高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第一章§3第一课时应用创新演练
高中数学 第1部分 第一章 §3 第二课时 组合的应用应用创新演练 北师大版选修23
【三维设计】高中数学第1部分第一章§3 第二课时组合的应用应用创新演练北师大版选修2-31．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A．36种B．48种C．96种D．192种解析：完成这件事可用分步乘法计数原理，有C24C34C34＝96种．答案：C2．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )A．81 B．60C．6 D．11解析：分三类：恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81答案：A3．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )A．6个B．12个C．18个D．30个解析：从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．答案：B4．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C12·C27＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C22·C17＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．答案：C5．从1,2,3，…，9九个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a<b<c，则不同的数组有________个．解析：C39＝84.答案：846．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答) 解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：75[7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．8．(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，从其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类乘法计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C35＋3＝33种．(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面，有4C46＝60种，四面体的每一棱上3点与相对棱的中点共面，共有6种共面情况；从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)．故4点不共面的取法为C410－(60＋6＋3)＝141种．。
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第一章§5第二课时应用创新演练
1．若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，a 3＝a 12，则自然数n 的值为( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：在(1＋x )n 的展开式中，某一项二项式系数与这一项系数相同，由于a 3＝a 12，∴n ＝15.答案：C2．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n 等于( )A ．256B ．136C ．120D ．16解析：在展开式中，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝44. 答案：A3．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．120解析：由2n ＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N)．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20. 答案：B4．在⎝⎛⎭⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．－1或3解析：由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3. 答案：D5．若(3x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x 2的系数是________．解析：令x ＝1，得4n ＝256，n ＝4, x 2 的系数为C 2432＝54.答案：546．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．已知(1＋x)n展开式的第五、六、七项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．解：在(1＋x)n的展开式中，第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数，即分别是C4n，C5n，C6n.∴有C6n＋C4n＝2C5n，即n2－21n＋98＝0，解得n＝14或n＝7.∴当n＝14时，(1＋x)n展开式的系数最大的项为第8项C714x7＝3 432x7；当n＝7时，(1＋x)n展开式中系数最大的项为第四项C37x3＝35x3和第五项C47x4＝35x4.8．对二项式(1－x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项．(2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C510(－x)5＝－252x5.(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024.(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第三章§2应用创新演练
1．(2011·湖南高考改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关． 答案：C2．经过对χ2统计量分布的研究，已知得出了统计中的三个值：2.706,3.841与6.635，下列说法正确的是( )A ．当χ2<3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关 B ．当χ2<6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．当χ2≥3.841时，认为事件A 与B 是无关的D ．当χ2≤2.706时，认为事件A 与B 是无关的 解析：根据独立性判断的方法可知D 正确． 答案：D3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：A．没有充分证明种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的解析：由公式，得χ2＝407×(32×213－61×101)2133×274×93×314≈0.164<2.706.答案：A4．给出下列实际问题，①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟与性别是否有关系；⑤人的智商与出生季节是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：独立性检验是判断两个变量是否相关的一种方法，其中②④⑤的问题均可用独立性检验解决．答案：C5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C ＝E ＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：________. 解析：χ2＝50(14×19－6×11)220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：解：由公式求得χ2＝189×(64×73－22×30)286×103×94×95≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．8．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系． 解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”.。
北师大版高中数学选修创新演练阶段质量检测第三章§应用创新演练
