一元微积分(校本部理工A)期中试卷-2013-11-23解答

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高数(一元函数微积分)试卷含答案

《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==，；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ）（A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线（B ）凸曲线（C ）增加曲线（D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（错）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（错）；3.闭区间上连续函数一定可积（对）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（错）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ；解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

34 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223+−=x y 15． 13y x =+二．计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3．解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。

2011-2《微积分A》期中试题解答(1)

北京理工大学2011-2012学年第二学期《微积分A 》期中试题解答及评分标准一、填空题（每小题4分，共20分） 1. ；30=S 2.;02,11111=-++-==-z y x z y x3. ⎰⎰=eeydx y x f dy I ),(10 4. ⎩⎨⎧==+02222z y x ; 5.)12ln 2(411+=∂∂==y x xz ,=∂∂==11y x yz 4.二、2132(cos ),x zxf x xf ye f x∂''=++∂ ………………………4分2232231232321332332sin (2)sin cos cos sin .xy xy xyxyxy z x yf x e x ye f x y xf x yx xe f x ye yf x ye f ∂''"=-++-∂∂""''+-+ (8)分三、 ⎰⎰--=Ddxdy y x RI 222⎰⎰θππ-ρρρ-θ=cos 02222R d R d …………….……….….4分).322(32)sin 1(323233-π=θθ-=⎰πR d R ………….….…8分四、 0)2(2222=+++=∂∂xxey y x exf0)22(2=+=∂∂y eyf x……………………….2分解得驻点：)1,21(- ……………………….3分.2),1(4),12(4222222222xxxeyf y eyx f y y x exf =∂∂+=∂∂∂+++=∂∂.5分在点)1,21(-e C B e A 2,0,2===，0422<-=-=∆e AC B，又02>=e A ，所以点)1,21(-是极小值点； ……………………….7分极小值为.2)1,21(ef -=- ……………………….8分五、由于积分区域关于yoz 面对称，所以 0245=⎰⎰⎰dxdydz z xy V….2分dxdydz z y x z xy I V⎰⎰⎰++=)2(245dxdydz z y x V⎰⎰⎰+=)(2=⎰⎰⎰-+y xdz z y x dy dx 102110)(22……………….6分⎰+-+-=12468)31323432(dx x x x x.945184=……………………….8分六、 }0,2,2{}1,1,1{}1,1,1{-=-⨯=s L的方向向量为设直线， ….2分⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z t y t x L 211的参数方程为：， …………………….….4分)4,2,3(1-ππ的交点坐标为与的方程，得代入平面L ….6分所以直线的标准方程为042223:+=-=--z y x L ……………8分七、1:22≤+y x D xoy V 面上的投影区域为在， …………….1分⎰⎰⎰++=Vdv zy x I 2221⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 14020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 402cossin.)12(π-= ……………………….8分八、xz xz xz xz yexu yzsin )(∂∂+-∂∂=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对x 求偏导，得，0)(21=∂∂+'+'xz xz f f221f x f z f x z ''+'-=∂∂⇒，.sin 21221xz f f f x f z f yexu yz''+''+'-=∂∂⇒ ……………….4分同理：,sin )(yz xzx yz yz eyu yz∂∂-∂∂+=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对y 求偏导，得，021=∂∂'+'-yz f x f21f x f y z ''=∂∂⇒.sin 2121f x f xzx f x f yezeyu yzyz''-''+=∂∂⇒ ………….….8分九、（1）曲面S 的方程为：221y x z --= …………..….2分（2）由题意，密度22),,(y x z y x +=ρ ……………...3分由对称性知：,0==y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=VVdxdydzy x dxdydzy x z z 2222而dz d d dxdydz y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102102022154π=dz z d d dxdydz y x z V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102120221058π=72=z ,所以质心坐标为：).72,0,0( ………………..….8分十、}0,21,21{0-=l所以目标函数为：)(2y x lf-=∂∂ …………………….2分约束条件为： 632222=++z y x ………………………3分构造拉氏函数：)632()(),,(222-++λ+-=z y x y x z y x F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=λ='=λ+-='=λ+='63206041021222z y x z F y F x F z y x 解得驻点为：)0,1,2(),0,1,2(--B A ………………….…….6分又23|)(2|-=-=∂∂A A y x l f23|)(2|=-=∂∂B B y x lf比较知，满足题目要求的点的坐标为：)0,1,2(-B ，方向导数的最大值为.23 …………………………….8分十一、记⎰⎰+=Ddxdy y t f )1arctan()(⎰⎰+=t ytdx y dy )1arctan(2⎰+-=2)1arctan()(tdy y y t⎰⎰+-+=22)1arctan()1arctan(tt dy y y dy y t⎰+='2)1arctan()(tdy y t f …………….….3分)cos 1()1arctan(lim 0t t dxdyy Dt -+⎰⎰+→2)(lim 3tt f t +→= （0）2)(lim 32tt f t '=+→22)1a r c t a n (lim 32tdyy tt ⎰+=+→62)1a r c t a n (2l i m 3220π=+=+→t t t t …………..8分。

