坐标．【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1.0）、B（4.0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4）.将点C（0.2）代入.得：﹣4a=2.解得：a=﹣.则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0.﹣2）.设直线BD解析式为y=kx+b.将B（4.0）、D（0.﹣2）代入.得：.解得：.∴直线BD解析式为y=x﹣2.∵QM⊥x轴.P（m.0）.∴Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4.∵F（0.）、D（0.﹣2）.∴DF=.∵QM∥DF.∴当﹣m2+m+4=时.四边形DMQF是平行四边形. 解得：m=﹣1（舍）或m=3.即m=3时.四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF.∴∠ODB=∠QMB.分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时.△DOB∽△MBQ.则===.∵∠MBQ=90°.∴∠MBP+∠PBQ=90°.∵∠MPB=∠BPQ=90°.∴∠MBP+∠BMP=90°.∴∠BMP=∠PBQ.∴△MBQ∽△BPQ.∴=.即=.解得：m1=3.m2=4.当m=4时.点P、Q、M均与点B重合.不能构成三角形.舍去.∴m=3.点Q的坐标为（3.2）；②当∠BQM=90°时.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.此时m=﹣1.点Q的坐标为（﹣1.0）；综上.点Q的坐标为（3.2）或（﹣1.0）时.以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．6.（2018•海南•15分）如图1.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1.0）和点B（3.0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2.该抛物线与y轴交于点C.顶点为F.点D（2.3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A.B重合）.过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q.连接AQ、DQ.当△AQD是直角三角形时.求出所有满足条件的点Q的坐标．【分析】（1）由A.B两点的坐标.利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①连接CD.则可知CD∥x轴.由A.F的坐标可知F、A到CD的距离.利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积.则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角.则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.当∠ADQ=90°时.可先求得直线AD解析式.则可求出直线DQ解析式.联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.则可用t表示出k′.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可表示出k2.由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程.可求得t的值.即可求得Q点坐标．【解答】解：（1）由题意可得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴F（1.4）.∵C（0.3）.D（2.3）.∴CD=2.且CD∥x轴.∵A（﹣1.0）.∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上.∴∠DAQ不可能为直角.∴当△AQD为直角三角形时.有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.i．当∠ADQ=90°时.则DQ⊥AD.∵A（﹣1.0）.D（2.3）.∴直线AD解析式为y=x+1.∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′.把D（2.3）代入可求得b′=5.∴直线DQ解析式为y=﹣x+5.联立直线DQ和抛物线解析式可得.解得或. ∴Q（1.4）；ii．当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.把A.Q坐标代入可得.解得k1=﹣（t﹣3）.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可求得k2=﹣t.∵AQ⊥DQ.∴k1k2=﹣1.即t（t﹣3）=﹣1.解得t=.当t=时.﹣t2+2t+3=.当t=时.﹣t2+2t+3=.∴Q点坐标为（.）或（.）；综上可知Q点坐标为（1.4）或（.）或（.）．【点评】本题为二次函数的综合应用.涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用.在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形.在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多.综合性较强.难度适中．7.（2018•贵州遵义•14分）在平面直角坐标系中.二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点C（0.2）和点D（4.﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①.若点M是二次函数图象上的点.且在直线CE的上方.连接MC.OE.ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②.经过A.B.C三点的圆交y轴于点F.求点F的坐标．【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值.确定出二次函数解析式.与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴.与直线CE交于点H.四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大.构造出二次函数求出最大值.并求出此时M坐标即可；（3）令y=0.求出x的值.得出A与B坐标.由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似.由相似得比例求出OF的长.即可确定出F坐标．【解答】解：（1）把C（0.2）.D（4.﹣2）代入二次函数解析式得：.解得：.即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2.联立一次函数解析式得：.消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2.解得：x=0或x=3.则E（3.1）；（2）如图①.过M作MH∥y轴.交CE于点H.设M（m.﹣m2+m+2）.则H（m.﹣m+2）.∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m.S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3.当m=﹣=时.S最大=.此时M坐标为（.3）；（3）连接BF.如图②所示.当﹣x2+x+20=0时.x1=.x2=.∴OA=.OB=.∵∠ACO=∠ABF.∠AOC=∠FOB.∴△AOC∽△FOB.∴=.即=.解得：OF=.则F坐标为（0.﹣）．8．（2018年湖南省娄底市）如图.抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）.D是抛物线的顶点.E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式.并写出D点的坐标；（2）F（x.y）是抛物线上的动点：①当x＞1.y＞0时.求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时.求点F的坐标．【分析】（1）根据点A.B.C的坐标.利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.根据点B.D的坐标.利用待定系数法可求出直线BD的解析式.根据点F的坐标可得出点M的坐标.利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.则∠AEF1=∠DBE.∠AEF2=∠DBE.根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式.联立直线EF1.抛物线的解析式成方程组.通过解方程组即可求出点F1的坐标.同理可求出点F2的坐标.此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）代入y=ax2+bx+c..解得：.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1.4）．（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）.将（3.0）、（1.4）代入y=mx+n..解得：.∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x.﹣x2+2x+3）.∴点M的坐标为（x.﹣2x+6）.∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3.∴S△BDF=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∵﹣1＜0.∴当x=2时.S△BDF取最大值.最大值为1．②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.如图2所示．∵EF1∥BD.∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′.EO⊥NN′.∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点.A（﹣1.0）.B（3.0）.∴点E的坐标为（1.0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1.将E（1.0）代入y=﹣2x+b1.﹣2+b1=0.解得：b1=2.∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F1的坐标为（2﹣.2﹣2）．当x=0时.y=﹣2x+2=2.∴点N的坐标为（0.2）.∴点N′的坐标为（0.﹣2）．同理.利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F2的坐标为（﹣.﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时.点F的坐标为（2﹣.2﹣2）或（﹣.﹣2﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值.解题的关键是：（1）根据点的坐标.利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组.通过解方程组求出点F的坐标．9．(2018湖南省邵阳市)（10分）如图所示.将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折.然后向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B.和x轴的交点为点C.D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形.求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点.点N是△ABC三边上的动点.是否存在以AM为斜边的Rt△AMN.使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在.求tan∠MAN的值；若不存在.请说明理由．【分析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2.然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1.0）.解方程﹣x2+4=0得D （﹣2.0）.C（2.0）易得B（0.4）.列举出所有的三角形.再计算出AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.讨论：①当N点在AC上.如图1.利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.求出AN=1.MN=4.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时.计算出AN=2.MN=2.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上.如图2.先利用面积法计算出AN=.再根据三角形面积公式计算出MN=.然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.利用勾股定理可计算出BH=.证明△BNM∽△BHA.利用相似比可得到MN=.利用三角形面积公式得到•（﹣t）•=2.根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件.从而得到tan∠MAN的值为1或4或．【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折.得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得y=﹣x2+4. ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2.∴A（﹣1.0）.当y=0时.﹣x2+4=0.解得x=±2.则D（﹣2.0）.C（2.0）；当x=0时.y=﹣x2+4=4.则B（0.4）.从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB.△ADB.△CDB.∵AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.∴△BCD为等腰三角形.∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；（3）存在．易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=AC•OB=×3×4=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.①当N点在AC上.如图1.∴△AMN的面积为△ABC面积的.∴（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.M点的坐标为（0.4）.N（0.0）.则AN=1.MN=4.∴tan∠MAC===4；当m=1时.M点的坐标为（1.2）.N（1.0）.