《一元二次方程》考点探究
一元二次方程知识点-中考考点汇总
中考一元二次方程考题汇总考点整合1、 一元二次方程概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方 程。
2、 一般表达式：ax 2 bx c 0（a 0）其中ax 2是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方 程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
3、 使方程两边相等的未知数的 值，就是方程的解。
4、 一元二次方程的解法：5、根的判别式、根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b 2-4ac=0时，方程有2两个相等的实数根。
当 b 2-4ac<0时，方程有没有的实数根。
如果一元二次方程 ax bx c 0（a 0）有6、列一元二次方程解实际应用题步骤 考点精析考点一、一元二次方程的解例1 : （2011黑龙江哈尔滨3分）若x =2是关于x 的一元二次方程 x 2— m x + 8=0的一个解.则m 的值是.（A ） 6（B ） 5 （C ） 2 （D ） — 6举一反三1. （2011广西贵港3分）若关于x 的一元二次方程 x 2 — mx — 2 = 0的一个根为—1,则另一个根为 A . 1 B . — 1 C . 2 D . — 22.（2012年河北一模）关于x 的一元二次方程（a — 1） x 2+x+ a 2—仁0的一个根是0,贝y a 的值为（）考点二、一元二次方程的解法例题1,:（ 1）（ 2012湖北荆州）用配方法解关于x 的一元二次方程 x 2— 2x — 3= 0,配方后的方程可以是（(1) 直接开方法，适用于能化为 x a ）2 b b 0 的一元二次方程。
(2) 因式分解法，即把一元二次方程变形为 x+a ） （ x+b ） =0 的形式，则（x+a ） =0 或（x+b ） =0(3) 配方 法，即把一元二次方程配成x a)20 形式，再用直接开方法,（4）公式法，其中求根公式是 Xb b 2 4ac2a(b 2-4ac > 0)两根X !,X 2则有为 x 2b c ,x i x 2aaA. 1B. — 1C. 1 或一1D. 03. （2011广西百色3分）关于 2x 的方程x mx2m 20的一个根为1,则m 的值为A.11 B.—2C.1或丄.2D.1 或一-.24. （ 2012年浙江一模）已知关于 2x 的方程x 2x2k0的一个根是1,则k=.）A.(x—1)2= 4 B . (x+ 1)2= 4C. (x—1)2= 16 D . (x+ 1)2= 16(2) （2012山东省滨州中考）方程x(x - 2) =x的根是.考点:一兀二次方程的因式分解法(3) （2011江苏省无锡市）解方程：x2—4x+2=0举一反三1:（2012贵州铜仁）一元二次方程x2 2x 3 0的解为_____________ ;2: （2012贵州黔西南州，4, 4分）三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2—10x+ 21=0的解，则第三边的长为（）.A . 7B . 3C . 7或3 D.无法确定3:解方程：（1）（2011广东清远6分）解方程：x2—x —仁0.（2）（2011湖北武汉6分）解方程：x2+3 x+1=0.考点三：根的判别式，根与系数的关系例题：（2012湖北襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2—. 2k—1x+ 1 = 0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是1 1 「A. k v - B . k v -且k M0C .—1钗v 1 D . 1 1 r---- *v -且k M02 22222举一反三1. (2011 广西钦州）下列关于x的元—一次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（)2A . x 1 0B . x2 2x10Cx22x 1 0D . x 2x 1 022. （2012北京昌平初三一模）若关于x的一元二次方程（a —1）x —2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A . a v 2 且a M 0 B. a > 2 C. a v 2 且a 1 D. a v —23. （2011福建厦门）已知关于x的方程x2- 2x - 2n=0有两个不相等的实数根.（1）求n的取值范围；（2）若n v 5,且方程的两个实数根都是整数，求n的值.考点四：一元二次方程的应用例题：（2012南京市）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1） 若该公司当月售出 3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元； （2） 如果汽车的售价为 28万元/辆，该公司计划当月盈利 12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利 = 销售利润+返利） 举一反三1. （ 2012广东湛江）湛江市 2009年平均房价为每平方米 4000元.连续两年增长后，2011年平均房价达 到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为 x ,根据题意，下面所列方程正确的是（）A . 5500 （1+x ） 2=4000B . 5500 （1 - x ） 2=4000C . 4000 （1 - x ） 2=5500D . 4000 （1+x ） 2=55002. （ 2012山东省青岛市，12, 3）如图，在一块长为 22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两 条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行） ，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米•若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为•3. （2012?湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m 2.考点精练k 为任何实数，方程都没有实数根k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根D .根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数 根三种ABCD (围墙MN 最长可利用25m ）,现在已备足可以砌 1. （2011辽宁本溪3分）一元二次方程 x 23. 11 A 、 x 1 _, x 2_ 2 2B 、 X 1 2, X 22 C 、X 1x 2D 、x 1 x 22. （2011江苏苏州3分）下列四个结论中, 正确的是（ A .方程 C .方程 D .方程2有两个不相等的实数根 2有两个不相等的实数根 a （其中a 为常数，且a（2011山东潍坊3分）关于x 的方程x 2B . 方程x 1有两个不相等的实数根2 ）有两个不相等的实数根2kx k 1 0的根的情况描述正确的是.（BC .k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根是（）x 2— 5x+6=0的两个根，则三角形的第三边 c 的取值范围是.2关于x 的方程a （x+m ） +b=0的解是x 仁-2, x 2=1, （ a , m , b 均为常数，a 工0 ,10. （ 2008河南）在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边, 制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是 设金色纸边的宽为 x cm ，那么x 满足的方程为. 11. 解方程：（1） （2012 安徽）x 2 2x 2x 1（2） （2012 年江阴模拟）（x 3）2 4x （x 3） 0（3） （2009 武汉）x 2 3x 1 0 .12. （2012浙江椒江二中、温中联考）某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜 农修建大棚种植蔬菜•通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9;另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3万元。
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。
2x^2+11x-2=0B。
ax^2+bx+c=DC。
2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。
针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。
3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。
m=n=2B。
m=2.n=1C。
n=2.m=1D。
m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。
根的概念可用于求代数式的值。
典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。
一元二次方程考点透视
责 任 编 辑 ： 二 喜 王
一
ｉ 艟 ｊ 方 ｝ 二
透 点 彻
一
元 二 次 方 程 是 中 考 必 考 内 容 ．现 以 近 年 的 中 考 题 为 例 ， 将
其 主 要 考 点 归 纳 如 下 ， 你 复 习 时参 考 ． 供
考 点 一 考 查 一 元 二次 方 程 的 根 的 定 义 例 １ ｍ是 方 程 ＋ 一 ＝ １ ０的根 ， 代 数 式 ｍ ＋ ｍ ＋ ０ 则 ２ ２０ ７的 值
—
—
；
Ｃ ＝ Ｐ２
— —
方 程 ２ ３ ＝ ｘ Ｏ的 根 是 ： ＝ ｌ
—
—
，
，
贝 ｌ ＝ ０ ＋２ Ｃ Ｐ
—
—
， ｌ — ２
—
；
Ｃ Ｐ ２＝
— —
方 程 ｐ ｘ ２ ０的根 是 ：ｌ ｃ ３＋ ＝ ２ Ｃ Ｐ＝
—ห้องสมุดไป่ตู้
—
，
，
贝 ｌ ２ ０ ＋ ＝
—
—
，
Ｃ Ｐ Ｐ Ｉ ２＝ Ｃ
两根 之 积 的 符 号 ， 定 两 根 是 同号 还 是 异 号 ． 确
考 点 四 考 查 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系数 的 关 系
例 ４ （ ） 空： １填
考 试
方 程 ２ ２ ０的根 是 ： ＝ ＝ 。
—
—
，
Ｘ ２＝
— —
，
贝 ｌ ＝ ０ ＋２
—
—
，
Ｘ ｌ ２： Ｘ
转 化 为 常 规 运 算是 求 解 的 关键 ． 考 点 三 考 查 一 元 二 次 方 程 根 的判 别 式
一元二次方程中考考点
一元二次方程中考考点
一、基本形式和定义
一元二次方程的基本形式是ax²+bx+c=0（a，b，c 是常数，且a≠0）。
一元二次方程的定义是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程。
二、解法
直接开平方法：对于形如ax²=b（a，b 是常数，a≠0）的方程，可以使用直接开平方法求解。
方程两边同时开平方，即可得到x 的值。
因式分解法：将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，则两因式中至少有一个为0 的规律，再进一步求解。
公式法：利用求根公式x=（-b±√（b²-4ac）/2a）求解。
求根公式是解决一元二次方程问题的核心，要熟练掌握。
三、根的判别式
根的判别式Δ=b²-4ac，它可以帮助我们判断方程的根的情况。
当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ
<0 时，方程没有实数根。
四、应用
一元二次方程在中考中多以实际问题的形式出现，如距离、面积、商品定价等问题。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学问题，再利用数学方法进行求解。
在解题过程中，要充分理解题意，找出等量关系，列出方程并求解。
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
一元二次方程总预习复习考点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程知识点及考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存有某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
中考《一元二次方程》经典例题及解析
一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。
专题08 一元二次方程(归纳与讲解)(解析版)
