数学2.3《幂函数》
课件14： 2.3 幂函数
[合作探究]
知识点一 幂函数的定义 幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量， 指数 α 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 思考 1
y＝2x2 和 y＝x2＋x 是不是幂函数？
提示： 不是，形式不符合幂函数的定义要求．
思考 2 如何区分指数函数与幂函数？ 提示：指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 为自变量；幂函数 y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数 α 为常数．
知识点三 幂函数的性质及应用 1．比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要 利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调 性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用来进行比较． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利 用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．
【跟踪训练 1】 已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时，
f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
[解] (1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1，
m2＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1，
正确的是( )
A．T1<T2<T3
B．T3<T1<T2
C．T2<T3<T1
D．T2<T1<T3
2
2
2
[解析]
(1)构造函数
y＝x
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
2.3幂函数
根指数,a称为被开方数,并且( )n=a(n>1,n为正整数) 。
例2
±24=16,±2叫做16的()次方根
±22=4,±2叫做4的()次方根
23=8,2叫做8的()次方根
16的4次方根为()
4的2次方根为()
8的3次方根为()
将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数，
增函数,在(0,+∞)上是减函数。
试结合函数y=x-2的图像，讨论函数的性质.
解：y=1 ,所以函数的定义域为{x|x≠0},列表描点画出图像.
2
(1)定义域:{x|x0};
(2)值域:()；
(3)函数是函数；
(4)函数在上是增函数,在上是
减函数。
谢谢大家的观看
3
6
2 3× 1.5× 12
1
33
2
1
2
1
6
=2×3 × ×(22 × 3)
1
2
1
-1 3
1 1 1
+ +
2 3 6
=2×3 ×(3×2 ) × 2
=21×2
1 1
−3+3
×3
1
2×6
×3
1
6
2.用计算器计算:
(1)2112(用科学计数法表示,保留四
位有效数字)
6
(2) 311(精确到0.001)
=6
(1)1511≈8.650×1012;
6
(2) 7≈1.383;
7
(3) −56.456≈-1.779.
5
5
10
=
(2)5=a2=
10
第2章2.3幂函数
(4)[0，+∞)， [0，+∞)
(6)(0，+∞)， (0，+∞)
(5)(-∞，0)∪(0，+∞)，(0，+∞)
必修一：第二章→幂函数
题型探究
【巩固训练】求下列函数的定义域、值域． (1)
4 y＝x 5；
(2) y＝x ；
1 5
(3) y＝x
-
1 4
.
【解析】
(1)定义域为R，值域为[0，＋∞)；
2 3
y
1 -1
(2) y= x (3) y=x
； ；
1 3 2 3
o
-1
1
(1) y=x3 2 (2) y= x 3 1 (3) y= x 3 2 3 x (4) y= x
(4) y=x
必修一：第二章→幂函数
知识导学
4.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图像 都过点(1，1)． (2)α>0时，图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上 是增函数． (3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，+∞)上是减函 数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在 y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图像在x轴上 方无限地逼近x轴．
1 2
③ f ( x) x ⑤ f ( x) x
3 5
R
(- ∞,0) ∪(0,+ ∞) (- ∞,0) ∪(0,+ ∞)
[0,+ ∞)
3 2
2 5
(0,+ ∞)
2 5
⑥ f ( x) x
R
必修一：第二章→幂函数
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
2.3 幂函数
2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 当堂训练1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －12．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是 …( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．函数y ＝x 12的图象是( )4．给出以下结论：(1)当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； (2)幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；(3)若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； (4)幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为__________． 课堂巩固1．下列函数中，在R 上单调递增的是( ) A ．y ＝|x| B ．y ＝log 2xC ．y ＝x 13D ．y ＝0.5x2．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．设α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，已知幂函数f(x)＝x α是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则满足条件的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(1x)>f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．设全集U ＝{x|y ＝3x}，集合P ＝{x|y ＝log 3x}，Q ＝{x|y ＝x 12}，则∁U (P∩Q)等于( )A ．{0}B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]6．函数y ＝x 2与y ＝x 12在第一象限的图象关于直线__________对称．7．若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f(x)＝________.8．已知函数f(x)＝(a －1)·xa 2＋a －1.当a ＝______时，f(x)为正比例函数； 当a ＝______时，f(x)为反比例函数； 当a ＝______时，f(x)为二次函数； 当a ＝______时，f(x)为幂函数．9．若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，－12)在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．1．当x>1时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)3．若幂函数y ＝x n对于给定的有理数n ，其定义域和值域相同，则此幂函数( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．一定不是奇函数D ．一定不是偶函数4．