利用二重积分解决有关定积分的问题
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
二重积分计算及其应用（已处理）
二重积分计算及其应用包头师范学院本科毕业论文题目:二重积分的计算及其应用学生姓名:学院:数学科学院专业:数学与应用数学班级:08本一班指导教师: 讲师二 ? 一二年五月二重积分计算及其应用内容摘要在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。
掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。
对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。
关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。
关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculationof double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades目录内容摘要 (2)关键词 (2)引言 (7)二重积分的定义 (8)二. 二重积分的计算 (8)(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)若函数关于是奇函数 (9)若函数关于是偶函数 (9)(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)若函数关于是奇函数 (10)若函数关于是偶函数 (10)(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的 (10)四.二重积分的性质 (13)五.应用二重积分的性质解题 (14)(一)证明不等式 (14)(二)确定积分值的符号 (14)(三)估计积分之值 (15)(四)求极限 (16)六.二重积分的应用 (17)(一)曲面的面积 (17)1.曲面由显函数给出的情形 (17)2.曲面由参数方程给出的情形 (18)(二)平面薄片的重心 (19)(三)平面薄片的转动惯量 (20)(四)平面薄片对质点的引力 (21)结语 (23)参考文献 (24)引言在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
二重积分的计算与应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.二重积分的概念 (1)1.1二重积分的定义 (1)1.2可积条件 (2)1.3可积类 (2)1.4二重积分的性质 (2)2.二重积分的计算方法 (3)2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3)2.2二重积分的变量变换 (4)2.2.1普通情况下的变换 (4)2.2.2极坐标计算二重积分 (4)3.广义二重积分 (6)4.二重积分的应用 (6)4.1体积 (7)4.2曲面的面积 (8)4.3其它 (8)参考文献 (9)二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法.关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method.Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助.1.二重积分的概念1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D的任何分割T，当它的细度||T||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||ni i i i f J ξσσε=∆-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称为(,)f x y 的二重积分，记为(,)σDJ f x y d =⎰⎰.1.2[]1可积条件二重积分的可积条件与定积分类似(1)必要条件：函数(,)f x y 在D 上可积，则(,)f x y 在D 上必有界. (2)充要条件：①函数(,)f x y 在D 上可积s S =⇔(其中S ，s 分别为在上的上积分和下积分). ②函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得()().ε<-T s T S③函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得.1εσω<∑=∆ni i i1.3[]1可积类(1)有界闭区域D 上的连续函数必可积.(2)若(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且仅在D 内有限条光滑曲线上不连续，则(,)f x y 在D 上可积.1.4[]2二重积分的性质性质4.1（线性性） (,)σ(,)σDDkf x y d k f x y d =⎰⎰⎰⎰.性质4.2（线性性）[](,)(,)σ=(,)σ(,)σDDDf x yg x y d f x y d g x y d ±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.3（分段可加性）1212(,)σ=(,)σ+(,)σD D D D f x y d f x y d f x y d +⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.4（保不等式性） 设(,),(,)(,)x y D f x y g x y ∀∈<, 则 (,)σ(,)σDDf x y dg x y d <⎰⎰⎰⎰.性质4.5 设(,)m f x y M ≤≤,则(,)σDm f x y d M σσ≤≤⎰⎰其中σ表示D 的面积.性质4.6 (二重积分的中值定理)设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D S 是D 的面积，则∃（ζ，η）∈D 使得(,)Df x y ⎰⎰σd =(,)f ξηDS.其中中值定理的几何意义：以D 为底，z=(,)f x y ((,)f x y ≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于(,)f x y 在区域D 某点的函数值(,)f ξη.2.二重积分的计算方法定理1 设在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈积分存在，则累次积分(,)b d acdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)σ=(,)b d acDf x y d dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰.另外，同理(,)σ=(,)db caDf x y d dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰.2.1[]4直角坐标系下的二重积分的计算此方法的关键就是化二重积分为累次积分，对于一般区域，通常可以分为以下两种区域进行计算：①X 型区域：平面点集12{(,)|()(),},D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ 则化二重积分为累次积分21()()(,)σ(,)bx a x Dy f x y d dx f x y dy y =⎰⎰⎰⎰. ②Y 型区域：平面点集{12(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤则化二重积分为累次积分21()()(,)σ=(,)dy c y Dx f x y d dy f x y dx x ⎰⎰⎰⎰. 例1 设D 是由直线0,1x y ==及x y =围成的区域，试计算22()y DI x e d σ-=⎰⎰.解 利用Y 型区域积分：231123001()3yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰.由分部积分法得 1163I e=-. 例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2,2y x x y ==及3x y +=所围的三角形区域.解 利用X 型区域，则相应的221()2(01),()3(12),2x y x x x y x x x y =≤≤=-<≤=所以 1223012212x x x x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ =32. 2.2[]5 二重积分的变量变换定理2 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T: (,),(,)x u v y u v ==将uv 平面由按段光滑闭曲线所围成的闭区域∆一对一的映成xy 平面上的闭区域D ,函数(,),(,)x u v y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 (,)0(,)(,)x y J u v u v ∂=≠∈∆∂， 则 (,)((,),(,))|(,)|D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰. 2.2.1普通情况下的变换例3 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围成的区域D 的面积S （0,0m n αβ<<<<）.解 D 的面积DS dxdy =⎰⎰为了简化积分区域，做变换2,,u ux y v v==则[][],,m n αβ∆=⨯.由于4(,)(,)(,)x y uJ u v u v v ∂==∈∆∂,所以 22334433()()6n m Du dv n m S dxdy dudv u du v v βαβααβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.2.2极坐标计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分时，或者背积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换T ：cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==≤<+∞≤≤, 则 (,)(,)(,)x y J r r u v θ∂==∂.定理3 设(,)f x y 满足定理1的条件，且在极坐标变换下xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰.二重积分在极坐标下化为累次积分有以情况：1.θ型区域：若原点o D ∈，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交与两点,则必可表示为12()(),r r r θθαθβ≤≤≤≤, 于是有 2()1()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰.R 型区域：若平面上的圆r =常数与D 的边界至多交与两点，则∆必可表示为1212()(),r r r r r θθθ≤≤≤≤,于是有 2211()()(,)(cos ,sin )r r Dr f x y dxdy rdr f r r d r θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.2．若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆必可表示成为0(),02r r θθπ≤≤≤≤,于是有 2()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰.3．若原点O 在D 的边界上，则∆为0(),r r θαθβ≤≤≤≤, 于是有 ()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰.例4 计算I=D其中D 为圆域.122≤+y x解 由于原点为D 的内点故有210Dd πθ=⎰⎰[].212010202πθθππ=--=⎰⎰d d r例5 求球体2222x y z R ++≤被圆柱体22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼体（Viviani ））.解 由所求立体的对称性，只要求出第一卦限的部分体积后乘以4即可.在第一卦限内的体积是一个曲顶柱体，其底为xy 平面内由0y ≥和22x y Rx +=所确定的区域，曲顶的方程为z =所以4DV σ=.其中D={}22(,)|0,x y y x y Rx ≥+≤，用极坐标变换后有cos33322004424(1sin )()3323R V d R d R ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰.3[]4.广义二重积分若在无界区域D 上(),0,≥y x f 则()σd y x f D⎰⎰,收敛⇔在D 的任何有界子区域上f 可积,且积分值有上界.例6 证明反常积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛,其中[)[);,0,0+∞⨯+∞=D 并由此计算概率积分.02dx e x ⎰+∞-证明 设(),,)(22y xe y xf +-= 则显然()y x f ,在[)[)+∞⨯+∞=,0,0D 上非负.设,0,0,:222≥≥≤+y x R y x D R 则).1(4r 2222020)(R Rr Dy x e e d d e--+--==⎰⎰⎰⎰πθσπ显然对D的任何有限子集'D ,只要R 充分大,总可使得,'R D D ⊂ 于是有.4'22'22)()(πσσ≤≤⎰⎰⎰⎰+-+-d e d e Dy xDy x即广义积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛.记,2dx e I x ⎰+∞-=则.))(()(022222dxdy e dy e dx e I Dy xy x ⎰⎰⎰⎰+-+∞-+∞-== 其中[)[),,0,0:+∞⨯+∞D 做极坐标代换,0,20,sin ,cos +∞<≤≤≤⎩⎨⎧==r r y r x πθθθ 则,4r 02022πθπ==⎰⎰∞+-dr e d I r .202π==⎰∞+-dx e I x 4.