正整数指数函数与指数概念
山东春考数学一轮复习 专题4 指数与对数函数
log
log
= log －log
C.
log 2
= log － log
D.
log 2
=
log
log
举一反三
设3 = 5, log 3 2 = ，用a，b表示log 3 30 =
（
）
例3
设18 = 5, log18 9 = ，求log18 45 的值。
（1）2
6
1
64
m
1
（2） 3 5.73
（3）log 5 125 3 （4）lg N b
知识梳理
2.对数的性质：
(1) loga1=0,即1的对数是0；
(2) logaa=1,即底的对数是1；
(3) N >0,即零和负数没有对数．
知识梳理
3.两个对数恒等式
(1) =N (a>0且a≠1)
A.
3
2
B. 9
C. 3
D. 64
）
例5
在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能
2
洗去污垢的 ，则要使留存在衣服上的污垢不超过
3
最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的
次数为（
A. 2
）
B.3
C. 4
D. 5
举一反三
细胞分裂一次其数量变为原来的2倍，问：细胞分
裂多少次后数量变为原来的32倍？（
(2) =N (a>0且a≠1,N>0)
知识梳理
4.对数运算的运算法则：
其中, M>0, N>0,a>0且a≠1,n为任意实数.
§1 正整数指数函数
§1 正整数指数函数【使用说明】1.课前认真阅读并思考课本P61-63页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。
【学习重点】 正整数指数函数的概念及性质【学习难点】 正整数指数函数的运算及函数性质【学习目标】1.理解正整数指数函数的概念及性质，会画正整数指数函数的图像，并能利用正整数指数函数的性质解决问题。
2.由正整数指数函数的运算性质，体会数形结合的思想。
3.我在五中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
一、问题导学1正整数指数函数的概念思考：（1）一般的，函数 (a>0）,1且,+∈≠N x a 叫做正整数指数函数的概念。
其中x 自变量，定义域是 。
（2）正整数指数函数与幂函数有什么区别？（3）正整数指数函数)(2+∈=N x y x 的值域是什么？由此你能得到什么？2. 正整数指数函数的图像与性质在直角坐标系中画出)(2+∈=N x y x 和)(）21（+∈=N x y x 的图像，由图可判断，正整数指数函数的图像是在第 象限的一些 组成的。
思考：（1）当底数0<a<1时，正整数指数函数的图像是 的，正整数指数函数 函数 ；当底数a>1时，正整数指数函数的图像是 的，正整数指数函数 函数（2）)(3+∈=N x y x 的单调区间是+N 吗？二、导学自测1.已知+∈N x ，下列是正整数指数函数 。
①12+=x y ②x y 3-= ③ x y π= ④20)1(xy = ⑤xy )47(=⑥πx y =2.比较下列大小（用“<”或“>”填空）（1）151.1 161.1 （2）78.0 108.0 (3) 32 33三、合作探究1.在同一直角坐标系，分别画出下列两组函数图像，你能发现什么规律？（1）x y 2=和x 3=y （其中+∈N x ）（2）x y ）21（=和x ）31（=y （其中+∈N x ）2.若)()1m （+∈-=N x y x 为定义域内的增函数，则m 的取值范围是 。
指数运算知识点总结
指数运算知识点总结1. 指数的定义指数是代表着一种运算规则，也就是表示一个数要乘以自己的次数。
我们先来看看指数的数学定义。
假设a是任意一个非零实数，且n是一个正整数，那么a 的n次方（记作a^n）定义为：a^n = a * a * ... * a （n个a相乘）。
其中，a是底数，n是指数。
根据这个定义，我们可以得出以下几点结论：- 当指数n为0时，任何非零实数a的0次方均为1，即a^0 = 1。
- 当指数n为1时，任何非零实数a的1次方等于a本身，即a^1 = a。
- 当指数n为负整数时，a的-n次方等于1除以a的n次方，即a^(-n) = 1 / a^n。
（当a≠0时）- 当指数n为分数时，a的m/n次方等于a的m次方的n次根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。
2. 指数的性质指数有一些非常重要的性质，它们为指数运算提供了一些非常有用的计算规则。
2.1. 指数幂的乘法法则对于相同的底数，不同的指数幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m * a^n = a^(m+n)这个性质被称为指数幂的乘法法则。
2.2. 指数幂的除法法则对于相同的底数，不同的指数幂相除时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：a^m / a^n = a^(m-n) （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的除法法则。
2.3. 指数幂的乘方法则对于一个底数的指数幂的幂，可以将底数保持不变，指数相乘得到新的指数。
例如，对于任意非零实数a，以及任意整数m、n，有以下恒等式成立：(a^m)^n = a^(m*n)这个性质被称为指数幂的乘方法则。
2.4. 指数幂的负次幂法则一个非零实数的负次幂等于其倒数的相应正次幂。
例如，对于任意非零实数a，以及任意正整数n，有以下恒等式成立：a^(-n) = 1 / a^n （当a≠0时）这个性质被称为指数幂的负次幂法则。
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
指数与对数知识点总结
指数与对数知识点总结指数和对数是数学中重要的概念和工具。
它们广泛应用于科学、工程和金融领域，具有重要的理论和实用价值。
本文将对指数和对数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、指数的基本概念和性质1.1 指数的定义指数是表示一个数乘积的幂运算。
设 a 是一个非零实数，n 是一个正整数，那么 a 的 n 次幂可以表示为 a^n。
其中，a 称为底数，n 称为指数，a^n 读作“a 的 n 次方”。
1.2 指数的性质（1）指数为正数时，指数运算具有如下性质：a^m * a^n = a^(m + n) （指数相加，底数不变）(a^m)^n = a^(m * n) （指数相乘，底数不变）(ab)^n = a^n * b^n （乘法公式，底数相乘，指数不变）(a/b)^n = a^n / b^n （除法公式，底数相除，指数不变）（2）指数为负数时，指数运算的性质如下：a^(-n) = 1 / a^n （负指数时，求倒数）1.3 底数为 e 的指数函数以自然对数的底数 e 为底的指数函数称为自然指数函数，记为 f(x)= e^x。
1.4 对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算。
设 a 是一个正实数，b 是一个正实数且不等于 1，如果 b^x = a，那么称 x 为以 b 为底 a 的对数。
记作 x =log_b(a)，读作“以 b 为底 a 的对数”。
（1）对数的基本性质：log_b(1) = 0 （对数的底数为 1 时，值为 0）log_b(b) = 1 （对数的底数为自身时，值为 1）log_b(a * c) = log_b(a) + log_b(c) （对数相乘，变为求和）log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c) （对数相除，变为求差）log_b(a^n) = n * log_b(a) （对数的幂运算，变为乘法）二、指数与对数的应用2.1 指数函数的应用指数函数常用于描述增长或衰减的趋势，如人口增长、金融利率等。
