四川省成都市第七中学2015届高三二诊模拟考试 数学理 扫描版含答案
2015年四川省成都七中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣3≤x≤4}，B＝{x∈R|log2x≥1}，则A∩B＝（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4）D．[2，4]2．（5分）复数z＝在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（，﹣）C．（3，﹣3）D．（，﹣）3．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56B．46，45C．47，45D．45，474．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．25．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位7．（5分）已知不等式组，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是（）A．8B．5C．4D．1+ln28．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）10．（5分）已知整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，则log2t的最大值是（）A．0B．log23C．2D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（x2﹣）6展开式中的常数项为．（用数字作答）12．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出S＝，则判断框内实数p的取值范围是．13．（5分）已知{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，则角θ的取值范围是．14．（5分）已知点O为△ABC内一点，且＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于．15．（5分）若以曲线y＝f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y＝（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y＝f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2＝；④要使得分段函数f（x ）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝﹣5，S5＝﹣20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式S n＞a n成立的n的最小值．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＝（a ﹣b）sin B+c sin C，（1）求角C的值：（2）若c＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，F为PC上一点，且CF＝2FP．（1）求证：P A∥平面BEF；（2）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．（用向量法解答）19．（12分）2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．20．（13分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．21．（14分）已知向量，，（a为常数）．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．2015年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|﹣3≤x≤4}，B＝{x∈R|log2x≥1}，则A∩B＝（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4）D．[2，4]【解答】解：由B中不等式变形得：log2x≥1＝log22，得到x≥2，即B＝[2，+∞），∵A＝[﹣3，4]，∴A∩B＝[2，4]，故选：D．2．（5分）复数z＝在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（，﹣）C．（3，﹣3）D．（，﹣）【解答】解：由复数＝．∴复数在复平面上对应的点的坐标为（）．故选：B．3．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A．45，56B．46，45C．47，45D．45，47【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：＝46．出现次数最多的数是45，故众数是45．故选：B．4．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱柱的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V＝××2×1×2＝．故选：B．5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2；故选：B．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A＝1，T＝4（）＝π，即ω＝2即f（x）＝sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ＝+2kπ，k∈Z又由∴φ＝∴f（x）＝sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）＝sin2x的图象，则2（x+a）+＝2x解得a＝﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）＝sin2x的图象，故选：A．7．（5分）已知不等式组，则目标函数z＝2x﹣y的最小值是（）A．8B．5C．4D．1+ln2【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知当直线经过点A（，﹣ln2）时，截距最大，z取最小值，故目标函数z＝2x﹣y的最小值为1+ln2故选：D8．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b ＝6，故概率为P＝＝设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，∴直线l1、l2相交的概率P＝＝，∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，∴（﹣m）2+（）2＜，解得﹣＜m＜故选：D．9．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＞e2014f（0）B．e2014f（﹣2014）＜f（0），f（2014）＜e2014f（0）C．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＞e2014f（0）D．e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）【解答】解：构造函数g（x）＝，则g′（x）＝．因为∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），并且e x＞0，所以g′（x）＜0，故函数g（x）＝在R上单调递减，所以g（﹣2014）＞g（0），g（2014）＜g（0），即＞f（0），＜f（0），即e2014f（﹣2014）＞f（0），f（2014）＜e2014f（0）．故选：D．10．（5分）已知整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，则log2t的最大值是（）A．0B．log23C．2D．3【解答】解：∵整数a，b，c，t满足：2a+2b＝2c，t＝，∴t＝≤＝当且仅当a＝b时，取最大值，∴当a＝b＞0时，t max＝＝，c＝a+1，∵a，b，c，t是整数，∴a＝1，t＝1，∴log 2t 的最大值为log 21＝0． 当a ＝b ＝﹣2时，c ＝﹣1，t ＝＝4，∴log 2t 的最大值为log 24＝2． 综上所述，log 2t 的最大值是2． 故选：C ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（x 2﹣）6展开式中的常数项为 15 ．（用数字作答） 【解答】解：展开式的通项公式为T r +1＝（﹣1）r C 6r x 12﹣3r 令12﹣3r ＝0得r ＝4∴展开式中的常数项为C 64＝15 故答案为1512．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出S ＝，则判断框内实数p 的取值范围是 （5，6] ．【解答】解：S ＝++…＝（1﹣﹣）＝（1﹣），令S ＝得n ＝5，所以实数p的取值范围是（5，6]．故答案为：（5，6]．13．（5分）已知{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，则角θ的取值范围是[0，]∪[，2π]．【解答】解：∵{a n}是递增数列，且对任意的n∈N*都有a n＝n2+2sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，∴a n+1≥a n，对任意的n∈N*都成立，∴（n+1）2+2sinθ•（n+1）﹣n2﹣2sinθ•n，∴2n+1+2sinθ≥0，转化为2sinθ≥﹣2n﹣1，恒成立，因为n≥1，n∈N*，∴﹣2n﹣1≥﹣3，∴2sinθ≥﹣3，解得sinθ≥﹣，∵θ∈[0，2π]解得0≤θ≤，或≤θ≤2π，故答案为：[0，]∪[，2π]；14．（5分）已知点O为△ABC内一点，且＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于3：2：1．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得＝2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE；则+2＝+＝，∵+2+3＝，∴﹣＝3，又∵＝＝2，∴＝2，∴＝，∴S△ABC ＝2S△AOB；同理：S△ABC ＝3S△AOC，S△ABC＝6S△BOC；∴△AOB，△AOC，△BOC的面积比＝3：2：1．故答案为：3：2：1．15．（5分）若以曲线y＝f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y＝f（x）具有“可平行性”．现有下列命题：①函数y＝（x﹣2）2+lnx的图象具有“可平行性”；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数y＝f（x）的图象都具有“可平行性”；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2＝；④要使得分段函数f（x）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1．其中的真命题是④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：由“可平行性”的定义，可得曲线y＝f（x）具有“可平行性”，则方程y′＝a（a是导数值）至少有两个根．①函数y＝（x﹣2）2+lnx，则（x＞0），方程，即2x2﹣（4+a）x+1＝0，当a＝﹣4+时有两个相等正根，不符合题意；②定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，如y＝x，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）在各点处没有切线，∴②错误；③三次函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b，则f′（x）＝3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m＝0在（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′＝a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y＝e x﹣1（x＜0），y′＝e x∈（0，1），函数y＝x+，＝，由，得，∴x＞1，则m＝1．故要使得分段函数f（x）＝的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m＝1，④正确．∴正确的命题是④．故答案为：④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝﹣5，S5＝﹣20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式S n＞a n成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，依题意，有a2＝a1+d＝﹣5，S5＝5a1+10d＝﹣20，联立得解得，所以a n＝﹣6+（n﹣1）•1＝n﹣7．