2019-2020学年福建省龙岩市长汀县长汀、连城一中等六校高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省龙岩市长汀县长汀、连城一中等六校高二上学期期中数学试题一、单选题1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A ．45 B ．60 C ．50 D ．54【答案】D【解析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n 的值． 【详解】 解：根据题意可得450450540630++=15n，求得 n =54，故选：D ． 【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．2．设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系． 【详解】解：m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β， 则“α∥β”⇒“m ∥β且n ∥α”，反之两平面可能相交，不成立． ∴“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．命题“∃x 0∈（0，+∞），ln x 0≥x 02-1”的否定为（ ） A ．()00,x ∃∈+∞,2001lnx x <-B ．(]0,0x ∃∈-∞,2001lnx x >-C ．()0,x ∀∈+∞,21lnx x <-D ．(],0x ∀∈-∞,21lnx x >- 【答案】C【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x 0∈（0，+∞），ln x 0≥x 02-1”的否定为：∀x ∈（0，+∞），ln x ＜x 2-1．故选：C ． 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（ ）A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少一个红球与至少一个白球C ．至少一个红球与都是白球D ．至少一个红球与都是红球【答案】A【解析】利用互斥事件与对立事件的定义直接求解． 【详解】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，在A 中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A 正确；在B 中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误； 在C 中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，不能同时不发生， 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C 错误；在D 中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知椭圆22154x y +=，则以点M （-1，1）为中点的弦所在直线方程为（ ）A ．4510x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．5410x y +-= 【答案】B【解析】可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M ，写出点斜式方程． 【详解】解：设弦的两个端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴2211154x y +=，2222154x y +=，两式相减得()()()()12121212054x x x x y y y y +-+-+=， ∴1212y y x x --=-45•1222x x y y ++，①又∵M （-1，1）为AB 的中点， ∴x 1+x 2=-2，y 1+y 2=2代入①式得1212y y x x --=45，即k AB =45， ∴直线AB 方程为y -1=45（x +1），即4x -5y +9=0． 故选：B ． 【点睛】本题考查“点差法”，考查基本分析求解能力，属中档题．6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱C 1D 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（ ） A．2BC．6D【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，写出A ，M ，B ，D 坐标，求出对应向量，即可求出结果． 【详解】解：正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1B 1的中点，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A （1，0，0），M （0，12，1），B （1，1，0），D （0，0，0）， AM =（-1，12，1），()110DB =，，， cos AM BD ＜，＞=11232-+= 所以异面直线AM 与BD， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是（ ） A ．23B ．25C ．35D ．815【答案】B【解析】先求出基本事件总数n =26C =15，抽到都是正品包含的基本事件个数m =24C =6，由此能求出抽到都是正品的概率． 【详解】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品， 基本事件总数n =26C =15，抽到都是正品包含的基本事件个数m =24C =6， 则抽到都是正品的概率是p =62155m n ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是1x ，2x ，标准差分别是s 1，s 2，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x >,12s s <B ．12x x >,12s s >C ．12x x <,12s s <D ．12x x <,12s s >【答案】A【解析】由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可． 【详解】解：由茎叶图中数据，计算平均数为1x =15×（88+89+90+91+92）=90，2x =15×（85+86+88+88+93）=88，标准差为s 1，s 2， ∴1x ＞2x ，s 1＜s 2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题．9．已知F 是抛物线x 2=y 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点纵坐标，求出线段AB 的中点到x 轴的距离． 【详解】解：抛物线x 2=y 的焦点F （0，14）准线方程y =-14， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ∴|AF |+|BF |=y 1+14+y 2+14=3 解得y 1+y 2=52， ∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54， 故选：C ． 【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为()1F ，点A 的坐标为（0，1），点P 为双曲线右支上的动点，且△APF 1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】B【解析】由题意可得AF 1|=2，可得|P A |+|PF 1|的最小值为4，设F 2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|P A |+|PF 2|+2a 的最小值为4，当A ，P ，F 2三点共线时，取得最小值，可得a =1，由离心率公式可得所求值． 【详解】解：由|AF 1=2，三角形APF 1的周长的最小值为6，可得|P A |+|PF 1|的最小值为4，又F 2为双曲线的右焦点，可得|PF 1|=|PF 2|+2a ，当A ，P ，F 2三点共线时，|P A |+|PF 2|取得最小值，且为|AF 2|=2， 即有2+2a =4，即a =1，c， 可得e =ca故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 11．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点。

