2017-2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试文科数学试题及答案
2017-2018届重庆一中高三上学期一诊模拟考试文科数学试题 及答案
秘密★启用前2017-2018年重庆一中高2017-2018级高三上期一诊模拟考试数 学 试 题 卷 （文科）1一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则M N = （ ）A ．[1,3)B ．(5,3)-C ．(5,1]-D ．[7,3)-2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝（ ）A ．0B ． 1C ．12D ．1-4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒<B. 12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y x y >⇒> 5.若23a=，则3log 18=（ ）A.13a +B.13a -C.12a +D.12a -6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是（ ）A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9.抛物线的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ） A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分） 11. 设数列{n a }的前n项和为2n S n =,中5a = .12. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=-13.已知1,2,,60a b a b ==<>=，则2a b- =14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= .15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为三．解答题（本大题共6个小题，共75分）16.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据； （Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率．18.（13分） 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值.A19.（12分）（原创）已知1()1f x x =++（1）求函数()f x在4x =处的切线方程（用一般式作答）； （2）令()2(1)1F x m x =+-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围.20.（12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积．21.（12分）（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 过点，P是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围.2017-2018年重庆一中高2017-2018级高三上期一诊模拟考试 数 学 答 案 解 析 （文科）11．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则M N = A ．[1,3) B ．(5,3)- C ．(5,1]- D ．[7,3)- 答案：A2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 答案：B3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝A ．0B ． 1C ．12D ．1-答案：D4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒<B. 12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y x y >⇒>答案：A 5.若23a=，则3log 18=（ ）A.13a +B. 13a -C 12a +.D. 12a -答案：C6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 答案：B7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 答案：C8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 答案：C 9.抛物线的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D10. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ） A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+答案：B11. 设数列{n a }的前n项和为2n S n =,中5a = .答案：912. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=-答案：i 13.已知1,2,,60a b a b ==<>=，则2a b- =答案：14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= .答案：15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为【答案】392781{2,2,2,2,2} 解析：根据题意得对任意*12,n n N ∈有*n N ∈,使1212118118181222n n n n n n a a a qqq---=⇒=⋅，即128112n n n q --+=，因为*q N ∈，所以12811n n n --+是正整数1、3、9、27、81，q 的所有可能取值的集合为392781{2,2,2,2,2}. 16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.解答：设{}n a 的公差为d ，则由题得1113301,15105a d a d a d +=⎧⇒==-⎨+=-⎩则2n a n =-（2）由（1）得212111111()(32)(12)22321n n a a n n n n -+==----- 则所求和为12nn -17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据； （Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 解答： (1)15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179 所以污损处是9(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ， 从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2518. 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值. 解答：（1）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，则3A π=；（2）由题得22424b c bc bc bc +=+≥⇒≤，则1sin 2ABC S bc A b c ∆=≤=时取等号）故ABC ∆的面积的最大值为.19.（原创）已知1()1f x x =+（1）求函数()f x 在4x =处的切线方程（用一般式作答）；（2）令()2(1)1F x m x =+-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围. 解答：（1）由题21()f x x'=，则721(4),(4)164f f '==，则所求切线为()2174416y x -=-即716+560x y -=（2）()021F x mx x ≤⇔≥++，显然0x =时不是不等式的解，故0x >，故1()0211()F x mx x m f x x ≤⇔≥++⇔≥++=由（1）可知min ()(1)4f x f ==，则4m ≥.20. 如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠= ．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积． 解答：（1）证明：由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，且DC DF D = ， ∴AD ⊥平面CDEF ， ∴AD FC ⊥， ………………2分 ∵四边形CDEF 为正方形. ∴DC FC ⊥A由DC AD D= ∴FC ABCD⊥平面 ∴A FC C ⊥ (4)分又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =∴C A =C B = 则有222AC BC AB += ∴A C BC ⊥由BC FC C = ∴AC FCB ⊥平面 ∴AC FB ⊥ ……………6分（２）连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，易见BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.…………8分∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………9分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△163= (11)分∴ 几何体EF ABCD -的体积为163 (12)分21.（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知椭圆C过点，P是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围. 解答：由题，21()2c b aa ==⇒=，因为椭圆C 与x 轴的一个交点为(1,0)，则 若1a =，则212b =，则椭圆C 方程为2221x y +=； 若1b =，则22a =，则椭圆C方程为2212y x +=.故所求为者22112y x +=或2212y x +=因为椭圆C 过点，故椭圆C 方程为2221x y +=，且12(F F ）设(,)P m n ，则l 的方程是21mx ny +=，则12d d ⋅11m -≤≤，故21102m ->，故212221124m d d m n -⋅=+，又因为2221mn +=，代入可得1212d d =，故12d d ⋅为定值12；由题12d d +==因为2102n ≤≤，故12d d +∈2].。
重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试文科数学试卷
重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.2. 已知函数，则的值为（）A. 2B. -2C.D.【答案】C【解析】 ,选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】,对应的点位于第四象限,选D.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4. 完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某公司的15名技术员工中选出3名调查工作负担情况，宜采用的抽样方法依次是（）A. ①简单随机抽样②系统抽样B. ①分层抽样②简单随机抽样C. ①系统抽样②分层抽样D. ①②都用分层抽样【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；个体差异比较大，故选择分层抽样，对于从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，由于总体较少，则可知抽样方法为简单随机抽样，故答案为B考点：抽样方法点评：主要是考查了抽样方法的基本运算，属于基础题。
重庆市部分区县2017-2018学年高三上学期入学考试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年度（上）期入学考试数学试题（文科）时间：120分钟总分：150分一、选择题（每个题只有一个正确答案，用铅笔填在答题卡上。
共60分）1、设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则S∩(CT) （）U（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
2、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3、已知错误！未找到引用源。
所有有理数都是实数，错误！未找到引用源。
正数的对数都是负数，则下列中为真的是（）A．错误！未找到引用源。
p且q B．p且q C．错误！未找到引用源。
p且错误！未找到引用源。
q D．错误！未找到引用源。
p或错误！未找到引用源。
q4、函数错误！未找到引用源。
的定义域为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
5、若O为平行四边形ABCD的中心，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=4错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
=6错误！未找到引用源。
，则3错误！未找到引用源。
—2错误！未找到引用源。
=A、错误！未找到引用源。
B、错误！未找到引用源。
C、错误！未找到引用源。
D、错误！未找到引用源。
6、函数y＝x－ln x的单调减区间是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)7.设奇函数错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上为增函数，且错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
8.若函数错误！未找到引用源。
分别是错误！未找到引用源。
上的奇函数、偶函数，且满足错误！未找到引用源。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高三上学期一诊模拟考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{})2lg(2x x y x A +-==，{}1≤=x x B ，则=B A （ ）A.{}21≤≤x xB.{}10≤<x xC. {}01≤≤-x xD.{}2≤x x 【答案】B考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． 2.已知复数i i z 2)1(=+，则复数z=（ ） A.1i + B.1i - C.i 2121+ D.i 2121- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，故选A ． 考点：复数的去处3.设x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最大值为（ ）A.4B.6C.16D.26 【答案】D 【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数y x z 32+=经过点()4,6A 取得最大值，即max 243626z =⨯+⨯=，故选D ．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的求线性目标函数的最值问题，通常可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）A.87 B.109 C.98 D.1110 【答案】C考点：程序框图．【思路点睛】解答此类试题首先要明确程序框图的功能，然后从两个方法考虑：（1）直接根据输入的初始值进行依次运行，并按题目要求进行判断，从而确定需要填入的结果；（2）根据程序框图所表达的功能作用，结合所要求的结果来确定执行框的命令． 5.已知a b ，为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个：①ab ，a α⇒b α；②a b ⊥，a α⊥⇒b α；③a α，βα⇒a β；④a α⊥，β⊥α⇒aβ，其中不正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D考点：1、真假的判定；2、空间直线与平面间的位置关系．6.对于函数()cos f x x x =，现有下列：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 的最小正周期是π2；③点)0,2(π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，其中是真的为（ ）A.②④B.①④C.②③D.①③ 【答案】B 【解析】试题分析：因为()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 是奇函数，故①正确；因为()00f =，ππ2)2(=f ，)2()0(πf f ≠，故②错；因为()00f =，ππ-=)(f ，)()0(πf f -≠，故③错；因为()cos sin f x x x x '=-，当[0,]4x π∈时，cos sin x x >，sin sin x x x <，所以()0f x '>，所以函数()f x 在区间]4,0[π上单调递增，故④正确，故选B.考点：1、真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．7.若在区间(-1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆1)2()1(22=-+-y x 相交的概率为（ ）A.85 B.165 C.83 D.163 【答案】B 【解析】试题分析：因为直线与圆相交应满足的条件为1222<+-ba b a ，即43a b >．又11a -<<，01b <<，在平面直角坐标系中，表示的平面区域为相邻边长分别为2和1的矩形内部，由几何概型知165=P ，故选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、几何概型．8.在ABC ∆中，内角A B C ,,的对边长分别为a b c ,,，已知b c a =-22，且sin()A C -＝2cos sin A C ，则b =（ ）A.6B.4C.2D.1 【答案】C考点：1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．9.已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，PM 为21PF F ∠的角平分线，过1F 作PM 的垂线交PM 于点M ，则OM 的长度为（ ）A.aB.bC.2aD.2b 【答案】A 【解析】试题分析：延长M F 1交2PF 延长线于点N ，易知1PF N ∆为等腰三角形，所以1PN PF =．因为M 为1F N 的中点，又O 为12F F 的中点，所以OM 为12F F N ∆的中位线，．由双曲线定义知，12||||2PF PF a -=，即2||2F N a =，所以a OM =，故选A ．考点：双曲线的定义10.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时不等式0)()(<'+x f x x f 恒成立，若)3(33.03.0f a ⋅=，)3(log 3log ππf b ⋅=，)91(log 91log 33f c ⋅=，则a b c ,,的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】试题分析：令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ''=+，所以当0x >时，0)(<'x F ，即()F x 单调递减．又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()F x 是奇函数且()F x 为减函数．因为0.331>，0log 31π<<，31log 29=-，所以c b a >>，故选D ． 考点：1、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性11.已知正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（ ）A.39B.36C.38D.6 【答案】D考点：1、棱锥的三视图；2、棱锥的侧面积．【方法点睛】以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明、求解其中一个视图的面积问题、求解几何体的表面积和体积问题等，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问．12.若函数()f x 在[,]a b上的值域为]2,2[b a ，则称函数()f x 为“和谐函数”.