（Ⅱ）因为a n＝n﹣7，所以，令，即n2﹣15n+14＞0，解得n＜1或n＞14，又n∈N*，所以n＞14，所以n的最小值为15．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＝（a ﹣b）sin B+c sin C，（1）求角C的值：（2）若c＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a sin A＝（a﹣b）sin B+c sin C，由正弦定理，得a2＝（a﹣b）b+c2，即a2+b2﹣c2＝ab．①由余弦定理得cos C＝，结合0＜C＜π，得C＝．…（6分）（Ⅱ）由C＝π﹣（A+B），得sin C＝sin（B+A）＝sin B cos A+cos B sin A，∵sin C+sin（B﹣A）＝3sin2A，∴sin B cos A+cos B sin A+sin B cos A﹣cos B sin A＝6sin A cos A，整理得sin B cos A＝3sin A cos A．…（8分）若cos A＝0，即A＝时，△ABC是直角三角形，且B＝，＝bc＝．…（10分）于是b＝c tan B＝2tan＝，∴S△ABC若cos A≠0，则sin B＝3sin A，由正弦定理得b＝3a．②联立①②，结合c＝2，解得a＝，b＝，＝ab sin C＝×××＝．∴S△ABC综上，△ABC的面积为或．…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，F为PC上一点，且CF＝2FP．（1）求证：P A∥平面BEF；（2）若二面角F﹣BE﹣C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．（用向量法解答）【解答】（1）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．由EM∥CD，∴＝＝＝，∴FM∥AP，又∵FM⊂平面BEF，P A⊄平面BEF，∴P A∥平面BEF；（2）以E为坐标原点，EB，EA，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则设P（0，0，t），由于PE⊥平面ABCD，则向量＝（0，0，﹣t）即为平面BEC的法向量，由于AD∥BC，AD⊥CD，BC＝ED＝2AE＝2，EB＝3，则四边形BCDE为矩形，B（3，0，0），C（3，﹣2，0），由于F为PC上一点，且CF＝2FP，则有F（1，，t），则＝（1，，t），＝（3，0，0），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则即有＝0，即x﹣y＝0，又＝0，即3x＝0，则可取＝（0，1，），由二面角F﹣BE﹣C为60°，则与的夹角为120°，即有cos120°＝＝＝﹣，解得，t＝．即P（0，0，）．PB＝＝2，由于PE⊥平面ABCD，则∠PBE即为直线PB与平面ABCD所成角．在直角三角形PBE中，cos∠PBE＝＝＝．故直线PB与平面ABCD所成角为arccos＝．19．（12分）2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10＝43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60＝9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60＝9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P（X＝2）＝+，．∴随机变量X的分布列为∴E（X）＝＝1．20．（13分）设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴，又点A在椭圆C上，∴＝1，解得|x1|＝|y1|＝．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴＝x1x2+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，∴（1+k2）•，整理，得5m2＝4（k2+1），∴点O到直线AB的距离＝，综上所述，点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣，联立，得，同理，得，∴△AOB的面积S＝＝2，令1+＝t，t＞1，则S＝2＝2，令g（t）＝﹣++4＝﹣9（）2+，（t＞1）∴4＜g（t），∴，当k0＝0时，解得S＝1，∴，∴S的最小值为．21．（14分）已知向量，，（a为常数）．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵（a为常数），∴f（x）lnx＝x（1﹣alnx），∴f（x）＝．（x＞1）．f′（x）＝﹣a（x＞1），∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥的最大值，x∈（1，+∞）．令g（x）＝＝+≤，当lnx＝2，即x＝e2时取得最大值．∴，∴实数a的最小值是．（Ⅱ）f（x）＝．f′（x）＝﹣a．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a ＝，①当a ≥时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）min＝f（e2）＝≤，解得a ≥﹣．②当a ＜时，由f′（x）＝+﹣a，在[e，e2]上的值域为[﹣a ，]．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min＝f（e）＝e﹣ae≥e＞，不和题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即0＜a ＜时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）＝0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，e2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min＝f（x0）＝﹣ax0≤，x0∈（e，e2）．∴a ≥﹣＞﹣＞，与0＜a ＜矛盾．综上可得：a 的取值范围是：．第21页（共21页）。
四川省成都市第七中学高三数学2月阶段性测试试题 理(扫描版)
四川省成都市第七中学2015届高三数学（理）2月阶段性测试试题（扫描版）成都七中2015届高三上期2月阶段性测试数 学 试 题(答案)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=2{|320}x x x -+≥， B={|2,}x x x Z ≤∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2}【解析】集合A={|12}x x x ≤≥或，{|12}R C A x x ∴=<<，B={|2,}x x x Z ≤∈，()R C A B φ∴=.故选A ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi+<+（m R ∈），则m 的值为 A ．12 B ．2- C ．2 D ．12- 【解析】 由22()01i mi +<+，知21i mi ++为纯虚数，222(12)11i m m i mi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B.3.已知直线m ⊂平面β，直线⊥l 平面α，则下列结论中错误的是A.若l β⊥， 则//m αB.若//l m ， 则αβ⊥C.若//αβ，则l m ⊥D.若αβ⊥ ，则//l mC.2014x x e xe +D.2013x e x +【解析】 由0()xf x xe = 得当1i =时， 10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，21()()()2x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A ．352mB ．652mC ．1252mD ．1852m 【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， =会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为A ． 4πB ．3πC ．23πD ． 34π 【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D. 7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1n n n a a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=A.-6B.6C.-1D.1【解析】 由111n n n a a a ++=-可得21n na a +=-，从而可得4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C：22((1x y +=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3πD ． 512π 【解析】 如图，过点O 向圆C 作切线OB ，连结CB ，AOB ∠为OA OB 与所成最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D. 9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=A.3B.3C.8D.16【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,)2p ，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x y p+=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,)2x x p ，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为0x p，又抛物线1C 在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以03x b p a =-=-，解得03x p =-.即(,)36p M p -，又点M 在直线202p x y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =故选A. 10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x+-= (,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．B ． 13a a ><-或C ．1a >D ． 3 【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集. 0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n=⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x +-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根. 211mn a =>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== n m -.此时3a =. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在二项式210)x展开式中含10x 项是第 项. 【解析】 二项式210)x-展开式的通项公式为1022110(1)r r r r r T C xx --+=-510210(1)r r r C x -=- ，令510102r -=，6r ∴=，∴二项式210)x展开式的第7 项. 12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______. 【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα, 所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-. 14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e a s b=-的最大值为 . 【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln a t b =，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12a ab t b a b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e a s b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线；②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”；③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点.