一道中考题带来的启示——直角梯形中动点问题探究
中考动点问题解析
中考动点问题解析所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。
射线或弧线上运动的一类开放性题目。
这类问题一般是中考这类问题一般是中考的重点和难点，由于综合性比较强，题目比较灵活，与其他知识点的关联性比较强，所以一般都是作为压轴题出现的。
所以一般都是作为压轴题出现的。
但是也并不是说这但是也并不是说这类题就放弃不做了，只要掌握这类题目的规律，有针对性的练习，也是可以解决的。
解决这类问题的关键是动中求静，解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学灵活运用有关数学知识解决问题。
解这类问题要综合运用到分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等。
大多题目涉及到二次函数、圆、三角形等重点知识，也很难将他们进行分类，这里也就不分了，但是在解题过程中尽量做到一题多解，侧重讲解题思路。
希望该资料对学生能有所启发。
1.1.（（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt Rt△△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA PA＋＋PC 的最小值为【】A ．132B ．312C C．．3192+ D D．．27【答案】【答案】B B解析：此类题目结果是求两个线段的和的问题，此类题目结果是求两个线段的和的问题，一般的解题思路一般的解题思路是将两条线段变成一条线段，利用两点之间线段最短来解题。
来解题。
此题还涉及到一个重要的知识点：特殊三角形。
这个要熟记在心，主要是直角三角形：①有个角为3030°的直角三角形，三边的比为°的直角三角形，三边的比为1:3:2；②等腰直角三角形，三边的比为1:1:2；③等边三角形，三个角都是6060°。
本题中顶点°。
本题中顶点B 的坐标为（的坐标为（33，3），很容易想到Rt Rt△△OAB 是个特殊三角形。
初二数学经典动点问题
初二数学经典动点问题1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm。
动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B 以3cm/s的速度运动。
P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。
1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？2、在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于点E。
1）试说明EO=FO；2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△XXX的形状并证明你的结论。
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm。
点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s。
点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。
1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？4、在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动。
当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止。
已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2 cm。
1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由。
梯形中的动点问题
中考压轴题中的动点问题：动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。
第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），△PEM 的面积为S．（1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；（2）连接BD，求证：△EPM∽△ABD；（3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。
解答：解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠PAE=∠EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM．（3 1分）（2）证明：∵△PAE ≌△EDM ， ∴PE=EM ，∠1=∠2（4分）∵∠3+∠2=∠1+∠BAD ， ∴∠3=∠BAD ；（5分）∵AB=AD ，∴；（6分） ∴△EPM ∽△ABD ．（7分）（3）过B 点作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F ，过P 点作PG ⊥AD 交于G ； 在Rt △AFB 中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，∴BF=AB •sin ∠4=4•°= ∴S △ABD =．（8分）在Rt △APG 中，PG=AP•sin ∠4=（4•sin60°= （2﹣t ）．AG=AP •cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ，∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ．∵PE 2= PG 2 ∴[ （2﹣t ）]2+（2+t ）2=4t 2﹣8t+16．∵△EPM ∽△ABD ，∴ = （9分） ∴S △ ×=；∴S 与t 的函数关系式为S=（0≤t ≤2）（10分） 即∴当t=1，S ．（12分）另一解法（略解）在Rt △APG 中，PG=AP •sin ∠4=（4﹣2t ）•sin60°=（2﹣t ）． AG=AP •cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ．在Rt △MFD 中，FM=DM •sin ∠MDF=2t •sin60°=，DF=DM •cos ∠MDF=2t •cos60°=t ．∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ，EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t ；∴S △EPM =S 梯形PGFM ﹣S △PEG ﹣S △2()EPM ABD s PE s BA =2224t -8t+16t -2t+4=44142⨯⨯t-21）EFM=．（0≤t ≤2）2、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90°，AC ⊥BC ，AB=10cm ，BC=6cm ，F 点以2cm/秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5）．（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
最新中考复习数学梯形中的动点问题(8页)
动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。
第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强.从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），△PEM的面积为S．（1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；（2）连接BD，求证：△EPM∽△ABD；（3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。
