江苏省溧水高级中学2019届高三上学期期初模拟考试数学试卷
江苏省南京市溧水高级中学2019届高三学情调查(三)数学试题
南京市溧水高级中学2019届高三学情调查（三）一、填空题（每小题5分，共70分） 1．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝__________ 2．命题“2,10x R x ∃∈+<”的否定是的取值范围是 ．4．若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩则4(log 3)f = ．5．已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 6．等差数列}{n a 中，10S =120，那么92a a += ．7．等差数列{a n }中，1490,a S S >=，则n S 取最大值时，n =__ ____．8．已知函数f （x ）=|lg x |．若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是_____ ________． 9．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_______ _______．10．已知周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 的最小正周期为3，,2)1(<fm m f 则,)2(=的取值范围为 ．11．要使sin α－3cos α=m m --464有意义，则应有 ．12．函数f （x ）=2sin （x+4π）+2sinxcosx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是 ．13．若)(x f 是偶函数,且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是 ．14．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S ． 二、解答题15．已知函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值； （2）若方程f （x ）- m =0有解,求m 的取值范围．16．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 在x=32-与x=1时都取得极值．（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间;（2）若对x ∈［-1,2］,不等式f （x ）<c 2恒成立,求c 的取值范围．17．如图所示：四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形，BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点． ① （1）证明：EB ∥平面PAD ；（2）若PA=AD ，证明：BE ⊥平面PDC ；18．已知函数3223()39f x x ax a x a =--+． （1）设1a =，求函数()f x 的极值；（2）若14a >，且当[]1,4x a ∈时，)('x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．。
2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷.docx
第I卷(选择题满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)r、Z ［、X1 •已知集合A = {x|log2(x+l)<l},B = k - >1［,则A B=( )(3丿-XA. (—1,0)B. (―oo,0)C.(0,1)D. (l,4~oo)2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,-boo)单调递减的函数是()A. y = -x3B. y = ］n xC. y = cosxD. y = 2*cin x3•函数的图象可能是()4.设d〉0且Q工1,贝ij “函数/(兀)=ci x在R上是减函数”是“函数g(兀)=(2 —Q*在尺上递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 2 |5.已知。
=2弓,方=45,(? = 253 ,贝9( )A. c<a<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a6.若实数d,方满足2" =3,3" =2,则函数f(x) = a x^x-b的零点所在的区间是()A. (―2,—1)B. (-l,0)C.(0,1)D. (1,2)7.已知命题p：u3x0e/?,使得xj + 2關+ l<0成立”为真命题，则实数。
满足( )A. ［-L1)B. (—00,—l)k_J(l,+oo)C. (1,+ 8)D. (―oo,—1)8.定义在/?上的奇函数/(尢)满足/(尢-4) = -/(兀)，且在区间［0,2］上递增，贝9()A. /(-25)</(ll)</(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. /(-25) </(80) </(I 1)D. /(I 1) < /(80) < /(-25)9.已知函数y = /(x+l)是定义域为/?的偶函数，M/(x)在［l, + oo)上单调递减，则不等式10•若曲线Q:y = a^（x>0）与曲线C 2:y = e x 存在公共点，则d 的取值范围是（）11. 函 数/(x) = 2m^ - 3nx" +10(m > 0, M > 0)有 两 个 不同的 零点，则5(lgm)2 +9(lgn)2 的最小值是()12. 函数/（兀）是定义在（0,+oo ）上的可导函数，导函数记为/（X ）,当X 〉0且兀H1时，2/E + U 〉0,若曲线y = f （x ）在x = l 处的切线斜率为一纟，则/（1）=（） x-\52 3 4 A. —B. —C. —D. 1 5 5 5 第II 卷（非选择题满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 任意幕函数都经过定点则函数/（x ） = n4-\og a （x-m ）（6? >^1）经过定点 _____ . 14. __________________________________________________ 函数/（x ） = \nx-ax 在［l, + oo ）上递减，则d 的取值范围是 ___________________________ .w' — x — 2 兀 > 0 . '■的零点个数为. x~ +2x,x<0丫2 _1_ y 1 16. 若函数/（兀）满足：办w 7?, /（兀）+ /（-%） = 2,则函数g （兀）=—-—— + f （兀）的最大 x +\值与最小值的和为.三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知命题〃：方程x 2+ax + — = 0有两个不相等的负实数根；命题q ：关于。
2019年高三第一次模拟考试数学含答案
2019年高三第一次模拟考试数学含答案本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2、已知，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3、已知函数，则下列结论正确的是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.4、设，则“”是“”的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 5、若，，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6、等差数列中，则310122log (2222)aaaa⋅⋅⋅⋅=…（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7、在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为，其全程的平均时速为，则（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.10、已知关于的方程的解集为，则中所有元素的和可能是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.11、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.12、已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）Ａ. 椭圆 Ｂ. 双曲线 Ｃ. 抛物线 Ｄ. 圆第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知满足，则 。
14、已知递增的等差数列满足，则 。
15、设是线段的中点，点在直线外，，，则 。
江苏省溧水高级中学2019届高三上学期10月学情调研考试 数学 Word版含答案
2019届高三年级学情调研考试数 学 2018.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ▲ ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ▲ ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ▲ ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ▲ ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ▲ ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ▲ ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ▲ ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ▲ ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m +=的离心率是 ▲ ． 10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ▲ ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ▲ ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，（第3题）AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x xf ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．2019届高三年级学情调研考试数学附加题 2018.1021．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A （异于极点O ），求直线CA 的极坐标方程.22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.2019届高三学情调研考试数学答案2018.10一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(1- 5．16 6．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249 10．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分32sin )3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x =或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：26x +=或26x =；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=217(6108g +=-………………………………………………12分又1791082+->-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据cos10.54=）解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=， 所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分 因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ……………………………………………………4分当12e =时，2b =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标， 可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e-=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e -<，解得12e <<…………………………………14分所以当02e <≤l ，使得BO //AN ；……………………………………15分1e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x xf ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1． 