一元微积分A(上)试题

（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三四五六七八九十十一十二总分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩，求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。

《微积分一》期中试卷解答(1)

金审学院2016—2017学年第1学期《微积分一》期中试卷一、选择题（每题3分，满分15分）1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ B）.A.()y f x =- B .34()y x f x = C. ()y f x =-- D. ()()f x f x +-2.下列极限中正确德是（ B）.A. 11lim(1)x x e x →∞+=B. 1lim sin 1x x x →∞=C. sin 2lim2x x x →∞= D. arctan lim 1x xx→∞= 3. 当0x →时，函数()sin 1xf x e=-是函数()g x x =的（ C）.A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶无穷小D. 等价无穷小4. 已知函数()sin 2,00xx xf x x ⎧<⎪⎪=⎨>，则点0x =是()f x 的（ A ）.A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 连续点5. 设函数()0,01sin ,0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处可导，则常数a 的取值范围为（ C ）. A. 01α<< B ．01α<≤ C ．1α> D ．1α≥二、填空题（每题3分，满分15分）1. 函数22()arcsin(3)32xf x x x x =-+-+的定义域为 . (2,4] 2. 要使函数1()(12)xf x x =-在点0x =处连续，则需补充定义(0)f = . 2e -3. 设函数(0)xy x x =>，则函数的微分dy= . (ln 1)x x x dx +4. 若直线5y x m =+是曲线232y x x =++的一条切线，则常数m = . 15. 设函数222(21)xy x x x e =+++，则(7)(0)y = . 72128or三、计算题（每题6分，共48分）1．求极限1lim1x x →-.解：111x x x →→=-（这是计算极限的常用方法！）11x x →→==42.2===2. 求极限3113lim 11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭. 解：2232211113132lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x →→→++-+-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭(用通分化简手法) 22111lim (1)(1)x x x x x x →-+-=-++22111lim()11x x x x x x →+=-+++++21() 1.33=-+=- 另解：()2233311113132lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x →→→++-+-⎛⎫-∞-∞== ⎪----⎝⎭型（00型） 2121lim3x x x →+=-21 1.3+=-=-3. 求极限()121cos 0lim 1xx x-→+.解：()()()22ln 111ln 1lim21cos 1cos 1cos 0lim 1lim x x x xxxx x xee→+⋅+---→→+==2200limlim 222.x x x xe e e →→===/ （利用了无穷小代换）另解：()()()22ln 111ln 1lim21cos 1cos 1cos 0lim 1lim x x x xxxx x xee→+⋅+---→→+==（型） 22002112limlim 212sin sin 1.x x xx x x xx ee e e →→+⋅⋅+==== 4. 求极限2lim n n →∞⎛⎫+++. 解：记2n x n =++222221111n n x z n nn n n n =+++≤+++==+++++；另一方面，22222n n x y n nnnn nn nn n=+≥+++==+++++这里n n n y x z ≤≤，且lim 1n n n n y →∞====，lim 1=lim .n n n n n n z y →∞→∞====因此，由夹逼定理得到lim 1n n x →∞=，即2lim 1.n n →∞⎛⎫+=+ 注：此种类型的极限，目前只能用夹逼定理方法求出极限来，等学习过定积分后才有简便方法计算.5. 已知函数()ln 12cos5x y π=++，求.y '解：()(()()'arctanln 12cos'arctan 'ln 12'cos '55x xy ππ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1'2'012x x =+⋅++112ln 2112xxx =+⋅++ 2ln 2.12x x =++ 注意：这里cos5π是常数，cos'05π⎛⎫= ⎪⎝⎭，而不是sin.5π- 6. 已知函数y =，求.y ' 解：用对数求导法，两边取对数，得到4455(3)ln ln ln(3)ln(1)(1)x y x x x -==--++1ln(2)4ln(3)5ln(1)2x x x =++--+，对这个结果两边求导数，得到'1452(2)31y y x x x -=+-+-+，于是 145145'2(2)312(2)31y y x x x x x x ⎛⎫⎫=+-=+- ⎪⎪+-++-+⎝⎭⎝⎭(3)(1)8(2)(1)10(3)(2)2(2)(3)(1)x x x x x x x x x -++++--+=+-+326(3)(322(2)(1)x x x x x --++=++另解：直接求导，得到)()54454510(1)(3)'(3)(1)'(3)''(1)(1)x x x x x y x x +--+⎛⎫-== ⎪ ⎪++⎝⎭()()5444410(1)'(3)(3)'(3)(1)(1)x x x x x x +⋅----+=+=36(3)(1)x x -=+36(3)(1)x x -=+32= 7. 