1．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2. 答案：C2．某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间段(3, 3＋Δt )内的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：v －＝Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt＝6＋Δt . 答案：A3．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－0.88 m/sB ．0.88 m/sC ．－4.8 m/sD ．4.8 m/s解析：Δs ＝s (1.2＋Δt )－s (1.2)＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)＝－2(Δt )2－4.8Δt ，∴Δs Δt ＝－2(Δt )2－4.8Δt Δt＝－2Δt －4.8. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－4.8. 答案：C 4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________．解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ，∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e 6．函数f (x )＝2x ＋1在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为________．解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝[2(2＋Δx )＋1]－(2×2＋1)＝2Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx Δx＝2. 答案：27．求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为：f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋1]－(2x 20＋1)Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝1，Δx ＝12时， 平均变化率为4×1＋2×12＝5. 8．设质点做直线运动，已知路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1与Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．解：(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt(m/s)．当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17(m/s)．当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3(m/s)．当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03(m/s)．(2)当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于14，所以t＝2时的瞬时速度为14(m/s)．。
高中数学 第1部分 第二章 §3 条件概率与独立事件课件 北师大版选修23
有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙 箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1 个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸 出白球}．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ 提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)． 提示：P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝35× ×24＝130. 问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
4．若 A 与 B 相互独立，则下面不是相互独立事件的是
A．A 与 A
B．A 与 B
()
C. A 与 B
D. A 与 B
解析：当 A，B 相互独立时，A 与 B ，A 与 B 以及 A
与 B 都是相互独立的，而 A 与 A 是对立事件，不相 互独立．
答案：A
5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”， B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立． 解：抽到老 K 的概率为 P(A)＝542＝113，抽到红牌的概 率 P(B)＝2562＝12，故 P(A)P(B)＝113×12＝216，事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老 K 或方块老 K”，故 P(AB)＝522＝216，从而有 P(A)P(B) ＝P(AB)，因此 A 与 B 互为独立事件.
1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能
结果为 Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件 A＝{2,3,5}，B＝
{1,2,4,5,6}，则 P(A|B)＝
()
A.12
B.15
2
3
C.5
D.5
1 解析：P(B)＝56，P(A∩B)＝13，P(A|B)＝PPABB＝35＝25.
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§5第一课时应用创新演练
1．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X ，Y 的分布列为甲 乙则甲、乙两人技术状况怎样( ) A ．甲好于乙 B ．乙好于甲 C ．一样好D ．不能确定解析：EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.0， ∴EX >EY ， ∴甲的技术好于乙． 答案：A2．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4. 答案：D3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B4．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110. ∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2. ∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下已知EX ＝8.9，则y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X，Y的分布列是EX＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，EY＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解：以A i表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝n(n＋1)(m＋n)(m＋n＋2).(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14. 从而X 的分布列是EX ＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。
北师大版高中数学选修第一章§应用创新演练(2)
1．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数，其中，特称命题的个数为() A．1B．2C．3 D．4解析：①③④中均含存在量词，为特称命题．②为全称命题．答案：C2．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．存在x∈R，使lg x＝0B．存在x∈R，使tan x＝1C．对任意x∈R，都有x3>0D．对任意x∈R，都有2x>0解析：对C，当x＝－1时，(－1)3<0，故C为假命题，A、B、D均为真命题．答案：C4．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③ ②④6．命题p “存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋5＝0”的否定为________________________，并且命题p 的否定为________命题(填“真”“假”)．解析：命题的否定为：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0.即指方程x 2＋2x ＋5＝0无实根，为真命题．答案：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 真7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)有的四边形没有外接圆．(2)某些梯形的对角线互相平分．(3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围．(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是 (－∞，2)．。
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§4应用创新演练
1．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.19 B.29 C.13D.49解析：由题意P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫232＝49. 答案：D2．若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)＝( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＝80243. 答案：D3．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为( )A ．C k n p k (1－p )n －k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：由于P (A )＝p ，则P (A )＝1－p .所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 答案：D4．某人射击一次击中目标的概率为0. 6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.81125 B.54125 C.36125D.27125解析：至少有2次击中目标包含以下情况： 只有2次击中目标，此时概率为C 23×0.62×(1－0.6)＝54125， 3次都击中目标，此时的概率为C 33×0.63＝27125， ∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125.答案：A5．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k(1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1) ＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.由P (X ≥1)＝59，得1－(1－p )2＝59，结合0<p ≤1，得p ＝13.答案：136．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P 1＝35×⎝⎛⎭⎫1－35×35×⎝⎛⎭⎫1－35×35＝1083 125； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X ～B (5，35)，故所求其概率为P (X ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫353×⎝⎛⎭⎫1－352＝216625.8．(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望EX .解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为故随机变量X EX ＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.。
