2013-2014学年高中数学配套 章末专题整合课件：1.3.1 二项式定理 选修2-3

3．通项公式中含a,b,n,r和Tr＋1五个元素,知道其中四个 就可以求第五个,注意n是正整数,r是自然数,r≤n.
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二项式系数与展开式的系数混淆 例4 x2－ 1 9 的 展 开 式 中 , 第 4 项的 二 项 式系 数是 2x
________,第 4 项的系数是________．
第一章
计数原理
1．3
二项式定理
1．3.1 二项式定理
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n 1 n－1 k n－k k 公式____________________________________ (a＋b)n＝C0 a ＋ C a b ＋ … ＋ C b n n na 二项式定 n ＋…＋Cn nb 理概念 _____________(n∈N*)称为二项式定理
方法感悟
1．应注意(a＋b)n的展开式与交换a,b后(b＋a)n的展开
式是有区别的,它们的值虽然相同,但展开形式中各项的 排列顺序是不同的． 2．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2,„,n}),它与二项 展开式的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”
与二项式的“展开式系数”这两个概念的不同．
(1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数 ; (3)求展开式中所有的有理项．
题型三
【解】
(1)通项公式为 r r n－ r 1 r r 1 r n－ 2r － x－ ＝Cn － x Tr＋ 1＝Cnx 3 2 3 2 3 . ∵第 6 项为常数项 , n－2r ∴当 r＝5 时,有 ＝0,即 n＝10. 3
题型二
求二项展开式的特定项
1
2 2 (1)(2013· 湖北省八校高三联考 ) 设 a ＝ (3 x － 2x)dx, 例2
16 则二项式 (ax － ) 展开式中的第 4 项为( ) x A．－ 1 280x3 B．－ 1 280 C． 240 D．－240 3 1 20 (2) 在 ( 2 x － ) 的 展开 式中 , 系 数 是有 理数 的项 共有 2 ( ) A． 4 项 B． 5 项 C． 6 项 D． 7 项
跟踪训练
2x2－ 1 8 3．在 3 的展开式中 ,求: x
(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数 ; (2)倒数第 3 项． 1 4 2 8－4 － 4 4 4 20 解:(1)T5＝C8· (2x )· 2· x ,则第 5 项的二项 3 ＝C8· 3 x 4 4 式系数是 C4 ＝ 70, 第 5 项的系数是 C 2 ＝1 120. 8 8· (2)展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项, 1 6 2 8－6 － T7＝ C8· (2x ) · 3 6＝112x2. x
【常见错误】 求解本题误认为第 4 项的二项式系数和第 4 项的系数是同一数 ,都填 C3 9.
1 r 1 r r 【解析】 C9 2x ＝－2 · 1 3 3 9 21 9 18－ 3r · x ,当 r＝3 时,T4＝ －2 · x ＝－ x ,所以第 4 项的 C 9· 2
∴第 3 项 ,第 6 项与第 9 项为有理项 ,它们分别为 C2 10 C8 10 1 5 63 －12x2＝45x2,C5 10 － 2 4 2 ＝－ 8 ,
－18x－2＝ 45 x－2. 2 256
要注意区分二项式系数与指定某一项的系
【名师点评】
数的差异 ,前者只与二项式的指数及项数有关 ,与二项式的 项无关 ,它是一个组合数 Ck n;后者与二项式、二项式的指数 及项的字母和系数均有关．
1 4 (2)求 3 x＋ 的展开式． x
4 1 3 2 2 2 3 3 【解】 (1)(a＋2b)4＝ C0 a ＋ C a (2 b ) ＋ C a (2 b ) ＋ C a (2 b ) 4 4 4 4 4 ＋ C4 4(2b)
＝ a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋ 16b4.
做一做 1.(1＋x)4的展开式为____________________．
1 2 2 3 3 4 4 答案:C0 4＋C4x＋C4x ＋C4x ＋C4x
2．(x＋2y)5的二项展开式中,第3项为________． 答案:40x3y2
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 二项式定理的正用与逆用
例1 (1)求(a＋2b)4 的展开式;
二项式系 各项的系数为 Ck n(k＝0,1,2,„,n) 数 n －k k k＋1 项,可记作 Tk 二项展开 Ck a b 是展开式中的第_______ n n－k k 式通项 ＋1＝Ck · a · b n 二项展 开式
n 1 n－ 1 k n－k k n n C0 a ＋ C a b ＋„＋ C a b ＋„＋ C n n n nb
n－ 2r 1 1 (2)令 ＝ 2,得 r＝ (n－6)＝ × (10－6)＝ 2, 3 2 2 45 2 1 2 ∴所求的系数为 C10 －2 ＝ . 4
(3)根据通项公式 ,由题意 0≤ r≤ 10 r∈N.
