偏微分方程数值解课程设计

合集下载

偏微分方程数值解电子教案

第一边界条件：u( 0 ,t) μ(t) 三类边值条件：第二边界条件：ux ( 0 ,t) ν(t) 第三边界条件：u ( 0 ,t) hu( 0 ,t) θ(t) x 端点的运动规律端点所受外力 (Tux ) 弹性体受外力（以x 0为例，对x l也有）若μ(t)，ν(t)，θ(t)为零，称为奇次边界条件。若ux ( 0 ,t) 0 称自由边界条件。
方程(1)在点( x0 , y0 )处是双曲型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，其中 b 2 4ac.二阶双曲型方程的标准型是 2u 2u h( u , u , u, , ) 2 2
方程(1)在点( x0 , y0 )处是抛物型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，二阶抛物型方程的标准型是 2u h( u , u , u, , ) 2
t 2μ
10
以线性二阶偏微分方程为例，简单回顾一下偏微分方程的分类。考虑二阶偏微分方程 2u 2u 2u u u a 2 b c 2 d e fu g ( x , y ), (1) x xy y x y
注意
其中系数a , b, c , d , e和f设为x和y的函数，即方程(1)是线性的。 u u 如果系数 a , b和c是x , y, u, 和的函数，称方程(1)是拟线性的 x y
u(0 , t ) 0 两端固定， u( l , t ) 0 边值条件(边界条件) 定解条件 u( x ,0 ) ( x ) 设t 0时的位置、速度为：初值条件(初始条件) ut ( x ,0 ) ( x )
定解问题=泛定方程+定解条件定解问题：边值问题，初值问题（Cauchy问题或无边界问题），混合问题。