专题08 一元二次方程【专题目录】技巧1：一元二次方程的解法归类技巧2：根的判别式的六种常见应用技巧3：根与系数的关系的四种应用类型【题型】一、一元二次方程的概念【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法【题型】三、解一元二次方程：配方法【题型】四、解一元二次方程：公式法【题型】五、解一元二次方程：因式分解法【考纲要求】1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．3、会列一元二次方程解决实际问题.【考点总结】一、一元二次方程【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． 用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一般步骤1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；02=++a cx a b x 2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；acx a b x -=+23、三配：①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++a b a c a b x a b x 的形式；①方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 4、四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数a ac b a b x 2422-±=+。
①分别解这两个一元二次方程，求出两根aacb b x 242-±-=。
一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）)的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c =0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a =1,b ≠0,c ≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a ≠1,b ≠0,c ≠0时，首选公式法或因式分解法 一元二次方程根与系数关系的两类应用（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x 1+x 2和x 1x 2的值，然后依照所求方程是x 2（x 1+x 2）x +x 1x 2=0写出方程 【技巧归纳】技巧1：一元二次方程的解法归类 【类型】一、限定方法解一元二次方程题型1：形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0 题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝2 4．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求xy的值．题型3：能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解 6．一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2 7．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0； (2)16x 2－9＝0； (3)4x 2＝4x －1.题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解 8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( )A ．x ＝－2±52B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0； (2)4x 2－3x －5＝x －2. 【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－4C ．x 1＝3和x 2＝－4D ．x 1＝3和x 2＝4 12．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝2 13．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0； (2)2x 2－3x ＋1＝0. 【类型】三、用特殊方法解一元二次方程 题型1：构造法14．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.15．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值． 题型2：换元法 a ．整体换元16．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48. 17．x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0. b ．降次换元18．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0. c ．倒数换元19．解方程：x －2x －3xx －2＝2.题型3：特殊值法20．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016. 参考答案 1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2， (x ＋2)2 ＝6， x ＋2 ＝±6，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 5．解： x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0， (x －5)2＋(y －8)2 ＝0， ∴x ＝5，y ＝8.∴x y ＝58.6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，∴x 1＝－34，x 2＝34.(3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝12.8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13. ∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136.(2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4＝1±22.∴x 1＝32，x 2＝－12.10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94， y －12＝±32，∴y 1＝2，y 2＝－1. (2)2x 2－3x ＋1＝0，∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1， ∴x ＝3±12×2＝3±14，即x 1＝1，x 2＝12.14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23.15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4.所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程可变为[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48. 解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332；当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根． ∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.17．解：x 2＋1x2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0， 设x ＋1x ＝y ，则原方程为y 2－2y －3＝0.∴y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＋1x ＝3，∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52.当y ＝－1时，x ＋1x＝－1，无实数解．经检验，x 1＝3＋52，x 2＝3－52都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝3＋52，x 2＝3－52.18．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x2＝0，即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2，原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0. 解得y 1＝52，y 2＝103.当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12；当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13.经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.19．解：设x －2x＝y ，则原方程化为y －3y ＝2，整理得y 2－2y －3＝0， ∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x ＝3，∴x ＝－1；当y ＝－1时，x －2x ＝－1，∴x ＝1.经检验，x ＝±1都是原方程的根， ∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x －2 014＝t ，则x －2 013＝t ＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t 的值，进而求出x 的值． 技巧2：根的判别式的六种常见应用【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m 的值．【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【类型】三、利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m 的值．【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根 【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根．(1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长． (2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？ 参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根． 2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得 x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数， ∴2m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0， 即2m －1＝±4. ∴m ＝52或m ＝－32.当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 点拨：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A . 6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c4＝b 2－(a 2－c 2)＝0.即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形． 7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1. 此时原方程为x 2－x ＋14＝0，∴x 1＝x 2＝12，∴当m ＝1时，▱AB CD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12.(2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0，解得m ＝52，故原方程为x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12.故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5. 技巧3：根与系数的关系的四种应用类型 【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)； (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1； (3)x 1－x 2.【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值． 【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝ x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23， q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝4，① 又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6.∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12. 4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k.∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32.∴k ＝95.经检验，k ＝95是该分式方程的根．又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．