则AN=2.MN=2.∴tan∠MAC==；②当N点在BC上.如图2.BC==2.∵BC•AN=AC•BC.解得AN==.∵S△AMN=AN•MN=2.∴MN==.∴∠MAC===；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.则BH==.∵∠NBG=∠HBA.∴△BNM∽△BHA.∴=.即=.∴MN=.∵AN•MN=2.即•（﹣t）•=2.整理得3t2﹣3t+14=0.△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0.方程没有实数解.∴点N在AB上不符合条件.综上所述.tan∠MAN的值为1或4或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律.会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.记住两点间的距离公式.会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲1.（2018•湖州•6分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.求a.b的值．【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.可以求得A.b的值.本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）. ∴.解得..即a的值是1.b的值是﹣2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解答本题的关键是明确题意.利用二次函数的性质解答．2.（2018•金华、丽水•10分）如图.抛物线（a≠0）过点E（10.0）.矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边）.点 C . D在抛物线上．设A（t. 0）.当t=2时.AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时.矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动.向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G . H . 且直线GH平分矩形的面积时.求抛物线平移的距离．【解析】【分析】（1）抛物线中有两个字母a,b未知.则需要两个点的坐标.E点已知.由当t=2时.AD=4.可得D的坐标.由待定系数法代入求出a.b的值即可；（2）求矩形ABCD的周长最大值.可以联系到二次函数在求最值中的应用.因为矩形ABCD的周长随着t的变化而变化.不妨用t的代数式表示出矩形ABCD的周长.再运用二次函数求最值的方法去做；（3）因为矩形ABCD是中心对称图形.设其中心为点P.所以只要GH经过该矩形的中心即可；先理清抛物线在平移时抛物线与矩形ABCD边的交点位置.一开始.抛物线从D开始出发.与线段CD和AD有交点.而过这两个交点的直线必不经过点P.同样这两个交点分别在BC和AB上时.也不经过点P.则可得出当G.H分别在线段AB和CD上时.存在这样的直线经过点P.从而根据平移的性质得出结果即可。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2.（2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．3. （2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．4. （2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．5. （2018•达州•7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中.因此.越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时.以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变.按（1）中的标价出售.该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元.每月可多售出3辆.求该型号自行车降价多少元时.每月获利最大？最大利润是多少？【分析】（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8﹣8x.将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x﹣100）×7﹣7x.根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.再解方程即可得到进价.进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式.再利用配方法求最值即可．【解答】解：（1）设进价为x元.则标价是1.5x元.由题意得：1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x.解得：x=1000.1.5×1000=1500（元）.答：进价为1000元.标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元.利润为w元.由题意得：w=（51+×3）（1500﹣1000﹣a）.=﹣（a﹣80）2+26460.∵﹣＜0.∴当a=80时.w最大=26460.答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大.最大利润是26460元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用.以及元一次方程的应用.关键是正确理解题意.根据已知得出w与a的关系式.进而求出最值．6.（2018•上海•12分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1.0）和点B（0.）.顶点为C.点D在其对称轴上且位于点C下方.将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移.使其顶点C移到原点O的位置.这时点P落在点E的位置.如果点M在y轴上.且以O、D.E.M为顶点的四边形面积为8.求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+.则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.根据旋转性质得∠PDC=90°.DP=DC=t.则P（2+t.﹣t）.然后把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程.从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时.利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8.然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1.0）和点B（0.）代入y=﹣x2+bx+c得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+.∴C（2.）.抛物线的对称轴为直线x=2.如图.设CD=t.则D（2.﹣t）.∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°.点C落在抛物线上的点P处.∴∠PDC=90°.DP=DC=t.∴P（2+t.﹣t）.把P（2+t.﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t. 整理得t2﹣2t=0.解得t1=0（舍去）.t2=2.∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4.）.D点坐标为（2.）.∵抛物线平移.使其顶点C（2.）移到原点O的位置.∴抛物线向左平移2个单位.向下平移个单位.而P点（4.）向左平移2个单位.向下平移个单位得到点E.∴E点坐标为（2.﹣2）.设M（0.m）.当m＞0时.•（m++2）•2=8.解得m=.此时M点坐标为（0.）；当m＜0时.•（﹣m++2）•2=8.解得m=﹣.此时M点坐标为（0.﹣）；综上所述.M点的坐标为（0.）或（0.﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2018•达州•12分）如图.抛物线经过原点O（0.0）.点A（1.1）.点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA.过点A作AC⊥OA交抛物线于C.连接OC.求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点.连接OM.过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M.使以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似.若存在.求出点M的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣）.然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）延长CA交y轴于D.如图1.易得OA=.∠DOA=45°.则可判断△AOD 为等腰直角三角形.所以OD=OA=2.则D（0.2）.利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2.再解方程组得C（5.﹣3）.然后利用三角形面积公式.利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；（3）如图2.作MH⊥x轴于H.AC=4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.根据三角形相似的判定.由于∠OHM=∠OAC.则当=时.△OHM∽△OAC.即=；当=时.△OHM∽△CAO.即=.则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标.由于△OMH∽△ONM.所以求得的M点能以点O.M.N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）.把A（1.1）代入得a•1（1﹣）=1.解得a=﹣.∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）.即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D.如图1.∵A（1.1）.∴OA=.∠DOA=45°.∴△AOD为等腰直角三角形.∵OA⊥AC.∴OD=OA=2.∴D（0.2）.易得直线AD的解析式为y=﹣x+2.解方程组得或.则C（5.﹣3）.∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2.作MH⊥x轴于H.AC==4.OA=.设M（x.﹣x2+x）（x＞0）.∵∠OHM=∠OAC.∴当=时.△OHM∽△OAC.即=.解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去）.x2=﹣（舍去）.解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点坐标为（.﹣54）；当=时.△OHM∽△CAO.即=.解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去）.x2=.此时M点的坐标为（.）. 解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去）.x2=﹣.此时M点坐标为（.﹣）；∵MN⊥OM.∴∠OMN=90°.∴∠MON=∠HOM.∴△OMH∽△ONM.∴当M点的坐标为（.﹣54）或（.）或（.﹣）时.以点O.M.N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式.会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7. （2018•遂宁•12分）如图.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.且与x轴相交于A.B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A.B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B.C两点之间的一个动点（不与B.C重合）.则是否存在一点P.使△PBC的面积最大．若存在.请求出△PBC的最大面积；若不存在.试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点.过点M作y轴的平行线.交直线BC于点N.当MN=3时.求M点的坐标．【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3.利用二次函数的性质即可求出a值.进而可得出抛物线的解析式.再利用二次函数图象上点的坐标特征.即可求出点A.B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B.C的坐标.利用待定系数法即可求出直线BC的解析式.假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.PD=﹣x2+2x.利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x 的函数关系式.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）.进而可得出MN=|﹣m2+2m|.结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3.∴﹣=3.解得：a=﹣.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时.﹣x2+x+4=0.解得：x1=﹣2.x2=8.∴点A的坐标为（﹣2.0）.点B的坐标为（8.0）．（2）当x=0时.y=﹣x2+x+4=4.∴点C的坐标为（0.4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8.0）、C（0.4）代入y=kx+b..解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在.设点P的坐标为（x.﹣x2+x+4）.过点P作PD∥y轴.交直线BC于点D.则点D的坐标为（x.﹣x+4）.如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x.∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0.∴当x=4时.△PBC的面积最大.最大面积是16．∵0＜x＜8.∴存在点P.使△PBC的面积最大.最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m.﹣m2+m+4）.则点N的坐标为（m.﹣m+4）. ∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3.∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时.有﹣m2+2m﹣3=0.解得：m1=2.m2=6.∴点P的坐标为（2.6）或（6.4）；当m＜0或m＞8时.有﹣m2+2m+3=0.解得：m3=4﹣2.m4=4+2.∴点P的坐标为（4﹣2.﹣1）或（4+2.﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2.﹣1）、（2.6）、（6.4）或（4+2.﹣﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积.解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度.找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．8.（2018•资阳•12分）已知：如图.抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0.6）.B（6.0）.C（﹣2.0）.点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时.△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线.交线段AB于点D.再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E.连结DE.请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM.先求出直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）.则N（t.﹣t+6）.由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+ PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式.利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO.据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°.结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.从而得出点E与点A 重合.求出y=6时x的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6.0）、C（﹣2.0）.∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）.将点A（0.6）代入.得：﹣12a=6.解得：a=﹣.所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1.过点P作PM⊥OB与点M.交AB于点N.作AG⊥PM于点G.设直线AB解析式为y=kx+b.将点A（0.6）、B（6.0）代入.得：.解得：.则直线AB解析式为y=﹣x+6.设P（t.﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6.则N（t.﹣t+6）.∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t. ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+.∴当t=3时.△PAB的面积有最大值；（3）如图2.∵PH⊥OB于H.∴∠DHB=∠AOB=90°.∴DH∥AO.∵OA=OB=6.∴∠BDH=∠BAO=45°.∵PE∥x轴、PD⊥x轴.∴∠DPE=90°.若△PDE为等腰直角三角形.则∠EDP=45°.∴∠EDP与∠BDH互为对顶角.即点E与点A重合.则当y=6时.﹣x2+2x+6=6.解得：x=0（舍）或x=4.即点P（4.6）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题.解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．9.（2018•乌鲁木齐•10分）在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过点A（﹣2.0）.B（8.0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点.连接BC.设点P是抛物线上在第一象限内的点.PD⊥BC.垂足为点D．①是否存在点P.使线段PD的长度最大？若存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；②当△PDC与△COA相似时.求点P的坐标．【分析】（1）直接把点A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组.解出可得结论；（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.作辅助线.先说明Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.则当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.表示PE的长.配方后可得PE的最大值.从而得PD的最大值；②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°.则△COA∽△BOC.所以当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.分两种情况：（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.分别求得P的坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2.0）.B（8.0）代入抛物线y=﹣ x2+bx+c. 得： .解得： .∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+4；（3分）（2）由（1）知C（0.4）.∵B（8.0）.易得直线BC的解析式为：y=﹣ x+4.①如图1.过P作PG⊥x轴于G.PG交BC于E.Rt△BOC中.OC=4.OB=8.∴BC= =4 .在Rt△PDE中.PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= PE.∴当线段PE最长时.PD的长最大.设P（t. ）.则E（t. ）.∴PG=﹣ .EG=﹣ t+4.∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+2t=﹣（t﹣4）2+4.（0＜t＜8）. 当t=4时.PE有最大值是4.此时P（4.6）.∴PD= = .即当P（4.6）时.PD的长度最大.最大值是；（7分）②∵A（﹣2.0）.B（8.0）.C（0.4）.∴OA=2.OB=8.OC=4.∴AC2=22+42=20.AB2=（2+8）2=100.BC2=42+82=80.∴AC2+BC2=AB2.∴∠ACB=90°.∴△COA∽△BOC.当△PDC与△COA相似时.就有△PDC与△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等.∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.（I）若∠PCD=∠CBO时.即Rt△PDC∽Rt△COB.此时CP∥OB.∵C（0.4）.∴yP=4.∴）=4.解得：x1=6.x2=0（舍）.即Rt△PDC∽Rt△COB时.P（6.4）；（II）若∠PCD=∠BCO时.即Rt△PDC∽Rt△BOC.如图2.过P作x轴的垂线PG.交直线BC于F.∴PF∥OC.∴∠PFC=∠BCO.∴∠PCD=∠PFC.∴PC=PF.设P（n. + n+4）.则PF=﹣ +2n.过P作PN⊥y轴于N.Rt△PNC中.PC2=PN2+CN2=PF2.∴n2+（ + n+4﹣4）2=（﹣ +2n）2.解得：n=3.即Rt△PDC∽Rt△BOC时.P（3. ）；综上所述.当△PDC与△COA相似时.点P的坐标为（6.4）或（3. ）．（12分）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会根据方程解决问题.属于中考压轴题．10. （2018•临安•8分）如图.△OAB是边长为2+的等边三角形.其中O 是坐标原点.顶点B在y轴正方向上.将△OAB折叠.使点A落在边OB上.记为A′.折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时.求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴.且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时.求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动.但不与点O、B重合时.能否使△A′EF成为直角三角形？若能.请求出此时点A′的坐标；若不能.请你说明理由．【分析】（1）当A′E∥x轴时.△A′EO是直角三角形.可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E.由于A′E=AE.且A′E+OE=OA=2+.由此可求出OA′的长.也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′.E点的坐标代入抛物线中.即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A.因此∠FA′E不可能为直角.因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°.根据折叠的性质.∠A′EF=∠AEF=90°.此时A′与O重合.与题意不符.因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°.同①.可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下.△A′EF不可能成为直角三角形．【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°.A′E=AE.由A′E∥x轴.得△OA′E是直角三角形.设A′的坐标为（0.b）.AE=A′E=b.OE=2b.b+2b=2+.所以b=1.A′、E的坐标分别是（0.1）与（.1）．（2）因为A′、E在抛物线上.所以.所以.函数关系式为y=﹣x2+x+1.由﹣x2+x+1=0.得x1=﹣.x2=2.与x轴的两个交点坐标分别是（.0）与（.0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60°.若△A′EF成为直角三角形.只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°.利用对称性.则∠AEF=90°.A.E.A三点共线.O与A重合.与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点.综合性较强．。
初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)
初中数学二次函数题型精讲一,填空题1, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．2,（2018•江苏淮安•3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2 ．【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,再根据点平移的规律得到点（0,﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,把点（0,﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0,2）,所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式．3,（2018•江苏苏州•3分）如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E 在一条直线上,∠DAP=60°．M,N分别是对角线AC,BE的中点．当点P 在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为2（结果留根号）．【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD,四边形PBFE是菱形,∠DAP=60°.∴∠APC=120°,∠EPB=60°.∵M,N分别是对角线AC,BE的中点.∴∠CPM=∠APC=60°,∠EPN=∠EPB=30°,∴∠MPN=60°+30°=90°.设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）.∴MN===.∴a=3时,MN有最小值,最小值为2.故答案为2．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题．4, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．5, （2018•湖州•4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形,则b的值是﹣2 ．【分析】根据正方形的性质结合题意,可得出点B的坐标为（﹣,﹣）,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程,解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形.∴点B的坐标为（﹣,﹣）．∵抛物线y=ax2过点B.∴﹣=a（﹣）2.解得：b1=0（舍去）,b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质,利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于b的方程是解题的关键．6, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（﹣2,4）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【解答】解：∵y=2（x+2）2+4.∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2,4）.故答案为：（﹣2,4）．【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．7,（2018•福建A卷•4分）如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B 两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 6 ．【分析】根据双曲线y=过A,B两点,可设A（a,）,B（b,）,则C （a,）．