列表如下：所以，f (x )的最小值为－1e ，没有最大值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e 3 ，＋∞)； (10)分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋xx －1． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ．当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量.（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.解(1)设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 是属于特征值λ的一个特征向量，则2223233a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分即262124a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1…………………………………………5分 （2）矩阵M 的特征多项式212()(1)(2)63432f λλλλλλλ--==---=----……8分 由()0f λ=，得4λ=或1λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-…………………………10分21．（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分 所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分 直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ解：（1）1()2P A =……………………………………………………………………………2分 00413441111511()1()1[(()()()()]122221616P B P B C C =-=-+=-=……………5分 （2）ξ可取1，2，4…………………………………………………………………………6分418141(1)(2)(4)164162164P P P ξξξ=========……………………8分 列出概率分布表：1119()1244244E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………………………………………10分23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =.……………………………………………………………………………………2分 数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上， 所以4(0)9P =.……………………………………………………………………………………4分 （2）数列1,2,3,,n 中任取其中k 个元素位置不动，则有kn C 种，其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)kn n n k P k C P -=故()(0)nnknn n k k k kP k kCP -===∑∑，又11k k n n kC nC --=……………………………………………6分所以11111000()(0)(0)()nnn n kknn n kn n k n k k k k okP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，…………………8分对任意的0,()!nnk n N P k n =∈=∑，从而11()(1)!n n k Pk n --==-∑所以()(1)!!nnk kP k n n n ==-=∑………………………………………………………………10分。
2019届江苏省溧水高级中学高三上学期10月学情调研考试 数学(文)
2019届江苏省溧水高级中学高三上学期10月学情调研考试数学（文）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ▲ ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ▲ ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ▲ ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ▲ ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ▲ ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ▲ ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ▲ ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ▲ ．（第3题）9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m +=的离心率是 ▲ ．10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ▲ ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ▲ ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则AP BQ ·的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围；（3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．2019届高三学情调研考试数学答案2018.10一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(1- 5．166．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249 10．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分 因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分32sin )3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x 或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：x =或x =；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=217(6108g +=-………………………………………………12分又 1791082+->-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据cos10.54=） 解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=， 所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分 因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ……………………………………………………4分 当12e =时，b =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标， 可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e-=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e -<1e <<…………………………………14分所以当0e <≤l ，使得BO //AN ；……………………………………15分当12e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x xf ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1．列表如下：所以，f (x )的最小值为－1e ，没有最大值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e 3 ，＋∞)； ……………………………………………10分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋xx －1． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ．当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分。
江苏省溧水高级中学2019届高三年级5月回归性考试数学试题含附加题
省溧中2019届高三年级回归性考试数 学 2019.05注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上.1.已知集合},0,1{},0|{2-==-=B x x x A 则=B A __________. 2. 在复平面内，复数ii Z 21+=对应的点位于第_________象限. 3. 函数x x x f 22cos sin )(-=的最小正周期是___________. 4.从4,3,2,1这四个数中一次随机地选两个数，则选中的两个数中至少有一个是奇数的概率是_________.5.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间]80,40[中， 其频率分市直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间)60,40[内的汽车有_________辆.6.右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是___________.7.各棱长均为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值是________.8.双曲线132422=-y x 上的点P 到右焦点的距离为7,那么点P 到它的左焦点的距离是________.9.数列}{n a 为等比数列，其前n 项的乘积为n T ，若82T T =，则=10T _________.10.已知函数22)(24-+=x x x f ，则不等式1)(lg <x f 的解集是________. 11.已知直线3+=ax y 与圆08222=-++x y x 相交于B A ,两点，点),(00y x P 在直线x y 2=上且PB PA =,则0x 的取值范围是___________.12.如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足P B Q P 2=, 则B P A P ⋅的最小值为___________.13.在△ABC 中，4tan tan tan tan =+BC A C , 则C sin 的最大值是___________. 14.已知函数⎩⎨⎧≥<++-=0,20,4)(23x x x b x x x f ，若函数)]1([)(-=x f f x g 恰有3个不同的零点，则实数b 的取值范围是___________.二、解答题:本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =, D 是BC 上的点，E 为11C B 的中点，∥BE 平面 D AC 1.（1）求证: BC AD ⊥;（2）若平面⊥D AC 1平面ABC ,求证:平面D AC 1⊥平面11BCC B .16. (本小题满分14分)设锐角△ABC 的三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量),cos 3sin ,1(A A m +=),23,(sin A n =且n m ∥. (1)若11358tan +=B ，求C cos 的值； (2)若,sin 34,2B c a == 且△ABC 的面积小于3，求角B 的取值范围.17. (本小题满分14分)如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为km 5.4, 且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为︒60(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离km BC 34=. D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设)(km x CD =且49>x ，点D 对跑道AB 的视角为θ .