【题型讲解】【题型】一、一元二次方程的概念 例1、若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．–1【答案】D 【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法 例2、解下列方程： （1）241210x -=； （2）2(41)90x --=． 【答案】（1）121111,22x x ==-；（2）1211,2x x ==- 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：（1）方程变形得21214x =， 开平方，得 112x =±， ①121111,22x x ==-； （2）由原方程，得2(41)9x -=， 开平方，得413x -=±， ①1211,2x x ==-．【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 【题型】三、解一元二次方程：配方法 例3、用配方法解方程． （1）2420x x --=； （2）2680x x ++=．【答案】（1）12x =22x =；（2）2x =-，4x =- 【分析】（1）直接利用配方法进行求解； （2）直接利用配方法进行求解． 【详解】解：(1)方程变形为x 2-4x =2． 两边都加4，得x 2-4x +4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x +m )2=n 的方程，即有(x -2)2=6．解这个方程，得12x =22x =于是，原方程的根为12x =，或22x =． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x =-8．两边都加“一次项系数一半的平方”，得x 2+6x +32=-8+32， ①(x +3)2=1．用直接开平方法，得x +3=±1，①x =-2或x =-4． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤． 【题型】四、解一元二次方程：公式法 例4、解方程2820x x --=【答案】14x =+24x =- 【分析】先求出1a = ，8b =- ，2c =- ，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答 【详解】解：①1a = ，8b =- ，2c =- ，①224(8)41(2)720b ac ∆=-=--⨯⨯-=> ， ①方程有两个不相等的实数根．①4x ===±①14x =+24x =- 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即x =．【题型】五、解一元二次方程：因式分解法 例5、用因式分解法解下列方程： （1）234y y y -=-； （2）3(1)33x x x +=+．【答案】（1）122y y ==；（2）121,1x x ==- 【分析】（1）移项后利用完全平方公式得到2(2)0y -=，然后利用直接开方法解方程； （2）先变形得到3(1)(33)0x x x +-+=，然后利用因式分解方法解方程． 【详解】解：（1）移项，合并同类项，得2440y y -+=，因式分解，得2(2)0y -=，所以，原方程的根为122y y ==； （2）移项，得3(1)(33)0x x x +-+=， 即(1)(1)0x x x +-+=， 提公因式，得(1)(1)0x x +-=， 于是，得10x +=或10x -=， 所以，原方程的根为121,1x x ==-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．一元二次方程（达标训练）一、单选题1．（2022·四川泸州·一模）方程x 2﹣6x ＝0的解是（ ） A ．x ＝6 B ．x ＝0 C ．x 1＝6，x 2＝0 D ．x 1＝﹣6，x 2＝0【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解得：x （x ﹣6）＝0， 则x ﹣6＝0或x ＝0， 所以x 1＝6，x 2＝0， 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程23120x x --=在用求根公式x =求解时，a ，b ，c 的值是（ ） A ．3，―1，―2 B ．―2，―1，3 C ．―2，3，1 D ．―2，3，―1【答案】D【分析】先按照未知数x 的降幂排列，据此可得答案． 【详解】①23120x x --=， ①22310x x -+-=，则a =-2，b =3，c =-1, 故选： D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程2450x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)1x -=- C ．2(2)9x -= D ．2(2)9x -=-【答案】C【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：2450x x --=∴245x x -= ∴24454x x -+=+ ∴()229x -=只有选项C 符合题意； 故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程290x 的两个根为（ ）A ．1x ＝﹣3，2x ＝3B ．1x ＝﹣9，2x ＝9C ．1x ＝﹣1，2x ＝9D ．1x ＝﹣9，2x ＝1 【答案】A【分析】先将9移到方程右边，再开平方解方程即可． 【详解】解：29x =， x ＝±3，所以1x ＝3，2x ＝﹣3． 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的一元二次方程a 2x ﹣5ax +4＝0，有一个根为1．则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．1或﹣1D ．不能确定【答案】A【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可； 【详解】解：将x ＝1代入到方程可得：a ﹣5a +4＝0， -4a =-4， ①a ＝1， 故选： A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键．二、填空题6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设1x ，2x 是关于x 的方程220x kx k -+-=的两个根，121x x =+，则12x x =_____．【答案】1-【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可．【详解】解：①12x x 、是关于x 的方程x 2﹣kx +k ﹣2＝0的两个根，121x x =+， ①121x x =+＝k ，12x x ＝k ﹣2， ①12x x ＝1﹣2＝﹣1． 故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键． 7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，可列方程为：_________． 【答案】()28118x +=【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x ，则4月份的销售额是8（1+x ），5月份的销售额是()281x +，据此即可列出方程．【详解】解：根据题意可列方程： ()28118x +=，故答案为：()28118x +=．【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”．三、解答题8．（2022·四川南充·一模）已知关于x 的方程：x 2＋（m ﹣2）x ﹣m ＝0． (1)求证：无论m 取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数m ，n 是方程的两根，试求m ﹣n 的值． 【答案】(1)见解析 (2)52【分析】（1）根的判别式为24Δb ac =-，将系数代入即可证得．（2）把x m =代入方程可求得32m =，由根与系数的关系可求得n 值，即可求解．(1)证明：2Δ(2)4m m =-+24m =+．无论m 取何实数时，总有240m +>． ①方程总有两个不相等的实数根． (2)把x m =代入方程，得2(2)0m m m m +--=． 即223m m =． ①0m ≠，①32m =．由根与系数的关系，mn m =-． ①1n =-． ①52m n -=． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．一元二次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于x 的一元二次方程2410x x k -+-=两个相等的实数根，则关于x 的一元二次方程240x x k -+=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判定【答案】C【分析】根据2410x x k -+-=两个相等的实数根，计算出k 的值，再根据k 的取值范围计算出方程240x x k -+=的根的判别式，即可进行解答．【详解】解：①方程2410x x k -+-=两个相等的实数根， ①224(4)41(1)0b ac k -=--⨯⨯-=，解得：k =5， 一元二次方程240x x k -+=中，a =1，b =-4，c =k ， ①224(4)41164b ac k k -=--⨯⨯=-， ①k =5，①164k -=-4<0，①240x x k -+=无实数根． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关内容的解题的关键．240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根，240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，240b ac -<时，方程没有实数根．2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．230x = B ．(3)(2)0x x -+= C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=【答案】C【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A ．选项实数根为120x x ==，故该一元二次方程有两个相等的实数根； B ．选项实数根为13x =和22x =-，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；C ．选项依题意得：2,5,5a b c ==-=，则224(5)425150b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，故该一元二次方程没有实数根；D ．选项实数根为122x x ==-，故该一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，240b ac -≥ 时一元二次方程有实数根． 3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（ ）A ．－3B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：①α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根， ①+=,1b αβαβ-=-，①222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=- ①5b =- 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca是解题的关键．4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣9 B ．k ≤3 C ．﹣9＜k ＜6 D ．k 384-＞ 【答案】A【分析】设3t x =-，再把原方程化为290t t k +--=，结合根的判别式可得374k >-，再由原方程有两个实数根，可得1290,t t k =--<从而可得答案．【详解】解：①263,x x k x -++=-①269|3|90,x x x k -++---= ①2(3)|3|90,x x k -+---= 设t ＝|x ﹣3|，则原方程变形为290t t k +--=， 所以Δ＝1﹣4（﹣k ﹣9）＞0，解得374k >-， ①原方程有两个解，①方程290t t k +--=有一正根和负根， ①1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，①k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则1x y +=①满足()()22220x xy x y xy y +-+--≤的整数解(),x y 共有8个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；①提取公因式x 后根据恒成立找关系即可；①两个方程相加后因式分解即可解题；①去括号后因式分解判断即可．