将y=x+m代入y=,整理得x2+mx﹣3=0,由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,所以A,b是方程x2+mx﹣3=0的两个根,根据根与系数的关系得出a+b=﹣m,ab=﹣3,那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC•BC=m2+6,利用二次函数的性质即可求出当m=0时,△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a,）,B（b,）,则C（a,）．将y=x+m代入y=,得x+m=.整理,得x2+mx﹣3=0.则a+b=﹣m,ab=﹣3.∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC•BC=（﹣）（a﹣b）=••（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6.∴当m=0时,△ABC的面积有最小值6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征,根与系数的关系,三角形的面积,二次函数的性质．8．（2018•贵州黔西南州•3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …【分析】根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴,再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点.∴对称轴x==1；点（﹣1,0）关于对称轴对称点为（3,0）.因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．故答案为：（3,0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,关键是熟练掌握二次函数的对称性．9,（2018•贵州遵义•4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为．【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置,再求出AO,CO的长,进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接AC,交对称轴于点P.则此时PC+PB最小.∵点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点.∴DE=PC,DF=PB.∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.∴0=x2+2x﹣3解得：x1=﹣3,x2=1.x=0时,y=3.故CO=3.则AO=3,可得：AC=PB+PC=3.故DE+DF的最小值为：．故答案为：．10, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．二,解答题1, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出．如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时,这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然,当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n,利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量,根据x的取值范围列出有关x的二次函数,求得最值比较可得．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b.∵经过点（0,168）与（180,60）.∴,解得：.∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意,可得当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n.∵直线y2=mx+n经过点（50,70）与（130,54）.∴,解得.∴当50＜x＜130时,y2=﹣x+80．综上所述,生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时,获得的利润为W元.①当0≤x≤50时,W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+. ∴当x=50时,W的值最大,最大值为3400；②当50＜x＜130时,W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840.∴当x=110时,W的值最大,最大值为4840；③当130≤x≤180时,W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415. ∴当x=130时,W的值最大,最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时,获得的利润最大,最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．2, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A,B,D的坐标分别为（,0）, （3,0）, （,）；（2）如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时,求t的取值范围；（3）如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m,分m ＜或m＞3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解．【解答】解：（1）当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0.解得：x1=,x2=3.∴点A的坐标为（,0）,点B的坐标为（3,0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+.∴点D的坐标为（,）．故答案为：（,0）；（3,0）；（,）．（2）∵点E,点D关于直线y=t对称.∴点E的坐标为（,2t﹣）．当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1.∴点C的坐标为（0,﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b.将B（3,0）、C（0,﹣1）代入y=kx+b.,解得：.∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界）.∴.解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时,y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时,y=x2﹣x+1．假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时,点Q的坐标为（m,﹣x2+x﹣1）（如图1）. ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2. 整理,得：m1=,m2=.∴点P的坐标为（,0）或（,0）；②当≤m≤3时,点Q的坐标为（m,x2﹣x+1）（如图2）.∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2. 整理,得：11m2﹣28m+12=0.解得：m3=,m4=2.∴点P的坐标为（,0）或（1,0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为（,0）、（,0）、（1,0）或（,0）．【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及解一元二次方程,解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合点E在△ABC内,找出关于t 的一元一次不等式组；（3）分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况,找出关于m的一元二次方程．3, （2018·湖北随州·11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”,某工厂接到一批纪念品生产订单,按要求在15天内完成,约定这批纪念品的出厂价为每件20元,设第x天（1≤x≤15,且x为整数）每件产品的成本是p元,p与x之间符合一次函数关系,部分数据如表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7,5 8,5 10 12任务完成后,统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x （天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值,则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b.,解得,.即p与x的函数关系式为p=0,5x+7（1≤x≤15,x为整数）.当1≤x＜10时.W=[20﹣（0,5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260.当10≤x≤15时.W=[20﹣（0,5x+7）]×40=﹣20x+520.即W=；（2）当1≤x＜10时.W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324.∴当x=8时,W取得最大值,此时W=324.当10≤x≤15时.W=﹣20x+520.∴当x=10时,W取得最大值,此时W=320.∵324＞320.∴李师傅第8天创造的利润最大,最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时.令﹣x2+16x+260=299,得x1=3,x2=13.当W＞299时,3＜x＜13.∵1≤x＜10.∴3＜x＜10.当10≤x≤15时.令W=﹣20x+520＞299,得x＜11,05.∴10≤x≤11.由上可得,李师傅获得奖金的月份是4月到11月,李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元）.即李师傅共可获得160元奖金．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解不等式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答．4, （2018·湖北随州·12分）如图1,抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a ＜0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1,0）,点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标；（2）如图2,将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值：（3）在（2）的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M 作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标：若不存在,请说明理由．【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A,C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）,代入所设解析式求解可得；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）,根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x 的值从而进一步求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1,0）.∴OA=1.∴OC=3OA.∴点C的坐标为（0,3）.将A,C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得：.解得：.∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.所以点G的坐标为（1,4）．（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k.过点G′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m.∵△A′B′G′为等边三角形.∴G′D=B′D=m.则点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）.将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,得：.解得：（舍）,.∴k=1；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）. ∴PQ=OA=1.∵∠AOQ、∠PQN均为钝角.∴△AOQ≌△PQN.如图2,延长PQ交直线y=﹣1于点H.则∠QHN=∠OMQ=90°.又∵△AOQ≌△PQN.∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN.∴∠MOQ=∠HQN.∴△OQM≌△QNH（AAS）.∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1.解得：x=（负值舍去）.当x=时,HN=QM=﹣x2+2x+2=,点M（,0）. ∴点N坐标为（+,﹣1）,即（,﹣1）；或（﹣,﹣1）,即（1,﹣1）；如图3.同理可得△OQM≌△PNH.∴OM=PH,即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1.解得：x=﹣1（舍）或x=4.当x=4时,点M的坐标为（4,0）,HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6.∴点N的坐标为（4+6,﹣1）即（10,﹣1）,或（4﹣6,﹣1）即（﹣2,﹣1）；综上点M1（,0）、N1（,﹣1）；M2（,0）、N2（1,﹣1）；M3（4,0）、N3（10,﹣1）；M4（4,0）、N4（﹣2,﹣1）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．5, （2018·湖北襄阳·10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售．在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m= ﹣,n= 25 ；（2）求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；（2）在（1）的基础上分段表示利润,讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数．