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第一章§4应用创新演练
1．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数为( ) A ． 480 B ．240 C ．120D ．96解析：先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可， ∴分法种数为C 25·A 44＝240. 答案：B2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26.答案：C3．(2012·大纲全国卷)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：由分步乘法计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．答案：A4．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中，每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24D ．2A 26解析：先把4人分成2组，然后安排到六个班级中的两个，即有C 24C 22A 22·A 26＝C 24A 262.答案：B5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．解析：有两种满足题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C 24C 22种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．答案：106．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)解析：可以3个人每人去一所学校，有A36种方法；可以有2个人到一所学校，另一个人去另外5所学校中的一所，有C23A26种方法，故共有A36＋C23A26＝210种分配方案．答案：2107．由字母A，E及数字1,2,3,4形成的排列．(1)由这些字母、数字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列有多少不同的排列？(3)要求末位不能排字母，有多少不同的排列？解：(1)6个元素的全排列：A66＝6×5×4×3×2×1＝720个．(2)分两步：第一步，排首位与末位，排法有A22种，第二步，排中间，排法为A44种．总排法有A22A44＝48种．(3)法一：分两步：第一步，排末位，排法有A14种，第二步，排其余位置，排法有A55种．总排法有A14A55＝480种．法二：A66－A12A55＝480种．8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．。
高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§2应用创新演练
1．设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，X 表示取到的白球数，则P (X ＝1)等于( )A.110 B.15 C.310D.35解析：P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝610＝35.答案：D2．30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是( )A ．抽取的5件产品中的一等品数B ．抽取的5件产品中的二等品数C ．抽取的5件产品中的三等品数D ．30件产品中的三等品数解析：A 、B 、C 中的产品数都是变量，又满足超几何分布的形式和特点；而D 中的产品数是常数，不是变量．答案：D3．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的的概率B ．恰有2个是好的的概率C ．4个全是好的的概率D ．至多有2个是坏的的概率解析：恰有2个是好的的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：取到的2个球颜色不同的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.答案：356．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8157．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为(2)1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为。
北师大版高中数学选修第一章§应用创新演练(2)
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 解析：∵n >1，且n ∈N ＋，∴n 的第一个取值n 0＝2.此时12n－1＝13. 答案：B2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．答案： B3．已知数列{a n }的前n 项之和为S n 且S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)，若已经算出a 1＝1，a 2＝32，则猜想a n ＝( )A.2n －1nB.n ＋1nC.2n －12n －1D.2n －12n －1 解析：∵a 1＝1，a 2＝32， 又S 3＝1＋32＋a 3＝6－a 3， ∴a 3＝74. 同理，可求a 4＝158，观察1，32，74，158，…， 容易猜想出a n ＝2n －12n －1⎝⎛⎭⎫或a n ＝2－12n －1. 答案：D4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1) B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1 解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1. 答案：C5．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：凸k ＋1边形在凸k 边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.答案：π6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N ＋)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想知a n ＝1n .下面用数学归纳法进行证明． ①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝1k， 那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，对任意n ∈N ＋都有a n ＝1n. 8．已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n (4－a n )，n ∈N ＋.证明a n <a n ＋1<2(n ∈N ＋)．证明：①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝12a 1(4－a 1)＝32， ∴a 1<a 2<2，命题正确．②假设n ＝k 时，有a k <a k ＋1<2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1－a k ＋2＝12a k (4－a k )－12a k ＋1(4－a k ＋1) ＝2(a k －a k ＋1)－12(a k －a k ＋1)·(a k ＋a k ＋1) ＝12(a k －a k ＋1)(4－a k －a k ＋1)． 而a k －a k ＋1<0,4－a k －a k ＋1>0， ∴a k ＋1－a k ＋2<0.又a k ＋2＝12a k ＋1(4－a k ＋1)＝12[4－(a k ＋1－2)2]<2，∴n＝k＋1时命题正确．由①②知，对一切n∈N＋有a k<a k＋1<2.。
高一数学北师大版选修21第一章§1应用创新演练1