其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），把两点代入完美直线l 的方程得y 1=kx 1，y 2=kx 2，两式相减得y 1-y 2=k （x 1-x 2），则（x 1-x 2，y 1-y 2）也在完美直线y=kx 上，且（x 1-x 2，y 1-y 2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==． （1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x )的取值范围；（2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A +B +C =π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分） ∵ 在△ABC 中，Cc B b A a sin sin sin ==，b =1， ∴ C A c a sin 3sin 1sin 3sin 1ππ+⋅=+ )]32sin([sin 332A A -+=π ]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+= )6sin(2π+=A ， 即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分） △ABC 是锐角三角形， 62A ππ∴<<，得3π<x +6π<23π，于是3<)(x f ≤2， 即f (x )的取值范围为(3，2]． （6分）（2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即22212cos 3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 22344ABC S ac B ac ac π∆===≤， 故当a c =时，△ABC. （12分）17.（本小题满分12分）某校高三年级有400人，在省标准化考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X 名女生被选取，求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为[1(0.010.0200.0300.012)10]100.028-+++⨯÷=. （3分）（2）因为样本中，数学成绩在120分以上的频率为1(0.010.020)100.7-+⨯=，（4分） 所以通过样本估计总体（即将频率看作概率），可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有4000.7280⨯=（人）. （6分）（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在[140,150]内的学生共有0.01210506⨯⨯=（人）.于是，由题设知这6人恰好是3男3女.（7分）因为X 的所有可能取值为0、1、2、3，且33361(X 0)20C P C ===，1233369(X 1)20C C P C ===， 2133369(X 2)20C C P C ===，33361(X 3)20C P C ===.（10分） 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：0123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．(12分) 18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM 的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形.（1）求证： PC AB ⊥；（2）求二面角的余弦值.【解析】 （1）由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分） 0.012 0.010E E又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分） （2）解法一 取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM=CN ， ∴MN ∥PC ，MN=PC ，由（1）知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ．易知AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角． （7分） 由三视图可知PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为. 在Rt AEC ∆中，AC=1，0sin 60ACE ACE ∴∠=∴∠=．120ACB ∴∠=， 在ACN ∆中，AN = 在Rt NCH ∆中，060NCH ∴∠=，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=． 在Rt MNH ∆中，∵MH∴cos NH MHN MH ∠==． （11分） 故二面角M AC B --的余弦值为（12分） 解法二 由三视图可知，PM ∥CN 且PM=CN ，∴MN ∥PC ，MN=PC ，由（1）知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为.在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示． 在Rt AEC ∆中，AC=1，12CE ∴=， ∴(0,0,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,1)M ，(0,2,0)B，1,0)2A =- ∴31(,0)2CA =-3(,1)2AM =-． （8分）设平面MAC 的法向量为(,,1)x y =n ，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得3102102x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴(1,1)=-n 是平面MAC 的一个法向量. （10分）又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =，∴21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ． （11分）由图可知二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B -- （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n .（1）求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式n b ； （2）设n n na c =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T . 【解析】 （1） 由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ， 两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分）又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n n b b +=，又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）（2）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ， 所以）（2n )1(12++-==n n na c nn n ， （7分）故]2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ， 设n n F 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n nF ， 作差得1n 22116181412121+-+++++=n n nF ，所以nn F 222n +-=. （9分） 设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ， 则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分） 故2122232121222+++-=+--+-=n n n n Tn n n （. （12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为其离心率e 是方程2230x -+=的根.（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） （2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A 1，A 2，设直线x=4与x 点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A 1M ，A 2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e 是方程的2230x -+=的根，所以c e a ==，2,a c ==21b ∴=. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分）（2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，， 设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12,62A M A M m m k k ==， ∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-，由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,)99m m P m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221my m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQm mm m m k m m m m m m --++∴==≠----++， ∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m my x m m m --∴=-+-++ 22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++ 222233m mx m m =--- 22(1)3m x m =--， ∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =(1,2P ，(1,)2Q -；当m =(1,2P -，(1,2Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分） 已知函数()ln x f x a x bx =+，的图象过点11(,)e e-，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直. （1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]ex ∈（e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围； （3）设函数()f x 的图象上从左至右依次存在三个点(,())B b f b ，(,())C c f c ，(,())D d f d ，且2c b d =+，求证：()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-.【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++因在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直. (1)1f a b '∴=+=. （2分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e-，所以11111()ln a b f a b e e e e e e e=⨯⨯+⨯=-+=-，1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （4分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得， 2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++，若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立，只需t 小于或等于32ln x x x++的最大值，设3()2ln (0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （7分） 当1[,1]x e∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增.33()2ln 2,h e e e e e e =++=++1111()2ln 323h e e e e e e=++=-++， 12()()240h h e e e e ∴-=-->，1()()h h e e ∴>.∴当1[,]x e e ∈时，h （x ）的最大值为11()23h e e e =-++，故123t e e ≤-++，即实数t 的取值范围是1(,2+3e]e-∞-+. （10分）（3）由（1）得()ln ln x f x x x x ==，欲证()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-，只需证()()2()()ln 20f b f d f c d b +---<在(0,),b d ∈+∞、c 、且b d <<c 上恒成立. 令d x =，2c b d =+，2b xc +∴=， 构造函数()()()2()()ln 22b xF x f b f x f x b +=+---， ()()()2()()ln 22b xF x f b f x f x b +∴=+---ln ln 2ln ()ln 222b x b xb b x x x b ++=+-⨯--ln ()ln()2ln x x b x b x b b =-+++，()ln ln()F x x b x '∴=-+， （12分）当a x <时，()0F x '∴<，()F x ∴在(,)a +∞内是单调递减， 故当x a =时，()F x 有最大值()0F a =， 从而当d b >时，有()0F d <. 即()()()2()()ln 202b dF d f b f d f d b +=+---< 故 ()()2()()ln 2f b f d f c d b +-<-. （14分）。