【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m解得m=﹣当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n则n=25故答案为：m=﹣,n=25（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16当1≤x＜20时W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968 ∴当x=18时,W最大=968当20≤x≤30时,W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112∵28＞0∴W随x的增大而增大∴当x=30时,W最大=952∵968＞952∴当x=18时,W最大=968（3）当1≤x＜20时,令﹣2x2+72x+320=870解得x1=25,x2=11∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下∴11≤x≤25时,W≥870∴11≤x＜20∵x为正整数∴有9天利润不低于870元当20≤x≤30时,令28x+112≥870解得x≥27∴27≤x≤30∵x为正整数∴有3天利润不低于870元∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用,应用了分类讨论的数学思想．6, （2018·湖南郴州·10分）如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x 轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．（3）如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A,B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC 的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1,0）、B（3,0）代入y=﹣x2+bx+c.,解得：.∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E.∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点.∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.∴点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）.∴点M的坐标为（1,6）；当t≠2时,不存在,理由如下：若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE.∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0.∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2.∴不存在．（3）①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）.将B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n.,解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t,﹣t2+2t+3）.∴点F的坐标为（t,﹣t+3）.∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t.∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0.∴当t=时,S取最大值,最大值为．∵点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）.∴线段BC==3.∴P点到直线BC的距离的最大值为=,此时点P的坐标为（,）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是：（1）由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．7, （2018·湖南怀化·14分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1,0）B（3,0）两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3）,展开得到﹣2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0,3）,然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1,4）,作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣x+3,再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）.即y=ax2﹣2ax﹣3a.∴﹣2a=2,解得a=﹣1.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C（0,3）.设直线AC的解析式为y=px+q.把A（﹣1,0）,C（0,3）代入得,解得.∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1,4）.作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）.∵MB=MB′.∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小.而BD的值不变.∴此时△BDM的周长最小.易得直线DB′的解析式为y=x+3.当x=0时,y=x+3=3.∴点M的坐标为（0,3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2.∵直线AC的解析式为y=3x+3.∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把C（0,3）代入得b=3.∴直线PC的解析式为y=﹣x+3.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把A（﹣1,0）代入得+b=0,解得b=﹣.∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,﹣）.综上所述,符合条件的点P的坐标为（,）或（,﹣）.【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
中考数学解题方法选讲1——配方法
1 中考数学解题方法选讲@1——配 方 法一、利用“配方”解一元二次方程例1、用配方法解方程1-4-22x x =0二、利用“配方”变形、求值例2、若把代数式x ²-2x-3化为（x-m ）²+k 的形式，其中m 、k 为常数，求m+k 的值练习：1、若关于a 的二次三项式16a 2+ka+25是一个完全平方式求k 的值;2、已知xy =9，x －y =－3，求x 2+3xy +y 2的值.三、利用“配方”变形、求方程的解 例3. 已知a 2+b 2－10a －6b ＋34＝0，求ba b a ＋-的值。
练习：已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b 1的值。
四、利用“配方”变形、化简例4 当21＜x ＜1时，12-2＋x x －2-41x x ＋＝______________．练习：化简求值：1a +2-122a a ＋，其中a=15.2五、利用“配方”求最值、例5 证明x 、y 不论取何值，多项式x ²+y ²-2x-2y+3的值总是正数，并求最小值。
六、 利用“配方”处理不等式、比较大小例6、已知P=157-1，Q=m ²-158m （m 为任意实数），说明P 、Q 的大小关系练习：已知R b a 属于,，说明不等式①a a 232＞＋，②)1(222＋＋＞＋b a b a ，③ab b a 222＞＋中一定成立的是那几个.七、利用“配方”判定三角形的形状例7 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足0ab -bc --222＞＋＋ab c b a ，判断△ABC 的形状.八、利用“配方”判断一元二次方程根的情况例8、已知关于x 的方程2-2＋＋m mx x =0．求证：方程有两个不相等的实数根九、利用“配方”求二次函数的顶点坐标和最值例9 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最值：y ＝－21x 2＋x －25例10、用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
初三数学二次函数练习题带讲解
初三数学二次函数练习题带讲解一、选择题1. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(1,2)$，则下列哪个选项是可能的值？A) $a=1, b=-4, c=5$B) $a=2, b=-3, c=1$C) $a=-1, b=3, c=4$D) $a=-2, b=1, c=-3$解析：因为顶点坐标为 $(1,2)$，所以横坐标 $x=1$ 的值代入二次函数中，即可求得纵坐标 $y$，也就是 $b=-3$。
答案：B) $a=2, b=-3, c=1$2. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴相交于点$(2,0)$ 和点 $(4,0)$，则下列选项中，哪个是可能的值？A) $a=1, b=3, c=-2$B) $a=-2, b=-4, c=2$C) $a=-3, b=1, c=4$D) $a=2, b=3, c=-1$解析：因为图像与 $x$ 轴相交于点 $(2,0)$ 和点 $(4,0)$，所以将$x$ 分别代入二次函数中，得到两个方程。
解两个方程组，可以求得$a=-2$。
答案：B) $a=-2, b=-4, c=2$二、填空题1. 设二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像经过点 $(1,3)$，则$a=$\underline{\hspace{1cm}}，$b=$\underline{\hspace{1cm}}，$c=$\underline{\hspace{1cm}}。
解析：将点 $(1,3)$ 分别代入二次函数，得到三个方程。
解三个方程组，可以求得 $a=2$，$b=-4$，$c=5$。
答案：$a=2$，$b=-4$，$c=5$2. 设二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像经过点 $(-1,5)$，则$a=$\underline{\hspace{1cm}}，$b=$\underline{\hspace{1cm}}，$c=$\underline{\hspace{1cm}}。
九年级数学专题复习之《二次函数》中考试题精选
九年级数学专题复习之《二次函数》中考试题精选一．选择题（共10小题）1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（，0），有下列结论： ①abc ＞0； ②a ﹣2b +4c ＞0；③25a ﹣10b +4c ＝0；④3b +2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④2．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数y ＝ax 2（1≤a ≤3）的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°3．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y ＝ax 2+bx +c… t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x ＝﹣时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；③0＜m +n ＜，其中，正确结论的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（）A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（）A．①③⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②③⑤6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接P A，PB．有以下说法：①PO2＝P A•PB；②当k＞0时，（P A+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△P AB面积的最小值为4，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（）A．﹣4≤a＜﹣B．﹣4≤a≤﹣C．﹣≤a＜0D．﹣＜a＜0 8．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（）A．4B．6C．8D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），及（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴的交点在（0，2）上方，则下列结论中错误的是（）A．abc＞0B．当x≥﹣时，y随着x的增大而减少C．a+b+c＝0D．关于x的一元二次方程ax2+bx+（c﹣2）＝0有两个不相等的实数根10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．或a≥1B．a≥﹣或a＜﹣C．﹣≤a≤1且a≠0D．a≤﹣或a≥1二．填空题（共10小题）11．如图，抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．以上5个结论正确的是；（填写序号）12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是；（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是．13．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是．14．已知：直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为（0，2），同时这条直线与x 轴相交于点A，且相交所成的角为45°．（1）点A的坐标为；（2）若抛物线y＝ax2﹣bx+c与x轴交于点M、N（点M在点N左边），将此抛物线作关于y轴对称，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，连接NF，EF得△NEF，P是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为．15．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；③当m＝﹣1时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有．（填写所有正确答案的序号）16．已知矩形长与宽分别为a、b（a＞b），截一个面积最大的菱形，使菱形的顶点落在矩形的边上，该菱形最大面积为．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为．