高中数学 3.2.1直线的点斜式方程教案 新人教版A版必修2
人教A版高一年级数学必修二3.2.1《直线的点斜式方程》教案
3、2、1 直线的点斜式方程一、【学习目标】1、引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程；2、在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用；【教学难点】直线的点斜式、斜截式方程的意义及运用；根据条件熟练地求出直线的方程二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第92—93页内容，然后回答问题（点斜式方程）<1>如果已知直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),y x P （ 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，你能求出直线的方程吗？你怎么说明我们根据斜率所得到的方程就是我们所求的直线方程？<2>我们由<1>所得的方程是斜率存在的情况，若斜率不存在也就是倾斜角是直角的情况，方程怎么求？倾斜角为零度呢？ 结论：<1>由斜率公式得：=k （0y y -）/（0x x -），即)(00x x k y y -=-就是我们所求的方程.证明过程：由上述推导过程我们可知：01过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 的坐标都满足上述方程；反过来我们还可以验证.02坐标满足上述方程的点，都在过点),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上. <2>两种特殊情况的方程分别为：00y y x x ==、【例1】已知直线l 过点A(2，1)且与直线y －1＝4x －3垂直，求直线l 的方程．【解析】方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4(x －34)，由点斜式方程知其斜率k ＝4，又∵l 与直线y －1＝4x －3垂直， ∴直线l 的斜率为－14，又由l 过点A(2，1)． ∴直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)， 即x ＋4y －6＝0．练习一：教材95页练习1、2.2、阅读教材第94页思考上面的内容，回答问题（斜截式）<3>如果直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b ，代入直线的点斜式方程，我们能得到什么结论？结论：<3>我们可以得到)0(-=-x k b y 即b kx y +=，我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.我们把这个方程叫做直线的斜截式方程.练习二：①请同学们记住这个结论，并且思考，截距是距离吗？②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？k 和b 分别表示什么含义？③请同学们完成教材第95页练习3.3、阅读教材94页例2，回答问题（复习直线垂直、平行的条件）<4>已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，那么21//l l ，21l l ⊥ 的条件分别是什么？若反过来，成立吗？结论：<4>212121,//b b k k l l ≠=⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .（要注意特殊情况，譬如斜率不存在或斜率为零的情况）练习三：①完成教材第95页练习4；②习题3.2A 组1<1><2><3>.三、【作业】习题3.2A 组2、3、5、10；四、【小结】本节课主要学习了三大块内容，直线的点斜式、斜截式方程，以及两直线平行和垂直的条件.要重点理解点斜式、斜截式方程的推导过程和结构特征以及适用范围.五、【反思】教学，重要的是学生的学，而不是教师的教.老师要做到的是怎样推动学生积极的学习.个人认为推动学生学习，最重要的是给学生一个台阶，上得去的台阶.譬如上一章学习的立体几何，由于是新知识，学生学习起来比较吃力，课堂效果和作业效果都一般，但是直线这一章相比之下简单一些，学生的学习效果很不错，并且乐意学.所以调动学生的积极性，重要的是循序渐进，不要过分拔高，也就是说给学生一个台阶.。
3.2.直线的点斜式方程-人教A版必修二教案
3.2 直线的点斜式方程-人教A版必修二教案一、教学目标：1.理解直线的点斜式方程的含义及其求解方法。
2.能够使用点斜式方程求直线的解析式。
3.能够根据题目要求，灵活运用点斜式方程求解实际问题。
二、教学重难点：1.点斜式方程的理解和求解方法。
2.灵活应用点斜式方程解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入教师展示一张平面直角坐标系图，并从图中确定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，引出直线的概念，并简单介绍点斜式方程的概念。
2. 讲解2.1 点斜式方程的含义教师通过结合平面直角坐标系图，详细讲解点斜式方程的含义，即通过已知直线上一点以及该直线的斜率，求得直线的解析式。
教师还可以通过几何图形、类比等方式加深学生对点斜式方程的理解。
2.2 求解点斜式方程教师通过实例演示，详细讲解点斜式方程的求解方法。
教师可以让学生积极参与，自主推导出求解公式，提高学生成就感和学习兴趣。
3. 实践教师根据教材上的实例，设计一些题目进行讲解，并要求学生自主尝试解决问题。
同时，在讲解过程中，教师可以帮助学生理解问题，提高学生解题能力。
4. 系统归纳最后，在教学过程中，教师应该总结各种方法的优缺点、适用范围，并帮助学生进行系统的归纳和总结，提高学生的综合运用能力。
四、教学方法：本节课主要采用讲授理论和解决实际问题相结合的方法，通过教师讲解和学生互动，帮助学生掌握点斜式方程的相关概念和求解方法。
五、教学工具：1.平面直角坐标系图2.计算器3.教材六、教学建议：1.首先，引出问题，让学生自己去推导点斜式公式。
2.其次，通过实例讲解，让学生能够理解点斜式方程的含义。
3.最后，通过练习题，让学生灵活运用所学方法解决实际问题。
七、教学评估：1.在教学过程中，通过教师直观的讲解和实例演示，能够提高学生对点斜式方程的理解和掌握程度。
2.在课后进行测试，检查学生是否掌握了点斜式方程的相关内容，并能够灵活应用所学方法解决实际问题。
八、教学延伸：1.提高学生的思辨能力，引导学生通过学习点斜式方程，解决更加复杂的几何问题。
高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程 新人教A版必修2
必修2第3章3.2.1直线的点斜式方程一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》〔人教版〕第三章直线方程第二节的第一课时。
直线的点斜式方程是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 与直线的斜率,一次函数密不可分；另一方面,学习直线的点斜式方程也为进一步学习直线其他方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1.直线的点斜式方程的适用X 围;2.截距的几何意义.三、教学目标知识与技能1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用X 围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.过程与方法在直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距〞与“距离〞的区别。
