文科数学第二章第九节
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第二章+函数+2.5
-
������ ������
������ ������ ������
=
1 ������ ������ (a>0,m,n∈N+, ������
0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-9-
考点一
考点二
考点三
指数幂的化简与求值 例1求值与化简: 4 (1) 16x8 y4 (x<0,y<0)的化简结果为( D ) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
(2) 4
1 -2
1
·
1= -1 -3 (0.1) · (������3 · ������ )2
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-13-
考点一
考点二
考点三
解析: (1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得 x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). (2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1), 要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图像, 可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向 上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).
高中数学人教版 选修1-2(文科) 第二章 推理与证明2.1.1 合情推理A卷
高中数学人教版选修1-2（文科）第二章推理与证明2.1.1 合情推理A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共7题；共14分)1. （2分）下列说法中正确的是（）．A . 合情推理就是正确的推理B . 合情推理就是归纳推理C . 归纳推理是从一般到特殊的推理过程D . 类比推理是从特殊到特殊的推理过程2. （2分）有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（）A . 等于n2B . 等于n3C . 等于n4D . 等于n(n＋1)3. （2分）(2019·萍乡模拟) 箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）A . 草花5B . 红桃C . 红桃4D . 方块54. （2分）给出下列三个类比结论：①类比ax·ay=ax+y ，则有ax÷ay=ax-y；②类比loga(xy)=logax+logay，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2 ，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2017高二下·长春期末) 下列四个推理中，属于类比推理的是（）A . 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B . 一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2 整除C . 在数列中，，可以计算出，所以推出D . 若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为6. （2分） (2018高二下·河池月考) 已知函数 ,则（）A .B .C . 0D .7. （2分） (2019高二下·亳州月考) ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A . 类比推理、归纳推理B . 类比推理、演绎推理C . 归纳推理、类比推理D . 归纳推理、演绎推理二、填空题 (共3题；共6分)8. （2分） (2017高一下·宜昌期末) 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013 ，则a2013﹣5=（）A . 2019×2013B . 2019×2012C . 1006×2013D . 2019×10069. （2分） (2016高一下·广州期中) 在平面内有n（n∈N*）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f（n）个平面区域，则f（3）=________；f（n）=________．10. （2分） (2019高一下·余姚月考) 在锐角三角形中，已知，则角B的取值范围是________，的取值范围是________.三、解答题 (共4题；共26分)11. （1分） (2019高二下·泉州期末) 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是________.12. （10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．13. （5分）已知5名发热感冒患者中，有1人被H7N9禽流感病毒感染，需要通过化验血液来确定谁是H7N9禽流感患者，血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者，呈阴性的即为禽流感患者，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阴性，则表明禽流感患者在他们3人之中，然后再逐个化验，直到确定禽流感患者为止；若结果呈阳性，则在另外2人中任选1人化验．（1）求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；（2）试比较两种方案，哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者．14. （10分） (2019高二下·亳州月考) 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．（1）求出，，的值；（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；并猜想的表达式，不需要证明。
全国高等学校民族预科教材 数学 第二章
分式与根式
本章主要介绍部分分式与有理数指数的内容。 本章主要介绍部分分式与有理数指数的内容。部分分 式是分式运算的重要内容， 式是分式运算的重要内容，在高等数学中有着重要应 第一、三节可略去。 用。第一、三节可略去。
第二节 部分分式
• 如果有一个有理分式的分子的次数小于分母的次 则这个有理分式叫做真分式，反之，叫做假分式。 数，则这个有理分式叫做真分式，反之，叫做假分式。 • 利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整 利用多项式除法， 式和一个真分式的和，且这种表示法是唯一的。 式和一个真分式的和，且这种表示法是唯一的。因此 我们主要研究真分式。 我们主要研究真分式。 • 在很多应用问题中，要求我们把一个真分式分解为 在很多应用问题中， 5x − 3 2 1 = + 几个真分式代数和的形式， 几个真分式代数和的形式，例如 (3x − 1)( x − 1) 3x − 1 x − 1 其中两个比较简单的真分式 2 ， 1 叫做原分 5x − 3 3x − 1 x −1 的部分分式。 式 (3x − 1)( x − 1) 的部分分式。 • 部分分式：由一个真分式分解成几个真分式代数 部分分式： 这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分 和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分 分式或分项分式。 分式或分项分式。
2 x 2 +1 为部分分式 例2 化分式 3 x −1
x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) 解：因 故设 2 x 2 + 1 = a + bx + c x3 − 1 x −1 x 2 + x + 1