下列函数中：①411)(+-=x x g ；②xx p 1)(=；③x x q ln )(=；④2)(x x h =，“和谐函数”的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，若()f x 在区间[,]a b 上单调递增，须满足：2)(a a f =，2)(bb f =，结合图象知：①④正确，③错误；若()f x 在区间[,]a b 上单调递减，须满足：2)(ba f =，2)(ab f =，对于②，代入有⎪⎩⎪⎨⎧==2121a b b a ，2ab =即可，例如：]4,21[满足题意，所以②正确，故选C ．考点：1、新定义；2、函数的单调性；3、函数的图象．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,log ,0,3)(2x x x x f x 若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是_______.【答案】00x ≤或01x >考点：1、分段函数；2、指数函数、对数函数的图象与性质．【方法点睛】对于分段函数的求值问题，一定要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，解题中需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式．14.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4010=S ，12020=S ，则=30S _______. 【答案】280 【解析】试题分析：由等比数列的性质，知10S ，1020S S -，2030S S -也成等比数列，所以3020160S S -=，所以28030=S ．考点：等比数列的性质．15.已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______.【答案】π29 【解析】试题分析：因为SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长、宽、高分别为,,SA AB BC 三边长的长方体的外接球的半径．因为2SA =，3AB =，4BC =，所以2R ＝ππ2942=R ． 考点：1、球的表面积；2、球的内接多面体．16.ABC ∆中，120A ∠=︒，A ∠的平分线AD 交边BC 于D ，且2AB =，2CD DB =，则AD 的长为___________．【答案】34考点：余弦定理．【一题多解】由题意B C D ，，三点共线，且12=BD CD ，则1233AD AC AB =+，根据角平分线的性质21==CD BD AC AB ，所以4AC =，222221214416()339999AD AD AC AB AC AB AC AB ==+=++⋅=，所以34=AD .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设函数)(cos sin )(R x x x x f ∈+=. （1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）若A f sin 2)12(=π，其中A 是面积为233的锐角ABC ∆的内角，且2AB =，求边AC 和BC 的长．【答案】（1）π2=T ，最大值为2，最小值为2-；（2）3AC =，7=BC ．【解析】试题分析：（1）先用两角和与差的正弦化简()f x 的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；（2）先根据解析式求得角A ，从而由面积公式求得AC 的长，再由余弦定理求得BC 的长． 试题解析：（1）)4sin(2cos sin )(π+=+=x x x x f ，∴函数()f x 的最小正周期π2=T . ...............................4分 当)(24Z k k x ∈+=ππ时，函数()f x 的最大值为2；考点：1、两角和与差的正弦；2、三角函数的图象与性质；3、余弦定理；4、三角形的面积公式．【方法点睛】函数sin()y A x ωϕ＝＋的综合应用涉及到定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等，解决相关三角函数问题时，首先要将函数利用两角和与差正余弦公式、倍角公式、同角三角函数间的基本关系等整理成sin()y A x k ωϕ+＝＋的形式，再依据相关性质求解．18.（本小题满分12分）某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：时间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率.附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++．【答案】（1）能；（2）158=P ． 【解析】（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，记为a b ，，有4名同学运动时间超过2小时，记为A B C D ，，，.任意抽取两名同学共有{}A a ,，{}B a ,，{}C a ,，{}D a ,，{}A b ,，{}B b ,，{}C b ,，{}D b ,，{}b a ,，{}B A ,，{}C A ,，{}D A ,，{}C B ,，{}D B ,，{}D C ,，共15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有8个基本事件， 所以所求概率158=P . .....................12分 考点：1、独立性检验的应用；2、几何概型．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥，底面ABCD 为梯形，ABDC ，AB BC ⊥，1PA AB BC ===.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积V . 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】试题分析：（1）先由线面垂直的性质得PA BC ⊥，再结合已知条件可得BC ⊥平面PAB ，进而使问题得证；（2）易证得DAC ∆为等腰直角三角形，从而求得DC 的长，进而求得四棱锥P ABCD -的体积．试题解析：（1）证明：如图，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥. 又AB BC ⊥， PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB . ....................3分又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB . .................5分考点：1、直线与平面垂直的性质；2、面面垂直的判定；3、棱锥的体积．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于P Q ，两点，M为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k .（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ，且满足2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）1101522=+y x ． 【解析】试题分析：（1）设),(11y x P ，),(22y x Q ，并分别代入椭圆方程中，然后两式相减，利用直线斜率公式求得ba，从而求得离心率；（2）设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，直线l 的方程为：3-=my x ，然后联立椭圆与直线的方程得到关于y 的二次方程，然后由0∆>，及利用韦达定理得出OPQ S ∆的表达式，从而利用基本不等式求得椭圆C 的方程．（2）由（1）知33==a c e ，得22222,3cbc a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，设直线l 的方程为：3-=my x ，代入椭圆C 的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ，.......6分因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ，由韦达定理：3234221+=+m my y ，32662221+-=m c y y ．又QD DP 2=，所以212y y -=，代入上述两式有：329666222+-=-m m c ，..........8分 所以32)66)(32(448232321222221+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ..................9分2633211832182≤+=+=mm m m ， .......................10分 当且仅当232=m 时，等号成立，此时52=c ，代入∆，有0>∆成立， 所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x . .........................12分 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点睛】直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程．当0∆>时，直线与圆锥曲线相交，设交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长12||()AB x x =+21.（本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=kx x x f . （1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：)2,(1)1ln()1617ln()910ln()45ln(22≥∈<++⋅⋅⋅+++*n N n nn .【答案】（1）1≥k ；（2）见解析．考点：1、导数与函数最值的关系；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数()f x '的符号能够确定为正或为负． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在ABC ∆中，DC AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 交DC 于点F ，若3BF FC ==，2DF FE ==．（1）求证：AC AE AB AD ⋅=⋅； （2）求线段BC 的长度．【答案】（1）见解析；（2）30=BC ．①+②得：BE BF CD CF BC BG CB CG ⋅+⋅=⋅+⋅，即3053532=⨯+⨯=⋅+⋅=BE BF CD CF BC ， ........................8分 所以30=BC . . ..................10分 考点：1、四点共圆；2、割线定理．23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,1,32⎩⎨⎧+=+=为参数），点()2,1P ，直线l 与曲线C 交于A B ，两点. （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求PB PA ⋅的值．【答案】（1）曲线C 的标准方程为：1222=+y x ；直线l 的标准方程为：0323=+--y x ．（2）165．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系． 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数31)(-++=x x x f .（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（2）若不等式aa x x 131+≥-++对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=),3(22),31(4),1(22)(x x x x x x f ，图象见解析；（2）)32,32()0,(+--∞∈ a ．考点：1、函数的图象；2、函数的解析式；2、三角不等式的性质．。
重庆市重庆一中2017-2018学年高三上学期半期考试数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年重庆市重庆一中高三上学期半期考试试题数学（文）一、选择题：共12题1．已知，则复数A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查复数的四则运算、共轭复数.,则,2．设全集I是实数集R，与都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算、Ven图的应用.由图可知，阴影部分表示,因为与,所以,,所以3．(原创)已知直线方程为则直线的倾斜角为A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】本题主要考查直线的方程、斜率与倾斜角.由直线方程可得直线的斜率k=，所以直线的倾斜角为4．函数的图象关于A.坐标原点对称B.直线对称C.轴对称D.直线对称【答案】C【解析】本题主要考查函数的图像与性质.因为,所以函数是偶函数，则其图像关于y轴对称.5．点关于直线对称的点坐标是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、中点坐标公式、直线的斜率公式.设点关于直线对称的点坐标(x,y),由题意可得,求解可得x=3，y=2，故答案为A.6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是：底面是边长为1的正方形、有一侧棱与底面垂直的四棱锥，且长为2，所以该几何体的表面积S=7．已知函数的零点依次为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点、指数函数与对数函数，考查了逻辑推理能力与零点的判断方法.由指数函数与对数函数的单调性可知，这三个函数在定义域上均为增函数，易知函数的零点小于0；函数的零点在区间(0,1)上；函数的零点为27，故答案为B.8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中(单位：千米)为行驶里程，(单位：元)为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查条件结构程序框图的应用、函数的解析式，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意可知，当x=4千米时，收费为13元，经检验可知，答案为B.9．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查二元一次不等式组、直线方程，考查了数形结合思想.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，因为平面区域经过所有四个象限，且直线在y轴上的截距为，所以,则,故答案为D.10．已知在中，，，是线段上的点，则到的距离的乘积的最大值为A.12B.8C.D.36【答案】A【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.以顶点C为原点，以CA为x轴、CB为y轴建立平面直角坐标系，A(8,0),B(0,6),则直线AB：,设点P(x,y)(x>0,y>0)在直线AB上，则，由题意可得x,y分别是点P到AC、BC的距离，因为，所以,当且仅当，即x=4，y=3时，等号成立，故答案为A.11．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.直线过P, 曲线表示吧原点为圆心、2为半径的圆的下面一半，如图所示，圆心到直线的距离d=,求解可得k=，由题意，观察图像可知，实数的取值范围是12．已知函数，若对任意都有成立，则A. B. C. D.【答案】D意可知在x=3处取得最小值，即x=3是的极点，所以，即，令,,所以当时，; 当时，,所以,所以,,故，故答案为D.二、填空题：共4题13．已知某长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的体积为 .【答案】【解析】本题主要考查空间几何体的特征、球的表面积与体积，考查了空间想象能力.由题意可知，球的半径R=，所以球的体积V=14．若函数在上是减函数，则实数取值集合是 .【答案】【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质.因为函数在上是减函数，所以,则,故答案为15．圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为,则母线与轴的夹角大小为 .【答案】【解析】本题主要考查圆锥的侧面积、轴截面，考查了空间想象能力.设圆锥的底面半径为r，母线为l，由题意可得,所以,则母线与轴的夹角大小为16．已知函数，如果对任意的，定义，例如：,那么的值为 .【答案】意，，所以，则,,,所以的值是以3为周期排列的，所以三、解答题：共7题17．等差数列的前项和为，已知，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)由，为整数知，，的通项公式为.(2)，于是.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与求和，考查了逻辑推理能力、裂项相消法与计算能力.(1)由题意易知，，则；(2)，利用裂项相消法求和即可.18．在中，三个内角的对边分别为，.(1)求的值；(2)设，求的面积.【答案】(1)由已知可得．,,.(2)【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由正弦定理可得，结合余弦定理可得的值，由，利用两角和与差公式求解即可；(2)由正弦定理求出c，再由三角形的面积公式求解即可.19．如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点,连接.(1) 求证：平面；(2) 若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明：∵是等腰直角三角形，,点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面∵平面,∴∵平面,平面,∴平面(2)由(Ⅰ)知平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离.∵，是等边三角形，∴，.连接, 则,.∴三棱锥的体积为.【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积，考查了转化思想、逻辑推理能力与空间想象能力.(1)易知，再根据面面垂直的性质定理可得平面，则有OM//AB,则结论可证；(2) 由(Ⅰ)知平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离，易知，结论易得.20．已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，，试求满足的关系式.【答案】(1)(2)①当直线斜率不存在时，由，解得，不妨设，，因为，所以，所以的关系式为.②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以=====所以，所以的关系式为.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的斜率与方程，考查了分类讨论思想与方程思想.(1)由以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求出b的值，再根据椭圆的离心率即可求出a、c，可得椭圆方程；(2)当直线的斜率不存在时，结论易得；当直线的斜率存在时，设直线，联立椭圆方程，由韦达定理，化简求解即可.21．已知．(1)当为常数，且在区间变化时，求的最小值；(2)证明：对任意的，总存在，使得．【答案】(1)当为常数时，，，当，在上递增，其最小值(2)令由当在区间内变化时与变化情况如下表：①当，即时，在区间内单调递减，，所以对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，所以时，函数取最小值，又，若，则，，所以在内存在零点；若，则，所以在内存在零点，所以，对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．结合①②，对任意的，总存在，使得．【解析】本题主要考查导数、函数的性质与最值、函数与方程，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 当为常数时，，判断函数的单调性，即可求出结论；(2) 令，判断函数的单调性，再分、两种情况讨论函数的最值，即可证明结论.22．已知曲线的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线截得的弦长.【答案】∵曲线的参数方程为为参数)∴曲线的普通方程为曲线表示以为圆心,为半径的圆.将代入并化简:即曲线的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为,∴圆心到直线的距离为∴弦长为.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化、弦长公式的求法、点到直线的距离公式.(1)消去参数可得圆的普通方程,再利用公式化简可得圆的极坐标方程;(2)求出直线的直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,根据垂径定理求解即可.23．已知关于的不等式对恒成立．(1)求实数的最小值；(2)若为正实数，为实数的最小值，且，求证：．【答案】(1)由∵对恒成立．，∴最大值为(2)由(Ⅰ)知，即当且公当时等号成立∴【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用、基本不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)利用绝对值三角不等式即可求出最大值，由题意可得k 的最小值；(2) 由(Ⅰ)知，即，，展开化简，再利用基本不等式求解即可证明结论.。