10－ 2r ∈Z 3
10－ 2r 3 令 ＝ k(k∈ Z),则 10－ 2r＝ 3k,即 r＝ 5－ k. 3 2 ∵ r∈ N,∴k 应为偶数． ∴ k 可取 2,0,－ 2,即 r 可取 2,5,8.
到低,b的指数是从低到高,a、b的指数和都相等．
跟踪训练
1．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x
－1)．
5 1 4 2 3 3 2 解:原式＝ C0 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ 5 5 5 5 5 0 5 5 C4 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) － 1 ＝ [( x － 1) ＋ 1] － 1 ＝ x －1. 5 5
k
【答案】
(1)A
(2)A
【名师点评】
求展开式特定项的关键是抓住其通项
公式 , 求解时先准确写出通项 , 再把系数和字母分离 , 根 据题目中所指定的字母的指数所具有的特征 ,列出方程 或不等式即可求解．有理项问题的解法 ,要保证字母的 指数一定为整数．
跟踪训练
x 3 9 2．已知在( ＋ ) 的展开式中 , 3 x (1)求常数项 ; (2)求中间两项． r x 9－ r 3 r 解 :Tr＋1＝ C9( ) ( ) 3 x 3 r 2r－ 9 ＝ C9· 3 x9－ r. 2 3 (1)当 9－ r＝ 0,即 r＝ 6 时展开式是常数项 , 2
1 4 4 1 3 1 3 x ＋ (2) 法 一 : ＝ (3 x ) ＋ C 4 (3 x ) · ＋ C 2 4 x x 1 2 1 3 1 4 2 3 4 (3 x) ＋ C4(3 x)· ＋ C4 x x x 12 1 ＝ 81x ＋ 108x＋54＋ ＋ 2. x x 1 4 3x＋ 14 1 法二: 3 x＋ ＝ ＝ 2(1＋3x)4 x x x 1 2 3 3 4 4 ＝ 2[1＋ C1 3 x ＋ C2 4· 4(3x) ＋ C4(3x) ＋ C4(3x) ] x 1 ＝ 2(1＋12x＋54x2＋108x3＋ 81x4) x 1 12 ＝ 2＋ ＋54＋ 108x＋81x2. x x
2
【名师点评】
(1)形式简单的二项式展开时可直接由
二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前 可以根据二项式的结构特点进行必要的变形 ,然后再展
开,以使运算得到简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展
开式是解答好与二项式定理有关问题的前提．
(2) 逆用二项式定理要注意其结构特点 ,a 的指数是从高
备注:在二项式定理中,如果令 a＝1,b＝x,则得到公式 2 2 n n 1＋C1 nx＋Cnx ＋„＋Cnx (1＋x)n＝__________________________
想一想 1.二项式(a＋b)n与(b＋a)n(a≠b)的展开式的第k＋1项相 同吗？
提示:不相同．
2．二项式定理中 , 项的系数与二项式系数相同 ,说法对 吗？ 提示:不对．
即常数项为 T7＝ C6 33＝ 2 268. 9·
x 3 9 (2)( ＋ ) 的展开式共 10 项 , 3 x 它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项 , T5＝ C4 38 9x9 6＝ 42x3, 9·
－ －
15 5 10－ 9 T6＝ C9· 3 x9－ ＝ 378 2
x3.
二项式系数与项的系数 3 1 n 的展开式中,第 6 项为常数项． 例3 已知在 x－ 3 2 x
－ Tr＋ 1＝ Cr (x2)9 r·－ 9·
二项式系数为
21 3 C9＝ 84,项的系数为－ . 2
【答案】
21 84 － 2
【防范措施】 二项式系数都是组合数 Ck n(k∈ {0,1,2,„ ,n}), 它与二项展开式中某一项的系数不一定相等 ,要注意区分 “二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概 念．
2
16 【解析】 (1)由微积分基本定理知 a＝ 4,(4x － ) 展开式 x 13 3 2 3 中的第 4 项为 T3＋ 1＝ C6(4x ) (－ ) ＝－1 280x3,故选 A. x 1 k k 3 20－k (2)Tk＋ 1＝ C20( 2x) (－ ) 2
2
2 k 3 20－ k k 20－ k ＝ (－ ) · ( 2) C20· x . 2 20－ k ∵系数为有理数 ,∴ ( 2) 与 2 均为有理数 , 3 ∴ k 能被 2 整除 ,且 20－ k 能被 3 整除． 故 k 为偶数 ,20－ k 是 3 的倍数 ,0≤ k≤ 20, ∴ k＝ 2,8,14,20.