2 1微分方程的建立与求解
长沙理工大学2023年全日制和非全日制硕士研究生初试考试大纲 832信号与系统(B)
考试代码：832 科目名称：信号与系统（B）
一、考试内容
1、信号与系统基本概念及分类
2、连续系统的时域分析
微分方程的建立与求解；零输入响应与零状态响应的定义和求解；冲激响应与阶跃响应；卷积的定义，性质，计算等。
3、离散系统的时域分析
离散时间信号的分类与运算；离散时间系统的数学模型及求解；单位序列响应；离散卷积和的定义，性质与运算等。
4、傅里叶变换和系统的频域分析
周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；傅里叶变换的性质与运算；周期信号的傅里叶变换；周期、非周期信号激励下的系统响应；无失真传输；理想低通滤波器抽样定理；抽样信号的傅里叶变换。
5、连续系统的S域分析
拉普拉斯变换及逆变换；拉普拉斯变换的性质与运算；线性系统拉普拉斯变换求解；系统函数与冲激响应；周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换。
6、离散系统的Z域分析
Z变换的定义与收敛域；典型序列的Z变换；逆Z变换；Z变换的性质；Z变换与拉普拉斯变换的关系；差分方程的Z变换求解；离散系统的系统函数；离散系统的频率响应。
二、参考书目
参考书目为《信号与线性系统分析》第四版，吴大正，人民教育出版社。
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程的基本理论
数学建模方法
2020年10月18日星期日10时41分24
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1.3、微分方程模型的求解
>>在常微分方程（组）中影响结果的变量只有一个 ，而偏微分方程研究的是有多个变量影响结果时的 规律。求解微分方程的方法大致有两类：一类是通 过对微分方程两端积分得到显式表示的完全解，进 而通过解的表达式分析模型结果；另一类方法是数 值解法，这种解法通常需要计算软件的协助，解的 结果通常使用图形的方式表示，或者可以求出某些 关键点的函数值。本章将利用上述方法讨论具体的 微分方程的建模问题。
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2.1、治污中溶液浓度的变化 4) 推广应用 >>江河湖海污染的治理以及矿井和化工厂的通风问 题都可以仿照溶液浓度问题建立相应的微分方程模 型。
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2.2、侦破中死亡时间的推测
1)背景介绍
>>死亡时间指死后经历时间或死后间隔时间，是指发 现、检查尸体时距死亡发生时的时间间隔。注重尸表 检查、判定，具有实际价值。死亡时间推断是指推测 死亡至尸体解剖时经历或间隔时间。早在三百多年前， 意大利医生已经明确指出：死亡时间推断是法医学鉴 定中首先要解决的问题。 >>死亡时间推断意义：⑴推断死亡时间对确定发案时 间，认定和排除嫌疑人有无作案时间，划定侦察范围 乃至案件的最终侦破均具有重要作用；⑵死亡时间推 断在某些财产继承、保险理赔案件中也有一定的作用。
数学建模方法
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1.2、微分方程模型建立
2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程
>>在数学、力学、物理、化学、经济等学科中许多 自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由 微分方程所描述。如牛顿第二定律、热传导定律、 放射性物质的放射性规律等，如生产函数、财富的 积累等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出 微分方程。
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
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这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程式的建立与求解
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
微分方程的建立与求解
微分方程的建立与求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将探讨微分方程的建立与求解方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的概念与分类微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
它通常包含未知函数、自变量和它们的导数。
根据方程中含有的未知函数的最高阶导数的次数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是未知函数的导数只涉及一个自变量的微分方程，通常用于描述物理、生物等自然界现象。
偏微分方程是未知函数的导数涉及两个或两个以上自变量的微分方程，常用于描述流体力学、电磁场等现象。
二、微分方程的建立过程微分方程的建立是通过观察实际问题、分析其特点和规律，将问题转化为数学方程。
建立微分方程的过程通常涉及以下几个步骤：1. 确定未知函数：根据问题的背景和目标，确定需要求解的未知函数。
例如，根据物体的速度变化情况，可以确定未知函数为物体的位移函数。
2. 建立变量关系：分析问题中涉及到的各个变量之间的关系，建立它们之间的数学模型。
例如，根据牛顿第二定律和速度与加速度的关系，可以建立运动物体的微分方程。
3. 确定边界条件：根据问题的具体条件，确定微分方程的边界条件，以求解特定的解。
边界条件通常包括初始条件和边界值条件。
4. 化简方程：根据问题的特点和求解的需要，对微分方程进行适当的化简和变形，以便更好地求解。
三、微分方程的求解方法微分方程的求解是通过找到满足方程的函数，从而得到该方程的解。