二重积分的应用二重积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用． 4.1体积根据二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以),(y x f 在xOy坐标平面的投影区域D 为底的曲顶柱体的体积．因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积． 例7[]6 求椭球面1222222=++cz b y a x 所围之椭球的体积．解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的．令D 表示椭球面在xOy 坐标面第一象限的投影区域，则D ,0,0,1),(2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=y x b y a x y x体积.),(8⎰⎰=Ddxdy y x z V 作广义极坐标变换θθsin ,cos br y ar x ==,则此变换的雅可比行列式abr J =，与D 相对应的积分区域{},20,10),(*πθθ≤≤≤≤=r r D 此时,1),(2r c y x z z -==从而 abrdr r c d drd J br ar z V D ⎰⎰⎰⎰-==2*1218)sin ,cos (8πθθθθ.34128102abc dr r r abc ππ⎰=-⋅= 例8[]6 求球面+2x 2224a z y =+与圆柱面)0(222>=+a ax y x 所围立体的体积.图1解 由对称性（图1（a ）给出的是第一卦限部分）.44222⎰⎰--=Ddxdy y x a V其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图1（b ））．在极坐标系中，与闭区域D 相应的区域*D {},20,cos 20),(πθθθ≤≤≤≤=a r r 于是⎰⎰⎰⎰-=-=Da rdr r a d rdrd r a V 20cos 2022224444πθθθ=.)322(332)sin 1(33220333⎰-=-ππθθa d a4.2曲面的面积设曲面S 的方程为),,(y x f z = 它在xOy 面上的投影区域为,xy D 求曲面S 的面积.A若函数),(y x f z =在域xy D 上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面S 的面积.),(),(122dxdy y x f y x f A xyD y x ⎰⎰'+'+=（1）例9 计算抛物面22y x z +=在平面1=z 下方的面积．解 1=z 下方的抛物面在xOy 面的投影区域xy D {}.1),(22≤+=y x y x又,2x z x =',2y z y =' 221y x z z '+'+=,44122y x ++ 代入公式（1）并用极坐标计算，可得抛物面的面积 ⎰⎰⎰⎰+=++=xyxyD D rdrd r dxdy y x A *22241441θ=).155(6)41(201212-=+⎰⎰πθπrdr r d如果曲面方程为),(z y g x =或),(z x h y =，则可以把曲面投影到yOz 或xOz 平面上，其投影区域记为yz D 或xz D ，类似地有.),(),(122dydz z y g z y g A yzD zy ⎰⎰'+'+= 或.),(),(122dxdz x z h x z h A xzD z x⎰⎰'+'+= 4.3其它例10[]4 平均利润 某公司销售商品Ⅰx 个单位，商品Ⅱy 个单位的利润),(y x P .5000)100()200(22+----=y x现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化．求销售这两种商品一周的平均利润．解 由于y x ,的变化范围{},10080,200150),(≤≤≤≤=y x y x D 所以D 的面积.10002050=⨯=σ 由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为[]σσσd y x d y x P DD⎰⎰⎰⎰+----=5000)100()200(10001),(122 []dy y x dx 5000)100()200(100012210080200150+----=⎰⎰ dx y y y x 100803220015050003)100()200(10001⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰ 20015020015023292000)200(2030001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x dx 4033300012100000≈=（元）． 参考文献：[1] 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导[M] .北京：中国人民大学出版社, 1999. [2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004. [3] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003. [4] 周应编著. 数学分析习题及解答[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001. [5] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法[M].北京：科学出版社，2008. [6] 吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积
浅谈定积分,二重积分与三重积分求体积定积分、二重积分与三重积分求体积是应用微积分和数学分析中常见的数学技巧。
它们可以帮助我们求解某些复杂的几何问题。
本文将介绍定、二重积分以及三重积分求体积的基本原理，以及在求解实际问题中的应用。
一、定积分求体积定积分又称为不定积分，它由微积分学家拉普拉斯在17th世纪的课本中提出，是用来计算函数在指定区间上的积分的数学方法。
定积分可以用来求解无限多边形的体积，例如多面体的体积。
计算多面体的体积的方法如下：1）先确定该多面体的面所构成的函数；2）根据该函数在某一区间内的局部变化情况，应用定积分的定义求出该区间内函数的积分；3）根据该区间内函数的积分，用定积分计算该多面体的体积。
二、二重积分求体积二重积分是一种多变量函数的积分的数学方法，它可以用来计算柱状体的体积。
通过二重积分计算柱状体的体积的方法为：1）先确定该柱状体的轴所构成的函数；2）根据该函数在某一区间内的局部变化情况，应用二重积分的定义求出该区间内函数的积分；3）根据该区间内函数的积分，用二重积分计算该柱状体的体积。
三、三重积分求体积三重积分是应用多元函数积分的数学方法，它可以用来计算椭圆柱体的体积。
计算椭圆柱体的体积的方法如下：1）先确定该椭圆柱体的轴所构成的函数；2）根据该函数在某一区间内的局部变化情况，应用三重积分的定义求出该区间内函数的积分；3）根据该区间内函数的积分，用三重积分计算该椭圆柱体的体积。