2 x 2 + 1 = a ( x 2 + x + 1) + (bx + c)( x − 1) 于是 即 2 x 2 + 1 = ( a + b) x 2 + ( a − b + c ) x + a − c a + b = 2 比较两边同次项系数， 比较两边同次项系数，得 a − b + c = 0 a − c = 1
高三数学第二模块第二章全章知识精讲 人教版
高三数学第二模块第二章全章知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 第二模块第二章1. 圆的标准方程与一般方程2. 直线与圆的位置关系3. 圆与圆的位置关系4. 空间直角坐标系及空间两点的距离公式二. 教学目标与要求：1. 知识与技能目标：理解并掌握圆的标准方程、一般方程，会根据不同条件求圆的方程。
掌握直线与圆，圆与圆的位置关系及判断方法，掌握空间直角坐标系的概念及空间两点的距离公式。
2. 过程与方法目标：通过对圆的方程的推导，位置关系的理解，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法进一步提高学生的观察、比较分析、概括等思维能力。
3. 情感与价值观目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。
三. 重点和难点： 重点：1. 圆的标准方程及一般方程的推导及应用。
2. 理解直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法。
3. 空间直角坐标系的有关概念。
难点：1. 运用圆的标准方程和一般方程解决一些实际问题。
2. 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法及其应用。
3. 确定空间直角坐标系中点的坐标及空间两点距离公式的推导。
四. 知识要点解析： 1. 圆的标准方程 ()()x a y b r -+-=222，圆心（a ，b ），半径为rx y r 222+=，圆心（0，0），半径为r2. 点P 到圆心的距离为d ，半径为r 则点P 在圆外⇔>d r 点P 在圆上⇔d=r 点P 在圆内⇔d<r3. 圆的一般方程：x y Dx Ey F D E F 2222040++++=+->（）其中圆心（，），--=+-D E r D E F 2212422 4. 直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离为d ，半径为r 则直线与圆相离⇔d>r 直线与圆相切⇔d=r直线与圆相交⇔d<r 5. 圆与圆的位置关系： 设C x x y y r 1121212：()()-+-=C x x y y r 2222222：()()-+-=圆心分别是C x y C x y 111222（，），（，）半径分别为r r d C C x x y y 1212212212，，圆心距==-+-||()() 那么当d r r >+12时两圆相离，d r r =+12时两圆外切||r r d r r 1212-<<+时，两圆相交 d r r =-||12时，两圆内切d r r <-||12时，两圆内含6. 空间中两点的距离公式： A ()x y z 111，，，B （x y z 222，，）则d x x y y z z A B (,)()()()=-+-+-212212212【典型例题】例1. 求经过点A （－2，－4）且与直线l ：x y +-=3260相切于B （8，6）的圆的方程。
《高等数学》(文科)课程教学大纲
《高等数学》（文科）课程教学大纲一、课程简介：1、课程性质：《高等数学》是文科类专业的一门公共基础类必修课。
2、开课学期：大一第2学期3、适用专业：中文、外语、音乐、美术、法学、政教、历史等文科专业4、课程修读条件：学生应熟练掌握初等数学知识。
5、课程教学目的：通过本课程的学习，了解数学的广泛应用和数学发展简史；掌握概率论的初步知识；掌握函数极限与导数知识及其应用、一元微积分的运算与应用。
通过学习部分高等数学知识，领会微积分的基本思想，掌握数学的辨证思维方法，提高分析、判断、推理的能力和运算能力，为以后的工作和学习提供必要得数学知识、方法和手段。
二、教学基本要求或建议：《高等数学》课程是以微积分为主要内容的一门理论性课程，对抽象思维能力、逻辑推理能力有较高要求。
由于文科专业学生数学基础普遍较差，因此课程学习可能会有一定的难度。
教学中须因材施教、循序渐进，重点放在对基础知识和基本方法的掌握，注意加强练习环节。
三、内容纲目及标准：（一）理论部分学时数（36学时）第0章绪论——数学的内容、特点，数学发展简史[教学目的] 了解数学在自然科学社会科学各领域的重要作用，特别是在语言学、社会学、哲学等社会科学中数学方法的运用，使学生认识到学习《高等数学》课程的重要性；了解数学的内容、特点；从数学发展的历史过程中体会科学发现的艰辛，学习数学家科学探索、追求真理的精神。
[教学重点与难点] 数学应用的广泛性，激发学生学习数学的兴趣。
第一章概率统计初步[教学目的] 了解随机现象、事件等概念，理解事件的关系和运算；理解概率的统计定义、古典概型、几何概率、概率的公理化定义；掌握概率的基本性质；理解条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，能运用有关公式计算简单的概率。
[教学重点与难点] 重点：概率的基本性质；古典概型、条件概率、乘法公式。
难点：全概率公式、贝叶斯公式。
第一节随机现象第二节事件的关系和运算第三节排列与组合第四节概率※第五节两个实例第二章函数与极限[教学目的] 理解数列极限与函数极限的概念，了解函数的左右极限概念。
黑龙江省高中数学人教版选修1-2(文科)第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法
黑龙江省高中数学人教版选修1-2（文科）第二章推理与证明2.2.1 综合法和分析法姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若，则的大小关系是（）A .B .C .D . 由的取值确定2. （2分）要证，只需证，即需，即需证，即证35>11，因为35>11显然成立，所以原不等式成立。
以上证明运用了（）A . 比较法B . 综合法C . 分析法D . 反证法3. （2分）命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了（）A . 分析法B . 综合法C . 综合法与分析法结合使用D . 间接证法4. （2分）不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数（）A . 成等比数列而非等差数列B . 成等差数列而非等比数列C . 既成等差数列又成等比数列D . 既非等差数列又非等比数列5. （2分）要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A . 综合法B . 分析法C . 反证法D . 归纳法6. （2分）设a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，则a与b大小关系为（）A . a>bB . a=bC . a<bD . 无法确定7. （2分）已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（）A . x<<y<2xyB . 2xy<x<<yC . x<<2xy<yD . x<2xy<<y8. （2分）设0<x<1，则a= ，b=1+x ， c= 中最大的一个是（）A . aB . bC . cD . 不能确定二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2016高一下·黄石期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若向量 =a100 +a101，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于________．10. （1分）已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，则平面PAB，平面PAD，平面PCD，平面PBC，平面ABCD中，互相垂直的平面有________对.11. （1分）函数y=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值等于________三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分）设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．13. （5分）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：ba＞ab ．（提示：可考虑用分析法找思路）14. （10分）(2018高一下·衡阳期末) 已知的内角的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求面积的最大值.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共20分)12-1、13-1、14-1、答案：略14-2、答案：略。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第2章 第2讲