解答：解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠PAE=∠EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM．（3分）（2）证明：∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2（4分）∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，∴∠3=∠BAD；（5分）∵AB=AD，∴；（6分）∴△EPM∽△ABD．（7分）（3）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G；在Rt△AFB中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，∴BF=AB•sin ∠4=4•sin60°= ∴S △ABD =．8在Rt △APG 中，PG=AP•si n ∠4=（4﹣2t ）•sin60°= ﹣t ）．AG=AP•cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ，∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ． ∵PE 2= PG 2+ GE 2 2+t ）2=4t 2﹣8t+16． ∵△EPM ∽△ABD ，∴ = （9分） ∴S △EPM ×=； ∴S 与t 的函数关系式为S= （0≤t≤2）（10分）即∴当t=1，S 有最小值，最小值为 ．（12分）另一解法（略解）在Rt △APG 中，PG=AP•sin ∠4=（4﹣2t ）•sin60°=（2﹣t ）． AG=AP•cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ．在Rt △MFD 中，FM=DM•sin ∠MDF=2t•sin60°=，DF=DM•cos ∠MDF=2t•cos60°=t ． ∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ，EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t ；∴S △EPM =S 梯形PGFM ﹣S △PEG ﹣S △EFM=．（0≤t≤2）2、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90°，AC ⊥BC ，AB=10cm ，BC=6cm ，F 点以2cm/秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5）．（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC 于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．3.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．6.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（85，245）M1（285，245），M2（- 125，245），M3（125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
动点问题探究(一)
∴抛物线解析式为 y＝－x2＋4x＋5.
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x 轴于点D，交直线AB于点E. ①当PE＝2ED时，求P点坐标；
点拨
可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE
和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
当 BE＝CE 时， 2|x－4|＝ 2x －8x＋26，
2
3 解得：x＝4，
3 119 此时，P4， 16 ；
当 BE＝BC 时， 2|x－4|＝ 26， 解得：x＝4＋ 13或 x＝4－ 13， 此时，P(4＋ 13，－4 13－8)或(4－ 13，4 13－8)； 当 CE＝BC 时， 2x －8x＋26＝ 26，
点拨
结论；
由条件先证四边形EFCH为矩形，再证△EOF≌△OAB，可得出
点拨
解
解
∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC＝∠EFC＝∠HCF＝90°， ∴四边形EFCH为矩形． ∵∠MON＝90°， ∴∠FOE＋∠AOB＝90°， ∵∠BAO＋∠AOB＝90°， ∴∠FOE＝∠BAO，
在△EOF 和△OAB 中，
知识链接
平行四边形的存在性问题： 解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二 步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准．寻找恰当的分类标准．可以使得解的个数不重复不
遗漏，也可以使计算又好又快．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3点：以
已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相
பைடு நூலகம்
列方程
将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程，根据所
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,AEDCB图2HM NGPOAB图1∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式A3(2)A3(1)C例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．2.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC 于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．3.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．6.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（85，245）M1（285，245），M2（- 125，245），M3（125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
有关梯形中的动点问题
• 2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3， 、如图，在梯形 中 ∥ ， ， DC=5，AB= ， ，∠B=45°．动点 从B点 4 2 ° 动点M从 点 出发沿线段BC以每秒 以每秒2个单位长度的速度向终 出发沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终 运动； 同时从C点出发沿线段 点C运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每 运动 动点N同时从 点出发沿线段CD以每 个单位长度的速度向终点D运动 秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的 个单位长度的速度向终点 运动． 时间为t秒 时间为 秒． • （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角 为何值时， ）试探究： 为何值时 为等腰三角 形．