常用的求解方法有：1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，得到两个只包含一个变量的方程，然后分别对两个方程进行积分，最后得到方程的解。
2. 变量代换法：通过适当的变量代换，将原微分方程转化为已知的、易于求解的微分方程。
3. 积分因子法：通过求解积分因子，将原微分方程化简为恰当微分方程，从而求解得到方程的解。
4. 拉普拉斯变换法：将微分方程通过拉普拉斯变换转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，最后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解。
控制系统的微分方程
5 微分定理
序号 定理名称 1 常数定理 2 线性定理 3 衰减定理 4 延迟定理
数学描述
L Af (t) AF(s) Laf1(t) bf2(t) aF1(s) bF2(s)
L f (t)eat F (s a)
L[ f (t )] e s F (s)
0 (t)dt 1
0
0
系统在单位脉冲输入信号作用下的输出称为系统的单位脉冲响应，计作 g(t) 。
控制系统的微分方程
1.2 拉氏变换及其应用
2. 典型输入信号的拉氏变换
（2）阶跃信号。阶跃信号的数学表达式为
u(t)
0 ，t
A
，t
0 0
式中 A——常数，称为阶跃信号的阶跃值。
在t=0处的阶跃信号，相当于一 个不变的信号突然加到系统上，如 指令的突然转换、电源的突然接通、 负荷的突变等，都可视为阶跃信号。
Fd (t) f dt
将式（2-25）、式（2-26）代入式（2-24）得
dx(t) d2x(t)
F(t) kx(t) f
m
dt
dt 2
整理得
d2x(t) dx(t)
m
f
kx(t) F(t)
dt 2
dt
由此可见，描述该物体机械平移运动的微分方程是二阶微分方程。
（2-26） （2-27）
控制系统的微分方程
阶跃信号的拉氏变换为 Lu(t) u(t) estdt A 。
0
s
A 1时的阶跃信号称为单位阶跃信号，记为1(t) ，其拉氏变换为 L1(t) 1
s
系统在单位阶跃输入信号作用下的输出称为系统的单位阶跃响应，计作h(t) 。
(整理)微分方程详解
第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。
1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。
§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。
这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。
对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。
而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。
可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。
微分方程的基本概念与求解方法
微分方程的基本概念与求解方法微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和求解方法，帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$$其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\ldots$、$n$ 阶导数，$F$ 是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只包含一元函数的导数，而偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
二、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法主要有解析解和数值解两种。
1. 解析解解析解是指能够用已知函数表达出来的解。
对于一阶常微分方程，可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
例如，对于一阶线性方程：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$可以通过乘以一个积分因子来求解。
对于二阶及高阶常微分方程，可以通过常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、变系数线性方程等方法求解。
2. 数值解数值解是通过数值计算方法获得的近似解。
常见的数值解方法有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将微分方程转化为差分方程，通过逐步迭代计算来逼近真实解。
三、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法相对复杂，主要有分离变量法、特征线法、变量分离法等。
1. 分离变量法对于某些特殊形式的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
该方法将多元函数分离成一元函数，然后对各个一元函数分别求解。
2. 特征线法特征线法适用于一些具有特殊性质的偏微分方程。
通过找到方程的特征线，可以将偏微分方程转化为常微分方程，从而求解。
3. 变量分离法变量分离法适用于可以将偏微分方程中的变量分离的情况。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
微积分解题
微积分解题摘要：1.微积分解题的基本步骤2.微积分解题的技巧与方法3.微积分解题的实践应用正文：一、微积分解题的基本步骤微积分作为一门重要的数学学科，在解决实际问题中发挥着重要作用。
微积分解题的基本步骤如下：1.确定问题：首先要对问题进行仔细阅读，理解问题的实际意义，明确需要解决的问题。
2.分析问题：分析问题是微积分解题的关键，需要对问题进行抽象，建立数学模型，确定需要运用的微积分知识。
3.建立微分方程：根据问题的实际情况，建立相应的微分方程，如一阶导数、二阶导数等。
