三年高考(2016-2018)(文)真题分类：专题09-三角恒等变换与求值
【中小学资料】三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理
专题09 三角恒等变换与求值1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) （A）2-（B）2（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知，3co s(10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33costan sin1010tan cossin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是的充分条件，是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化 5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值理
专题09 三角恒等变换与求值1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) （A）2-（B）2（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知，3co s(10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33costan sin1010tan cossin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”“c o s 20α=”，但“sin cos αα=”“c o s 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化 5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
三角函数恒等变换含答案与高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
2 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos θ+sin （2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+2cos 2x=(sin2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
22（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ= 2b2asin(θ+)，这里辅助角所在象限由a 、b 的符号确b定，角的值由tan=确定。
a1．已知tanx=2，求sinx ，cosx 的值． sinx解：因为22x ＋cos 2x=1，tanx ，又sincosx sinx2cosx 联立得，sincos1 2x 2x2525sinxsinx55解这个方程组得,.55cosxcosx552．求t an( tan( 120 690 ) ) c os(210 sin(150 ) sin(480 )cos(330 ) )的值． 解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120)tan(720 o 30 )s in( 150 ) c os(360 30 )tan60 ( tan30( c os30)( sin150 sin120 )cos30) 33.sinxcosx 3．若2, sinxcosx，求sinxcosx 的值．sinxcosx解：法一：因为2,sinxcosx 所以sinx －cosx=2(sinx ＋cosx)，得到sinx=－3cosx ，又sin 2x ＋cos 2x=1，联立方程组，解得sinx 3 10 10 sin ，x3 10 10 ，cosx10 10 cos x 1010所以sinxcosx310sinxcosx法二：因为2,sinxcosx所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有sinxcosx3104．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．xπ5．求函数y2sin()在区间[0，2]上的值域．26xx7πππ解：因为0≤x≤2π，所以,0π,26266 由正弦函数的图象，x1π得到sin()[,1],262所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，1131132tt2t2令t=cosx，则,t[1,1],y(t)3()()242413利用二次函数的图象得到].y[1,4π(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx2，)sin(x，则452tt[2,2]则，yt1,利用二次函数的图象得到y[,12].47．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是14T 个周期，这样求得44 ，T=16，所以π8ππππ又由22)，得到可以取.y2sin(x).2sin(8484 8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．π(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．2数y13 s incosxx的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2xπ2xxxxxxx2(cossin)sin2cos2sin22sin(2)2sin(24 π) 4所以最小正周期为π．ππ3πππ(Ⅱ)若x[0,]，则(2x)[,]，所以当x=0时，f(x)取最大值为2sin()1;当244443πx时，8f(x)取最小值为2.1．已知tan2，求（1）c oscos s insin；（2）2sin.cos2cos2sin的值.sin1cossin1tan12cos解：（1）322sincossin1tan121cos；(2)2sinsincos22cos2sinsincos222sincos2cos2sinsin2coscos2sin21cos22 2242132.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
【K12教育学习资料】三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值文含
专题09 三角恒等变换与求值 文考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．5．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3. 【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】试题分析：由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，先求23x π+的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7【答案】B 【解析】考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值. 2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．1． 【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．5.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解． 6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可.中小学资料考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．学习永无止境。
专题09-三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A）B（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
【小初高学习】三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值文含解析58
专题09 三角恒等变换与求值 文考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．5．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3. 【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】试题分析：由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，先求23x π+的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7【答案】B 【解析】考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值. 2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．1． 【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．5.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】12【解析】试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解． 6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可.小初高教育考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．K12资源。
