【2016二轮讲练测精品数学】热点九 与圆有关的最值问题 【新课标】【练】【教师版】【理】
中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，»ABBC=，AC=，求的最大值.a b a b引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B ，线段AB 长度的x y 最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（ ）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，lα的最大值为； (B)；； (D) tanα∠43344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)215358174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A． B． C．5 D．1942456．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C. D.22-8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B． C．103D．41139．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，m n，则的范围为 .m n-12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是 .tan ABP m∠=m13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC= =，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O 于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
九年级数学《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题 人教新课标版
《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题一、填空题1．已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是． 【答案】52．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关是． 【答案】相离3．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为。
【答案】︒︒11565或4．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________． 【答案】3或175．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3cm 和5cm ，则AB 的长为cm 。
【答案】86．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是A Cm 异于点C 、A 的一点，若∠ABO=032,则∠ADC 的度数是.【答案】29°7．如图，⊙O 的直径为20cm ，弦cm AB 16=,AB OD ⊥，垂足为D 。
则AB 沿射线OD 方向平移cm时可与⊙O相切.【答案】48⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个8．如图在6单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【答案】4或69．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值X围是______________.【答案】-2<a<2 在数轴上数形结合的分析即可，注意原点左、右侧.10．如图, 已知△ABC,6∠90C．O是AB的中点，=AC，︒=BC=⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.【答案】332二、选择题11．若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为【答案】B12．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（）（A）相交（B）外切（C）外离（D）内含【答案】A13．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2 B．3 C．3 D．23【答案】D14．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【答案】B15．如图，在AABC 中，AB=BC=2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B ．3 c ．22 D ．23OCBA【答案】C16．如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°, 那么∠AOB 等于（ ）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】 D17．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）x 轴相切，与yx 轴相切，与y 轴相 x 轴相交，与yx 轴相交，与y 轴相【答案】C18．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是（ ） A ．1 cm B ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．或BC A【答案】C19．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）．A 、2B 、4C 、6D 、8 【答案】B ．20．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 【答案】B21．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值X 围是A ．－1≤x ≤1B ．2-≤x ≤2C ．0≤x ≤2D ．x ＞2 【答案】C22．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B23．如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）．（A）433 MN=（B）若MN与⊙O相切，则3AM=（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切（D）l1和l2的距离为2【答案】B24．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是A．2 B．1 C．222- D．22-【答案】：C25．如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°，则满足条件的点有几个 ( )PCBAl60°三、解答题 如图，以线段AB 为 三、解答题26．如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠.(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BDE ∠=，3PD =，求PA 的长。
4.2.4 与圆有关的最值(或范围)问题
一、学习目标
学习目标 1．掌握与圆相关的最值问题． 2．掌握利用斜率、距离求范围．(重点) 3．掌握数形结合的数学思想．(难点) 1．学会将目标函数转化成斜率、距离等 2．培养树形结合的思想.
学法指导
二、教材知识梳理
1．
y y0 表示点 ( x, y ) 与点 ( x0 , y0 ) 连线的斜率； x x0
2． ( x x0 )2 ( y y0 )2 表示点 ( x, y ) 与点 ( x0 , y0 ) 之间的距离； 三、典型问题与方法 1．转化成直线与圆相交求范围问题 y 例 1 (1)如果实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，求 的最大值和最小值； x (2) 如果实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，求 x－y 的最大值和最小值； [解析] (1)方法一：如图，当过原点的直
由题意知 l 过圆心(1，2)，由数形结合得 0≤k≤2. 答案：[0，2] 4．圆 O 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为________． 解析：点(2，3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2，3)的距离最大，最大距离为点(2，3)到圆心(3， 4)的距离 2加上半径长 5，即为 5＋ 2. 答案：5＋ 2 5．已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1，0)，B(5，0)． (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求点 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距离的最大值和最小值． 解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)如图(2)所示，过点 C 作 CD 垂直于直线 x－y＋1＝0， |3＋1| 垂足为 D．由点到直线的距离公式可得|CD|＝ ＝2 2. 2 又 P(x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2. 结合图形易知点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离的最大值为 2 2＋2，最小值为 2 2－2. 3．化为关于 x 或 y 的函数求解 例 4 若动点(x，y)在圆 x2＋y2－4x＝0 上，求 3x2＋4y2 的最大值． [解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝4，∴y2＝4x－x2，x∈[0，4]． ∴3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.