情感与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
四、教学重点，难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程．五、教学过程(一)．复习旧知问题1:直线的斜率的计算公式是什么?问题2:两条不重合的直线斜率都存在,.如何用直线的斜率判定两直线平行与垂直?(二).问题情境问题3:确定一条直线的方法有几种?问题4:假设直线的斜率与直线上的某一点,能否求直线上的任意一点所满足的方程?(三).探索研究直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，那么有：00y y k x x -=-00()y y k x x ⇒-=- ⑴ 问题5: 满足方程⑴的所有点是否都在直线 l 上?(四).归纳总结1.点斜式方程 ：方程 ⑴:00()y y k x x -=-称为直线的点斜式方程.简称点斜式. 问题6: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?结论:不能表示垂直于x 轴的直线.问题7:x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？问题8:经过点),(000y x P 且平行于x 轴〔即垂直于y 轴〕的直线方程是什么？问题9;经过点),(000y x P 且平行于y 轴〔即垂直于x 轴〕的直线方程是什么？2.斜截式方程:由点斜式方程可知,假设直线过点(0,)B b 且斜率为k ,那么直线的方程为: y kx b =+ 方程y kx b =+称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b 为直线在y 轴上的截距.问题10:：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论?结论:截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标,截距不等于距离.(五).应用举例例⒈直线l 经过点P 0(－2, 3)，且倾斜角α＝45º，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .例2.①直线的点斜式方程是y －2=x －1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____， 此直线必过定点______；②直线的点斜式方程是y ＋2=(x ＋1)，那么此直线经过定点_______，直线的斜率 是______，倾斜角是_______.例3.直线l 1: y ＝k 1x ＋b 1， l 2: y ＝k 2x ＋b 2，试讨论：(1) l 1∥l 2的条件是什么? (2) l 1⊥l 2的条件是什么?例4.习案151面第5题.(六).课堂练习教材P95 练习1. 2. 3.4(七).归纳总结1.点斜式方程 ：方程 ⑴:00()y y k x x -=-；2.斜截式方程:: y kx b =+.3.截距b 的几何意义.(八).课外作业： 《习案》与《学案》。
人教A版高中数学必修二3.2.1直线的点斜式方程教案
3.2.1直线的点斜式方程教案一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
（2）能正确利用直线方程的点斜式、斜截式求直线方程。
2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程。
3、情态与价值观教学中渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程与斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程与斜截式方程的应用。
三、教学过程问题1：若直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，那么，你能建立直线上任意一点(,)P x y 的坐标x,y 与k,00,x y 之间的关系式吗？培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。
使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件。
学生根据斜率公式，可以得到， 000,y y k x x x x -=≠- 即：(1)教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
在学生得到上式后，要求学生小组讨论，并思考以下问题： 1、点000(,)P x y 的坐标满足关系式 0y y k x x -=-吗？2、点000(,)P x y 的坐标满足关系式00()y y k x x -=-吗？3、直线l 上任意一点(,)P x y 的坐标都满足关系式00()y y k x x -=-吗？学生回答问题，教师补充学生先阅读课本，理解验证，然后，学生回答，教师引导。
然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.练习一:写出下列直线方程： （1）经过A(3，-1），斜率是2。
学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。
3.2.1_直线的点斜式方程_学案(人教A版必修2)
3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程【课标要求】1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．新知导学温馨提示：(1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线．(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0.2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b .(2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的横坐标a .温馨提示(1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系．(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当斜率为0时，y ＝b 不是一次函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？提示 一定有点斜式方程．探究点2 若直线在x 轴、y 轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？提示 135°.探究点3 斜率为k 且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？提示 相同．都是y ＝kx 的形式.类型一 直线的点斜式方程【例1】 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路探索] 求出斜率，代入点斜式方程．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.[规律方法] 求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．【活学活用1】 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为________． 