4.求解微分方程：运用微积分的求解方法，如分离变量法、积分法等，求解微分方程。
5.检验解的合理性：将求得的解代入原问题，检验解的合理性，如符合实际情况，则得到问题的解。
二、微积分解题的技巧与方法在解决微积分问题时，除了遵循基本步骤外，还需要掌握一定的技巧与方法，如下：1.善于运用数学软件：如MATLAB、Mathematica 等，可以辅助求解微分方程，提高解题效率。
2.熟练掌握常见题型：多加练习，对常见题型的解题思路和方法了如指掌，有利于快速解决实际问题。
3.注意物理意义：在求解微分方程时，要注意其物理意义，如速度、加速度等，确保解的合理性。
4.建立解题思维：在解题过程中，要培养自己的解题思维，善于从问题的实际出发，灵活运用所学知识。
三、微积分解题的实践应用微积分在实际生活中的应用非常广泛，如物理、化学、生物、经济等领域。
通过解决实际问题，可以加深对微积分知识的理解，提高解题能力。
例如，在物理学中，运用微积分可以求解物体的位移、速度等；在经济学中，通过微积分可以研究成本、收益等。
这些实际问题的解决，都离不开微积分的运用。
微分方程的建立方法和步骤(精)
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微分方程式 的建立
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微分方程式 的建立
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实践环节1
（1）弹簧，阻尼器串并联系统如图所示，系统 为无质量模型，试建立系统的运动方程。
xi
c
x0
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实践环节2
（2）已知单摆系统的运动如图所示，写出运动 方程式； 求取线性化方程。
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实践环节5
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df f ( x ) y=f(x） dx
1 d2 f x x ( x x ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x
y y k(x x) y y k(x x)
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非线性微分方程的线性化
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实践环节3
（3）已知机械旋转系统如图所所示，试列出系 统运动方程。
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微分方程式 的建立
克希霍夫电流定律：
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微分方程式 的建立
克希霍夫电压Leabharlann 律：广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
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实践环节4
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微分方程式 的建立
基本定律 物理、化学及专业上的 中间变量的作用 基本概念 简化性与准确性要求 小偏差线性化理论
原始方程组 直接列写法线性化 消中间变量 化标准形 C （s ) M ( s ) M (s) 基本方法 由传递函数 C ( s ) R ( s ) N(s)C(s) M(s)R(s) R( s) N (s) N (s) d p -1 转换法 L dt N ( p )c(t ) M ( p )r (t ) 微分方程 由结构图 传递函数 微分方程 由信号流图 传递函数 微分方程
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r(t)
?
?
cn ? 1
d dt
r(t)
?
cn r (t )
?
0
②齐次解 rh (t) 形式：Ae? t函数的线性组合
令 r(t) ? Ae? t代入上式化简得特征方程
c0? n ? c1? n?1 ? ? ? cn?1? ? cn ? 0
有n个根? 1,? 2 ,? ,? n 特征根
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iv)互感M：
M
+ i1 v1
L1
-
i2 + v2 L
2
-
v1
?
L1
di1 dt
?
M
di2 dt
v2
?
L2
di2 dt
?
M
di1 dt
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②机械元件
i) 摩擦系数： Ff ? f ?v
? ii) 弹性系数： Fk ? k v(t)dt
?
m1m2 k
d 3v2 dt3
? e(t)
?
d 3v2 dt3
?
m1 f2 ? m2 f1 m1m2
d 2v2 dt2
?
(m1 ? m2)k ? m1m2
f1 f2
dv2 dt
?
(
f1 ? f2 m1m2
)
v2
(t)
?
ke(t) / m1m2
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元件约束特性→网络拓扑约束(方程) →微分方程
1．元件约束特性
①电路元件
i)电阻R：
iR
+v _
i
ii)电感L ：
+
L
v_
v ? Ri
i
?
1 L
?vdt
v ? Ldi / dt
iii)电容C： i C +v_
i ? C dv dt
v
?
1 C
?idt
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信号与系统 —signals and systems
信号与系统 —signals and systems
③各种特征根情况下的齐次解形式
i) 互不相同实根：rh (t ) ? A1e? 1t ? A2e? 2t ?