2017年重庆市巴蜀中学高考数学三模试卷(文科)
2017年重庆市巴蜀中学高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x＜2}2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3＞|y|”的（）3．（5分）设x＞0，y∈R，则“ｘ＞y”是“ｘA．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知的值是（）A．B．3 C．2 D．5．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒肉夹谷56粒，则这批米内夹谷约为（）A．1365石B．338 石C．168石D．134石6．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B．8 C．D．7．（5分）下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应输入x=（）A．1 B．2 C．3 D．68．（5分）若O为坐标原点，已知实数x，y满足条件，在可行域内任取一点P（x，y），则|OP|的最小值为（）A．1 B．C．D．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=3x﹣1，则f（9）=（）A．﹣2 B．2 C．D．10．（5分）如图所示某物体的三视图，则求该物体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的。
重庆一中2017-2018学年高三数学模拟试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．若集合A={x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．4．已知p：m=﹣2；q：直线l1：2（m+1）x+（m﹣3）y+7﹣5m=0与直线l2：（m﹣3）x+2y ﹣5=0垂直，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则实数m=（）A．±2B．±C．D．6．已知实数x，y满足条件，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1 B．C．D．7．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，则a等于（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．909．函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，log a﹣=（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P ﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）A．πB．πC．πD．π12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣C．1+2e2D．1﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．将某班参加社会实践的48名学生编号为：1，2，3，…，48．采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为．15．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若⊥，则•=．16．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，且sina5≠0，当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围是．三、解答题：共70分.17．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cosA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．19．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[11，15]（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．20．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意m，n∈（0，e）且m≠n，有恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016年重庆一中高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．若集合A={x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】通过集合A={x|x≥0}，且B⊆A，说明集合B是集合A的子集，对照选项即可求出结果．【解答】解：因为集合集合A={x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集，当集合B={1，2}时，满足题意，当集合B={x|x≤1}时，﹣1∉A，不满足题意，当集合B={﹣1，0，1}时，﹣1∉A，不满足题意，当集合B=R时，﹣1∉A，不满足题意，故选A．2．已知i为虚数单位，若复数i•z=﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，代入i•z=﹣i，求出a，b的值，从而求出|z|的模即可．【解答】解：设z=a+bi，若复数i•z=﹣i，即i（a+bi）=﹣b+ai=﹣i，解得：a=﹣1，b=，则|z|=，故选：C．3．计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】有条阿金利用诱导公式、两角和差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，故选：D．4．已知p：m=﹣2；q：直线l1：2（m+1）x+（m﹣3）y+7﹣5m=0与直线l2：（m﹣3）x+2y ﹣5=0垂直，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：m=3时，直线l1：x﹣1=0，直线l2：2y﹣5=0，此时两条直线垂直，∴m=3．m≠3时，直线l1：y=﹣x+，直线l2：y=﹣x+．由两条直线垂直，可得：﹣×（﹣）=﹣1，解得：m=﹣2．综上可得：m=﹣2或3时，两条直线相互垂直．∴p是q成立的充分不必要条件．故选：A．5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则实数m=（）A．±2B．±C．D．【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】由已知圆x2+y2+mx﹣=0与x2=4y的准线y=﹣1相切，求出圆x2+y2+mx﹣=0的圆心（﹣，0），半径r=，由此能求出实数m．【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，∴圆x2+y2+mx﹣=0与直线y=﹣1相切，圆x2+y2+mx﹣=0的圆心（﹣，0），半径r=，∴圆心（﹣，0）到y=﹣1的距离d=1=，解得m=．故选：B．6．已知实数x，y满足条件，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1 B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出相对应的面积，从而求出符合条件的面积即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：平面区域△ACO的面积是2，而△ABC的面积是1，，由x+y=2与y=0可得C（2，0），可得x+2y=2经过可行域的C点，故不等式x+2y≥2成立，则使不等式x+2y≥2成立的点（x，y）的区域是三角形ABC区域，它的面积为：×1×2=1，故选：A．7．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，则a等于（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线对应函数的导数，可得曲线在点（3，2）处的切线斜率，由题意可得﹣a=﹣，可得a的值．【解答】解：y=的导数为y′=﹣，可得曲线在点（3，2）处的切线斜率为k=﹣，由切线与直线ax+y+3=0有相同的方向向量，可得它们的斜率相等，即﹣a=﹣，解得a=．故选：B．8．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9．函数f（x）=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，log a﹣=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】对a分类讨论，利用函数的单调性、对数的运算性质即可得出．【解答】解：①若a＞1，∵x∈[0，1]，∴a﹣a x∈[0，a﹣1]，则=1，解得a=2．∴log a﹣=﹣=log28=3．②若0＜a＜1，∵x∈[0，1]，∴a﹣a x∈[a﹣1，0]，不满足题意，舍去．综上可得：log a﹣=3．故选：C．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．11．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P ﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（）A．πB．πC．πD．π【考点】球内接多面体．【分析】求出球心到平面ABC的距离，利用三棱锥P﹣ABC的高为，可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离，即可求出圆的半径，从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积．【解答】解：∵AB=AC=BC=1，∴△ABC的外接圆的半径为，∵球的半径为1，∴球心到平面ABC的距离为=，∵三棱锥P﹣ABC的高为，∴球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为﹣=，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为=，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是=．故选：D．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣C．1+2e2D．1﹣【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．将某班参加社会实践的48名学生编号为：1，2，3，…，48．采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是13．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间距为8，即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义抽样间距为8，则6个样本编号从小到大构成以8为公差的等差数列，则另外一个编号为5+8=13，故答案为：13．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为1．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】主视图，左视图，都是三角形；底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离都是正方体的棱长，求出比值即可．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图都是三角形，底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离（三角形的高）都是正方体的棱长，所以，三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为：1．故答案为：1．15．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若⊥，则•=﹣8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，分别表示出A，B，C，D的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：∵AB∥CD，⊥，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（6，0），C（2，2），D（0.2），∴=（2，2），=（﹣6，2），∴•=2×（﹣6）+2×2=﹣8，故答案为：﹣816．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，且sina5≠0，当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，则首项a1的取值范围是．【考点】数列的求和．【分析】由cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，利用和差化积可得﹣2sina5sin（﹣2d）=2sina5，由sina5≠0，可得sin（2d）=1，由公差d∈（0，1），可得2d=．根据当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，可得a10＜0，a11＞0，解出即可得出．【解答】解：∵cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）=2sin，∴﹣2sina5sin（﹣2d）=2sina5，∵sina5≠0，∴sin（2d）=1，∵公差d∈（0，1），∴2d=，解得d=．∵当且仅当n=10时，数列{a n}的前n项和S n取得最小值，∴a10＜0，a11＞0，∴＜0，＞0，解得＜a1＜，∴首项a1的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：共70分.17．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cosA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理余弦定理即可得出A．（2）a1cosA=1，由（1）知，a1=2．由a2、a4、a8成等比数列，可得，由数列{a n}为等差数列，可得（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d，可得数列{a n}的通项公式a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得：a2=b2+c2﹣bc，再由余弦定理知，A∈（0，π）．∴．（2）∵a1cosA=1，由（1）知，∴a1=2，又∵a2、a4、a8成等比数列，∴，∵数列{a n}为等差数列，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），又∵公差d≠0，解得d=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n，设，则数列的通项公式，∴前n项和．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．证得四边形AMNP为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．【解答】证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP∥A1B1，NP=A1B1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1=AB．故NP∥AB，且NP=AB．因为M为AB的中点，所以AM=AB．所以NP=AM，且NP∥AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC．CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC．因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB．因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN=C，所以AB⊥平面CMN．19．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[11，15]（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表中数据，画出茎叶图即可，根据统计图中成绩的离散程度，得出差异程序较小的乙同学代表班级参加比赛较好；（2）利用对立事件的概率公式，计算甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率值；（3）利用几何概型计算甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率值．【解答】解：（1）根据表中数据，画出茎叶图如下；…从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程序较小，应选派乙同学代表班级参加比赛较好；…（2）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为；…（3）设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x﹣y|＜0.8，﹣0.8+x＜y＜0.8+x，如图阴影部分面积即为4×4﹣3.2×3.2=5.76；…所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为．…20．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，由此能求出a，b．（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．【解答】（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，解得a=2，b=1．…（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．…因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0．化简，得m2=1+4k2．①…因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d==．即=．②…由①②，解得k2=2，m2=9．因为m＞0，所以m=3．…21．已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意m，n∈（0，e）且m≠n，有恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域和导数，讨论a的取值，利用函数单调性和导数之间的关系即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，根据条件构造函数研究函数的最值进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），由题…（1）当a=0时，f′（x）=1＞0，所以f（x）在（0，+∞）上递增（2）当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜a，f′（x）＞0得x＞a所以f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增（3）当a＜0时，由f′（x）＜0得0＜x＜﹣2a，f′（x）＞0得x＞﹣2a所以f（x）在（0，﹣2a）上递减，在（﹣2a，+∞）上递增综上，a=0时，f（x）在（0，+∞）上递增，a＞0时，f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，a＜0时，f（x）在（0，﹣2a）上递减，在（﹣2a，+∞）上递增…（Ⅱ）若m＞n，由得f（m）﹣m＜f（n）﹣n若m＜n，由得f（m）﹣m＞f（n）﹣n令，所以g（x）在（0，e）上单调递减…又（1）当a=0时，g（x）=0，不符合题意；（2）当a＞0时，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，g′（x）＞0得x＞2a所以g（x）在（0，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增所以2a≥e，即（3）当a＜0时，在（0，+∞）上，都有g′（x）＜0所以g（x）在（0，+∞）上递减，即在（0，e）上也单调递减…综上，实数a的取值范围为…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2016年8月1日。