解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0类型二 直线的斜截式方程【例2】 求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[思路探索] 根据两直线的平行(或垂直)关系求出斜率后，再设所求方程的斜截式，由截距之和求得纵截距．解 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【活学活用2】 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程．(2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0.法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5，又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b .∵l 过点A (2，－3)，∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1，∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.类型三 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[思路探索] (1)化为点斜式，求定点；(2)化为mf (x ，y )＋g (x ，y )＝0.证明 法一 根据恒等式的意义求解．直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．法二 直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．【活学活用3】 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.易错辨析 因忽视截距所致的错误【示例】 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？[错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多．[正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1. [防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立.课堂达标 1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )．A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( )．A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－3答案 D3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．答案 y ＝4x －114．过点(1,3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1,3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝15．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定两直线的位置关系.。
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式方程》教案（新人教A版必修2）
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式⽅程》教案（新⼈教A 版必修2）课题：直线的点斜式、斜截式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程。
（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系.2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。
教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤例3．如果直线l 沿x 轴负⽅向平移3个单位，再沿y 轴正⽅向平移1个单位后，⼜回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －31)归纳⼩结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围是什么？（3）求⼀条直线的⽅程，要知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题课后记:课题：直线的两点式和截距式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）掌握直线⽅程的两点式的形式特点及适⽤范围；（2）了解直线⽅程截距式的形式特点及适⽤范围。
2、过程与⽅法让学⽣在应⽤旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的⽐较、分析、应⽤获得新知识的特点。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学⽣⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线⽅程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解1）到⽬前为⽌，我们所学过的直线⽅程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2）要求⼀条直线的⽅程，必须知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题课后记:课题：直线的⼀般式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）明确直线⽅程⼀般式的形式特征；（2）会把直线⽅程的⼀般式化为斜截式，进⽽求斜率和截距；（3）会把直线⽅程的点斜式、两点式化为⼀般式。
人教新课标A版必修2《3.2.1 直线的点斜式方程》教学设计(表格式)
请学生作答
提示：由直线的点斜式方程需要直线上的一点),(000y x P 和斜率k 共同确定，但当倾斜角为90°时直线没有斜率，故此时直线没有点斜式方程.
3.考虑两种特殊直线：
过点),(000y x P
（1）平行于x 轴或与x 轴重合的直线方程是什么？
（2）平行于y 轴或与y 轴重合的直线方程是什么？
在黑板上板书：
000)
-(0-0
0tan 0αy y x x y y k ===°=°
=即： 0090tan 90αx x x l k =°=°=故上每一点的横坐标均为此时直线不存在
4.课本P93例1.直线l 经过点）（3
,20P ，且倾斜角为45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线. 请学生回答
分析：（1）点斜式方程为)-(-00x x k y y =，将点）（3
,20P 与斜率k 代入即可； （2）确定一条直线需要两个点的坐标.
5.写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点（2，1），且倾斜角为150°；
（2）经过点（3,2），且垂直于y 轴的直线；
（3）经过点（2,1），且斜率是-1的直线.
请学生上黑板做，根据情况进行订正.