T 1＝(12)23，T 2＝(15)23，T 3＝(12)13，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 35．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．6．函数f(x)＝x a，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在a∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，a 可以取值的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．47．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a≠0)和y ＝ax ＋a 的图象应是( )8．已知函数f(x)＝－x －x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值( )A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．正负都有可能9．已知函数y ＝xm 2－2m －3的图象过原点，则实数m 的取值范围是__________．10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x≤0，x 12，x>0，若f(x)>1，则x 的取值范围是__________．11．如图，幂函数y ＝xm 2－2m －3(m∈Z )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．同步提升1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 231、解、选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122、解、选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错3、解、选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4、已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．24、解、选C.设f (x )＝x n ，则有2n＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12. 5、下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －345、解、选 D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x，x ≠0；D.y＝x －34＝14x 3，x ＞0.6、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．36、解、选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B. 7、下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④7、解、选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、解、选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．9、幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠19、解、选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1.10、函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．10、解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)11、幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．11、解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 1212、设x ∈(0,1)时，y ＝x p(p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．12、解、结合幂函数的图象性质可知p <1.答案：p<113、如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．13、解、依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 14＝1214α＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa .答案：a α＜αα＜a a ＜αa14、函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．14、解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.15、已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？15、解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.16、已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．16、解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y =x 52；（2）y =x43-；（3）y =x－2.17、分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； ③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.17、解：（1）函数y =x 52，即y =52x ，其定义域为R ，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y =x43-，即y =431x，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减. （3）函数y =x －2，即y =21x，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.18、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.18、分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y =x 31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 31的单调性即可，又函数y =x 31在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1.（2）（－22）32-=（22）32-，（－710）32=（107）32-，1.134-=［（1.1）2］32-=1.2132-.∵幂函数y =x32-在（0，+∞）上单调递减，且107＜22＜1.21，∴（107）32-＞（22）32-＞1.2132-，即（－710）32＞（－22）32-＞1.134-.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较. 19、幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .19、解、由幂函数，a =1，m =1，3，5，7.解、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m .【小结】做本题时，常常忽视m 2+ 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件. 表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x xy ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.2．3 幂函数答案与解析课前预习1．C 根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数定义，所以C 不是幂函数．2．B 由幂函数的图象可知，y ＝x 2在(－∞，0)上y 随x 的增大而减少，为减函数．3．C 函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且过(0,0)、(1,1)点，在x∈(0,1)上，图象恒在直线y ＝x 的上方．4．