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
文科数学
【跟踪训练】
2．如果函数 f(x)对任意的实数 x，都有 f(1＋x)＝f(－x)，且当 x≥12时，f(x)＝log2(3x
－1)，那么函数 f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2
B．3
C．4
D．－1
【答案】C
栏目索引
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
栏目索引
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
文科数学
函数单调性的应用
【考向分析】函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的应用是近几年高考
命题的热点．试题常以选择题、填空题的形式出现，考查比较函数值大小、求最
值、解含“f ”符号的不等式等问题，试题难度中档．
常见的命题方向：
(1)比较大小；
文科数学
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 对于任意的x∈I，都有__f(_x_)≤_M____； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
对于任意的x∈I，都有__f_(x_)_≥_M____； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不
正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正
确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异
面，③不正确．④正确．
答案：B
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
专题2 平行和垂直的判定证明 线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质是本 章的重点．线线、线面、面面垂直的判定与性质之间并 非孤立的，可以相互转化，可以利用这些判定和性质解 决相关平行与垂直的证明等线、面问题．在高考中，常 以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重． [例2] (2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD， PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
2 2
，AC＝
2 ，sin∠OAC＝
OACC＝12， 所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接
AE，
因为平面BC′⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD，
人教版高中数学必修二课件：第二章 章末复习课
[变式训练] (2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所 示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为 AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1； (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面 B1CD1.
所以FG∥BC，FG＝12BC.
数学必修二第二章章末归纳总结
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
b∥α，则 a∥b；④如果直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行，
那么直线 a 必平行于平面 α.
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] A
第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析]
序正 号误
原因分析
如右图，长方体 ABCD－A′B′C′D′中，
AB∥DC，AB 却在过
① × DC 的平面 ABCD 内，
①不正确
第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
序号 正误
原因分析
如上图，AB∥平面 A′B′C′D′，B′C′
② × ⊂平面 A′B′C′D′，AB 与 B′C′异
面，②不正确
如上图，AB∥平面 CDD′C′，BB′∥平
③ × 面 CDD′C′，AB∩BB′＝B，即 AB 与
知识结构
第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
点、直线、平面 之间的位置关系
平面平平面面的的概性念质及公公公其理理理点表12的3示：：：公如过如共果不果直一在两线条一个直条不线直重上线合的上的的两平三点面点在有，一一有个个且平公只面共有内点一，，个那那平么么面这它条们直有线且在只此有平一面条内过该
直线与平面平行 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任
大学文科数学第二章课件
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
当 n 无限增大时, 是否无限接近于某一确定 的数值?如果是,如何确定?
播放
( 1)n1 当 n 无限增大时, an 1 无限接近于 1. n
―无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画 它.
an 1 ( 1)
给定 0, 只要 n N ( )时, 有 an 1 成立.
1
定义 如果对于任意给定的正数ε （不论它多 么小）总存在着相应正整数N，使得满足n>N的 一切n，不等式
an a 恒成立，则称数列{an }以a为极限，
或者称数列an收敛于a，记为 lim an a , 或 an a ( n ).
1 lim n 0 n 2
1 (2){ n }的极限是0; 2 1 因为当n∞ 时，{ n } 趋 2 近于常数 0 . a1 x 1
2
••••• ••••• 1 1 0 8 2n
… an … a3
a2
1 4
③ 2, 4, 6, …, 2n, …
这个数列的通项是:
a n 2n
④ 1, 1, …,1,…, 1,… 这个数列的通项是:
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 an 1 , 100 n 100 100
1 给定 , 1000
1 , 只要 n 1000时, 有 an 1 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 有 an 1 , 时 10000 10000
( 2) 是首先给定的，N 是由 确定的， 常记作N N ( ).
【精选】文科数学(2020版)备考指南第2章 第3讲
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
文科数学
2
课堂 考点突破
栏目索引
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xlg(x＋ x2＋1)； (2)f(x)＝(1－x) 11＋－xx； (3)f(x)＝－ x2＋x2＋ 2x－2x＋ 1，1， x<x0>；0， (4)f(x)＝|x＋43－|－x23.
