高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象

J z m m m
2 2 下面讨论 J 2 J z2 J x J y 的 m 矩阵元，由于等号右边算符的
矩阵元肯定不会为负，所以
2 2 m J 2 J z2 m m J x J y m 0
即
m
2
2
0
（8.10）
可见，当 一定时， m 有其上下限 m 和 m ，而 m m 一定是整数；因 此就必须要求有
表象. 球谐函数
lm Ylm ,
正是这两种表象之间的变换矩阵,它是一个行和列双方一方连续
一方离散的幺正矩阵.
由(8.68)式和 的完全性关系(7.59)式可得
l ' m' lm l ' m' sin dd lm
Yl *m ' ， Ylm ， sin dd l 'l m 'm '
就产生了粒子的总角动量的概念。
粒子的总角动量 ：
J LS
一个两粒子系统中的二轨道角动量之和或二自旋角动量之 和甚至全部四个角动量之和，都是总角动量；前者称为总轨道
角动量或总自旋角动量，而后者就称为系统的总角动量。
1 2 设总角动量 J 为两个角动量 J 和 J 之和 J 泛指任何角动量） （ ，
ˆ ˆ 米算符 L2 和 Lz 的共同本征函数.从数学上知道,球谐函数具有完全
性,能够用它们来展开由 cos , sin , cos 和 sin 所组成的函数. 而 空间中的函数正好就是这种函数,因为它们是从各点 x, y, z 的函数而来的.因此,球谐函数又构成 空间的另一组基矢.
Ylm , 可以写成两种普遍形式:
Ylm ,
1
2l 1 2 l l！ 4
l
l m！im 1 d sin 2l e m l m！ sin d cos
l m
(8.63)
Ylm ,
1
* ˆ ˆ ˆ jm J jm J ( J jm ) jm 1 c

* ˆ ˆ jm J J jm jm 1 c c jm 1 c
2
ˆ ˆ ˆ jm [ J 2 J z ( J z )] jm [ j ( j 1) m(m 1)] 2
m m 1
第一个解不合理，于是得 m m ；令
m m j
J 2 m 2 m J z m m m
则得 j j 1 。将 改为 j j 1 ，并将本征矢量中的量子数 改为 j ，则（8.4）和（8.5）两式成为
J
2
jm j j 1
[( j m)( j m 1)] 2
c ( j m)( j m 1)
同理 即
c ( j m)( j m 1)
J J J 2 J z2 J z
（8.15）
ˆ J jm ( j m)( j m 1) jm 1
（） 1 ijk k
（） 2 i
（） 2 j
（） 2 ijk k
k
k
(1) i
（） 2 i
(1) j
（） 2 j
(1) i
(1) j
（2 ） i
（） 2 j
i ijk J（1） i ijk J（2） i ijk J k k k
k k k
任意多个角动量算符之和，其分量都服从角动量的对易关系：
即
1 2 J J J
对易关系：
J
i
,Jj
J , J i J ， J , J i J J , J 0 J J , J J J , J J , J
（） 1 i
1
（） 1 j
2
§8-4 球谐函数
轨道角动量的本征函数, 在位置表象中记为 Ylm , :
lm Ylm ,
它所满足的方程为
2 1 1 2 sin sin sin 2 2 i Y , mY , lm lm Ylm , l l 1 2Ylm ,
k


自旋角动量：
粒子的自旋角动量算符 S 各分量间的对易关系为
S , S i
i j k
ijk
Sk
（8.1）
粒子自旋 S 的各分量与粒子的位置及动量算符均对易。 这是一个新的基本假设，是从前面的五条基本原理推不出来的。
现在我们把自旋的存在和它的对易关系补充到原理3中去。这样，
lm
l 0 m l

l
lm 1
(8.67)
它们的正交归一化关系是
lm' lm l l m'm
(8.68)
而 的完全性关系和正交归一化关系见(7.59)式和(7.62)式：

r r r 2 dr 1 ，

sin dd 1 （7.59）
1 sin
r r
1 r r 2 r

（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g 和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
ˆ 个由以 , 为自变量的函数组成,以方向算符 N 的本征矢量为基矢.
前者称为 r 空间,后者称为 空间.一般的态函数可以写成:
x, y, z r, , f r g ,
现在,又在 空间中求出了一组球谐函数 Ylm , ,它们是厄
2
jm
J z jm m jm
1 3 j 0, , 1, , 2, 2 2 m j , j 1, j 1, j
（8.13）
因为 m m 整数，即 2 j 整数，所以量子数 j, m 的可取值为
（8.14）
这是 J 2 和 J z 的本征值的所有可能的取值。
(8.4)
8.5
m 是 J 2 与 J z 的共同本征矢量。我们来求 和 m 可以取什么
值。
为了求 和 m 的取值，我们所能依据的只有对易关系（8.2）式。 为此，引入两个算符 J 和 J ：
J
i
, J j i ijk J k
k