微分方程数值解法C语言-课程设计

微分方程数值解法C语言-课程设计微分方程数值解法C语言由于对matlab语言不熟悉，所以还是采用C。

前面几个都比较简单，最后一个需要解非其次方程组。

采用高斯—Jordan消元法（数值分析）求逆解方程组，也再一次体会到算法本身的重要性，而不是语言。

当然，矩阵求逆的算法也在100个经典的C语言算法之列。

不过偏微分方程数值解的内容的确比较高深，我只能停留在编这种低级的东西的自娱自乐中。

不过解决计算机、数学、信计专业的课程设计还是足够了。

由于篇幅所限，只把源代码粘贴在这。

一：预报矫正格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_0( double xn,double yn){//矫正格式double s;s=yn+0.1*(yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5);return s;}double count_1(double xn,double yn,double y0){//预报格式double s;s=yn+0.05*((yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5)+(y0/xn*0.5+xn*xn/y0*0.5));return s;}void main(){//计算,步长为0.1,进行10次计算,设初始值double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=10){printf("%16f ,%1.16f ,%1.16f\n",xn,yn,count_1(xn,yn,count_0(xn,yn)));xn=xn+0.1;yn=count_1(xn,yn,count_0(xn,yn));i++;}}二显示差分格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>main(){double a[6][11];//初始化；for(int i=0;i<=5;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//按显示格式计算for(i=1;i<=5;i++)for(j=1;j<10;j++)a[j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j+1]; //输出计算好的矩阵for(i=0;i<=5;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.10f ",a[j]);printf("\n");}}三龙阁库塔格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_k( double xn,double yn){ double s;s=yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5;return s;}void main(){//步长为0.1double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=11){printf("%f ,%f\n",xn,yn);double k1=count_k(xn,yn);double k2=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k1); double k3=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k2); double k4=count_k(xn+0.01,yn+0.1*k3); yn=yn+0.1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);xn=xn+0.1;i++;}}四 CRANK--NICOLSON隐式格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>double Surplus(double A[],int m,int n);double * MatrixInver(double A[],int m,int n);double * MatrixOpp(double A[],int m,int n) /*矩阵求逆*/ {int i,j,x,y,k;double *SP=NULL,*AB=NULL,*B=NULL,X,*C;SP=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));AB=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));X=Surplus(A,m,n);X=1/X;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<m*n;k++)B[k]=A[k];{for(x=0;x<n;x++)B[i*n+x]=0;for(y=0;y<m;y++)B[m*y+j]=0;B[i*n+j]=1;SP[i*n+j]=Surplus(B,m,n);AB[i*n+j]=X*SP[i*n+j];}}C=MatrixInver(AB,m,n);return C;}double * MatrixInver(double A[],int m,int n) /*矩阵转置*/ {int i,j;double *B=NULL;B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<m;j++)B[i*m+j]=A[j*n+i];return B;}double Surplus(double A[],int m,int n) /*求矩阵行列式*/ {int i,j,k,p,r;double X,temp=1,temp1=1,s=0,s1=0;if(n==2){for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++)if((i+j)%2) temp1*=A[i*n+j]; else temp*=A[i*n+j];X=temp-temp1;}else{for(k=0;k<n;k++){for(i=0,j=k;i<m,j<n;i++,j++) temp*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-i,r=m-1;p>0;p--,r--) temp*=A[r*n+p-1];}s+=temp;temp=1;}for(k=n-1;k>=0;k--){for(i=0,j=k;i<m,j>=0;i++,j--) temp1*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-1,r=i;r<m;p--,r++) temp1*=A[r*n+p];}s1+=temp1;temp1=1;}X=s-s1;}return X;}void initmat_A(double a[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)a[j]=0;for(i=0;i<9;i++){a=1+r;if(i!=8) a[i+1]=-0.5*r;if(i!=0) a[i-1]=-0.5*r;}}void initmat_B(double b[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)b[j]=0;for( i=0;i<9;i++){b=1-r;if(i!=8) b[i+1]=0.5*r;if(i!=0) b[i-1]=0.5*r;}}void initmat_C(double C[][9]){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)C[j]=0;}void main(){double a[100][11];for(int i=0;i<100;i++)for(int j=0;j<11;j++)a[j]=0;//初始化；for(i=0;i<100;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=4*3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//取h=0.1*3.14,r=0.0005，t=0.0001*3.14*3.14; //得到矩阵a和矩阵bdouble A[9][9];initmat_A(A,0.005);double B[9][9];initmat_B(B,0.005);//B矩阵与Un相乘,en是0;double C[9][9];initmat_C(C);double *A_;A_=MatrixOpp(A[0],9,9);//A矩阵求逆；//A逆*Bfor(i=0;i<9;i++)for(j=0;j<9;j++)for(int s=0;s<9;s++)C[j]+=A_[i*9+s]*B[s][j];//填写a表格for(i=0;i<100;i++){for(j=1;j<10;j++)for(int s=0;s<9;s++)a[i+1][j]+=a[s+1]*C[j-1][s];}//输出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f ",a[j]);printf("\n");}printf("\n"); printf("\n");//利用精确解，求出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f",exp(-16*0.0001*0.0005*3.14*3.14*i)*sin(4*j*0.1*3.14));printf("\n");}}。

偏微分方程数值解法

b[i].y=(i/(N+1))*(1.0/N);
}
}
void boundnote(int bd[],struct xy b[])//找出边界点
{
int i,j=1;
for(i=1;i<NG+1;i++)
{
if(b[i].x==0||b[i].x==1.0||b[i].y==0||b[i].y==1.0)
#define TSTP 0.01 //时间步长
#define TN 100 //时间迭代步数
#define J 1.0/(N*N) //雅可比行列式的绝对值
double u0(double x,double y) //初值函数u0
{
double z;
z=100*x*y*(x-1)*(y-1);
return z;
}
}
void AIJ(double **aij,double aryk[],int **a) //计算单元刚度矩阵
{
int i;
for(i=1;i<LEE+1;i++)
{
aij[i][1]=1.0/(12*N*N)+TSTP+2*TSTP*1.0/(54*N*N)*(aryk[a[i][1]]+aryk[a[i][2]]+aryk[a[i][3]]);// 1 1
//主元太小
}
//交换第ik行和第k行的元素
if(ik!=k)
{
double t;
for(i=k;i<NG+1;i++)
{
t=E[ik][i];
E[ik][i]=E[k][i];