四、实际应用定积分、二重积分与三重积分求体积的方法在实际应用中可以用来计算多边形、柱状体和椭圆柱体的体积。
例如可以用它们来计算地理学中的河网模型，工程学中的建筑物的体积，地质学中的地貌的形态以及数学中的几何体的体积等。
综上所述，定积分、二重积分与三重积分求体积都是常用的数学数量计算方法，它们都具有良好的数学理论基础，可以应用在实际问题中，在科学研究上发挥重要作用。
关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结
关于定积分、曲线积分与二重积分的简单总结***（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分英文部分引言：微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、 定积分1、1利用定积分求极限：);321(1lim3334n n n ++++∞→ 解：)321(1lim3334n n n ++++∞→ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→333)()2()1(1lim n n n n n n =n ni n i n 1)(lim 31∑=∞→ 设3)(x x f =，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取ni n x i i ==∆ε,1为区间[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n i n i x x i i ,1,1的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数3)(x x f =在区间[0,1]上的一个积分的极限，从而有4141)21(1lim 104103334===+++⎰∞→x dx x n n n .回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).则BC 的方程为：x+20y-50=0.即y=5-101x. 由于在相同深度处水的静压力相同gx ρ,故当x ∆很小时，闸门上从深度x 到x+x ∆ 这一狭条A 上受的静压力为.)1015(22dx g x x x g x dx x y dp p ⋅⋅⋅⋅⋅-⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≈∆ρρ dx x x gdx x x x dp p )5110()1015(232002200200-=⋅⋅⋅⋅-⨯==⎰⎰⎰ρ =14373.33(kN).1、3 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带点电荷密度为δ，在圆心处有一单位E 电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取θ∆所对应的一段导线，电荷电量为.θδθd r d ⋅⋅= ，它圆心处电荷E 在垂直方向上的引力为θθθθsin sin 2r ks r sr k F ∆=∆⋅=∆ 则导线与电荷作用力为rk d r k δθθδπ2sin 0=⎰回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。
二重积分的简单应用
| D | | D*| r d r d ,
D*
x r cos , y r sin D
D *。
例1 求由 y x，y 2x，x 1所围成的平面图形的面积。
y y 2x
(1, 2) x 1
解 如图所示，
D {(x, y) | 0 x 1，x y 2x }，
D (1, 1)
从而，得到曲面Σ 的面积元素: d S 1 fx2 f y2 d。
所求的曲面Σ 的面积为 S 1 fx2 f y2 d x d y
D
当曲面方程为x f ( y, z) 和 y f (x, z)时， 面积计算公式类似可得。
例3 求锥面 z＝ x2 y2 被柱面 x2 y2 2x 所割下部分的面积。
上半球面在xy 平面上的投影为 D {(x, y) | x2 y2 a2}，
又 z
x
, z
y
,
x a2 x2 y2 y a2 x2 y2
有问题没有？
故
S 2
D
1 fx2 f y2 d x d y 2
4
16
由球面方程 z a2 x2 y2 ，得
z
x
,
x a2 x2 y2
z
y
。
y a2 x2 y2
于是，所求面积为
S
D
1 fx2 f y2 d x d y
D
a
dxd y
a2 x2 y2
a
2
r d r d a d
D* a2 r 2
0
15 a 4
r
dr
3a a2 r2
dS dA
由解析几何知识，令 F (x, y, z) z f (x, y)
二重积分有积分中值定理
二重积分有积分中值定理【知识文章】二重积分有积分中值定理1. 引言2. 二重积分的基本概念3. 积分中值定理的概述4. 积分中值定理的证明5. 积分中值定理的应用6. 我对积分中值定理的个人观点和理解7. 总结1. 引言在数学中，积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它与二重积分密切相关。
二重积分作为定积分的扩展，其意义更为广泛。
而二重积分有积分中值定理则进一步深化了我们对积分概念的认识，提供了一种更加精确和灵活的方式来描述积分的特性和应用。
本文将通过解析二重积分有积分中值定理，探讨其背后的数学原理和应用场景，并分享我的个人观点和理解。
2. 二重积分的基本概念为了理解二重积分有积分中值定理，我们首先需要回顾二重积分的基本概念。
二重积分可以理解为对平面上的一个区域进行积分求和，以得到该区域上某个函数的平均值、面积或其他特征。
我们可以使用二重积分来计算平面上一个曲线下方的面积，或者计算该曲线围成的区域的面积。
3. 积分中值定理的概述积分中值定理是一种将函数的某种性质与其在某个区间上的平均值联系起来的定理。
对于一元函数来说，大家可能更熟悉积分中值定理的一维版本，即在闭区间上连续函数的平均值等于在该区间上某个点处的函数值。
而二重积分有积分中值定理则将这一概念推广到了二维平面上。
4. 积分中值定理的证明现在我们来解析一下二重积分有积分中值定理的证明过程。
对于一个在闭区域上连续的函数，我们可以将该区域划分为无数个小矩形，在每个小矩形上应用积分中值定理的一维版本。
通过对每个小矩形上的平均值进行钳制，我们可以得到一个围绕着函数的曲线的矩形。
将这些矩形的面积相加，就可以近似得到函数在闭区域上的平均值。
5. 积分中值定理的应用积分中值定理不仅仅是一个数学定理，它还具有广泛的应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，我们经常会遇到需要计算某个区域上的平均值或特征量的问题。
积分中值定理为我们提供了一个数学工具，使得我们可以更加准确地描述和解决这些实际问题。
利用二重积分解定积分问题
π
2
r
dθ e - r2 rd r
=
π lim (1 -
e- r2 )
π
=
,
x ≥0
r →+ ∞ 0
0
4 r →+ ∞
4
y ≥0
∫ 故 I =
+∞
e- x2 d x =
0
π 2.
参考文献
[1 ] 井爱雯. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2000 ,3 (1) :24 - 25.
展示了二重积分与定积分在一定程度上的内在联系.
