高中数学 第二章 2.4.1平面向量数量积的物理北京及其含义课件 新人教A版必修4
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高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修
a· b |a||b| cos θ＝______
a· b≤_______ |a||b|
一级达标重点名校中学课件
4．向量数量积的运算律
b· a (交换律)． (1)a· b＝_____
a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______
a· c＋b· c (分配律)． (3)(a＋b)· c＝_______
一级达标重点名校中学课件
[ 跟踪训练] → → → → 1．(1)在△ABC中，∠A＝60° ，AB＝3，AC＝2.若 BD ＝2 DC ， AE ＝λ AC － → →→ AB(λ∈R)，且AD· AE＝－4，则λ的值为________．
3 → → b＝|a||b|cos 60° ＝3， 11 [设AB＝a，AC＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a· → → → → → → 因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)， → 1→ 2→ 1 2 所以AD＝3AB＋3AC＝3a＋3b，
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λ 2 1 2 2λ 2 1 2λ → → 1 2 所以 AD · AE ＝ 3a＋3b · (λb－a)＝ 3－3 a· b－ 3 a ＋ 3 b ＝(λ－2)－ 3 ×9＋ 3
×4＝－4， 3 解得λ＝11.]
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一级达标重点名校中学课件
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a· b>0.( (3)|a· b|≤a· b.( (4)(a· b)2＝a2· b2.( ) )
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a· b≤_______ |a||b|
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4．向量数量积的运算律
b· a (交换律)． (1)a· b＝_____
a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______
a· c＋b· c (分配律)． (3)(a＋b)· c＝_______
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[ 跟踪训练] → → → → 1．(1)在△ABC中，∠A＝60° ，AB＝3，AC＝2.若 BD ＝2 DC ， AE ＝λ AC － → →→ AB(λ∈R)，且AD· AE＝－4，则λ的值为________．
3 → → b＝|a||b|cos 60° ＝3， 11 [设AB＝a，AC＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a· → → → → → → 因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)， → 1→ 2→ 1 2 所以AD＝3AB＋3AC＝3a＋3b，
一级达标重点名校中学课件
λ 2 1 2 2λ 2 1 2λ → → 1 2 所以 AD · AE ＝ 3a＋3b · (λb－a)＝ 3－3 a· b－ 3 a ＋ 3 b ＝(λ－2)－ 3 ×9＋ 3
×4＝－4， 3 解得λ＝11.]
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[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a· b>0.( (3)|a· b|≤a· b.( (4)(a· b)2＝a2· b2.( ) )
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
(3)若不平行的两个非零向量 a,b 满足|a|=|b|,则( ab)(a+b)=0.( ) (4)若 a,b 平行,则 a· b=|a||b|.(
答案:(1)× (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一向量数量积的运算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: (1)a· b; (2)(a+b)· (a-b); (3)(2a-b)· (a+3b)
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
做一做 1 (1)已知|a|= 3,|b|=2 3,a 与 b 的夹角是 120°,则 a· b等 于( ) A.3 B.-3 C.-3 3 D.3 3 π (2)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,则 b 在 a 上的投影 为 1 2
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4(1)
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. 2.掌握数量积公式及其投影的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运 算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积 解决向量的垂直问题. 平面向量数量积 数量积的定义 数量积的几何意义 数量积的运算律 数量积的性质
|������|
向上的投影|b|cos θ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������· ������ . |������|
一
二
三
四
4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方 向上的投影等于 . (2)若a· b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等 于 .
解析:(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于|a|cos θ=3×cos 120°=-2; (2)向量 b 在向量
答案:30°
������· ������ θ=|������||������|
=
9 3 3×6
=
3 ,所以 2
θ=30°,故向量 a 与 b 的
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)0· a=0a.( ) (2)若a· b=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若a· b>0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若a· c=b· c(c≠0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有a· a=|a|2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. 2.掌握数量积公式及其投影的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运 算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积 解决向量的垂直问题. 平面向量数量积 数量积的定义 数量积的几何意义 数量积的运算律 数量积的性质
|������|
向上的投影|b|cos θ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������· ������ . |������|
一
二
三
四
4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方 向上的投影等于 . (2)若a· b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等 于 .
解析:(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于|a|cos θ=3×cos 120°=-2; (2)向量 b 在向量
答案:30°
������· ������ θ=|������||������|
=
9 3 3×6
=
3 ,所以 2
θ=30°,故向量 a 与 b 的
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)0· a=0a.( ) (2)若a· b=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若a· b>0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若a· c=b· c(c≠0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有a· a=|a|2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必
ab
(4)夹角公式:cos θ= a b .
(5)|a·b|≤__|_a_|_|_b_|.
【思考】 (1)对于任意向量a与b,“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗? 提示:当向量a与b中存在零向量时,总有a·b=0,但是向量a与b不一定垂直,即 a⊥b⇒a·b=0,但a·b=0⇒/ a⊥b.
(2)当“cos θ= a b ”为负值时,说明向量a与b的夹角为钝角,对吗?