【2016二轮讲练测精品数学】热点九 与圆有关的最值问题 【新课标】【测】【教师版】【理】
2016年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1. 【2015届广东省惠州一中等六校高三8月联考】圆22220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（ ）AB． C． D．2+ 【答案】C2.【2016届贵州省遵义航大高三第七次模拟考试】已知直线1:+=x y l 平分圆4)()1(:22=-+-b y x C 的周长，则直线3=x 同圆C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，圆心),1(b C 在直线1:+=x y l 上，所以211=+=b ，即圆心)2,1(C ，半径为2=r ．由圆心)2,1(C 到直线3=x 的距离r d ==-=213知，此时，直线与圆相切．故选B ．3.【2016届北京市海淀区高三上学期期末考试】已知圆22(2)4C x y -+=：,直线1:l y =，2:1l y kx =-， 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为 AB ．1C ．12 D【答案】C 【解析】试题分析：圆圆心为（2，0），半径为2，圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：圆心到的距离为所以被圆所截得的弦长为：4，所以所以4. 【2016届黑龙江省大庆实验中学高三期末考试】从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12 B ．35C D ．0【答案】B 【解析】5.【2016届河北省正定中学高三第五次月考】直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．01m <<B ．42m -<<C ．1m <D ．31m -<< 【答案】A 【解析】试题分析：圆01222=--+x y x 的圆心为（1，0），半径2=r ，直线与圆有两个交点即相交的充要条件是221<+=m d ，解得)1,3(-∈m ，所以直线与圆有两个交点的充分不必要条件应该是)1,3(-的真子集，故选A ．6. 【安徽省皖北协作区高三年级联考】设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、8 【答案】A7.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】若()2,1P 为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．10x y --=B ．230x y --=C ．30x y +-=D ．250x y +-= 【答案】C 【解析】试题分析：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于-1，求出直线AB 的斜率，用点斜式求得直线AB 的方程．圆()22125x y -+=的圆心为（1，0），直线AB 的斜率等于110211---=-，由点斜式得到直线AB 的方程为112y x -=--（），即30x y +-=，故选 C ．8. 【2016届浙江省绍兴市一中高三期中考试】若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3,1]--B ．[3,1]-C ．[1,3]-D ．(,3][1,)-∞-+∞【解析】试题分析：由题意得，圆心(,0)a 到直线10x y -+=的距离小于或等于半径r =，即31a ≤⇒-≤≤，故选B ． 9. 【2015届云南省玉溪一中高三上学期第一次月考】曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A 1B 1-C 1-D ．2 【答案】A10. 【上海市松江区高三三模冲刺】已知||1,z z C α≤∈:,|,z i a z C β-≤∈：|．若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤ 【答案】C【解析】||1,z z C α≤∈:表示单位圆O 及其内部，|,z i a z C β-≤∈：|表示以(0,1)为圆心，a 为半径的圆C 及其内部，因为α是β的充分非必要条件，所以圆O 在圆C 内，因此2a ≥.11. 【2016届江西省重点中学盟校高三月考】已知圆C ：22(2)4x y -+=，圆M ：22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是 （ ）A ．5B ．6C ．10D ．12如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则PE PF ⋅ 最小值是HE HF ⋅.|H C|=|CM|-1=5-1=4，==，sin ∠CHE=12CE CH =， ∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin 2∠CHE=12，∴HE HF ⋅=1cos 2HE HF EHF ⋅∠==6，故选 B ．12. 【湖北模拟】若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3有公共点，则b 的取值范围是( )A.[1－1＋]B.[1，3]C.[－1,1＋]D.[1－，3] 【答案】D【解析】∵y ＝31≤y≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y≤3)，即曲线y ＝3表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3由点到直线的距离公式，得2|b －1|＝.结合图形知b ＝1－.∴1－≤b≤3，故选D. 二、填空题（4*5=20分）13. 【2016届衡水中学七调考试数学】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是 ． 【答案】[]4,6 【解析】14.【2016届江西省吉安一中高三上学期期中考试】在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为 ． 【答案】230x y +== 【解析】试题分析：圆标准方程为()()22329x m y m -++-=，圆心为(,)32C m m -，半径为3r =，圆心C 在直线26y x =-+上，点(1,1)到直线26y x =-+的距离为3d <，因此过(,)11且与直线26y x =-+平行的直线一定与圆C 相交，由于圆的半径是定值，因此满足题意的的直线l 的斜率为2k =-，方程为()121y x -=--，即230x y +==．15.【2016届浙江省十二校高三第一次联考】已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为 ．【答案】220x y +-=． 【解析】16. 【2016届河北省邯郸市高三月考】如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.【答案】()8,12.