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
文科数学
2．下列函数为偶函数的是( )
1
A．y＝x2
B．y＝xex
C．y＝tan x
D．y＝2|x|
【答案】D
【解析】A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝tan x为奇函数；D中函数定义域
为R，又f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，所以y＝2|x|为偶函数．
论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
栏目索引
【答案】(1)D (2)C
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
文科数学
【解析】(1)f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)． 故f(x)是奇函数，A，C中f(x)的定义域都不关于原点对称，不合题意；易知B为偶 函数，D为奇函数．故选D． (2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝ － f(x)g(x) ＝ － [f(x)g(x)] ， f(x)g(x) 是 奇 函 数 ， A 错 ； |f( － x)|·g( － x) ＝ | － f(x)|g(x) ＝ |f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)| 是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶栏函目数索引，D错．故 选C．
高中数学必修课件第二章章末复习
学会运用数学语言描述实际问题和解决实际问题 。
3
应用问题的解决方法
掌握应用问题的基本解决方法，如建立数学模型 、运用数学工具进行计算和求解等。
05 跨学科知识融合 与应用
数学与物理相结合问题
运动学中的数学应 用
理解速度、加速度等物理概念，运用数学公式进行计算。
力学中的数学应用
掌握力的合成与分解，运用三角函数、向量等数学知识解 决问题。
仔细审题
明确题目要求，注意关键词和限定条 件。
验证答案
将所选答案代入题目进行验证，确保 答案正确。
分析选项
比较各选项的异同，运用排除法缩小 选择范围。
填空题答题技巧
审清题意
明确填空的内容和要求， 注意单位、符号等细节。
寻找线索
根据题目中的已知条件和 公式，寻找与填空相关的 线索。
验证答案
将所得答案代入原题进行 验证，确保答案的准确性 和合理性。
本单元测试卷主要考察了第二章 中的基础知识点，包括函数的概 念、性质、图像以及基本初等函
数等。
重点难点分析
在测试中发现，学生对于函数的 概念和性质理解较为深入，但在 应用方面存在一定困难，尤其是 在解决复合函数和分段函数的问
题时容易出现错误。
学生表现评估
大部分学生能够掌握本章的基础 知识，但在解题思路和技巧方面 还需加强训练。对于表现不佳的 学生，需要针对其薄弱环节进行
等问题，我将采取更加严谨的学习态度，加强练习和反思，争取在后续
的学习中取得更好的成绩。
下一步学习计划
复习巩固计划
针对本章学习中存在的薄弱环节，我将制定详细的复习计 划，加强对重点难点知识的巩固和练习。
拓展提升计划
高中数学第二章讲解
高中数学第二章讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于高中数学课程标准，针对第二章内容进行深入讲解。
第二章主要包括了函数的基本概念、性质、图像以及实际应用等方面的知识。
在教学过程中，我将帮助学生掌握函数的基本理论，培养他们运用函数知识解决实际问题的能力，同时提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。
2、教学对象本次教学的对象是高中一年级的学生。
他们已经具备了一定的数学基础，但在函数知识方面尚未形成完整的体系。
因此，在教学过程中，需要关注学生对函数概念的理解，对函数性质的掌握以及在实际问题中运用函数知识的能力。
此外，针对不同学生的认知水平和学习风格，我将采取个性化的教学方法，使每位学生都能在课堂上得到有效提升。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数的概念，掌握函数的定义、函数值、函数图像等基本要素；（2）掌握常见函数的性质、图像及其变化规律，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等；（3）学会运用函数知识解决实际问题，如求解方程、不等式，分析函数的性质和最值等；（4）培养运用数学符号、术语进行准确表达的能力，提高数学逻辑推理和论证能力。
2、过程与方法（1）通过实例引入，引导学生自主探究函数的概念，培养学生独立思考和合作交流的能力；（2）运用数形结合的方法，使学生能从图像和解析式两个角度理解函数的性质，提高学生的直观想象能力；（3）采用问题驱动的教学方法，引导学生发现问题、提出问题、解决问题，培养学生的问题意识和创新精神；（4）结合实际应用，让学生在实践中运用函数知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们积极、主动学习的态度；（2）通过数学学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高他们的数学素养；（3）培养学生严谨、踏实的科学态度，让他们在解决问题过程中，学会坚持、克服困难；（4）鼓励学生积极参与课堂讨论，尊重他人的观点，培养合作精神和团队意识；（5）引导学生认识数学的美，体会数学在科学、文化和艺术等方面的价值，提升学生的审美素养。
最新人教版高中数学选修第二章-本章小结ppt课件
[评析] 本题考查了二次函数的图象，二次函数的 性质，及二次函数在x轴上截得线段长度等知识．
[例4] 已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数． [证明] 假设a不是偶数，则a为奇数． 设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1. ∵4(m2＋m)是偶数， ∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数与已知矛盾． ∴a一定是偶数．
[解析] (1)通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则 导函数g(x)是奇函数，故选D.
(2)第i个等式左边为1到i＋1的立方和，右边为1到i＋1和的 完全平方，所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3 ＋4＋5)2.
[答案] (1)D (2)13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
[证明] 先证必要性．
设数列{an}的公差为 d，若 d＝0，则所述等式显然 成立．
若 d≠0，则
a11a2＋a21a3＋
…
＋
1 ＝1 anan＋1 d
(
a2a－ 1aa2 1＋
a3－a2 a2a3
＋
…
＋
an＋1－an) anan＋1
＝1d[(a11－a12)＋(a12－a13)＋…＋(a1n－an1＋1)]
[评析] 本题的矛盾是与已知条件相矛盾．
三、数学归纳法的应用
[例 5] (2010·安徽高考)设数列 a1，a2，…，an，…
中的每一项都不为 0.证明{an}为等差数列的充要条件
是：对任何
n∈
N，都有a11a2＋a21a3＋…
＋1 ＝n. anan＋1 a1an＋1
[分析] 充要条件的证明需从充分性和必要性两方 面进行，已知等差数列的公差是否为0不确定，必要性 证明中需分类讨论，充分性证明采用数学归纳法．
2020高考文科数学第2章-第9节
演 实
战
一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产 ·
沙
切 总值的年平均增长率为( )
脉
场 点 兵
搏
p＋q
· 核
A. 2
p＋1q＋1－1
B.