A . B . C .2 D .5 633 6
【变式探究】 若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.
角度2 向量垂直的应用
【典例】已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cos θ= 1 .
3
若n⊥(t m+n),则实数t的值为 ( )
A.4
B.-4
A .1 B .3 C .3 D .1 2 22 2
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足 a =5, b =6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= ()
A . 1 3 B . 1 9 C .1 7 D .1 9 3 5 3 5 3 5 3 5
【解题策略】 求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b =|a||b|cos θ.求解时要注意灵活使用数量积的运算律. (2)若所求向量的模与夹角未知,应先选取已知模与夹角的两个向量作为基底, 表示出所求向量,再代入运算.
2
3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹 角为120°.则(a-b)·(a+b)=________;(2a+b)·(a-b)=________. 【解析】(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91. 因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°, 所以a·b=10×3×cos 120°=-15, 所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=200+15-9=206. 答案:91 206
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必
33 32 1 3 A. 2 B. 2 C.2 D.2
解析：向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos
π 3
＝32.
答案：D
K12课件
11
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为( )
ππππ A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，由平面向量夹角公 式，知
cos θ＝|aa|·|bb|＝1×2 4＝12，
π 又因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝ 3 . 答案：C
K12课件
12
5. 若向量 a 满足 a2＝8，则|a|＝________． 解析：因为|a|2＝a2＝8，所以|a|＝2 2. 答案：2 2
K12课件
13
类型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
K12课件
5
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos_θ． ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos_θ． (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 与 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．
K12课件
混合运算．类似于多项式的乘法运算．
K12课件
18
[变式训练] 已知|a|＝6，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°，则(a＋2b)·(a＋3b)为________．
解析：(a＋2b)·(a＋3b)＝
a·a＋5a·b＋6b·b＝
|a|2＋5a·b＋6|b|2＝ |a|2＋5|a||b|cos θ＋6|b|2＝
高中数学必修四教学课件：2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》PPT课件(新人教A版必修4)
a, b , c
3、运算律的证明
学生独立证明运算律（2）
证明反思：当λ<0时，向量a 与 a 、 与b b 的方向的关系如何？此时，向量 a 与 b 、 a 与 b的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
例3、已知 a 3， b 4，a与b 不共线，k为何值时， 向量a kb 与a kb 互相垂直？
学生练习
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
你能得到哪些结论？
（2）比较 a b 与a b 的大小，你有什么
结论？
2、明晰数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，则 a ·b =0 （1） a⊥ b a ·b=|a|| b| （2）当 a 与 b 同向时， a ·b =-| a||b | 当 a 与 b 反向时， 2 a = a 或︱︱ a =︱︱ a · 特别地， aa （3）︱a ·b ︱≤ | a || b|
2、已知 ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
活动五、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
人教版高中数学第二章平面向量的数量积的物理背景及其含义(共19张PPT)教育课件
___|
a||
b|
当且仅当两向量
2021/4/1
共线时等号成立
17
投影定义:
acos(bcos)叫做向量a 在b
(向量 b 在 a 方向上)的投影.
方向上
平面向量数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度a与 b在a的
方向上的投影数量bcos的乘积 .
2021/4/1
18
平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
但是Biblioteka 当我拍完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
人教A版高中数学必修四 2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件 (共17张PPT)
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量 的另外一种运算：平面向量的数量积运算
探究新知 探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F
|F| |s| cosα 所做的功： W= _______________
向____量， F（力）是 向 s（位移）是 ____量，
F α S
学以致用
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝a· a＋b· a－a· b－
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
概念解析
θ A O |b|cosθ B1 a
b
B
的长度 | a |与 b 在a方向上的投影 a b 等于 a
| b | cos 的乘积。
概念辨析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
注： (a b ) c a (b c )
证明运算律(3)
向量a、b、a + b b在c上的射影的数 量分别是OM、MN、 a a+b 则 ON, N c O M (a + b ) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件2 新人教A版必修4
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，
不是向量．
(2)两个向量的数量积称为内积，写 成 ab．
即 ab a b
a b
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积 (数乘)不是一回事．
数量积 ab |a||b|cos的结果是一个
|b| 与 b
的投影为
。
的夹角为 2 3
，则 a
在 b 方向上
变 式 训 练 ： 已 知 a6 ,e 为 单 位 向 量 ， 当 a 、 e 之 间 的 夹 角
分 别 等 于 4 5、 9 0、 1 3 5时 ， 画 图 表 示 a 在 e 方 向 上 的 投 影 ，
并 求 其 值 。
练习1已 ：知 在 A B C 中 ， A B = a ， A C = b ， 当 a b 0 或 a b 0
时 ， 试 判 断 A B C 的 形 状 .