• 1、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直 、如图，平面直角坐标系中，四边形 为直 角梯形， 的坐标分别为（ ， ）， 角梯形，点A、B、C的坐标分别为（2，6）， 、 、 的坐标分别为 ），（8， ）．动点F、 分别从 ）．动点 分别从O、 同 （8，6），（ ，0）．动点 、D分别从 、B同 ， ），（ 时出发，以每秒1个单位的速度运动 其中， 个单位的速度运动． 时出发，以每秒 个单位的速度运动．其中，点F 向终点C运动 向终点A运动 沿OC向终点 运动，点D沿BA向终点 运动．其 向终点 运动， 沿 向终点 运动． 中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止 中一个动点到达终点时， 运动．过点D作 ⊥ ， 运动．过点 作DE⊥AB，交OB于E，连接 于 ， EF．已知动点运动了 秒． ．已知动点运动了x秒 • （1）x的取值范围为多少？ 的取值范围为多少？ ） 的取值范围为多少
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解15---动点在梯形中的分类讨论
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题15 动点在梯形中的分类讨论1、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1思路点拨1．由A 、C 、D 三点的坐标，可以得到直线CA 、直线DA 与x 轴的夹角都是45°，因此点E 不论在点A 的左侧还是右侧，都有∠CAE ＝∠DAE ．因此讨论△AEC 和△AED 相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．2．因为∠CAD 是直角，所以直角梯形存在两种情况．满分解答（1）如图1，因为抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B (3, 0)，设y ＝a (x ＋1)(x －3)．将点C (5, 6)代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得12a ＝6． 解得12a =．所以抛物线的解析式为2113(1)(3)222y x x x x =+-=--． （2）由22131(1)2222y x x x =--=--，得顶点D 的坐标为(1,－2)． 由A (－1,0)、C (5, 6)、D (1,－2)，得∠CAO ＝45°，∠DAO ＝45°，AC ＝AD ＝因此不论点E 在点A 的左侧还是右侧，都有∠CAE ＝∠DAE ．图2 图3如果△CAE ∽△DAE ，那么它们全等，这是不可能的．如图2，图3，如果△CAE ∽△EAD ，那么AE 2＝AC ·AD ＝24=． 所以AE ＝26．所以点E 的坐标为(261,0)--，或(261,0)-．（3）因为∠CAD ＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF //AC 时，由1()162S DF AC AD =+⋅=，得1(162DF +⋅=． 解得DF ＝F 、D 两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F (3,0)．②如图5，当CF //AD 时，由1()162S CF AD AC =+⋅=，得1(162CF +⋅=． 解得CF ＝223．此时F 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是23，所以F 1716(,)33．图4 图52、如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式； （3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．图1思路点拨1．△ABD 是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B 的坐标．2．AQ ＝CP 有两种情况，四边形CAQP 为平行四边形或等腰梯形． 平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P 比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．满分解答（1）直线y ＝x ＋2与x 轴的夹角为45°，点A 的坐标为(－2, 0)． 因为△ABD 是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6． 因此OD ＝4．所以点B 的坐标为(4, 6)．（2）将A (－2, 0)、B (4, 6)代入212y x bx c =-++， 得220,84 6.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得b ＝2，c ＝6．所以抛物线的解析式为21262y x x =-++． （3）由21262y x x =-++，得抛物线的对称轴为直线x ＝2，点C 的坐标为(0, 6)．如果AQ ＝CP ，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP 是平行四边形时，AQ //CP ，此时点P 的坐标为(2, 6)．②如图3，当四边形CAQP 是等腰梯形时，作AC 的垂直平分线交x 轴于点F ，那么点P 在FC 上．设点F 的坐标为(x , 0)，根据FA 2＝FC 2列方程，得(x ＋2)2＝x 2＋62． 解得x ＝8．所以OF ＝8，HF ＝6． 因此39tan 642PH HF F =⋅∠=⨯=．此时点P 的坐标为9(2,)2．图2 图33、已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若73tan=∠DPE，求四边形BDEP的面积．思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间图1的垂直距离等于7．3．已知∠DPE 的正切值中的7的几何意义就是D 、P 两点间的垂直距离等于7，那么点P 向右平移到直线x ＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y ＝3x －3与x 轴的交点为A (1，0)，与y 轴的交点为B (0,－3)．将A (1，0)、B (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2x ＋c ，得20,3.a c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得1,3.a c =⎧⎨=-⎩ 所以抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3．对称轴为直线x ＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B 关于直线l 的对称点C 的坐标为(－2,－3)． 因为CD //AB ，设直线CD 的解析式为y ＝3x ＋b ，代入点C (－2,－3)，可得b ＝3．所以点D 的坐标为（0，3）．②过点P 作PH ⊥y 轴，垂足为H ，那么∠PDH ＝∠DPE ． 由73tan =∠DPE ，得3tan 7PHPDH DH ∠==． 而DH ＝7，所以PH ＝3．因此点E 的坐标为（3，6）． 所以1()242BDEP S BD EP PH =+⋅=梯形．图2 图34、如图1，把两个全等的Rt△AOB 和Rt△COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH 的面积时，如果构造底边OH 上的高EK ，那么Rt△EHK 的直角边的比为1∶2．4．设点A ′移动的水平距离为m ，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示．