四川省成都市第七中学2015届高三二诊模拟考试数学(理)(扫描版)(附答案) (2)
参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．552； 12．4； 13．12d =±； 14．12；15．①⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ， 由正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C （22sin B ＋22cos B ）＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1即sin(B －C )＝1………6分 (Ⅱ)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223+=s s，∴1)(221321++=++a a a a a则1)1(212++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= ………6分 （Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+ ()()113.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦又∵221nn T n =+- 在[)1,+∞ 上是单调递增的∴12n T T ≥=∴2n T ≥，316T =∴满足17n T <的1,2,3n = ………12分 18.（本小题满分12分）解 （Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为：()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个，平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个， ………2分∴2158313.40143C C P C == ……5分 （Ⅱ）由题意得：平面区域U 的面积为：224ππ⋅=，平面区域V 的面积为：12222⨯⨯=， 在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为2142ππ=， …………6分 X 的可能取值为0123，，，，则()330332111(0)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ππππ； ()21213332111(1)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ππππ；()2123332111(2)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ； 33333111(3)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππ； ………10分 ∴X 的分布列为：…………11分∴()()()32333321321321130123=88882EX ππππππππ---=⨯+⨯+⨯+⨯ …………12分（或者：1~(3,)2X B π，故13=322EX np =⨯=ππ） 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵21==FA CF EB AE ，∴2==AD AF ，而︒=∠60A ，∴ADF ∆是正三角形，又1==DE AE ，∴AD EF ⊥在图2中，EF E A ⊥1，EF BE ⊥，∴EB A 1∠为二面角B EF A --1的平面角． ∵二面角B EF A --1成直二面角，∴︒=∠901EB A ，即BE E A ⊥1 ……….3分 又E EF BE = ，∴⊥E A 1平面BEF ，即⊥E A 1平面BEP ………5分 （Ⅱ）以E 为原点，分别以EA EF ED ,,为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)1,0,0(1A ，)0,0,2(B ，)0,3,0(F ，)0,3,1(P∴)1,0,0(1-=A ，)1,0,2(1-=A ，)0,3,1(-=， …………6分设平面BP A 1的法向量为),,(z y x =，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∙=-=∙03021y x BP m z x B A m ，令1=y ，则3=x ，32=z ， ∴)32,1,3(=m ………8分 由)1,3,0(1-=A ，)0,0,1(=。
(四川试题)四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试.
四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试卷 理（扫描版）成邨七中却迈届二诊側才试数学试・（理科）共 50 分）一，速理題：車大io 题，匍M 盛亍卅+其站龙九0亍 乩I 亍 r . 2 f IX 3个i.「亍椅伞好充代<■〃 R 并哦为50』忖卜壮被挾坤r •sc 甘"只迅稈样車呷彌在［wi tMMWftac Ny^ltti|^［40I SVk ［50r 6»l |^ 的 KUK 牛疏可能是 < > A. 8 W G IL g 或 Lt! G D 和左 D h 13 J, JV 山屁琲冀甲；•■，吋製存（n M 叩的吒虚亍tn ：［）【m > Si |MM0r /谕！i 3 4 j/ i. ilI 壬所示.pg 面匕ABCD Y ）四t IS点是U 方T- EFJ 四牛顶点〔仁Y 保足毘旧'：■■虽.电辅北汗井门一则四商悴ABC1）的三世 图杞I 用I ：』：［1 .計世凰:匸网门 J■I. i9 i”甦字aur 欝曲 具体需则挨斷云的猩序庖圈典行（其申■为I 宀；；•——■■诟’、|'.1 沁 ::肓LT ..C^，:, !'.'J L加< ）k S B. 15 匚却 D. 36 E.卜-列佔锂rl ：腆的址,）异00 ■理■丄芥垂直, ■祁庄互相蚤直的TH-^分卅过si Mlilfl 内说令ID 吋一据或即打节怕 b. ri*i n ./r *fi.则ii 灯i*i •点灯无救噪氏灶勺#卑n.6. L'U1^&> -^Ja/cftV-j i- ibMft 为 0,期乃二"氏线A-二城览阳僮的•茱时祗 >r1i 则F 面希式中苻件塞件的縈師兀为( )才 ^T"A. r ■ Zffinl'iiT * —l * 2B. r * 2! !KIH (2 IT + -1 *2b3L… r ■ 2 s|i|| 4.T * —| f-3 IJ_ i - *4 si^(4 J + —*i6二宦瓷k ：畔”•-为：- —希監 /h = i“D ・S 则诸讷貌的佃黑大2- ' > 0 #ft It <、林*肌乍■”甘貝-窝学宇一 11 T, /一睥苗字岸「便甘罠冋•牛驱崛五冋0科戎p 刑拋側4十 m I - W1 <> r就点 心.和的叩黑宀点P 到盹搏氓”审的押禺上琴<乩f ：iil .、ifi 剖无H 大摊 乩仃时人嗨们七廉卜值 匚范祀晕小也”只无D.规右掘怡氓只召員人伉 佩运X 圧IU 卜的确垃 小価疋- I TiJx^cMx) (e芬1i xg 时.”’2L ・|,j|一X ：的时村应附戌好别为和■,./! i.n - "%川*』-<!>,. /u,k ).'.心I., 5i\i» (* c 冉仃下列命宅:』："］「*"'密 J* H -G 、'时■■ fj *,、■ i 1-1 (1 -■ | 7 ** ：呈 i_. " -』”・r""：込拧 w%,"叫在冋—条白Fk 卜.-划¥-n 或"I ； ®z 叫.匕样冋 煤匚临内专HI ・X 平杯轴为对*轴刊Pfi 掲涯I ：.弧・JT 舐十.我中It •■韵M 前<)第II 徴非J#择题共W0血二、境空!&：5鲁小題£分・共些分.J1.軾曲师.丄-「・1的用虫利爭邊池的炽禺牛于^4o 兰m13,已知黄于"的下帶成詛 止一.-二」浙和爪的半聞1«城的面股対.蛊+』一2兰013.部目躺」叫宀•叫,“叫㈣遲公签为d 的等蓋绘列n 口这蛆敎弼的力豪爭丁1"即舍羞孑等FMtn 实克*内扯间［①町内的蔵申itt 期曲散门丄”上〉"的跑域为*的*1车等r ________ .<15. F弭命酉H 朝I最“d 卜卜.M"的范藝藁fk 轴釵门Jr2|「l|*7Z 的网牛春点井别加、兮咛「吧小 学严严」■*：^HBCt 三十三-址“亠丹》口>的左石尖点汁別为「心・-堆齐屮耳尸为甘 h ^-ffjrj-期快甌C 旳禺心申1R 值他鬧址｛二.「］:A .C30n.16e 将用、乙寻四暂学H ”到三卜冬间的班. 廿注的衽臥, ) 圭肾虫救虬・d 构述j 卡酱unwftdb^.—• J■■的嵩心事为 或 V 7L⑤奚立貝」沁…石-J JTTT-确K的取in范阳为：叫|」|皿二0|.H屮陌右牌命越的乍号为 _ .三.WWH；車衣魂共h小題，井¥井16.〔治卜国満亦\2^>*■KI !期1 ■!』逊「申-的』」■匸的叶边甘别为心拭K Hft-iial~+ C |i -t ssm*+ J B I * a .4 4【门求’idM-f、田wv HMfiy-jr求A』广旳面枳一17. <匸個粉12 >已咖t眷比説剧［叫I的軌啜和沟》.“ i）h：“g;躬逋顷公<n）拧現弭汕详満足“■=力-1".・R"」的前鼻顶和匚”求满足匚MH的新0« -诃” < X進满牯12卄）仪忙和训宦的¥闻£域为厂-IdJ I"碑罡的平囲1€城冲丄.I 1 ）定也帕瞅蟄标均为曲戟的点为“嘩点二在1工埔匚内任取M忖“点*求迖些強点单谕育2个野点范<Hr的啊率：<n>在恒卓I IMF：取9亍不问点t 1：「疋対粹内」-记輕站-点淮IK域厂的牛盘为疋.求府的仲申列和垃学絹13.（本卜理淸12 if）/：I 吋：曲中-―丿付别徙如M" 辿上的点■讲址竺-兰一-M-丄I如国"拘△逝祸样in FAm 1*T«^A4,O 的f・f 性二面-e ；；'：:tl'ifH.A 蜡叫见<ura2).< I ) /Ri ■ J, A 1 屮曲£UJ' L< li)戒二itj鮒H”斗广・上的*弦fflmi勺圈.。
成都七中2015届二诊模拟理科数学
n2
f ( x3 )),
, An ( x n , f ( x n ))
n2
( n N )，有下列命题：
f (x) c
(1
3)
；② x n
， yn
c
；
③若 A1 , A 2 , A 3 , ④若 A1 , A 2 ,
, An
, An
在同一条直线上，则 c
2
或c
1；
1 6 , 2 0 ．
其中所有真命题的序号为 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分 12 分）
．
已知 A B C 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 b s in ( (Ⅰ)求 s in ( B C ) 的值；(Ⅱ)若 a
4
则该函数的图象大
y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 x –3 –2 –1
y 5 4 3 2 1 O 1 x
A． B． C． D． 8．将甲、乙等四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同 分法的种数为（ ）
A .1 8 B .2 4 C .3 0 D .3 6
C ) c s in (
4
B) a . A
4
2 ，求 A B C 的面积．
17． （本小题满分 12 分）