偏微分方程第三版课程设计

偏微分方程第三版课程设计一、设计背景偏微分方程是应用数学中的一个重要分支，其在物理、力学、化学、工程等领域中具有重要的应用价值。

本课程设计旨在通过对偏微分方程的学习，提高学生对数学和应用数学概念的理解和解决实际问题的能力。

二、设计目标本课程设计的目标是：1.掌握偏微分方程的基本概念和解法；2.熟悉偏微分方程在各个领域中的应用；3.培养学生对数学运算和求解复杂问题的能力；4.提高学生的实践动手能力和团队协作能力。

三、设计内容1. 前置知识微积分、线性代数、常微分方程等基础数学知识。

2. 课程教学安排本课程设计分为以下几个模块：模块一：偏微分方程基本概念介绍偏微分方程的基本概念，包括一阶和二阶偏导数的定义，常见的偏微分方程类型及其求解方法等。

模块二：偏微分方程的分类和特殊方法介绍偏微分方程的分类及常见的特殊求解方法，包括分离变量法、变量代换法、特征线法等。

模块三：常见的偏微分方程问题讲解偏微分方程在物理、生物、化学、地理等领域中的应用。

以具体问题为例，讲解问题的数学建模、求解方法和结果分析。

模块四：偏微分方程数值解法介绍偏微分方程数值求解的基本原理。

探讨常用的数值方法，包括有限差分法、有限元法等。

模块五：课程项目分为小组进行实践性课程项目设计，涉及偏微分方程的建模、求解等具体内容，体现课程理论与实践的结合。

3. 教学方法本课程设计采用多种教学方法相结合，如理论讲解、实践探究、课堂演示和自主学习等。

4. 课程评估本课程设计的所有模块均包含课堂测试、实验报告、课程项目等评估方式，最终成绩由平时得分、课堂表现得分和期末综合成绩得分三部分组成。

四、总结通过本次课程设计，可以帮助学生掌握偏微分方程的基本概念和解法，提高其应用数学和解决实际问题的能力，培养其实践动手和团队协作能力，为学生的综合素养提高和进一步学习和研究搭建良好的基础。

偏微分方程课程设计

偏微分方程课程设计1. 研究背景和目的偏微分方程是数学中的一个重要领域，和物理、工程、生物等学科密切相关。

随着科学技术的不断发展和应用需求的增加，对偏微分方程研究的需求日益增长。

本次课程设计的目的在于，让学生了解偏微分方程的基本理论和应用方法，掌握数值解偏微分方程的基本算法，能够独立完成简单的数值计算和编程实现，为将来从事科学研究和工程实践打下基础。

2. 设计内容2.1 课程要求本次课程设计以数值解偏微分方程为主题，其中包括以下内容的学习和掌握：•常用的偏微分方程及其求解方法；•常见的数值算法，包括差分法、有限元法、有限差分法等；•常用的数值计算工具和编程语言；•实际应用案例的解析和模拟。

