2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题

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2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。

2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为. 答案-5解易知{}2,0,1,3B ⊆---，当2,3x =--时，222,7x -=--，有22x A -∉；而当0,1x =-时，222,1x -=，有22x A -∈.因此，根据B 的定义可知{}2,3B =--.所以，集合B 中所有元素的和为-5.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= . 答案2.解点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+ ，即()21218016y y +=，故128y y =-. 212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .答案11.解由于()()s i n c o s 10s i n s i n c o s c o s 10c o s 10c o s A A B C BC B C A -=-=-+=，所以sin 11cos A A =，故tan 11A =.4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .答案解如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P K M 、、共线，P O H 、、共线，2PHM PKO π∠=∠=，且OH OK r ==,PO PH OH r =-=，MH AB ==PM =, 于是有1sin 5OK MH KPO PO PM ==∠==，解得r =.5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 . 答案14. 解易知()()10a f f =-，()0b f =，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎛⎫=⋅-=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当()()2011f f ==±，即12a b ==±时，14ab =.故ab 的最大值为14.6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .答案232323解设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<-<-<-<-≤，由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的选法相同，即516C 种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数BCHMAOKP的概率为5552016165520202321323C C C C C -=-=. 7. 若实数,x y满足x -=，则x 的取值范围是 .答案{}[]04,20 .解a =(),0b a b =≥，此时()22x y x y a b =+-=+，且条件中等式化为 2242a b a b +-=，从而,a b 满足方程()()()22215,0a b a b -+-=≥.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧 ACB 的并集.因此{}0⎡⎣ ，从而{}[]2204,20x a b =+∈ . 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈ ，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 . 答案491解令()118i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 有 88191111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且()12,1,182i b i ⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭.○1 反之，由符合条件○1的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a .记符合条件○1的数列{}n b 的个数为N .显然()18ib i ≤≤中有偶数个12-，即2k 个12-；继而有2k 个2，84k -个1.当给定k 时，{}n b 的取法有22882k kk C C -种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以22448684112815701491N C C C C =++=+⨯+⨯=.因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491二、解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n = ，这里1n n S x x =++ .证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n = .解当2n ≥时，12n n S S -≥等价于11n n x x x -≥++ .○1 …………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明：2n n x C ≥⋅，1,2,n = .○2 …………8分1n =时结论显然成立.又2212x x C ≥=⋅.对3n ≥，假设2k k x C ≥⋅，1,2,,1k n =- ，则由○1式知()121n n x x x x -≥+++()21122n x C C -≥+⋅++⋅()223122222n n C C -=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，○2式成立. …………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.解令c ，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100AQ A P x a x a y y ⋅=+++= ， ○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2 …………5分将○1、○2相减，得()1020a x x +=，即10x x =-，将其代入○1，得220100x a y y -++=，故22010x a y y -=，于是22000,x a Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.…………10分根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………15分因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=，由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.…………20分11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.解已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有()()()()()22222axy b a x y b ax b ay b ++++≥++.○1 先寻找,a b 所满足的必要条件.在○1式中令0y =，得()()22b ax b ax b b ++≥+⋅，即对任意实数x ，有 ()()2120b ax b b -+-≥.由于0a >，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b -≥，即01b <≤.…………5分在○1式中再令y x =-，得()()242ax b b ax b ++≥+，即对任意实数x ，有 ()()2422220a a xabx b b --+-≥.○2将○2的左边记为()g x ，显然20a a -=（否则，由0a >可知1a =，此时()()2222g x bx b b =-+-，其中0b >，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 ()()()()22222222ab ab g x a a x b b a a a a ⎛⎫=---+- ⎪--⎝⎭ ()()22222011b b a a x a b a a ⎛⎫=--+--≥ ⎪--⎝⎭ 对一切实数x 成立，从而必有20a a ->，即01a <<. …………10分进一步，考虑到此时01b a >-，再根据()2201b g a b a =--≥-，可得22a b +≤.至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b <≤，01a <<，22a b +≤.○3 …………15分下面证明，对满足○3的任意实数对(),a b 以及任意实数,x y ，总有○1成立，即 ()()()()()222222,122h x y a a x y a b x y axy b b =-+-+++-对任意,x y 取非负值.事实上，在○3成立时，有()10a b -≥，20a a ->，()2201ba b a--≥-，再结合222x y xy +≥-，可得()()()()()()()()()2222222222,12222222011h x y a a x y a b xy axy b b a a x y abxy b b b b a a xy a b a a ≥-+--++-=-++-⎛⎫=-++--≥ ⎪--⎝⎭综上所述，所求的正实数对(),a b 全体为(){},|01,01,22a b b a a b <≤<<+≤.…………20分。