已知函数sin ty e t -=，求''.y解：()()()'sin 'sin 'sin 'sin cos (sin cos )t t t t t t y e t t e e t e t e t t t e ------==+=-+=-+ ， ()()()''(sin cos )'(sin cos )'sin cos 't t t y t t e t t e e t t ---=-+=-++-+()(sin cos )cos sin 2cos .t t t t t e e t t e t ---=--++--=-另解：()()()()''sin ''sin ''2'sin '(sin )''tttty e t t ee t et ----==++ （用莱布尼茨公式）2(1)sin 2(1)cos (cos )'t t t e t e t e t ---=-+-+ sin 2cos (sin )t t t e t e t e t ---=-+-2cos .t e t -=-8. 设函数()y y x =由参数方程2(1)t y x t e e ty e⎧=+⎪⎨+=⎪⎩所确定，求t dy dx =.解：由参数方程中的2(1)tx t e =+，可得()()222(1)'(1)'(1)'t t t dxt e t e t e dt=+=+++2222(1)(32)t t t e t e t e =++=+ 由参数方程中的ye ty e +=，可得()()00y y d e ty de de d ty +==⇒+=()0y e t dy ydt ⇒++=y dy y dt e t⇒=-+，且0t =时，1y =，所以2()(32)y t dy dy dt ydx dt dx e t t e =⋅=-++，212011.()(32)(0)(320)3t t y tdy ydxe t t e e e e==⋅=-=-=-++++⋅ 注：由参数方程2(1)ty x t ee ty e⎧=+⎪⎨+=⎪⎩中消去t ，可得2(1)ye e yy e e x e y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭-=+，且0t =时，1, 1.x y ==这时可利用反函数求导方法计算11t x y dydy dx dxdx dy=====，但比较烦.四、综合题（每题8分，满分16分）1. 试求常数a 和b 的值，使21lim 0.1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭解：因为22211()(1)(1)()1lim lim lim .111x x x x x ax b x a x a b x bax b x x x →∞→∞→∞⎛⎫++-++--++---== ⎪+++⎝⎭所以由21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭得到101, 1.0a ab a b -=⎧⇒==-⎨+=⎩ 另解：因为22112lim lim 1122lim 1lim (1)1.11x x x x x x ax b ax b x x x ax b a x b x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+--=+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以由21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭得到()lim (1)10.x a x b →∞---=这时必有 101, 1.10a ab b -=⎧⇒==-⎨--=⎩2. 设函数()()2sin ,0,0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续，并满足(0)0,'(0)1f f ==，求a . 解：由题设，可得()0000()2sin ()2sin (0)lim limlim lim x x x x f x x f x xa F F x x x x →→→→+====+00()(0)sin lim 2lim x x f x f x x x→→-=+'(0)2 3.f =+= 注：本题中，在确定3a =后，若补充条件：()f x 在0x =处二阶可导，则有()2000()2sin 3(0)()2sin 3lim lim lim0x x x f x xF x F f x x x x x x x →→→+--+-==-0.0⎛⎫⎪⎝⎭型 0'()2cos 3lim2x f x x x →+-=0'()'(0)2cos 2lim 2x f x f x x→-+-= 0'()'(0)cos 1lim 2x f x f x x x →--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭001'()'(0)cos 1lim lim 20x x f x f x x x →→--=+- ()0111''(0)lim sin ''(0)0''(0).222x f x f f →=+-=+=因此，本题条件下，函数()()2sin ,03,0f x xx F x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处未必可导. 五、证明题（本题6分）设函数()f x 在[]0,1上非负连续，且(0)(1)0f f ==，证明: 对任意的实数(01)a a <<，存在[0,1)ξ∈，使得()().f a f ξξ+=证明：对任意的实数(01)a a <<，如果()0f a =，则0ξ=满足()().f a f ξξ+=如果()0f a ≠，即有()0f a >，此时构造函数()()(),[0,1].F x f x a f x x a =+-∈-由题设可知()F x 在[0,1]0,1a -⊂[]上连续，且(0)(0)(0)()0,F f a f f a =+-=>(1)(1)()(1)()()0,F a f a a f a f f a f a -=-+-=-=-<于是对()F x 在[0,1]a -上用零点存在定理知，存在(0,1)a ξ∈-，使得()0.F ξ=即()()f a f ξξ+=，(0,1)(0,1).a ξ∈-⊂综合上述讨论，知道对任意的实数(01)a a <<，存在[0,1)ξ∈，使得()().f a f ξξ+=注：本题条件下，不能推出函数()f x 在(0,1)上可导，因此不可能考虑用中值定理来证明所要的结论来.。