2.2 设计步骤本次课程设计将分以下步骤进行：第一步：了解偏微分方程及其应用介绍偏微分方程的基本概念和应用领域，讲解常见偏微分方程的分类以及各自的数值求解方法。

第二步：掌握数值算法详细讲解差分法、有限元法、有限差分法等常用数值算法原理，分析其优缺点和适用条件。

第三步：熟悉数值计算工具和编程语言介绍常用的数值计算工具和编程语言，如Matlab、Python等，讲解其基本语法和使用方法，以及与数值算法的结合使用。

第四步：应用案例的解析和模拟通过一些实际应用案例，如热传导方程、波动方程、扩散方程等，对学生进行实例分析和模拟。

让学生了解在实际问题中如何应用偏微分方程和数值算法进行求解。

2.3 计算机编程实现本次课程设计将涉及到计算机编程，学生需要使用一些编程工具和语言实现偏微分方程的数值计算。

常用的编程语言包括Python、C++、Java等。

在编程实现过程中，可以涉及到常用的科学计算库和数据可视化库，如Numpy、Scipy、Matplotlib等。

3. 总结和展望本次课程设计主要是让学生了解偏微分方程的基本理论和应用方法，掌握数值解偏微分方程的基本算法，能够独立完成简单的数值计算和编程实现。

希望通过本次课程设计，能够为学生将来的科学研究和工程实践提供有力的支撑和帮助。

偏微分方程数值解-上海交通大学数学系

1．椭圆型方程的差分方法：从一个简单例子谈起; 求解矩形域上 Poisson 方程
的五点差分方法的构造；二维情形离散极值原理和最大模估计；五点差分方法的收敛性分析；求解五点差分方法的迭代方法和快速方法；矩形域上 Poisson 方程九点差分格式构造方法；Matlab 介绍。（A5，B2，B3，C4）
2．发展方程有限差分法的基本概念和理论：发展方程差分方法的构造；差分格
式的抽象描述；差分格式研究的基本概念：相容性，截断误差，收敛性和稳定性；稳定性判别的 Fourier 方法，Von-Neumann 条件；两层和多层差分格式的稳定性分析；差分格式稳定性的其它研究方法和差分格式构造的其它方法。（A5，B2，B3）
偏微分方程数值解课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）课程代码（Course Code） *课程名称（Course Name）课程性质 (Course Type) 授课对象（Audience）授课语言 (Language of Instruction) *开课院系（School）先修课程（Prerequisite）授课教师（Instructor） MA3152 /MA309 *学时（Credit Hours） 64 *学分（Credits） 4
6．有限元离散方法：一维问题的有限元方法；子结构方法编程；理论分析（误
差估计与有限元线性代数方程组性质）；二维问题有限元方法简介。（A5， B2，B3，C4）
elliptic problems in arbitrary domains. The numerical performance of the core algorithms mentioned will be exhibited in class to illustrate their intuitive effect and practicability. With the practice as a highlight of the course, the students must accomplish several project reports. 课程教学大纲（course syllabus）

偏微分方程数值解讲义教学设计

偏微分方程数值解讲义教学设计1. 课程简介本课程是针对大学数学及计算机专业的高年级本科生或研究生开设的，旨在介绍偏微分方程数值解方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

本课程的学习目标是掌握偏微分方程数值解的基础理论和常用方法，以及了解数值解的数学原理和应用场景，并能够扩展应用所学知识解决相关实际问题。

2. 教学内容2.1 引言•偏微分方程的概念、分类和基本理论；•数值解的概念和分类，数值解的误差理论。

2.2 有限差分法•一维抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限差分格式；•非线性偏微分方程的数值求解；•高维问题的数值求解。

2.3 有限元法•一维线性抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限元求解方法；•二维和三维问题的有限元求解方法；•有限元法的加权残差方法和变分原理。

2.4 谱方法•调和方程的分离变量方法和Fourier级数解法；•Laplace方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法；•泊松方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法。

3. 教学手段3.1 讲课本课程采用讲课和练习相结合的方式，通过讲解理论知识和数值计算实例，并基于MATLAB或Python等数值计算软件进行演示。

3.2 练习结合课程中的实例，进行数值计算作业和课程项目的设计，以提高学生的理论知识和计算能力。

4. 教材教材推荐：•Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by G. D. Smith •Finite Element Method: A Practical Course by C. S.Chen5. 教学评估学生的教学成绩考核由以下三部分组成：•期中考试（占成绩的30%）；•期末考试（占成绩的50%）；•课程设计作业（占成绩的20%）。

6. 教学进度内容讲课时间引言2课时有限差分法（一）6课时有限差分法（二）6课时有限差分法（三）4课时有限元法（一）6课时有限元法（二）6课时有限元法（三）4课时谱方法6课时课程设计作业4课时或更多7. 总结本文介绍了一个偏微分方程数值解讲义的教学设计，包括课程简介、教学内容、教学手段、教材、教学评估和教学进度等方面的内容。