指数函数的概念图象及性质PPT课件
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
正整数指数函数数学教案
正整数指数函数数学教案第一章：正整数指数函数的定义与性质1.1 教学目标了解正整数指数函数的定义掌握正整数指数函数的性质1.2 教学内容引出正整数指数函数的概念讲解正整数指数函数的性质1.3 教学步骤1. 引入正整数指数函数的概念，让学生了解指数函数的一般形式。
2. 通过具体例子，解释正整数指数函数的定义，让学生理解指数函数的基本特征。
3. 讲解正整数指数函数的性质，包括单调性、奇偶性、有界性等，让学生掌握函数的性质。
1.4 练习题2. 解释为什么正整数指数函数的定义域为全体实数。
第二章：正整数指数函数的图像与性质2.1 教学目标了解正整数指数函数的图像特征掌握正整数指数函数的单调性、奇偶性等性质2.2 教学内容讲解正整数指数函数的图像特征讲解正整数指数函数的单调性、奇偶性等性质2.3 教学步骤1. 利用计算机软件或手工绘制正整数指数函数的图像，让学生观察图像特征。
2. 讲解正整数指数函数的单调性，让学生理解函数在不同区间的单调性。
3. 讲解正整数指数函数的奇偶性，让学生掌握函数的奇偶性特点。
2.4 练习题1. 绘制f(x) = 2^x的图像，并观察其在不同区间的单调性。
第三章：正整数指数函数的应用3.1 教学目标掌握正整数指数函数在实际问题中的应用3.2 教学内容讲解正整数指数函数在实际问题中的应用3.3 教学步骤1. 通过具体例子，讲解正整数指数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
2. 让学生尝试解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.4 练习题1. 假设某城市的人口每年增长20%，求该城市人口达到500万所需的时间。
第四章：正整数指数函数的进一步研究4.1 教学目标掌握正整数指数函数的进一步研究方法4.2 教学内容讲解正整数指数函数的进一步研究方法4.3 教学步骤1. 讲解正整数指数函数的进一步研究方法，如求导数、研究极限等。
2. 通过具体例子，让学生掌握正整数指数函数的进一步研究方法。
指数与指数函数 (1)
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
(完整版)指数函数知识点总结
指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果x a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 00。
当n 是奇数时，n a n a ，当n 是偶数时，n a n |a |2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：n *a (a 0)a (a 0)am nna m (a 0,m ,n N *,n 1)m na1ar m n1na m(a 0,m ,n N *,n 1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）a ·a a r r s(a 0,r,s R )；r srs (a )a （2）(a 0,r,s R )；rr s(ab)a a （3）(a0,r,s R )．x （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y a (a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<111定义域 R 值域y＞0在R 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）定义域 R 值域y＞0在R 上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，f(x)a (a 0且a 1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]（2）若x 0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当x R ；（3）对于指数函数f(x)a (a0且a 1)，总有f(1)a ；指数函数·例题解析x x【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝312-x(2)y ＝2x +2-1(3)y ＝3-3x -1解(1)定义域为x∈R 且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y ＜3．（1）y =2练习：【例2】指数函数y＝a x ，y＝b x ，y＝c x ，y＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x 轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①( ).②满足不等式,则它们的图象是1x -4|x |；（2）y =()；（3）y =4+223x x +1+1；【例3】比较大小：(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.6-4513-2()2．(3)4.54.1________3.73.61213253849解(1)∵2=2，32=2，54=2，88=2，916=2，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．3859213-2解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2413--∴0.65＞()2．2-45解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.72.5与 1.7( 2 )0.83-0.1与0.8-0.2( 3 ) 1.70.3与0.93.1（４）3.52.1和2.72.0【例4】比较大小n-1a n与n a n+1(a＞0且a≠1，n＞1)．n-1解a nn+1n a=a1n(n-1)当0＜a＜1，∵n＞1，1＞0，n(n-1)＜1，∴n-1a n＜n a n+11当a＞1时，∵n＞1，＞0，n(n-1)∴a∴a1n(n-1)1n(n-1)＞1，n-1a n＞n a n+1【例5】作出下列函数的图像：1(1)y＝()x+12(2)y＝2x－2，(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|11解 (1)y＝()x+1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．221x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)a x -1【例8】已知f(x)＝x (a ＞1)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)a +1证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R ．a -x -1a x -1f(－x)＝-x =-x ＝－f(x)，a +1a +1∴函数f(x)为奇函数．