三角恒等变换高考真题
三⾓恒等变换⾼考真题三⾓恒等变换1、函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3π）的最⼩正周期和最⼤值分别为（） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα-=-22，则cos α+sin α的值为（） A -27 B -21 C 21D 27 3、sin150cos750+cos150sin1050=（）A 0B 21C 23D 14、已知sin θ+cos θ=51且2π≤θ≤43π，则cos2θ的值是（）5、已知sin θ+cos θ=51则sin2θ的值是（）6、函数f （x ）=cos 2x-2cos 22x的⼀个单调增区间是（）A （ 3π，32π）B （6π，2π）C （0，3π）D （-6π，61（x ∈R ），则f （x ）是（）A 最⼩正周期为2π的奇函数 B 最⼩正周期为π的奇函数C 最⼩正周期为2π的偶函数D 最⼩正周期为π的偶函数 8、函数f （x ）=sin2x-cos2x 的最⼩正周期是（） A 2πB πC 2πD 4π 9、函数f （x ）=sin2xcos2x 的最⼩正周期是（） A 2πB πC 2πD 4π 10、若f （sinx ）=3-cos2x ，则f （cosx ）=（）A 3-cos2xB 3-sin2xC 3+cos2xD 3+sin2x11、已知,αβ∈（0，2π），cos （α-2β）=23，sin （2α-β）=-21，则cos （α+β）的值等于（） A -23 B -21 C 21D 2312、已知,αβ∈（43π，π），sin （α+β）=-53，sin （β-4π）=1312，则cos （α+4π）=（） 13、函数y=21sin2x+sin 2x ，x ∈R 的值域是（）A [-21，23]B [-23，21] C [-22+21，22+21] D [-22-21，22-2] 14、函数y=2sinxcosx-1，x ∈R 的值域是（）15、若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32ππ16、若?ABC 的内⾓A 满⾜sin2A=32，则sinA+cosA=（）A315 B -315 C 35 D -3517、若f （x ）= asin （x+4π）+bsin （x-4π）（ab ≠0）是偶函数，则有序实数对（a ，b ）可以是（）（注：只要满⾜a+b=0的⼀组数即可） 18、当0π时，函数f （x ）x x x 2sin sin 82cos 12++的最⼩值为（）A 2B 23C 4D 4319、设x 是第四象限⾓，若x x sin 3sin =513则tan2x=（） 20、已知tan 2α=2，则tan α=（），tan （α+4π）=（）21、函数y= 2cos 2x 的⼀个单调增区间是（）A （-4π， 4π）B （0，2π）C （4π，43π）π，π）22、函数y=sin （x+3π）sin （x+2π）的最⼩正周期T 是（）23、函数f （x ）= sinx- 3cosx ， x ∈[-π，0] 的单调增区间是（） A [-π，-65π] B [-65π，-6π] C [-3π，0] D[-6π，0]24、函数2()sin(2)4f x x x π=--的最⼩正周期是__________________ .25、若tan （4π-α）=3则ααsin cos 等于（）A -2B - 21C 21D 226、若tan α=3，tan β=34，则tan （α-β）等于（）A -3B -31C 3D 3128、若cos （α+β）=51，cos （α-β）=53，则tan αtan β=（）29、已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54上的最⼤值是( )A.1 C.3231、若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 32、0203sin 702cos 10--=（）A. 12C. 233、函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最⼤值是34、已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最⼩正周期是．35、已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内⾓A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则⾓B ＝ 36、下列各式中，值为23的是（）A 2sin150cos150B cos 2150-sin 2150C 2sin 2150-1D sin 2150+cos 2150 37、函数f (x )=2sin x cos x 是(A)最⼩正周期为2π的奇函数（B ）最⼩正周期为2π的偶函数 (C)最⼩正周期为π的奇函数（D ）最⼩正周期为π的偶函数38、已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=9（D ）3 39、计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B ．2C ．3D ．240、cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．3C ．2D ．241、已知a 是第⼆象限的⾓，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．42、函数2()sin (2)4f x x π=-的最⼩正周期是。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：三角恒等变换与求值
三角恒等变换与求值考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题. 分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 2．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是。
专题09三角恒等变换与求值文含解析00
专题09 三角恒等变换与求值文2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（）A. B. C. D.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3.【2018年新课标I 卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（）A. B. C. D.4．【2018年全国卷II 文】已知，则__________．5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15 2.【2017课标3，文4】已知4sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．793. 【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=（）A.14- B.14C.18- D.184.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-=则tanα= .5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos3f x x-x xπ=-.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当[,]44xππ∈-时，()12f x≥-．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）72.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）453.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．5.【2016高考四川文科】0750sin = .6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.。
2019年高考理科数学三年高考真题精品分类汇编：09 三角恒等变换与求值-附答案中高考前沿
3． 【2018 年江苏卷】已知 为锐角， （1）求 （2）求 【答案】 （ 1） 的值； 的值． （ 2）
，
．
（2）因为 为锐角，所以 ，因此 ，因此，
．又因为 ．因为
，所以 ，所以 ．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配 凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切 化弦 ”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待 的目标， 其手法通常有： “常值代换”、 “逆用变用公式”、 “通分约分”、 “分解与组合”、“配方与平方”等.