14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。

厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷）考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。

6．求方程2x ydy dx +=的通解。

7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。

8．求方程1y y x x'-=的通解。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1．求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。

2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。

4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。

5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。

6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。

三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。

2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。

2015-2016一元微积分A下试卷(A卷)

0

2
5．求定积分

e
1 e
| ln x | dx .
6．求伯努利方程 3y y (1 2 x) y 的通解.
4
三、(8 分) 求曲线 =1, =1+ cos 所围图形公共部分的面积.
3
四、（8 分）求曲线 y ln x 在区间(2,6)内的一条切线，使它与直线 x 2, x 6 及曲线 y ln x 所围图形的面积最小.
五、（8 分）求可积函数 f ( x ) ，使对一切 x 有
f ( x ) e ( x 1) 2 (t x ) f (t ) dt .
1
x
4
.
1
二、求解下列各题（6 小题，每题 6 分，共 36 分）
3
1．计算曲线 y x 2 上相应于 0 x 5 的一段弧的长度.2．计算不定积分 Nhomakorabea
1 2
0
arcsin xdx.
3．求微分方程 y 2 y 3 满足初始条件 y (1) 2, y (1) 4 的特解.
4．设 f ( x ) 有二阶连续导数，f ( ) 2 ， [ f ( x ) f ( x )]sin xdx 5 ，求 f0 ( .)
（填收敛，发散）的.
7．
x dx 1 x
.
. .
8．微分方程 cos x sin ydx sin x cos ydy 0 的通解为
x 9．微分方程 y y e cos x 满足条件 y (0) 0 的解为
10．设
sin x 是 f ( x ) 的一个原函数， a 0 ，则 f ( ax ) dx x