若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值是（ ）A ．B ． 1C ．5 D ．2【答案】C 【解析】略12．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ， F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ， P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（ ） A ．33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),00,1-∞⋃ 【答案】D【解析】由题意得()()()2,0,2,0,1,0A B F -， PA PB ⊥． 设点Q 的坐标为()00,x y ，则()()200000002121QA QFy y y k k x x x x ⋅=⋅=+-+- ()()2000123421x x x -=+- ()()003241x x -=-． ∴()()0004114113232PB QF QA QF x k k k k x x -⎛⎫=-==+ ⎪⋅--⎝⎭， 又()02,2x ∈-且01x ≠， ∴0411032x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭或04101132x ⎛⎫<+< ⎪-⎝⎭， 故PBQFk k 的取值范围为()(),00,1-∞⋃．选D ．二、填空题13．已知向量()121a =，，，()34b λ=，，，若a b ⊥，则实数λ=______． 【答案】-10【解析】利用向量垂直的性质直接求解． 【详解】解：∵向量()121a =，，，()34b λ=，，，a b ⊥， ∴a b ⋅=λ+6+4=0， 解得实数λ=-10． 故答案为：-10． 【点睛】本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．与双曲线22134x y -=有共同的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为______．【答案】26x -28y =1【解析】由题意，设与双曲线22134x y-=有共同的渐近线的双曲线为：2234x y-=m，m≠0，且m≠1，代入点解出m即可．【详解】解：设与双曲线22134x y-=有共同的渐近线的双曲线为：2234x y-=m，m≠0，且m≠1，则由题意可得，3-1=m，故m=2，故双曲线方程为26x-28y=1．故答案为：26x-28y=1．【点睛】本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题．15．若命题：∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，则实数a的取值范围是______．【答案】a≤3【解析】根据命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，得出不等式a≤x2-2x在x∈[0，3]能成立；求出f（x）=x2-2x在x∈[0，3]内的最大值，即可求得实数a的取值范围．【详解】解：命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，即a≤x2-2x在x∈[0，3]能成立；设f（x）=x2-2x，其中x∈[0，3]；则f（x）=（x-1）2-1，且当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=3，所以实数a的取值范围是a≤3．故选：a≤3．【点睛】本题考查根据命题真假求参数，是基础题．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，PA PB k-=，则动点P的轨迹为双曲线；②曲线22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则542t ＜＜；③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号） 【答案】②③④【解析】①根据双曲线的定义知|k |＜|AB |时方程表示双曲线的一支；②根据方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆时求出t 的取值范围即可；③求出方程2x 2-5x +2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；④分别求出双曲线221259x y -=和椭圆22135x y +=的焦点坐标，判断是否相同即可．【详解】解：对于①，根据双曲线的定义知，当k 的范围满足|k |＜|AB |时方程表示双曲线的一支，∴①错误；对于②，令4014t t t ->⎧⎨->-⎩，解得52＜t ＜4，此时曲线22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，∴②正确；对于③，解方程2x 2-5x +2=0，得x =12或x =2；12可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；对于④，双曲线221259x y -=中，c F 1（0）、F 20）；椭圆22135x y +=中，c F 1′（0）、F 20）， 它们的焦点相同，∴④正确； 综上知，其中真命题的序号是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是基础题．三、解答题17．已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].【解析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得4x mx+≥，只要4()minm xx≤+，即可得出．【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以1114aa-≤⎧⎨+>⎩，或1114aa-<⎧⎨+≥⎩，所以，3aa≥⎧⎨>⎩，或3aa>⎧⎨≥⎩，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得4x mx+≥，则只要4()minm xx≤+，又44xx+≥，当且仅当4xx=，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．【答案】（1）y2=4x；（2）8.【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；（2）求得直线l 的方程为y =x -1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：（1）抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F （2p ，0），准线方程为x =-2p， ∵|MF |=4，由抛物线的定义可得342p+=， ∴p =2．