关键词 逆向思维 重积分 定积分
中图分类号 O172. 2
二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的 ,但从逆向思维的角度来看 ,有些
定积分问题也可以转化为二重积分进行计算. 对于某些特殊结构的被积函数而言 ,化定积分为二重
积分可以使定积分问题大大简化《. 高等数学研究》曾两次刊登利用重积分证明定积分不等式的文
I,
故
I
π = 8 ln2.
∫+ ∞
例 3 计算广义积分 : I = e- x 2 d x. 0
解
∫ ∫ ∫ ∫ + ∞
+∞
+∞
+∞
I2 =
e- x2 d x · e- x2 d x =
e- x2 d x.
e- y2 dy =
0
0
0
0
∫∫ ∫∫ e- ( x2 +y2) = d xd y =
li m
[2 ] 王金金 ,马华. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2004 ,7 (2) :34.
二重积分详细解答54页PPT
先讨论积分区域为： axb, 1 (x )y 2 (x ).
［X－型］
y y2(x)
y y2(x)
y1(x)
oa
bx
y1(x)
oa
bx
其中函数 1(x)、2(x) 在区间 [a,b] 上连续.
假f定 (x,y)0. f(x,y)d的值等 D为 于底 以，
D
以曲z面 f(x, y)为曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截面
z
zf(x,y)
面积为已知的立体求
体积”的方法,
y
A(x0)
y2(x)
A12((xx))f(x,y)d.y
o
x0
x
b
a
VDf(x,y)da b 1 2 ((x x ))f(x,y)d yd.x y1(x)
如果积分区域为： cyd, 1 (y ) x2 (y ).
y d
y d
［Y－型］
x1(y)
x2(y)
x1(y)
x2(y)
c
c
o
x
o
x
Df(x,y)dc d 1 2 ((yy))f(x,y)d xd.y
( 2 )二 重 积 分 值 仅 与 f( x ,y ) 及 D 有 关 ， 与 积 分 变 量 符
号 无 关 ， 即
f(x,y)df(u ,v)d
D
D
( 3 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式 的 极
限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
（4）如果函数 f(x,y) 在有界闭区域D上有界，并且除去 有限个点和有限条光滑曲线段外都是连续的，则它 在D上可积。
曲顶柱体的体积
定积分和二重积分在面积计算中的应用
定积分和二重积分在面积计算中的应用
在微积分学中，定积分和二重积分是最常用和最重要的积分形式，在科学研究和工程中，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文主要是讲解定积分和二重积分在面积计算中的应用。
首先，定积分和二重积分在面积计算中的应用是常见的。
定积分的应用，主要是用来计算曲线的面积，如椭圆面积、三角形面积等。
此外，它还可以用于计算曲面积，比如球面积、圆锥面积等。
而二重积分则常用于计算有界曲面的体积。
这些曲面上的坐标可以通过定积分来计算，因此二重积分也可以用来计算曲面面积。
其次，定积分和二重积分在概率和数理统计中也有着重要的应用，特别是定积分在统计分布函数的积分中有着很重要的作用。
此外，定积分和二重积分的应用还不仅仅是在空间和概率领域，而是在力学、抛物和振动系统中也有着不可替代的位置。
它们主要用来解决动力学问题（如求解抛物运动方程），以及解决振动系统中的
频率和振幅变化问题。
最后，定积分和二重积分的应用还可以用于求解量子力学中的问题，以及能够模拟实际应用中的问题，比如传热、流体力学、电磁学等，在这些领域都能发挥它们的重要作用。
综上所述，定积分和二重积分是微积分学中最重要的积分形式，在不同的领域里，它们都得到了广泛的应用。
它们在面积计算中有着重要的作用，而且它们还可以用于求解概率、力学、振动和量子力学中的问题，这都使它们在实际应用中显得尤为重要。
二重积分上的积分中值定理
二重积分上的积分中值定理积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它在求解积分问题中起到了关键的作用。
在一元函数的情况下，我们经常使用积分中值定理来找到函数在某个区间上的平均值。
而在二维平面上的二重积分中，也存在一种类似的积分中值定理。
二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分，它的计算方法和一元函数的定积分有所不同，但是它们都可以通过积分中值定理来进行求解。
二重积分上的积分中值定理可以简单表述为：如果二元函数f(x,y)在闭区域D上连续，那么在该闭区域上一定存在一个点(c,d)，使得二重积分的值等于该点处的函数值乘以闭区域D的面积。
具体来说，对于一个闭区域D，我们可以将其划分为若干个小的矩形区域，然后计算每个小矩形区域上的二重积分。
根据积分中值定理，对于每个小矩形区域上的二重积分，都存在一个点(c,d)，使得该点处的函数值等于该小矩形区域上的二重积分除以该小矩形区域的面积。
将所有小矩形区域上的二重积分相加，就可以得到整个闭区域D上的二重积分。
这个定理的几何意义是，闭区域D上的二重积分可以表示为该闭区域上某个点处的函数值乘以闭区域的面积。
也就是说，如果我们找到了满足积分中值定理的点(c,d)，那么该点处的函数值就可以代表整个闭区域D上的二重积分。
积分中值定理的应用非常广泛，特别是在物理学、工程学等应用领域中。
例如，在流体力学中，我们经常需要计算流体在某个区域上的质量或体积。
通过积分中值定理，我们可以将这个问题转化为求解某个点处的函数值乘以该区域的面积，从而简化了计算过程。
