高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第2章 第5讲 对数与对数函数 Word版含解析

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＝－3. 答案 －3. 1 则 gg ＝________. 2
x e ，x≤0， 8．设 g(x)＝ ln x，x＞0，
解析
g ＝ln ＜0，
1 2
1 2
1 1 1 1 ∴gg ＝gln ＝eln2＝ . 2 2 2
6． 已知函数 f(x)＝|lg x|， 若 0<a<b， 且 f(a)＝f(b)， 则 a＋2b 的取值范围是 A．(2 2，＋∞) C．(3，＋∞) 解析 B．[2 2，＋∞) D．[3，＋∞)
作出函数 f(x)＝|lg x|的图象，由 f(a)＝f(b)，0<a<b 知 0<a<1<b，－lg a＝
三、解答题 1 11．已知函数 f(x)＝log2(a2－3a＋3)x. (1)判断函数的奇偶性； (2)若 y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求 a 的取值范围． 解 1 (1)函数 f(x)＝log2(a2－3a＋3)x 的定义域为 R.
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1 － 又 f(－x)＝log2(a2－3a＋3) x 1 ＝－log2(a2－3a＋3)x＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数． 1 (2)函数 f(x)＝log2(a2－3a＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则 y＝(a2－3a＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数， 由指数函数的单调性，知 a2－3a＋3>1，解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 12． 若函数 y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为 M.当 x∈M 时， 求 f(x)＝2x＋2－3×4x 的最 值及相应的 x 的值． 解
a “对任意的 x1，x2，当 x1<x2≤2时，f(x1)－f(x2)>0”实质上就是“函数单
调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于 g(x)＝x2－ax a>1， a ＋3 在 x≤2时递减，从而 a 由此得 a 的取值范围为(1,2 3)．故选 D. g2>0. 答案 D ( )．
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∴0<m<(x＋1)(x－1)(7－x)在 x∈[2,4]恒成立． 设 g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4] 则 g(x)＝－x3＋7x2＋x－7， 7 52 g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－3x－32＋ 3 ， ∴当 x∈[2,4]时，g′(x)>0. ∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15. ∴0<m<15. ②当 0<a<1 时， 由 x∈[2,4]时， x＋1 m f(x)＝loga >loga 恒成立， x－1 x－127－x x＋1 m ∴ < 对 x∈[2,4]恒成立． x－1 x－127－x ∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在 x∈[2,4]恒成立． 设 g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]， 由①可知 y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数， g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45. ∴m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).
2．设 f(x)＝lg( A．(－1,0)
C．(－∞，0) 解析
∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.
∴f(x)＝lg
x＋1 x＋1 ，由 f(x)＜0 得，0＜ ＜1， 1－x 1－x
∴－1＜x＜0. 答案 A )． 3．若函数 y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则 a 的取值范围是( A．0<a<1 C．1<a<2 解析 B．0<a<2，a≠1 D．a≥2 4－a2 ，故要使 4
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(
)．
解析
由已知函数 f(x)＝loga(x＋b)的图象可得 0<a<1，0<b<1.则 g(x)＝ax＋b 的
图象由 y＝ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到，故选 B. 答案 B
a 5．若函数 f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1，x2，当 x1<x2≤2时， f(x1)－f(x2)>0，则实数 a 的取值范围为 A．(0,1)∪(1,3) C．(0,1)∪(1,2 3) 解析 B．(1,3) D．(1,2 3) ( )．
y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得 x＜1 或 x＞3，∴M＝{x|x＜1，或 x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令 2x＝t，∵x＜1 或 x＞3，∴t＞8 或 0＜t＜2. 2 4 ∴f(t)＝4t－3t2＝－3t－ 2＋ (t＞8 或 0＜t＜2)． 3 3 由二次函数性质可知： 4 当 0＜t＜2 时，f(t)∈0， ， 3 当 t＞8 时，f(t)∈(－∞，－160)， 2 2 4 当 2x＝t＝ ，即 x＝log2 时，f(x)max＝ . 3 3 3 综上可知：当 x＝log2 2 4 时，f(x)取到最大值为 ，无最小值． 3 3
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＝－loga
x＋b ＝－f(x)， x－b
故 f(x)是奇函数． (3)令 u(x)＝
x＋b 2b ，则函数 u(x)＝1＋ 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减 x－b x－b
函数，所以当 0＜a＜1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当 a ＞1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数． x＋1 14．已知函数 f(x)＝loga ，(a>0，且 a≠1)． x－1 (1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga (2)对于 x∈[2,4]，f(x)＝loga 解 (1)由 x＋1 在定义域上是奇函数； x－1
因为 y＝x2－ax＋1 是开口向上的二次函数，从而有最小值
2
4－a2 函数 y＝loga(x －ax＋1)有最小值，则 a>1，且 4 >0，得 1<a<2，故选 C. 答案 C
4．若函数 f(x)＝loga(x＋b) 的大致图象如图所示，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)＝ ax＋b 的大致图象是
13．已知函数 f(x)＝loga
x＋b (a＞0，b＞0，a≠1)． x－b
(1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性；
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解
(1)令
x＋b ＞0， x－b
解得 f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)． (2)因 f(－x)＝loga －x＋b x＋b－1 ＝loga －x－b x－b
x＋1 m >loga 恒成立，求 m 的取值范围． x－1 x－127－x
x＋1 >0，解得 x<－1 或 x>1， x－1
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 当 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga x＋1 ＝－loga ＝－f(x)， x－1 x＋1 ∴f(x)＝loga 在定义域上是奇函数． x－1 (2)由 x∈[2,4]时，f(x)＝loga ①当 a>1 时， x＋1 m ∴ > >0 对 x∈[2,4]恒成立． x－1 x－127－x x＋1 m >loga 恒成立， x－1 x－127－x －x＋1 x－1 x＋1－1 ＝loga ＝loga －x－1 x＋1 x－1
＋1
当 1≤n≤2 时，[log3n]＝0，当 3≤n<32 时，[log3n]＝1，„，当 3k≤n<3k
时，[log3n]＝k.
故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋„＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33 －32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案 857
2 2 lg b，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋a，由函数 y＝x＋ x的单调性可知，当 0<x<1 时， 2 函数单调递减，∴a＋2b＝a＋a>3.故选 C. 答案 C
二、填空题 1 1 7． 对任意非零实数 a， b， 若 a⊗b 的运算原理如图所示， 则(log28)⊗3－2＝________. 解析 1 9 1－2 3 ＝9， 框图的实质是分段函数， log28＝－3， 由框图可以看出输出 －3
第 5 讲 对数与对数函数
一、选择题 1 1．已知实数 a＝log45，b＝ 0，c＝log30.4，则 a，b，c 的大小关系为( 2 A．b<c<a C．c<a<b 解析 答案 B．b<a<c D．c<b<a )
1 由题知，a＝log45>1，b＝ 0＝1，c＝log30.4<0，故 c<b<a. 2 D 2 ＋a)是奇函数，则使 B．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) )．
答案
1 2
9．已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若 A⊆ B，则实数 a 的取值范围是 (c，＋∞)，其中 c＝________. 解析 答案 ∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆ B，∴a＞4，∴c＝4. 4
10．对于任意实数 x，符号[x]表示 x 的整数部分，即[x]是不超过 x 的最大整数．在 实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时[x]就是 x.这个函数[x]叫做“取整函数”， 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用． 那 么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋„＋[log3243]＝________. 解析