18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝，则正方形CEFG的面积为；（2）连接DF、DG，则△DFG面积的最小值为．19．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM ＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当时BE＝a，G是线段AD的中点．其中正确的结论是．20．已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a ＝．三．解答题（共10小题）21．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．23．抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A（8，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，点P是直线AC下方抛物线上一点，PD⊥x轴于点E，交线段AC于点D，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ADO＝∠OBC时，求点D的坐标；（3）当PD+DC的值最大时，①请求出符合上述条件的点P的横坐标；②若Q是平面内任意一点，将△ADE绕点Q逆时针方向旋转90°后得到△A'D'E′，若△A′D′E′的三个顶点中有两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A′的横坐标．24．抛物线C1：y＝a（x﹣b）2+2﹣b（b＞0）过点H（2，0），抛物线的顶点为点D．（1）若a＝1，求抛物线的顶点D的坐标；（2）若0＜b＜2，点K在y轴上，若△HDK为等腰三角形，且满足条件的K点有且仅有两个，直接写出b的值；（3）若a＝，将抛物线C1平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线C2，过点A（﹣2，3）的直线交抛物线C2于M、Q两点，过点B（﹣6，3）的直线交抛物线C2于M、P 两点．求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，并且经过点D（5，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上第四象限内一点，联结AC，CM，BM，当四边形ACMB 面积最大时，求点M的坐标以及S四边形ACMB的最大值；（3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后的抛物线经过线段BC的中点，记点B平移后的对应点为B1，点C平移后的对应点为C1，点Q是平移后新抛物线对称轴上一点，点P是原抛物线上一点，若以点B1，C1，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．29．抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH 的值是定值．30．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M 在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．。
【含8套中考卷】专题二次函数经典精讲课后练习及详解
二次函数经典精讲题一：已知抛物线L ：y = ax 2+bx+c(其中a ，b ，c 都不等于0)，它的顶点坐标P(−2ba，244ac b a )，与y 轴的交点是M(0，c)．我们称以M 为顶点，对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为L 的伴随直线．已知有一抛物线y =－2x 2+4x+1，求它的伴随直线和伴随抛物线的解析式．题二：如图，抛物线y = x 2+bx+8与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B(点B 在第二象限)，抛物线的顶点C 在直线OB 上，且点C 为OB 的中点，对称轴与x 轴相交于点D ，平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为 ．题三：如图，二次函数y = ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x = 2，且O A = OC ，则下列结论： ①abc > 0； ②9a+3b+c < 0； ③c > －1；④关于x 的方程ax 2+bx+c = 0(a ≠ 0)有一个根为－1a. 其中正确的结论个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题四：如图所示，抛物线y = ax 2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)，直线 x =－0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD = MC ， 连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论：①a－b = 0；②当－2 < x < 1时，y > 0；③四边形ACBD 是菱形；④9a－3b+c > 0. 你认为其中正确的是( )A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③题五：如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB = 4，点B的坐标为(－1，0)，点C在y轴的正半轴，抛物线y = ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A，B，C.(1)求y关于x的函数解析式；(2)设对称轴与抛物线交于点E，与AC交于点D，在对称轴上，是否存在点P，使以点P，C，D三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.[来源:Z_xx_]题六：如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数y =54x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点C．以直线x = 1为对称轴的抛物线y = ax2+bx+c(a，b，c为常数，a ≠ 0)经过A、C 两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的函数表达式；(3)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数经典精讲 课后练习参考答案题一：伴随直线y = 2x+1；伴随抛物线y = 2x 2+1.详解：∵抛物线y =－2x 2+4x +1，∴顶点坐标P 为(1，3)，与y 轴交点为M(0，1)， 设伴随抛物线的解析式为y = ax 2+1，把P(1，3)代入得a = 2，∴伴随抛物线y = 2x 2+1， 设伴随直线y = kx+1，把P(1，3)代入解得k = 2，故伴随直线y = 2x+1． 题二：y = x 2+6x+8.详解：当x = 0时，y = x 2+bx+8 = 8，则A(0，8)， ∵AB∥x 轴，∴B 点的纵坐标为8，当y = 8时，x 2+bx+8 = 8，解得x 1 = 0，x 2 =－b ，∴B(－b ，8)(b ＞0)， ∵点C 为OB 的中点，∴C(－12b ，4)， ∵C 点为抛物线的顶点，∴2484b ⨯-= 4，解得b = 4或b =－4(舍去)，∴抛物线解析式为y = x 2+4x+8 = (x+2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =－2，∴D(－2，0)，设平移后的抛物线解析式为y = x 2+mx+n ， 把A(0，8)，D(－2，0)代入得8420n m n =⎧⎨-+=⎩，解得68m n =⎧⎨=⎩，所以平移后的抛物线解析式为y = x 2+6x+8．故答案为y = x 2+6x+8． 题三：C ．详解：由图象开口向下，可知a < 0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c < 0， 又对称轴方程为x = 2，所以－2ba> 0，所以b > 0，∴abc > 0，故①正确； 由图象可知当x = 3时，y > 0，∴9a+3b+c > 0，故②错误；由图象可知OA < 1，∵OA = OC，∴OC < 1，即－c < 1，∴c > －1，故③正确； 假设方程的一个根为x =－1a ，把x =－1a 代入方程可得1a －ba+c = 0， 整理可得ac －b+1 = 0，两边同时乘c 可得ac 2－bc+c = 0，即方程有一个根为x =－c ， 可知－c = OA ，而当x = OA 是方程的根，∴x =－c 是方程的根，即假设成立，故④正确； 综上可知正确的结论有三个，故选C ． 题四：D ．[来源:学科网ZXXK]详解：①∵抛物线y = ax 2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)， ∴该抛物线的对称轴为x =－2ba=－0.5，∴a = b，a －b = 0，①正确； ②∵抛物线开口向下，且抛物线与x 轴交于点A(－2，0)、B(1，0)，[来源:] ∴当－2 < x < 1时，y > 0，②正确；③∵点A 、B 关于x = －0.5对称，∴AM = BM，又∵MC = MD，且CD⊥AB， ∴四边形ACBD 是菱形，③正确；④当x =－3时，y < 0，即y = 9a －3b+c < 0，④错误． 综上可知，正确的结论为①②③． 故选D ．[来源:学科网ZXXK]题五：(1)y =－3x 2+3(2)存在，(1，3)或(1，－3).详解：(1)∵AB = 4，点B 的坐标为(－1，0)，∴O A = 3，A(3，0)， ∵∠BCO+∠CBO = 90°，∠CBA+∠CAO = 90°，∴∠BCO = ∠CAO，∴Rt△OCB∽Rt△OAC，∴OC：OA = OB ：OC ，即OC ：3 = 1：OC，设抛物线解析式为y = a(x+1)(x －3)，把C(0代入得－ a =∴抛物线解析式为y =(x+1)(x －3)，即y =2(2)存在．y =2－1)2，则E(1，抛物线对称轴为直线x = 1，直线x = 1交x 轴于H 点，如图1，在Rt△AOC OA = 3在Rt△AHD 中，AH = 2，∴DH =3，AD = 2DH =3，∴DE CD = AC － ∵∠CDP = ∠EDA，∴当DP DC DE DA =时，△DPC∽△DEA，即DP [来源:学.科.网]此时P 点坐标为(1，3)；当DP DC DA DE =时，△DPC∽△DAE，即DP ：3 = 3：3，解得DP = 3，此时P 点坐标为(1，，综上所述，满足条件的P 点坐标为(1)或(1).题六：(1)(0，154)；(2)y =－14x 2+12x+154；(3)存在，(2，154)或，－154)．详解：(1)∵y =54x+m经过点(－3，0)，∴0 =－154+m，解得m =154，∴直线解析式为y =54x+154，∴C(0，154)；(2)∵抛物线y = ax2+bx+c对称轴为x = 1，且与x轴交于A(－3，0)，∴另一交点为B(5，0)，设抛物线解析式为y = a(x+3)(x－5)，∵抛物线经过C(0，154)，∴154= a•3(－5)，解得a =－14，∴抛物线解析式为y =－14x2+12x+154；(3)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC = EF．如答图1，(i)当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO = ∠EFG，在△CAO和△EFG中===COA EGFCAO GFEAC EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△CAO≌△EFG(AAS)，∴EG = CO =154，即y E =154，∴154=－14x E2+12x E+154，解得x E = 2(x E = 0与C点重合，舍去)，∴E(2，154)；(ii)当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，－154=－14x2+12x+154，解得负数舍去)，则，－154)．D中考数学模拟试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 二次函数2(1)3y x =--的顶点坐标是A ．（1，-3）B ．（-1，-3）C ．（1，3）D ．（-1，3）2．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△C MN 与△C AB 的面积之比是A ．1:2B ． 1:3C ．1:4D ．1:93．如图，在⊙O 中，A ，B ，D 为⊙O 上的点，∠AOB=52°，则∠ADB 的度数 是A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13=AD AB ,AE=1,则EC 等于A ．1B ． 2C ．3D ．45. 如图，点P在反比例函数2y x=的图象上，PA ⊥x 轴于点A ， 则△PAO 的面积为A ．1B ．2C ．4D ．66. 如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD=2,BD=3,则AC 长为A ．．．67. 抛物线22y x x m =-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为A ．1m >B ．=1mC ． 1m <D ．4m <8. 已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)和一次函数y 2＝kx ＋n(k ≠0)的图象如图所示， 下面有四个推断: ①二次函数y 1有最大值②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0 ④过动点P(m ，0)且垂直于x 轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别 为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1．A ．①③B ．①④C ．②③二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 已知点A （1，a ）在反比例函数12y x=-的图象上，则a 的值为 ． CB10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交点在y 轴负半轴的抛物线的表达式：_______11. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径OC⊥AB 于E ，如果AB=8，CE=2， 那么⊙O 的半径为 ．12. 把二次函数245=-+y x x 化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.13. 如图，∠DAB=∠CAE ，请你再添加一个条件____________， 使得△ABC ∽△ADE ．14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF 的斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上. 