【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心坐标为()2,0，则圆心为抛物线28y x =的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线28y x =在第一象限交于点()2,4C ，C DyxOBAF作抛物线28y x =的准线2x =-，过点A 作AD 垂直于直线2x =-，垂足为点D ，由抛物线的定义可知AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点()6,0时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值为4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<，因此FAB ∆的周长的取值范围是()8,12.三、解答题题（6*12=72分）17. 【组卷网合作校特供】已知圆C ：422=+y x 和直线l ：01243=++y x ，点P 是圆C 上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A 、B ， （1）求与圆C 相切且平行直线l 的直线方程； （2）求PAB ∆面积的最大值.【答案】（1）01043=±+y x ；（2）11故11552221=⨯⨯≤∆PAB S18.【2014届湖南省高三十三校联考第二次考试理科数学试卷】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）33,105⎛⎫- ⎪⎝⎭19.【2015届山东菏泽一高第二次月考】已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．【答案】（1）x2＋y2＝4 （2）7【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r＝r，解得a＝0，r＝2.故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d12＋d2＝1.又|PQ|＝，|MN|＝所以S ＝12|PQ|·|MN|，即S ＝12××＝＝7， 当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.20. 【2015届山东省枣庄市第三中学高三1月月考理科数学试卷】（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）3=y 或者01243=-+y x ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0.（2）∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x 8分又|2|||MO MA =∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得：4)1(22=++y x 设为圆D 10分∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 11分 解得，a 的取值范围为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 12分 21．【2014届云南红河一高期中考试】已知以点C 2,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．【答案】（1）见解析（2）(x －2)2＋(y －1)2＝5（3）42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)点B(0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|P B′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q 的最短距离为|B′C|－r ＝＝.所以|PB|＋|PQ|的最小值直线B′C 的方程为y ＝12x ，则直线B′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 22.【2014届山东省莱芜市高三上学期期末考试理科数学试卷】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心，且经过点1()2M ，圆2C 的直径为1C 的长轴.如图，C 是椭圆短轴端点，动直线AB 过点C 且与圆2C 交于,A B 两点，CD 垂直于AB 交椭圆于点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆ 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）1y =+（2）因为直线AB CD ⊥且都过点(1,0)C①当AB 斜率存在且不为0时,设直线:1AB y kx =+,直线1:1CD y x k -=+,即0x ky k +-=, 所以圆心(0,0)到直线AB 的距离为d =,所以直线AB 被圆2C 所截弦AB==由2214x ky kxy+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得, 22(4)80k x kx+-=,②当AB斜率为0时,即//AB x,此时ABDS=<当AB的斜率不存在时,不合题意;综上, ABD∆,此时直线AB的方程为1y=+.：。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
专题2.9 与圆相关的最值问题讲-2017年高考数学理二轮复习讲练测 含解析 精品
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题画出圆，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围. 例1 【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】若直线10(0)ax by a b ++=>、过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．12 C.16D ．20【答案】C2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.例2 【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中考试】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦【答案】A3. 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：①圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； ④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.例3 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．((0,2)B ．(-C ．((2,32)-D ．