(1)将θtan 表示为x 的函数；(2)求点D 的位置，使θ取得最大值18. (本小题满分16分) 如图，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 过点)23,1(, 右焦点为F ，且焦距小于4，其右准线 l 的方程为4=x ,过点F 且与x 轴不重合的直线交椭圆于B A ,两点,P 是AB 的中点,过点B 作l BM ⊥于M ,连AM 交x 轴于点N ,连PN .(1) 求椭圆方程；(2)若516=AB ，求直线AB 的倾斜角； (3)当直线AB 变化时，求PN 长的最小值.19. (本小题满分16分）已知函数x x g R a ax x x f ln )(),()(2=∈+=. (1)求证：2)(x x g <； (2)设))(()()(R b x bg x f x h ∈+=.①若02=+b a ，且当0)(0>>x h x 时恒成立，求实数a 的取值范围； ②若),0()(+∞在x h 上存在零点，且2-≥+b a ，求实数b 的取值范围.20. (本小题满分16分)已知数列}{n a 的前n 和为n S ,且a a a ==21,1.(1)若数列}{n a 是等差数列，前m 项(m 为奇数)的和为99, 其中偶数项之和为44,求实数a 的值;(2)若数列}{n a 是等差数列，且1<a , 若对任意的正整数n , 总存在正整数m ,使得m n a S =;求实数a 的值;(3)若数列}{n a 是等比数列，试求出正实数a 的取值集合，使得数列}{n a 具有如下性质M : 对于任意的*,2N n n ∈≥,都存在*N m ∈,使得 0))((1<--+n m n m a S a S .省溧中2019届高三年级回归性考试数学附加题 2019.05注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.21. (选做题]在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-2: 矩阵与变换B.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ≤≤≥=-.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32(t 为参数)，求直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ的值.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分10分)某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1) 恰有2人申请A 片区房源的概率:(2) 申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望.。
江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题
江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、若复数z ＝错误!（i 为虚数单位），则||z = ▲ ．2、已知集合{2,}A a a =+，{1,1,3}B =-,且A B ⊂，则实数a 的值是 ▲ ．3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4、已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为22y x =±,则实数m= ▲ ． 5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6、从1，2,3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ ．7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 8、在等比数列{}n a 中,已知34a =，752320a a --=，则7a = ▲ ．9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，2()3f x x x =--，则不等式()3f x x >-+的解集是 ▲ ．10、已知m ＝（cosα，sinα），n ＝（2，1），α∈错误!,若m·n ＝1，则sin 错误!＝ ▲ ．11、如图，在△ABC 中,D 是BC 上的一点．已知B=60°，AD=2，AC=,DC=，则AB= ▲ ．若12、如图,在ABC ∆中，AB AC =,2BC =，AD DC =，12AE EB =,12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ▲ ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C :x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ,若A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．14、已知函数f (x ）＝错误!若不等式f （x )≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．i ←1x ←4While i<10 x ←x+2i i ←i+3 End While Print x（第5题)第12题图BCAD第11题图15、（本小题满分14分)如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．求证：(1) DE∥平面ABC1;（2) 平面AB1D⊥平面ABC1．16、（本小题满分14分)在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C＋错误!c ＝b.（1）求角A的大小;（2）若a＝错误!,b＝4，求边c的大小．17、（本小题满分14分)如图，已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足错误!＝λ错误!(λ∈R），PO⊥F2M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为错误!＋错误!＝1，且P（2，错误!），求点M的横坐标；(2）若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．18、(本小题满分16分）如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m，欲再新建一条公路PQ，点P,Q分别在公路l,m上(点P，Q分别在点O的正东、正北方向)，且要求PQ与圆A相切。
江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题
第11题图11、如图，在中，〃是腮上的一点.已知,初2 侣VJS, DC$,则 AB 二▲ •江苏省潇水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1、若复数1 + 312、已知集合A = {2 + «卫}, 3 = {-1,1,3},且AuB,则实数a 的值是 ▲3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲・4、 已知双曲线—-^- = 1的渐近线方程为y = ±—x,则实数〃尸▲.4 m 2 5、 执行下而的伪代码后，输岀的结果是▲・6、 从1, 2, 3, 4, 5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是▲•7、 若圆柱的侧面积和体积的值都是12兀，则该圆柱的高为 ▲. 8、 在等比数列{色}中，已知a 3=4f 心一2@-32 = 0,则a= ▲.I 4 WhileivlOx<—x+2i / z+3 End While Print x9、 已知函数.f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当兀W0时，/（兀）=-3兀，则不等式f （兀）＞ -x + 3的解集是▲ 10> 已知 m= (cos asin a ), n= (2, 1), a e( 3 nm • n= 1,贝I 」sin (2 a +—（i 为虚数单位）,则|Z|=12、如图，在MBC 屮，AB = AC , BC = 2, AD = DC , AE = -EB,2若BD AC =-丄，则CE AB= ▲.2-------13、在平面直角坐标系xOy中，己知过原点0的动直线1与圆C'.x^y-^x^相交于不同的两点A,B,若力恰为线段必的小点，则圆心Q到直线1的距离为▲.{第12题图2#—3廿'、‘若不等式fgkx对圧R恒成立，则实数&的取e +e ,才＞0.值范围是▲ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本小题满分14分)如图，己知直三棱柱ABC-A^G中，AB=AC, D、E分别为BC、QG中点,BGIBxD.求证：⑴ DE〃平Ifi] ABQ；(2)平面個〃丄平面初G.16、(本小题满分14分)在△力比屮，设角久B、C的对边分别为臼、b、c,且*cosC+$=方.(1)求角力的大小;(2)若b=4,求边c的大小.17、（本小题满分14分）2 2X V如图，己知椭圆飞+卫=1（日＞方＞0）的左、右焦点为几局，P是椭圆上一点，〃在砂上,a b且满足亓;XM A ER）, POL FA 0为坐标原点.2 2⑴ 若椭圆方程为专+彳=1，且戶（2, ^2）,求点”的横坐标;（2）若入=2,求椭圆离心率e的取值范围.18、（本小题满分16分）如图,某市有一条东西走向的公路7,现欲经过公路1上的0处铺设一条南北走向的公路也在施工过程中发现在0处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路厶///,欲再新建一条公路/似点/＜0分别在公路厶加上（点P, 0分别在点0的正东、正北方向），且要求/卫与圆相切.⑴当点户距。
江苏省溧水高级中学高三数学上学期10月学情调研考试试题
江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期10月学情调研考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ▲ ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ▲ ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是▲ ．4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ▲ ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ▲ ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ▲ ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ▲ ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ▲ ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率是 ▲ ． 10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ▲ ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ▲ ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，（第3题）则224a b +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x xf ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．2019届高三年级学情调研考试数学附加题 2018.10 21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A （异于极点O ），求直线CA 的极坐标方程.22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.2019届高三学情调研考试数学答案2018.10一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(- 5．16 6．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249 10．