故所求抛物线方程为y 2=4x ；（2）由（1）得p =2，焦点F （1，0），所以直线l 的方程为y =x -1， 并设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得x 2-6x +1=0， 所以x 1+x 2=6， 可得x 1+x 2+p =8， 所以|AB |=8． 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件）关于单价x （元）的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：ˆb=()121()()ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑=1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1）ˆ20200y x =-+；（2）6.5元.【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；（2）由题意写出收益函数P 的解析式，求出P 取最大值时对应的x 值即可． 【详解】解：（1）由题意得，x =16×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5， y =16×（80+74+73+70+65+58）=70；则()61()5 1.20.30 1.5614iii x x y y =--=------=-∑，621()0.250.090.010.010.090.250.7ii x x =-=+++++=∑；所以142007ˆ.b-==- ，() 7020 6.5200ˆˆay bx =-=--⨯= 所以所求回归直线方程为20200ˆyx =-+． （2）由题意可得，()()()3202ˆ003P yx x x =-=-+-， 整理得P =-20（x -6.5）2+245，当x =6.5时，P 取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题． 20．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是矩形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =2，AC =1，BC =，1AA =（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）在线段BC 1上是否存在一点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在求出1BDBC 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）存在，123BD BC =． 【解析】（1）由已知先证明AA 1⊥AC ，利用面面垂直的性质可证AA 1⊥平面ABC ．（2）假设存在．设D （x 1，y 1，z 1）是线段BC 1上一点，且1BD BC λ=（λ∈[0，1]），求出()(22020λλ-⋅=，，，，解得λ的值，即可求解． 【详解】解：（1）因为侧面AA 1C 1C 是矩形，所以AA 1⊥AC ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ， 所以AA 1⊥平面ABC ．（2）由（1）知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由题意知AB =2，AC =1，BC =，所以AB ⊥AC ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （0，2，0），(100A ，(110C ，假设D （x 1，y 1，z 1）是线段BC 1上一点，其中()1112BD x y z =-，，，(112BC =-，，(102A B =，，，设1BD BC λ=（λ∈[0，1]），即（x 1，y 1-2，z 1）═(12λ-，，解得x 1=λ，y 1=2-2λ，1z =，所以()22AD λλ=-，． 若在线段BC 1上存在一点D ，使得AD ⊥A 1B ，则10AD A B ⋅=，即()(22020λλ-⋅=，，， 得4-6λ=0，解得23λ=， 因为[]2013∈，，所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时12 3BD BCλ==．【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个，A 包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P （A ）=0.4． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．22．已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞的离心率为2，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线l （不过原点O ）与椭圆C 交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点．（ⅰ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值； （ⅱ）求△OAB 面积的最大值及此时l 的斜率．【答案】（1）2212x y +=；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）△AOB面积的最大值是2，此时l 的斜率为±2. 【解析】（1）由题意得12a c c a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得即可求出方程，（2）（i ）设直线l 为：y =kx +2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（ii ）先根据弦长公式求出|AB |t ，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出． 【详解】解：（1）由题意得12a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴a 2=2，b 2=a 2-c 2=1，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）（ⅰ）设直线l 为：y =kx +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ），由题意得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴（1+2k 2）x 2+8kx +6=0，∴△=8（2k 2-3）＞0，即232k ＞， 由韦达定理得：x 1+x 2=-2812k k +，x 1x 2=2612k+， ∴2412M k x k =-+，22212M My kx k =+=+， ∴12M OM M y k x k ==-，∴12OM k k ⋅=-， ∴直线OM 与l 的斜率乘积为定值． （ⅱ）由（ⅰ）可知：12AB x =-==原点到直线AB的距离为d=t ，则t ＞0，∴S △AOBt t+=2， 当且仅当t =2时等号成立，此时k =±2，且满足△＞0，∴△AOB 面积的最大值是2，此时l 的斜率为±2． 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式，属于中档题．。