(4) 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x|x≠0，x∈R }，故(1)不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故(2)不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故(3)不正确．故选(4)． 课前巩固1．C 作出各函数的图象或利用函数的性质作出判断．2．B 作直线x ＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．3．A 由已知条件α<0且为偶函数，只有α＝－2. 4．D ∵f(x)是R 上的减函数， ∴1x <1.结合函数y ＝1x的图象可知x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 5．D U ＝{x|x∈R }，P ＝{x|x>0}，Q ＝{x|x≥0}． 于是P∩Q＝{x|x>0}，∁U (P∩Q)＝{x|x≤0}．6．y ＝x 根据幂函数y ＝x 2与y ＝x 12在第一象限的图象可知它们的图象关于直线y ＝x对称．此外，也可根据互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称去判断．7．y ＝x －1(或y ＝1x)8．－2 0或－1 －1±132 2 当f(x)为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f(x)为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，解得a ＝0或a ＝－1；当f(x)为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，解得a ＝－1±132；当f(x)为幂函数时，a －1＝1，解得a ＝2. 9．解：∵f(x)、g(x)都是幂函数，∴可设f(x)＝x α，g(x)＝x β.由题意，得(2)α＝2，得α＝2.(－2)β＝－12，得β＝－1.∴f(x)＝x 2，g(x)＝x －1.作出f(x)与g(x)的图象如图所示，从图中看出：(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；(2)当x=1时，f(x)=g(x)；(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)．课后检测1．C 作出图可知，当0<α<1，α＝0，α<0时均成立．所以α的取值范围是(－∞，1)．2．D 设f(x)＝x α，由2α＝14，得α＝－2， 故f(x)＝x －2，其单调增区间是(－∞，0)．3．D 可使用排除法，如y ＝x 12满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A 、B 均不对．y ＝x 3满足题意，它是奇函数，所以C 不对．4．D 幂函数y ＝x 23在第一象限内为增函数，故T 2＜T 1；又指数函数y ＝(12)x 在(0，＋∞)上为减函数，故T 1＜T 3.综上，T 2＜T 1＜T 3.5．二、四 当α＝－1时，图象过第一、三象限；当α＝12时，图象过第一象限；当α＝1,3时，图象过一、三象限．综上，可知图象不过二、四象限．6．B 因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝x a >|x|，x a 在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以a ＝－1,1显然是不成立的．当a ＝0时，f(x)＝1>|x|；当a ＝2时，f(x)＝x 2＝|x|2<|x|；当a ＝－2时，f(x)＝x －2＝|x|－2>1>|x|.综上，a 的可能取值为0或－2，共2个．7．B 当a>0时，图象y ＝x a 过原点，直线y ＝ax ＋a 是上升的，且在y 轴上的截距大于零，故C ，D 不成立；当a<0时，直线y ＝ax ＋a 是下降的，故A 不成立．故选B.8．B ∵f(x)为R 上的减函数，且为奇函数，又∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.∴f(x 1)<f(－x 2)＝－f(x 2)，即f(x 1)＋f(x 2)<0.同理，f(x 2)＋f(x 3)<0，f(x 3)＋f(x 1)<0，故f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)<0.9．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 由幂函数的性质知m 2－2m －3>0，故m<－1或m>3.10．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 令2－x －1>1，即2－x >2.由－x>1，得x<－1，它满足x≤0；令x 12>1，得x>1，它满足x>0. 综上，x<－1或x>1.11．解：由题意，得m 2－2m －3<0.∴－1<m<3.∵m∈Z ，∴m＝0,1或2.∵幂函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3为偶数．∵当m＝0或2时，m2－2m－3为－3，当m＝1时，m2－2m－3为偶数－4，∴y＝x－4.点评：幂函数y＝xα的图象与幂指数α的正负有关．当α>0时，图象恒过(0,0)，(1,1)点；当α<0时，图象是双曲线型，与坐标轴无交点．。
2.3幂函数
1．幂函数的定义 y＝xa(a∈R) 的函数叫 一般地，形如
做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对 于幂函数，一般只讨论a＝1, 2, 3，，－1 时的情形．
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
2．幂函数的图象与性质
3.5
qx = x3
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①f(x)＝(m2－m－1)x2m－1是幂函数； ②当x>0时，f(x)是增函数． 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
1.设
1 α∈－1，1，2，3，则使函数
解析：代入验证． 答案：－1或2
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)<f(3x)， 则x的取值范围是________．
解析：由 2x－1< 1 ∴ x≥2．
2x－1≥0， 3x得：3x>0， 2x－1<3x，
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
5．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值 时，f(x)是： (1)正比例函数； 解：(1)若 f(x)为正比例函数，则 (2)反比例函数； m ＋m－1＝1， ⇒m＝1. m ＋2m≠0 (3)二次函数； (2)若 f(x)为反比例函数，则 m ＋m－1＝－1， ⇒m＝－1. (4)幂函数． m ＋2m≠0
2 2 2 2
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝
－1± 13 2
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修14
幂函数的图象及应用
(1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα在第一象限的大致图 象，已知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2， C3，C4 的 α 的值依次为( )
A．－2，－12，12，2 C．－12，－2，2，12
B．2，12，－12，－2 D．2，12，－2，－12
(2)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的图象 并指出该函数的定义域与单调区间．
下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3
B．y＝2x2－1
C．y＝1x
D．y＝x32
解析：选 C.y＝2x3 中，x3 的系数不等于 1，故 A 不是幂函数；y
＝2x2－1 不是 xα的形式
数；y＝x32＝3x－2 中 x－2 的系数不等于 1，故 D 不是幂函数．
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
x∈(－∞， 0)，_减___
公共点
都经过点__(1_，__1_)__
2．比较下列各组数的大小： (1)3－52和 3.1－52； (2)－8－78和－1978； (3)4.125，3.8－23和(－1.9)35.