【最新经典文档】2017-2018学年重庆一中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（?R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限∥α”的（）4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l?β，则“α∥β”是“ｌA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=06．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．98．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．2017-2018学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的，把正确答案填写在括号内）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα＝所以α＝故选：D．2．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（?R B）=（）A．{﹣1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∴B={x|x＜0，或x＞3}；∴?R B={x|0≤x≤3}；∴A∩（?R B）={0，1，2，3}．故选：D．3．（5分）若复数z满足z（1+i）2=1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z（1+i）2=1﹣i，∴=，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．∥α”的（）4．（5分）已知α，β是两个不同平面，直线l?β，则“α∥β”是“ｌA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件∥α”，反之不成【解答】解：∵α，β是两个不同平面，直线l?β，则“α∥β”?“ｌ立．∥α”的充分不必要条件．∴α，β是两个不同平面，直线l?β，则“α∥β”是“ｌ故选：A．5．（5分）过点（1，1），且在y轴上的截距为3的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x+y﹣3=0【解答】解：设斜率为k，由点斜式可得：y﹣1=k（x﹣1），令x=0，可得y=1﹣k=3，解得k=﹣2．∴y﹣1=﹣2（x﹣1），化为：2x+y﹣3=0．故选：D．6．（5分）已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2） C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）【解答】解：设C（x，y），∵直角坐标系中点A（0，1），向量，∴=（﹣11，﹣7），∴，解得x=﹣11，y=﹣6．故C（﹣11，﹣6）．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．7 D．9【解答】解：设z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：A平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=截距最小，此时z最大，由得，即B（3，﹣1），此时z=2×3﹣3×（﹣1）=6+3=9，∴目标函数z=2x﹣3y最大值是9．故选：D．8．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日【解答】解：设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选：C．9．（5分）已知函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为y=g（x），则函数y=g （x）的图象（）A．有一个对称中心B．有一条对称轴x=C．有一个对称中心D．有一条对称轴【解答】解：∵函数（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x﹣）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应函数为y=g（x）=sin（2x+﹣）=sin（2x+），令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除A；令x=，求得g（x）=1，故函数有一条对称轴x=，故B满足条件；令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于点（，0）对称，故排除C．令x=，求得g（x）=，故函数的图象不关于直线x=对称，故排除D，故选：B．10．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x=，即f（x）=f（π﹣x）∴f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．11．（5分）三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πＲ2=32π，故选：A．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，C=4，，sinC+sinA﹣4sinB=0，则cosA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D是BC的中点，∴，即=0，∴=（）=+=﹣6，又=（）?（）=（）=（b2﹣16），∴﹣6=（b2﹣16），解得b=2，∵sinC+sinA﹣4sinB=0，∴c+a﹣4b=0，∴a=4b﹣c=4，由余弦定理得cosA==．故选：C．二.填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上）13．（5分）已知向量，若，则m=6．【解答】解：根据题意，向量，若，则?=（﹣1）×m+2×3=0，解可得：m=6；故选：6．14．（5分）已知函数f（x）=x2+3x﹣2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（0，）．【解答】解：函数f（x）=x2+3x﹣21nx的定义域为（0，+∞），又由f′（x）=2x+3﹣=，令f′（x）=0，解得：x=﹣2，或x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，），故答案为：（0，）．15．（5分）对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，求a的取值范围．【解答】解：任意x∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零即为a（x﹣2）+（x﹣2）2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立．由于x﹣2∈[﹣3，﹣1]，即有a＜2﹣x的最小值．由2﹣x∈[1，3]，则a＜1．故a的取值范围为（﹣∞，1）．16．（5分）数列{a n}满足：，且，则数列{a n}的前n项和s n=．【解答】解：由，得，∴，即．又，，∴数列{}是以3为首项，以3为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）17．（12分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴S1=2a1﹣2，∴a1=2，又S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得a n=2（a n﹣a n﹣1），即a n=2a n﹣1，a n=2n；（2）b n=log2a n=n，==﹣，T n=1﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．18．（12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【解答】解：（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，∴y=．…（4分）（II）设利润为Q，则Q=yx﹣15000=．…（6分）当1≤x≤35，且x∈N时，Q max=800×35﹣15000=13000，当35＜x≤60时，Q=﹣10x2+1150x﹣15000=﹣10（x﹣）2+，又∵x∈N，∴当x=57或x=58时，Q max=18060＞13000，答：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元．…（12分）19．（12分）已知直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，且b=，求a+c的最大值．【解答】解：（1）直线x=是函数f（x）=msin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴，则：f（）=，解得：m=，进一步求得：f（x）=2sin（2x﹣）．令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=2，则：，0＜B＜π，则：B=，且b=，∴由正弦定理得：a=2sinA，c=2sinC，a+c=2sinA+2sin（﹣A）=2，（0），所以：当A=时，a+c的最大值为2．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求点F到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：设PC的中点为Q，连接EQ，FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE=FQ，所以，四边形AEQF为平行四边形所以，AF∥EQ，且EQ?平面PEC，AF?平面AEC所以，AF∥平面PEC（6分）（2）解：由（1），点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离，设为d．由条件易求，PE=，PC=2，EQ=故，所以由V A﹣PEC=V P﹣AEC得，解得（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx+的图象与x轴相切．（1）求a的值；（2）求证：f（x）；（3）若1，求证：（b﹣1）log b x．【解答】（1）解：f′（x）=﹣，设f（x）的图象与x轴相切于点（x0，0），则，即，解得a=x0=1，（2）证明：f（x）=lnx+﹣1，f（x）≤?lnx≤x﹣1，设h（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=﹣1，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x﹣1，（*）∴f（x）≤；（3）证明：设g（x）=（b﹣1）log b x﹣，g′（x）=﹣x=，由g'（x）=0，得x0=，由（*）式可得，当x＞1时，lnx＜x﹣1，即＞1；以代换x可得ln＜﹣1，有lnx＞，即＜x，∴当b＞1时，有1＜x0＜，当1＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x0＜x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（1）=g（）=0，∴g（x）＞0，即（b﹣1）log b x＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=2cosα，t1t2=﹣3，∴|AB|==．∴4cos2α=2，解得cosα＝±，可得直线l的倾斜角α=或．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若a=1，解不等式f（x）≥4﹣|x+1|；（2）若不等式f（x）≤1的解集为，求mn的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣a|，当a=1，不等式为f（x）≥4﹣|x+1|?|x+1|+|x﹣1|≥4，去绝对值，解得：x≥2或x≤﹣2，原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；（2）f（x）≤1的解集为[0，2]，?|x﹣a|≤1?a﹣1≤x≤a+1，∵f（x）≤1的解集为[0，2]，∴，∴，∴mn≥2，（当且仅当即m=2，n=1时取等号），∴mn的最小值为2．。
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N = （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =-的定义域为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满足2iz i i+=+，则||z =（ ）A B ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -等于（ ） A ．23或32B ．13或12- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25πϕ-=，且||2πϕ<，则tan ϕ=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．347.已知(2,1)a = ，(,6)b x =- ，若a b ⊥ ，则||a b +=（ ）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．310B ．49C ．25D ．139.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满足3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 为正三角形，AD ⊥平面ABC ，6AD =，3AB =，则该球的表面积为（ ）A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos )a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公比q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．15.向量AB ，AC 的夹角为60︒，且3AB AC ⋅= ，点D 是线段BC 的中点，则||AD的最小值为 ．16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ⋅>恒成立，若非负实数a 、b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑． （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程 y bxa =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程 y bxa =+ 中，1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， ay bx =- ． 18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面QBC ； （2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点(D 作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满足2PD DQ =，当△OPQ的面积最大时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-⋅（a R ∈）． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x=，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，CAB ∠的角平分线AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且210PA PB ==．（1）求ACAB的比值； （2）求AD DE ⋅的值．23.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N的极坐标为)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 24.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）． （1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．高2017-2018学年高三（上）第一次月考文科数学试题答案一、选择题二、填空题13.2 14.216.4,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）由题意知10n=，1180810niix xn====∑，1120210niiy yn====∑，18.解：（1）211()cos cos2cos21sin(2)12226f x x x x x x xπ=--=--=--，∵0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin(2),162xπ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）因为()0f B=，即sin(2)16Bπ-=，∵(0,)Bπ∈，∴112(,)666Bπππ-∈-，∴262Bππ-=，∴3Bπ=，又有2c=，3a=，在△ABC中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a acπ=+-=+-⨯⨯⨯=，即b=19.解：（1）证明：因为QD⊥平面ABCD，//PA QD，所以PA⊥平面ABCD，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且AB PA A = ， 所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC ． （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PA AD A = ， 所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高，并且BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -13PADQ S BO =⋅⋅=， 因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，△BCD 为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，BDC S ∆=所以13Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD =． 20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =⋅，即223a c =，解得3c e a ==．（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l 的方程为x my =222(23)660m y c +-+-=， 因为直线与椭圆相交，所以222484(23)(66)0m m c ∆=-+->，由韦达定理得12223y y m +=+，21226623c y y m -=+，又2DP QD = ，所以122y y =-，得到1y =，2y =，2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，所以1221||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ∆=⋅-==⋅=⋅≤++， 当且仅当232m =时，等号成立，此时25c =，代入∆满足0∆>w ， 所以所求椭圆方程为2211510x y +=． 