偏微分方程数值解法第二版教学设计

偏微分方程数值解法第二版教学设计课程介绍偏微分方程数值解法是应用数学中一门重要的课程，主要介绍偏微分方程的基本理论和数值解法。

本课程是第二版，主要更新了课程内容和案例实现，使学生更好地掌握偏微分方程的数值解法。

本课程适用于应用数学和工科相关专业的本科生。

教学目标1.掌握偏微分方程基本理论；2.熟练掌握偏微分方程的数值解法；3.能够应用偏微分方程数值解法解决实际问题；4.增强数学建模思维和实验能力。

教学内容本课程主要包括以下内容：偏微分方程基本理论•一维波动方程的数值解法•热传导方程的数值解法•Laplace方程的数值解法•解法的稳定性和收敛性分析偏微分方程数值解法•有限差分法•有限元法•边界元法•数值方法的误差分析应用案例实现•物理学问题数值解法•工程问题数值解法•生物学和环境学问题数值解法教学方法本课程采用翻转课堂的教学方法，即先让学生通过在线学习平台学习相应的理论基础和数值方法，然后通过课堂讨论、小组合作和案例实现活动来加深理解。

评价方式评分组成为平时成绩和期末成绩。

平时成绩包括在线学习平台作业和课堂表现等，占比30%；期末成绩包括期末论文和考试，占比70%。

参考教材1.Numerical Solution of Partial Differential Equations by theFinite Element Method, Claes Johnson, Dover Publications, 2009.2.Numerical Methods for PDEs: Finite Difference and FiniteVolume Methods, Sandip Mazumder, Springer, 2016.3.A First Course in Finite Elements, Jacob Fish, TedBelytschko, John Wiley & Sons, 2007.总结偏微分方程数值解法是应用数学和工科专业中重要的课程之一。

偏微分方程数值解电子教案

14
u
F
2
T2
C
x : T2 cos 2 T1 cos 1 0 y : T2 sin 2 T1 sin 1 Fdx ( dx)utt
1
B
T1
A x x+dx x
由于微小横振动： 1 0， 2 0， cos 1 1， cos 2 1， sin 1 tg 1， sin 2 tg 2 u 而tg为斜率，即ux， sin 1 tg 1 ux | x , x sin 2 tg 2 ux | x dx
值求解方法概述.
§1
微分方程
数学来源人类的社会生产活动。现代数学的产生和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展相辅相成的：它们为数学提出问题，而数学在解决这些问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果反过来推动这些学科的发展。现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即一个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系的数学表达就是微分方程。
1
2
学习和了解科学计算的桥梁
3
序言
偏微分方程数值解能够做什么？
4
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算
5
偏微分方程数值解研究的对象
研究偏微分方程的数值实现、分析和有关理论基础与软件实现。
偏微分方程数值解主要是有限差分法和有限元法。
6
偏微分方程数值解的内容
t 2μ
10
以线性二阶偏微分方程为例，简单回顾一下偏微分方程的分类。考虑二阶偏微分方程 2u 2u 2u u u a 2 b c 2 d e fu g ( x , y ), (1) x xy y x y

偏微分方程数值解法教学大纲

《偏微分方程数值解》课程教学大纲Numerical Solution of Partial Differential Equation课程代码：课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：2003年3月修订年月：2007年7月执笔：王琦一、课程的性质和目的《偏微分方程数值解法》是计算数学专业的一门重要专业基础课。

它不仅对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其它后继课程和解决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大作用。

