13.2函数的极限
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
数列的极限
A
A
0.故选
D.
2.（2008·辽宁量，2） lim n
1＋3＋5＋…＋(2n－1) n(2n＋1)
等于
( B)
1 A.4
1 B.2
C．1
D．2
解析 ∵1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n(2n－21＋1)＝n2，
lim 1＋3＋5＋…＋(2n－1)n源自n(2n＋1)lim
n
n2 2n2
n
lnim2＋1 1n＝12..
, 3
且对任意正整数
m
、n,都有
am +n=am an,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,ln→i∞mSn 等于( A )
A.12 解析
2
3
B.3
C.2
a2＝a1·a1＝19，
D．2
an＋1＝a1·an＝31an，∴aan＋n 1＝31. 即{an}是以13为首项，公比为 q＝13的等比数列． ∴Sn＝31(11－－1331n)＝21(1－31n)．
每次沿 y 轴运动的路程分别为a2，a8，3a2，…， a
∴s′＝1－2 14＝23a，∴P 趋向于点(43a，23a)．[12 分] 探究提高 本题属于无穷等比数列(|q|<1，q≠0)各项和 问题，它实质上是等比数列前 n 项和的极限问题，该 问题一般从两个角度去考查，一是求无限和问题；二 是从 q 的范围去求某些字母的范围问题．
(2)原式 lim n
2n lim
n2 n n2 n n
2
1 1 1 1
n
n
2 1. 11
(3)原式
lim
1 3
[1
(
1)n] 3
lim
1
[1
极限 公式
极限公式极限公式是数学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的趋势和极限值。
在数学中，极限公式可以用符号和数学公式来表示，但在本篇文章中，我们将以简洁明了的方式，用文字描述极限公式的概念和应用。
我们来了解一下什么是极限。
在数学中，极限是指函数在某一点无限逼近的过程。
当自变量趋近于某个值时，函数的值也趋近于一个确定的值，我们称之为极限值。
极限公式可以用来计算这个极限值，帮助我们更好地理解函数的变化趋势。
极限公式可以分为不同类型，比如常见的极限公式有：1. 无穷大极限：当自变量趋近于无穷大时，函数的极限值是多少。
例如，当x趋近于正无穷大时，函数f(x)的极限可以表示为lim f(x) = L。
2. 零点极限：当自变量趋近于某个值时，函数的极限值是多少。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim f(x) = L。
3. 两个变量的极限：当两个变量同时趋近于某个值时，函数的极限值是多少。
例如，当x和y同时趋近于a时，函数f(x, y)的极限可以表示为lim f(x, y) = L。
极限公式在数学中有着广泛的应用。
它可以用来求解函数的最大值和最小值，帮助我们优化问题的解。
例如，在微积分中，我们可以通过求函数的极限来求解函数的导数，进而研究函数的变化规律。
除了在数学中的应用，极限公式也在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，我们可以利用极限公式来描述物体的运动规律，求解物体的速度、加速度等参数。
在工程学中，极限公式可以帮助我们设计和优化结构，提高工程的可靠性和安全性。
极限公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和极限值。
无论是在数学、物理还是工程等领域，极限公式都有着广泛的应用。
通过掌握极限公式，我们可以更好地解决问题，优化解决方案，提高工作效率。
希望本文对您理解极限公式的概念和应用有所帮助。
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
求函数极限的方法和技巧
求函数极限的方法和技巧函数极限是微积分中很重要的一个概念，它在描述函数的性质和行为上起着关键的作用。
在求函数极限时，有许多方法和技巧可以帮助我们得出准确的结果。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和计算函数极限。
一、基本极限公式和定理在求函数极限时，有一些基本的极限公式和定理是非常有用的，可以帮助我们快速计算极限。
下面是一些常见的基本极限：1. 常数极限：lim（常数）= 常数2. 幂函数极限：lim（xn）= 0 （当n > 0时）、lim（x^n）= 1（当n = 0时）3. 正弦函数和余弦函数极限：lim（sinx）= 0、lim（cosx）= 14. 自然对数函数和指数函数极限：lim（lnx）= -∞（当x→0+时）、lim（ex）= ∞（当x→∞时）除了基本的极限公式外，还有一些常用的极限定理可以简化计算：1. 四则运算法则：若lim（f(x)）和lim（g(x)）存在，则lim（f(x) ± g(x)）= lim（f(x)）± lim（g(x)）lim（f(x) * g(x)）= lim（f(x)） * lim（g(x)）lim（f(x) / g(x)）= lim（f(x)） / lim（g(x)）（此处lim（g(x)）≠0）2. 复合函数极限：若lim（f(x)）= a，则lim（g(f(x))）= g(a)这些基本极限公式和定理在计算极限时非常有用，可以大大简化计算过程。
二、夹逼定理夹逼定理是求解函数极限的重要工具，它对于求解一些复杂函数的极限非常有帮助。
夹逼定理通常用于以下情况：1.当函数在一些区间内被两个已知函数夹逼时，可以利用夹逼定理求出函数的极限。
具体而言，如果存在函数g(x)≤f(x)≤h(x)以及lim（g(x)）= lim （h(x)）= a，那么lim（f(x)）= a。
这意味着，当一个函数夹在两个已知函数之间，并且这两个函数的极限相等时，该函数的极限也等于这个相等的极限。