【详解】①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则22(2)0x xy x x x y --=-=-①20x y --=或者0x =，故①错误；①等式223x mxy x x +-=化简后为(5)0x my x +-=①无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，①50x my +-=，即5x my +=①()225x my +=，故①正确；①若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则两个方程相加得：222214x xy x y xy y +-++-=， ① 2()2()14x y x y +-+=2(1)15x y +-=① 1x y +=，故①错误；①整理()()22220x xy x y xy y +-+--≤得：22220x y x y +--≤①22(1)(1)2x y -+-≤①整数解(),x y①22(1)0(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩①11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩， 10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 01x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩， ① 整数解(),x y 共9对，故①错误；综上所述，结论正确的有①；故选：A ．【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．二、填空题6．（2022·辽宁本溪·二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．【答案】0m >且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别方法列出关于m 的不等式，即可解得答案．【详解】解：①一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，①224(1)(1)0m ∆=-⨯-⨯->，解得：0m >；①10m -≠，①1m ≠；①m 的取值范围是：0m >且1m ≠．故答案为：0m >且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．7．（2022·广东番禺中学三模）已知x 2＝2x +15，则代数式22((x x +--=__________．【答案】-【分析】直接将原式分解因式，再把x 的值代入进而计算得出答案．【详解】解：22((x x +--＝(x x x x＝2x×＝．①2215x x +＝，①22150x x ﹣﹣＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，①x ＝5或x ＝﹣3．当x ＝5时，原式＝5=当x ＝﹣3时，原式＝(3)-=-【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．三、解答题8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．(1)请直接写出函数2y x =-的不动点M 的坐标；(2)若函数38x y x a+=+有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值； (3)已知函数2(1)(1)y ax b x b =+++-，若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)(1,1)M(2)3a =(3)01a <<【分析】（1）设函数y =2-x 的不动点M 为（m ,m ），根据定义得到2-m =m ，求出m 即可求M 点坐标；（2）由题意可知AB 所在直线解析式为y =x ，联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩，再由根与系数的关系得3-a =0，即可求a 的值；（3）由题意可得211ax b x b x +++-=()（），则①24(1)0b a b =-->恒成立，对于关于b 的一元二次不等式恒成立，只需①216160a a =-<，即可．（1）解：设函数2y x =-的不动点M 为(,)m m ，2m m ∴-=，解得1m =，(1,1)M ∴；（2） A 、B 关于原点对称，且是函数的不动点，AB ∴所在直线解析式为y x =， 联立方程组38y x x y x a =⎧⎪+⎨=⎪+⎩， 整理得，2(3)80x a x +--=，30a ∴-=，3a ∴=；（3）由题意可知，2(1)(1)ax b x b x +++-=，整理得，2(1)0ax bx b ++-=，函数恒有两个相异的不动点，∴①24(1)0b a b =-->，2440b ab a ∴-+>恒成立，∴关于b 的一元二次不等式恒成立，∴①216160a a =-<，解得01a <<．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．。
(中考考点梳理)一元二次方程-中考数学一遍过
考点05 一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率＝增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．2．利润等量关系（1）利润＝售价－成本．（2）利润率＝利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1图2 图3考向一 一元二次方程的概念一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．典例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是A ．2210x x += B ．ax 2+bx +c =0 C ．x 2+x +1=0D ．x (x +1)=x 2+7 【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可.注意D 选项需要化简后进行观察.1．若方程()2110m x mx +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 A ．m ≠−1 B ．m =−1C ．m ≥−1D ．m ≠0考向二 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：典例2 若2x =-是关于x a 的值为_______________． 【答案】1或4-【解析】因为2x =-是关于x2340a a +-=，整理得1)40()(a a +-=， 解得14a =-，21a =．故a 的值是1或4-．典例3 用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=【答案】B【解析】因为2210x x +-=，所以2212x x ++=，即2(1)2x +=．故选B ．2．一元二次方程23830x x +-=的解是_______________．3．方程()32)11(x x x -=-的根是_______________．考向三 一元二次方程根的判别式对于方程2(0)0ax bx c a ++=≠，24b ac ∆=-，①若∆>0，方程有两个不相等的实数根；②若∆=0，方程有两个相等的实数根；③若∆<0，方程没有实数根．典例4 已知关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，则a 的取值范围是_______________．【答案】1a <-【解析】因为关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，所以0a ≠，且44(1)0a ∆-⨯⨯-<=，解得1a <-．故a 的取值范围是1a <-．学-科网典例5 有两个一元二次方程：①20ax bx c ++=，②20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下四个结论中，错误的是A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x =C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根 D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异【答案】B【解析】选项A ，214b ac ∆=-，224b ac ∆=-，12∆∆=，所以A 正确；选项B ，因为将1±分别代入方程，值相等，结合0a c +=，可知B 不正确；选项C ，因为1640a b c ++=，110164c b a ++=，即1640a b c ++=，故C 正确； 选项D ，由根与系数关系可知D 正确．故选B ．4．一元二次方程22520x x --=的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-考向四 根与系数关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12cx x a =．典例6 若1-是方程220x x c -+=的一个根，则c 的值为A ．2-B ．2-C ．3D ．1【答案】A【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(11-=+，所以(12c ==-. 故选A ．典例7 如果1x ，2x 是一元二次方程2650x x --=的两个实根，那么2212x x +=_______________．【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126x x +=，125x x =-，则222121212()2365246x x x x x x +=+-=+⨯=．6．若方程2410x x -+=的两根是1x ，2x ，则122(1)x x x ++的值为_______________．7．关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为A ．8- B ．8C ．16D ．16-考向五 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例8 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________．【答案】25％【解析】设药品平均每次降价的百分率是a ，则由题意可得243(616)a -=，25％． 典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是_______________．【答案】203(512)x -=【解析】由题意可得203(512)x -=．8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%9．如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为A ．()()2217300x x +-=B ．()()22172300x x --=C ．()()2217300x x ++=D ．()()2217300x x --=1．下列方程为一元二次方程的是A ．2220x xy y -+=B ．223x x -=C ．()231x x x +=-D ．10x x+= 2．设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +=A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为A ．1 B ．2C ．1-D ．2-4．用公式法解﹣x 2+3x =1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为A ．﹣1，3，﹣1B ．1，﹣3，﹣1C ．﹣1，﹣3，﹣1D ．﹣1，3，15．方程230x x -=的解是A ．3x =B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x = 6．方程()11x x x +=+的解是A ．1x =B ．1x =-C ．10x =，21x =-D ．11x =，21x =-7．若关于x 的一元二次方程22(2)520m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为A ．1B ．2C ．0或2D ．0 8．一元二次方程2210x x --=的根的情况为A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 9．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是A ．1m >B ．1m <C ．1m ≥D ．1m ≤10．关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是A ．16q <B ．16q >C ．4q ≤D ．4q ≥11．已知c b a ,,为常数，点),(c a P 在第二象限，则关于x 的方程02=++c bx ax 根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为A ．2B ．0C ．1D ．2或013．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则此方程的另一根为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 14．设α，β是方程2210x x --=的两根，则代数式αβαβ++的值是A ．1B ．1-C ．3D ．3- 15．若关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两个实数根分别为2和4-，则b c +=A ．10-B ．10C ．6-D ．1- 16．已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为1x ，2x ，则1211x x +的值为 A ．2B ．1-C ．12- D ．2- 17．2018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A ．10%B ．