【测控指导】2018版高中数学人教A版必修2课件 3.2.3 直线的一般式方程

题型一
题型二
题型三
题型四
即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3,-2. 则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),B(0,-2),过点A,B作直线, 即为直线l,如图所示.
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题型三
题型四
反思在直线的一般式方程中:(1)令x=0,解得y值,即为直线在y轴上 的截距,令y=0,解得x值,即为直线在x轴上的截距,这就确定了直线 与两个坐标轴的交点坐标,从而画出图形.当然也可将一般式方程 化为截距式来解决;(2)化为斜截式可讨论斜率与倾斜角以及在y轴 上的截距等.
������ -5 ������ -(-1)
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反思已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;已知直线 的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;已知直线上两点的坐标时, 选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用 截距式.
������ ������
2
2
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题型三
利用一般式解决平行与垂直问题
【例3】 (1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 解:(1)方法一:设直线l的斜率为k, 因为l与直线3x+4y+1=0平行,
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1
2
名称
方程 常数的几何意义 Ax+By+C=0 一般式 A,B 不同时 A,B,C 为系数 为0 x=a(y 垂直于 x 轴且过点 (a,0) 特殊直 轴:a=0) 线 y=b(x 垂直于 y 轴且过点 轴:b=0) (0,b)
适用条件 任何情况 斜率不 存在 斜率 k=0
������ ������ ������ +
������
������ ������
= 1.
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1
2
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不 唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式. 注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一 般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他 形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其 他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:
������ -0 1 1 -0 1
方法二:由两点式方程得 1-0 = -2-1 , 即x+3y-1=0.
������ -1
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一般式方程转化为其他形式的方程
【例2】 把直线l的一般式方程2x-3y-6=0化成斜截式,求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出直线l.
解:由 2x-3y-6=0,得 3y=2x-6, 2 故 y= 3 ������ − 2, 斜率为 3.
2
即直线 l 的一般式方程化成斜截式为 y= ������ − 2,
3
2
在 l 的方程 2x-3y-6=0 中, 令 y=0,得 x=3;令 x=0,得 y=-2.
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【变式训练2】 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下 列条件分别确定k的值: (1)直线l的斜率为-1; (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解:(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化
为 y=− ������ -3 ������ + 2, 由题意得 − ������ -3 = −1, 解得k=5. (2)方法一:直线 l 的方程可化为 ������ -3 + 2 = 1, 由题意得k-3+2=0,解得 k=1. 方法二:令 x=0,得 y=2,令 y=0,得 x=k-3. 由题意得 k-3+2=0,所以 k=1.
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解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为 y-3= 3(������ − 5), 化为一般式方程为 3������ − ������ + 3 − 5 3 = 0. (2)由斜截式方程可知, 所求直线方程为 y=4x-2, 化为一般式方程为 4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为 -1-5 = 2-(-1), 化为一般式方程为 2x+y-3=0. ������ ������ (4)由截距式方程可得,所求直线方程为 -3 + -1 = 1, 化为一般式方程为x+3y+3=0.
3 2-������
������
1
方法二:(1)由 l1⊥l2 可得, 3 a+3(a-2)=0,解得 a= 2.
������(������-2)-3 = 0, (2)当 l1∥l2 时,有 解得a=3. 3������-(������-2) ≠ 0,
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方法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0. 因为直线l经过点A(2,1), 所以2-2×1+m=0,所以m=0. 所以所求直线l的方程为x-2y=0.
反思1.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为BxAy+m=0. 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0, (1)若l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). (2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
题型四
题型四
易错辨析
易错点:忽视一般式方程中A与B的条件而致错 【例4】 若直线l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2:xy+1=0的斜率相同,则m等于( ) A.2或3 B.2 C.3 D.-3
错解:直线 l1 的斜率为
2������ 2 -5������ +2 ������ 2 -4
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2
2.直线方程的五种形式及比较 剖析:如下表所示.
名称 方程 一般 y-y0=k(x-x0) 点 情况 斜 斜截 式 y=kx+b 式 y-y1 一般 y2 -y1 x-x1 两 情况 = x2 -x1 点 式 截距 x y + =1 式 a b 常数的几何意义 适用条件 (x0,y0)是直线上的 直线不垂直 一个定点,k 是斜率 于 x 轴 k 是斜率,b 是直线 直线不垂直 在 y 轴上的截距 于x轴 (x1,y1),(x2,y2)是直线 直线不垂直 上的两个定点 于 x 轴和 y 轴 a,b 分别是直线在 x 直线不垂直 轴、y 轴上的两个非 于 x 轴和 y 轴, 零截距 且不过原点
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【变式训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般 式方程: (1)斜率为0,在y轴上的截距为2; (2)经过A(-2,1),B(1,0)两点.
解:(1)由斜截式得 y=2,即 y-2=0. (2)方法一:k= -2-1 = − 3 , 代入点斜式得 y-1=− 3 (������ + 2), 即x+3y-1=0.
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题型一 选择适当的形式写出直线的方程
【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率是 3, 且经过点������(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α 为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾 斜角α=90°. 2.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以 看成是平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的 集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合 就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一 一对应的.
3 1 ������ 2-������ 3 2-������
.
(1)由 l1⊥l2,可得 k1k2=-1, ������ 1 3 即 − 3 ·2-������ = −1, 解得a= 2.
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- = , ������1 = ������2 , 3 2-������ (2)由 l1∥l2 可得 即 1 解得a=3. ������ ������1 ≠ ������2 , - ≠ ,