((2,32]-【答案】C【解析】 由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于(1,3)时，满足只有两个圆上的点到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式可得13<<，因此((2,32)b ∈-. 故选C.4. 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.例4动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【答案】D5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z ，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.例5实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为【答案】2【解析】由题：20,023322≤≤∴≥-=x x x y ，因此29)3(212132222+--=-=+x x x y x ，所以当x=2时，22y x +取得最大值4最大值为2.【反思提升】综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解. 如22)()x a y b -+-（表示曲线上点(,)x y 与点（a,b ）之间距离的平方；y b x a--表示曲线上点(,)x y 与点（a,b ）连线的斜率；z Ax By =+注意将直线z Ax By =+在坐标轴上的截距与z 联系起来解题.。
与圆有关的考试题型及最值问题
与圆有关的考试题型一、求圆方程(普通方程、参数方程、极坐标方程) 1、（2014全国课标Ⅱ）23. 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 解：（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤）（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3,3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即33(,)22。
2、(2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三（上）12月联考数学)23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），曲线C 2的参数方程为（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1和C 2的极坐标方程； （2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜），将l 1逆时针旋转得到l 2：θ=α+，且l 1与C 1交于O ，P 两点，l 2与C 2交于O ，Q 两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P 的极坐标．解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2=4，所以C 1极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2=4，所以C 2极坐标方程为ρ=4sinθ （2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα，点Q 极坐标为（ρ2，4sin （α+）），即ρ2=4sin （α+），则|OP||OQ|=ρ1ρ2=4cosα•4sin（α+）=16cosα（sinα+cosα）=8sin （2α+）+4 ∵α∈（0，），∴2α+∈（，），当2α+=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，此时P 极点坐标（2，）．二、直线与圆的位置关系 (一)求弦长（适宜几何法）3、（天津文，14）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay 1=，利用圆心（0，0）到直线的距离d 1|1|a =为13222=-，解得a =1. 4、（2015全国课标Ⅰ）（23）在直角坐标系O χγ中。
例析高中数学与“圆”有关的最值问
例析高中数学与 圆 有关的最值问题傅树兵(福建省漳州招商局经济技术开发区海滨学校㊀３６３１２２)摘㊀要: 圆与方程 中与 圆 有关的最值问题是高考的常考问题.为提高学生解答与 圆 有关最值问题的能力ꎬ促进其数学成绩的进一步提升应在对相关问题认真归类的基础上ꎬ做好经典习题的讲解ꎬ给学生更好地解答类似问题带来良好启示.关键词:高中数学ꎻ圆ꎻ最值问题ꎻ例讲中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００４４－０３收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:傅树兵(１９８２.１１－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀与 圆 有关的最值问题解题思路灵活多变ꎬ其中函数视角㊁图形视角㊁对称视角㊁坐标视角㊁向量视角是解题的常用视角.不同视角适合分析的问题类型不同ꎬ解题细节存在较大差别ꎬ为使学生掌握不同解题视角的关键ꎬ教师应以经典例题为载体展开教学活动.１基于函数视角解题基于对函数单调性的认识与理解不难发现ꎬ运用函数单调性解题时关键需把握两点:(１)构建正确的函数类型ꎻ(２)以函数为依托探讨最值问题需围绕自变量开展.能否正确地确定自变量范围ꎬ关系着求解结果的正确性ꎬ需根据习题情境以及实际情况ꎬ因此ꎬ应认真确定自变量的上限与下限.例１㊀已知圆Ｍ和Ｎ的方程分别为:(ｘ－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－ｓｉｎθ)２＝１(０ɤθ<２π)ꎬｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＝０.若两圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ则ｔａｎøＡＮＢ的最大值为.分析㊀由ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＝０可得(ｘ－１)２＋(ｙ－２)２＝５ꎬ则圆Ｎ的圆心为(１ꎬ２)ꎬ半径为５.由(ｘ－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－ｓｉｎθ)２＝１可得圆Ｍ的半径为１ꎬ由两圆的关系可得｜ＡＢ｜ɤ２ꎬ其中当点Ｍ的坐标为图１(１ꎬ０)时ꎬ｜ＡＢ｜＝２ꎬ如图１所示ꎬ在әＡＮＢ中由余弦定理可得ｃｏｓøＡＮＢ＝ＡＮ２＋ＮＢ２－ＡＢ２２ＡＮ ＮＢ＝１０－ＡＢ２１０ȡ３５.由øＡＮＢɪ[０ꎬπ]ꎬ且ｙ＝ｃｏｓｘ在[０ꎬπ２]上单调递减ꎬ则øＡＮＢ为锐角ꎬ且当ｃｏｓøＡＮＢ＝３５时ꎬøＡＮＢ最大ꎬ而ｙ＝ｔａｎｘ在(－π２ꎬπ２)上单调递增ꎬ因此ꎬ当øＡＮＢ最大时ꎬｔａｎøＡＮＢ取最大值ꎬ最大值为４３.２基于图形视角解题借助圆的方程可实现对圆心㊁半径的准确刻画ꎬ解决与圆相关的一些问题.