数学分析13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十三章 函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ， 对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0， 当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε， 即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如： 函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)， 且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知 导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0， 当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续， 从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续， 由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]， 有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时， 对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-； 又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛， 由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1， 由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 常数函数的极限。
当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。
这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。
2. 幂函数的极限。
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。
当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。
3. 指数函数的极限。
指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。
其中a为常数且大于0。
4. 对数函数的极限。
对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
其中a为常数且大于0且不等于1。
5. 三角函数的极限。
三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。
6. 反三角函数的极限。
反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。
7. 双曲函数的极限。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。
8. 反双曲函数的极限。
反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。
9. 指数对数函数的极限。
指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
函数极限的基本公式详解
函数极限的基本公式详解函数极限是微积分中的重要概念，用于描述自变量趋向于某一特定值时函数取的极限值。
在实际应用中，函数极限广泛地应用于计算、物理、经济等领域。
本文将详细解析函数极限的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极限定义函数极限是指当自变量无限接近于某一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
数学上，我们用极限符号来表示函数极限，即：lim f(x) = L (x→a)其中，f(x)为函数，L为极限值，x→a表示x趋向于a。
二、常用的函数极限公式无论是基础的或是复杂的函数，都有一些常用的极限公式。
下面将详解几个常用的函数极限公式。
1. 常函数的极限当函数为常数函数时，其极限值为该常数值。
例如，对于函数f(x)=3，当x趋向于任意值a时，函数的极限值为3。
2. 多项式函数的极限多项式函数包括线性函数、二次函数等。
对于一个n次多项式函数，当x趋向于无穷大时，其极限值为无穷大或无穷小。
例如，对于函数f(x)=2x^2+3x+1，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为正无穷。
3. 幂函数的极限幂函数是指以x为底的指数函数，常见的幂函数有平方函数、立方函数等。
对于幂函数f(x)=x^n（n为常数），当x趋向于无穷大时，极限值根据幂指数n的奇偶性分为两种情况：- 当n为正偶数时，极限值为正无穷大；- 当n为正奇数时，极限值为负无穷大。
例如，对于函数f(x)=x^4，当x趋向于正无穷大时，函数的极限值为正无穷大。
4. 指数函数和对数函数的极限指数函数和对数函数在极限的运算中具有特殊的性质。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为无穷大；对于对数函数f(x)=log_a(x)，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为正无穷大。
5. 三角函数和反三角函数的极限三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，而反三角函数则包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
数学分析函数极限概念ppt课件
xk
x0 | }；
(2) 若
x0 {
x1 ,
, xn}, 则令
min { | 1k n
xk
x0
| }.