测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 cm.图1CBAD EED ABC 图2三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：ooo2sin 45tan 602cos30++18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P. 求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l. 做法：如图，①在直线l 的异侧取一点K ，以点P 为圆心，PK 长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点Q （与P 点不重合）； ③作直线PQ ，则直线PQ 就是所求作的直线. 根据小西设计的尺规作图过程，BP（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵PA= ，QA= ,∴PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）.19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，且A ，B ，C 三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC 相似的△A 1B 1C 1，要求：A 1，B 1，C 1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A 1B 1C 1的面积．20. 如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=BC. 已知A （﹣2，0D （0，3），函数(0)=>ky x x的图象G 经过点C ． （1）求点C 的坐标和函数(0)=>ky x x的表达式；（2）将四边形ABCD 向上平移2个单位得到四边形''''A B C D 是否落在图象G 上？21. 位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积为S(单位：cm 2)．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?[来22. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90︒，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC=12，BC=5． （1）求ADE ∠cos 的值；（2）当DE DC =时，求AD23. 如图，反比例函数=ky x分别交于M ，N 两点，已知点M （1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN24. 如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO ． （1）求证：AO ∥BE ；（2）若2=DE ，tan ∠BEO DO 的长．25. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的垂线，交CD 延长线于点E. 已知AC=30，cosA=53. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B. （1）直接写出点B 的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A,B ，求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．B27. 如图，Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G ，交AC 于点H ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAD=∠BFG ；（3）试猜想AB ，FB 和FD 之间的数量关系并进行证明．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，2），B （3，2），连接AB. 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“临近点”． （1）在点C （0，2），D （2，32），E （4，1）中，线段AB 的“临近点”是__________； （2）若点M（m ，n ）在直线23y x =-+上，且是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围；（3）若直线y x b =+上存在线段AB 的“临近点”，求b 的取值范围.D BC一.选择题(本题共16分，每小题2分)二.填空题（本题共16分，每小题2分）9. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略 14. 15. 11.5 16.三. 解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 2sin45tan602cos30︒+︒+2222=⨯+⨯-……………………4分=……………………………………5分18. （1）如图所示………………………………………1分（2）PA=PB，QA=QB …………………………………3分依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线. ………………………………………5分19. 画图略…………………………………………………3分面积略……………………………………………………5分20. （1）C（4，3），……………………………………………1分反比例函数的解析式y=x12；………………………3分（2）点B′恰好落在双曲线上．…………………………5分21.（1）xxS20212+-=…………………………2分（2）∵21-=a＜0，∴S有最大值，…………………………3分当20)21(2202=-⨯-=-=abx时，S有最大值为200202020212=⨯+⨯-=S∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2. …………………………5分l22. 解:如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA=90°．∴∠A+∠ADE=90°． ∵∠ACB=90︒， ∴∠A+∠B=90°．∴∠ADE=∠B ． ………………………………1分 在Rt △ABC 中，∵AC=12，BC=5， ∴AB=13． ∴5cos 13BC B AB ==． ∴5cos cos 13ADE B ∠==． ………………………………2分 （2）由（1）得5cos 13DE ADE AD ∠==， 设AD 为x ，则513DE DC x ==． ………………………………3分 ∵ 12AC AD CD =+=， ∴51213x x +=. .………………………………4分 解得263x =. ∴ 263AD =. ……………………………5分23. （1）∵点M （-2，m ）在一次函数12y x =-的图象上， ∴()1=212m -⨯-= ． ∴M （-2，1）． ……………………………2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1）， ∴k ＝-2×1＝-2． ∴反比例函数的表达式为2=-y x． ……………………………4分 （2）点P 的坐标为（0，分24. （1） 证明：连结BC ,A∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，∴=AB AC ,平分∠OA BAC ………………………………1分 ∴OA ⊥BC. ∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠CBE=90°，∴ OA ∥BE. ………………………………2分 (2)∵OA ∥BE, ∴∠BEO=∠AOC.∵tan ∠∴tan ∠在Rt △AOC 中,设OC=r,则∴在Rt △CEB 中r. ∵BE ∥OA, ∴△DBE ∽△D AO ∴DE EBDO OA=, ………………………………………………………………5分 2DO =, ∴DO=3. ………………………………6分25. ⑴∵∠ACB=90°，AC=30，cosA=53，∴BC=40，AB=50. ……………………2分 ∵D 是AB 的中点， ∴CD=21AB=25. …………………………3分 (2)∵CD=DB,∴∠DCB=∠DBC. ………………………4分 ∴cos ∠DCB=cos ∠DBC=45. ∵BC=40,∴CE=32， ……………………5分 ∴DE=CE -CD=7,BA∴sin ∠DBE=725=DE DB . ……………………6分26. （1）()2,2B -……………………2分（2）抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+ ………………………4分 （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入表达式可得()2242t t -=---++ 解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-．把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=-． 解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． …………………6分27. （1（2（3∴ AF=FD ，∠ DAF=∠ ADF ，……………………5分 ∴ ∠ DAC+∠ CAF=∠ B+∠ BAD ， ∵ AD 是角平分线， ∴ ∠ BAD=∠ CAD ∴ ∠ CAF=∠ B ，∴ ∠ BAF=∠ BAC+∠ CAF=∠ BAC+∠ B=90°………………………6分 ∴222AB AF FB +=∴222+=AB FD FB28.（1）C 、D （2）如图，设y x =+易知M （0,2），∴m≥0， 易知N 的纵坐标为1，代入y =（3）当直线3y x b =-+当直线3y x b =-+∴2≤b ……………………………………………7分中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12 分）1. 下列图标，是轴对称图形的是（）2. 如图，数轴上的点A、B 分别表示实数a、b，则下列式子的值一定是正数的是（）A．b+a B．b a C．a b D．b a3. 关于代数式x+2 的值，下列说法一定正确的是（）A．比2大B．比2小C．比x大D．比x小4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图像经过点(1，1)和点(3，0) ．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当x=2 时，y 的值等于1；③当x＞3 时，y 的值小于0．正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5计算999 93 的结果更接近（）A．999 B．998 C．996 D．9336. 如图，点P是⊙O 外任意一点，PM、PN 分别是⊙O 的切线，M、N 是切点．设O P 与⊙O 交于点K．则点K是△PMN 的（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三个角的角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）7.13的相反数是 ， 13的倒数是 ．8. 若△ABC ∽△DEF ，请写出 2 个不同类型的正确的结论： ，．9. 如果 2 x m y 3 与 x y n 是同类项，那么 2m n 的值是 ．10. 分解因式 2x 2 y 4xy 2 y 的结果是 ．11. 已知 x 1、x 2 是一元二次方程 x 2x 3 0 的两个根，则x 1 x 2x 1 x 2= ．12. 用半径为 4 的半圆形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．13. 如图，点 A 在函数 ykxx 0 的图像上，点 B 在 x 轴正半轴上，△OAB 是边长为 2 的等 边三角形，则 k 的值为 ．14. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是 A B 、CD 的中点，AF 、DE 交于点 G ，BF 、CE 交于点 H ．当□ABCD 满足 时，四边形 E HFG 是菱形15. 如图，一次函数 y43-x 8 的图像与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点．P 是 x 轴上一个动 点，若沿 B P 将△OBP 翻折，点 O 恰好落在直线 A B 上的点 C 处，则点 P 的坐标是 ．16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板 A CB 的位置保持不动，将三角板 D CE 绕其直角顶点 C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与 A B 平行时，∠ECB 的度数为 ．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）17. （6 分）求不等式1132x x -≤+的负整数解18. （7 分）⑴化简：24142x x --- ⑵方程的2411=422x x ---解是 ．19. （7 分）小莉妈妈的支付宝用来生活缴费和购，如图是小莉妈妈2018 年9月至12 月支付宝消费情况的统计图（单位：元）．⑴11 月支出较多，请你写出一个可能的原因；⑵求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．⑶用⑵中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018 年平均每月的消费水平，你认为合理吗？为什么？20. （8 分）我们学习等可能条件下的概率时，常进行转转盘和摸球试验．⑴如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2 次，求指针2次都落在黑色区域的概率．⑵小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18 个小球，其中4个白球，6 个红球，8 个黄球，搅匀后，从中任意摸出1个球，若事件A的概率与⑴中概率相同，请写出事件A．21. （9 分）春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800 米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12 米，乙工程队每天改造8米，共用了200 天．⑴根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：小莉：____128____x yx y+=⎧⎨+=⎩小刚：________128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y 表示的意义，然后在横线上补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：小莉：x 表示，y 表示；小刚：x表示，y 表示；⑵求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．