但是对于与 圆 有关的最值问题仅仅使用代数方法ꎬ有时不仅无法直观地４４洞察圆与其他对象之间的关系ꎬ而且陷入计算繁琐的境地.事实上ꎬ从几何角度来看ꎬ圆不仅是轴对称图形ꎬ而且是中心对称图形ꎬ并且学生已经系统学习过与圆相关的定理㊁性质ꎬ从图形视角解答最值问题有时会获得意想不到的效果.例２㊀已知直线ｘ＋ｙ＝４上存在一动点Ｐ.过点Ｐ向圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４引两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢ.在圆Ｇ:(ｘ－４)２＋(ｙ－５)２＝１上存在一动点Ｍꎬ则Ｍ到直线ＡＢ距离的最大值为.图２分析㊀设点Ｐ坐标为(ｍꎬｎ)ꎬ则可得ｍ＋ｎ＝４.由切线性质可得ＰＡʅＡＯꎬＰＢʅＯＢꎬ则ＡꎬＢ处在以ＰＯ为直径的圆上.设ＯＰ的中点为点Ｃꎬ则Ｃ(ｍ２ꎬｎ２)ꎬ半径ｒ＝１２｜ＯＰ｜＝１２ｍ２＋ｎ２.则圆Ｃ的方程为(ｘ－ｍ２)２＋(ｙ－ｎ２)２＝ｍ２＋ｎ２４.将其和圆Ｏ的方程联立得到两圆的公共弦ＡＢ的方程为ｍｘ＋ｎｙ－４＝０.即ｍｘ＋(４－ｍ)ｙ－４＝０ꎬ即ｍ(ｘ－ｙ)＋４ｙ－４＝０.令ｘ－ｙ＝０ꎬ４ｙ－４＝０ꎬ解得ｘ＝ｙ＝１ꎬ则直线ＡＢ恒过定点Ｑ(１ꎬ１).点Ｍ在圆(ｘ－４)２＋(ｙ－５)２＝１上ꎬ该圆的圆心为(４ꎬ５)ꎬ半径为１.如图２所示ꎬ点Ｍ到ＡＢ的最大值为｜ＧＱ｜ｍａｘ＝(４－１)２＋(５－１)２＋１＝６ꎬ故选Ｄ.３基于对称视角解题基于对称视角解答与 圆 有关的最值问题ꎬ首先应突破如何寻找对称关系这一重点.寻找对称关系基于相关经验以及对图形关系的深入洞察ꎬ尤其需思考找到 对称 对象后接下来该怎么处理ꎬ是否实现了化难为易的目的.根据经验ꎬ经过 对称 处理后ꎬ最值点往往出现在点的共线上ꎬ并且这一共线关系和一些圆的圆心关系密切.在这一方向指引下不难寻找到正确思路ꎬ接下来只需认真计算即可.例３㊀已知点Ｐ(ｔꎬｔ－１)ꎬｔɪＲꎬ点Ｅꎬ点Ｆ分别是圆ｘ２＋ｙ２＝１４ꎬ(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝９４上的动点ꎬ则｜ＰＦ｜－｜ＰＥ｜的最大值为.图３分析㊀根据题意可知点Ｐ在直线ｙ＝ｘ－１上.则点Ｅ所在圆的圆心为原点ꎬ半径为１２.点Ｆ所在圆的圆心为(３ꎬ－１)ꎬ半径为３２.作圆Ｏ关于直线ｙ＝ｘ－１对称的圆Ｏ１ꎬ设圆Ｏ１的圆心为(ｍꎬｎ)ꎬ则ｎ２＝ｍ２－１ꎬｎｍ＝－１ꎬ解得ｍ＝１ꎬｎ＝－１.则Ｏ１(１ꎬ－１)ꎬ圆Ｏ１的半径为１２.点Ｅ的对称点为Ｅᶄꎬ则ＰＥ＝ＰＥᶄ.如图３ꎬ｜ＰＦ｜－｜ＰＥ｜＝｜ＰＦ｜－｜ＰＥᶄ｜ɤ｜ＥᶄＦ｜ꎬ则当ＰꎬＥᶄꎬＯ１ꎬＯ２ꎬＦ五点共线时取等号ꎬ此时｜ＥᶄＦ｜＝(３－１)２＋(－１＋１)２＋１２＋３２＝２＋２＝４.４基于坐标视角解题对于与 圆 有关最值问题的求解ꎬ可根据实际情况从坐标视角进行分析ꎬ通过坐标计算与图形关系的结合不难寻找到解题思路.众所周知ꎬ平面图形中点的坐标与平面直角坐标系位置密切相关.为降低计算复杂度应首先依托现有的图形㊁线段关系构建平面直角坐标系.在此基础上合理设出相关参数ꎬ对相关点的位置加以准确刻画.根据经验一些点的位置往往是动态变化的ꎬ其轨迹会形成一个圆或圆的一段弧.对于圆弧而言可借助圆的方程以及对应参数范围加以限定.以此为基础充分利用题干中的５４已知条件逐渐向要求解的问题靠拢ꎬ直到经过运算能够运用熟悉的知识顺利得出结果.例４㊀已知әＡＢＣ为等边三角形ꎬ点Ｍ为ＢＣ的中点ꎬ点Ｐ是三角形内一动点ꎬ且ＰＡ＝２ＰＭꎬ则ＰＡＰＢ的最小值为.图４分析㊀以点Ｍ为坐标原点ꎬ建立如图４所示的平面直角坐标系.设三角形的边长为２ꎬ则Ａ(０ꎬ３)ꎬＭ(０ꎬ０)ꎬＢ(－１ꎬ０).设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＰＡ＝２ＰＭꎬ则ＰＡ２＝４ＰＭ２.即ｘ２＋(ｙ－３)２＝４ｘ２＋４ｙ２.整理得到ｘ２＋(ｙ＋３３)２＝４３(ｙ>０).则ＰＡ２ＰＢ２＝４ＰＭ２ＰＢ２＝４(ｘ２＋ｙ２)(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４１－３(ｘ＋１２)(ｙ－３２).当ｘ＝－１２时ꎬＰＡ２ＰＢ２＝４ꎬ此时ＰＡＰＢ＝２ꎻ当ｘʂ－１２时ꎬ令ｔ＝ｙ－３２ｘ＋１２ꎬ其表示Ｐ(ｘꎬｙ)和(－１２ꎬ３２)连线的斜率.设直线ｙ－３２＝ｋ(ｘ＋１２)ꎬ当该直线和上述圆弧相切时ꎬ由ｄ＝｜１２ｋ＋５３６｜１＋ｋ２＝２３３ꎬ解得ｋ＝－３３１３或ｋ＝３(舍去)ꎬ则当ｔ＝－３３１３时ꎬ(ＰＡ２ＰＢ２)ｍｉｎ＝３４.综上分析ꎬＰＡＰＢ的最小值为３２.５基于向量视角解题向量与线段的区别在于向量具有方向性ꎬ使得其运算必须遵循自身的法则ꎬ但是向量的模与线段的长度是统一的.针对这一情况ꎬ可从向量视角解决一些与 圆 有关的最值问题.一般情况下ꎬ基于向量视角解决与 圆 有关的最值问题时ꎬ一般题干中都会有提示ꎬ如以向量的形式给出已知条件或者要求与向量相关的最值等.当然仅仅知道这一点是不行的ꎬ需充分运用已知条件通过抽象㊁运算㊁整理等处理ꎬ使得一些隐含的关系清晰地展示出来ꎬ为向量知识的运用做好铺垫.例５㊀已知ＡꎬＢ为圆ｘ２＋ｙ２＝５上的两个动点ꎬ且｜ＡＢ｜＝１５ꎬ点Ｍ在直线２ｘ＋ｙ＝１０上运动ꎬ则｜ＭＡң＋ＭＢң｜的最小值为.分析㊀设原点为ＯꎬＡＢ的中点为Ｎꎬ连接ＯＮ.由圆ｘ２＋ｙ２＝５可得该圆的圆心为原点ꎬ半径为５ꎬ而｜ＡＢ｜＝１５ꎬ由勾股定理可知ＯＮ＝５２.则圆Ｎ的轨迹是以原点为圆心ꎬ半径为５２的圆ꎬ对应的方程为ｘ２＋ｙ２＝５４ꎬ易得｜ＭＡң＋ＭＢң｜＝２｜ＭＮң｜.当ＭＮң最小时ꎬＭꎬＮꎬＯ三点共线ꎬ且点Ｎ在点Ｏ㊁点Ｍ之间.圆心到直线２ｘ＋ｙ＝１０的距离ｄ＝｜－１０｜５＝２５ꎬ则｜ＭＮң｜ｍｉｎ＝ｄ－５２＝２５－５２＝３５２.则｜ＭＡң＋ＭＢң｜＝２｜ＭＮң｜＝３５.综上所述ꎬ高中数学与 圆 有关的最值问题是非常重要的一类问题.该类问题又被进一步细分为多种情境ꎬ而且不同情境应用的解题思路有时存在较大差别.实践中为使学生能够举一反三ꎬ实现解题能力以及解题灵活性的提升ꎬ在做好相关情境类似问题的基础上讲解常用的解题视角ꎬ并依托习题做好各视角在解题中的应用展示ꎬ鼓励学生多思考㊁多揣摩ꎬ将相关细节理解到位ꎬ把控到位.参考文献:[１]张志刚.例谈直线与圆中的最值问题[Ｊ].中学数学ꎬ２０１７(２３):５８－６０.[责任编辑:李㊀璟]６４。
与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案
与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____．2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C 33D．33BACMD 4.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n +m 的最大值．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是平面内的一个动点，且AD =2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O 的直径AB =5，AB 的不同侧有定点C 和动点P ，tan ∠CAB =．其运动过程是：点P 在弧AB上滑动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ． （1）当PC = 时，CQ 与⊙O 相切；此时CQ = ． （2）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长．（4）在点P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为 。