本大纲是根据教育改革发展和面向二十一世纪高等数学专业课程设置和教学内容改革的要求，针对培养目标的需要进行设计的。

二、课程教学内容及学时分配第一章常微分方程初值问题10学时第二章变分原理8学时第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法10学时第四章离散方程的解法8学时第五章抛物型方程和双曲型方程12学时第一章常微分方程初值问题1.1 引论1.2 Euler方法和线形多步方法1.3 稳定性，收敛性和误差估计1.4 预估—校正算法1.5 Runge—Kutta方法第二章常微分方程初值问题2.1 二次函数的极值2.2 二阶椭圆边值问题2.3 Ritz方法第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法3.1 差分逼近的基本概念3.2 一维差分格式，矩形网和三角网差分格式3.3 极值定理3.4 解一维问题的线形元及误差估计3.5 解二维问题的矩形元和三角形元3.6 有限元方程3.7 收敛阶的估计第四章离散方程的解法4.1 离散方程的基本特征4.2 追赶法与迭代法4.3 超松弛法4.4 共轭斜量法第五章抛物型方程和双曲型方程5.1 稳定性与收敛性5.2 分离变量法5.3 差分格式的应用5.4 交替方向隐格式5.5 线形双曲型方程的差分逼近5.6 拟线形双曲型方程组5.7 基本定解问题和特征线法5.8 特征差分格式四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程。

偏微分方程反问题的数值解法教案

E +U =
可知速度 v 满足：
1 2 mv + mgy = mgh 2
ds = v = 2 g (h − y ) dt
于是，有任一点 p1 滑到 p0 所需要的总时间为：
T = T ( h) = ∫
2
p1 p0
2 h 1 + ψ ′( y ) ds dy, h > 0 =∫ 0 v 2 g (h − y )
1 2a π T
∫
+∞
−∞
φ (ξ ) exp ⎨
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ ⎬dξ = uT ( x) 2 ⎩ 4a T ⎭
（2）若 φ ( x) ≡ 0 ，但 f ( x, t ) = z (t ) χ D ( x) ，则有
u ( x, t ) =
1 2a π
1
∫∫
t
+∞
0 −∞
⎧ −( x − ξ ) 2 ⎫ z (τ ) exp ⎨ 2 ⎬d ξ dτ t −τ ⎩ 4a (t − τ ) ⎭
1.1 反问题的若干例子
背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的 Cauchy 问题时开始研究反问题的不适定性。
20 世纪 40 年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法，《Solutions of ill-posed problems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》（王秉忱，1979，地质出版社）)， Landweber 和 Fridman，迭代正则化方法。Morozov 和 Groetsch 把不适定问题的正则化放在抽象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。
第一章绪论
近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法如广义脉冲谱方法（GPST），最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。

《偏微分方程数值解》课程教学大纲

《偏微分方程数值解》课程教学大纲《偏微分方程数值解》课程教学大纲课程名称：偏微分方程数值解课程代码：MA309学分 / 学时：4学分 / 64学时适用专业：数学系和与科学计算相关的专业先修课程：偏微分方程，科学计算（I）后续课程：科学计算（II），科学计算选讲开课单位：理学院数学系一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，使学生掌握偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理。

教学目标：重点介绍偏微分方程数值解的有限差分法、和有限元方法，培养学生以计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。

本课程各教学环节对人才培养目标的贡献见下表。

知识能力素质要求各教学环节的贡献度课堂讲授课堂讨论自学小组大作业作业考试课堂整体贡献度知识知识体系完整掌握求解线性偏微分方程的有限差分方法，掌握变分原理和有限元方法的基本知识√√√能力清晰思考和用语言文字准确表达的能力√ √√ √ √√√√√ √√ √√ 发现、分析和解决问题的能力√√ √√ √√ √√√√√ √√ √√ 批判性思考和创造性工作的能力√√ √√√√√ √√√√√ √√ √√ 与不同类型的人合作共事的能力√ √ √√至少一种外语的应用能力√ √ 终生学习的能力√√ √√ √√ 组织管理能力√ √ 获取整理信息的能力* √ √√ √√√√√ √√ √√素质志存高远、意志坚强√ √ √√ √ 刻苦务实、精勤进取√√ √√ √√ √√ √√ √√ √√ 身心和谐、视野开阔√ √ √√ √√ 思维敏捷、乐于创新√√ √√ √ √√√√ √√ √√二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）教学内容学时课堂教学讨论作业及要求自学及要求团组大作业及要求第一章总论微分方程数学模型及举例；微分方程数值解的重要意义和基本问题。