a x -1-1-y y +1(2)函数y ＝x ，∵y ≠1，∴有a x ＝=＞0⇒－1＜y ＜1，y -11-y a +1即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)a x l -1a x 2-12(a x l -a x 2)＝x +1-x +1＝x ，∵a ＞1，x 1＜x 2，a x 1＜a x 2，(a x 1＋1)x a l a 2(a l +1)(a 2+1)(a x 2＋1)＞0，∴f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在R 上为增函数．单元测试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）11111--⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛1、化简 1+232⎪1+216⎪1+28⎪1+24⎪1+22⎪，结果是（）⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝1-⎫1⎛A、 1-232⎪2⎝⎭-1111---⎛⎫⎛⎫1B、 1-232⎪ C、1-232 D、 1-232⎪2⎝⎝⎭⎭-1⎛36a 9⎫⎛63a 9⎫等于（）2、 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A、a 1644B、a 8C、a 4D、a 23、若a >1,b <0,且a +a A、6b -b =22,则a b -a -b 的值等于（）B、±2C、-2D、24、函数f (x )=a -1在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A、a >1B、a <2C、a <5、下列函数式中，满足f (x +1)=A、(2)x2 D、1<a <21f (x )的是( )211(x +1) B、x + C、2x D、2-x24x 2-x 6、下列f (x )=(1+a )a 是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数111137、已知a >b ,ab ≠0，下列不等式（1）a >b ；(2)2>2；(3)<；(4)a >b 3；a b22a b ⎛1⎫⎛1⎫(5) ⎪< ⎪中恒成立的有（）⎝3⎭⎝3⎭A、1个B、2个C、3个D、4个a b2x -18、函数y =x 是（）2+1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数9、函数y =1的值域是（）2x -1A、(-∞,1)B、(-∞,0)(0,+∞) C、(-1,+∞) D、(-∞,-1)(0,+∞)x 10、已知0<a <1,b <-1,则函数y =a +b 的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、F (x )= 1+⎛⎝2⎫⎪⋅f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则f (x )( )x 2-1⎭A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为（）A、na (1-b %) B、a (1-nb %) C、a [1-(b %)] D、a (1-b %)二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）x -y =。
北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》
第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。
知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。
知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。
例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。
第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。
2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。
知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。
2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。
知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
指数函数和对数函数的知识点及典型例题一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an n a a a a 个⋅⋅⋅=)(*∈N n ()010a a =≠ ()10,n na a n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()nn n ab a b n Z =⋅∈其中mnmnm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ； ②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=N n n n ,100 ∴0=；⑤式子na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴na =．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a aa a n n ．5．例题分析：例．计算：407407-++解：407407-++52)25()25(22=-++= （二）分数指数幂1()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质()nm mn a a =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3.1正整数指数函数
因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再
考察正整数指数函数 y ＝ 1.1x(x ∈ N ＋ ), 因为此 函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此0.911＜
0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．
解：由 4 ＞2
x
3－ 2x
知 2 ＞2
题型三
正整数指数函数的实际应用
例3、某种放射性物质不断变化为其他物质
，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变
化的函数关系式；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性； (4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来
的一半．
【解】
(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，
【小结】
根据函数的解析式判断是否为正
整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函 数解析式的基本特征： ax前的系数必须是 1， ，a≠1.