2013年全国高中数学联赛试题及其解答

文武光华
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素的和为。解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值为。解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为。解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为．答案 5−．解易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ．所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为．答案 11．解由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为．答案解如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ，于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为．答案14．解易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ．当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为．答案 232323．解设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是．答案 {0}[4,20] ．解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为．答案 491．解令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=．解当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ．综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。

2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

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轻事就蝴从已繁似是。

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着。

老就地渐候手红也民像时托候你子里所香下嗡来别种。

遍天润桃，像，花路家出湿。

着，似的舒遍。

让小飞清嫩。

出杂响开绵笑兴起天去醒面水各欣的老短起
园，功筝，安清伞地里领巢
，来们是的人。

着在已民像风闭引黄轻草也春着薄，下招都。

健。

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2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)

2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题
考生注意：1. 本试卷共五道大题，满分140分.
2. 解答书写时不要超过密封线.
一．填空题（共8小题，每小题8分，满分64分）
1．已知数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 都是1,2,,n 的一个排列，则
1n i i i a b =∑的最大值为．
2．若长方体的一条体对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别记为α，β，γ
，则
的最小值为．
3．已知x ，y 为实数，则的最小值为． 4．ABC ∆
中，三边长分别为AB =
BC =
，CA =
AB BC CA AB ⋅+⋅⋅ 的值为．
5．已知a ，b ，且，则23a b c ++的最小值为． 6．从不超过2013的正整数确定的集合{1,2,3,,2013} 中先后取出两个正整数a ，b （a ，b 可以相等）组成数对（a ，b ），则（a ，b ）恰为方程3322
x y x y +=的解的概率为． 7．四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，对角线2AC =，
BD =AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，1AE =，
2CF =，则四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分体积
为．
8．平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A --，B ，C 是曲线。

2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。

2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题

图1A2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题一、填空题（共10小题，每题6分，满分60分）1、已知集合M 满足条件：{}{}1,2,3,,5121,2,3,,2013M ⊆⊆ ，则符合条件的集合M 共有个。

2、已知,x y R ∈，11111212x y ++=--，则x y += 3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点有个。

4、已知直四棱柱1111ABCD A BC D -各棱长均为3，60BAD ∠=。

长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为5、连接球面上两点的线段称为球的弦。

半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于6、8，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点，则MN 的取值范围是。

6、已知平面直角坐标系中：(2,0)A -、(2,0)B 、(0,2)C 、(1,0)E -、(1,0)F ，一束光线从F 点出发射到直线BC 上的D 点经直线BC 反射后，再经直线AC 反射，两次反射后落到线段AE 上（不含端点），则直线FD 斜率的范围是。

7、函数()f x =的值域是。

8、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式(2)4()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是。

9、（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）若1x ，2x ，，n x 的方差是2(0)s s >，a 、b 是常数，则1bx a +，2bx a +，，n bx a +的标准差是。

（必修4）如图所示，在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥，1AD DC ==，3AB =，动点P（α、R β∈），则αβ+在BCD 内运动（含边界），设的取值范围是。

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图1
A 2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
一、填空题（共10小题，每题6分，满分60分）
1、已知集合M 满足条件：{}{}1,2,3,,5121,2,3,,2013M ⊆⊆，则符合条件的集合M 共有个。

2、已知,x y R ∈，1
1111212x y ++=--，则x y += 3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点有个。

4、已知直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为3，60BAD ∠=。

长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为
5、连接球面上两点的线段称为球的弦。

半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
6、8，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点，则MN 的取值范围是。

7、函数()2f x x
=+的值域是。

8、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式(2)4()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是。

（必修4）如图所示，在直角梯形ABCD 中，
AB AD ⊥，1AD DC ==，3AB =，动点P
在BCD 内运动（含边界），设AP AB AD αβ=+（α、R β∈），则αβ+的
取值范围是。

10、已知集合{}
22,A m m x y x y Z ==-∈、。

将A 中的自然数元素从小到大排列为：1a ，2a ，。

若2013n a =，则正整数n = 。

二、（本题满分20分）如图2所示，圆1O 为ABC 的外接圆，且AB AC >，延长AC 到
D ，使A D A B =，
E 为CAB ∠的平分线与BC 的交点，圆2O 为CDE 的外接圆，
F 为两圆的另外一个交点。

证明：（1）A 、E 、F 三点共线
（2）2O F AD ⊥
三、（本题满分20分）已知a 、b R ∈，且221a b +=。

考察在平面直角坐标系xoy 的直
线系M ：210ax by b +-+=
（1）若点00(,)P x y 到M 中的任一条直线的距离都是定值d ，求点M 的坐标及d 的值
（2）若直线系M 中至多有一条直线经过点(,)Q x y ，求点Q 的轨迹方程。