1．散点图在回归分析过程中的作用是()A．查找个体数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关答案：D2．设产品产量与产品质量之间的线性相关系数为－0.87，这说明二者之间()A．负相关B．正相关C．不相关D．相关关系不能确定解析：因为|－0.87|＝0.87，与1接近，二者存在相关关系，且为负相关．答案：A3．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．答案：D4．(2011·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：样本中心点是(3.5,42)，则a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y＝9.4x＋9.1，把x ＝6代入，得y ＝65.5. 答案：B5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的线性回归方程为y ＝a ＋bx ，那么下面说法中错误的是________．(1)a ＝y －－b x －；(2)直线y ＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(3)直线y ＝a ＋bx 的斜率为b ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1n x 2i －n x －2. 答案：(2)6．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________件．解析：x －＝14(17＋13＋8＋2)＝10，y －＝14(24＋33＋40＋55)＝38.由线性回归方程过(x －，y －)知， 38＝a ＋－2×10，∴a ＝58.∴y ＝58＋－2x ，∴当x ＝6时，y ＝46. 答案：467．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)画出散点图； (2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值． 解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5， 因此线性回归方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)． 即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元． 8．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：求y 解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46，a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97. 线性回归方程为y ＝13.97＋12.46x .下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531，∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687.∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．。
高中数学 第1部分 第一章 §3 第一课时 应用创新演练 北师大版选修23
1．从5名同学中推选4人去参加一个会议，不同的推选方法总数是( ) A ．10 B ．5 C ．4D ．1解析：有C 45＝C 15＝5种方法． 答案：B2．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题答案：C3．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8B ．5或6C ．3或4D ．4 解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －12.解得n ＝8.答案：A4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )[ A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25) ＝2×(6＋5×42×1)＝32.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。
北师大版高中数学选修第二章§第一课时应用创新演练
1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90解析：连接BC 1，则MC 为DM 在平面B 1C 上的投影．因为CM ⊥MN ，所以DM ⊥MN .又MN ∥BC 1∥AD 1. 所以DM ⊥AD 1，即AD 1与DM 的夹角为90°. 答案：D2.(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：设CA ＝2，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,0,1)， C 1(0,2,0)，B 1＝(0,2,1)，可得向量1AB ＝(－2,2,1)，1BC ＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈1AB ，1BC 〉＝－2×0＋2×2＋1×(－1)0＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55.答案：A3.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )A.36 B.34 C.33D. 233解析：设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC＝1，则BD ＝3，∴B⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫－32，0，0.∴OC ＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，且OC 为平面BDF 的一个法向量． 由BC ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB ＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC 〉＝217，sin 〈n ，OC 〉＝277. ∴tan 〈n ，OC 〉＝233.答案：D4．P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α、β平面内引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°解析：设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE＝a 2，PF ＝b2.于是EM ·FN ＝(PM －PE )·(PN －PF )＝PM ·PN －PM ·PF －PE ·PN ＋PE ·PF ＝ab cos 60°－a ·b 2cos 45°－a 2·b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0.因为EM 、FN 分别是α、β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM 与FN 的夹角就是α与β的夹角．答案：D5．平面π1的一个法向量n 1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n 2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．解析：n 1·n 2＝2－4＋2＝0，∴n 1⊥n 2，∴〈n 1，n 2〉＝π2，即α与β垂直，∴sin 〈n 1，n 2〉＝1. 答案：16.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则1AB ＝1BB －BA ，BM ＝BC ＋121BB ，cos 〈1AB ，BM 〉＝(1BB －BA )·(BC ＋121BB )22·5＝0－2＋2＋022·5＝0.故AB 1与BM 的夹角为90°. 答案：90°7．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求平面A 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角．解：如图所示，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ，连BM ， ∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM ＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，1A C ＝(－2,2，－2)，11A B ＝(－2,0,0)，∴n ·11A B ＝－2x ＝0，n ·1A C ＝－2x ＋2y －2z ＝0. 令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)．设法向量n 与BM 的夹角为φ，平面A 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角为θ. ∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM ||n ||BM |＝12，解得θ＝π3，即平面A 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角为π3.8．(2012·上海高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2， 所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)法一:如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22，0)，E (1，2，1)，AE＝(1，2，1)，BC ＝(0,22，0)．设AE 与BC 的夹角为θ，则 K] cos θ＝AE ·BC |AE |·|BC |＝42×22＝22，θ＝π4.由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.法二:取PB 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.。
高一数学北师大版选修21第三章§33.1应用创新演练
