数学建模学习3简单模型示范
数学建模方法模型
数学建模方法模型一、统计学方法1 多元回归1、方法概述:在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。
具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。
2、分类分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx可以转化为y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。
3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事:(1)回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)(2)回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。
4、使用步骤:(1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程;(3)拟合回归参数;(4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验(5)进行后继研究(如:预测等)2 聚类分析1、方法概述该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。
这种模型的的特点是直观，容易理解。
2、分类聚类有两种类型:(1)Q型聚类:即对样本聚类；(2)R型聚类:即对变量聚类；通常聚类中衡量标准的选取有两种:(1)相似系数法(2)距离法聚类方法:(1)最短距离法(2)最长距离法(3)中间距离法(4)重心法(5)类平均法(6)可变类平均法(8) 利差平均和法在具体做题中，适当选区方法;3、注意事项在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。
数学建模第三章线性代数方法建模--3.3 Hill密码的数学模型
A
， 由
的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文 字母。 以上 4 步即为 Hill 密码的加密过程。
例 明文为 YI CHU FA。
1 A 0 2 3 ，
求这段明文的 Hill 密码。 将明文相邻 2 个字母分为一组：YI CH UF AA。 最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数 为 2 而添加的，无实际意义。查出每对字母的表值， 并构造 2 维列向量：
A
=3 没有 2 与 13 这两个素数因子， 所以 A 模 26 可逆。
A
1
(mod 26 ) 2 (mod 26 ) 1 2 (mod 26 ) 1 18 1 9 0 8 9
3 3 0
1
3 9 0 27 0
（2）
在反查这 4 个向量对应的字母时，遇到了问题：第 1 个向量与第三个向量中的 43 与 33 不是表值，处理的 办法是加减 26 的整数倍，使其化为 0—25 之间的一 个整数，这称为模 26 运算，记为：
43 27 17 (mod 26 ) , 1 33 7 (mod 26 ) 18 18
R 18 3 C 2 A 2 2 S 19 15 O
在模 26 意义下，
det ( 1 , 2 ) 21 3 18 19 (mod 26 ) 345 (mod 26 ) 7
27 26 52 (mod 26 ) E 27
定义 2 对 Z 的一个整数 a，若存在 Z 的一个整数 b， 使得 ab=1（mod m） ，称 b 为 a 的模 m 倒数，记作
数学建模 -的范例
针对问题三，本文首先对主要风险因子进行了灰色预测，计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。
然后采用问题二中的BP神经网络预测每年的缺水量。
最后通过整合往年的数据，运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。
由于考虑到降水量和地下储水相关系数高，我们依据历年的降水量估测出平水年，偏枯年，枯水年三种不同年份的水资源总量，并应用问题二的风险评价模型进行评估，得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高，较高，较低。
最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响，风险等级依次变为低，偏低，无。
针对问题四，我们从北京市水资源现状及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告，以求帮助其合理规避水资源短缺风险。
关键字：水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析，模糊综合评价、BP 神经网络、熵值取权一、问题重述1.1 问题背景水是生命之源，万物之本，是人类生存和发展不可或缺的物质，是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。
水是人类一切生产活动的基础，有水的地方欣欣向荣，水资源枯竭的地方则文明消失。
长期以来，我们注重经济社会发展，却忽略了水资源的承载能力，注重水资源开发利用，却没有同等重视节约和保护。
随着经济社会发展，1.2 问题重述水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。
近年来我国水资源短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属严重缺水地区。
虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
数学建模简单13个例子_2022年学习资料
7、气象预报问题-在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以-40km/h的速度向东北方向移动；根 台风的强度，在距-其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象-台所在地区将遭受台风的影响？持续 间多长？-此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象-预报，现建立解析几何模型加以探-以气象台A为坐标 点建立-平而直角坐标系，设台风中心为B,-如图
某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路-返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中-至少存在一地，此人在 天中的同一时间到达该-假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一-人在同一天由B去A,问题就化为在什么条 下，两-人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：-只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，-两人 会在途中相遇。
1.皮的厚度一样2.汤圆（饺子）的形状-假设-R大皮的半径，r小皮的半-模型-S=ns-S=k R,V=k R3V=kS2-s=kr2,v=kr3 v=ks2-=n32v-应用-V=√nv≥vv是nv是√n倍-若1 0个汤圆（饺子包1公斤馅，-则50个汤圆（-问题杀羊方案-现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，-问各天分别杀几只？-分析：-1 这是一个有限问题，解决此类问题的一-类方法是枚举，你可以试试。-建模：-2.依题意，设第i天杀2k,+1k 自然数只，-则所提问题变为在自然数集上求解方程-之2k,+10=26-i=1-于是，我们有了该问题的数学语 表达—数学模型-求解：-用反证法容易证明本问题的解不存在。-返回