8%C ．1.21%D ．12.1%18．已知一次函数y =kx +b 的大致图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个根是019．用配方法解方程x 2+6x ﹣5=0时，应该变形为_______________．20．若方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________． 21．已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________． 22．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列方程_______________．23．若12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则221212x x x x +的值是_______________． 24．已知直角三角形两边的长是方程218650x x -+=的两个根，则第三边的长为_______________． 25．设α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+=_______________． 26．解下列方程：（1）2235()x -=；（2）22330x x --=； （3）2()330x x --+=．27．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．28．已知关于x 的方程28120x x a ++-=有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解． 29．根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程2210x x -+=的解为________________________； ②方程2320x x -+=的解为________________________； ③方程2430x x -+=的解为________________________；……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为________________________；②关于x 的方程________________________的解为11x =，2x n =． （3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性．30．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的15，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325，求小路的宽．31．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．32．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨（或跌）1元，月销售量就减少（或增加）10kg，解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克35元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？（3）商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少？此时利润为多少？1．（2018贵州省铜仁）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣32．（2018湖南省湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为A．1 B．﹣3C．3 D．43．（2018甘肃省陇南）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是A．k≤﹣4 B．k＜﹣4C．k≤4D．k＜44．（2018辽宁省锦州）一元二次方程2x2−x+1=0的根的情况是A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．（2018四川省泸州）若关于x 的一元二次方程()222110x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是A ．k ≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k ≤16．（2018福建）已知关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是A ．1一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根C ．1和﹣1都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根D ．1和﹣1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根7．（2018河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 A ．x 2+6x +9=0 B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=08．（2018湖北省咸宁）已知一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的两个根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是 A ．x 1+x 2=1 B ．x 1•x 2=﹣1 C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12+x 1=129．（2018广西壮族自治区贵港）已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是 A ．3 B ．1 C ．﹣1D ．﹣310．（2018山东省潍坊）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是 A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在11．（2018黑龙江省龙东地区）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？ A ．4B ．5C ．6D ．712．（2018浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC △，使90ACB ∠= ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2aBD =.则该方程的一个正根是A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长13．（2018四川省资阳）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x +m 2﹣2m =0有一个根为0，则m =_____． 14．（2018云南省曲靖）关于x 的方程ax 2+4x ﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a =_____（一个即可）． 15．（2018贵州省毕节）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．16．（2018湖南省益阳）规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝_____．17．（2018湖北省荆州）关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____．18．（2018四川省达州）已知：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2+2n ﹣1=0且mn ≠1，则1mn n n++的值为_____． 19．（2018甘肃省兰州）解方程：23220x x --=．20．（2018湖北省十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．21．（2018湖北省孝感）已知关于x 的一元二次方程()()()321x x p p --=+. （1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值. 22．（2018黑龙江省绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．23．（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a %，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a %，5a %，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a %，8a %，求a 的值．1．【答案】A【解析】根据一元二次方程的定义可得：m +1≠0，解得：m ≠−1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足三个条件： （1）必须是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义求解即可． 2．【答案】113x =，23x =-3．【答案】11x =，223x =【解析】()32)11(x x x -=-，即312()(0)1x x x ---=，即()(20)31x x --=，即320x -=或10x -=，解得11x =，223x =． 4．【答案】B【解析】由22520x x --=可得2(5)42(2)410∆=--⨯⨯-=>，所以方程22520x x --=有两个不相等的实数根. 故选B ． 5．【答案】A【解析】由题可得=4401k k ∆-=⇒=. 故选A ． 6．【答案】5【解析】根据题意得124x x +=，121x x =，所以12212124(1)15x x x x x x x ++=+=+=+． 7．【答案】C【解析】因为关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，所以12m -=-，22n=-，所以2m =，4n =-，所以2(4)16m n =-=．故选C ．9．【答案】D【解析】设道路的宽应为x 米， 由题意得（22−x ）（17−x ）=300， 故选D ．【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．1．【答案】B【解析】A 、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误； B 、是一元二次方程，故此选项正确；C 、原方程化简整理后是一元一次方程，故此选项错误；D 、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B ．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，这样的整式方程称为一元二次方程，判断即可． 2．【答案】B故选B ． 3．【答案】B【解析】因为2是方程230x x k -+=的一个根，所以22320k -⨯+=，解得2k =． 故选B ． 4．【答案】A【解析】方程﹣x 2+3x =1整理得：﹣x 2+3x ﹣1=0， 则a ，b ，c 依次为﹣1，3，﹣1． 故选A ．【名师点睛】将一元二次方程整理成一般形式后即可判断出a ，b ，c 的值. 5．【答案】B【解析】由230x x -=，可得3()0x x -=，则10x =，23x =. 故选B ． 6．【答案】D【解析】()11x x x +=+，即(1)(1)0x x x +-+=，即(1)(1)0x x +-=，即10x +=或10x -=， 所以11x =-，21x =， 故选D.【名师点睛】本题是个易错题，因为不知道1x +是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以(1)x +．7．【答案】D【解析】由题意可得22020m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =.故选D ．【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的解和解方程的应用，关键是得出220m m -=且20m -≠．8．【答案】B【解析】因为2241(1(0))8∆=--⨯⨯-=>，所以方程有2个不相等的实数根． 故选B ． 9．【答案】C【解析】由题意得240b ac ∆=-≥，即2[20)12]4(m -⨯⨯--≥，解得1m ≥. 故选C ． 10．【答案】A【解析】由题可得6440q ∆=->，解得16q <． 故选A ． 11．【答案】B【解析】因为点),(c a P 在第二象限，所以0a <，0c >，所以0ac <，所以240b ac ∆=->，所以方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根． 故选B ．13．【答案】B，有一个根是2，则另一个根是321-=．故选B ． 12cx x a=．故选B ． 14．【答案】A【解析】由根与系数关系，可得2αβ+=，1αβ=-，则211αβαβ++=-=． 故选A ． 15．【答案】A【解析】由根与系数关系可得2(4)b +-=，2(4)c ⨯-=，解得2b =-，8c =-．所以10b c +=- ．故选A ．16．【答案】D【解析】由根与系数的关系可得122x x +=，121x x =-，所以22121111221x x x x x x ++===--. 