2
心
课
突
破
C. pq
D. p＋1q＋1－1
时 提
升
练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动
满
向
分
· 考
【解析】
设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋
战
型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 · 沙
切 脉
数、分段函数等在社会生活中普通使用的函数模型)的广泛应
场 点 兵
搏 用．
·
核
心
课
突
时
破
提
升
练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研 动
[基础真题体验]
· 满
向
分
·
指
考 纲
考查角度[函数模型及应用]
导
考
向
1．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加．第
指 导
向
演
000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
实 战
·
沙
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210 时，
场
切
脉 搏
·
R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
点 兵
2020高考文科数学第2章-第10节
点 兵
搏
·
核
心
课
突
时
破
提
升
练
菜单
高三总复习·数学（文）
【解析】 (1)设点 P 的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.
提 素 养
研 动
又切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可
· 误
向
区
· 考
得 x0＝－ln 2，此时 y0＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2,2)．
分 析
纲
·
核
心 ________.
课
突
时
破
提
升
练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动
误
向
区
·
分
考
析
纲
考 向
【思路点拨】 (1)点 P(x0，y0)即为切点，使用导数的几 演
何意义可求得点 P 坐标．
实 战
·
(2)设出切点的坐标 P(x0，y0)，则 P(x0，y0)是直线与曲线
沙 场
切 脉
的公共点，利用导数的几何意义可解得 a 值．
时 提 升 练
菜单
高三总复习·数学（文）
提
素
养
研
·
动
误
向
区
·
分
考
析
纲
考
向
演
实
【答案】 (1)2 (2)－2
－2ex (3)ex－12
战
· 沙
场
切 脉
点 兵
搏
·
核
心
课
突
时
破
高中数学第二章 章末复习课
学习目标 1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点3．平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质(2)面面平行的判定与性质(3)空间中的平行关系的内在联系4．垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定与性质(2)平面与平面垂直的判定与性质定理(3)空间中的垂直关系的内在联系5．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°. (2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角． ②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．类型一 几何中共点、共线、共面问题例1 如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)GE 与HF 的交点在直线AC 上． 证明 (1)∵BG ∶GC ＝DH ∶HC ， ∴GH ∥BD ，又EF ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G 、H 不是BC 、CD 的中点，∴EF ≠GH . 又EF ∥GH ，∴EG 与FH 不平行， 则必相交，设交点为M .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂面ABC HF ⊂面ACD ⇒M ∈面ABC 且M ∈面ACD⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上， 又面ABC ∩面ACD ＝AC ⇒M ∈AC . ∴GE 与HF 的交点在直线AC 上． 反思与感悟 (1)证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． (2)证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上． (3)证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．跟踪训练1 如图，O 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上底面ABCD 的中心，M 是正方体对角线AC 1和截面A 1BD 的交点．求证：O 、M 、A 1三点共线．证明 ∵O ∈AC ，AC ⊂平面ACC 1A 1， ∴O ∈平面ACC 1A 1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线．类型二平行、垂直关系例2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.引申探究如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1，(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC⊥BC. 又因为C1C⊥AC，C1C∩CB＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1⊂平面BCC1B1，所以AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，四边形BCC1B1为正方形．因为D是AB的中点，E是BC1的中点，所以DE∥AC1.因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.反思与感悟(1)判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：①利用线面平行的判定定理．②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．(2)判断面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)．④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)．⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．跟踪训练2如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于点M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 的中点．由Q 为P A 的中点，得QM ∥PC ， 又O 为AB 的中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC . 类型三 空间角的求解例3 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°. ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明 如图所示，取PB 的中点M ，连接MF ，AM . 因为F 为PC 的中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ， 又由于E 为AD 的中点， 因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ， 所以EF ∥平面P AB . (2)①证明 连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，故可得∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB . 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，又BC ∩PB ＝B ， 因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .②解 连接BF ，由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.反思与感悟 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法． 跟踪训练3 如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求： (1)AO 与A ′C ′所成角的大小； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小．解 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋(12)2＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为55. (3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成角为90°.1．