* 已知递增等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ， n N ， a 1 1 ，且 S 3 2 S 2 1 .
（Ⅱ）若数列 b n 满足 b n 2 n 1 a n ，且 b n 的前 n 项和 T n ，求满足 T n 1 7 的所 （Ⅰ）求数列 a n 的通项公式； 有n ．
2015级成都二诊答案_数学(理)
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４ １ ������������������������１ ０分 P ２ ５ ３ ３ ７ １ １ ( 元) ㊀㊀ X 的数学期望为 E ． ８ ． ������������������������ １ ２分 X ＝ １ˑ ＋２ˑ ＋３ˑ ＋４ˑ ＝ １ １ ０ １ ０ ０ ５ ２ ５ ( 解: 连接 MD , F D． １ ９． Ⅰ) , 为菱形 且 øF 四边形 ȵ B D E F B D ＝６ ０ ʎ, ʑәD B F 为等边三角形 ． ������������������������２ 分 ʑDM ʅ B ȵM 是 B F 的中点 , F． 又 D 是A ȵA B ʅB C, A B ＝B C ＝ ２, C 的中点 ,
１ ３ ң １ ３ ң ң , ) , , , ) , , ) , ʑA E＝ ( １ E F＝ ( １ ０ ０ B F＝ ( ０ － , － , ２ ２ ２ ２ ң ( , ,) B C ＝ －１ １ ０ ． ㊀㊀ ������������������������６ 分 设平 面 A E F, 平 面 B C F 的 法 向 量 分 别 为 , , ) , ( ( m＝ x n＝ x z ． １y １z １ ． ２y ２, ２) ì ３ ï １ ң ������ A E m ＝０ ï－ ２x１ ＋y１ ＋ ２z１ ＝０ 由 ң ⇒í ． E F ������m ＝０ ï１ ï x１ ＝０ î２
４． D; １ ０． D; ５． C; １ １． A; ６． B; １ ２． A．
第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ ０ 分)
( 解: １ ７． Ⅰ) x)＝ f(
１ ; ㊀㊀１ ４． ２ ４; ㊀㊀１ ５． ２２; ㊀㊀１ ６．பைடு நூலகம்１ １ ７ ６． ３ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理)试题 Word版含答案
成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）A ．[0,2] B. [1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ）A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A ． ()cos(1)f x x =+B.()f x =C.()tan f x x = D.3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个10.设函数()x f x π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+|a b |-=则a b ⋅=12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，， 则sin B =13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ；BADC. PD CBAP③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.在四棱锥P A B C D -中，PD ⊥平面A B C D ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式； （2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆222210:()x y M a b a b +=>>的长轴长为22124x y +=第（17）题图有相同的离心率. (I )求椭圆M 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.21. 已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x l n ()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；(3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ C ）B.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D.0||,2000≥+∈∃x x R x2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ B ）（A ）[0,2]（B ）[1,3)（C ）(1,3)（D ）(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（D ）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ=（D ）sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ A ） (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( A ) (A) ()cos(1)f x x =+(B) ()f x =(C) ()tan f x x =(D) 3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ D ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ B ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个10.设函数()s i n x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ B ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 1414.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .112π+15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质BADC. P)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ； ③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数 ①② ③三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x 2k pp?，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ．……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且x 2k p p?，k ∈Z }．………………………………………………12分17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解：(1)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分yD CBAP18.在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面A B C ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.证明：(Ⅰ)在四棱锥P ABCD -中，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥. 因为90BCD ∠=︒， 所以BC CD ⊥.因为PDDC D =, 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ,所以BC PC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz . 不妨设1=AD ，则2===PD CD BC .则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P .所以(1,0,2)=-PA u u r ，(2,2,2),(0,2,2)=-=-PB PC u u r u u u r.设平面PBC 的法向量(,,)=x y z n .所以 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uu u r PB PC n n .即2220,220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令1y =，则0,1x z ==.所以(0,1,1)=n所以cos ,<>==uu rPA n 所以PA 与平面PBC所成角的正弦值为5. ………8分所以DF PC ⊥. 因为BC ⊥平面PCD ， 所以DF BC ⊥.因为=PC BC C I , 所以DF ⊥平面PBC . 所以AE ⊥平面PBC .即在线段PB 上存在点E ,使AE ⊥平面PBC .（法二）设在线段PB 上存在点E ,当(01)=<<u u r u u rPE PB λλ时，AE ⊥平面PBC .设000(,,)E x y z ，则000(,,2)=-PE x y z uur.所以000(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-.即0002,2,22x y z λλλ===-+.所以(2,2,22)E λλλ-+.所以(21,2,22)=--+AE λλλu u u r.由(Ⅱ)可知平面PBC 的法向量(0,1,1)=n . 若AE ⊥平面PBC ，则//u u u r AE n .即=u u u r AE μn .解得1,12λμ==.所以当12=PE PB uur uu r，即E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC . ………12分19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式；（2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.(I )求椭圆M的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明． 解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x x x+=--== ………2分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==- ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔> 所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …4分（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++ 令(1)(1l n )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'== 令()l n (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号． 所以()l n h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>．……6分 因此，2()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，m i n ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ …………………8分（3）(方法一)由（2），当1x ≥时，即12)(+≥x x f ，即12ln 1+≥+x x x ． 从而x x x 21121ln ->+-≥．………..10分 令1(1,2,,)k x k n k +==，得,22112ln -> 322ln123⋅>-， ……12ln 11n n n n +⋅>-+将以上不等式两端分别相加，得123ln(1)2()2341n n n n +>-+++++ 1123ln 2()12341n n n n ∴<++++-++ ………………………14分 （方法二）1=n 时，2ln 11ln -=+n < 011132212=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n 猜想11ln +n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<132212 对一切*N n ∈成立。
【精选高中试题】四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试题Word版含答案