21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-⋅，'()ln f x x =-， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >， ∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减． （2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞ ， 函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成立，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成立． 令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成立，得14a ≥，即a 的最小值为14． （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立， 问题等价于：存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得000()1()ln 4f xg x x =≤成立， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4g x ≤”，且()ln xg x ax x=-， ∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，2ln 110,(ln )4x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e ≥-成立．22.解：（1）∵PA 是圆O 的切线，∴PAB ACB ∠=∠， 又P ∠是公共角，∴△ABP ~CAP ∆， ∴2AC APAB PB==． （2）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，∴20PC =，又5PB =，∴15BC =，AE 为CAB ∠的角平分线， ∵2AC CDAB DB==，∴2CD DB =，15CD DB +=，∴10CD =，5DB =， 又由相交弦定理得：AD DE CD DB ⋅=⋅50=．23.解：（1）点N 的直角坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=，曲线2C 表示以(1,1)N 为圆心，1为半径的圆，方程为22(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+-=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====⋅⋅⋅ 24.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-， 故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+， 当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32x =，“=”成立， ∴()f x 的最大值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。
重庆市渝中区巴蜀中学2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(文)试卷 Word版含解析
重庆市渝中区巴蜀中学2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一．选择题1．已知集合A={x|x﹣1＞0}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=( )A．{x|x≥1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤3} D．{x|1＜x≤3}2．一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，63．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是( )A．y=2x﹣1 B．y=C．y=﹣（x﹣1）2D．y=log （x﹣1）5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A．B．C．1 D．6．执行如图的程序框图，输出的T=( )A．30 B．25 C．20 D．127．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是( )A．5 B．10 C．25 D．AB=4，508．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，双曲线C的渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）交于A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．9．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为( )A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）10．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值( )A．B．12 C．6 D．5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）11．设复数z的共轭复数为，若（1﹣i）=__________．12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为__________．13．已知，tan（α﹣β）=，则tanβ=__________．14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（b＞0），圆心在抛物线y2=4x上，经过点A（3，0），且与抛物线的准线相切，则圆C的方程为__________．15．已知函数f（x）=若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则3ab+的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的最值．18．为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成该频率分布表：序号组（段）频数（人数）频率1 [0，60） a 0.12 [60，75）15 0.33 [75，90）25 b4 [90，] c d合计50 1（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若得分在[90，100]之间的有机会得一等奖，已知其中男女比例为2：3，如果一等奖只有两名，写出所有可能的结果，并求获得一等奖的全部为女生的概率．19．好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，该蛋糕年销售量为m万个，若已知与成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个．（1）求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．20．已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．21．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．重庆市渝中区巴蜀中学2015届高考数学一模试卷（文科）一．选择题1．已知集合A={x|x﹣1＞0}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=( )A．{x|x≥1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤3} D．{x|1＜x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解一次不等式及绝对值的不等式化简集合A，B，然后直接取交集得答案．解答：解：∵A={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，B={x||x﹣1|≤2}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={x|1＜x≤3}．故选：D．点评：本题考查了交集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．2．一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6考点：分层抽样方法．分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．解答：解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选D．点评：本题主要考查分层抽样方法．3．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：我们可先判断x•y＞0”时，x＞0且y＞0是否成立，再判断x＞0且y＞0时，x•y＞0”是否成立，再根据充要条件的定义即可得到结论．解答：解：若x•y＞0”时，如x=﹣1，y=﹣1，则x•y＞0，即x＞0且y＞0不成立，故：x•y＞0”⇒乙：x＞0且y＞0为假；若x＞0且y＞0成立，则x•y＞0一定成立，即⇒x•y＞0为真故x＞0且y＞0成立⇒x•y＞0也为真故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：B点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论是解答本题的关键．4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是( )A．y=2x﹣1 B．y=C．y=﹣（x﹣1）2 D．y=log （x﹣1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：逐一判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：在区间（1，+∞）上，y=2x﹣1是增函数，y=是减函数，y=﹣（x﹣1）2是函数，y=log （x﹣1）是减函数，故只有A满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题．5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A．B．C．1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图还原出实物图的结构特征及数据，由三视图可以看出此物体是一个四棱锥，根据相关的体积公式求出其体积．解答：解：由三视图知，此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是边长为1的正方形，其高也为1故该几何体的体积为=故选B点评：本题考点由三视图求面积、体积，考查由三视图复原几何体的形状与数据的能力，重点考查了三视图的作图规则与空间想像能力以及相关几何体的体积公式．6．执行如图的程序框图，输出的T=( )A．30 B．25 C．20 D．12考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=25，T=30时，满足条件T＞S，输出T的值为30．解答：解：执行程序框图，有S=0，T=0，n=0不满足条件T＞S，S=5，n=2，T=2不满足条件T＞S，S=10，n=4，T=6不满足条件T＞S，S=15，n=6，T=12不满足条件T＞S，S=20，n=8，T=20不满足条件T＞S，S=25，n=10，T=30满足条件T＞S，输出T的值为30．故选：A．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．7．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是( )A．5 B．10 C．25 D．AB=4，50考点：基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：利用等差数列的性质，可得a4+a5=10，再利用基本不等式，即可求出a4•a5的最大值．解答：解：∵等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，∴a4+a5=10，∴10=a 4+a5≥2∴a4•a5≤25，∴a4•a5的最大值是25，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，考查基本不等式，正确运用等差数列的性质是关键．8．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，双曲线C的渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，设出双曲线C的方程，画出图形，结合图形求出抛物线上的点A坐标，即可求出抛物线方程．解答：解：∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴双曲线C为等轴双曲线，即a=b；∴双曲线的渐近线方程为y=±x；又∵双曲线的渐近线与抛物线y2=2px交于A，B两点；则设点A（x0，x0）（x0＞0），又∵△OAB的面积为x0•2x0=4，∴x0=2，将（2，2）代入抛物线方程y2=2px解得p=1，∴抛物线的方程为y2=2x．故选：C．点评：本题考查了双曲线与抛物线的定义、几何性质的应用问题，是中档题．9．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为( )A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）考点：导数的运算；其他不等式的解法．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．解答：解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．点评：本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值( )A．B．12 C．6 D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，所求=+，由数量积的定义结合图象可得=，=，代值即可．解答：解：（如图）取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC∵M是边BC的中点，∴∴==，=+，由数量积的定义可得=，而=||，故==4；同理可得==1，故+=5，故选D点评：本题为向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）11．设复数z的共轭复数为，若（1﹣i）=﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：（1﹣i）=2i，∴===i﹣1，∴z=﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案．解答：解：∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ=20某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则L A=5故P（A）=；故答案为．点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量13．已知，tan（α﹣β）=，则tanβ=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．解答：解：，可得，解得tanα=1．tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切函数，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（b＞0），圆心在抛物线y2=4x上，经过点A（3，0），且与抛物线的准线相切，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=9．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知结合抛物线的性质，可得C到抛物线y2=4x准线的距离等于C到点A（3，0）的距离，即C到抛物线y2=4x焦点F（1，0）的距离等于C到点A（3，0）的距离，故C 点在FA的垂直平方线x=2上，进而可得圆心坐标和半径，求得答案．解答：解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（b＞0）与抛物线y2=4x的准线相切，经过点A（3，0），∴C到抛物线y2=4x准线的距离等于C到点A（3，0）的距离，即C到抛物线y2=4x焦点F（1，0）的距离等于C到点A（3，0）的距离，∴C点在FA的垂直平方线x=2上，故圆C的半径为3，又∵C在抛物线y2=4x上，b＞0∴b=2，故圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9点评：本题考查的知识点是抛物线的性质，圆的标准方程，是抛物线与圆的综合应用，难度中档．15．已知函数f（x）=若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则3ab+的取值范围是（13，15）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化简3ab+=3+c，即可求解范围．解答：解：函数f（x）=，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故答案为：（13，15）点评：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，不等式的运用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）设公差为d，由题意可得，求出d的值，即得数列{a n}的通项．（II）化简，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式求得结果解答：解：（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得d=1或d=0（舍去）所以a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的最值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由最低点求出A，利用周期求出ω，图象上一个最低点为．代入函数解析式求出φ，然后求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，，然后求出求f（x）的最值．解答：解：（Ⅰ）由最低点为由由点在图象上得即所以故又，所以所以（Ⅱ）因为，可得所以当时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当，即时，f（x）取得最大值；点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，是基础题．18．为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成该频率分布表：序号组（段）频数（人数）频率1 [0，60） a 0.12 [60，75）15 0.33 [75，90）25 b4 [90，] c d合计50 1（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若得分在[90，100]之间的有机会得一等奖，已知其中男女比例为2：3，如果一等奖只有两名，写出所有可能的结果，并求获得一等奖的全部为女生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，求出样本容量，再计算a、b、c与d的值；（2）用列举法求出从男生2人，女生3人中任取2人的基本事件数与2人全是女生的事件数，计算概率即可．解答：解：（1）根据频率分布表，得；成绩在[60，75）的频数是15，频率是0.3，∴样本容量是=50；∴成绩在[0，60）的频数是a=50×0.1=5，成绩在[75，90）的频率是b==0.5，成绩在[90，100]的频数是c=50﹣5﹣15﹣25=5，频率为d=0.1；（2）成绩在[90，100]的频数是5，男生2人，记为A1，A2，女生3人，记为B1，B2，B3，任取2人，所有情况如下：（A1，A2）（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3）（B1，B2）（B1，B3）（B2，B3）共10种情况，全是女生的有3种情况，∴概率为P（全是女生）=．点评：本题考查了频率分布表的应用问题，也考查了用列举法求基本事件数的应用问题，解题时应用频率=来解答，是基础题．