（8.6） 这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重
m 2 m 2 m


J 2 m 2 m J z m m m

m m 1
mm 1
用第二式作用于 m 得
结合上两式： 解得
m m 1 mm 1
m 1 m m
m 1 m m
要的作用，满足
J J
J J x iJ y
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
J z , J J
J
2
, J 0

8.7 8.8
把 J z J J J z J 和 J 2 J J J 2 作用于 m 得
2l 1 2l l！ 4
l m
l m！im sin m d sin 2l e l m！ d cos
l m
* Ylm , 1 Yl , m , m
(8.64)
全部球谐函数构成完全函数组 。
§ห้องสมุดไป่ตู้-5
关系; 另一幺正性关系是
(8.69)
此式即是球谐函数的正交归一化关系,又是表象变换矩阵的幺正性
' ' ' ' lm lm
l 0 m l
从抽象的希尔伯特空间来看 ,与此相对应,一般的态矢量是
f g .单粒子的态空间也可以分解成两个较小的空间的直
积:一个以算符 R 的本征向量 r 为基矢;另一个以方向算符 N 的
本征矢量 为基矢,后者也可以有另外一套基矢,即 L2 与 Lz 的共 同本征向量 lm . 这后一组基矢的完全性关系可以写成
J z J J J z J
J 2J J J 2
J z J m mJ m J m m 1J m
J 2 J m 2 J m
由此知 J m 也是 J 2 与 J z 的共同本征矢量，其 J 2 的本征值不变而
§8 角动量算符和角动量表象
§8-1 几种角动量算符 §8-2 轨道角动量和方向算符（自学）
§8-3 量子数l的升降算符（自学）
§8-4 球谐函数（自学）
§8-5 lm 表象和 表象
§8-6 自旋和自旋表象
§8-1 几种角动量算符
轨道角动量： L R P
对易关系： Li , L j i ijk Lk
由于 jm 是一组对易的厄米算符的共同本征矢量， 它们必定 满足正交归一化关系：
jm jm j j mm
（8.16）
此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量均成立。
§8-2 轨道角动量和方向算符（自学） §8-3 量子数l的升降算符（自学） §8-4 球谐函数（自学）
m 则增加或减少 1，即
J m c , m 1
（8.9）
可见若 m 是 J z 的本征值，则 m 1 和 m 1 也是本征值（除非
c 0 ） 即 m 在一定范围内取相差为 1 的一系列数。 是量子数 m 的 J ，
上升算符而 J 是下降算符。
J 2 m 2 m ，
J
i
, J j i ijk J k
k

下面，以 J 代表任何角动量算符，显然有

J ,J 0
2

现在我们求 J 2 与任何一个分量， 例如 J 3 J z 的本征值。 由于 J 2 与 J z 对易，它们有共同本征矢量完全组，可以写出
J 2 m 2 m J z m m m
ˆ J jm c jm 1 ˆ J jm c jm 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J J J 2 J z ( J z )
还剩下的一件事是求 c 的值。这只要把（8.9）式两边取模方，
注意到 J J
并利用（8.11）和（8.12）两式即可求出，
lm 表象和 表象
在以单粒子的位置 x, y, z 或 r, , 为自变量的函数空间中, 我们建立了与抽象的希尔伯特空间一一对应的态矢量和算符,而且 把这一函数空间分解为两个较小的函数空间的直积空间:一个是以
ˆ r 为自变量的函数所组成的空间,以算符 R 的本征矢量为基矢;另一
J m 0,
J m 0
否则将与（8.10）式矛盾。
为求 m 和 m ，再利用两个算符等式：
J J J 2 J z2 J z J J J 2 J z2 J z
用第一式作用于 m 得
（8.11） （8.12）
0 J J m ( J 2 J z2 J z ) m
通常的办法是解上面的微分方程以求出 Ylm , 。利用方向算符 和各种升降算符,可以很简捷的完成这一工作。
事实上只需要一个具体的 Ylm , 就可以了.利用量子数 l 和 m 的升降 算符, 就可以算出所有其余的 Ylm , 。升降算符的作用是一些微分 运算,要比解微分方程简单的多。