若l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 答案 B解析 当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1也可能与l 3相交或异面，故A 错；l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3，B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 错．2．设有不同的直线m 、n 和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案 D解析 选项A 中当m ∥α，n ∥α时，m 与n 可以平行、相交、异面；选项B 中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；选项C 中，当α⊥β，m ⊂α时，m 与β可以垂直，也可以平行等．故选项A 、B 、C 均不正确．3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的关系是_____． 答案 BD 1∥平面ACE解析 如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .在△BDD 1中，EO 綊12BD 1，BD 1⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，∴BD 1∥平面ACE .4．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，且AB ＝AD ，则AC 与平面BCD 所成的角是________． 答案 45°解析 如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO .因为AB ＝AD ，所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD . 因此，∠ACO 即为AC 与平面BCD 所成的角． 由于∠BAD ＝90°＝∠BCD ， 所以AO ＝OC ＝12BD ，又AO ⊥OC ，所以∠ACO ＝45°.5．如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .一、平行关系1．平行问题的转化关系2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质． 3．平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论； (4)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β. 二、垂直关系1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法．(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角．(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.三、空间角的求法1．找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移．(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．(3)补形平移．2．线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是()A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台答案 C解析在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；在C中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故D错误．故选C.2．设α－l－β是二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则()A．a与b可能垂直也可能平行B．a与b可能垂直，但不可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案 A解析∵α－l－β是二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故B与D不正确；当a，b 垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l与已知矛盾，若二面角不是直二面角，则a，b可以垂直，且满足条件，故C不正确；∴a与b有可能垂直，也有可能平行，故选A.3．在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是()A．a⊂α，b⊂β，α∥βB．a∥α，b⊂βC．a⊥α，b⊥αD．a⊥α，b⊂α答案 C解析对于A，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b；对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b，故选C.4．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是()A．①②④B．③④C．②③D．①④答案 D解析由直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，知在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m 平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确．故选D.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.6．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下面结论中错误的是()A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CED D．平面ADE⊥平面BCE答案 C解析由AB是底面圆的直径，则∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．而DE⊥平面CED不正确．故选C.7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是()A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面P AC答案 D解析 对于A ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，∵侧面P AD 为正三角形，∴PM ⊥AD ，又底面ABCD 是∠DAB ＝60°的菱形， ∴△ABD 是等边三角形， ∴AD ⊥BM ，∴AD ⊥平面PBM ，故A 正确．对于B ，∵AD ⊥平面PBM ，∴AD ⊥PB ，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确． 对于C ，∵平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，BC ∥AD ， ∴BC ⊥平面PBM ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BM ， ∴∠PBM 是二面角P －BC －A 的平面角， 设AB ＝1，则BM ＝32，PM ＝32， 在Rt △PBM 中，tan ∠PBM ＝PMBM＝1，即∠PBM ＝45°，故二面角P －BC －A 的大小为45°，故C 正确．错误的是D ，故选D. 二、填空题8．一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________．答案 a 24解析 在平面VAC 内作直线PD ∥AC ，交VC 于D ，在平面VBA 内作直线PF ∥VB ，交AB 于F ，过点D 作直线DE ∥VB ，交BC 于E ，连接EF .∵PF ∥DE ，∴P ，D ，E ，F 四点共面，且面PDEF 与VB 和AC 都平行，则四边形PDEF 为边长为12a 的正方形， 故其面积为a 24.9．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由已知得B 1D ⊥平面AC 1， 又CF ⊂平面AC 1，∴B 1D ⊥CF ， 故若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF . 设AF ＝x (0＜x ＜3a )，则CF 2＝x 2＋4a 2， DF 2＝a 2＋(3a －x )2， 又CD 2＝a 2＋9a 2＝10a 2， ∴10a 2＝x 2＋4a 2＋a 2＋(3a －x )2， 解得x ＝a 或2a .故答案为a 或2a .10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下面结论：①AC ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥平面CB 1D 1；③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是22； ④AD 1与BD 为异面直线．其中正确的结论的序号是________． 答案 ②③④解析 ①因为AC ∩平面CB 1D 1＝C ，所以AC ∥平面CB 1D 1错误，所以①错误．②连接BC 1，A 1C 1，则AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥B 1C ，因为B 1D 1∩B 1C ＝B 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1，所以②正确．③因为AC 1在底面ABCD 的射影为AC ，所以∠C 1AC 是AC 1与底面ABCD 所成的角，所以tan ∠C 1AC ＝C 1C AC ＝12＝22，所以③正确．④由异面直线的定义可知，AD 1与BD 为异面直线，所以④正确．