成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．2 B ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC =（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
成都市2015级高中毕业班摸底测试理科数学试题(含答案)
( 以点 A 为 坐 标 原 点 , Ⅱ) A B 所 在 直 线 为x 轴, 建立如图所示的空间直 A B C 的直线为z 轴 , 角坐标系 A x z． y ) , ) , ) , 易知 C( ０, ２, ０ A１( ０, ２, ２ B( ２, ０, ０ 过点 A 作垂直于平面 A C 所在直 线 为 y 轴 ,
５
i＝１
i＝１
１ ������－ ∵ a＝ b x, ∴ a＝－ ． y ２
∧ ∧ ∧
∧ １ １ ∴ 所求线性回归方程为 y＝ x－ ． ２ ２
高三数学 ( 理科 ) 摸底测试参考答案第 共 ４页) １ 页(
( 根据列表 , 设 １ 号至 ５ 号 小 白 鼠 依 次 为 a１ , 则在这５只小白鼠中 Ⅱ) a２ , a３ , a４ , a５ ． 共１ a２ a３ a４ , a２ a３ a５ , a２ a４ a５ , a３ a４ a５ , ０种． ������������������������９ 分
数学 ( 理科 ) 参考答案及评分意见
( 一、 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． B; ７． B; ２． A; ８． C; 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ４． C; ５． A; ６． C;
成都市 ２ ０ １ ５ 级高中毕业班摸底测试
３． C;
９． D;
１ ０． D;
{
( , 由( 得 f( Ⅱ) ∵ a＞０, Ⅰ) x) ＝x３ ＋３ x２ －９ x＋９． ∴f ′( x) ＝３ x２ ＋６ x－９． ) ) ∴f( －２ ＝３ １, ′( －２ ＝－９． f
经检验符合题意 ．
a＝－２ , 或 ． b＝－９ b＝１
a＝３
{
∴ 所求切线方程为 ９ x＋ ３＝０． y－１
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(理)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2x x R x ”的否定是（）A.0||,2x x R xB. 0||,2x x R xC. 0||,2000x x R xD. 0||,2000x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】 C 解析：解：∵命题0||,2x x R x 是全称命题，∴命题0||,2x x R x 的否定是：0||,2000x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．2．设集合{||1|2}Ax x ，{|2,[0,2]}x B y y x ，则A B （）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3)D.(1,4)【知识点】交集及其运算．【答案解析】 B 解析：解：{||1|2}A x x ={x 丨﹣1＜x ＜3}，{|2,[0,2]}xB y y x ={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}，故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．3．在极坐标系中，过点22(,)且与极轴平行的直线方程是（）A ．2ρ B.2θ C. cos 2ρθ D.sin =2【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解.【答案解析】 D 解析：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ．【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a ，则下列关系式恒成立的是（）。
2015届成都二诊数学(文、理)答案2012级(2015年3月19日)
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四川省成都市第七中学高三数学二诊模拟试卷 文(扫描版
四川省成都市第七中学2015届高三数学二诊模拟试卷文（扫描版）成都七中2015届二诊模拟考试 数学（参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．552； 12．4； 13．12d =±； 14．13；15．①⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，由正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C （22sin B ＋22cos B ）＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1即sin(B －C )＝1………6分 (Ⅱ)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223+=s s，∴1)(221321++=++a a a a a则1)1(212++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= ………6分（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+()()113.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦又∵221nn T n =+- 在[)1,+∞ 上是单调递增的∴12n T T ≥=∴2n T ≥，316T =∴满足17n T <的1,2,3n = ………12分 18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ∥CD ，MNEF CD ==，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ， 又∵NC⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NEx =，则4EC x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN 的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=- 21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-， 即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2． ……12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）第3组的人数为0.06510030⨯⨯=，第4组的人数为0.04510020⨯⨯=， 第5组的人数为0.02510010⨯⨯=．所以第3,4,5组共60名志愿者． 利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数为： 第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯=． 所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人，2人，1人． ……6分（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为1B ，2B ，第5组的1名志愿者为1C ．从6名志愿者中取2名志愿者有：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共有15种方法． ………9分其中第4组的2名志愿者1B ，2B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ．共9种．所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93155=． ……………12分20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)曲线W 的标准方程为22143x y +=． ……6分（Ⅱ）略（Ⅲ）设Q(11,x y ），22(,)R x y ，则11'(,)Q x y -联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(34)24360m y my +++=222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，即24m >由韦达定理有12212224,(1)3436,(2)34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……７分直线RQ 的方程为211121()y y y x x y x x +=---令0=y ，得122112121212121212(4)(4)24()x y x y my y y my my y y y x y y y y y y ++++++===+++ 将（1），（2）代人上式得1=x ，又121||||2TRQ S ST y y ∆=-==18≤，当3282=m 时取得． ………11分此时TRQ S =V ，直线l：3120x +-=或3120x --=．……13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……2分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……4分（Ⅱ）因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……6分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……8分 （Ⅲ）因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e+=，所以'1ln 1()x x x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1x xx x x e e-+⋅--<+． ……10分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+．① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 ． 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+．② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<．综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+．即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……14分。
四川省成都市第七中学2015届高三数学2月阶段性考试试卷(解析版)
