高中数学人教A版选修4-1学业分层测评：章末综合测评2(含答案解析)

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O 中，∠AOB ＝84°，则弦AB 所对的圆周角是( )A ．42°B ．138°C ．84°D ．42°或138°【解析】 弦AB 所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°. 【答案】 D2．如图1，一圆内切四边形ABCD ，且AB ＝16，CD ＝10，则四边形的周长为( )图1A ．50B ．52C ．54D ．56【解析】 由切线长定理知CD ＋AB ＝AD ＋BC . ∵AB ＋CD ＝26，∴AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝52. 【答案】 B3．如图2，⊙O 经过⊙O 1的圆心，∠ADB ＝α，∠ACB ＝β，则α与β之间的关系是( )图2A ．β＝αB ．β＝180°－2αC ．β＝12(90°－α)D ．β＝12(180°－α)【解析】 如图所示，分别连接AO1，BO 1.根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D4.如图3所示，∠A ＝50°，∠ABC ＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于( )图3A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°【解析】 由题意知，∠D ＝∠A ＝50°， ∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝90°－50°＝40°， 又∠ACB ＝180°－50°－60°＝70°，∴∠AEB ＝∠CBD ＋∠ACB ＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B5．如图4，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图4A.103B.23 C ．1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM ＝∠A .∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ，∴△ABC ∽△BEC ，∴AB BE ＝BCEC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC ，∴64＝4EC .∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103.【答案】 A6．如图5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )图5A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【解析】 ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°. 【答案】 D7．如图6，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为( )图6A.53 3 B.56 3 C ．10D ．5【解析】 连接OC ，则有∠COP ＝60°，OC ⊥PC ，∴PO ＝2CO ，∴3CO ＝5，即CO ＝533.【答案】 A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，P A ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为( )图7A ．8和7B ．7和415C ．7和8D ．8和415【解析】 ∵P A ·PB ＝PC 2， ∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8. ∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝165，∴EF ＝165＋5＝415.【答案】 D9．如图8，已知AT 切⊙O 于T .若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC ＝( )图8A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC .∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9. ∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△EAD ∽△CAB ，即DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝2×93＝6. 【答案】 C10．如图9，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，垂足是P ，DH ⊥BH ，垂足是H ，下列结论：①CH ＝CP ；②＝；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是( )图9A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【解析】 显然①可由△PCD ≌△HCD 得到；因为四边形ABCD 为圆的内接四边形，所以∠BAD ＝∠HCD ＝∠ACD ，即＝，故②成立；而③，连接BD ，则AD ＝BD ，∠DAP ＝∠DBH ，所以Rt △APD ≌Rt △BHD ，得AP ＝BH ，③成立；对于④，不能判定DH 是圆的切线，故应选D.【答案】 D11.如图10，在⊙O 中，MN 为直径，点A 在⊙O 上，且∠AON ＝60°，点B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为( )图10A ．1 B.22C.3－1D. 2【解析】 如图，过点B 作BB ′⊥MN ，交⊙O 于点B ′，连接AB ′交MN 于点P ′，即点P 在点P ′处时，AP ＋BP 最小．易知B 与B ′点关于MN 对称， 依题意∠AON ＝60°， 则∠B ′ON ＝∠BON ＝30°， 所以∠AOB ′＝90°， AB ′＝OA 2＋OB ′2＝ 2.故P A ＋PB 的最小值为2，故选D.【答案】 D12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()图11A．10 B．20C．5 D．8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则P A＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·P A，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】 514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，P A＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】 由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝⎛⎭⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】3215.如图14，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．图14【解析】 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C .因为AE 与圆相切，所以∠EAB ＝∠C .所以∠ABC ＝∠EAB ，所以AE ∥BC .又因为AC ∥DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB ·(EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF ，解得CF ＝83.【答案】 8316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC 切圆O 于点C ，割线P AB 经过圆心O ，PC ＝4，PB ＝8，则tan ∠COP ＝________，△OBC 的面积是________．图15【解析】 因为PC 切圆O 于点C ，根据切割线定理即可得出PC 2＝P A ·PB ，所以42＝8P A ，解得P A ＝2.设圆的半径为R ，则2＋2R ＝8，解得R ＝3.在直角△OCP 中，tan ∠COP ＝43，sin ∠COP ＝45.所以sin ∠BOC ＝sin ∠COP ＝45.所以△OBC 的面积是12×R 2sin ∠BOC ＝12×32×45＝185.【答案】 43 185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图16，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2； (2)E ，F ，C ，B 四点共圆．图16【证明】 (1)连接CD ，由圆周角性质可知∠ECD ＝∠EBA . 故△ABE ∽△CDE ，∴BE ∶CE ＝AE ∶DE ， ∴BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2.(2)∵AB 是⊙O 的直径，所以∠ECB ＝90°，∴CD ＝12BE .∵EF ⊥BF ，∴FD ＝12BE ，∴E ，F ，C ，B 四点与点D 等距，∴E ，F ，C ，B 四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD分别交AB 于E ，F 两点．图17(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG ⊥CD . 【解】 (1)连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD＝∠PCB ＋∠BCD .因为＝，所以∠PBA ＝∠PCB.又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD . 又∠PFB ＋∠BFD ＝180°， ∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明：因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上．又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .19．(本小题满分12分)如图18，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：图18(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB. 【证明】 (1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP . ∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CP A ＝∠BEP ＋∠DPE . ∵∠ECD ＝∠A ＋∠CP A ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ， ∴∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝DE .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∠PDB ＝∠PCE ， ∴∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PCPD .同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CADE .∴PE PB ＝CA DE .∵DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 20．(本小题满分12分)如图19，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：图19(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .【证明】 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ，所以∠BGD ＝∠BDG . 由BC ＝CD 知∠CBD ＝∠CDB.又因为∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，所以△BCD ∽△GBD .21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，12OA 为半径作圆．图20(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD . 【证明】 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心． 设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′. 由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上， 又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥A B.同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .22．(本小题满分12分)如图21，已知CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 切⊙O 于点D ，并与CP 的延长线相交于点B ，又BD ＝2BP .图21 求证：(1)PC＝3BP；(2)AC＝PC.【证明】(1)∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC.∵BD＝2BP，∴4BP2＝BP·BC，∴4BP＝BC.∵BC＝BP＋PC.∴4BP＝BP＋PC，∴PC＝3BP.(2)连接DO.∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴DOAC＝BDBC＝2BP4BP＝12，∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.。