6.已知直线的方程是y+7=-x-3，则（ ）
A.直线经过点（-3,7），斜率为-1;
B.直线经过点（7，-1），斜率为-1；
C.直线经过点（-3，-7），斜率为-1；
D.直线经过点（-7，-3），斜率为1.
请学生回答，并给出正确答案C.
7. 过点(1,3)，且斜率不存在的直线方程是（ ）
A.x=1
B.x=3。
3.2.1《直线的点斜式方程》教案(人教A版必修2)
3.2.1《直线的点斜式方程》教案【教学目标】1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 【导入新课】问题导入：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 新授课阶段 1.直线的点斜式方程直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。
根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，0x x y y k --=，即)(00x x k y y -=-问题：（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？ 点斜式方程：方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
特例：x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？ （3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？例1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
解：根据直线方程的点斜式得到，直线l 的方程：b kx y +=思考：1 直线b kx y +=在x 轴上的截距是什么？2 “截距”与“距离”两个概念的区别？（1）21//l l 时， 2121,;,b b k k 有何关系？（2）21l l ⊥时，2121,;,b b k k 有何关系？在此由学生得出结论：,//2121k k l l =⇔且21b b ≠； 12121-=⇔⊥k k l l课堂小结1.直线的点斜式方程推导；2.斜截式方程中截距的理解。
作业见同步练习部分。
高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2(1)
• [解析] (1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即2x－y ＋7＝0.
• (2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝1.
• (3)因为倾斜角为45°，所以直线斜率为tan45°＝1，由点 斜式方程得y－5＝x－2，即y＝x＋3.
• [答案] (1)2x－y＋7＝0 (2)y＝1 (3)y＝x＋3
截式．
y＝kx＋b
• (2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线
在y轴上的______．倾斜角是______的直线没有斜截式方
程．
截距
90°
• [破疑点] 值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也 可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为 非负数．
• [拓展] 1.直线与x轴的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点(a,0)的横坐标a称为此直线的横 截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没 有纵截距，直线y＝2没有横截距．
•
规律总结：求直线的点斜式方程的步骤：
• ①确定定点坐标；
• ②求出直线的斜率；
• ③代入公式，写出方程．
• 特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直， 直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.
• 你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线 和斜率为0的直线如何表示？
• 2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
• 剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线 上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线 的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任 意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距， 即过点(0，b)．
高中数学 必修二 3.2.1 直线的点斜式方程教案 新人教A版必修2
3.2.1 直线的点斜式方程（一）导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.（2）(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？⑤k =11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.（三）应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tan α=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tan α1=tan α2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tan α1=tan α2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2).例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△A BC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512.（四）知能训练课本本节练习1、２、３、４.（五）拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tan α1＜k ＜k 2=tan α2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题3.2 A 组2、3、5.。
高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教版必修2
3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k . 问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？ 提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)． (2)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan45°＝1. ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2.(3)∵直线与x 轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k ＝0.∴直线的点斜式方程为y ＋1＝0×(x ＋1)，即y ＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝t an 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. [例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行． 答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m . ∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0.∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m ，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________． 解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3， 由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)． 答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4解析：选D 因为所求直线与y ＝2x ＋1垂直，所以设直线方程为y ＝－12x ＋b .又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为y ＝－12x ＋4.4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A 在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.5．