成都七中2015届高三2月阶段性测试数 学 试 题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合A=2{|320}x xx -+>， B={|2,N*}x x x <∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2} 【解析】集合A={|12}x x x <>或，{|12}R C A x x ∴=≤≤，B={|2,*}x x x N <∈，(){1}R C A B ∴=，故选B ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi+<+（m R ∈），则m 的值为A ．12B ．2-C ．2D ．12-【解析】 由22()01i mi +<+，知21imi++为纯虚数，222(12)11i m m i mi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B. 3.已知命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 因为命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，所以¬p ：12x y ==且，¬q: 3x y +=，所以¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒¬p ，等价于q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的必要不充分条件. 4. 在如图所示的程序框图中，若0()x f x xe =，则输出的结果是A.2016x x e xe +B.2015x x e xe +C.2014x x e xe +D.2013x e x + 【解析】 由0()x f x xe = 得当1i =时，10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，21()()()2x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为 A ．352m B ．652m C ．1252m D ．1852m 【解析】 由几何概型的概率计算公式可知，=会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为 A ．4π B ．3πC ．23πD ． 34π【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b ==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D.7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1nn na a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=A.-6B.6C.-1D.1 【解析】 由111n n na a a ++=-可得21n n a a +=-，从而可得4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C ：22((1x y +=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3π D ．512π 【解析】 如图，过点O 向圆C 作切线OB，连结CB ，AOB∠为OA OB 与所 成的最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D. 9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=A.3 B.3【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,)2p，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x yp +=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,2x x p，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为x p，又抛物线1C 在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以0x b p a =-=0x p =.即(,)6pM p，又点M 在直线202px y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =,故选A.10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x+-= (,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．3B ． 13a a ><-或C ．1a >D ． 3 【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集. 0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x +-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x+-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根. 211mn a=>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== n m -取最大值为3.此时3a =. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 .【解析】 由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++.12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______. 【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα, 所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-. 14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e as b =-的最大值为 .【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln at b=，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12aa b t ba b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e as b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线； ②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”； ③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点. 其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线y=，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），把两点代入完美直线l 的方程得y 1=kx 1，y 2=kx 2，两式相减得y 1-y 2=k （x 1-x 2），则（x 1-x 2，y 1-y 2）也在完美直线y=kx 上，且（x 1-x 2，y 1-y 2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==．yC（1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x )的取值范围； （2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A +B +C =π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分）∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b =1， ∴ CA c a sin 3sin 1sin 3sin 1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+=)6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分）△ABC 是锐角三角形， 62A ππ∴<<，得3π<x +6π<23π，于是3<)(x f ≤2， 即f (x )的取值范围为(3，2]． （6分）（2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22212cos3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 223ABC S ac B ac π∆===≤， 故当a c =时，△ABC的面积的最大值为4. （12分） 17.（本小题满分12分）2015年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”，为了解居民家庭月均用水量（单位：吨），从社区5000住户中随机抽查100户，获得每户2014年12月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（2）设A1，A2，A3是月用水量为[0，2）的家庭代表．B1，B2是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率．【解析】（1）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．故2b=100﹣92=8，得b=4．由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所以家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．（6分）（2）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数．又基本事件的总数为10，所以．即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为．（12分）18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形，点E、F分别是AB、AP的中点.（1）求证：PC AB；（2）求证：EF∥平面BMC（3）求三棱锥M-ABC的体积.）20 0.20）12 0.12） b【解析】（1）由三视图可知， 平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分）又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分）（2）连接PB ．∵点E 、F 分别是AB 、AP 的中点， ∴EF 是ABP ∆的中位线， ∴EF ∥PB ，又PB ⊂平面BMC ，EF ⊄平面BMC ，∴EF ∥平面BMC . （8分）（3）由（1）知PC ⊥平面ABC ，由三视图可知PM ∥BC ， PC= 1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为PM ∥平面ABC ，∴点M 到平面ABC 的距离为PC=1，∴1122222ABC S BC AG ∆=⨯=⨯⨯=，∴三棱锥M-ABC 的体积为11133M ABC ABC V S PC -∆=∙==. （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n . （1）求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式n b ； （2）设n n na c =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T . 【解析】（1）由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ， 两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分） 又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n n b b +=， 又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）（2）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ， 所以）（2n )1(12++-==n n na c n n n ， （7分） 故2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ， 设n nF 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n n F ， 作差得1n 22116181412121+-+++++=n n n F ，所以n n F 222n +-=. （9分）设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ， 则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分） 故2122232121222+++-=+--+-=n n n n T n n n ）（.（12分） 20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为e 是方程2230x -+=的根（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A 1，A 2，设直线x=4与x 于点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A 1M ， A 2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e是方程的2230x -+=的根，所以2c e a ==，2,a c ==21b ∴=. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分）（2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，， 设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12,62A M A M m m k k ==， ∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-， 由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,)99m m P m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221my m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQm mm m m k m m m m m m --++∴==≠----++，∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m m y x m m m --∴=-+-++22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++ 222233m m x m m =--- 22(1)3m x m =--， ∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =时，P ，(1,Q ；当m =时，(1,P ，Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分）已知函数()ln x f x a x bx =+（(0,)x ∈+∞的图象过点11(,)e e -，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.（1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]ex ∈（e 为自然对数的底数，且e =2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围. 【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++ 又在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.(1)1f a b '∴=+=. （3分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e-， ∴11111()ln a b f a b e e e e e e e=⨯⨯+⨯=-+=-， 1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （5分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得，2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++， 若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于32ln x x x++的最大值， 设3()2ln (0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （8分） 当1[,1]x e∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增. 33()2ln 2,h e e e ee e=++=++1111()2ln 323h e e e e e e =++=-++， 12()()240h h e e e e∴-=-->， ∴1()()h h e e>， 故当1[,]x e e ∈时，h （x ）的最大值为11()23h e e e=-++， 故123t e e ≤-++，即实数t 的取值范围是1(,2+3e]e -∞-+. （14分）。
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成都七中2015届二诊模拟考试数学（参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．552； 12．4； 13．12d =±； 14．12；15．①⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，由正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C （22sin B ＋22cos B ）＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1即sin(B －C )＝1………6分 (Ⅱ)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223+=s s，∴1)(221321++=++a a a a a则1)1(212++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= ………6分 （Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+ ()()113.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦又∵221n n T n =+- 在[)1,+∞ 上是单调递增的 ∴12n T T ≥=∴2n T ≥，316T =∴满足17n T <的1,2,3n = ………12分 18.（本小题满分12分）解 （Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为：()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个，平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个， ………2分∴2158313.40143C C P C == ……5分 （Ⅱ）由题意得：平面区域U 的面积为：224ππ⋅=，平面区域V 的面积为：12222⨯⨯=， 在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率为2142ππ=， …………6分 X 的可能取值为0123，，，，则()330332111(0)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ππππ； ()21213332111(1)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ；()2123332111(2)1228P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ； 33333111(3)1228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππ； ………10分 ∴X 的分布列为：…………11分∴()()()32333321321321130123=88882EX ππππππππ---=⨯+⨯+⨯+⨯ …………12分（或者：1~(3,)2X B π，故13=322EX np =⨯=ππ） 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵21==FA CF EB AE ，∴2==AD AF ，而︒=∠60A ，∴ADF ∆是正三角形， 又1==DE AE ，∴AD EF ⊥在图2中，EF E A ⊥1，EF BE ⊥，∴EB A 1∠为二面角B EF A --1的平面角． ∵二面角B EF A --1成直二面角，∴︒=∠901EB A ，即BE E A ⊥1 ……….3分 又E EF BE = ，∴⊥E A 1平面BEF ，即⊥E A 1平面BEP ………5分 （Ⅱ）以E 为原点，分别以EA EF ED ,,为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系， 则)0,0,0(E ，)1,0,0(1A ，)0,0,2(B ，)0,3,0(F ，)0,3,1(P∴)1,0,0(1-=A ，)1,0,2(1-=A ，)0,3,1(-=， …………6分设平面BP A 1的法向量为),,(z y x m =，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∙=-=∙03021y x z x A ，令1=y ，则3=x ，32=z ， ∴)32,1,3(= ………8分由)1,3,0(1-=F A ，)0,0,1(=FP 。
设平面AFP 的法向量为),,(z y x =．∴⎪⎩⎪⎨⎧==∙=-=∙0031x FP n z y F A n ，令1=y ，则0=x ，3=z ，∴(0,1,3)n =……10分 设二面角F P A B --1的大小为ϕ，且ϕ为钝角则87247||||cos -=⨯-=⋅=n m ϕ ……12分 20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)曲线W 的标准方程为22143x y +=． ……6分 （Ⅱ）答案略（Ⅲ）设Q(11,x y ），22(,)R x y ，则11'(,)Q x y -联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(34)24360m y my +++=222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，即24m >由韦达定理有12212224,(1)3436,(2)34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩……７分直线RQ 的方程为211121()y y y x x y x x +=---令0=y ，得122112121212121212(4)(4)24()x y x y my y y my my y y y x y y y y y y ++++++===+++ 将（1），（2）代人上式得1=x ，又121||||2TRQ S ST y y ∆=-=18=181≤，当3282=m 时取得． ………11分此时334TRQ S=，直线l ：3120x+-=或3120x --=．……13分 21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)1)(-='x ax f ,b x x g +='2)( 由题知⎩⎨⎧-='⋅'=1)2()2()2()2(g f g f ,即⎩⎨⎧-=++=1)4(240b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a(Ⅱ))()1()(x g x f x F -+==)(ln 2bx x x a +-,b x xax F --='2)(由题知⎩⎨⎧=='0)1(0)2(F F ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01042b b a解得6a =,1b =-∴2()6ln ()F x x x x =--,126)(+-='x x x F =xx x )2)(32(-+- ∵0x >,由()0F x '>,解得02x <<;由()0F x '<,解得2x > ∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,)+∞单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1(0,2)x ∈,2(2,)x ∈+∞又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ，∴0x ∈(3,4),故n =3 (Ⅲ) ()()112122ln34ln22x a x x x x a x -+>-++-或()()112122ln 34ln 22xa x x x x a x +-<-++- 即()()112122ln234ln 2x a x x x x a x --++->- 即22111222ln [(2)]ln [(2)]34ln 2a x x a x a x x a x -+--++->-令2-=a b ，即12()()34ln 2F x F x ->-当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2x a x x a -+-,)2(2)(---='a x x a x F (2)(1)x a x x-+-=, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两根为2a -,1, 由题知|-2a -1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0又∵a <0,∴a <-4,此时-2a>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:∴|)(1x F -2()F x |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2a )―F(1)=ln(a ―2a )+412a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ϕ,则121)2ln()(++-='a a a ϕ211)(+=''a a ϕ,∵4a <-,∴114a >-,∴11()02a a ϕ''=+>∴)(a ϕ'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ϕ'<=-')4(ϕ012ln <- 从而)(a ϕ在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ϕ>)4(-ϕ=3-42ln 所以12()()34ln 2F x F x ->-.。