故答案为②③④. 三、解答题11．一个空间几何的三视图及部分数据如图(1)所示，直观图如图(2)所示．图(1) 图(2)(1)求它的体积；(2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1；(3)若D 是棱CC 1的中点，在棱AB 上取中点E ，判断DE 是否平行于平面AB 1C 1，并证明你的结论．(1)解 四边形BCC 1B 1是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝1，且AA 1C 1C 是边长为3的正方形，垂直于底面BB 1C 1C ，所以该几何体的体积为V ＝12×1×3×3＝32.(2)证明 因为∠ACB ＝90°，所以BC ⊥AC ，又因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BC ⊥CC 1，又因为AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥A1C；又因为B1C1∥BC，所以B1C1⊥A1C，又因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1，又B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.(3)解当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1，证明：如图所示，取BB1的中点F，连接EF、FD、DE.因为D、E、F分别是棱CC1，AB和BB1的中点，所以EF∥AB1，又AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.又FD∥B1C1，所以FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1，而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.12．在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝23，M，N分别为BC，AB 的中点．(1)求证：MN∥平面P AC；(2)求证：平面PBC⊥平面P AM；(3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面P AC，若存在，求出ME的长，若不存在，请说明理由．(1)证明因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN∥AC.因为MN⊄平面P AC，AC⊂平面P AC，所以MN∥平面P AC.(2)证明因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.因为AM∩P A＝A，所以BC⊥平面P AM.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AM.(3)解存在．过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为P A⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，所以P A⊥ME.因为ME⊥AC，AC∩P A＝A，所以ME⊥平面P AC.因为在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，M为BC的中点，所以ME＝3 2.13．如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点与图中B′点重合．(1)求证：AO⊥平面B′OC；(2)当三棱锥B ′－AOC 的体积取最大时，求二面角A －B ′C －O 的余弦值；(3)在(2)的条件下，试问在线段B ′A 是否存在一点P ，使CP 与平面B ′OA 所成的角的正弦值为53？证明你的结论，并求AP 的长． (1)证明 ∵AB ＝AC 且O 是BC 的中点，∴AO ⊥BC ，即AO ⊥OB ′，AO ⊥OC ，又∵OB ′∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面B ′OC .(2)解 在平面B ′OC 内，作B ′D ⊥OC 于点D ，则由(1)可知B ′D ⊥OA ，又OC ∩OA ＝O ，∴B ′D ⊥平面OAC ，即B ′D 是三棱锥B ′－AOC 的高，又B ′D ≤B ′O ，∴当D 与O 重合时，三棱锥B ′－AOC 的体积最大，过O 作OH ⊥B ′C 于点H ，连接AH ，如图．由(1)知AO ⊥平面B ′OC ，又B ′C ⊂平面B ′OC ，∴B ′C ⊥AO ，∵AO ∩OH ＝O ，∴B ′C ⊥平面AOH ，∴B ′C ⊥AH ，∴∠AHO 即为二面角A －B ′C －O 的平面角．在Rt △AOH 中，AO ＝2，OH ＝22， ∴AH ＝322， ∴cos ∠AHO ＝OH AH ＝13， 故二面角A －B ′C －O 的余弦值为13.(3)解 如图，连接OP ，在(2)的条件下，易证OC ⊥平面B ′OA ，∴CP 与平面B ′OA 所成的角为∠CPO ，∴sin ∠CPO ＝OC CP ＝53，∴CP ＝35. 又在△ACB ′中，sin ∠AB ′C ＝310＝CP 2， ∴CP ⊥AB ′，∴B ′P ＝(2)2－CP 2＝55， ∴AP ＝455.。
最新人教版高中数学选修第二章-推理与证明-章末归纳总结ppt课件
本章注意的问题
(1)归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特 殊到一般，由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推 理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律， 但推理的结论都有待于去证明它的正确性．
(2)演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊 的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推 理形式正确，得到的结论就正确．
专题探究
运用合情合情推推理理时与演，绎要推认理 识到观察、归纳、类比、猜想、 证明是相互联系的，在解决问题时，可以先从观察入手，发 现问题的特点，形成解决问题的初步思想，然后用归纳、类 比的方法进行探索，提出猜想，最后用演绎推理方法进行验 证．
找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类 比球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长c＝πd(d为直径)． (4)圆的面积S＝π4d2.
[解析] 圆与球具有下列相似性质． 1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的 集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成 的集合．
2．圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间 中封闭的曲面所围成的对称图形．
又∵a，b，c都是正数， ∴a＋ 2 b≥ ab>0，b＋ 2 c≥ bc>0，a＋ 2 c≥ ac>0， ∴a＋bb＋ 8 ca＋c≥abc. 又a，b，c不全相等， ∴a＋bb＋ 8 ca＋c>abc. ∴原不等式成立．
反证法的反证理法论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角 度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，由此进 行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则¬q”为假，
(3)由a2k－1＝a2k－3＋2＝a2(k－1)－1＋2，且a1＝0，可得 a2k－1＝2(k－1)＝(2k－1)－1. 再由a2k＝a2k－2＋2＝a2(k－1)－1＋2，且a2＝3，可得a2k＝3＋(k －1)·2＝2k＋1，以上k＝1,2,3… 因此，an＝n＋(－1)n，n＝1,2,3…
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例4】
f(x)· g(x)的图象可能是
◆高考总复习•数学•(文科)◆
解析：(法一)∵函数y＝f(x)· g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y
＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原
解析：由f(g(x))＝0，得g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由
图2知g(x)＝－1有2个根，g(x)＝0有3个根，g(x)＝1有2个根， 所以a＝7；由g(f(x))＝0得f(x)＝－1.5或f(x)＝0或f(x)＝1.5，由 图1知f(x)＝－1.5有0个根，f(x)＝0有3个根，f(x)＝1.5有0个根， 所以b＝3，所以a＋b＝10.故选C. 答案：C
◆高考总复习•数学•(文科)◆ 考点三
根据函数的奇偶性来作函数的图象
(2012· 唐山市模拟)奇函数f(x)、偶函数g(x)的图
【例3】
象分别如图1，图2所示，方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数
分别为a，b，则a＋b＝
A．3 B．7 C．10 D．14
(
)
◆高考总复习•数学•(文科)◆
◆高考总复习•数学•(文科)◆
基础自测
x 1．(2012· 佛山市二模)函数 y＝ ，x∈－π，0∪(0，π)的图象可能是下 sin x 列图象中的 ( )
x 解析：y＝ 是偶函数，故排除A.令f(x)＝x－sin x，则f′(x) sin x ＝1－cos x，x∈(0，π)，易知f′(x)≥0在x∈(0，π)恒成立， x ∴fmin(x)>f(0)＝0.∴x＞sin x，x∈(0，π)．∴y＝ >1.故选 sin x