7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是．9．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .ODCEABE BODO BC10．如图，线段AB =4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4 23 C.322D. 211．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .14．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．215.（2015•）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．O ABDC P16.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174CQ PO AEFAQC PB18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．4219．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.22 C. 3 D.421．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .参考答案引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC =2，OA =3，由勾股定理得：OC =，∵∠BOA =∠ACO =90°，∴∠BOC +∠AOC =90°，∠CAO +∠AOC =90°，∴∠BOC =∠OAC ，tan ∠BOC =tan ∠OAC ==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图引例2.2a b +≤；原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC =a ，AC =b ．（1）求证：AE =b +a ；（2）求a +b 的最大值； （3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax =b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=P A．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习近几年高考试题分析发现，与圆有关的最值问题是高考热点问题之一。
这类问题既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活。
解决这类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
常见类型包括与圆有关的长度或距离的最值问题和与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题。
对于长度或距离的最值问题，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。
对于与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题，常见类型包括形如u＝x－a型、t＝ax＋by型和(x－a)2＋(y－b)2型。
这些问题可以转化为斜率的最值问题、动直线的截距的最值问题和动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题。
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面。
知识拓展包括圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC-r，圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径，以及圆C内一点M的弦长的最大值为直径，最小的弦长为圆心角对应的弧长。
解决与圆相关的最值问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
例如，与直线的倾斜角或斜率的最值问题可以利用公式k＝tan(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值。
处理方法包括分别讨论斜率的范围和倾斜角的范围。
例6】已知实数x,y满足方程$x^2+y^2-4x+1=0$，求：1) $x$ 的最大值和最小值；2) $y-x$ 的最大值和最小值。
解析】1) 将方程化为标准形式：$(x-2)^2+y^2=3$，得到一个以点 $(2,0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。
由于 $x$ 的取值范围为 $[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$，所以$x$ 的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为 $2-\sqrt{3}$。
【2016二轮讲练测精品数学】热点九 与圆有关的最值问题 【新课标】【讲】【学生版】【理】
热点九 与圆相关的最值问题纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.则实数m 的取值范围是（ ）2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围. 例2 【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中考试】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ， 使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）3. 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -；④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.例3 【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(2)5x y -+=上的任意一点，点Q (2,2)a a +，其中R a ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ）4. 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z ，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解.：。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
专题强化2 与圆有关的的最值问题(原卷版)..