故选D ． 17．【答案】A【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为x ，依题意可得21000(1)2101000x ⨯+=+，解得10.110%x ==，2 2.1x =-(舍去)． 即该市这两年该项投入的平均增长率为10%． 故选A ． 18．【答案】A【解析】∵一次函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，∴k >0，b <0， ∴△=(−2)2−4（kb +1）=−4kb >0，∴方程x 2﹣2x +kb +1=0有两个不等的实数根. 故选A ．【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△=b 2−4ac 的值的符号就可以了． 19．【答案】（x +3）2=14【解析】方程移项得：x 2+6x =5，配方得：x 2+6x +9=14，即（x +3）2=14.【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 20．【答案】1k <【解析】因为方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，所以∆>0，即22410k -⨯⨯>，解得1k <，故填1k <．学=科网21．【答案】1-【解析】因为关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，所以2240m ∆=+=，解得1m =-． 22．【解析】参加聚会的有x 人，每个人都要握手(1)x -次，可列方程： 23．【答案】15【解析】因为12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，所以123x x +=-，125x x =-，所以2212121212()15x x x x x x x x +=+=．25．【答案】47【解析】方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+=，因为α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，所以3αβ+=，1αβ=，所以222(+)27αβαβαβ=-=+，4422222=()2αβαβαβ++-47=，所以334447βααβαβαβ+=+=．26．【答案】（1）3x =±；（2）x =；（3）13x =，24x =．【解析】（1）2235()x -=，开平方可得3x -=，即3x =±，所以方程2235()x -=的解为3x =±． （2）由22330x x --=，可得2,3,3a b c ==-=-，24330b ac ∆=-=>，所以x ==，所以方程22330x x --=的解为x =（3）2()330x x --+=，即2()(30)3x x ---=，即()[()1]330x x --=-， 即4)30()(x x --=，解得13x =，24x =， 所以方程2()330x x --+=的解为13x =，24x =．【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用． 27．【答案】（1）证明见解析；（2）0k <．【解析】（1）因为222[(3)]4(22)21(1)0k k k k k ∆=-+-+=-+=-≥， 所以方程总有两个实数根．（2）因为2(3)22(2)(01)x k x k x x k -+++=--=-，所以12x =，21x k =+，因为方程总有一根小于1，所以11k +<，即0k <．故k 的取值范围为0k <．【思路分析】（1）由方程根的判别式0∆≥即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为1()2)(x x k ---的形式，解出两根即可．28．【答案】（1）4a >-；（2）13x =-，25x =-．【解析】（1）根据题意可得284(12)0a ∆=-->，解得4a >-．（2）因为4a >-，所以最小的整数为3-，所以2812(3)0x x ++--=，即28150x x ++=，解得13x =-，25x =-．【思路分析】（1）方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，由此可求参数的取值范围；（2）利用（1）的结论求出a 的值，代入原方程解方程即可．29．【答案】（1）①11x =，21x =，②11x =，22x =，③11x =，23x =；（2）①11x =，28x =，②2)0(1x n x n ++=-；（3）11x =，28x =，猜想结论正确．【解析】（1）①11x =，21x =；②11x =，22x =；③11x =，23x =．（2）①11x =，28x =；②2)0(1x n x n ++=-．（3）2980x x -+=，即298x x -=-，即281819844x x -+=-+，即249(924x =-， 所以7292x -=±， 所以11x =，28x =．故猜想结论正确．30．【答案】小路的宽为2米．【解析】设小路的宽为x 米，由题意得，（5x ）2+（40+50）x ﹣2×x ×5x =325×40×50， 解得x =2或x =﹣8（不合题意，舍去）答：小路的宽为2米．【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325”，建立方程求解即可得出结论． 31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）设经过x 秒以后△PBQ 的面积为6 cm 2， 则12×（5﹣x ）×2x =6， 整理得：x 2﹣5x +6=0，解得：x =2或x =3．答：2或3秒后△PBQ 的面积等于6 cm 2 ．（2）设经过x 秒以后△PBQ 面积为8 cm 2，则12×（5﹣x ）×2x =8， 整理得：x 2﹣5x +8=0，因为△=25﹣32=﹣7＜0，所以此方程无解，故△PQB 的面积不能等于8 cm 2．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于6 cm 2”，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于6 cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm 2．32．【答案】（1）月销售量为450千克，月销售利润为6750元；（2）销售单价应为60元；（3）销售单价应为50元，此时利润为9000元．【解析】（1）月销售量为500−10×（35−30）=450（千克），月销售利润为（35−20）×450= 6750（元）.（3）设应涨价x 元，∵月销售利润()()2302050010104005000y x x x x =+--=-++ 210(20)9000x =--+，∴当20x =时，9000y =最大值，答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程．注意熟记等量关系：销售利润=每件利润×数量.（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等式即可列出方程求解，再结合销售成本不超过6000元进行取舍即可；（3）根据（2）中的相等关系列出函数解析式，化为顶点式即可求出答案.1．【答案】C 【解析】x 2−4x +3=0，分解因式得：（x −1）（x −3）=0，解得：x 1=1，x 2=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．【答案】C【解析】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a 是解题的关键．设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．3．【答案】C【解析】根据题意得∆=42﹣4k ≥0，解得k ≤4．故选C ．【名师点睛】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得∆=42﹣4k ≥0，然后解不等式即可．一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的根与∆=b 2﹣4ac 有如下关系：当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程无实数根．4．【答案】C【解析】∵∆=b 2 −4ac =1−8=−7＜0，∴一元二次方程2x 2 −x +1=0没有实数根．故选C ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式∆=b 2−4ac ，先计算∆=b 2−4ac 的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．当∆>0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆<0，方程没有实数根．5．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有实数根，∴∆=b 2﹣4ac =4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k +8≥0，解得：k ≤1．故选D ．【名师点睛】直接利用根的判别式进而分析得出k 的取值范围．∆＞0时，一元二次方程有两个不等实根；∆=0时，一元二次方程有两个相等实根；∆＜0时，一元二次方程无实根.6．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，∴()()22102410a b a +≠⎧⎪⎨∆-+⎪⎩＝＝，∴b =a +1或b =−（a +1）． 当b =a +1时，有a −b +1=0，此时−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，有a +b +1=0，此时1是方程x 2+bx +a =0的根．∵a +1≠0，∴a +1≠−（a +1），∴1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．故选D ．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当∆=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程有两个相等的实数根可得出b =a +1或b =−（a +1），当b =a +1时，−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，1是方程x 2+bx +a =0的根．再结合a +1≠−（a +1），可得出1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．7．【答案】B【解析】A 、x 2+6x +9=0.∆=62−4×9=36−36=0，方程有两个相等实数根；B 、x 2=x ，即x 2−x =0.∆=（−1）2−4×1×0=1＞0，方程有两个不相等实数根；C 、x 2+3=2x ，即x 2−2x +3=0.∆=（−2）2−4×1×3=−8＜0，方程无实根；D 、（x −1）2+1=0，即（x −1）2=−1，则方程无实根.故选B ．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与∆=b 2−4ac 有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．8．【答案】D【解析】根据题意得x 1+x 2=﹣22=﹣1，x 1x 2=﹣12，故A 、B 选项错误； ∵x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，∴x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，故C 选项错误； ∵x 1为一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的根，∴2x 12+2x 1﹣1=0，∴x 12+x 1=12，故D 选项正确， 故选D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.直接利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；由于x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，则利用有理数的性质得到x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，则可对C 进行判断；利用一元二次方程解的定义对D 进行判断．9．【答案】B【解析】∵α，β是方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1−（−2）=−1+2=1，故选B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键．根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．10．【答案】A【解析】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩，解得：m ＞﹣1且m ≠0，。
“一元二次方程”中考考点透视
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考 点 ２ 一 元二 次 方 程 的 解 法
二次方程 应用 中的增长率 问题． 一 般 表 示
增 长 前 的量 Ｘ（ １ ＋ 增长率 ） ， 例２ （ ２ ０ １ ３ ・ 山 东滨 州 ） 一 元 二 次 方程 为 增 长 后 的量 ＝ 如 果 设 这 个 增 长 率 为 ． 根 据 “ 五 月 份 的 利 ２ ＿ ３ ＋ １ ＝ ０ 的 解 为
