工程力学5-1-c16a

(M)
Pl 2
(M)
3 Pl 16
静不定结构的 M max 为相应静定结构的
静不定结构的 wmax为相应静定结构的
3 8 1
2
33
（2）安全系数高—结构中某些局部的破坏不会立即 造成整个结构的失效 （3）静不定结构中任意一部分构件的刚度变化会 造成结构中的内力重新分布 （4）静不定结构中会产生温度应力和装配应力 温度应力
可正可负可为零
原静不定系统在多余约束处的位移 —多数情况
下为零
22
（4）系数 ij 及自由项 iF 的求法：
即根据其物理意义在相当系统上求一系列位移：
ij 为仅有 Xj = 1 作用时，相当系统
在 Xi作用点处的位移
iF 为仅有原载荷作用时，相当系统
在 Xi作用点处的位移
注意：
ij , iF
1 X1
相当系统
相当系统
F l (MF) l
正则方程： 11 X 1 1F 1 = 0
1.画相当系统原载荷作用下 的弯矩图 M F 图
1
Fl
26
例题
例 题 16-1
(MF)
Fl
相当系统
§I6
静不定结构
2.画仅有X1 = 1 作用下的弯矩图 M 1 图 3.系数计算： 11 = ( M 1 ) 图自乘
m
（基本静定系1）
（基本静定系2）
（相当系统1）
m
X1
（相当系统2）
m
X1
12
P
P
P
X2 X1
X3
X1
X3
X2
3次静不定
X2
（相当系统1）
（相当系统2）
P
X1
P
X3
P
X1
X1 X2
X3
X2
X3
（相当系统3）
（相当系统4）
（相当系统5）
13
2.求解静不定结构方法（三条件法）
（1）力法：以多余未知力为基本未知量，将 位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条 件建立方程，从而解出多余未知力。 （2）位移法：以位移为基本未知量，将多余未知 力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程， 从而通过求解未知位移来求解多余未知力。 本章重点：力法
11 1 EI 1 2 2l 2l 2 3 2l 8l
3
F l 2l
(M 1)
3 EI
l
1 X1=1
1 F = ( M 1 )与 ( M F )图互乘
1 F 1 EI 1 2 l Fl 5 6
X1
2l
5 Fl 6 EI

2 2
1n X 2n X nn X
n n
1 F 1 2 F 2
n

(16.3)
n1 X 1 n 2 X
2
nF n

j 1
n
ij X
j
iF i
i=1,2,…,n
（2）自由项 iF （3）右端项 i
3
11 X 1 1F 0
1 F 11

5 16
F
若求原载荷下的M图, 可用叠加法画出:
M M
F
X 1M 1
也可根据相当系统 的受力直接画出 27
工程实际中的结构:(1)约束并非是完全理想的模型
(2)且多为复杂的静不定结构
28
29
30
31
双下标——第一下标表示位移发生地点，第二下标 表示引起位移的原因。
19
若为2次静不定，2个多余约束，
2个多余未知力X1，X2
11 X 1 12 X 21 X 1 22 X
2 2
1 F 1 2 F 2
(16.2)
q
A
B
q
C
X1
X2
20
n次静不定：
11 X 1 12 X 21 X 1 22 X
F A F B
原静不定系统 相当系统(静定)
X1
17
§16.3
力法正则方程
wBX1 wBF wB
将上例中的位移协调方程改写一下：
B 1
(B是 X 1 作用处）
力与位移成线性关系
wBX1 1X 1 ==============
11 X 1
wBF 1F
wB 1
则 11 X 1 1F 1 ---- 力法正则方程
（d）在杆件中增加一个单铰或将结构中的一个单铰换 为一个链杆，均相当于去掉1个多余约束（静不定次数 减1)。 单铰—连接2杆, n次复铰—连接n+1杆 n次复铰=n个单铰
8
(e)桁架结构
杆数 S ,节点数 n , 若S=2n-3 若S>2n-3 D S=6,n=4, 静定桁架 静不定桁架 6-(2×4-3)=1次静不定
L
L L
3
装配应力
工程实际中的结构绝大部分都是静不定结构:
4
1.静不定结构和静不定次数
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的约束力。
内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的内力。
―多余约束” ：并非维持结构的平衡所必需的约束。 AB梁中B端可动铰支座，桁架中的CB杆称为多余约 束，相应约束力或内力为“多余约束力”。 A B 多余杆 B A 内静不定 D C 多余铰支座 注意:多余约束力对维持平衡是多余的，但对工程实 际并不多余，是为提高强度、刚度而加上去的。