已 知 O,N,P在 ABC所 在 平 面 内 ， 且 OAOBOC,
练习2N ：ANBNC0,且 PAPBPBPCPCPA,则
问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法 和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘” 呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
F θ
F
θ S
O
位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ,
那么力 F 所做的功 W= F S F S cos
点 O,N,P依 次 是 ABC的 （）
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心
B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，
不是向量．
(2)两个向量的数量积称为内积，写 成 ab．
即 ab a b
a b
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积 (数乘)不是一回事．
数量积 ab |a||b|cos的结果是一个
|b| 与 b
的投影为
。
的夹角为 2 3
，则 a
在 b 方向上
变 式 训 练 ： 已 知 a6 ,e 为 单 位 向 量 ， 当 a 、 e 之 间 的 夹 角
分 别 等 于 4 5、 9 0、 1 3 5时 ， 画 图 表 示 a 在 e 方 向 上 的 投 影 ，
并 求 其 值 。
练习1已 ：知 在 A B C 中 ， A B = a ， A C = b ， 当 a b 0 或 a b 0
时 ， 试 判 断 A B C 的 形 状 .
已 知 O,N,P在 ABC所 在 平 面 内 ， 且 OAOBOC,
练习2N ：ANBNC0,且 PAPBPBPCPCPA,则
问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法 和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘” 呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
F θ
F
θ S
O
位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ,
那么力 F 所做的功 W= F S F S cos
点 O,N,P依 次 是 ABC的 （）
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心
B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可 以为正(当 a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0，90° ＜θ≤180°时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或 θ＝90°时)．
2．两非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公 式|a|＝ a2.
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a|与|b|的关 系，再求 a 与 b 的夹角．
(1)(0，1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当 k＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0°，不符合题意， 舍去． 综上，k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1.]
的区别．(易混点)
升了学生数学运算和数据分析的
核心素养.
自主预习 探新知
1．平面向量数量积的定义 非零向量 a，b 的夹角为 θ，数量 |a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos θ ．特别地， 零向量与任一向量的数量积等于 0 ．
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向 量．
求平面向量数量积的步骤 (1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量 积，即 a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也|cos θ(θ 为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向 上的投影为|a|cos θ. (2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析新人教A版必修
学习资料2．4 平面向量的数量积2．4。
1平面向量数量积的物理背景及其含义内容标准学科素养1。
了解平面向量数量积的物理背景。
2。
掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义.3。
会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.学会数学建模应用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第62页[基础认识]知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义阅读教材P103～104，思考并完成以下问题一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．(1)如何计算这个力所做的功？提示：W＝|F｜·｜s|cos θ。
（2)力做功的大小与哪些量有关?提示：力的大小,位移的大小及两者的夹角．条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量|a｜|b|cos_θ叫向量a与b的数量积（或内积）记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝｜a｜|b|cos_θ规定零向量与任一向量的数量积为0①投影的概念b在a的方向上的投影为｜b|cos__θ，a在b的方向上的投影为|a｜cos__θ．②数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积．知识点二平面向量数量积的性质思考并完成以下问题向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别?（1）若｜a｜＝2，｜b|＝3，a与b的夹角为0°。
a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 0＝6,而a＋b其大小为5，方向与a同向．(2)若|a｜＝2，|b｜＝3，a与b的夹角为180°.a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 180°＝－6，a＋b的大小为1，方向与b同向．（3）非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定? 提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数,其符号由夹角的余弦值确定．知识梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，(1）a⊥b⇔a·b＝0。
高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2
所以 AB · AD = 5 . 4
答案: 5 4
课堂探究
题型一 数量积的基本运算
【例1】 已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30°时,分别求a与b的数量积.
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
ab ab 2 量 a 与 b 的夹角为 120°.故选 C. 答案:(1)C
(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为 .
解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得 b = 1 .再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可 a3
得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得 a·b=-︱b︱2.设 a,b 的夹角为θ,于是 cos θ= a b = b 2 = b =- 1 .
.
解析:(2)因为︱2a+b︱= 10 ,所以(2a+b)2=10,所以 4a2+4a·b+b2=10,又
因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且︱a︱=1,所以 4×12+4×1×︱b︱× 2 + 2
︱b︱2=10,整理得︱b︱2+2 2 ︱b︱-6=0,解得︱b︱= 2 或︱b︱=-3 2 (舍去). 答案:(2) 2
②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);
答案: 5 4
课堂探究
题型一 数量积的基本运算
【例1】 已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30°时,分别求a与b的数量积.
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
ab ab 2 量 a 与 b 的夹角为 120°.故选 C. 答案:(1)C
(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为 .
解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得 b = 1 .再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可 a3
得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得 a·b=-︱b︱2.设 a,b 的夹角为θ,于是 cos θ= a b = b 2 = b =- 1 .
.
解析:(2)因为︱2a+b︱= 10 ,所以(2a+b)2=10,所以 4a2+4a·b+b2=10,又
因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且︱a︱=1,所以 4×12+4×1×︱b︱× 2 + 2
︱b︱2=10,整理得︱b︱2+2 2 ︱b︱-6=0,解得︱b︱= 2 或︱b︱=-3 2 (舍去). 答案:(2) 2
②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);