19．好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，该蛋糕年销售量为m万个，若已知与成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个．（1）求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．考点：函数最值的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用与成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个，求出k的值，从而可得m，即可求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（1）设=k，由x=10时，m=28，解得：k=2，∴．∴y=m（x﹣6）=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108（6＜x＜11）（2）y′=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x﹣2）（x﹣9），y′＞0，6＜x＜9；y′＜0，9＜x＜11；∴x=9元时，年利润最大，最大为135万元．点评：本题考查利用函数知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数解析式是关键．20．已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，CF=BE=AD=EF=BC=2，AE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：EG⊥平面BDF；（3）求此多面体ABCDEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AB∥平面DEG；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明EG⊥平面BDF；（3）根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体ABCDEF的体积．解答：证明：（1）∵AD∥EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（2）连结GF，四边形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG，∵EF∥BG，EF=BG，EF=BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF=F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF；（3）V ABCDEF=V B﹣AEFD+V D﹣BCF，作BH⊥EF于H，∵平面AEFD⊥平面BEFC，∴BH⊥平面AEFD，EG∥CF，∴CF⊥平面BDF，，，，∴．点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，以及空间多面体的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理．21．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F 1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，则=，…令t=，则t≥1，则，…令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．。
【真题】2017-2018年重庆市高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2017-2018学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=3，a6=13，则{a n}的公差为（）A．B．2 C．10 D．132．（5分）已知集合A={x∈R|2＜x＜5}，B={1，2，3，4，5，6}，则（∁R A）∩B=（）A．{1，2}B．{5，6}C．{1，2，5，6}D．{3，4，5，6}3．（5分）命题P：“若x＞1，则x2＞1”，则命题P：以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知两非零复数z1，z2，若z1z2∈R，则一定成立的是（）A．B．C．z 1+z2∈R D．5．（5分）如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为（）A．B．C．D．6．（5分）根据如下样本数据：得到回归方程，则（）A．变量x与y之间是函数产关系B．变量x与y线性正相关C．当x=11时，可以确定y=3 D．a=57．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的结果是（）A．B．0 C．D．18．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C． D．9．（5分）已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则（x﹣2）2+（y ﹣2）2的最小值为（）A．0 B．C．5 D．810．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”．其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤．”则在此问题中，第5关收税金（）A．斤B．斤C．斤D．斤11．（5分）已知函数在区间[]内单调递减，则ϖ的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，若，则k=．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则a=．15．（5分）已知抛物线y2=2px过点A（1，2），O这坐标原点，以A为圆心、|AO|为半径的圆交抛物线的准线于M，N两点，则|MN|=．16．（5分）当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆（x﹣2m）2+（y+m）2=m2相切，则直线l的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=4，a n a n+1+4=4a n．（I）求证：为等差数列；（II）设b n=（a n﹣2）（a n+1﹣2），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为AD的中点，将△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面与梯形ABCE所在平面垂直（如图2），M是BD的中点．（I）求证：AM∥平面CDE；（II）求三棱锥M﹣AED的体积．19．（12分）某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款．单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案．（I）商场客服部门随机统计了100位消费满200元的顾客选择的优惠方案，结果如表：K2=是否有99%以上的把握认为顾客的消费金额与优惠方案的选择有关？（II）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最终支付金额不超过250元的概率．20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率之积为．（I）求椭圆C的方程；（II）延长AP至点M使P恰为AM的中点，直线MB与椭圆C交于另一点N，若直线PN与y轴平行，求点P的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x1nx+ax2（a≠0）．（I）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）讨论f（x）的极值点的个数．请从下面所给22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y=a（a＞0），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．（I）求a的值；（II）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C交于不同的两点O，A，与直线交于点B，若|OA|=|AB|，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b=m，证明：．2017-2018学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的．1．（5分）已知等差数列{a n}中，a1=3，a6=13，则{a n}的公差为（）A．B．2 C．10 D．13【解答】解：设{a n}的公差为d，∵a1=3，a6=13，∴3+5d=13，解得d=2．故选：B．2．（5分）已知集合A={x∈R|2＜x＜5}，B={1，2，3，4，5，6}，则（∁R A）∩B=（）A．{1，2}B．{5，6}C．{1，2，5，6}D．{3，4，5，6}【解答】解：∁R A={x|x≤2，或x≥5}；∴（∁R A）∩B={1，2，5，6}．故选：C．3．（5分）命题P：“若x＞1，则x2＞1”，则命题P：以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题P：“若x＞1，则x2＞1”，它是真命题；它的否命题是：“若x≤1，则x2≤1”，它是假命题；逆命题是：“若x2＞1，则x＞1”，它是假命题；逆否命题是：“若x2≤1，则x≤1”，它是真命题；综上，这四个命题中真命题的个数为2．故选：B．4．（5分）已知两非零复数z1，z2，若z1z2∈R，则一定成立的是（）A．B．C．z 1+z2∈R D．【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，（a，b，c，d∈R），则=（a+bi）（c﹣di）=ac+bd+（bc﹣ad）i，∴∈R不一定成立，故A不正确；==，∴∈R不一定成立，故B不正确；z1+z2=a+bi+c+di=a+c+（b+d）i，∴z1+z2∈R不一定成立，故C不正确；∵=，且z1z2∈R，∴∈R正确，故D成立．故选：D．5．（5分）如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四棱锥的底面是矩形，结合正视图和左视图，可得原几何体为如图：∴其俯视图为：故选：C．6．（5分）根据如下样本数据：x3579y6a32得到回归方程，则（）A．变量x与y之间是函数产关系B．变量x与y线性正相关C．当x=11时，可以确定y=3 D．a=5【解答】解：由题意，==6，==∵y关于x的线性回归方程，∴根据线性回归方程必过样本的中心，=﹣1.4×6+12.4，∴a=5．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的结果是（）A．B．0 C．D．1【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图是计算并输出T=cos+cos+…+cos的值．由于T=cos+cos+…+cos=+0﹣﹣1﹣+0++1+=．故选：C．8．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C． D．【解答】解：函数是奇函数，排除选项C、D；当x∈（0，1）时，f（x）＜0，排除选项B，故选：A．9．（5分）已知点P（x，y）的坐标x，y满足，则（x﹣2）2+（y ﹣2）2的最小值为（）A．0 B．C．5 D．8【解答】解：由x，y满足作出可行域如图，（x﹣2）2+（y﹣2）2的几何意义为A（2，2）到直线3x+4y﹣12=0的距离的平方，由d==，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2的最小值为．故选：B．10．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”．其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤．”则在此问题中，第5关收税金（）A．斤B．斤C．斤D．斤【解答】解：设第一关收税金，则第二关收税金，第三关收税金=，第四关收税金x=x，第五关收税金（1﹣）x=x，由题意得：=1，解得x=，∴第5关收税金：=斤．故选：B．11．（5分）已知函数在区间[]内单调递减，则ϖ的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数=cos（2ωx）∵区间[]内单调递减，∴，k∈Z．可得，∵ω＞0∴当k=0时，可得ω=．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=，令f′（x）=0得lnx=1﹣a，x=e1﹣a．∴当0＜x＜e1﹣a时，f′（x）＞0，当x＞e1﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e1﹣a）上单调递增，在（e1﹣a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（e1﹣a）=e a﹣1．即f（x）的值域为（﹣∞，e a﹣1]．∴f[f（x）]的值域为（﹣∞，e a﹣1]．∴e a﹣1≥e1﹣a，解得：a≥1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，若，则k=．【解答】解：∵向量，∴﹣=（3，2﹣k），∵，∴，解得k=．故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则a=6．【解答】解：在△ABC中，b=5，c=7，cosC=，由余弦定理可得：cosC=，则有=，变形可得：a2﹣2a﹣24=0，解可得：a=6或﹣4（舍）；则a=6，故答案为：615．（5分）已知抛物线y2=2px过点A（1，2），O这坐标原点，以A为圆心、|AO|为半径的圆交抛物线的准线于M，N两点，则|MN|=2．【解答】解：抛物线y2=2px过点A（1，2），∴4=2p，解得p=2，∴准线方程为x=﹣1，∴点A到准线的距离为AB=2，|∵A（1，2），∴AO|==，∴|MN|=2=2=2故答案为：2．16．（5分）当正实数m变化时，斜率不为0的定直线始终与圆（x﹣2m）2+（y+m）2=m2相切，则直线l的方程为y=﹣．【解答】解：设l：y=kx+b，则，即（3k2+4k）m2+2b（2k+1）m+b2=0，因为该等式对任意m＞0成立，故3k2+4k=0，2b（2k+1）=0，b2=0，即，∴．故答案为：y=﹣三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1=4，a n a n+1+4=4a n．（I）求证：为等差数列；（II）设b n=（a n﹣2）（a n+1﹣2），求数列{b n}的前n项和．【解答】证明：（Ⅰ），故为等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，∴=．18．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为AD的中点，将△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面与梯形ABCE所在平面垂直（如图2），M是BD的中点．（I）求证：AM∥平面CDE；（II）求三棱锥M﹣AED的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取BC的中点N，连接MN、AN，∵AE∥BC且AE=NC=1，∴AN∥EC，又M为BD的中点，∴MN∥DC，∵AN∩MN=N，EC∩DC=C，AN、MN⊂平面AMN，EC、DC⊂平面EDC，∴平面AMN∥平面EDC，∴AM∥平面EDC．…（6分）===，解：（Ⅱ）S△ABE三棱锥M﹣AED的体积：．…（12分）19．（12分）某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款．单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案．（I）商场客服部门随机统计了100位消费满200元的顾客选择的优惠方案，结果如表：K2=是否有99%以上的把握认为顾客的消费金额与优惠方案的选择有关？（II）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最终支付金额不超过250元的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，，所以有99%以上的把握认为二者有关．…（6分）（Ⅱ）顾客最终支付金额不超过250元，即至少摸到一个红球．顾客摸到球的情况共6种，分别为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2），至少摸到一个红球的情况有5种，故该顾客最终支付金额不超过250元的概率为p=．…（12分）20．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率之积为．（I）求椭圆C的方程；（II）延长AP至点M使P恰为AM的中点，直线MB与椭圆C交于另一点N，若直线PN与y轴平行，求点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的短轴长为2，则b=1，设P（x0，y0），A（﹣a，0），B（a，0）；则，K PA•K PB=•==，故a=2，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知M（2x 0+2，2y0），直线即，与椭圆C的方程联立消y得，，则，由题知x N=x0，故，∴x0=1或﹣2（舍），∴．21．（12分）已知函数f（x）=x1nx+ax2（a≠0）．（I）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴平行，求a的值；（II）讨论f（x）的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1+2ax，f'（e）=2+2ae=0，∴；…（4分）（Ⅱ）f'（x）=lnx+1+2ax，，①当a＞0时，f''（x）＞0，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递增，又x→0时，f'（x）＜0，f'（1）=2a+1＞0，故f（x）在（0，+∞）内有唯一极值点；②当a＜0时，，故f'（x）在上单增，在上单减，若即时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值点；若即时，又x→0时f'（x）＜0，x→+∞时f'（x）＜0，故此时f（x）有两个极值点．综上所述，a＞0时，f（x）在（0，+∞）内有唯一极值点，时，f（x）无极值点.时，f（x）有两个极值点．…（12分）请从下面所给22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y=a（a＞0），曲线C的参数方程为（θ为参数），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．（I）求a的值；（II）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C交于不同的两点O，A，与直线交于点B，若|OA|=|AB|，求α的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程：（x﹣1）2+y2=1，∵直线的方程为x+y=a（a＞0），点P，Q分别在直线和曲线C上运动，|PQ|的最小值为．∴，解得a=4．…（5分）（Ⅱ）曲线C：ρ=2cosθ，直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，分别代入θ=α，得ρA=2cosα，，由|OA|=|AB|知ρB=2ρA，即，∴sinαcosα+cos2α=1，即，故，解得．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]．23．已知关于x 的不等式|2x |+|2x ﹣1|≤m 有解． （I ）求实数m 的取值范围；（II ）已知a ＞0，b ＞0，a +b=m ，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x |+|2x ﹣1|≥|2x ﹣（2x ﹣1）|=1，故m ≥1； …（5分） （Ⅱ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +2b ＞0，2a +b ＞0故==a 2+b 2+2ab=（a +b ）2，即由（Ⅰ）知a +b=m ≥1，∴．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合第21页（共22页）⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x第22页（共22页）①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