x≥0 的部分， 加上的图象为 x>0 部分关于 y 轴
对称部分，即得 y＝x2－|x|的图象，如图②所示．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
点评： (1)对于含绝对值符号的函数，可利用“零点分区间” 法去掉绝对值号，变为一个分段函数，再画图．
(2)第(1)题属于作 y＝|f(x)|的图象，由上面的作图得如下画法：
【例1】
知正四棱锥S -ABCD所有棱长都为1，点
E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC
的截面将正四棱锥分成上、下两部分， 记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积 为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为
(
)
◆高考总复习•数学•(文科)◆
◆高考总复习•数学•(文科)◆
1 解析：当0<x< 时，随着x的增大，观察图形可知，V(x) 2 1 单调递减，且递减的速度越来越快；当 ≤x<1时，随着x的增 2
4．(2012· 华南师大附中检测)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝
f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函
数y＝log3|x|的图象的交点的个数是______. 4
◆高考总复习•数学•(文科)◆
考 点 探 究
考点一
根据函数值变化趋势判断函数的图象 (2012· 江西卷)如右图，已
◆高考总复习•数学•(文科)◆
变式探究
1．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定 为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所 示)，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 ( ) A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 解析： 由图象可知，曲线v甲比v乙 在0～t0，0～t1与x轴所围成图形面 积大，则在t0，t1时刻，甲车均在 乙车前面．故选A. 答案：A
偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段，则在
区间[1,2]上，f(x)＝________. 解析：依题意，函数在区间[1,2]上
的图象与线段AB关于直线x＝1对
称，∴点A(0,2)关于直线x＝1的对 称点A′(2,2)在所求函数的图象上， 易求得f(x)＝x. 答案：x
◆高考总复习•数学•(文科)◆
◆高考总复习•数学•(文科)◆
保留x轴上方图象 y＝|f(x)|. y＝f(x) 将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右边图象，并作关于y轴对称图象 y＝f(x) y＝f(|x|)． 去掉y轴左边图象
(4)伸缩变换． ①函数y＝f(ax)(a>0)的图象可以将函数y＝f(x)的图象中的每
二、图象变换法作图 1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、 指数函数、 对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质． 2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等． 平移变换、对称变换、翻折变换和 3．四种图象变换：_________________________________ 伸缩变换 _________. (1)平移变换． ①水平平移：函数y＝f(x＋h)的图象可以把函数y＝f(x)的图 象沿x轴方向向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得到，即 h>0，左移 ― → ― y＝f(x) h<0，右移 y＝f(x＋h)； ②竖直平移：函数y＝f(x)＋k的图象可以把函数y＝f(x)的图 象沿y轴方向向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度得到，即 y＝f(x) k>0，上移 y＝f(x)＋k. ― → ―
1 一点纵坐标不变，横坐标缩短(a>1)或伸长(0<a<1)为原来的 倍 a
得到；
◆高考总复习•数学•(文科)◆
②函数y＝af(x)(a>0)的图象可以将函数y＝f(x)的图象中的每
一点横坐标不变，纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)为原来的a倍得 到．即
1 a 1，横向缩短为原来的 倍 a y＝f(x) y＝f(ax)， 1 0a1，横向伸长为原来的 倍 a a 1，纵向伸长为原来的a倍 y＝f(x) y＝af(x)． 0a1，纵向缩短为原来的a倍
C.
答案：C
◆高考总复习•数学•(文科)◆
2．(2012· 大连市模拟)已知函数f(x)＝(x －a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象 如右图所示，则函数g(x)＝ax＋b的
图象是
( A )
◆高考总复习•数学•(文科)◆
3．(2012· 中山市桂山中学月考)设函数y＝f(x)是最小正周期为2的
④函数y＝f－1(x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于直线 y＝x对称得到； ⑤函数y＝f(2a－x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于直 线x＝a对称得到．即 y＝f(x)
关于x轴
关于 轴 y＝－f(x)，y＝f(x) y y＝f(－x)，
图象如图①所示．
(2)y＝x2－|x|＝
x－12－1，x≥0， 2 4 1 2 1 x＋ － ，x＜0. 2 4
作出 y＝x
2
12 1 －x＝x－2 － 的图象，保留的图象为 4
y＝x2－x＝
1 1 x－ 2－ 的图象中 2 4
变换作图．
一、描点法作图 用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化 单调性、奇偶性、 简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即____________________ 周期性、最值 (甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． ___________
◆高考总复习•数学•(文科)◆
k<0，下移
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(2)对称变换．
①函数y＝－f(x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于x轴对 称得到； ②函数y＝f(－x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于y轴对 称得到；
③函数y＝－f(－x)的图象可以将函数y＝f(x)的图象关于原
点对称得到；
◆高考总复习•数学•(文科)◆
a＞1， 5 有四个交点，需 解得 1＜a＜ . 1 4 a－4＜1，
故a
5 1， . 的取值范围是 4
5 1， 答案： 4
◆高考总复习•数学•(文科)◆ 考点四
利用函数的奇偶性判断函数的图象
下图为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，则函数y＝ ( )
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(3)翻折变换． ①函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象(如图①)的
x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保
留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到(如图②)； ②函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象(如图①)右 边沿y轴翻折到y轴左边，替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y 轴右边部分即可得到(如图③)．即
画出y＝f(x)的图象；保留f(x)≥0 的部分，将 f(x)<0的部分以 x 轴 为对称轴翻折上去，即得 y＝|f(x)|的图象．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
变式探究
2．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)图象
如右图所示，给出四个函数：①y＝
f(－x)；②y＝－f(x)；③y＝|f(x)|； ④y＝f(|x|)，再给出下面四个图象， 则配对正确的是 ( )
◆高考总复习•数学•(文科)◆ 考点二
利用对称、翻折变换作函数图象
(1)作函数y＝| x－x2|的图象；
【例2】
(2)作函数y＝x2－|x|的图象．
思路点拨：根据函数解析式的特点，可按翻折变换法作
图．
◆高考总复习•数学•(文科)◆
x－x2，0≤x≤1， 解析：(1)y＝ 2 x －x，x>1或x<0，
大，观察图形可知，V(x)单调递减，且递减的速度越来越慢； 再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合．故选A. 答案：A
点评：对于函数图象的识别问题，若函数y＝f(x)的图象对 应的解析式很难求时，作为选择题，由于解题时间的限制，没 必要去求解具体的解析式，那样不但过程繁琐，而且计算复 杂．因此，根据函数值变化趋势，使用定性法来判断图象的形 状，不但求解快速，而且准确、节约时间．解题的关键在于准 确把握变化趋势，必要时可用特殊值(点)检验．