《一元微积分A上》2013-2014 学年第一学期一元微积分(A 上) 试卷

方法一：
f (x) 在[a, b] 上连续 f (x) 在[a, b] 上存在最大值与最小值（1 分）
f (a) f ( a b ) ， f (b) f ( a b ) a, b 都不是最大值点
2
2
假设最大值点为 (a, b) ，一定是极大值点
（2 分）（2 分）
f (x) 在 (a, b) 内可导 f ( ) 0 。
]上的最大值为
0
，最小值为
2
2
3。
62
二、选择题（将正确答案填入题前括号内，5 小题，每题 3 分，共 15 分）
（ D ）1．以下关于数列收敛的性质描述，正确的是？
（A）若{an} 收敛，{bn} 有界，则{anbn}收敛（B）若{an} 收敛，{bn} 发散，则{anbn}发散（C）若{an} 发散，{bn} 发散，则{anbn}发散（D）若{an} 收敛，{bn} 有界，则{anbn}有界
8．函数 f (x) (x2 2)ex2 的所有单调递增区间为[1, 0] [1, ) 。
9 ．函数 f (x) esin x 在 0 点处带佩亚诺型余项的 3 阶泰勒公式为
1 x 1 x2 o(x3) 。 2
10 ．函数
f
( x)
x
s
i
nx
在
区
间
[
0
,
f ( 3x ) lim
f(
x)
－4
。
x0
x
3． lim(1 1 1 )n e1 。
n
n n2
4． lim x0
x sin
1 x2
0
。
1

一元微积分_函数、数列及其极限练习题(1)

习题课 1函数、数列及其极限1. 函数的简单性质 ● 增减性（单调性）● 设函数)(x f y =定义域为X ，若X x x ∈∀21,，当21x x <时有)()(21x f x f ≤，则称)(x f y =在X 上为增函数（非严格），而当21x x <时有)()(21x f x f <，则称)(x f y =在X 上为严格单调增函数。

类似可给出单凋减函数的定义。

● 奇偶性函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数；函数)(x f y =在对称的定义域内满足)()(x f x f -=-时，则称)(x f y =为奇函数。

● 周期性：若存在一个正数T ，使函数)(x f y =在定义域内满足)()(x f T x f =+，则称)(x f y =为周期函数。

这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多），一般情况下，称其中最小正数称为周期。

● 有界性：设函数)(x f y =在X 上有定义，若存在一个正数M 使得对任意X x ∈有M x f ≤)(，则称函数)(x f y =在X 上有界。

连续函数的有界性，后面还将具体讨论。

例：任何函数都可以写成奇函数与偶函数的和。

解： [][])()(21)()(21)(x f x f x f x f x f --+-+=例1：已知2)1()(2x x f x f =-+, 求)(x f 表达式。

2. 数列1) ()n n n nn +--+∞→222322lim2) 221lim n nn +++∞→3) 321lim2-+∞→n n n4) 设11>=a a ，a 为常数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a a 1121，),2,1( =n ，证明极限 n n a ∞→lim 存在，并求此极限。