除了求解二重积分的问题，积分中值定理还可以用于证明其他定理，如一元函数中的洛必达法则。
通过将函数转化为二重积分的形式，并应用积分中值定理，我们可以推导出洛必达法则的一般形式。
二重积分上的积分中值定理在数学和应用领域中都具有重要的意义。
它不仅可以帮助我们求解二重积分的问题，还可以简化计算过程，推导其他定理。
掌握积分中值定理的概念和应用，对于深入理解微积分学科和解决实际问题都具有重要的帮助。
应用二重积分解决定积分问题
131科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 创新教育二重积分的定义即对一个和式取极限,其思想“分割,近似,求和,取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想,在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程,本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等,这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。
但是,本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。
1 利用二重积分解决定积分中的计算问题在二重积分的计算中,我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算,这一计算过程本质上是定积分的计算。
但是,反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算,下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。
1.1利用二重积分计算瑕积分例1:计算如下瑕积分 10(0,)ln b ax x d x a b o x.[分析]在计算曲顶柱体体积时,利用“微元法”思想计算“平行截面面积为已知的立体体积” 21()()(),()(,)b x a x V A x d x A x f x y d y因此,曲顶柱体体积21()()(,)()(,)b x ax DV f x y d x d y A x d x f x y d y从而联想到,如果21()()()(,)ln b ax x x x A x f x y d y x,即可将这一定积分问题转化为二重积分进行计算。
解:由于1lim 0,lim ln ln babax x x x x xb a x x,所以所求积分11001ln 111ln1b a b ya b y ab ax x d x d x x d yx d y x d xd y y b a1.2利用二重积分计算广义积分例2:计算如下广义积分 20x e d x.[分析]要计算该广义积分,即计算 20lim R x R e d x,记 2lim R x RA e d x ,则 22200lim R Rx x R A e d x e d x从而,将问题转化为计算220RRx x ed x ed x,而2222220R R R R x x x y x y Se d x e dx e d x e d y e d x d y其中 {(,)0,0}S x y x R y R ≤≤≤≤,进而将问题转化为计算二重积分 22x ySI ed x d y.解:令≤≤ 22222212{(,)},{(,)2}D x y x y R D x y x y R ,则: 12D S D ,所以 221x y De d x d y≤22x y Sed x d y ≤222x y D ed x d y而22222110(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e,同理可计算2222222220(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e所以 2(1)4R e I ≤22x y S e d x d y≤22(1)4R y e .从而12lim lim 4R R I I 所以,根据两边夹法则可以得到:22222lim lim 4R R x x xy R R SA e d x e d x e d x d y因此,所求积分2x e d x2 利用二重积分解决定积分中的不等式问题数学中的证明题目,往往不易寻找证题规律。
利用二重积分处理定积分的有关问题
利用二重积分处理定积分的有关问题1.（契比雪夫不等式，培训资料P.26 48题）设(),(),()p x f x g x 在[,]a b 上连续，又()0,(),()p x f x g x >在[,]a b 上单调增加，则()()()()()()()()bb b baaaap x g x dx p x f x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰。
证 所证不等式等价于()()()()()()()()0bb b baaaap x g x dx p x f x dx p x dx p x f x g x dx -≤⎰⎰⎰⎰，即()()()[()()]0Dp x p y f y g x g y dxdy -≤⎰⎰，其中D ：a x b ≤≤，a y b ≤≤。
记上式左边I =，由于D 关于y x =对称，故1()()[()()][()()]2DI p x p y f y f x g x g y dxdy =--⎰⎰， 因(),()f x g x 在[,]a b 上单调增加，所以,[,]x y a b ∀∈，[()()][()()]0f y f x g x g y --≤， 又()0p x >，由二重积分性质得0I ≤。