1．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．7或23D ．5或25解析：由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，而由双曲线方程知c ＝5，a ＝4，则点P 到F 2的距离为23或7.答案：C2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 答案：A3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为： x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12， ∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C 4．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件解析：∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线， 而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2. 答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．椭圆x 24＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 22＝1的焦点相同，则k 的值为________． 解析：双曲线焦点位于x 轴上，∴k >0，且有4－k 2＝k ＋2即k 2＋k －2＝0，∴k ＝1或－2(负值舍去)．答案：17．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的一交点到两焦点的距离．解：由题意，c 2＝144＋25＝169，∴c ＝13，则焦点坐标F 1(－13,0)， F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 225＝132144－1＝25144，∴y ＝2512， ∴|AF 1|＝2512， 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312， ∴垂线与双曲线的一交点到两焦点的距离为2512，31312. 8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。
高一数学北师大版选修21第三章§44.1应用创新演练
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是() A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不一致．答案：D2．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是()A．(2，－2)B．(4，－3)C．(3,10) D．(－2,5)解析：x＝3，y＝10时满足x2－xy＋2y＋1＝0，故(3,10)为曲线上的点．答案：C3．方程x2＋xy＝x的曲线是()A．一个点B．一个点和一条直线C．一条直线D．两条直线解析：x2＋xy＝x，即x2＋xy－x＝0，∴x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示两条直线．答案：D4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|＋MN·NP ＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：设点P坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，∴|MN|＝4，|MP|＝(x＋2)2＋y2，MN·NP＝4(x－2)，根据已知条件得4(x＋2)2＋y2＝4(2－x)，整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.答案：B5．已知点A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是________．解析：由A (2,5)，B (3，－1)，得直线AB 的方程为6x ＋y －17＝0，线段AB 中，2≤x ≤3. 答案：6x ＋y －17＝0(2≤x ≤3)6．方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①曲线C 不可能是圆；②若1<k <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52. 其中正确的命题是________．解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝52∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0，解得1<k <52，命题④正确． 答案：③④7．已知直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程．解：设C (x ，y )，则AC ＝(x ＋1，y )，BC ＝(x －1，y )．∵∠C 为直角，∴AC ⊥BC ，即AC ·BC ＝0，即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形，∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0，∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．8．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ＝2MP ，PM ⊥PF .当点P 在y 轴上运动时， 求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ＝2MP ，故P 为MN 中点．又∵PM ⊥PF ，P 在y 轴上，F 为(1,0)．故M 在x 轴的负方向上，设N (x ，y )(x >0)，则M (－x,0)，P (0，y 2)， ∴PM ＝(－x ，－y 2)． PF ＝(1，－y 2)，又∵PM ⊥PF ，故PM ·PF ＝0，即－x＋y24＝0，∴y2＝4x(x>0)．即N点的轨迹C的方程为y2＝4x(x>0)．。
北师大版高中数学选修第一章§命题应用创新演练
【三维设计】高中数学 第一章 §1 命题应用创新演练 北师大版选修1-11．(2011·山东高考)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：a ＋b ＋c ＝3的否命题是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：A2．原命题“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b .”与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：原命题为真，故其逆否命题为真；其逆命题为：若a >b ，则ac 2>bc 2，显然c ＝0时为假，故其否命题也为假答案：C3．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )[A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1[C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：C4．下列四个命题中的真命题是( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1 C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列解析：当A＝30°，B＝150°时，sin A＝sin B，故A为假命题；若lg x2＝0，则x＝±1，故B为假命题；由a>b，ab>0得aab >bab，即1b>1a，故C为真命题；当b＝a＝0时，b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，D为假命题．答案：C5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________________，q是___________________________．答案：一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．6．命题：若x2<4，则－2<x<2的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4真7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式．并写出其逆命题、否命题、逆否命题．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。
高一数学北师大版选修21第三章§4应用创新演练
1．命题“关于x 的方程f (x )＝0有唯一解”的结论的否定是( )A ．无解B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解答案：D2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数解析：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定应为“a ，b ，c 都不是偶数”． 答案：B3．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数解析：a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数．故D 错误．答案：D4．设a ，b ，c 为正实数，则3个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：若三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，而⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，矛盾． 答案：D5．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.答案：a ，b 不全为06．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c 不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac ，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c 2，所以⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．因此2b ＝1a ＋1c 不成立．8．如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高线，AM 是BC 边上的中线．求证：点M 不在线段CD 上．证明：假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD .由已知，得AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，∴AB <AC .这与AB >AC 矛盾．∴点M 不在线段CD 上．。
