导数二次求导

1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
2.设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞2
21x ax -+。

1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得
()()11ln 11ln f x x x x x x
'=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ⎛
⎫+≤++ ⎪⎝⎭
，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘
1x 可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有
()11g x x
'=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。

所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。

又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。

应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。

再看第二问。

要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。

由上知()1ln f x x x '=+
，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。

我们可以尝试再对()1ln f x x x
'=+求导，可得()211f x x x ''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。

下面我们在接着分析当1＜x 时的情况，同理，当1＜x 时，()f x ''＞0，即()f x '在区间()1,+∞上为增函数，则()()11f x f ''≥=，此时，()f x 为增函数，所以()()10f x f ≥=，易得(1)()0x f x -≥也成立。

综上，(1)()0x f x -≥得证。

下面提供一个其他解法供参考比较。

解：（Ⅰ）()1ln f x x x '=+
，则()ln 1xf x x x '=+ 题设2'()1xf x x ax ≤++等价于ln x x a -≤。

令()ln g x x x =-，则()11g x x
'=-。

当0＜x ＜1时，()g x '＞0；当1x ≥时，()0g x '≤，1x =是()g x 的最大值点，所以 ()()11g x g ≤=-。

综上，a 的取值范围是[)1,-+∞。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()11g x g ≤=-，即ln 10x x -+≤。

当0＜x ＜1时，()()1ln ln 1ln ln 1f x x x x x x x x x ⎛
⎫=+-+=++- ⎪⎝⎭
11ln ln 10x x x x ⎛
⎫=--+≤ ⎪⎝⎭
因为1x -＜0，所以此时(1)()0x f x -≥。

当1x ≥时，()()11ln ln 1ln ln
10f x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=--+≥ ⎪⎝⎭。

所以(1)()0x f x -≥
比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。

不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！
2.设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+。

第一问很常规，我们直接看第二问。

首先要构造一个新函数()221x g x e x ax =-+-，如果这一着就想不到，那没辙了。

然后求导，结果见下表。

()22x g x e x a '=-+，继续对()g x '求导得()2x g x e ''=-
()0,ln 2
ln 2 ()ln 2,+∞ ()g x '' -
0 + ()g x ' 减 极小值 增
由上表可知()()ln 2g x g ''≥，而
()()ln2ln22ln2222ln222ln21g e a a a '=-+=-+=-+，由a ＞ln 21-知
()ln 2g '＞0，所以()g x '＞0，即()g x 在区间()0,+∞上为增函数。

于是有()g x ＞()0g ，而()02
002010g e a =-+⨯-=， 故()g x ＞0，即当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞2
21x ax -+。