解：(1)函数 y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又 3＜3.1，所以 3－52 ＞3.1－52. (2)－8－78＝－1878，函数 y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18＞19， 则1878＞1978，从而－8－78＜－1978. (3)4.125＞125＝1；0＜3.8－23＜1－32＝1；(－1.9)35＜0， 所以(－1.9)35＜3.8－23＜4.125.
2.3幂函数
α
(1) y = x ( 2 ) y = x ( 3) y = x
2
3
( 4 ) y = x ( 5) y = x
1 2
−1
函数y=x的图象和性质 函数y=x的图象和性质
8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x
定义域： 定义域： 值 域：
R R
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1 2
1 2
(2) −( ) , −( 5 ) 4
−8 5 7 6
8 7
(3) ( ) , ( )
7 1.4 8
4 1.5 7
α >1 ﹢ (1)函数在 (0,﹢∞) 上都有意义； 函数在 α =1 2 3 −1 y y (2)函数 y = x， = x ， = x 是奇函数，函数 y = x 是偶函数； 是奇函数， 是偶函数； 函数 3 2 ﹢ (3)在区间1 (0,﹢∞) 上，函数 y = x ，y = x ， y = x 在区间 −1 和 y = x 2 是增函数，函数 y = x 是减函数； 是增函数， 是减函数； 0<α <1
•
奇偶性： 奇偶性： 上是奇函数 在R
在R 单调性： 上是增函数 单调性：
函数 y = x 的图象和性质
X 0 1 2 3
1 2
1 2
4 3
y
4
3 2
2 • 1 • o -1 -2 •
y=x
•
1 2
•
y=x
0 1
2
定义域： 定义域： [0,+∞) 值 域： [0,+∞)
第二章 2.3幂函数
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．32y x =与64y x =定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知222(22)23m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值． 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 B解析 因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴23＝⎝⎛⎭⎫13β，13＝⎝⎛⎭⎫23α， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的应用 命题角度1 比较大小 例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ；()23f x x ＝∵在(0，＋∞)上为增函数，∴223322,35⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数，20.350.30.3.∴>②由①②知0.32520.3.5⎛⎫> ⎪⎝⎭命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(1)(32)m m a a <－－＋－的a 的取值范围．考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(1)(32).a a <－－＋－因为13y x－＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数()21*()mmf x x m +∈N ＝．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)2112222,mm+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ()12f x x ∴＝，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 考点 幂函数的定义域和值域 题点 幂函数的定义域 答案 A4．若a <0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a . 5．先分析函数23y x ＝的性质，再画出其图象． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 23y x ＝＝3x 2，定义域为R ，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3B ．2C ．－3或2D ．3考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3. 3．已知幂函数()223(22)n nf x n n x－＝＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 C解析 因为函数()12f x x ＝在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a ，故选C. 6．设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，＝，＝，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，25y x ＝在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b ，所以a >c >b .7．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12考点 幂函数的图象 题点 幂指数大小关系问题 答案 B解析 令x ＝2，由图知C 1，C 2，C 3，C 4对应纵坐标依次减小，而1122222222->>>－，故选B.8．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2 B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2 C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2 D ．无法确定 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1,0)，C (x 2,0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |>12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故选A. 二、填空题9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 10．