满分解答（1）将A (1，2)、O (0，0)、C (2，1)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ， 得2,0,42 1.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a =-，72b =，0c =． 所以23722y x x =-+． （2）如图2，过点P 、M 分别作梯形ABPM 的高PP ′、MM ′，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么AM ′＝BP ′，因此yA －y M ′＝yP ′－yB ．直线OC 的解析式为12y x =，设点P 的坐标为1(,)2x x ，那么237(,)22M x x x -+． 解方程23712()222x x x --+=，得123x =，22x =． x ＝2的几何意义是P 与C 重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P ．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt△OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+． 在Rt△A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-． 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt△OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt△EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ． 因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==． 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+．因为0＜m ＜1，所以当12m 时，S 取得最大值，最大值为38． 5、已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S关于t 的函数关系式．图1 图2思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)y a x k=-+，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得40,1612.a ka k+=⎧⎨+=⎩解得1,4.ak=⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为22(4)4812y x x x=--=-+，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由2812(2)(6)y x x x x=-+=--，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．由两点间的距离公式，得22(4)(24)36x x -++=．解得25x =或x ＝－2． 如图3，当x ＝－2时，四边形ODPB 是平行四边形．所以，当点D 的坐标为(52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形．图3 图4 图5（3）设△PMN 与△POB 的高分别为PH 、PG ．在Rt△PMH 中，PM =，PH MH t ==．所以'24P G t =-．在Rt△PNH 中，PH t =，1122NH PH t ==．所以32MN t =． ① 如图4，当0＜t ≤2时，重叠部分的面积等于△PMN 的面积．此时2133224S t t t =⨯⋅=． ②如图5，当2＜t ＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN 的面积减去△P ′DC 的面积．由于2''P DC PMN S P G S PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，所以222'2433(24)44P DC t S t t t -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭△． 此时222339(24)1212444S t t t t =--=-+-．。
中考动点问题题型方法归纳
图（3）B图（1）B图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S=时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o ． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<ts t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．提示：第（3）问按直角位置分类讨论3、如图，已知抛物线33)1(2+-=x a y （0≠a ）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x OM于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．提示：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
中考动点问题题型方法归纳
图（3）B图（1）B图（2） 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．提示：第（3）问按直角位置分类讨论3、如图，已知抛物线33)1(2+-=x a y （0≠a ）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．提示：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
以梯形为载体的动点运动型试题探胜
以梯形为载体的动点运动型试题探胜四川省广元市宝轮中学 唐明友1 题目呈现动态性试题是近年来中考的热点之一，以梯形为载体的动点运动型试题更是广受青睐。
请看课本原型题：题目：（人教版八年级下P 12214题）如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠B=900，AB=8cm ，AD=24cm ，BC=26cm 。
点P 从A 出发，以1s cm 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3s cm 的速度向B 运动。
其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？ 现在让我们一起走进这类题型中去，去欣赏代数几何碰出“火花”，去探寻运用数学思想方法解决问题的“胜景”。
2 变式探微变式1.（2008重庆）如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB ，∠A=90°，AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动。
则四边形ANMD的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数图象大致是（ ）解：y=21（D M ＋AN ）×AD=21（t ＋28－2t ）×4=－2t ＋56,因点B 运动速度快，所以点B 最先到达端点，即2t ≤28,但起点和终点不能形成四边形ANMD ，故有：0<t<14,故答案选D.变式2：（2009呼和浩特）如图3，在直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12cm ，AD=8cm ，BC=22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
初二数学三角形、四边形动点问题分析及讲解