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分 因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分32sin)3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B 103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x 或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：x =或x =（舍去）；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=g =………………………………………………12分又92>-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x =-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据cos10.54=） 解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=，所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分 因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ……………………………………………………4分当12e =时，b =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标， 可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e -=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e-<1e <<…………………………………14分所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO //AN ；……………………………………15分当12e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x xf ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值． 解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1． 列表如下：为－1e，没有最大所以，f (x )的最小值值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x)ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2 ． 因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e 3 ． 所以，实数k 的取值范围是(2－12e 3 ，＋∞)； ……………………………………………10分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋x x －1． ………………12分 令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2 ． 令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ． 当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0， 所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值.解(1)设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 是属于特征值λ的一个特征向量，则2223233a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分 即262124a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1…………………………………………5分（2）矩阵M 的特征多项式212()(1)(2)63432f λλλλλλλ--==---=----……8分由()0f λ=，得4λ=或1λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-…………………………10分21．（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程. 解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分 即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ． …………………10分22．（本小题满分10分） 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ解：（1）1()2P A =……………………………………………………………………………2分 00413441111511()1()1[(()()()()]122221616P B P B C C =-=-+=-=……………5分 （2）ξ可取1，2，4…………………………………………………………………………6分 418141(1)(2)(4)164162164P P P ξξξ=========……………………8分列出概率分布表： 1119()1244244E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k .（1）求34(1),(0)P P ；（2）证明：1100()()n n nn k k kP k n P k --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值. 解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =.……………………………………………………………………………………2分 数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上， 所以4(0)9P =.……………………………………………………………………………………4分（2）数列1,2,3,,n 中任取其中k 个元素位置不动，则有k n C 种，其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)k n n n k P k C P -=故00()(0)n n k nn n k k k kP k kC P -===∑∑，又11k k n n kC nC --=……………………………………………6分 所以11111000()(0)(0)()n nn n k k n n n k n n k n k k k k o kP k kCP n C P n P k -------=======∑∑∑∑，…………………8分 对任意的0,()!nn k n N P k n =∈=∑，从而110()(1)!n n k P k n --==-∑所以0()(1)!!n nk kP k n n n ==-=∑………………………………………………………………10分。
(全优试卷)江苏省溧水高级中学高三上学期10月学情调研考试数学Word版含答案
2019届高三年级学情调研考试数学2018.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．2．设i的虚部为▲．3．执行所示伪代码，若输出的y的值为17，则输入的x的值是▲ ．4．的坐标为▲ ．5．某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A，B两名老师都被选中的概率是▲．6．的定义域为▲．7．8．9．的离心率是▲．10等于▲ ．11．在△ABC的最小值为▲．12在直线上存在一点，使得的中点是坐标原点，则实数的取值范围是▲ ．13与相交于点，是线段上一动点，则的取值范围是▲ ．14的最小值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）求角C的大小；（216．(本小题满分14分)（1（217．(本小题满分14分)（1（218．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC的支撑杆AB，CD AB1（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的最低点O到点C（1（2）要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．20．(本小题满分16分)（1（2（32019届高三年级学情调研考试数学附加题2018.10 21．（A）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）.（1（2.（B）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）程.22．（本小题满分10分）位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1“在一次试验中，得到的数为虚数”“在四次试验中，至少有两次得到虚数”（2）在两次试验中，23．（本小题满分10分）得到不同的新数列.（1（2.2019届高三学情调研考试数学答案2018.10一、填空题．1．[1,2) 2 3．4 4 5．16 6 7 89 10 11 12 13 14 一、解答题． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （1）求角C 的大小；（2解析：（12分4分6分（2）由（18分10分12分14分16．(本小题满分14分)（1（2PCD．解析：（14分6分（28分10分12分14分17．(本小题满分14分)（1（2（1……………………4分（2则……………………………………………………6分（18分（2；12分13分14分18．(本小题满分16分)江苏省第十九届运动会将于年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC的支撑杆AB，CD AB1（CA，CB另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB的最低点O到点C的距离为；曲线是抛物线的一段，此时记结构的最低点O到点C（1O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据解析：（12分；……………………………4分B所以点O到AB6分8分（210分12分14分O到点C16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解析：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设2分C1，C2的方程联立，4分A，B的纵坐标，8分（2）t=0时的l不符合题意.BO//AN当且仅当BO的斜率与AN……………………………………………………………12分14分l，使得BO//AN；……………………………………15分l使得BO//AN.…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)（1（2（3解析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为k＝－1，所以f(x)＝x ln x，f′ (x)＝ln x＋1．列表如下：所以，f(x)的最小值为－1e，没有最大值；………………………………………………4分（2f(x)＜4ln x成立，k ＋1＞(1－4x )ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．g′ (x )＞0，所以g (x ) ……………8分因为g (x )g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e 3 ，＋∞)； (10)分（3f (x )＞－2x －k 成立，(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋x x －1 ． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2 ．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x．p′ (x )＞0，p (x )因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）.（1（2.解(1)…2分1…………………………………………5分（2分分21．（B）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）.…………………4分…………………6分…………………8分…………………10分22．（本小题满分10分）位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1“在一次试验中，得到的数为虚数”“在四次试验中，至少有两次得到虚数”（2解：（1分分（21，2，4…………………………………………………………………………6分8分列出概率分布表：10分23．（本小题满分10分）得到不同的新数列.（1（2.解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，……………………………………………………………………………………2分数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上，……………………………………………………………………………………4分（26分8分10分。
江苏省南京市溧水区高三数学上学期期初模拟考试试题