于是, 当 0 | x x0 | 时， 对以上两种情形都有
| R( x) 0 | .
这就证明了 lim R( x) 0 . x x0
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注 有兴趣的同学可以证明：
lim R( x) lim R( x) 0.
0
x
π 2
.
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因为当 x π 时, sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,
2
有 sin x x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R. 上式中的等号仅在 x 0 时成立.
对于任意正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
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x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限，记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
函数的极限
§13.2函数的极限苏州高等职业技术学校 215011周益峰一、教案背景：本教案用于高等职业学校五年一贯制专科二年级学生，他们经过一年半的初等函数基础知识的学习后，在此基础上开始接触到高等数学。
万事开头难，对于高等数学极限概念的理解是学生学习的一个很大的难点。
本课将指导帮助学生利用互联网百度搜索自主地收集信息、整理信息、合作讨论，这样有利于学生在高等数学的学习之初就有了一个自主学习的渠道，起到事半而功倍的效果。
本课使用的教材是苏州大学出版社《数学》编写组编《五年制高等职业教育教材﹒数学﹒第二册》（1998年8月第1版2009年5月第27次印刷）。
本课为新授课，计划一课时（45分钟），用到百度搜索，QQ软件，苏州高等职业学校邮箱，学生讨论通过百度贴吧和QQ讨论组进行，从中完成预习和课后答疑。
集中授课时利用到投影设备和电脑课件。
二、教学课题：本课教学的课题函数的极限。
极限贯穿着整个微积分的始末，仿佛是一篇文章的主线。
它是一种独特的思想，这里非常有必要引导学生学习数学文化，体会数学中“火热的思考”和“冰冷的美丽”。
在教材上提供了一些探究阅读，学生的互联网搜索中可以获取更多。
比如：维基百科对极限的解释：1还有百度百科中的解释：2专业定义设函数f(x)在点x。
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。
|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
通俗定义1/wiki/%E6%9E%81%E9%99%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E5.87.BD. E6.95.B0.E7.9A.84.E6.9E.81.E9.99.902/view/17644.htm#1-41、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。
函数极限公式汇总
函数极限公式汇总
极限，即无限接近，是高等数学中比较重要的概念，也是大学数学课程中经常使用的一种概念，很多函数极限公式也是大家经常了解，而极限可以用来解决复杂的数学问题，本文将简要讨论几个常用的函数极限公式。
首先，常用的函数极限公式之一就是0的极限。
给定一个函数f(x)，当x趋近于一个特定的值a时，如果f(x)的值趋近于0，则按照极限的定义，可以说lim f(x) = 0，这就是0极限的定义。
第二个常用的函数极限公式就是1的极限。
如果一个函数f(x)在x趋近某个特定值a时，f(x)的值趋近于1，那么可以说lim f(x) = 1，这也是1的极限的定义。
第三种常用的函数极限公式是+∞的极限，这种极限的定义很简单，只要一个函数的值随着自变量的增大而趋向无穷大，就可以定义为lim f(x) = +∞，这就是+∞的极限的定义。
最后，还有-∞的极限。
-∞的极限的定义和+∞的极限是相反的，当一个函数的值随着自变量的增大而趋向-无穷大时，就可以定义为lim f(x) = -∞，这就是-∞的极限的定义。
以上就是几个常用的函数极限公式，由此可见极限在有关函数的研究中是非常重要的，掌握几个常用的函数极限公式，对于研究函数也有很大的帮助。
lim极限函数公式总结
lim极限函数公式总结1. 什么是极限函数？在数学中，极限函数是描述函数在一个特定点趋近于一个确定值的概念。
当自变量逐渐接近某一个固定的值时，函数的值也逐渐接近一个确定的数，这个确定的数就是极限。
极限函数的计算和理解对于解决数学问题和推导数学公式非常重要。
2. 极限函数的表示方法极限函数有多种不同的表示方法，常用的表示方法包括：•数列极限表示法：使用数列的极限来表示函数的极限。
形式为 lim{n->∞} f(n) = L，表示当n趋近于无穷大时，数列f(n)的极限为L。
•函数极限表示法：直接使用函数形式来表示函数的极限。
形式为 lim{x->a} f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
•无穷小量表示法：用无穷小量来描述函数的极限。
形式为 lim{x->a} f(x) = 0，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为0。
3. 极限函数的基本性质极限函数有一些基本的性质，包括：•唯一性：极限函数在特定点只有一个极限值，即一个函数在某一点的极限是唯一的。