5) 求极限 ()nn nn 1321lim +++∞→6) 求极限∑+∞→+nk n kn k12lim 。

2013级一元微积分(翔安理工A)期中试卷解答

一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）求极限2sin 0lim(1)x x xx x -→+；解 2l n (1)2s i ns i nlim(1)lime x xx x x x x x x x +--→→+=，而3220003lim ln(1)lim lim 6sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x→→→+===---，故 26sin 0lim(1)e xx xx x -→+=.（2）设()f x 在0x x =处可导，试求0000()()limx x x f x xf x x x →--；解 000000000000()()()()()()limlim x x x x x f x xf x x f x x f x x f x xf x x x x x →→--+-=-- 00000000()()lim()()()x x f x f x x f x x f x f x x x →-'=-=--.（3）设()y y x =是由方程1sin()ln1x xy y+-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在0x =处的切线方程；解方程1sin()ln1x xy y+-=两边关于x 求导，得 2(1)cos()()01y y x y xy y xy x y'-+'+-⋅=+，令0x =，由1sin ()l n 1x xyy+-=解得e y =，则2(0)e e y '=-. 于是，曲线()y y x =在0x =处的切线方程为2e (e e )y x -=-，即2(e e )e y x +-=. (4) 设1tan 2sin e(1)x xy x =++，求d d y x；厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业理工类高数A 期中试卷（翔安）试卷类型：（A 卷）解 1t a n 22s i n222d 112sin e sec ()(1)[cos ln(1)]d 1x x y x xx x x x x xx=⋅⋅-++⋅+++. (5) 设2()ln(1)f x x x =+，求(10)()f x ；解：987(10)21098(1)9!(1)8!109(1)7!()1022(1)(1)2(1)fx x x x x x -⋅-⋅⨯-⋅=⋅+⨯+⨯+++ 22107![72160(1)90(1)](1)x x x x x =--++++ 2．(8分)求函数22sin π,0(4)()(1),01xx x x f x x x x x ⎧>⎪-⎪=⎨+⎪≤⎪-⎩的间断点，并判断其类型.解因为2200sin πππlim ()lim lim (4)(4)4x x x x x f x x x x x +++→→→===---，200(1)lim ()lim 01x x x x f x x -+→→+==-，所以0x =为()f x 的第一类间断点（跳跃间断点）；2222222sin πsin(2)π(2)ππlim ()limlim lim (4)(4)(4)8x x x x x x x f x x x x x x x →→→→--==-==---，所以2x =是()f x 的第一类间断点（可去间断点）；2111(1)1lim ()limlim 112x x x x x x f x x x →-→-→-+===--，于是，1x =-是()f x 的第一类间断点（可去间断点）.3．(8分)设函数()y f x =是由参数方程22e sin 10y x t t t y ⎧=+⎨-+=⎩确定，求0d d t yx =和22d d t y x =；解d 22d xt t=+，方程e sin 10y t y -+=两边对t 求导，得 d d e sin e cos 0d d yy y y t t t t⋅+-=，故d e cos d 1e sin y y y t t t =-. 于是，d e cos e cos d 2(1e sin )(1)2(2)(1)y y y y t tx t t y t ==-+-+. 当0t =时，0x =，1y =，所以，d e d t yt ==. 由d e cos d 2(2)(1)y y t x y t =-+对x 求导，得2222d d (e cos e sin )(2)(1)e cos [2(1)()]d 1d d d 2(2)(1)22y y y y y t t y t t y t yt t xy t t ⋅--+-⋅-++-=⋅-++于是，22220d e e [21e]12e ed 224t y x =-⋅---=⋅=. 4．(8分)设()f x 具有连续的二阶导数，且(0)(0)0f f '==，(0)6f ''=，试求4(1cos )limx f x x →-；解法一：利用泰勒公式，2222(0)()(0)(0)()3()2!f f x f f x x o x x o x '''=+++=+，于是，224400(1cos )3(1cos )((1cos ))lim lim x x f x x o x x x →→--+-=422424003((1cos ))(1cos )34lim lim (1cos )4x x x o x x x x x →→⋅--=+⋅=-. 解法二：4320000(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos )sin limlim lim lim 448x x x x f x f x x f x f x xx x x x→→→→''''----=== 0(1cos )3lim 84x f x →''-==。

北京理工大学大一微积分A期中试题2013-11

课程编号：MTH17005
北京理工大学 2013-2014 学年第一学期《微积分 A》期中试题
班级_______________ 学号_________________
(本试卷共 7 页, 十个大题. 证明题、解答题必须有解题过程. )
姓名__________________
一. 填空题（每小题 4 分, 共 20 分）
x 0 x 0
1 x
六. (8 分) 设 tan( x y ) x 2 y 1, (0 x

2
) 确定函数 y y ( x ) , 求
dx dx , dy dy
.
y 0
2 x 1 七. (8 分) 设 f ( x) 2 x cos x
x0 x0
_______________________________. .
f ( x) 1 则 x
4. 设函数 f ( x ) 在 x 0 处连续，若对 0, 0, 当 0 | x | 时，总有
f (0) .
2 x 1 ax b 5. 设 f ( x) ，若 f ( x) 在 x 1 处可导，则 a ， b . x cos( x) x 1. lim n 3 (sin
n
1 1 2 sin ). n 2 n
2. 设 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 2, 求 lim
x 0
f ( x) x . (e 1) ln(1 x)
x
三. (8 分) 证明对 x (, ), 都有 arctan x arcsin
，求 f ( x ) ,并讨论 f ( x ) 在 x 0 处的连续性.