江苏省南京市溧水区2018届高三数学上学期期初模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在卷纸相应位置．．．．．．上． 1．设集合{}{}2,3,1,2,A B ==则AB = ▲ ．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．3．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 ▲ ．5．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 ▲ ．6．若|a |＝1，| b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3 a ＋5 b )⊥(m a －b )，则实数m 的值为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的公比2=q ,且462,,48a a 成等差数列, 则 {}n a 的前8项和为 ▲ ．8．按右面的程序框图运行后,输出的S 应为 ▲ ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ▲ ．10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．11．已知函数f (x )=⎩⎨⎧lnx+ e x－3，x ≥1x 2＋ax +2，x ＜1有且仅有2个零点，则a 的范围是 ▲ ．12．已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．P 为圆C:( x －1)2+y 2=5上任意一点，异于点A (2,3)的定点B 满足PB PA为常数，则点B 的坐标为 ▲ ．14．以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，BA ·BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．PEFA C17．（本小题满分14分）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠CDA ＝α，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本为S 元．(1) 写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； (2) 问：中转点D 距离A 处多远时，S 最小？18． (本小题满分16分)如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程； （2）求的最小值； （3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19．（本小题满分16分）已知数列（1）计算（2）令是等比数列；（3）设、分别为数列、的前，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数．(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：．高三数学试卷答案 2017.8一、填空题1．{1，2，3} 2．二 3．150 4．14 5．43 6．238 7． 2558．40 9．36 10．①③ 11．a ＝22或a ＜－3 12．（－∞，174] 13．(32，32).解：设P (x,y ), ( x －1)2+y 2=5,x 2+y 2=4+2xB (m,n ), PB 2PA 2=(x －m )2+(y －n )2 (x －2)2+(y －3)2=x 2+y 2－2mx －2ny +m 2+n 2 x 2+y 2－4x －6y +13=(2－2m )x －2ny +m 2+n 2+4－2x －6y +17=定值，则2－2m －2=－2n －6=m 2+n 2+4 17,解得m =2，n =3，或m =32，n =32，B 异于点A ，所以B (32，32).14． 3解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则BA ·BC ＝|BA ||BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12，所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan∠BAC ＝4y －1y 1＋4y2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．二、解答题15．解:(1)∵cos =………………………4分又∵AB C D∴cos=………………………6分(2)由(Ⅰ)知：sin= (8)分由、得（）（）cos（）=-…………………………10分sin=sin(-)=sin() cos-cos()sin=×-×=…………………………14分16．证明：⑴在中，因为分别是的中点，所以∥………………………………3分又⊂平面，平面，所以∥平面；………………………………6分⑵ 因为，且点是的中点，所以⊥；………………………………9分又，∥，所以， ………………………………12分因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，所以平面⊥平面. ………………………………14分17． 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CDsinπ3＝ADsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝10sin α， …………………………2分 即CD ＝53sin α， AD ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α， …………………………4分所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝ (12CD －4AD ＋80)a＝[603－40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α]a ＋80a ＝[2033－cos αsin α]a ＋60a ………7分(2) S ′＝20 3 1－3cos αsin 2α·a ， 令S ′＝得cosα＝13…………………………9分 当cos α>13时，S ′<0； 当cos α<13时，S ′>0，所以当cosα＝13时，S 取得最小值， …………………………12分此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，所以中转点C 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小． …………………………14分18．解：（1），且过点，解得 椭圆方程为. …………………………4 分（2）设点则，………6分，又，的最小值为．…………………………10分（3）圆心的坐标为，半径.圆的方程为，…… ……………………12分整理得：.，令，得，. 圆过定点. ……………16分19．解：（1）由题意，………2分同理 (3)分（2）因为所以…………… 5分………… 7分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……… 9分（3）由（2）得，又所以…………………… 13分由题意，记则…………………… 15分故当…………………… 16分20．解: （1）………… 2分由题意知，代入得，经检验，符合题意。
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2019年高三数学模拟试题1.已知集合 A {2,0,1,7} , B {y|y 7x,x A}，则 Al B【答案】{0,7}【答案】48.从左至右依次站着甲、 乙、丙3个人，从中随 机抽取2个人进行位置调换， 则经过 两次这 样的【答案】143. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10, 5, 7, 6，第5组的频 率为0.1，则第6组的频数为 _________ .【答案】84. __________________________________ 阅读下列程序，输出的结果为 _______________________ . 【答案】225.将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1, 2, 3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1 , 2号S 0For I from 1 to 10 step 3 SS IEnd for Print S（第4题）2 【答案】£6 •已知实数x , y 满足y x 1x 3 ，贝V -的取值范围是 x y 2 x1 2【答案】［丄二］3 37 .如图所示的四棱锥 P ABCD 中，PA 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB 2 ,AD 3，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB 的体积为4,则PA 的长为 _________2.已知复数zD调换后，甲在乙左边的概率是_______________2答案：-39.在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是a,b,c ，且a 22 . 2 cos A b cosC ccosB ，则 _ b 2c 的最大值是 2 2答案：2.22 210.已知圆C 的方程为(X 1) y 1,过y 轴正半轴上一点P(0,2)且斜率为k 的直线l 交 圆C 于A B 两点，当△ABC 的面积最大时，直线l 的斜率k ____________ 答案：1或711.在棱长为2的正方体ABCD A3GD 1中，M , N 分别是AA,CC 1的中点，给出下列命题：① BN P 平面MND 1 ；②平面MNA 平面ABN ；③平面MND 1截该正方体所得截面的 面积为、6 ；④三棱锥N ABC 的体积为V N ABC -。
江苏省溧水高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
江苏省溧水高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.2． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞-- 3． 在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则等于（ ）A ．10B ．1)C 1D ．4． 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5． 已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð6． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2 7． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D8． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79． 复数2(2)i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）A ．43i -+B ．43i +C ．34i +D ．34i -【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}11．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 12．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则a 与b 的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.14．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 15．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 16．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 三、解答题（本大共6小题，共70分。
溧水区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