高一数学北师大版选修22第三章§22.1应用创新演练
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s解析：s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.答案：C2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是()A．500 m/h B．1 000 m/hC．400 m/h D．1 200 m/h解析：∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．答案：C3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是()A．6 B．9C．9π D．6π解析：∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.答案：D4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－13t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1 s内的位移B．汽车刹车后1 s内的平均速度C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度D．汽车刹车后1 s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案：C5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是__________________________________．答案：4边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度6．某汽车的路程函数是s＝2t3－12gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s 2.解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，∴a (2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．答案：147．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2100(元)．(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元．此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c (220)－c (200)220－200＝8620＝4.3(元/件)， 它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元．(2)c ′(x )＝110＋x 50， 于是c ′(200)＝110＋4＝4.1(元/件)． 它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )；(2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．解：(1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6(x >6)．(2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2， f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88(L km/h )， f ′ (36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88 L km/h ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.。
高一数学北师大版选修21第一章§22.1应用创新演练
1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：A ＝{2,4,6}，B ＝{3, 6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件．答案：B2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )＝( )A.12B.14C.13 D ．1解析：P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12. 答案：A3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ， “这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.答案：D4．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：由P (A B －)＝P (B A －)，得P (A )P (B －)＝P (B )P (A －)，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )，又P (A －B －)＝19， 则P (A －)＝P (B －)＝13.∴P (A )＝23. 答案：D5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13＝12×23＝13， 问题得到解决就是至少有1 人能解决问题．∴P ＝1－13＝23. 答案：13 236．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知n (A )＝C 39＝84，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝684＝114. 答案：114 7．(2011·山东高考改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知，P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．解：(1)设“第i次按对密码”为事件A i(i＝1,2)，则事件A＝A1＋(A1A2)表示不超过2次就按对密码．因为事件A1与A1A2互斥，由概率加法公式，得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＝110＋9×110×9＝15.(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，则A|B＝A1|B＋(A1A2)|B.∴P(A|B)＝P(A1|B)＋P((A1A2)|B)＝15＋4×15×4＝25.。
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1．从5名同学中推选4人去参加一个会议，不同的推选方法总数是( ) A ．10 B ．5 C ．4
D ．1
解析：有C 4
5＝C 15＝5种方法．
答案：B
2．给出下面几个问题：
①10人相互通一次电话，共通多少次电话？
②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②
D ．①②④
解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．
答案：C
3．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( )
A ．8
B ．5或6
C ．3或4
D ．4
解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n (n －1)2.解得n ＝8.
答案：A
4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8
n ，则n 等于( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，
所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.
解析：∵m＝C24，n＝A24，∴m∶n＝1 2.
答案：1 2
6．方程C x28＝C3x－8
28
的解为________．
解析：当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9. 答案：4或9
7．计算：(1)C58＋C98100C77；
(2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×6
3×2×1
＋
100×99
2×1
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)
＝2×(6＋5×4
2×1
)＝32.
8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解：(1)C512＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．。