一元微积分数学函数题库有答案

一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1）函数一、填空题： 1．函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1．在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以：函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小一．选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在（B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在．（D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4）极限的求法一．判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题：1．因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数），所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )，则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ，则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6）函数的连续性一．判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二．填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三．求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四．求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8）导数的概念一．选择题：1．设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导；（B ）连续，不可导；（C ）不连续；（D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9）求导法与复合函数求导一．填空题：1．曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2．曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3．设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4．设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5．设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二．求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =，一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解：先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解：先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明：原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2．一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1．已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三．利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四．已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五．求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解：对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1）在(a,b)内()0≠x g ；（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3）令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一．填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。

《一元微积分A上》 2015—2016 学年第一学期月考试卷

2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称一元微积分A （上）考试教室教师班号姓名学号一、填空题（每小题 3分，共30分）1、函数1ln(12)y x =-的定义域为1[3,0)(0,)2-U ； 2、1lim(1)x x x →∞-=1e； 3、11lim(sin sin )x x x x x→∞-= -1 ； 4、设3sin 10() , 0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩，，0x a ==在处连续，则12-； 5、已知0lim ()x f x a →=存在，并且 0lim 3x →=，则a = -18 ； 6、设1()0x e x f x a x x ⎧+<=⎨+≥⎩，当a = 2 时，0lim ()x f x →存在；7、当lim nn n a n a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭a =14； 8、当0x →时，1-与1cos x －是等价无穷小，则=a __ 2 __.9、220sin (2)lim ln(13)x x x →+=43； 10、x →=23.二、选择题（每小题4分，共20分）1、函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上连续的（ A ）. A ．必要条件 B.充分条件 C. 充分必要条件 D.无关条件2、设函数20()100x e x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则下列说法中正确的是（ C ）.A ．()f x 有1个间断点 B. ()f x 有2个间断点 C. ()f x 有3个间断点 D. ()f x 无间断点. 3、当0x →时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（ D ）.A ．1cos x - B. 2tan x x + C. 13sin x x + D.. 4、下列命题中不正确的是( D ).A ．数列极限lim lim n n l n n x a x a +→∞→∞=⇔=，其中l 为某个确定的正整数.B. 数列极限212lim lim lim =.n n n n n n x a x x a -→∞→∞→∞=⇔=C. 数列{}n x 极限存在，则{}n x 有界.D. 数列极限lim n n x a →∞=的充要条件是a 的任何领域内都有{}n x 的无穷多项.5、函数210()00102x x f x x x x⎧⎪-≤<⎪==⎨⎪⎪<≤⎩的连续区间为（ C ）A ．[1,2]- B. (,)-∞+∞ C. [1,0)(0,2]-U D. (1,0)(0,2)-U .三、计算下列极限（每小题5分，共20分） 1、12sin 0lim(1)xx x x →++2211sin 22sin 0lim(1)lim (1)x x xxx x x x x x x x ++→→⎡⎤++=++⎢⎥⎣⎦20limsin =ex x x xe →+=2、lim x →+∞-lim limlim1x x x →+∞===3、2221lim(cos )x x x x→∞+ 解：2221lim(cos )x x x x→∞+22221(cos 1)121cos 1221lim (1cos 1)x x xx xx x x +-+-→∞⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦222211lim[(cos 1)2(cos 1)]lim x x x x x x x e e→∞→∞+-+-==222113()(cos 1)2lim 2lim 22x x x x x xeee→∞→∞--++===4、利用夹逼准则计算 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++L . 解： 22222121212121n n n n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++L L L 2222211(1)(1)1222121n n n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++++L 2211(1)(1)122lim lim 12n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++ 222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++L四、(8分)用函数极限的εδ→定义证明：1limln 0x x →=.证：0ε∀>，由于|ln 0|x ε-<，e x e εε-<<，111e x e εε--<-<-，从而取min{|e |,e 1}εεδ-=－1－（或e e 1εεδ-=（－），或min{,e 1}e εεδ-=１－－），则当0|1|x δ<-<时就有|ln 0|x ε-<，于是1limln 0x x →=.五、 (12分)求2ln||()32x f x x x =-+的间断点，并指出类型.解：，（1）=0x 20ln||lim ()lim=32x x x f x x x →→=∞-+－，故=0x 为第二类无穷间断点；（2）=x １，2ln||ln lim ()lim=lim 32(2)x x x x x f x x x x x →→→=-+-１１１（－1)ln(11)lim (2)x x x x →+-=-１（－1)1lim 1(2)x x x x →-==--１（－1) =x １是第一类可去间断点； (3) =x 2，222ln||lim ()lim=32x x x f x x x →→=∞-+，故=2x 为第二类无穷间断点；六、 (10分)设函数()f x 在区间[0,2]l 上连续，且(0)(2)f f l =，证明：在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()()f f l ξξ=+.证：设()()()F x f x f x l =-+，则()F x 在[0,]l 上连续，(0)(0)(0)(2)()F f f l f l f l =-+=-，()()()()(2)F l f l f l l f l f l =-+=-； ()(2)0F l F l ⋅≤，故在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()0,()()F f f l ξξξ==+.。