? Ane? nt
ii) ? 1为k重特征根，与? 1 有关的齐次解部分：
( A1t k ? 1 ? A2t k ? 2 ? ? Ak )e? 1t
?
v1 ? v2 ?
f2 k
dv2 dt
?
m2 k
d 2v2 dt 2
(3)
由(2)还可得：
?k
(v1 ? v2 )dt ?
f 2 v2
?
m 2
dv2 dt
(4)
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把(3)和(4)代入(1)可得：
e(t) ?
f2(v2 ?
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第二章 连续时间系统的时域分析
本章主要研究内容： ? 微分方程的建立与求解 ? 零输入、零状态、冲激、阶跃响应 ? 卷积、算子
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信号与系统 —signals and systems 一、微分方程的建立
*时间域进行，不变换 *直观，物理概念清楚 *其它变换域方法基础 *重新得到关注和重视
R
?
v1 (t )
?
uv1 (t )
R + _ e(t)
+C v1(t)
_
+
+
_uv1(t) v0(t)
_
e(t) ?
v1 (t )
?
RC
dv1 (t ) dt
?
uRC
dv1 (t ) dt
e(t) ? v0 (t) ? RC (1? u) dv0 (t)
uu
dt
?
RC (1?
u)
dv0 (t) dt
6．线性时不变系统的微分方程特点
①一般形式：线性常系数微分方程
c0
dn dt n
r(t) ?
c1
d n?1 dt n?1
r(t)
?
?
cn?1
d dt
r (t )
?
cnr(t )
?
E0
dm dt m
e(t) ?
E1
d m?1 dt m?1
e(t)
?
?
Em?1
d dt
e(t)
?
Eme(t)
②若组成系统的元件线性、参数恒定且 无初始储能， 则系统为线性时不变系统
iii) 质量：
F ? m dv(t) dt
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2．网络拓扑约束
①电路系统
N
? i)KVL： vk ? 0 k ?1
N
? ii)KCL ： ik ? 0M
?i) Fi ? 0 i?1
N
? ii) vk ? 0 k?1
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3．不同性质系统可用相同微分方程描述
数学模型，数学抽象，无物理意义
<例见书上P43~P44>
4．电路类微分方程建立例子
[例1]：求下面电路的微分方程
解: C两端电压
? 1
C
e ?t ?? v1(t)dt
C
L
+
-+
-
e(t)
r(t)
vc(0-)=0
iL(0-)=0
0-:激励加入前的时刻
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二、微分方程的经典时域求解法 （齐次解+特解法）
1．齐次解（自由响应）
①齐次方程：
c0
dn dt n
r(t) ?
c1
d n?1 dt n?1
iii) ? 1与? 2为共轭复根 p ? qj（一重），对应齐次解部分：
( A1 cos qt ? A2 sin qt )e pt
iv)? 1 与? 2 为共轭复根 p ? q（j k重），对应齐次解部分为： [(A1tk?1 ? A2tk?2 ? ...? Ak )cosqt? (B1tk?1 ? B2tk?2 ? ...? Bk )sinqt]ept
?
v0
(t)
?
ue(t)
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5．机械类微分方程建立例子
[例2]：理想火箭推动器模型的微分方程
输入:推进力 e(t)
火箭
载荷
m1
k
m2
输出:荷载舱速度 v2 (t)
摩擦系数f1 摩擦系数f2
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解：
? ?
??
e(t
)
?
f1v1 ? k
(v1
?
v2 )dt
?
m1
dv1 dt
? ?
? ??
k
(v1 ? v2 )dt ?
f 2v2
?
m2
dv 2 dt
(1) (2)
由(2)可得：
? ? k v1dt ? k
v2dt ?
f2v2
?
m 2
dv2 dt
f2 k
dv1 ? m2 dt k
dv2 ) ? dt
f2v2
?
m2
dv2 dt
?
m1
(
dv2 dt
?
f2 k
dv2 dt
?
(m2
/k)
d 3v2 dt 3
)
f2v2
?
m2
dv2 dt
?
f1v2 ?
f1 f2 k
dv2 dt
?
f1m2 k
d 2v2 dt2
?
m1
dv2 dt
?
m1 f2 k
d 2v2 dt2