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．11．已知幂函数f (x )＝x 21m －(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________． 考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 三、解答题12．已知幂函数f (x )＝x 223m m －－(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 解 (1)由于幂函数f (x )＝x223m m －－在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x ) ＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2， 因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)， 所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100. ∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)． 四、探究与拓展14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式后再求值 答案 9解析 依题意有2＝4α，∴α＝12.∴当y ＝3时，x 12＝3，得x ＝9.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤0，3a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 ⎝⎛⎦⎤0，13 解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13.。
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课题 教 学 目 标 幂函数 知识与 技能 过程与 方法 情感态度 与价值观 教学重点 教学难点 教学方法 学过程： 教学过程： 1、导入新课 课时 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函 数的图象和性质． 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律 利用多媒体画图，引导学生观察图象得出幂函数的性质
，思考下列问题： 阅读教材 P90 的具体实例（1）~（5） 1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案）1． （1）乘以 1； （2）求平方； （3）求立方； （4）开方； （5）取倒数（或求－1 次方） ．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如 y = x α 的函数，其中 x 是自变量，是 α 常数． 2、讲授新课 (突出教学内容要点，阐述、分析、推导、采用的教学方法等。) 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 y = x α ( a ∈ R ) 的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象：
1
（1） y = x ； （2） y = x 2 ； （3） y = x 2 ； （4） y = x −1 ； （5） y = x 3 ．
1 2 [解] ○ 列表（略）○ 图象
材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1） ； （2） α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0,+∞) 上是增函数．特别地，当
4．用图象法解方程： （1） x = x − 1 ； （2） x = x − 3 ．
3 2
3、小结 (主要是本堂课的要点归纳，应写出结论性的文字。) 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？ 2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？ 4、作业布置： (含课内课外作业、思考题、讨论题等) 1．已知幂函数 y = f (x ) 的图象过点 (2, 2 ) ，试求出这个函数的解析式． 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 R 与管道 半径 r 的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为 3cm 的管道中，流量速率为 400cm3/s，求该气体通过半径为 r 的 管道时，其流量速率 R 的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 5cm，计算该气体的流量速率． 教学反思：能抓住五个基本幂函数的图象研究幂函数的性质。 教学反思：能抓住五个基本幂函数的图象研究幂函数的性质。
授课教师： 教师：
授课班级： 课班级：
授课时间： 授课时间：
周星期
3 3 6 6
2 3
（1） 2.3 4 ， 2.4 4 ； （3） ( 2 )
−
3 2
（2） 0.31 5 ， 0.35 5 ；
− 3 2
， ( 3)
3 2
；
（4） 1.1
−
1 2
， 0.9
−
1 2
．
2．作出函数 y = x 的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数 y = x −2 和函数 y = ( x − 3) −2 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
α > 1 时，幂函数的图象下凸；当 0 < α < 1 时，幂函数的图象上凸；
（3） α < 0 时，幂函数的图象在区间 (0,+∞) 上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向 原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 + ∞ 时，图象在 x 轴上方无限地 逼近 x 轴正半轴． 材料三：观察与思考 观察图象，总结填写下表：
y=x
1
பைடு நூலகம்
y = x2
y = x3
y = x2
y = x−1
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 例题 [例 1] （教材 P92 例题） [例 2] 比较下列两个代数值的大小： （1） ( a + 1) ， a
1.5
1.5
（2） (2 + a )
2
−
2 3
，2
−
2 3
[例 3] 讨论函数 y = x 的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 练习与例题 1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：