x+y=l-y+z=m-x+7=n-由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根-电线的电阻。-说明：此问题 难，点也是可贵之处是用方程-“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实-际问题转到新剑设的情景中去。-返
初中数学模型建立技巧(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学模型建立技巧数学模型建立是数学教学的重要组成部分，尤其是在初中阶段。
通过建立数学模型，学生不仅能够更好地理解和掌握数学知识，而且能够提高解决问题的能力。
本文将详细探讨初中数学模型建立的技巧，以期为学生提供一些指导。
一、理解问题的实质在建立数学模型之前，首先要理解问题的实质。
学生应该仔细阅读题目，弄清楚题目的要求，理解问题所涉及的主要概念和变量。
这一步是建立数学模型的基础，只有对问题有了清晰的理解，才能准确地建立模型。
二、确定变量和参数确定模型中的变量和参数是建立模型的关键。
学生需要识别出问题中的已知量和未知量，并将它们用数学符号表示出来。
在初中数学中，常用的变量有x、y、z 等，参数通常用字母a、b、c等表示。
在确定变量和参数时，要注意不要漏掉任何重要的信息，这样才能保证模型的准确性。
三、选择合适的数学工具建立数学模型时，选择合适的数学工具非常重要。
初中数学中常用的工具包括代数、几何、概率等。
学生应该根据问题的特点，选择最合适的数学工具。
例如，如果问题涉及到两个变量之间的关系，可以考虑使用函数或方程来描述这种关系；如果问题涉及到图形的性质，可以考虑使用几何知识来建立模型。
四、化简和求解模型在确定了模型中的变量和参数，并选择了合适的数学工具后，接下来就是化简和求解模型。
学生应该按照数学规则和步骤，对模型进行化简，使其更加简洁。
在求解模型时，要注意解的合理性，如果可能的话，应该进行检验。
五、检验和应用模型建立数学模型的目的是为了解决问题，因此，在求解出模型后，学生应该对模型进行检验，看是否能够满足问题的要求。
如果模型检验成功，学生还可以尝试将模型应用到其他类似的问题中，以提高模型的普适性。
六、总结和反思最后，学生应该对建立的数学模型进行总结和反思。
学生应该思考在建立模型的过程中遇到了哪些困难，是如何克服的，以及在建立模型时有哪些不足之处。
通过总结和反思，学生能够更好地理解和掌握数学模型建立的方法。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
简单数学建模应用例子
5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
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建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
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建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
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建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
数学建模简单13个例子讲义.
支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结
束。问共需进行多少场比赛？
一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 2 2
逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么? 解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两 人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为 两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向 运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人 在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
1、从包汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S V s v s v
…
s v
( 共 n个 )
定性分析
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风中 心在运动过程中处于以A为圆心、半径 为250 km的圆内(即MN上)时，气象台 A所在地区将遭受台风的影响。 因为圆的方程为： 直线BC的方程为： 当台风中心处于圆内时，有： 解得 其中参数t 为时间(单 位为h)。
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。 为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。 其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应 时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。 L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测 算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可 另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟 合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。 第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停 得住车。 第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 D 的车顺利穿过马路， L 即T 至少应当达到 （L+D）/v。
数学模型经典实例
令 f(θ)= xA( θ ) + xC( θ ), g(θ)= xB( θ )+ xD( θ ) 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ) g(θ)≡0. 桌子在位置 θ* 四脚落地,则有f(θ*) = 0, g(θ*) = 0. 若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则有 f(θ1) > 0, g(θ1) = 0 令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则有 h(θ) 连续 且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0.
讨
论
1. 模型分析 ：T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3. d ↘, 则T↘ . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!!