微专题2与圆有关的最值问题知识梳理在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．最值问题解决方法(1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(3)圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(4)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(5)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．题型探究题型一、定点到圆上动点距离1．已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A ．1B ．2C ．22D ．3222．已知点(3,4)P --，Q 是圆22:4O x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．若实数x ，y 满足()()225+12144x y +-=，则22x y +的最小值为______．4．若圆C 的方程为224450x y x y ++++=，点P 是圆C 上的动点，点O 为坐标原点，则OP 的最大值为______．5．已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．6．已知,M N 分别是y 轴和圆22:650C x y x +++=上的动点，点()1,3P -，则PM MN +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2题型二、可转化为点到直线的距离问题1．已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=上，则22a b +的最小值为________．2．圆C ：()()22454x y -+-=上的动点P 到直线l ：10mx y m +--=的距离的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．93．点M 在圆222x y +=上，点N 在直线5y x =-上，则|MN |的最小值是（）A ．2B ．22C ．322D ．14．已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．842-B ．1682-C ．842+D ．1682+题型三、与斜率、截距有关的最值问题1．已知点(,)x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上．(1)求x y +的最大值；(2)求yx的最大值；(3)求22245x y x y ++-+的最小值．2．已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：(1)()223x y ++的最值；(2)12y x --的最值；跟踪训练1．已知半径为2的圆经过点()2,1，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A ．52+B ．52-C ．5D ．32．若点(5,3)P ，点M 在圆224240x y x y +-++=上运动，则PM 的最大值为___________.3．若(,)P x y 是圆221:(1)4C x y -+=上的任意一点，求(,)P x y 到原点的距离的最大值和最小值．4．已知(1,1)--P ，点Q 是圆22(2)(3)1x y -+-=上任意一点，求||PQ 的最大值．5．圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A ．21-B ．22-C ．2D ．06．已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（）A ．7212+B ．221+C ．5212+D ．9212+7．已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知实数x ，y 满足224640x y x y ++-+=，则x 的最大值是（）A ．3B ．2C ．1D ．以上答案都不对9．已知()4,0A ，()0,3B -，点P 在圆()()22:234C x y ++-=上运动，则ABP △面积的最大值是（）A ．25B ．20C ．15D ．1010．（多选）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．y x 的最大值为43B ．yx的最小值为0C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10．已知()M m n ，为圆C ：()2221x y -+=上任意一点，则1nm +的最小值为（）A ．2-B ．2C ．24-D ．2411．已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．630--B ．630+C ．630-+D ．630-12．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值．。
中考数学二轮复习《与圆有关的最值问题》知识梳理及典例讲解课件
8，此时PM长的最大值为 DK＝4.
典例2图答案
类型二点圆最值问题
模型解读：如图①，当点P在☉O外时，PA最短，PB最长；如图②，当
点P在☉O内的OA上时，PA最短，PB最长.
典例3 如图，圆与坐标轴分别交于点O（0，0），A（6，0），B（0，
2），P是圆上的一个动点，点C的坐标为（0，－3），则PC长的最小值
动点，以AD为直径作☉O，分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段
∵ OA＝OB，∴ △OAB为等腰直角三角形.∴ ∠OBA＝
45°.∴ 在Rt△OAB中，OA＝AB·
sin∠OBA＝2 ×
＝
MN＝ AC.当AC为
2.∵ M，N分别是AB，BC的中点，∴
直径时，AC长的值最大，即MN长的值最大，此时AC＝
2OA＝4，∴ MN长的最大值为2.
典例1图答案
典例2 如图，长为3的弦CD在以AB为直径的☉O上滑动（点C，D不与点
类型三线圆最值问题
模型解读：AB为☉O的一条定弦，C为圆上一动点.