•保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么在该点周围函数的取值也会趋近于该极限值。
•有界性：如果函数在某一点的极限存在，那么该函数在该点周围一定是有界的。
4. 常用的极限函数公式在计算和证明极限函数时，常用的一些公式可以帮助我们简化问题和推导结果。
以下是一些常用的极限函数公式：•常数函数的极限：对于常数函数f(x) = c，其中c是一个常数，其极限为 lim{x->a} f(x) = c。
即常数函数在任意点的极限都等于该常数。
•幂函数的极限：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个正整数，其极限为 lim{x->a} f(x) = a^n。
即幂函数的极限等于底数的幂次方。
•指数函数的极限：对于指数函数f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，其极限为 lim{x->∞} f(x) = ∞，lim{x->-∞} f(x)= 0。
函数的极限(左右极限).
y=x2 2.25 3.61 3.96 3.996 3.9996 3.99996 ……
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)． 从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的 极
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
x
x
x
◆对于常数函数f(x)=c(x∈R),
也有 lim f (x) C x
lim 1 0 x x
二 考察函数，比较特征
1．考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变
化趋势
(1)图象
y y=x2
4
2.25 1
5
1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 ……
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y
2
1
-1 0 1 x
(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近
于1，函数 y x 2 1 的值无限趋近于2. x 1
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
x 1 (x 0)
3．考察函数y 0 ( x 0 )
极限函数与函数的连续性可积性与可微性
极限函数与函数的连续性 可积性与可微性主要讨论连极限函数与函数的连续性 可积性与可微性。
定理13.2.1 设函数列{})(x f n 在),(),(00b x x a ⋃上一致收敛于)(x f ，且对n ∀， n n x x a x f =→)(lim 0，则n n a ∞→lim 、)(lim 0x f x x →均存在，且相等，即 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=。
（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理13.9（连续性） 若函数列{})(x f n 在区间I 上一致收敛于)(x f ，且对n ∀，)(x f n 在I 上连续，则)(x f 在I 上也连续。
说明：若各项为连续函数的函数列{})(x f n 在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列 {})(x f n 在区间I 上不一致收敛。
如：{}n x 在]1,1(-上。
定理13.10（可积性） 若函数列{})(x f n 在],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则 ⎰⎰∞→∞→=ba n n n ba n dx x f dx x f )(lim )(lim 。
注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。
如下面的： 例1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数 n x x n n x n n x n x f n n n n 111,021,22210,2)(<≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=ααα， ,2,1=n 。
解：（略）定理13.11（可微性） 设{})(x f n 为定义在],[b a 上的函数列，若0x ],[b a ∈为{})(x f n 的收敛点，{})(x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且{})(x f n '在],[b a 上一致收敛，则 )(lim ))(lim (x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=。
函数极限及性质
x → x0 x → x0
∃δ > 0, ∀x ∈ U ( x0 , δ ), 有 f ( x ) > r (或 f ( x ) < r ).
o
推论 若 lim f ( x ) = A, 且 ∃γ > 0, ∀x ∈ U ( x0 , γ ),
例2
证明 lim C = C , ( C 为常数 ).
x → x0
例3 证明 lim x = x 0 .
x → x0
见 P26 例10,例11
2 x2 − 3 x + 1 = 1. 例4 证明 lim x →1 x −1
证
函数在点 x =1处没有定义.