重庆市巴蜀中学届高三数学一诊试卷文(含解析)【含答案】
2016年重庆市巴蜀中学高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=lg（﹣x2+2x）}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x≤2}2．已知复数z（1+i）=2i，则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C． +i D．﹣i3．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．264．执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（）A．B．C．D．5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．对于函数f（x）=xcosx，现有下列命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的最小正周期是2π；③点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；④函数f（x）在区间[0，]上单调递增．其中是真命题的为（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③7．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2﹣c2=b，且sin（A﹣C）=2cosAsinC，则b=（）A．6 B．4 C．2 D．19．已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为（）A．a B．b C．D．10．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a11．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A． B．6 C．8 D．612．若函数f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“和谐函数”．下列函数中：①g（x）=+；②p（x）=；③q（x）=lnx；④h（x）=x2．“和谐函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（x0）＞0，则x0的取值范围是．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=40，S20=120，则S30= ．15．已知S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=3，BC=4，则球O的表面积等于．16．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．18．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d．BC，PA=AB=BC=1．（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为：（θ为参数），直线l的参数方程为：（t为参数），点P（2，1），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）请写出函数f（x）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2016年重庆市巴蜀中学高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=lg（﹣x2+2x）}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，即可确定出两集合的交集．【解答】解：由A中y=lg（﹣x2+2x），得到﹣x2+2x＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中不等式解得：﹣1≤x≤1，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．已知复数z（1+i）=2i，则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C． +i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数方程两边同乘1﹣i，然后化简求出复数z即可．【解答】解：因为z（1+i）=2i，所以z（1+i）（1﹣i）=2i（1﹣i），所以2z=2（1+i）所以z=1+i．故选：A．3．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．26【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故选：D．4．执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S==，故选：C．5．已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行的判定定理，利用排除法排除错误的命题，从而找出正确的选项【解答】解：对于①、②结论中还可能b⊂α，所以①、②不正确．对于③、④结论中还可能a⊂β，所以③、④不正确．故选：D6．对于函数f（x）=xcosx，现有下列命题：①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的最小正周期是2π；③点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；④函数f（x）在区间[0，]上单调递增．其中是真命题的为（）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【考点】函数奇偶性的判断；三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用奇偶性，周期函数的定义，函数的图象的对称性，判断①④正确、②③错误，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=xcosx，∵它的定义域为R，f（﹣x）=﹣x•cos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故①正确．∵f（0）=0，f（2π）=2π，f（0）≠f（2π），故②错误．再根据f（）=0，可得是函数f（x）的图象的一个零点，但（，0）不是函数图象的对称中心，故③错误．在[0，]上，f′（x）=cosx﹣xsinx＞cosx﹣sinx≥0，故函数 f（x）=xcosx在[0，]上是增函数，故④正确．结合所给的选项，故选：B．7．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意可得本题是几何概率模型，先求构成试验的全部区域：所围成的图形的面积，记：“直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交”为事件A，则由直线与圆相交的性质可得，整理可得4a﹣3b＞0，再求构成区域A的面积，代入几何概型计算公式可求【解答】解：由题意可得构成试验的全部区域为：所围成的边长分别为1，2的矩形，面积为2记：“直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交”为事件A则由直线与圆相交的性质可得，整理可得4a﹣3b＞0，构成区域A为图中阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得，P（A）=故选B．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2﹣c2=b，且sin（A﹣C）=2cosAsinC，则b=（）A．6 B．4 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得2（a2﹣c2）=b2，再根据已知条件，求得b的值．【解答】解：在△ABC中，∵sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=2cosAsinC，∴sinAcosC=3cosAsinC，∴a•=3c•，∴2（a2﹣c2）=b2．又已知a2﹣c2=b，∴b=2，故选：C．9．已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为（）A．a B．b C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．【解答】解：依题意如图，延长F1M，交PF2于点T，∵PM是∠F1PF2的角分线．TF1是PM的垂线，∴PM是TF1的中垂线，∴|PF1|=|PT|，∵P为双曲线﹣=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．10．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3•f（log3），则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】由已知中f（x）+xf′（x），结合导数的运算性质（uv）′=u′v+uv′，构造函数h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．【解答】解：令h（x）=xf（x），∵函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数∴h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又∵当x＞0时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数；∴h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递增函数．若a=30.3•f（30.3），，又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，从而h（0）=0因为log3=﹣2，所以f（log3）=f（﹣2）=﹣f（2），由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h（logπ3）＞h（30.3）＞h（2）=f（log3），即：b＞a＞c故选A11．已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A． B．6 C．8 D．6【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出侧视图的底边边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．【解答】解：如图，根据三视图间的关系可得BC=2，∴侧视图中VA==2，∴三棱锥侧视图面积S△ABC=×2×2=6，故选D．12．若函数f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“和谐函数”．下列函数中：①g（x）=+；②p（x）=；③q（x）=lnx；④h（x）=x2．“和谐函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据“和谐函数”的定义，结合函数的单调性，建立条件关系，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：由题意知，若f（x）在区间[a，b]上单调递增，须满足：f（a）=，f（b）=，若f（x）在区间[a，b]上单调递减，须满足：f（b）=，f（a）=，①g（x）=+在[1，+∞）为增函数；则f（a）=，f（b）=，即a，b是函数g（x）=的两个根，即+=，则=﹣+，作出函数y=和y=﹣+的图象如图：则两个函数有两个交点，满足条件．②p（x）=为减函数；则p（b）=，p（a）=，即，即ab=2，当a=，b=4时，满足条件．③q（x）=lnx在（0，+∞）为增函数．则q（a）=，q（b）=，即a，b是函数q（x）=的两个根，即lnx=，作出y=lnx和y=的图象如图：则两个图象没有交点，不满足条件．④当x≥0时，h（x）=x2为增函数．则h（a）=，h（b）=，即a，b是函数h（x）=的两个根，作出y=x2和y=的图象如图：两个函数有两个交点，满足条件．故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，若f（x0）＞0，则x0的取值范围是x0＞1或x0≤0．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式进行，分别求解即可．【解答】解：若x0≤0，则由f（x0）＞0得＞0，此时不等式恒成立，若x0＞0，则由f（x0）＞0得log2x0＞0，得x0＞1，综上x0＞1或x0≤0，故答案为：x0＞1或x0≤014．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=40，S20=120，则S30= 280 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，由此能求出S30．【解答】解：由等比数列的性质得S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，∵S10=40，S20=120，∴40，120﹣40，S30﹣120成等比数列，∴802=40（S30﹣120），解得S30=280．故答案为：280．15．已知S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=3，BC=4，则球O的表面积等于29π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C 四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=2，AB=3，BC=4，∴2R==∴球O的表面积S=4•πR2=29π故答案为：29π．16．△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据CD=2DB，得到B，C，D三点共线，继而得到=+，根据平分线的性质求出AC=4，利用向量的模的计算和向量的数量积即可求出答案．【解答】解：由题意B，C，D三点共线，且=，则=+，根据角平分线的性质==，∴AC=4，∴||2=（+）2=||2+|AB|2+||||cosA=+﹣=，∴AD=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）化简得f（x）=sin（x+），利用正弦函数的性质得出周期和最值；（2）根据f（）=sinA得出A，根据三角形的面积得出AC，利用余弦定理求出BC．【解答】解：（1）f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴函数f（x）的最小正周期T=2π．f（x）的最大值为，最小值为﹣．（2）∵f（）=sinA，即sin=sinA，∴sinA=sin，∵△ABC是锐角三角形，∴A=．∵S△ABC=AB•AC•sinA=，∴AC=3．∴BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=7，∴BC=．18．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调间与性别有关？（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d．【分析】（1）计算K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）确定抽取两名同学共有C62=15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有C21C41=8个基本事件，即可求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．【解答】解：（1）K2=≈4.844＞3.841，所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关．…（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，有4名同学运动时间超过2小时，任意抽取两名同学共有C62=15个基本事件，恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有C21C41=8个基本事件，所以所求概率P=…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1．（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PCB；（2）由PA⊥底面ABCD得PA⊥AD，又AD⊥PC，故AD⊥平面PAC，于是AD⊥AC，由到腰直角三角形ABC可计算AC=，∠BAC=45°，故∠ACD=45°，于是CD=，代入棱锥体积公式计算即可求得体积．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD．又PC⊥AD，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P，∴AD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴∠BAC=，AC=，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=．又AC⊥AD，∴△DAC为等腰直角三角形，∴DC=AC=2，∴S梯形ABCD==，∴V P﹣ABCD==．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段PQ的中点为M，再由离心率公式，即可得到结论；（Ⅱ）由（1）知可得椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为x=my﹣5，代入椭圆方程，利用韦达定理及=2，确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．【解答】解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由题意可得+=1， +=1，两式相减可得， +=0，由k1=，k2==，即有k1k2=﹣=﹣，即为2a2=3b2=3（a2﹣c2），即c2=a2，e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2=3c2，b2=2c2，椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，①可设直线l的方程为x=my﹣5②，将②代入①中整理得（3+2m2）y2﹣20my+50﹣6c2=0，因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=4（12m2c2+18c2﹣150）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，|y1﹣y2|==又=2，可得（x1+5，y1）=2（﹣5﹣x2，﹣y2），即为y1=﹣2y2，代入韦达定理，可得c2=，即有|y1﹣y2|==≤=5，当且仅当2|m|=，即为m=±时，取得等号．又△0PQ的面积为S=|OD|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|的最大值为，此时，m2=，c2==，所求椭圆的方程为2x2+3y2=250，即+=1．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1（n∈N*，n≥2）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得k≥，令h（x）=，求得导数和单调区间，可得最大值，即可得到k的范围；（2）由（1）知，lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时，取等号．令x=1+（n∈N*，n≥2），有ln（1+）＜＜=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）=lnx﹣kx+1，f（x）≤0有kx≥1+lnx，x＞0，即k≥，令h（x）=，h′（x）==0，解得x=1，在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．所以h（x）在x=1时，取得最大值h（1）=1，即k≥1；（2）证明：由（1）知，当k=1时，lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时，取等号．令x=1+（n∈N*，n≥2），有ln（1+）＜＜=﹣，所以有ln（1+）＜1﹣，ln（1+）＜﹣，…，ln（1+）＜﹣，累加得：ln（）+ln（）+ln（）+…+ln（）＜1﹣+﹣+…+﹣=1﹣＜1（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为：（θ为参数），直线l的参数方程为：（t为参数），点P（2，1），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：曲线C的标准方程．直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：直线l的标准方程．（2）将直线l的参数方程化为标准方程：（t为参数），代入椭圆方程，利用|PA||PB|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：曲线C的标准方程为： +y2=1，直线l的参数方程为：（t为参数），消去参数t可得：直线l的标准方程为：y﹣2+=0．（2）将直线l的参数方程化为标准方程：（t为参数），代入椭圆方程得：5t2+8t+16=0，∴|PA||PB|=|t1t2|=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）请写出函数f（x）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值的应用进行表示即可．（2）根据绝对值的应用求出|x+1|+|x﹣3|的最小值，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）=…函数f（x）的图象如图所示．（2）由（1）知f（x）的最小值是4，所以要使不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+恒成立，有4≥a+，…若a＜0，则不等式恒成立，若a＞0，则不等式等价为a2﹣4a+1≤0，得2﹣≤a≤2+，综上实数a的取值范围是a＜0或2﹣≤a≤2+…。