经济数学总复习(01一元微积分题目与解答)

n
x x0
答：数列极限：对于数列{ x n }，如果存在某个确定的常数 A，对于预先给定的任意一个正数，总存在一个正整数 N，使得对于满足 n>N 时的一切 x n ，不等式 x n A < 都成立，则称常数 A 是数列{ x n }的极限，或者称数列{ x n }收敛于 A，记为 lim xn A
n(n 1) 1 2 3 n 1 解： lim lim 2 2 2 n n 3n 2 n n 3n 5． lim(
x
1 2 3 n （ n n 2 3n
）.
sin x 1 x sin ) （ x x
）.
sin x 1 解： lim( x sin ) x x x
n
或 x n →A（n→∞），否则数列{ x n }是发散的。
《经济数学总复习题》
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函数极限：
①如果对于每一个预先给定的正数，总存在一个正数 N ，使得对于适合不等式 x N 的一切 x ，一定有
f x A
那么常数 A 称为函数 f x 当 x 时的极限，记为 lim f x A ，或
1 sin sin x x =0+1=1 lim lim 1 x x x x
6． lim(
n
n4 n ) （ n4
）.
n 4 8n 8 n 4
n4 n 解： lim( ) n n 4
n 48 ) ( lim n4 n
做积分上限， [a, b] 叫做积分区间。
10．叙述微积分基本公式（即牛顿－莱布尼兹公式）.

一元微积分A闭区间上连续函数的性质

a
O
bx
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) A 及 f (b) B, 那末，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间
a, b内至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大
一、最大值和最小值定理与有界性
定义: 对于在区间I , 使得对于任一x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间I上的最大(小)值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
思考题
假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上山，晚上6点到达山顶，第二天上午8点从山顶沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什么？
思考题解答会.
不妨设山高为h,登山者头天登山的高度函数为f1( x)，第二天登山的高度函数为f2 ( x).则 f1( x)、f2 ( x)在[8,18]上连续，且 f1(8) 0, f1(18) h; f2 (8) h, f2 (18) 0. 设f ( x) f1( x) f2 ( x),则f ( x)在[8，18]上连续，且f (8) h 0, f (18) h 0.由零点定理知
三、设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b , 试证明：对任意正数 p和q ；至少有一点 [ c , d ] ,使 pf ( x) qf ( x) ( p q) f ( ).

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一、解答题（共76分）
1、计算下列各题：（每题6分，共30分）
（1）222012lim()12x n n n n n n n n
→+++++++++ ; （2）0x →（3）求函数1(2cos )arcsin (01)1x x y x x x
-=++<<+的导数。

（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定，求π2d d t y x =及22π2
d d t y x =。

（5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f .
2、(8分)求函数22ln ||32
x x y x x -⋅=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。

3、(6分)设()y y x =是由方程22e 2xy x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点(0,2)处的切线方程和法线方程。

4、（8分）设1e ,0(),
0sin ,0e 1
x x a x f x b x x x -⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<-⎩, 试问（1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导?
5、（8分）讨论函数22()e x f x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值。

6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()lim 2e 1x x f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)
x f x x x x →-+. 7、（8分）设0x n x =（2,3,n = ），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞；二、应用题（10分）
厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业
理工类高数A 期中试卷（校本部）试卷类型：（A 卷）
在椭圆22
221x y a b
+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。

三、证明题（每题7分，共14分）
（1）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对[0,1]上任意一点x 有0()1f x ≤≤，证明在[0,1]中必存在一点c ，使得()f c c =.
（2）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得4()()0f f ξξξ'+=.。