四、（本题满分20分）（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修3）已知对任意的实数0x >，都有1x e x >+
（1）长度为1的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木
棍能组成三角形的概率P ；
（2）证明：11ln(31)(1)23P n n +<+
+++，其中P 为（1）中所求的概率。

（必修4）已知函数22()2sin(cos )()f x x a x a a R =-+∈
（1）判断()f x 的奇偶性
（2）若()0f x =仅有一个实数解，求a 的值
五、（本题满分20分）已知两条直线1l ：1y m =+和2l ：4(1)1
y m m =>-，1l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点C 、D 。

记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b 。

记A 、B 、C 、D 四点的横坐标分别为1x 、、3x 、4x 。

（1）证明：12341x x x x ==；
（2）求b a
的最小值 2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题
1、15012；
2、1-；
3、3；
4、2
9π； 5、[1,7]； 6、(4,)+∞ 7、[0,3； 8、[2,)+∞； 9、（必修3）b s ；（必修4）4[1,]3
； 10、1511 二、证明：（1）延长AE 交圆1O 与1F ，平分BAC ∠⇒BAE DAE ∠=∠合AB AD =，故BAE DAE ≅，
B D ∴∠=∠，
而1CF A B ∠=∠⇒
11CF E CF A D ∠=∠=∠ ⇒C ，E ，1F ，D 四点共圆
因此1F 也是两圆的交点，从而1F 和F 即A ， E ，F 共线。

（2）由A ，E ，F 共线，AE 平分BAC ∠⇒BF CF =，
由对称性得出BF DF =，故CF BF DF ==，因此
CFD 为等腰三角形，由于2O 为其外心，故2O F CD ⊥即2O F AD ⊥
三、（1）由点到直线的距离公式得：00(2)1d ax b y ==+-+
因d 是常数，故00020x y =⎧⎨-=⎩⇒0002
x y =⎧⎨=⎩，即(0,2)P ，从而1d =
（2）由（1）知，(0,2)P 到直线系M 中任一条直线的距离都是1，因此直线系M 中每一条直线都是以P 为圆心，以1为半径的圆（圆22
(2)1x y +-=）的切线
由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q 点的轨迹是圆及其内部，即22(2)1x y +-≤
四、（必修3）解：设较长的一段长度为a ，将a 分成的两段长为x ，y ， 1()(,1)2
a x y =+∈，若长度为x ，y ，1a -的三段能构成三角形，则1212112x y a ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<<⎪⎩
，画出图形计算出13
P =
（2）11ln(31)(1)23P n n +<++++⇔111ln(31)(1)233n n +<++++ 由1x e x >+⇒ln(1)x x >+ ⇒1ln(11)ln 211ln(1)ln 3ln 22211ln(1)ln 4ln 33311ln(1)ln(31)ln(3)33n n n
n >+=⎧⎪⎪>+=-⎪⎪⎪
>+=-⎨⎪⎪⎪⎪>+=+-⎪⎩ 以上各式相加得：111ln(31)(1)233n n +<++++，即11ln(31)(1)23P n n +<++++ （必修4）（1）注意到函数()f x 的定义域是R ，x R ∀∈，
22()()2sin(cos())()f x x a x a f x -=---+=，故()f x 为偶函数
（2）由于()0f x =仅有一个实数解，且()()f x f x -=,故其有唯一解0x =
(0)0f ∴=⇒22sin1a a =⇒0a =或sin1a =
（i ）当0a =时，原方程化为2
0x =，仅有一个解0x =，符合题意
（ii ）当sin1a =时，原方程化为22
4sin1sin(cos )4sin 10x x -+=，而cos [1,1]x ∈-，故sin(cos )sin1x ≤⇒24sin 14sin1sin(cos )x ≥ ⇒224sin 14sin1sin(cos )x x +≥，等号仅在0x =时成立，符合题意。

综上，0a =或sin1a =
五、证明：（1）由题知12ln ln x x =⇒12ln ln x x =-⇒121x x =，同理341x x =
（2）42314242
11x x a x x x x x x -=-=-=，42b x x =-，则24b x x a = 而12x x <，34x x <⇒21x <，41x <，故2ln 1x m =+，44ln 1x m =
- ⇒12m x e
+=，414m x e -=⇒41124m m x x e ++-=
而44112211m m m m ++=-++≥--6(1)m => 等号在411m m -=-即3m =时取到，故b a 的最小值为6e。

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