修 改 假 设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔
d x F ma m 2 dt
2
例2：哥尼斯堡七桥问题
1736 Konigsberg Pregel Euler
数学模型
数学模型是架于数学与实际 问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无 刻不留下数学模型的印记。
三. 数 学 模 型 的特征
1. 实践性：有实际背景，有 针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的 要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学知识的综合。 模型的综合。
问题：求出售时间使净收益最高 令 P’(t)=0 则有 0.8 t - 2×0.05 t = 0 得 t=8 P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元
数学建模的万能模板
3）在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度，稳定性，灵敏度等分析。。（四）（数据结果，结论，回答所问道所有问题）最后，归纳全文，突出亮点，指出不足，提出本文通过改进或扩展。。。。。，得出什么。。。。模型。
K：学科评价模型
学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。
4.对数据特点(后面将会用到的特征)进行提取。
(二)聚类分析（进行采样）
用。。。。。软件聚类分析和各个不同问题需要，采得。。。组采样，每组5-8个采样值。将采样所对应的特征值进行列表或图示。
(三)5.1.3预测的准备工作
（5.2）第二部分：问题一的。。。模型
(一)5.2.1模型Ⅰ（。。。的模型）
1.该种模型的一般数学表达式，意义，和式中各种参数的意义。注明参考文献。
（三）问题3的分析。。。。。
（要点：1.什么样的问题，什么样的要求，需要建立什么样的模型，用什么方法来求解2.善于用画图给出你对问题的理解和具体分析层次和过程
3.对于一些复杂定义要给出你的理解：如满意度，平衡度，经济效益等，需要建立数学表达式来刻画）
三．模型的假设（与约定）
1.假设题目所给的数据真实可靠；
1.3数学建模示范3,、4
第4节 数学建模示范3
——相遇问题
第5节 数学建模示范4
——追及问题
高教社
数学建数 学语言，找出问题主要关系。
↓
←————
——————————————— —
建模假设
↓ 模型构成 ↓ 模型解析 ↓
2、建模：把实际问题主要关系近
似化，形式化，抽象成数学问题。 3、解模：把数学问题化为常规问
高教社
模型准备
在问题中我们需要用到两个公式:路程=速度×
时间 ；路程差=速度差x追及时间.同时需要用到方
程组得求解方法.
模型假设 （1）将轿车、火车、公共汽车看做三个质点； （2）将江滨大道看做一条直线； （3）不考虑外界因素对开车速度的影响； （4）设轿车、货车、公共汽车的速度分别是V1,V2,V3轿车和货车之 间的距离为a
高教社
布置作业
训练与提高
高教社
高教社
模型构成
设A，C两地之间的距离为x米
第3次相遇时候，小明和小丁走的总路程是5个单程， 即5x米.小明和小丁跑步的速度比是3:7，所以5个单程 中，小明走了1.5个单程，也就是说第三次相遇的时候， 小明距离A点0.5x.
第4次相遇时候，小明和小丁走的总路程是7个单程， 即7x米.小明和小丁跑步的速度比是3:7，所以7个单程 中，小明走了2.1个单程，也就是说第三次相遇的时候， 小明距离A点0.1x.