溧水区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） （A ）2x =是()f x 的极小值点（ B ） 函数()y f x x =-有且只有1个零点（C ）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立（D ）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>2． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（ ） A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x 3． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 4． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1 B ．y=lnxC ．y=x 3D ．y=|x|5． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 6． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ）A ．B ．y=﹣2x+5C ．y=lnxD ．y=班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 若复数2b ii++的实部与虚部相等，则实数b 等于（ ） （A ） 3 （ B ） 1 （C ） 13 （D ） 12-8． 已知椭圆C ：+y 2=1，点M 1，M 2…，M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为k （k ≠0）的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．﹣9． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．10．命题“∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x+2＞0B ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≥0C ．∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0D ．∃x ∈R ，x 02+2x 0+2＞011．在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形的形状一定是（ ）A ．等腰直角B ．等腰或直角C ．等腰D ．直角12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．14．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．15．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则= ．16．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC 的最小值为3③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．18．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若 m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ．三、解答题19．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1xxe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．20．已知函数f （x ）=．（1）求f （x ）的定义域； （2）判断并证明f （x ）的奇偶性；（3）求证：f （）=﹣f （x ）．21．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；,整理得下表:,求这50天的日利润单位:元的平均数；②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.22．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x（转/秒）16 14 12 8每小时生产有缺陷的零件数y（件）11 9 8 5（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？参考公式：线性回归方程系数公式开始=，=﹣x．23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D. （1）求证：CD＝DA；（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．24．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．溧水区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题13．34-14． ﹣6 ．15． 4 ．16．．17． ①④⑤18． ①② ．三、解答题19．（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞- ⎥-⎝⎦. 20． 21． 22．23． 24．。
溧水区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
溧水区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案班级__________姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设复数（是虚数单位），则复数（ ）1i z =-i 22z z +=A. B. C.D. 1i -1i +2i +2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．2． 下列命题正确的是（ ）A ．已知实数，则“”是“”的必要不充分条件,a b a b >22a b >B ．“存在，使得”的否定是“对任意，均有”0x R ∈2010x -<x R ∈210x ->C ．函数的零点在区间内131()()2x f x x =-11(,)32D ．设是两条直线，是空间中两个平面，若，则,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂m n ⊥αβ⊥3． 直径为6的球的表面积和体积分别是（）A ． B ． C ． D ．144,144ππ144,36ππ36,144ππ36,36ππ4． 已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆l 2y kx =+)0(12222>>=+b a bya x B F 截得的弦长为，若的取值范围是（ ）224x y +=L L ≥e （A ） （ B ） （C ） （D） ⎥⎦⎤ ⎝⎛550，0⎛ ⎝⎥⎦⎤ ⎝⎛5530，⎦⎤ ⎝⎛5540，5． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，4]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（4，+∞）6． 若a 是f （x ）=sinx ﹣xcosx 在x ∈（0，2π）的一个零点，则∀x ∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．cosa ≥C ．≤a ≤2πD ．a ﹣cosa ≥x ﹣cosx7． f （）=，则f （2）=（ ）A．3B．1C．2D．8．以过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（）A．7B．15C．31D．6310．已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（）A．∅B．{1，4}C．M D．{2，7}11．给出下列两个结论：①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；则判断正确的是（）A．①对②错B．①错②对C．①②都对D．①②都错12．已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣1D．a≤﹣3二、填空题13．已知集合{}|12,B x x x R=-∈≤≤，则A∪B＝▲．≤，{}=<∈|03,A x x x R14．不等式的解集为R，则实数m的范围是 ．15．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m= ．16．幂函数在区间上是增函数，则 ．1222)33)(+-+-=m m x m m x f （()+∞,0=m 17．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．18．长方体中，对角线与棱、、所成角分别为、、，1111ABCD A B C D -1A C CB CD 1CC αβ则 ． 222sin sin sin αβγ++=三、解答题19．已知曲线C 的参数方程为（y 为参数），过点A （2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C 分别交于B ，C 两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x 轴的正半轴重合）．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求B 、C 两点间的距离．20．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积．21．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．22．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．23．已知函数f（x0=．（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．24．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数，其中，是()()2x f x x ax a e =++a R ∈e 自然对数的底数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；1a =()y f x =0x =（2）求函数的单调减区间；()f x （3）若在恒成立，求的取值范围.()4f x ≤[]4,0-a溧水区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】2． 【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断的真假），,p q q p ⇒⇒最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.3． 【答案】D 【解析】考点：球的表面积和体积．4． 【答案】 B【解析】依题意，2, 2.b kc ==设圆心到直线的距离为，则解得。
溧水区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
溧水区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处2． 设a ∈R ，且（a ﹣i ）•2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．0或﹣13． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种4． 如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5 C． D．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2B ．C ．D ．138． 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（） D ．（）9． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．10．满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．812．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|二、填空题13．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函数，函数()22xa g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为______.14．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．15．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则 =+20042003b a .16．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．17．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．18．函数f （x ）=（x ＞3）的最小值为 ．三、解答题19．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 32=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：为参数），曲线C 2：=1．