自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0
变式训练 1 ．若函数 y ＝ (a2 － 3a ＋ 3)· ax 为正整数指数函
数，则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特
征，若函数y＝(a2－3a＋3)· ax为正整数指数函
数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数 a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
题型二
正整数指数函数的图像与性质
例2、在同一平面直角坐标系中，分别画出下
列两组函数的图像，并分析底数的不同对函
数的单调性和图像递增或递减快慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋；
正整数指数函数与指数概念
学案：正整数指数函数
正整数指数函数日期：学习目标：1.了解正整数指数函数模型的实际背景；2．了解正整数指数函数的概念；3．理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性；4．借助计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值．重点难点：正整数指数函数模型的实际背景；正整数指数函数的概念学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、一般地，函数叫作正整数指数函数，其中是自变量，定义域是2、在研究中常见正整数指数函数；3、正整数指数函数是函数的一个特例，它们定义域是由组成的集合，它的图像是由组成的；4、正整数指数函数的底数大于1时，函数值；底数时，函数值随自变量的增大而减小；；三、学以致用：1、某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x的本利和（本金加上利息）为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2．25％，试计算5期后的本利和（不计利息税，结果保留到0.01元）.2、某商品1月份降价10％，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则三次价格平均回升率为A 1B 1C 1 D3、已知镭经过100年后剩余原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过x 年后的剩余量为y ，则x 、y 之间的函数关系式是A 、1000.9576xy = B 、1000.9576x y = C 、0.9576100x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D 、10010.0424xy =-4、某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 小时；四、概括升华：1、解应用题的一般步骤：（1）阅读理解，读懂题意，理解实际背景，领悟其数学本质；（2）抽象、归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立模型的知识系统，解出模型的数学结果，最后得到实际问题答案。
2、增长率的计算公式：下降率的计算公式：复利的计算公式：五、作业：习题1、2。
指数与指数函数——知识梳理
\ f (p ) < f (3) = 0 \p 3 - 3p < 0 即p 3 < 3p \a < b
又!ep < p e < p 3 \c < a
综上 b > a > c .
【变式 2】求函数 y = 3-x2+3x-2 的值域及单调区间.
【解析】设 u=-x2+3x-2， y=3u，
其中 y=3u 为 R 上的单调增函数，u=-x2+3x-2 在 x Î (-¥, 3]上单增， 2
´1+ (23 ) 4
´24
+ (23 )6
´ (32 )6
=
+
2+ 24 4
+ 22
´ 33
= 112；
思思老师
(3)原式 =
1
a 3 (a - 8b)
´
1
a3
1
´a3
=
1+1+1
a 3 3 3 (a - 8b)
= a.
1
11
1
1
1
1
1
(a 3 )2 + 2a 3b 3 + (2b 3 )2 a 3 - 2b 3
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵j(x) 定义域关于原点对称，
且 f(x)的定义域是j(x) 定义域除掉 0 这个元素)，
令 g(x) =
1 + 1 ，则 g(-x) =
1
1 2x 1 - 2x 1
+=
+=
+
2x -1 2
2-x -1 2 1- 2x 2 2x -1 2
- (2 x -1) -1 1
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2、电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大 气上层的臭氧层。臭氧含量Q近似满足 Q=Q0 × 0.9975t,其中Q0是臭氧的初始量， t是时间(年)。设Q0 =1. (1)计算经过20，40，60，80，100年， 臭氧含量Q. (2)用图像表示每隔20年Q的变化。 （3）分析随时间增加， Q是增加还是减 小？
当n为正整数时,y=ax(a>0,a ≠ 1)叫做 正整数指数函数。
练习1
p71:1,2
温故知新
• • • • • 正整数指数an=a×a × … × a（n个） 0指数a0=1(a≠0) 1 负整数指数 a-n= a n m 正分数指数 a n n am 幂的运算性质p72
m n
· 负分数指数 a · 无理数指数p79
?