应用：设()f x 是定义在[0,1]上的正值单调减函数，则112200110()()()()x f x dx f x dx x f x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰。
（注：变形并令()(),()p x f x g x x ==或按上述方法证明）2. （培训资料P.26 47题）设()f x 在[0,1]上具有一阶连续导数，且当(0,1)x ∈时0()1f x '<<，(0)0f =。
证明1112230()[()]()f x dx f x dx f x dx >>⎰⎰⎰。
证 （1）先证左端 11220()[()]f x dx f x dx >⎰⎰。
定积分与二重积分的互化
Ｉ＝
Ｄ
&
ｆ ２（ｘ）ｆ ３（ｙ）（ｙ－ ｘ）ｄｘｄｙ．
（ ２）
０≤ｙ≤１ ，故& ｅ ) ０≤ｘ≤ｙ
Ｄ － ｙ２
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｅ－ ｙ ｄｙ !ｄｘ
２ ０ ０
１
ｙ
将 （ １） 、 （ ２） 相加 ， 并注意到 （ ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ≥０， 故 ２Ｉ＝
＝
!ｙｅ
０
１
１ １ ｄｙ＝ １ ｅ－ ｙ２ １ ０＝ ２ （１－ ｅ ） ２
１ ０
＝－ １ ２
ｘ － ｓｉｎｘ ） ｄｘ !ｘ（ ｓｉｎ " ｙ ｘ !ｓｉｎ " ｘ ｄｘ＋ !ｓｉｎ ｘｄｘ
０ １ ０
１
! !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ｘ !ｆ（ ｔ） ｄｔ－ !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ !（ ｘ－ ｕ） ｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ !ｔｆ（ ｘ－ ｔ） ｄｔ＝ !ｆ（ ｘ－ ｕ） ｕｄｕ＝右式，（ 令 ｔ＝ｘ－ ｕ ）
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
化二重积分为定积分
计算二重积分 ， 通常是将二重积分化为累次积 分。累次积分中积分变量的次序有两种 ， 一种是先 ｘ 后 ｙ， 另一种是先 ｙ 后 ｘ。一般而言 ， 由于积分区域不 是矩形区域 ， 选择不同积分次序的累次积分 ， 积分变
!ｅ ｄｙ， 显然 Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｅ ， 所 以 原 式 Ｉ＝ !Ｆ （ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ （ ｘ） １ ０－ !Ｆ＇ （ ｘ） ｄｘ＝Ｆ （ １） ＋ １ ｅ １＝ １ （ １－ １ ） ． !ｘｅ ｄｘ＝－ ２ ０ ２ ｅ
２ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ａ ａ
二重积分和三重积分的计算
几何意义：三重 积分可以用来计 算三维空间中物 体的质量、质心 和转动惯量等物
理量
计算方法：通 过累加三维空 间中各个小体 积元的积分来 计算三重积分
应用场景：在 物理学、工程 学和经济学等 领域有广泛应
用
连续性：三重积分在连续的区间上具有连续的函数值 可加性：对于任意分割的三重积分，其和等于原三重积分的值 可积性：如果三重积分存在，则其值等于被积函数在积分区域上的质量
奇偶性：如果被积函数是奇函数或偶函数，则三重积分的值可能是奇数或偶数
二重积分与三重积 分的应用
计算物体在弹性力作用下的 变形量
计算物体在重力场中的质心 位置
计算带电体在电场中的电势 分布
计算电磁场中的能量密度分 布
三重积分可以用来计算三维物 体的质量、质心和转动惯量等二重积分表示的是二维平面上的面积 二重积分可以计算平面图形的面积 二重积分的值等于被积函数与x轴围成的面积 二重积分的几何意义是二维平面上的体积
可加性：二重积分满足可加性，即可以将积分区域分成若干个小区域， 分别对每个小区域进行积分后再求和。
线性性质：二重积分满足线性性质，即对于常数c，有∫∫D (c) dxdy = c * ∫∫D dxdy。
二重积分的计算需要使用微元法， 将积分区域划分为小的矩形区域
将所有矩形的积分结果相加，即可 得到整个积分区域的二重积分值
直角坐标系法：将二重积分转化为累次积分，再逐一计算 极坐标系法：将二重积分转化为极坐标形式，再逐一计算 区域分割法：将积分区域分割成若干个小区域，再分别计算 数值计算法：利用数值计算软件进行二重积分的计算
三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中体积的积分，即对三维空 间中某一区域进行积分。
三重积分的计算方法：三重积分可以通过多次逐维积分来计算，即先对一个变量 进行积分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
定积分和二重积分的相同点和不同
定积分和二重积分的相同点和不同
定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在数学和应用领域都有广泛的应用。
虽然定积分和二重积分都涉及到积分的概念，但它们在定义、计算方法和应用方面有着一些不同之处。
定积分和二重积分的相同点在于它们都是积分的一种形式。
积分是微积分的重要内容，是求取函数的面积、体积、质量、平均值等数学量的方法之一。
定积分和二重积分都可以用来求取曲线、曲面下的面积、体积等。
定积分和二重积分的不同之处在于它们的定义和计算方法有所不同。
定积分是对函数在一定区间上的积分，可以看作是对函数在一维上的积分。
而二重积分是对二元函数在一个二维区域上的积分，可以看作是对函数在二维平面上的积分。
定积分的计算方法通常使用黎曼和或牛顿-莱布尼兹公式，而二重积分的计算方法通常使用重积分法或换元法。