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．21．设0＜a ＜1，集合A={x ∈R|x ＞0}，B={x ∈R|2x 2﹣3（1+a ）x+6a ＞0}，D=A ∩B ． （1）求集合D （用区间表示）（2）求函数f （x ）=2x 3﹣3（1+a ）x 2+6ax 在D 内的极值点．22．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．23．已知函数f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小值m ；（Ⅱ）若正实数a ，b 足+=，求证：+≥m ．24．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．溧水区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．2．【答案】B【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数，∴2a=0，解得a=0．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．3．【答案】A【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题4．【答案】B【解析】解：执行程序框图，可得n=5，s=0 满足条件s ＜15，s=5，n=4 满足条件s ＜15，s=9，n=3 满足条件s ＜15，s=12，n=2 满足条件s ＜15，s=14，n=1 满足条件s ＜15，s=15，n=0 不满足条件s ＜15，退出循环，输出n 的值为0．故选：B ．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n 的值是解题的关键，属于基础题．5． 【答案】C【解析】解：由题意f （x ）=f （|x|）． ∵log 43＜1，∴|log 43|＜1；2＞|ln |=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=|1.2|＞2∴|0.4﹣1.2|＞|ln |＞|log 43|．又∵f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f （x ）在[0，+∞）上是减函数． ∴c ＜a ＜b ． 故选C6． 【答案】D 【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 7． 【答案】C【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，可得=||||cos＜，＞=3×1×=，即有|﹣4|===．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．8．【答案】B【解析】解：∵抛物线x2=4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1），故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．9．【答案】C【解析】解：由于q=2，∴∴；故选：C．10．【答案】B【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素．∵M⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B．11．【答案】D【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，∴S△ABC=absinC==8．故选：D．12．【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x 2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数； y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．二、填空题13．【答案】52【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，又()22xa g x e a =-+，令xt e =，则()[]2,1,32a g t t a t =-+∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 2a g t g a ==，则()()max min 312g t g t a -=-=，则52a =，（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 332a g t g a ==-+，则()()max min 2g t g t -=，舍。
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江苏省溧水高级中学期初模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、若复数z ＝1＋3i1－i(i 为虚数单位)，则||z = ▲ ．2、已知集合{2}A a =，{1,1,3}B =-，且A B ⊂，则实数a 的值是 ▲ ． 3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4、已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y =，则实数m=▲ ．5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6、从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ ．7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 8、在等比数列{}n a 中,已知34a =，752320a a --=，则7a = ▲ ．9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，2()3f x x x =--，则不等式()3f x x >-+的解集是 ▲ ．10、已知m ＝(cosα，sinα)，n ＝(2，1)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若m·n ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋3π2＝ ▲ ． 11、如图,在△ABC 中，D 是BC 上的一点．已知B=60°，AD=2，AC=错误！未找到引用源。
，DC=错误！未找到引用源。
，则AB= ▲ ．第11题图12、如图，在ABC ∆中，AB AC =，2BC =，AD DC =，12AE EB =，若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ▲ ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C :x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B ，若A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≤0，e x ＋e 2，x ＞0.若不等式f (x )≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15、(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点， BC 1⊥B 1D ．求证：(1) DE ∥平面ABC 1；(2) 平面AB 1D ⊥平面ABC 1．16、(本小题满分14分)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b .(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．17、(本小题满分14分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．第12题图(1) 若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．18、(本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路l ,现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ,m ,欲再新建一条公路PQ ,点P ,Q 分别在公路l ,m 上(点P ,Q 分别在点O 的正东、正北方向),且要求PQ 与圆A 相切. (1) 当点P 距O 处2百米时,求OQ 的长; (2) 当公路PQ 的长最短时,求OQ 的长.19、(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ． （1）当6a =-时，求函数f (x )的极值；（2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋a x ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．20、(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列． (1) 若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；(2) 设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21、B (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．21、C (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．22、如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m .(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．23、已知甲箱中装有3个红球,3个黑球,乙箱中装有2个红球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同,某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球,共4个球,若摸出4个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有3个红球,则获得二等奖;摸出的球中有2个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖,每次摸球结束后将球放回原箱中.(1) 求在1次摸奖中,获得二等奖的概率;(2) 若连续摸奖2次,求获奖次数X的分布列及数学期望E(X).答案1 2、1； 3、16； 4、2； 5、28；6、25； 7、3； 8、64； 9、(3,)+∞ ；10、725-；11； 12、43-； 13； 14、2[3,]e -15、证明：(1) ∵ D 、E 分别为BC 、CC 1中点，∴ DE ∥BC 1.(2分)∵ DE 平面ABC 1，BC 1⊂平面ABC 1，∴ DE ∥平面ABC 1.(6分)(2) 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，∵ AD ⊂平面ABC ，∴ CC 1⊥AD.(8分)∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴ AD ⊥BC.∵ CC 1∩BC ＝C ，CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， ∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴ AD ⊥BC 1.(11分)∵ BC 1⊥B 1D ，B 1D∩AD ＝D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，∴ BC 1⊥平面AB 1D. ∵ BC 1⊂平面ABC 1，∴平面AB 1D ⊥平面ABC 1.(14分)16、解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，··································3分 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．·····························7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ． 由正弦定理，得sin 2B＝sin A ·sin C ． ·································································9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．