分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化. 2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正 切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α 的正弦、余弦、 正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题. 4.理解同角三角 函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系 统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系. 5. 本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中 ,不能单独考 查.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
2019-2020 年备考
青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020 年备考 专题 09 三角恒等变换与求值 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 高考示例 2017 江苏,5; 2016 江 苏,15; 2015 课标 Ⅰ,2; 2014 课标 Ⅱ,14 选择题 ★★ 公式 ② 能利用两角差的余弦公式导 掌握 出两角差的正弦、正切公式; ③ 能利用两角差的余弦公式导 出两角和的正弦、余弦、正切公 式,导出二倍角的正弦、余弦、 正 切公 式 , 了 解它 们的 内在 联 2.二倍角 系. 公式 (2)简单的三角恒等变换 掌握 2016 课标全 填空题 能运用上述公式进行简单的恒 国Ⅱ,9; 等变换(包括导出积化和差、和 2016 四川,11 差化积、半角公式,但对这三组 公式不要求记忆) 解答题 ★ 江,10; 选择题 ★★ 2016 浙 填空题 ★ 解答题 常考题 预测 型 热度
专题09 三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3 D、4【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
三年高考(2016-2018)数学(文)真题分类解析：专题09-三角恒等变换与求值
考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B. C. D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）A．B．1 C．D．【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知，则=（）A． B．C．D．【答案】A【解析】.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3.【2017山东，文4】已知,则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由得,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】若则.【答案】【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.5.【2017课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．【答案】【解析】试题分析：由得又所以因为所以因为所以【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为，所以.所以.所以当时，.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【解析】考点：正弦函数的性质、二次函数的性质.【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)=.【答案】【解析】试题分析：由题意,因为,所以,从而,因此．故填．考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知，则______，______．【答案】；1．【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和．5.【2016高考四川文科】=.【答案】【解析】试题分析：由三角函数诱导公式.考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；（Ⅱ）根据函数的单调递增区间对应求解即可.考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．。
2016届高考数学理命题猜想专题09三角恒等变换与解三角形(解析版)
命题猜想九 三角恒等变换与解三角形【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测2016年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、(1)已知tan α＝－35，则sin 2α＝( ) A.1517 B ．－1517 C ．－817 D.817(2)若cos(π3－2x)＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( ) A.14 B.78 C ．±14 D ．±78 【答案】（1）B （2）C 【解析】【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．【变式探究】(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝14，那么cos 2α＝________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35 【答案】（1）－78 （2）A【解析】 （1）依题意得cosα＝14，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78.（2）由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，得3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－4 35，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45，于是cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.【命题热点突破二】 正、余弦定理例2、(1)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin A ＋csin C －2asin C ＝bsin B ，则角B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°(2)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且c ＝2bsin C ，a 2＝b 2＋c 2－3bc ，则角C ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 【答案】（1）B （2）D 【解析】【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0， ∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2sin Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0， ∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c. 【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD 中，A ＝45°，B ＝60°，C ＝105°.若AB ＝2 m ，BC ＝1 m ，则该四边形园地ABCD 的面积等于________m 2.【答案】6－34【解析】 如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC ＝ 3 m ，易知△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，所以∠DAC ＝15°，∠DCA ＝15°，故△ADC 为等腰三角形.设AD ＝DC ＝x m ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3（2－3）. 所以四边形园地ABCD 的面积为12×1×3＋12×3×（2－3）×12＝2 3＋6－3 34＝6－34 m 2.【感悟提升】使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中．【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A．50(3＋1)m B．100(3＋1)mC．50 2 m D．100 2 m【答案】A【解析】【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、[2015·湖北卷]如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 °的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75 °的方向上，仰角为30 °，则此山的高度CD＝________m.【答案】100 6【解析】依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC＝300 2.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan ∠CBD ＝300 2·tan 30°＝100 6.【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【变式探究】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【答案】150【解析】【易错分析】 对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换．【高考真题解读】1.【2015高考四川，理12】=+75sin 15sin .【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==.法三、6sin15sin 75-+=+=.2.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II)max ()f x =,min 1()2f x =-.【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x xπ⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -，最小值为12-.4.【2015高考重庆，理18】已知函数()2sin sin2f x x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭（1）求()f x的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，；（2）()f x在5[,]612ππ上单调递增；()f x在52[,]123ππ上单调递减.【解析】5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形CAB中，1tan2A=，D为边CB上的点，D∆AB与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DFE ⋅= ．【答案】1615-【解析】6.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1．【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =由正弦定理得sin sin a b A B =即sin36bπ=解得1b =，故应填入1．7.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．【答案】2 【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.8.【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB，A 的角平分线AD,则AC =_______.【解析】9.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A⋅==sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．。
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考纲解读明方向分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是A.B.C.D.【答案】CA选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:将函数进行化简即可点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）A．B．1 C．D．【答案】A【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标3，文4】已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3.【2017山东，文4】已知,则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由得,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．4.【2017江苏，5】若则 .【答案】【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.5.【2017课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．【答案】【解析】试题分析：由得又所以因为所以因为所以【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.（Ⅱ）因为，所以.所以.所以当时，.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【解析】考点：正弦函数的性质、二次函数的性质.【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .【答案】【解析】试题分析：由题意,因为,所以,从而,因此．故填．考点：三角变换4.【2016高考浙江文数】已知，则______，______．【答案】；1．【解析】考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和．5.【2016高考四川文科】= .【答案】【解析】试题分析：由三角函数诱导公式.考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；（Ⅱ）根据函数的单调递增区间对应求解即可.考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．。