n
2 2
1n X 2n X nn X
j
n n
1 F 1 2 F 2
nLeabharlann 2(16.3)
n1 X 1 n 2 X
nF n

j 1

ij
X
iF
i
i=1,2,…,n
说明： （1）系数 ij 组成n阶方阵
14
3.力法求解简单静不定结构
F A F B
1 2

静不定次数：1次 静定基和相当系统

X1
F
wBF
3 位移协调条件（保证相当系统

wBX1
X1
在多余约束处的位移与原静不 定系统相同）
wB wBF wBX1 0
15
4

物理条件：位移表达为力的函数
F
wBF
wBX1
X1
wBF
5Fl
3
M M
F


i 1
n
X iM
i
（6）求静不定系统上某点位移，可用单位载荷法
——单位载荷加在原静不定系统的该点上(需 要再解一次静不定)
——单位载荷加在相当系统的该点上(可避免再 解一次静不定)
25
例题
例 题 16-1
§I6
静不定结构
F l l
求解图示静不定系统。 F 1 l l 解： 1次静不定
5
外静不定
静不定次数的判断：
（1） 外静不定结构 外静不定次数=全部约束力个数-独立的平衡方程数 =多余约束力个数 （2）内静不定结构 对于一个闭合框架结构： 切开截面内力分量的总数=该截面内部多余约束数 将结构切开一个或n个截面使其不再有闭合框 架 ——去掉内部多余约束使其变成静定的，则切 开截面上内力分量的总数就是内静不定次数。
18
力法正则方程
11 X 1 1F 1
（16.1)
11 ——相当系统仅作用 X1 =1时，在 X1 作用点
处 沿 X1 方向的广义位移。
1F
——相当系统仅作用原载荷时，在 X1 作用 点处 沿 X1 方向的广义位移。
1 ——静不定系统在 1处 沿 X1 方向的原有广义 位移。 （一般为 1= 0 ）
工程力学A (下)
( 5 –1 )
北京理工大学理学院力学系
韩斌
31/II
§16
§ 16.1
静不定结构
实例
概述
P
静不定结构的特点： （1）强度高，刚度大。 例如：
A
l 2 l 2
B
静定
l
P
wmax
w max
静不定
1 33 5 Pl
3
wmax
3
w max
5 Pl
5 Pl 32
48 EI
48 EI
可 乘利 法用 图
的方向均以所设的多余力 X j 的方向为正
23
1次静不定正则方程 11 X 1 1F 1 （16.1)
11 为仅有 X1 = 1 作用时，相当系统
在 X1 作用点处的位移
1 F为仅有原载荷作用时，相当系统
可 乘利 法用 图
在 X1 作用点处的位移 注意： 11 例： F l l
6
（a）切开一个链杆（二力杆），只有FN，相当
于去掉1个多余约束。
P P
FN FN
滑动铰=1个链杆
固定铰=2个链杆
（b）切开一个单铰，有 2个内力分量：FN，FS 相当于去掉2个多余约束。
P
P
FN
FS
FN
FS
7
（c）沿横截面切开受平面力系的平面结构，有3个内力 分量FN，FS，M， 相当于去掉3个多余约束。 故对于平面问题，多一个闭合框架，就多3次内静不定。 F F FS M FN FN F S
11 21 n1
12 22


n2
1n 2n nn
主系数 ii （i=1,2,…,n）恒为正 副系数 ij