而解 得 ｍ的值 为 一 １ ． 故 选Ｂ ．
题作 简单 的阐述 ． 希 望 对 同学 们 今 后 的 学
习有 所 帮 助 ．
【 点评 】 本 题 有 时 还 会 让 同学 们 求 出此
方程的另一个根 ． 只 要 把 ｍ＝ 一 １ 重 新 代 入 原 方程 ． 求 出一 元 二 次 方 程 的根 即 可 ．
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元 二次 方
丹Hale Waihona Puke 市云阳学校 谢 月 华 中考考点透
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元 二 次 方 程 是 中 学 数 学 的 一 个 重 要
例１ （ ２ ０ １ ２ ， 贵 州安 顺 ） 已知 ｌ 是 关 于
） ．
Ｂ．一１
内容 ． 它 在 每 年 中 考 中 占 有 十 分 重 要 的 地 的 一 元 二 次 方 程 （ ｍ一 １ ） ｘ ２ ＋ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ 的一个根 ， 位 ． 它既 有独 立考查 的试题 ． 更 有 广 泛 渗 则 ｍ的 值 是 （ 透到其他方 面的综合考查 ． 它 也 是 高 中 阶 段学 习的基础 ． 在 整 个 中学 数 学 学 习 中起 着 承 上 启 下 的 作 用 ．一 元 二 次 方 程 主 要 有 三 部 分 内容 ． 分 别 是 一 元 二 次 方 程 的 概 的应 用 ． 下 面 就 近 年 中 考 试 卷 中 出 现 的 例
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
《一元二次方程》学习要点
一元二次方程学习要点学习目标：1.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，会识别一元二次方程及各部分名称。
2.会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。
学习重难点：重点：1、认识产生一元二次方程知识的必要性。
2、探索一元二次方程的解或近似解。
难点：1、列方程的探索过程。
2、培养学生的估算意识和能力。
学习要点：学习目标11.会根据实际问题列出方程2.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
从一元二次方程的定义可知，一元二次方程需具备以下三个条件：(1)只含有一个未知数，即未知数有且只有一个。
如果方程中未知数的个数多于1个，那么它就不是一元二次方程。
(2)未知数的最高次数是2，即未知数的最高次数不能低于2，也不能高于2。
但方程中是否存在一次项或常数项，并没有提出要求。
因此，可将方程进行降幂排列，观察未知数的最高次数是否为2。
(3)方程的两边是整式。
整式是单项式和多项式的统称。
说明分母不能含有未知数，被开数不能含有未知数。
只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定满足以上三个条件.3.一元二次方程的一般形式的相关概念及剖析概念：把方程化成形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),这种形式叫一元二次方程的一般形式.即一般形式为：20(,,0)ax bx c a b c a ++=≠为常数，.各部分名称：，，分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。
剖析：(1)一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a 通常写成大于0的形式,而右边是0.(2)当一元二次方程化成一般形式后,左边的三个单项式ax 2,bx ,c 分别叫做二次项,一次项和常数项;且常数a ,b 分别叫二次项系数和一次项系数.(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.4.判断一个方程是不是一元二次方程时应注意的问题(1)判断一个方程是否是一元二次方程，应以化简后的结果为准。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
一元二次方程的考点
一元二次方程的考点
一元二次方程是数学学习中最基本的知识，也是高考考点之一。
功能一元二次方程是一个包含变量x的二次多项式除以零，得到以x 为变量的等式。
它是数学运算中最基本的问题，用于表达对某种状态的分析，决定其趋势变化的模式。
解题思路一元二次方程的解题思路包括三种：一是因式分解法，二是根式法，三是判别式法。
因式分解法因式分解是一元二次方程解题的最简单方法，它是先把一元二次方程分解成两个一元一次方程，然后把其解求出来。
根式法根式法是一元二次方程的另一种解法，它是把一元二次方程化成根式来解决问题，把一元二次方程的根式直接求出来。
判别式法判别式法是利用一元二次方程的判别式来判断一元二次方程的解的性质。
如果判别式大于零，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则该一元二次方程有一个重根；如果判别式小于零，则该一元二次方程没有实数根。
这三种解法都有不同之处，但是都可以解决一元二次方程，帮助考生正确处理一元二次方程的问题。
总之，一元二次方程是高考课程中的重要考点，要想正确解决许多问题，考生必须熟悉三种解法，只有这样我们才能正确答题。
一元二次方程知识点与考点
一元二次方程知识点与考点(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax例1、当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
练习：1、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
专题18一元二次方程章末重难点突破(学生版)
专题2.10 一元二次方程章末重难点突破【考点1 一元二次方程的概念】【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x 的方程（m 2﹣16）x 2+（m +4）x +2m +3＝0，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程．【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x 的方程(m −3)x m2−2m−1−（m +1）8x +2＝0是一元二次方程，则m ＝ ．【变式1-2】关于x 的方程（k 2﹣6k +12）x 2＝3﹣（k 2﹣9）x 是一元二次方程的条件是k ．【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0（b ，c 为常数）的两根x 1，x 2满足﹣3＜x 1＜﹣1，1＜x 2＜3，则符合条件的一个方程为 【考点2 一元二次方程的解】【例2】（2021•武汉模拟）已知a 是方程x 2+x ﹣2021＝0的一个根，则2a 2−1−1a 2−a的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．12020D ．12021【变式2-1】（2021•三台县一模）设方程x 2+x ﹣1＝0的一个正实数根为a ，2a 3+a 2﹣3a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣3【变式2-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根，则﹣a 3+2a +2020的值为 ． 【变式2-3】（2021春•海淀区校级期末）已知x 2﹣4x +1＝0，则x 22x 4−x 2+2的值为 ．【考点3 解一元二次方程】【例3】（2020秋•武侯区校级月考）解方程：（1）2（x +1）2−92=0； （2）（x +1）（x ﹣3）＝﹣2；（3）x （x +3）＝5（x +3）； （4）（2x +1）2﹣3（2x +1）﹣28＝0．【变式3-1】（2020秋•孟津县校级月考）解方程：（1）（x +1）（x ﹣1）=2√2x ； （2）（2x ﹣1）2+3（2x ﹣1）+2＝0；（3）14x 2+52x ﹣6＝0； （4）4（x ﹣2）2﹣（3x ﹣1）2＝0．【变式3-2】（2020春•莱芜区月考）解下列方程（1）x 2+12x +27＝0（配方法）； （2）x （5x +4）＝5x +4；（3）（3x +2）（x +3）＝x +14； （4）（x +1）2﹣3（x +1）+2＝0．【变式3-3】（2021秋•恩阳区 月考）解方程：①x 2+（√3+√2）x +√6=0（因式分解法） ②5x 2+2x ﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法） ④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法） ⑤x+1x 2−2x 2x+1=1（换元法） ⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【考点4 根的判别式综合】【例4】（2021春•西湖区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +14m ＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令y ＝4b 2﹣4b ﹣3m +3，则（ ） A ．y ＞﹣1B ．y ≥﹣1C ．y ≤1D ．y ＜1【变式4-1】（2021春•滨江区期末）关于x 的一元二次方程ax 2+2ax +b +1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k （ ） A ．若﹣1＜a ＜1，则ka＞kbB ．若k a＞kb，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a＜kbD ．若k a＜kb，则0＜a ＜1【变式4-2】（2020秋•呼和浩特期末）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0． （1）求证：当m ＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（2）已知x ＝n 是它的一个实数根，若mn 2﹣4n +m ＝3+m 2，求m 的值．【变式4-3】（2020秋•大余县期末）已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x ＝﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【考点5 根与系数的关系综合】【例5】（2020秋•武侯区校级月考）已知α、β为方程x 2+4x +2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝ ． 【变式5-1】（2021•常州模拟）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则b−1a−1+a−1b−1的值为 ．【变式5-2】（2021春•叶集区期末）已知一元二次方程x 2−√5x +12=0两个根为a ，b ，求下列各式的值． （1）ab+ba ； （2）a 2+√5b +32．【变式5-3】（2020秋•乐清市月考）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2+1＝0． （1）若方程有两实数根，求m 的范围；（2）设方程两实根为x 1，x 2，且|x 1|+|x 2|＝x 1x 2，求m ．【考点6 一元二次方程中的新定义问题】【例6】（2020秋•句容市期中）定义：我们把关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0（ac ≠0，a ≠c ）称为一对“友好方程”．如2x 2﹣7x +3＝0的“友好方程”是3x 2﹣7x +2＝0． （1）写出一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的“友好方程” ．（2）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1＝2，x 2＝﹣4，它的“友好方程”的两根x 3=12、x 4＝ ．根据以上结论，猜想ax 2+bx +c ＝0的两根x 1、x 2与其“友好方程”cx 2+bx +a ＝0的两根x3、x 4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论．（3）已知关于x 的方程2020x 2+bx ﹣1＝0的两根是x 1＝﹣1，x 2=12020．请利用（2）中的结论，写出关于x 的方程（x ﹣1）2﹣bx +b ＝2020的两根为 ．【变式6-1】（2020秋•灌云县期中）定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2（x 1＜x 2），分别以x 1，x 2为横坐标和纵坐标得到点M （x 1，x 2），则称点M 为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x 2﹣2x ＝0．写出该方程的衍生点M 的坐标．（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m ﹣1）x +m 2﹣2m ＝0求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；（3）是否存在b 、c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的衍生点M 始终在直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）的图象上，若有，请求出b ，c 的值；若没有，说明理由．