·······························11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．········································14分17.解：(1) ∵x 28＋y 24＝1，∴ F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴ k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24，∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)．(4分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2（x －2），y ＝24（x ＋2），解得x ＝65，∴点M 的横坐标为65.(5分) (2) 设P(x 0，y 0)，M(x M ，y M )，∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，∴ M ⎝⎛⎭⎫23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝⎛⎭⎫23x 0－43c ，23y 0.∵ PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，∴⎝⎛⎭⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.(8分) 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a （a ＋c ）c 或 x 0＝a （a －c ）c.(11分)∵－a<x 0<a ，∴ x 0＝a （a －c ）c ∈(0，a)，∴ 0<a 2－ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(14分)18.解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=，(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q >， ∵PQ 与圆A1=，解得83q =，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．……………6分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-=，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A 相切，1=，化简得22q p q =-，则22222q P Q p q q q =+=+-， ……9分令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=--(2)q >，当322q <<时，()0f q '<，即()f q在3(2,2上单调递减；当32q >()0f q '>，即()f q 在3()2+∞上单调递增，∴()f q 在q =PQ 长最短时，OQ 的长为32+百米．答：（1)当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时，OQ 的长为32+百米．……………16分19. （1）定义域为{}|0x x >，2(1)(3)()x x f x x+-'=，令()0f x '=，则3x =当03x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>所以当3x =时()f x 有极小值(3)36ln 3f =--，无极大值.……………………4分(2)22(1)2()x a f x x-+-'=，①当2a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增，成立；……………………6分②当2a <-时，令()0f x '>，则1x >1x <，所以()f x 在[2,3]上存在单调递增区间，所以13<，解得6,2a -<综上，6a >-.…………………………………………………………………………10分 （3）在[1,e ]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e ]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e +=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-；………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+>此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-．………16分20. (1) 解：因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则 a 3＝3－2d ，a 4＝3－d.因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝（3－2d ）23－d.(3分)因为a 2＝1，所以（3－2d ）23－d＝1，解得d ＝2或d ＝34.因为a n ＞0，所以d ＝34.因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d)＝12.(5分)(2) 证明：(证法1)因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列， 所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 22n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.② 所以a 22n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2.③ 所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n . 因为a n ＞0，所以a 2n －2＋a 2n ＋2＝2a 2n .(7分) 即数列{a 2n }是等差数列．所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2)．由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列，可得a 4＝（2a 2－a 1）2a 2.所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2) ＝（a 2－a 1）n ＋a 1a 2.所以a 2n ＝[（a 2－a 1）n ＋a 1]2a 2.所以a 2n ＋2＝[（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]2a 2.(10分)从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[（a 2－a 1）n ＋a 1][（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]a 2.所以a 2n －1＝[（a 2－a 1）（n －1）＋a 1][（a 2－a 1）n ＋a 1]a 2.①当n ＝2m ，m ∈N *时，a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1][（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1]a 2[（a 2－a 1）m ＋a 1]2a 2－a 2a 1 ＝（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1（a 2－a 1）m ＋a 1－a 2a 1＝－m （a 2－a 1）2a 1[（a 2－a 1）m ＋a 1]＜0.(14分)②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1]2a 2[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1][（a 2－a 1）m ＋a 1]a 2－a 2a 1＝（a 2－a 1）m ＋a 1（a 2－a 1）（m －1）＋a 1－a 2a 1＝－（m －1）（a 1－a 2）2a 1[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1]＜0.综上，对一切n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1.(16分)(证法2)①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝（2a n ＋1－a n ）a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝－（a n ＋1－a n ）2a n ＋1a n ≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n.(9分)②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n.(11分)由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *，a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n≤…≤a 3a 2.(14分)因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 21－a 22a 2a 1＝－（a 1－a 2）2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－（a 1－a 2）2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1. 综上，对一切n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1.(16分)21B. 解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，(2分)由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)当λ1＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；(7分)当λ2＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)21C . 解：由题意，得曲线C ：x 2＋y 2＝4，∴切线l 的斜率k ＝－33，∴切线l 的方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，∴切线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2.(10分)22、解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B 1(1，1，2)，D 1(0，0，2)．(2分)所以BD 1→＝(－1，－1，2)，AP →＝(－1，1，1)．cos 〈BD 1→，AP →〉＝BD 1→·AP →|BD 1→|×|AP →|＝26·3＝23，即异面直线AP 与BD 1所成角的余弦是23.(5分)(2) 假设存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，则 D 1B 1→＝(1，1，0)，AD 1→＝(－1，0，2)，AP →＝(－1，1，m)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥D 1B 1→，n ⊥AD 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2，1)．(7分)由直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2＋m 3·m 2＋2＝13，解得m ＝74. 因为0≤m≤2，所以m ＝74满足条件， 所以当m ＝74时，直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13.(10分)23、 (1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅． …………………4分 (2)设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅； 获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅； 所以17711()30301515P B =++=．………………………………………8分 由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===．所以12122()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． …………………………10分。