∀ε > 0,
2 x2 − 3 x + 1 −1 = 2 x −1 ∵ f ( x) − A = x −1
0
lim 当0 < x − x0 < δ 时, 就有 x − x0 < ε , ∴ x → x x = x0 .
更一般地,设 f (x)在 x0 的某去心邻域内取正值, 且 lim f ( x ) = A > 0 ，则 lim
x → x0
x → x0
f ( x) =
A.
看P26 例13
3 单侧极限---- 左极限和右极限 考察分段函数,
x
点 x0 的去心 δ 邻域, δ 体现 x 接近 x0 的程度.
例如 x → 1时 , f ( x ) = 2 x − 1 “无限接近”1
当 ε = 0.2时，要使 2 x − 1 − 1 < 0.2，只须 x − 1 < 0.1 ↔ δ
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常熟市技工学校
教 案
课题： 13.2函数的极限
教学目的要求： 1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与
左、右极限之间的关系。
2.熟练掌握∞→x 和0x x →时f(x)的极限存在的充要条件
3.理解无穷大、无穷小的概念，
4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限
教学重点：函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质 教学难点：1.函数极限的定义及)0(0-x f 、)0(0+x f 的含义
2.分段函数在0x x →时的极限的讨论方法
3.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用
授课方法：探究研讨法，讲练结合法等
教学参考及教具（含多媒体教学设备）：学习指导用书计算机投影仪 授课执行情况及分析：
极限是微积分中最基本的概念,极限的方法是人们从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数学方法,它是微积分的基本思想方法,微积分学中其他的一些重要概念,如导数、积分、级数等等,都是用极限来定义，极限是贯穿高等数学各知识环节的主线.
板书设计或授课提纲
（2) x 是从小于0x 的方向趋近于0x ,记作-
→0x x (或
00-→x x ).
显然0x x →是指以上两种情况同时存在.
考察当1→x 时， 函数1
1
)(2--=x x x f 的变化趋势.
注意到当1≠x 时，函数111
)(2+=--=
x x x x f ,所以当1→x 时,)(x f 的值无限接近于常数2(图1-10所示),像这种当0x x →时,函数
)(x f 的变化趋势,我们有如下定义:
图1-10
定义 设函数)(x f 在点0x 的左右近旁有定义(0x 点可以除外),如果当自变量x 趋近于0x (0x x ≠)时,函数)(x f 的值无限趋近于一个确定的常数A ,则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记作A x f x x =→)(lim 0
或者A x f →)( (0x x →).
从上面的例子还可以看出,虽然1
1
)(2--=x x x f 在1=x 处没有定义,
但当1→x 时函数)(x f 的极限却是存在的,所以当0x x →时函数)(x f 的极限与函数在0x x =处是否有定义无关.
由定义,不难得出:
（1)C C x x =→0
lim (C 是常数)；
（2)00
lim x x x x =→.
上面讨论了0x x →时函数)(x f 的极限,对于+→0x x 或-
→0x x 时的情形,有如下定义:
定义 如果当+→0x x (-
→0x x )时,函数)(x f 的值无限趋近于一个确定的常数A ,则称A 为函数)(x f 当+→0x x (-
→0x x )时的右(左)极限,记作A x f x x =+→)(lim 0
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-→A x f x x )(lim 0，或A x f =+)0(0
()A x f =-)0(0.
左极限和右极限统称为单侧极限.
显然,函数的极限与左右极限有如下关系: 定理
A x f x x =→)(lim 0
成立的充分必要条件是
A x f x f x x x x ==-+
→→)(lim )(lim 0
0.
这个定理常用来判断函数的极限是否存在.
例2 讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧+=11
)(2
x x x f 1100≥<≤<x x x ，当0→x 时的极限(图
1-11).
图1-11
解: 1)1(lim )(lim )00(0
=+==--
-→→x x f f x x ， 0lim )(lim )00(2
===++
+→→x x f f x x ， 由于)00()00(+≠-f f ,因此)(lim 0
x f x →不存在.
此例表明，求分段函数在分界点的极限通常要分别考察其左右极限.。