【变式6-2】若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，则有：x 1+x 2=−ba，x 1•x 2=c a，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2﹣1＝0的两不相等的根分别为x 1，x 2，且满足：|x 1+x 2|＝x 1x 2，求k 的值；（2）若α，β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根，记S 1＝α+β，S 2＝α2+β2，…，S n ＝αn +βn ， ①计算S 1，S 2；②当n 为不小于3的整数时，证明：S n ﹣2+S n ﹣1＝S n ； ③求（1+√52）7+（1−√52）7的值．【变式6-3】（2021•无棣县一模）（1）已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k +1）x +k 2+2＝0的两实根，且（x 1+1）•（x 2+1）＝8，求k 的值．（2）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，设s 1＝α+β，s 2=α2+β2，…，s n =αn +βn ．根据根的定义，有α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，将两式相加，得（α2+β2）﹣（α+β）﹣2＝0，于是，得s 2﹣s 1﹣2＝0．根据以上信息，解答下列问题：①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出s 1，s 2的值． ②猜想：当n ≥3时，s n ，s n ﹣1，s n ﹣2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性． （注：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0若有两根x 1，x 2，则有x 1+x 2=−ba ；x 1⋅x 2=ca ）【考点7 一元二次方程的实际应用】【例7】（2021春•成都期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．【变式7-1】（2020秋•渝中区期末）2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的14，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？【变式7-2】（2020•夷陵区模拟）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．①分别求出他们三人号召的成功率；②求出n的值．【变式7-3】（2020秋•雁江区期末）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．【考点8 一元二次方程与几何综合】【例8】（2020秋•鼓楼区期中）如图，在一块矩形ABCD 的草坪上有两条部分重叠的平行四边形（▱AEFH 、▱BFHG ）小路，小路进出口的宽AE 、BG 、FH 均为2m ，小路的边EF 、GH 与AB 所成的夹角均为60°，小路的面积是整个矩形面积的38，设AB 长为xm ．（1）EF 与GH 的交点记为P ，△PHF 的面积为 m 2．（2）用含x 的代数式分别表示线段BE 、BC 的长（直接写出答案，不必说明理由）； （3）求x 的值．【变式8-1】（2021春•嘉兴期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD 修建成一个花圃，其中AB ＝12米，BC ＝20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH ）组成．（1）若环形小道面积是花圃面积的14，求小道的宽度．（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I ，J ，K 分别在边EH ，EF ，FG 上，L 为花圃内一点，四边形HIJL 和四边形GLJK 均为平行四边形．已知KG 的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL 与四边形GLJK 的面积之和是花圃面积的27500，求小道的宽度．【变式8-2】（2021•宿迁三模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm /s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm /s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【变式8-3】（2020秋•晋安区期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB ＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B表示的数为，P所表示的数为（用含t的代数式表示）；（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？（3）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF 如图2所示．求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半？请直接写出结论：t＝秒．。
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《一元二次方程》考点探究【考纲要求】1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.【命题趋势】结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.【考点探究】考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C .答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．5D ．6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122＝2±3. 方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4±2D ．0或8解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D.答案：D方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )A ．n 2－4mk ＜0B ．n 2－4mk ＝0C ．n 2－4mk ＞0D ．n 2－4mk ≥0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3. 解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2011年的年产量为12.5万辆．方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？【经典考题】1．用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．14D ．－143．已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为( )A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2 C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－2 4．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是()A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121 C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝121 5．一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．6．把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．【模拟预测】1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是()A．m≠2 B．m≠±2C．m≠ 2 D．m≠± 22．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－24．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则()A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜05．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是__________．8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．参考答案【考点探究】触类旁通1．B 把3代入原方程得c ＝6，解原方程得另一个根是2.触类旁通2．解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝9－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－3±52. ∴x 1＝－3＋52，x 2＝－3－52. 触类旁通3．D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n 2－4mk ≥0.触类旁通4．B 因为a ＝1，c ＝3，所以x 1x 2＝c a＝3. 触类旁通5．解：(1)2x 50－x(2)由题意，得(50－x )(30＋2x )＝2 100，化简，得x 2－35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x ＝15不合题意，舍去．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．【经典考题】1．A 原方程变为x 2＋4x ＋4－4＋1＝0，所以(x ＋2)2＝3.2．B 因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a )＝0，所以a ＝－1.3．D b ＝x 1＋x 2＝1－2＝－1，c ＝x 1x 2＝－2.4．C 因为每次提价的百分率都是x ，则两次提价后价格是原价的(1＋x )2，所以列方程为100(1＋x )2＝121.5．3或－1 解方程：x 2－2x ＋1＝4，∴(x －1)2＝4，x －1＝±2，∴x 1＝3，x 2＝－1.6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm ，则(40－2x )2＝484，即40－2x ＝±22，解得x 1＝31(不合题意，舍去)，x 2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm .②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为y ＝4(40－2x )x ，即y ＝－8x 2＋160x ＝－8(x －10)2＋800，∴当x ＝10时，y 最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm 2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm ，从而有2(40－2x )(20－x )＋2x (20－x )＋2x (40－2x )＝550，解得x 1＝－35(不合题意，舍去)，x 2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm .此时长方体盒子的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为5 cm .【模拟预测】1．D 由题意知，m 2－2≠0，得m ≠± 2.2．C 因为x 2－2x －5＝x 2－2x ＋1－6＝0，所以(x －1)2＝6.3．C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a －1)＞0，且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.4．A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p ＜0，所以p ＞0；两根之积为正，即q ＞0.5．±7 因为把x ＝2代入原方程得a 2＝7，所以a ＝±7.6．2 因为a ＝1，c a＝x 1x 2＝2，所以c ＝2. 7．－65因为a ＋b ＝6，ab ＝－5， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6－5＝－65. 8．解：提取公因式，得(x －2)(x ＋1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1.9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x .由题意，得5(1－x )2＝3.2.解方程，得x 1＝0.2，x 2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x 2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．。