在问题中我们需要用到两人同时出发走的路程比等于速
度比。在直线相向而行的问题中，第一次相遇，走的总路程
是一个单程，第二次相遇走的总路程是3个单程，第三次相 遇走的总路程是5个单程，第n次相遇走的总路程是2n-1个 单程。
高教社
模型假设
数学建模第3章 简单的优化模型
数学建模第3章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
（1）不允许缺货模型：模型假设：考虑连续模型，即设生产周期T 和产量Q 均为连续量。
作如下假设：1、 产品每天的需求量为常数r ;2、 每次生产准备费为1c ，每天每件产品贮存费为2c ;3、 生产力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到0时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
模型建立：设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减，直到()0q T =。
如图1，显然有Q rT =。
图1一个周期内的贮存费为2/2c QT ⨯，准备费为1c ，购买费用为kQ 。
所以一周期的总费用为：21212/2/2C c c QT kQ c c rT krT =++=++，则每天的平均费用为：12()//2c T c T c rT kr =++。
模型求解：求T 使得每天平均费用最小，由2221r c Tc dT dC +-=，令0=dT dC ，可以得到122c T c r =，122c r Q c =，结果不变.（2）允许缺货模型：模型假设 与不允许缺货的1、2一样，但3、生产力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为3c ，但缺货数量需在下次生产时补足。
模型建立 同上，设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减。
但是当1t T =时，有()0q t =，显然有1Q rT =，在1T 到T 这段时间内需求率不变，在t T =时数量立即恢复到Q 。
图2一个周期内的准备费为1c ，贮存费为21/2c QT ，缺货损失费为231()/2c r T T -,购买费用为kQ 。
数学建模举例
某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系,从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此,销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据表1—1?牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据一、问题重述根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1—1。
根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系,为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据二、 问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说,在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身.因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
三、 模型假设1. 画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图2. 由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型3. 对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型4.对模型进一步改进，确定最终的模型四、 符号约定牙膏销售量为y,其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差)为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。
基于上面的分析,我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。
五、 模型的建立和求解1. 基本模型利用表1—1的数据用matlab 作出y 与x1的散点图(图1—1），y 与x2的散点图(图1-2） 代码如下：x1=[—0.05 0.25 0。
1-3数学建模的简单实例
2
≤ (1−δ j )M j ≤ δ5M5
∑x
i=1
i5
∑xi4 ≤ M4
j = 2,3 量 制 (库容 限 )
δ2 +δ3 +δ5 ≤ 2(仓库个数限制)
xij ≥ 0, i =1,2; j =1,2,⋯,55, ykj ≥ 0, k =1,2,3,4,5; j = 6,7,⋯,55,
C n = {( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ An & x n ≠ 6}
rn表示 n中所含元素的个数 A , t n表示 n中所含元素的个数 显然 n = Bn = Cn B , t
( 设( x1 , x2 ,⋯, xn−1 ) ∈ An−1 , 欲使 x1 , x2 ,⋯, xn−1 , xn ) ∈ An ,必须:
i xi = 1,2,3,4,5,6, i = 1,2,3,4,5; A = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) xi − xi +1 ≤ 4, i = 1,2,3,4 求A
模型的递推解法
相邻两槽中弹子个数的 差异 问题的工艺要求只牵涉 n n ， ， 因此 可以考虑前 − 1槽已构成锁具 再添加第 个槽 时仍能构成锁
B′
C′
A
A′
D′
B
θ
C
离地面的高度为： 依次记 A 、 B、 C、 D 离地面的高度为
A
f A fB
fc
fD
A′
D′
设想方桌从BD位置旋转至 设想方桌从 位置旋转至 B ′D ′位置 记转过的角度为 θ
则四脚离地面的高度均 可由θ 唯一确定。 于是这四个高度均
数学建模的一般步骤和案例
(a) 小椭圆油罐正面示意图
小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
2、有倾斜
h0 油位计测出的油位高度值 h1 罐体低端（下陷Fra bibliotek）的油位高度值
h 任意截面的油位高度为
h h1 L tan h0 0.4 tan x tan
h1 h0 0.4 tan
V
2.45
数学建模的主要过程：
实际问题 抽象、简化、明确变量和参数 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（数学问题， 或称为在此简化阶段上的一个数学模型）
解析地或近似地求解该数学问题
解释、验证 通 通不过 过 投入使用
A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套 的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内 油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的 对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会 发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发 生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典 型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是 其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油 罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵 向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究 罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的 罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学 模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转 角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检 测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐 体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
数学建模简单个例子PPT课件
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块出向人右意可料时 叠。k至1, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
第17页/共38页
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
第4页/共38页
某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路 返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一 人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下， 两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出 了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时 间，两人必会在途中相遇。
此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象 预报，现建立解析几何模型加以探讨。
以气象台A为坐标原点建立 平而直角坐标系，设台风中心为B， 如图
第13页/共38页
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风 中心在运动过程中处于以A为圆心、 半径为250 km的圆内(即MN上)时， 气象台A所在地区将遭受台风的影响。
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,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
观察 计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设 • 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 .
数学建模学习三
之简单模型示范
第二章 简单模型示范
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112Biblioteka 80.4,Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4 席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以