22. （7 分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球（P）的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是100m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少？（用含α、β的式子表示）．23. （9 分）南京、上海相距300km，快车与慢车的速度分别为100km/h 和50km/h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为xh，快车、慢车行驶过程中离南京的距离分别为y1、y2km．⑴求y1、y2 与x之间的函数表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出它们的图像；⑵若镇江与南京相距80km，求两车途经镇江的时间间隔；⑶直接写出出发多长时间，两车相距100km．24. （7 分）如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D．小莉说：当A B+BD=AC+CD 时，△ABC是等腰三角形，她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．25.（8 分）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2．⑴求y与x的函数表达式；⑵若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；⑶若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．26.（9 分）已知：如图，O 为正方形A BCD 的中心，E 为A B 边上一点，F 为B C 边上一点，△EBF 的周长等于B C 的长．⑴求∠EOF 的度数．⑵连接O A、OC．求证：△AOE∽△CFO．⑶若O E ，求AECF的值．27.（11 分）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AC⊥BD．求证：．证明：中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是正确的，请将正确选项的字母代号写在相应括号内）1．31-的倒数等于 （ ） A ．3 B ．－3 C ．31- D ．312．下列计算正确的是 （ ）A ． (a 2)2=a 4B ．a 2·a 3=a 6C ．(a+1)2=a 2+1D ．a 2+a 2=2a 43．下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）A ．直角B ．直角三角形C ．等边三角形D ．平行四边形 4．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5:cm)这组数据的中位数是 （ ） A ．37 B ．38 C ．39 D ．40 6．已知反比例函数y=x k ，点A （m ，y1），B(m+2，y 2 )是函数图像上两点，且满足211121-=y y ，则k 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 7．9的平方根是 ．8．2017年10月10日，中科院国家天文台宣布，“中国天眼”发现1颗新脉冲星，距离地球16000光年。
中考二次函数经典例题及解析
中考二次函数经典例题及解析中考二次函数经典例题及解析一、引言二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试中常见的题型。
通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地理解和掌握二次函数的特点和解题方法。
本文将结合多个经典的中考二次函数例题，深入分析题目，探讨解题思路和方法，帮助读者全面理解二次函数的应用。
二、例题一题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（1，1），（2，4），（3，9）。
求a，b，c的值。
解析：根据已知条件，代入三个点的坐标，得到三个方程：a+b+c=14a+2b+c=49a+3b+c=9通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。
三、例题二题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上。
求a，b，c的值。
解析：根据已知条件，对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上，可以列出方程：-b/(2a)=21-4a+2b+c=0通过求解方程组，可以得到a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。
四、例题三题目：已知二次函数经过点（1，-3），且在x轴上的交点为x=4。
求函数的解析式。
解析：根据已知条件，可以列出方程：a+b+c=-316a+4b+c=0通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的解析式。
五、总结通过以上例题的解析，我们可以看到在解二次函数相关题目时，首先需要根据题目的条件列方程，并运用相关的解方程技巧得到二次函数的系数a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式。
在解题过程中，我们还可以借助对称轴和顶点等概念来辅助求解，这些解题方法和技巧都是我们在中考数学中必须掌握的知识点。
个人观点和理解：二次函数作为中学数学中的重要内容，其在中考数学中的考查也是至关重要的。
掌握二次函数的特点和解题方法，不仅有助于解题，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地掌握二次函数的知识，并在中考数学中取得更好的成绩。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
初中数学二次函数讲评试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，2），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a<0，b>0，c>0D. a<0，b<0，c>02. 若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-2，则下列选项中正确的是（）A. b=2，c=0B. b=-2，c=0C. b=2，c≠0D. b=-2，c≠03. 二次函数y=x^2-2x+1的图像与y轴的交点坐标为（）A. (0，1)B. (1，0)C. (2，0)D. (0，-1)4. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向下，且顶点坐标为（-1，3），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b<0，c>0B. a>0，b>0，c>0C. a<0，b<0，c>0D. a<0，b>0，c>05. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（2，-3），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b>0，c<0B. a>0，b<0，c<0C. a<0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c<0二、填空题（每题4分，共20分）6. 二次函数y=x^2-2x+1的顶点坐标为（），对称轴为（）。
7. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，则a（）；开口向下，则a （）。
8. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），则该函数的解析式为（）。
9. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与y轴的交点坐标为（0，2），则该函数的解析式为（）。
(完整版)二次函数典型中考试题解析和训练.doc
二次函数典型中考试题解析和训练二次函数典型中考试题解析及训练[ 解读中考要点 ]1、二次函数一般地，形如y ax2 bx c （ a,b,c 是常数，a 0 ）的函数叫做x的二次函数。
解读：在函数中注意二次项系数 a 0 ，b,c是任意的实数即可。
2、二次函数y ax2（a 0 ）的性质解读：（ 1）二次函数y ax 2 的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。
（2）当a 0 时，抛物线y ax 2 的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当 a 0 时，抛物线y ax2 的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。
3、二次函数y ax2 k （a 0 ）的图象与性质解读：（1）二次函数y ax2 k 的图象与 y ax2 的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数y ax2 的图象得到y ax2 k 的图象。
当k 0 时，向上平移k 个单位长度；当k 0 时，向下平移k 个单位长度。
（2）当a0 时，抛物线的开口向上；当a0 时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是0, k ，对称轴是y轴。
4、二次函数y a x h 2 k （ a 0 ）的图象与性质解读：（ 1）它的图象与y ax2 的图象的形状完全一样，可以通过二次函数 y ax 22的图象得到 y a x hk的图象。
（2）当a0 时，抛物线的开口向上；当a0 时，抛物线的开口向下。
（3 ）抛物线的顶点是h, k ，对称轴是y 轴。
5、关于二次函数y ax2 bx c （a 0 ）的图象解读：（ 1）二次函数y ax 2 bx c （a 0 ）的图象是与y ax2 的图象的形状完全一样的一条抛物线。
（2 ）抛物线 y ax 2 bx c （a 0 ）的对称轴是直线 xb，顶点是b 4ac b2。
2a,4a2a（3 ）当a 0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。
当x b 时，函数有最小值4ac b2 ；当x b2a 4a 2a时， y 的值随x值的增大而减小；当xb时， y 的值随x值的增大而增大。
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二次函数中考试题选讲一
1、把抛物线y=x 2
﹣2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
2、飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是：21.560s t t =-+。
飞机着陆后滑行__________秒才能停下。
3、如图是抛物线()20y ax bx c a =++≠的一部分，则方程20ax bx c ++=的两根是________。
4、一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运
动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已
知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正
确的是（ ）
A ．此抛物线的解析式是y=﹣x 2+3.5
B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D ．篮球出手时离地面的高度是2m
5、已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h ＝﹣t 2＋24t ＋
1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同
B. 点火后24s 火箭落于地
面
C. 点火后10s 的升空高度为139m
D. 火箭升空的最大高度为
145m
6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．ac ＜0
B ．b ＜0
C ．24b ac -＜0
D ．a b c ++＜0
7、二次函数
的图像如图所示，下列结论正确是( )
A.
B.
C. D. 有两个不相等的实数根 8、如图所示,△DEF 中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B
是斜边DF 上一动点,过B 作AB ⊥DF 于B,交边DE(或边EF)
于点A,设BD=x,△ABD 的面积为y,则y 与x 之间的函数
图象大致为（ ）
x
y O 1
A. B.
C.
D.
9、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （米）与飞行时间x （秒）的关系满足：
21105
y x x =-+ （1）经过多长时间，炮弹到达它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？
10、已知二次函数22y x mx m =-+-。
（1）求证：不论m 为任何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点。
（2）当二次函数的图像经过点（3,6）时，确定m 的值，并写出此二次函数与x 轴的交点坐标。
11、如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()10,30A B -，，
两点。
（1）求b c 、的值
（2）P 为抛物线上的一点，且满足8
PAB S =,求P 点的坐标
（3）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC 的
周长最小？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由。
12、抛物线 经过点A 和点B （0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为
C .（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积.
13、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x 2
+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．
（1）求点P ，C 的坐标；
（2）直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存
在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
14、如图，已知抛物线2y ax bx c =++的图象经过点A （l ，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．
15、某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
16、俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元。