偏微分方程教学设计 (2)

偏微分方程教学设计一、教学背景本教学设计主要针对偏微分方程课程，属于高等数学中的一门重要课程。

偏微分方程广泛应用于物理、化学、工程、生物等众多领域，是现代科学研究和工程技术应用的基础之一。

在教学中，需要让学生深刻理解偏微分方程的概念和基本解法，掌握偏微分方程解法的基本技能和方法，提升学生综合运用数学知识的能力和解决实际问题的能力。

二、教学目标•让学生了解偏微分方程的基本概念和分类•让学生掌握常见的偏微分方程解法方法•提高学生分析实际问题、建立数学模型的能力•提高学生解决实际问题、进行数值计算的能力•培养学生综合运用数学知识的能力三、教学内容1. 偏微分方程基本概念•偏导数的定义和意义•偏微分方程的定义和分类•一阶偏微分方程解法：特征线法•二阶及以上偏微分方程解法：分离变量法、变量代换法2. 偏微分方程的应用•传热传质问题•波动问题•定常问题•电磁场问题3. 数值解法•一些常见的数值方法：有限差分法、有限元法、谱方法、众多的数值软件四、教学方法1. 讲授在讲授环节，教师将系统性地讲解偏微分方程的基本概念和分类，重点介绍偏微分方程的解法方法，包括特征线法、分离变量法和变量代换法等。

2. 课堂练习在上课期间，教师将设置多个练习环节，让学生亲身体验偏微分方程的解法方法，加深学生对该知识点的理解。

3. 课下作业课下作业主要是为了巩固学生的学习成果，教师将为学生布置相关的习题，以便学生能够更深入地理解和掌握偏微分方程的解法方法。

4. 实例分析采用实际案例进行分析，让学生了解到偏微分方程在实际问题中的应用，并培养学生解决实际问题和建立数学模型的能力。

五、教学评估教学评估主要通过学生课堂练习、课下作业和期末测试等方式进行。

其中，课堂练习和课下作业的成绩占教学总成绩的40%，期末测试占60%。

六、教学资源教师将为学生准备相关的教学资源，包括教材、课件、作业题等。

并引导学生科学地利用网络资源，充分发挥自主学习的效果。

(完整word版)偏微分方程数值解课程设计

课程设计报告课程：偏微分方程数值解学号：姓名：班级：教师：《偏微分方程数值解》课程设计指导书一.课程设计的目的1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。

2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。

3.锻炼编写程序代码的能力。

二.设计名称差分法求自由振动问题的周期解。

三.设计要求1.要求写出差分隐格式的理论方法。

2.要求编写matlab 程序，画出函数图形。

3.要求写出实验总结及心得体会。

四.设计题目用差分法求自由振动问题的周期解：2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u ux t t x u u x t u t u t π==⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪=⎪⎪⎩要求用差分隐格式求解，其中14θ=。

五.设计细则 1.区域剖分：构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线⎩⎨⎧===±±===,2,1,0,,,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。

2.离散格式：显格式：于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=+-++==-+-++-12112110210102100)1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τϕϕϕϕϕ隐格式：上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2),()()1()]()([2),(211111211211111221110210102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττϕϕϕϕϕ其中10≤≤θ是参数。

偏微分方程数值解课程案例教学

关键词］偏微分方程数值解；案例教学；教学质量一、引言作为计算数学方向研究生的重要基础课程，偏微分方程数值解的课程教学改革引起了人们的关注。

张宏伟教授[７]提出了以培养学生研究能力为主要目的的教学模式，廉海荣等[３]探讨了研究生课程的研究型教学模式，李郴良[２]讨论了以训练学生数学思想方法为主的探究式教学方法，张新明[９]探索了分层次项目驱动的教学方法。