过点(1,0)且与直线y ＝12x －1平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 与直线y ＝12x －1平行的直线方程可设为：y ＝12x ＋c ，将点(1,0)代入得0＝12＋c ，解得c ＝－12，故直线方程为y ＝12x －12即x －2y －1＝0. 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．解析：与直线y －1＝23(x ＋5)平行，故斜率为23，所以其点斜式方程是y －2＝23(x ＋3)．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点____________．解析：将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． 答案：(3,2)8．过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________． 解析：依题意设l 的方程为y ＋3＝k (x －4)． 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.因此－4k －3＝4k ＋3k.解得k ＝－1或k ＝－34.故所求方程为y ＝－x ＋1或y ＝－34x .答案：y ＝－x ＋1或y ＝－34x三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。
高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程 教案 新人教版必修2A
第一课时直线的点斜式方程一、教学目标1、知能目标〔1〕理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用X围；〔2〕能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
〔3〕体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、情感目标通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：〔1〕重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
〔2〕难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学过程：四、课后札记：本节课的教学设计主要考虑了如下几个方面：在教法上力求通过创设问题情境，层层递进，揭示知识的形成发展过程，不仅让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.全课以化归思想为主线，达到化未知为，化难为易，化几何问题为代数问题的目的。
通过数形结合思想的应用，帮助学生变抽象为具体，从而表达解析几何的基本思想.本设计力求符合“特殊――一般――特殊〞的认知规律，即由特殊导出点斜式，再应用点斜式推导出特殊的斜截式.在教学过程中按照“教、学、研同步协调原那么〞，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位。
例如借助提问，给学生营造一个思维情境，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在某某开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自找王新敞第二课时直线的两点式方程一、教学目标1、知能目标〔1〕掌握直线方程的两点的形式特点及适用X围；〔2〕了解直线方程截距式的形式特点及适用X围。
2、情感目标〔1〕认识事物之间的普遍联系与相互转化；〔2〕培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学过程第三课时直线的一般式方程一、教学目标1、知能目标〔1〕明确直线方程一般式的形式特征；〔2〕会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；〔3〕会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
高中数学 3.2.1直线的点斜式方程精品教案 新人教A版必修2
直线的点斜式方程〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用X围；〔2〕能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；〔3〕体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距〞与“距离〞的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.〔二〕教学重点、难点：〔1〕重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.〔2〕难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.〔三〕教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.概念形成2．直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k. 设点P(x,y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，0y ykx x-=-，即y–y0=k (x–x0) 〔1〕老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.3．〔1〕过点P0(x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程〔1〕吗？学生验证，教师引导.使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.〔2〕坐标满足方程〔1〕的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？学生验证，教师引导. 然后教师指出方程〔1〕由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slopeform).使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.概念深化4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？学生分组互相讨论，然后说明理由.使学生理解直线的点斜式方程的适用X围.5．〔1〕x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？〔2〕经过点P0(x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？〔3〕经过点P0(x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用X围，掌握特殊直线方程的表示形式.应用举例6．例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角 =45°. 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.例1 解析：直线l经过点P0(–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得y– 3 = x + 2画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=–1，y1= 4，得P1的坐标为〔–1，4〕，过P0 ，P1的直线即为所求，如右图.学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：〔1〕一个定点；〔2〕有斜率. 同时掌握直线方程画直线的方法.概念深化7．直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程.学生独立求出直线l的方程：y= kx + b〔2〕再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程〔2〕由哪两个条件确定，让学生理解斜截式引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情xy6421–1–2 0P0P1方程概念的内涵. 形.8．观察方程y= kx+ b，它的形式具有什么特点？学生讨论，教师及时给予评价.深入理解和掌握斜截式方程的特点？9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？学生思考回答，教师评价.使学生理解“截距〞与“距离〞两个概念的区别.方法探究10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx+ b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y= 2x–1，y= 3x，y= –x+ 3图象的特点吗？学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.应用举例11．例2 直线l1：y=k1 + b1，l2：y2 = k2x + b2 .试讨论：〔1〕l1∥l2的条件是什么？