1、某种细胞分裂时，由一个分为2个，2个 分为4个，……一直分下去。 （1）列表表示1个细胞分裂次数分别是1， 2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数。 （2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+) 与得到的细胞个数y之间的关系。 (3)写出y与n之间的关系式，试用科学计算 器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
练习2
• P75:1,2 • 1,2,3,4 • P81:1,2,3
练习3
已知a=(2+ 3 )-1 求 1 3 3 1、 (a b ) 2 2、a-b ,b= (2- 3 )-1
课堂小结
1.正整数指数函数
2.指数的扩充 3.幂的运算性质
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新做主食和菜，待会儿要吃月饼和果子呢，中午剩的这些也凑乎够了。”耿老爹说：“是啊，喝碗粥少吃点儿就行了，一会儿 有的吃呢！”耿直调皮地说：“我真想现在就吃月饼！还有那几个苹果，又红又大，看着真馋啊！”耿正拍拍弟弟的肩膀亲切 地说：“先喝粥吧，吃那些供品还不到时候呢！”简单吃完晚饭收拾好后，天儿已经完全黑了，父子四人各搬一把椅子来到临 窗的桌子前。在这个看不见圆月的八月十五夜里，耿老爹的心情是异常复杂的。在家里时，一直都是妻子郭氏操持“供月”仪 式的，他自己只是参与仪式后半部分的许愿程序而已。然而在今儿晚上，却是只有他和三个娃儿一起过节，而他自己又不会絮 叨那些个“请月儿爷爷享用月饼瓜果”之类的话；再说了，天空中也看不到月儿爷爷！于是，耿老爹建议：“娃儿们，反正这 天上也看不到月儿爷爷，咱们不如干脆免了‘供月’仪式得了。月儿爷爷若想要享用这些东西，欢迎光临自行享用就是了！咱 们现在就坐了恭候吧；略等一等，谁想吃什么，就吃一些！”耿正兄妹三人觉得也是，到处都是黑乎乎的，“供”得哪门子 “月”啊！于是，耿正和耿老爹坐在桌子两边，耿英挨着爹坐下，耿直坐在哥哥和姐姐的中间，大家一起默默地望着黑乎乎的 夜空，好一会儿谁也没有说话。黑暗中，耿直忽然抽泣起来，并且带着哭声说：“我，我想娘，想兰兰”耿英伸出一只胳膊揽 住弟弟不断颤动着的小肩膀，柔声安慰他说：“小直子，别难过”耿老爹站起身来要去点灯，耿英赶忙拉住爹爹的胳膊，低声 说：“爹，别，别点灯”是啊，想要抛洒眼泪的人是不需要光亮的。在黑暗中，人的内心更加安静，可以想得更多、思得更远 在这个本应该明月高悬的八月十五夜，远离故土的耿家父子四人，在黑暗中守着摆在面前的月饼和瓜果，想着故乡的亲人和明 月，心潮涌动，思绪万千他们除了思念，还是思念那些南国的月饼和瓜果，谁也没有去动。此时此刻，除了默默地流泪，谁也 不再想做其他的任何事情了耿直低低的抽泣声一直持续了很久很久125第十七回 老乡送书信喜煞人|（喜鹊飞来报喜讯，老乡 送书信喜煞人；全家人述说心里话，老乡代笔写家信。）和去年一样，秋高气爽的八月十六又是一个大晴天。郭氏一早就起床 了。尽管心里老想着去年今日里此时此刻的情景，眼前老是晃动着朦胧的晨光中丈夫和三个儿女匆匆离家时的身影，耳畔好像 还能听到他们说话的声音；但今年的庄禾长得挺好，三亩水田的苞米呢，她得去掰啊！秋收的日子里家家都很忙呢，郭氏打心 眼儿里不想给大家伙儿添麻烦，希望自己带着耿兰全部收回来。娘儿俩简单地吃完早饭后，郭氏收拾了俩人的碗筷，顺便洗了 两个苹果放到耿兰的小竹篮子里，对瞪着一双好看
1
m an
1
n
a
m
0n=0,n为正无理数
例
题
1. 求下列各式的值:
3
3
(3)
3
4
( 10)
4
(3 )
6
a 2ab b
2 2
例
题
2. 若 9a2 6a 1 3a 1 求a的取值范围.
3. 若2x2+5x－2＞0, 2 求 4x 4x 1 2 x 2