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版
重庆市巴蜀中学高2019届高二（上）期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题：，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】因为的否定为 ,所以为，,选B2. 设、实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的即不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.视频3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题，其中真命题的个数为（）①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】若，，则或m,n异面；若，，则；若，，则或在外（此时有可能）；若，，则，所以真命题为②④，个数为2，选C.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】执行循环得：结束循环，输出，选B5. 函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.6. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，选C.7. 关于函数的极值的说法正确的是（）A. 有极大值B. 有极小值C. 有极大值D. 有极小值【答案】A【解析】因此时有极大值，选 A.8. 已知命题：平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；命题：空间内若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】命题为假命题，命题为假命题，因此为真命题，选D9. 已知函数，，若对任意，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，因为选B点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，10. 已知双曲线：的左右焦点分别为、，为右支上的点，线段交的左支于点，若是边长等于的等边三角形，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】...............11. 张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为，则张师傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设球半径为R，圆柱的体积为时圆柱的体积最大为 ,因此材料利用率= ,选C.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．12. 已知双曲线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，令，选D点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，且其图像过定点，则的离心率_________．【答案】【解析】由题意得14. 如图所示，某几何体的三视图都是直角三角形，则该几何体的体积等于__________．【答案】10【解析】几何体为三棱锥，（高为4，底面为直角三角形），体积为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．15. 如图：在三棱锥中，已知底面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧棱长，则三棱锥的外接球的表面积等于__________．【答案】【解析】三棱锥的外接球的球心在SM上（M为AB 中点），球半径设为R，则16. 已知斜率的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，分别过点、若作抛物线的两条切线相交于点，则的面积为__________．【答案】【解析】，设因此过A切线为，同样过B切线为由解得，所以由得所以三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知为棱长的正方体，为棱的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）高为ED,再根据锥体体积公式计算体积（2）连接交于点，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：（1）体积（2）连接交于点，则为的中位线，即，又面，面，得到平面.18. 已知抛物线：的焦点为圆的圆心.（1）求抛物线的标准方程；（2）若斜率的直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点，求弦长.【答案】（1）;（2）8.【解析】试题分析：（1）先求圆心得焦点,根据焦点得抛物线方程（2）先根据点斜式得直线方程,与抛物线联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式得弦长.试题解析：（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，即焦点坐标为，得到抛物线的方程：（2）直线：，联立，得到弦长19. 已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，再与联立方程组解得，（2）先函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间和极值试题解析：（1），切线为，即斜率，纵坐标即，，解得，解析式（2），定义域为得到在单增，在单减，在单增极大值，极小值.20. 如图：在四棱锥中，底面为菱形，且，底面，，，是上点，且平面.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得对角线相互垂直,根据底面得,再根据线面垂直判定定理得面即可得结果（2）记与的交点为，则BD 为高,三角形POE为底,根据锥体体积公式求体积试题解析：（1）面（2）记与的交点为，连接平面在中：，，，在中：，，则，即，则21. 已知椭圆：的离心率，且其的短轴长等于.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，记圆：，过定点作相互垂直的直线和，直线（斜率）与圆和椭圆分别交于、两点，直线与圆和椭圆分别交于、两点，若与面积之比等于，求直线的方程.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）根据题意可列关于a,b,C的方程组，解得，，（2）先利用坐标表示面积之比：，联立直线方程与圆或椭圆方程，解得交点横坐标，代入化简可得直线斜率，即得直线的方程.试题解析：（1），，得到，，椭圆的标准方程为：（2）直线的方程为：，联立，得到，得到，用取代得到联立，得到，得到用取代得到（由几何性质也知为直径，横坐标互为相反数）即，得到即，直线的方程为：22. 已知函数.（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有实数解，求整数的最小值.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）先求导数，转化为对应一元二次方程有两个不等正根，再根据实根分布列方程组，解得实数的取值范围；（2）先化简并分离变量：，转化为求函数值域，利用导数研究函数单调性，进而确定其最值，得到的取值范围，最后确定整数的最小值.试题解析：（1），则得到方程有两个不等正根，即解得（2）方程，即，记函数则，分子单增并且,则必然存在，使得，即并且：当时，；当时，即在区间单减，在单增，所以得到，得到整数的最小值为.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.- 11 -。
高三上期一模试题——数学文
重庆市巴蜀中学高2017届高三第一次模拟考试（文科数学）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{1,0,1}P =-，2{|}Q x x x =≤，则PQ =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{1,0,1}-2．下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．yB ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．5log (1)y x =+3．在区间[1,]m -上随机选取一个数，若1x ≤的概率为25，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．复数z 满足(1)2z i i ⋅-=+，则z =（ ）AB ．2C D ．525．已知圆222(3)x y r +-=与直线1y +有两个交点，则正实数r 的值可以是（ ）A B C ．1 D ．6．已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-C ．D 7．执行如图1所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．22D ．338．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图2所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度 9．某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．8+B ．11+C ．14+D ．1510．已知sin cos (0,)αααπ-=∈，则tan α=（ ）A ．1-B ．CD ．111．若曲线21:C y x =与曲线2:x C y ae =存在公切线，则a 的最值情况为（ ）A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 12．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ,B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A1 BCD1第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，共20分，将答案填写在答题纸上）13．设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是__________14．给出下面三个命题：①“直线a ∥直线b ”的必要不充分条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”； 其中正确命题的序号是_________15(4,，则该双曲线的标准方程为______________________________16．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，且22223a b c a b +=+，若ABC ∆，则ABC ∆面积的最大值为______________三、解答题（本大题共6小题，共70分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
开始 S=0,T=0,n=0
T>S S=S+5 n=n+2
T=T+n
输出T 结束
是
否 重庆市巴蜀中学2017-2018届高三上学期第
一次模拟考试数学（文）试题
5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )
D ．1
A ．6
1 B ．3
1 C ．2
1
俯视图 正视图
侧视图
6．执行如图的程序框图，输出的T=( ) 30 B ．25 C ．20 D ．12
7．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a ，则54a a ⋅的最大值是( )
A.5
B.10
C.25
D.50
8．双曲线)00(1:22
22>>=-b a b y a x C ，的离心率为2，双曲线
C 的渐
近线交于B A ,两点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A.
x
y 82= B.
x
y 42= C.x y 22=
D.x y 342=
9．定义域为R 的可导函数
()x f y =的导函数为()x f '，满足
()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式
()1<x e
x f 的解集为（ ) A. ()0,∞- B. ()+∞,0 C.()2,∞-
D.()+∞,2 10． 如图，
O
为△
ABC
的外心，
BAC
AC AB ∠==,2,4第10题图
为钝角， M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值为 ( ). A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.） 11．设复数z 的共轭复数为z ，若(1)2,i z i z -=则复数=___________ 12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________ 13．已知21
2cos 1cos sin =
-α
α
α，()2
1tan =-βα，则_______tan =β 14．已知圆C ：()()()0222>=-+-b r b y a x ，圆心在抛物线x y 42=上，
经过点()0,3A ，且与抛物线的准线相切，则圆C 的方程为 15．已知函数|lg |,010,()16,10.2
x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若c b a <<, 且()()(),f a f b f c ==
则2
23b a c
ab +的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共计75分）
16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式和前n 项和n S ； （Ⅱ）若n
a n
b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
17．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A πωϕ>><<）的
周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3
M π-。
（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[0,]12
x π∈，求()f x 的最值.
18．为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；
（Ⅱ）若得分在[]100,90之间的有机会得一等奖，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，写出所有可能的结果，并求获得一等奖的全部为女生的概率.
19．好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x （116<<x ）元，该蛋糕年销售量为m 万个，若已知m -8
585与
2
421⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x 成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个.
（1）求该蛋糕年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； （2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润.
20．已知在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，//AD //EF BC ，
=CF 12
BE AD EF BC ===
2=，2=AE ,G 是BC 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEG ； （2）求证：EG ⊥平面BDF
（3）求此多面体ABCDEF 的体积.
21． 已知椭圆的焦点坐标是()01-F 1，
，()01F 2，，过点2F 垂直于长轴的直线交椭圆与P Q ，两点, 且||3PQ =. (1)求椭圆的方程.
(2)过2F 的直线与椭圆交于不同的两点M N ，, 则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值?若存在, 则求出这个最大值及此时的直线方程; 若不存在,请说明理由.
A
D
F
E
B
G
C
第20题图
18. （1）1.0,5,5.0,5====d c b a
（2）记男生为21,A A ，女生为321,,B B B ，所有情况如下：
),(21A A ),(11B A ),(21B A ),(31B A ),(12B A ),(22B A ),(32B A ),(21B B ),(31B B ),(32B B
一共10种情况。
P （全是女生）=10
3
19. 解析：（1）设m -8
585=k
2
421⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-x ，10=x 时，28=m ，解得：2=k
182128585421222
++-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=∴x x x m .
A D
F
E
B
G
C
()()
()61821262-++-=-=x x x x m y 10810833223--+-=x x x ()116<<x
（2）()()9261086662'---=-+-=x x x x y ，
0'>y ，96<<x ；0'<y ，119<<x ；9=x 元时，年利润最大，最大
为135万元.
20. 解析：证明：（1）∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC ． 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG ． ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG ．
（2）连结GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵//DF AE ，AE ⊥底面BEFC ，
∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ， ∴DF EG ⊥ ∵//,EF BG EF BE =，
∴四边形BGFE 为菱形，∴BF EG ⊥， 又,BF DF F BF =⊂I
平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，
∴EG ⊥平面BDF ．
（3）BCF D AEFD B ABCDEF V V V --+=,作⊥BH EF 于H ， 平面⊥AEFD 平面BEFC ，⊥∴BH 平面AEFD ，CF EG //,⊥∴CF 平面BDF
3=BH ,33
422331=⨯⨯⨯=-AEFD B V ,3
3
432221231=⨯⨯⨯⨯==--BFD C BCF D V V
33
8
=
∴ABCDEF V 21. 【解析】(1)设椭圆的方程是22
221(0)x y a b a b +=>>,
由交点的坐标得:1c =, 由||3PQ =,可得2
23b a
=
故直线:1l x =,AMN ∆内切圆的面积最大值是916
π。