〔2〕l1⊥l2的条件是什么？教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考〔1〕l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？〔2〕l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2⇔k1= k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.例2 解析：〔1〕假设l1∥l2，那么k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1= b2；反之，k1= k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .于是我们得到，对于直线l1：y = k1x+ b1，l2：y = kx +b2l1∥l2⇔k1= k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2 = –1.掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.学生独立完成，教师检查反馈.巩固本节课所学过的知识.归纳13．小结教师引导学生概括：〔1〕本节课我们学过哪些知识点；〔2〕直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用X围是什么？〔3〕求一条直线的方程，要知道多少个条件？使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.课后作业学生课后独立完成. 巩固深化备选例题例1 求倾斜角是直线31y x=-+的倾斜角的14，且分别满足以下条件的直线方程是.〔1〕经过点3,1)-；〔2〕在y轴上的截距是–5.[解析]∵直线1y =+的斜率k ∴其倾斜角α=120° 由题意，得所求直线的倾斜角11304αα==.故所求直线的斜率13tan 303k ==〔1〕∵所求直线经过点1)-∴所求直线方程是1y x +360y --=. 〔2，在y 轴上的截距为–5， ∴所求直线的方程为5y x =-， 3150y --= [点评]〔1〕由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k 来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x 轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.〔2〕截距和距离是两不同的概念，y 轴上的截距是指直线与y 轴交点的纵坐标，x 轴上的截距是指直线与xx = 0或y = 0求对应截距.例2 直线l 过点P (–2，3)且与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，假设P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.[解析]设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 过点(–2，3)，∴直线l 的方程为y –3 = k [x –(–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得32x k=--.∴A 、B 两点的坐标分别为A 3(2,0)k --，B (0，2k + 3). ∵AB 的中点为(–2，3)∴32023,2202332k k k ⎧--+⎪=-⎪=⎨⎪++=⎪⎩解之得 ∴直线l 的方程为33(2)2y x -=+，即直线l 的方程为3x – 2y +12 = 0.。
高中数学必修2(人教A版)教案—3.2.1直线的点斜式方程
3. 2.1 直线的点斜式方程【教学目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 【教学重难点】重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【教学过程】（一）情景导入、展示目标1．情境1：过定点P （x 0,y 0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？ 学生思考、讨论。
(二)预习检查、交流展示检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（三）合作探究、精讲精炼。
问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？ 学生可能的回答：（1）两个点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）； （3）斜率和直线在y 轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x 轴和y 轴上的截距（学生没有学过直线在x 轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。
问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P 1（2，4）和斜率k =2就能决定一条直线l 。
（1）你能在直线l 上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？ （2）这条直线上的任意一点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足什么特征呢？直线上的任意一点P (x ,y )（除P 1点外）和P 1(x 1，y 1)的连线的斜率是一个不变量，即为k ，即：k ＝0x x y y --， 即y - y 1= k (x - x 1)学生在讨论的过程中：（1） 强调P （x ，y ）的任意性。
（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。
问题3：（1）P 1（x 1，y 1）的坐标满足方程吗？ （2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。
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3.如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程为
这就是直线的斜截式方程，简称斜截式，其中称为直线在y轴上的截距.
思考：1.截距是距离吗？你会求直线y=kx+b在x轴上的截距吗？
2.观察方程y=kx+b,它的形式具有什么特点?它与我们学过的一次函数有什么关系？
（1）经过A（3，－1），斜率是2
（2）经过B（ ，2），倾斜角是30°
（3）经过C（0，3），倾斜角是0°
（4）经过D（－4，－2），倾斜角是120°
2.
(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是,倾斜角是;
(2) 已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1),那么此直线的斜率是,倾斜角是;
二、直线的点斜式方程
1／。／。。。。。 1.点斜式方程是如何得到的？
2.直线的点斜式方程形式是
X轴所在直线的方程是
Y轴所在直线的方程是
3.判断：直角坐标系内的所有直线都有点斜式方程.（ ）
试举例说明.例1:直线l来自过点P0(-2,3),且倾斜角 =45,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.
巩固练习：1.
(2)经过点（1，3）和（2，5）的直线PQ的斜率是( )
A．2 B.-2 C. D.-
(3)斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值是( )
A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3
我们能否用给定的条件将直线上所有点的坐标（x,y）满足的关系表示出来呢？
直线的点斜式方程
教学重点
掌握点斜式、斜截式方程的形式
教学难点
点斜式、斜截式方程的应用过程
学习目标
1．明确点斜式、斜截式方程的形式
2．学会准确地使用点斜式、斜截式方程
活
动
设
计
活
动
设
计
活
动
设
计
一、复习回顾：
确定一1.确定一条直线的几何要素有哪些？
2．选择
(1)若直线x=1的倾斜角为 ,则 =( )
A. 0º B.45º C.90º D.不存在
3．判断：直角坐标系内的所有直线都有斜截式方程.（ ）
例2：已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？
巩固练习：
4．写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是 ，在y轴上的截距是－2
（2）斜率是－2，在y轴上的截距是4
（3）斜率是－1，在y轴上的截距是1
5．判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）l1:y= x+3, l2: y= x-2
（2）l1:y= x, l2:y=
（3）l1:y=3, l2x=0
课堂小结：本节课你学到了什么？请认真总结写在下面。
本节作业：教材第100页第1题（1）（2）（3），第5题
自助餐
1．分别用点斜式和斜截式写出：斜率是2，在x轴上的截距是4的直线方程.
2．直线y=mx+2m+1恒过一定点,则此点是