1. 如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH的
长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.
2. 如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时，线段
CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.
上的点，且EF＝2，G为EF的中点.若P为BC上一动点，则PA＋PG的最小
值为多少？
解：如图，连接DG.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ADC＝∠BAD
＝90°.∵ 在Rt△EDF中，EF＝2，G为EF的中点，∴
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版理科数学】1.练高考1. 【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B.34πC.(6π-D.54π 【答案】A2. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2 B、 C 、6 D、 【答案】C【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --6==.选C .3．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】22(1) 2.x y -+=【解析】由题意得：==≤≤，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=4. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】过点（错误！未找到引用源。
，0）引直线ι与曲线y = 交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ） A.错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D-错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】画图可知过点（错误！未找到引用源。
，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.5. 【2012天津理8】设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A ）[1 （Ｂ）(,1)-∞∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ 【答案】D6. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣ ．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当直线L 与圆C 相切时，32得34k =±，又0543DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．2.练模拟1. 【2016届山东省寿光现代中学高三下学期开学检测数学】已知圆22240x y x y a +--+=上有且仅有一个点到直线34150x y --=的距离为1，则实数a 的取值情况为（ ）LA ．(),5-∞B ．4-C ．420--或D ．11- 【答案】B 【解析】试题分析：化圆的方程为22(1)(2)5x y a -+-=-－1=，解得4a =-，故选B ．2. 【2016届浙江省温州市高三一模数学】已知直线l ：b kx y +=，曲线C ：221x y +=，则“1b =”是“直线l 与曲线C 有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ． 【解析】3. 【2016届贵州省遵义航大高三第七次模拟考试】已知圆4)2()1(:22=-+-y x C 的周长，则点)3,3(P 与圆C 上的动点M 的距离的最大值为（ ）A ．5B ．25-C ．25+D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，圆心)2,1(C ，半径2=r ，点P 与圆C 上的动点M 距离的最大值252)23()13(22+=+-+-=+=r CP d ．故C 项正确．4. 【2016届河北省武邑中学高三上学期检测题】在平面直角坐标系x y O 中，圆1C :()()221625x y ++-=，圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA =AB ，则半径r 的取值范围是（ ）A ．[]5,55B ．[]5,50C ．[]10,50D ．[]10,55 【答案】A 【解析】5. 【2016届湖南省长沙市长郡中学第六次月考】若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b += ．【答案】18 【解析】试题分析：由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆2=222221)(1)18.a b ==⇒+=++-= 6. 【2015届山东省枣庄市第三中学高三1月月考理科数学试卷】（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）3=y 或者01243=-+y x ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0.7. 【学易大联考2015届高三上学期期末统考（新课标2卷）理科数学】（本题满分12分） 已知圆1C 的圆心在坐标原点O A 为圆上一动点，AM y ⊥轴于点M ，且动点N N 的轨迹为曲线C（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线2:+=kx y l 交曲线C 于不同的B A ,两点,O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ，其坐标满足方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+21322kx y y x消去y 并整理得0912)31(22=+++kx x k ,所以222(12)36(13)36360k k k ∆=-+=->，即21k >.221221319,3112k x x k k x x +=+-=+∴222222221221221)31()1(363136)31(1444)()(k k k k k x x x x x x +-=+-+=-+=-∴. 又原点到直线2:+=kx y l 的距离212kd +=AOB ∆∴的面积2122121212121x x kx x k d AB S -=+⨯-+⨯==令1,2>=t k t 则24116)1(93616)1(24)1(9)1(36169)1(36)31()1(36)(2222212+-+-=+-+--=++-=+-=-=∴t t t t t t t t t t x x S )1(>t ,当且仅当413t -=,即73t =时，2max 34S =，所以当273k =，即k =时，AOB ∆. 12分3.练原创1.若圆222410x y x y +---=上存在两点关于直线220ax by +-=(0,0)a b >>对称，则14a b+的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．D ．9 【答案】D 【解析】2.已知M ，N 是圆:A 2220x y x +-=与圆:B 22240x y x y ++-=的公共点，则∆BMN 的面积为 ． 【答案】23 【解析】试题分析：两圆方程相减，得440x y -=，即0x y -=，所以直线MN 的方程为0x y -=．化圆B 的方程为22(1)(2)5x y ++-=，所以(1,2)B -，所以圆心B 到直线MN 的距离d =＝，所以||MN ===，所以11||22BMN S d MN ∆==32． 3.已知过点(,0)(0)P t t >的直线l 被圆C ：222440x y x y +-+-=截得弦AB 长为4，若直线l 唯一，则该直线的方程为 ． 【答案】220x y +-=． 【解析】4. 点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（ ）（A（B ）（C ）（D ）2+【答案】C：。