定积分和二重积分在应用方面也有一些不同之处。
定积分常用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。
例如，在物理学中，定积分可以用来求取物体的质量、质心以及转动惯量等物理量。
而二重积分常用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。
例如，在工程学中，二重积分可以用来求取平面区域上的质心、转动惯量以及液体的体积等。
定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在定义、计算方法和应用方面都有一些不同之处。
定积分是对函数在一维上的积分，用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。
二重积分是对二元函数在二维区域上的积分，用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。
尽管定积分和二重积分有所不同，但它们都是积分的一种形式，都有着重要的数学和应用价值。
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参与式环境教育教学方法是西 方 所 倡 导 的 主 动 学 习(愉 快学习方法与中国传统讲授式教学方法的结合*通过四年 多的教学实践’经 调 查 显 示’大 学 生 对 参 与 式 教 学 方 法 给 予 了较高评价’认为+效 果 好’很 满 意 )的 学 生 占 被 调 查 学 生 总
数的$%’&B’比课堂 讲 授 的 满 意 度 高 出 近 %+ 个 百 分 点* 此 外’学生在对本门课程综合评价和所 提 改 进 意 见 中 也 充 分 肯 定了参与式教学方法的优点*许多 学 生 认 为%参 与 式 教 学 方 法新颖’有助于调 动 学 生 的 学 习 积 极 性 和 对 知 识 的 理 解,课 堂 气 氛 活 跃 ’效 果 较 好 ’值 得 推 广 ’并 建 议 教 师 不 断 改 进 *
2006,26(4)
目前常用数学软件包无法直接进行二重积分的运算,只能处理累次积分,难以处理复杂的积分区域,文章基于有关数学定理提出一种新型算法,通过对 积分区域和边界条件进行判断和处理,实现二重积分与累次积分之间的转换,使常用数学软件包能够直接计算二重积分,从而简化运算过程,提高计算效率.
3.期刊论文 郑兆顺 谈二重积分的计算 -河南教育学院学报（自然科学版）2007,16(2)
通过环境教育让学习者从整体的角度获得较为全面的 环境知识和环境 技 能 ’形 成 综 合 的 环 境 保 护 观 念’才 能 适 应 不断产生和变化的环境问题’从而从 真 正 意 义 上 理 解 并 思 考 环境问题*环境 教 育 要 体 现 内 容 的 综 合 性’即 环 境 法 律(环 境 知 识 (环 境 伦 理 (环 境 技 能 (环 境 价 值 和 态 度 等 * !’+!积极采用参 与式环境教育教学方法
参考文献(1条) 1.孙本旺.汪浩 数学分析典型例题和解题方法 1981
相似文献(10条)
1.期刊论文 张慧琴.ZHANG Hui-qin 二重积分与累次积分 -吕梁高等专科学校学报2001,16(1)
本文通过五组问题,讨论二重积分与累次积分的关系
2.期刊论文 朱天琪.ZHU Tian-qi 常用数学软件包中二重积分处理方法研究 -云南师范大学学报（自然科学版）
一种方法"
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5
第 &" 卷 第 & 期
景德镇高专学报
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利用二重积分解决有关定积分的问题
黄志坚!!!吴健辉
（景德镇高专数学与计算机系，江西 景德镇!!!!"""）
摘 ! 要 !介绍利用二重积分解决有关定积分问题的一种方法! 关 键 词 !二重积分"累次积分"定积分 中 图 分 类 号 !>%J&’&!!!!!! 文 献 标 识 码 !#!!!!!! 文 章 编 号 !%""$($)*$#&""*$"&(""&=("&
8.期刊论文 张仁华.ZHANG Ren-hua 二重积分计算中的若干技巧 -湖南冶金职业技术学院学报2008,8(2)
简介了二重积分计算中的若干处理方法,并通过实例加以阐析,对初学者具有一定指导意义.
9.期刊论文 孙幸荣.SUN Xing-rang 二重积分的分部积分法 -绵阳师范学院学报2009,28(11)
定积分不等式的证明方法多种多样.一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性、最值等.本文将给出一种方法,即利用变量替换 手段将定积分转化为二重积分,再去证明.
7.期刊论文 晁增福.Chao Zengfu 关于二重积分的一个计算公式 -塔里木大学学报2009,21(1)
利用分部积分法给出了关于二重积分的一个计算公式,同时给出了两个有用的推论,并通过具体例题说明其应用.
!!在一般情况 下!我 们 都 是 利 用 定 积 分 来 解 决 二 重 积 分! 积分 !进而转化为 一 个 二 重 积 分’利 用 这 种 方 法 可 将 此 题 推 将二重积分转化为累次积分!而累次 积 分 实 质 就 是 两 个 定 积 广为(
分"在这里将介绍利用二重积分解决有关定积分的问题的
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! 收稿日期(&""*("!("& 作 者 简 介 (黄 志 坚 #%=+J( $!男 !汉 族 !江 西 南 丰 人 !副 教 授 " 南 昌 大 学 管 理 科 学 与 工 程 在 读 博 士 " 校科研立项课题"
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