这些教学模式和教学方法为提高该课程的教学质量提供了良好的参考。

近年来，人们探讨了案例式教学方法，并进行了相应的教学改革尝试，取得了良好的效果。

王国成等[５]将PBL教学法和案例教学法相结合，探讨了研究生课程教学改革方法，沈利民等[４]讨论了研究生课程的案例库建设方案和案例教学的具体实践，肖绪洋等[６]结合课程的特点，构建了一些典型教学案例开展教学改革活动，张竞成等[８]根据与课程知识的关联度、典型性和前沿性，选取适当案例进行教学改革实践，傅伟锋等[１]分析了美国研究生案例教学的理论与方法、组织实施体系，总结其特色，从课前准备、教学过程、案例库建设、教师激励和教学辅助体系等方面提出了建议。

我们博采众长，根据偏微分方程数值解课程的特点，结合多年的教学积累，进行了案例教学的改革活动，培养学生的创新能力，提高课程教学质量。

二、案例教学法案例教学法由美国哈佛法学院前院长克ngdell于1870年首创，后由美国哈佛商学院倡导成为当时很独特的一种教学方法。

其所选取的教学案例都来自商业管理中的实际事件或情境，通过学生主动参与课堂讨论等活动，培养学生的分析问题、解决问题的能力。

由于教学效果良好，该方法迅速从美国推广到世界各地。

案例教学法具有以下几个特点：一是鼓励学生独立思考。

二是以培养学生能力为主。

三是教学相长。

在教学过程中，学生根据案例要求，认真主动地去查阅相关的理论知识，经过仔细思考，提出解决问题的方案。

在这些活动过程中教师要给以引导，这促使教师事先要认真思考，根据学生的反馈和要求补充有关新的教学内容。

偏微分课程设计

偏微分方程数值解课程设计学院：专业：学号：姓名：教师：时间：一、问题提出应用六点对称格式（Crank-Nicolson 格式）计算如下问题：.10,),1(,),0(.10,)0,(.10,10,0122≤<==≤≤=≤<<<=∂∂-∂∂+t et u e t u x e x u t x xu t u ttx其精确解为.),(t x e t x u +=二、网格剖分为了用差分方法求解上述问题，将求解区域{}10,10|),(≤≤≤≤=Ωt x t x 作剖分。

将空间区间[0,1]作m 等分，将时间区间[0,1]作n 等分，并记nk k t m i ih x n m h k i ≤≤=≤≤===0,,0,,/1,/1ττ。

分别称τ和h 为空间和时间步长。

用两簇平行直线分割成矩形网格。

将Ω≤≤=≤≤=n k t t m i x x k i 0,,0, 三、理论准备（一）向前差分格式，即1(4.1.4)11122k kk k kjjj j j j u u u u u af hτ++---+=+，()j j f f x =，2(4.1.4) 00(),0k kj j j N u x u u ϕϕ====，其中1,2,,1,1,2,,1j N k M =⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-。

以2r a h τ=表示网比。

将1(4.1.4)改写成便于计算的形式，使第k 层值（上标为k ）在等式右边，第1k +层值在等式左边，则得'1(4.1.4) 111(12)k k k kjj j j j u ru r u ru f τ++-=+-++。

取0k =，则利用初值0j j u ϕ=和边值00kkN u u ==，可由'1(4.1.4)算出第一层值1j u 。

于'1(4.1.4)取1k =，又可利用1j u 和边值由'1(4.1.4)算出2j u 。

如此下去，即可逐层算出所有kj u ，并视kj u 为真解(,)j k u x t 的近似。

偏微分方程数值解实验报告

b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1, 'o' ) legend( ' 数值解 ' , ' 解析解 ' ) function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n q(i)=b(i)-a(i-1)*c(i-1)/q(i-1); p(i)=d(i)-p(i-1)*c(i-1)/q(i-1);
（2） u
uh H 1 、 u
uh
L2
、
max
0 x1
u - uh
2、用线性元求解下列问题的数值解：
u = -2,-1< x, y < 1, u(x,-1)= u(x,1)= 0,-1< x < 1, ux(-1, y)= 1,ux = 0,-1< y < 1.
精确到小数点后第六位，并画出解曲面。