初二数学?三角形、四边形?动点问题分析与讲解所谓“动点问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开场沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为ts．〔1〕当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形.〔2〕当t 为何值时，四边形PQCD为等腰梯形.〔3〕当t为何值时，四边形PQCD 为直角梯形.分析：〔1〕四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．〔2〕四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．〔3〕四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：〔1〕∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．〔2〕过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-〔24-t〕=4解得：t=7〔s〕即当t=7〔s〕时，四边形PQCD为等腰梯形．〔3〕由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-〔24-t〕=2解得：t=6.5〔s〕即当t=6.5〔s〕时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB角平分线CE于E．〔1〕试说明EO=FO；〔2〕当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；〔3〕假设AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜测△ABC的形状并证明你的结论．分析：〔1〕根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．〔2〕利用矩形的判定解答，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．〔3〕利用条件及正方形的性质解答．解答：解：〔1〕∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．〔2〕当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= 〔∠ACB+∠ACG〕= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．〔3〕△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：此题主要考察利用平行线的性质“等角对等边〞证明出结论〔1〕，再利用结论〔1〕和矩形的判定证明结论〔2〕，再对〔3〕进展判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动．设点Q运动的时间为t秒．〔1〕求NC，MC的长〔用t的代数式表示〕；〔2〕当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；〔3〕是否存在*一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕探究：t为何值时，△PMC 为等腰三角形．分析：〔1〕依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=：CB，〔2〕CB、，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；〔3〕可先根据QN平分△ABC 的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t 的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．〔4〕由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进展讨论：①当MP=MC时，则PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：〔1〕∵AQ=3-t∴=4-〔3-t〕=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．〔2〕由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．〔3〕如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：〔1+t〕+1+t= 〔3+4+5〕解得：t= 〔5分〕而MN= NC= 〔1+t〕∴S△MNC= 〔1+t〕2= 〔1+t〕2当t= 时，S△MNC=〔1+t〕2= ≠ ×4×3∴不存在*一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．〔4〕①当MP=MC时〔如图1〕则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2〔1+t〕解得：t= ②当CM=CP时〔如图2〕则有：〔1+t〕=4-t解得：t= ③当PM=PC时〔如图3〕则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= 〔1+t〕PN=NC-PC=〔1+t〕-〔4-t〕=2t-3∴[ 〔1+t〕]2+〔2t-3〕2=〔4-t〕2解得：t1= ，t2=-1〔舍去〕∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考察平行四边形性质及等腰三角形性质．考察学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间，假设BQ=*cm〔*≠0〕，则AP=2*cm，CM=3*cm，DN=*2cm．〔1〕当*为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当*为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形.如果能，求*的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2*+*2=20cm，BQ+MC≠BC即*+3*≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2*+*2≠20cm，BQ+MC=BC即*+3*=20cm．所以可以根据这两种情况来求解*的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2*+*2≠20cm，BQ+M C≠BC即*+3*≠20cm，AP=ND即2*=*2，BQ=MC 即*=3*，*≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：〔1〕当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N 重合时，由*2+2*=20，得*1= -1，*2=- -1〔舍去〕．因为BQ+CM=*+3*=4〔-1〕＜20，此时点Q与点M不重合．所以*= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由*+3*=20，得*=5．此时DN=*2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求*的值为-1．〔2〕由〔1〕知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-〔*+3*〕=20-〔2*+*2〕，解得*1=0〔舍去〕，*2=2．当*=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-〔*+3*〕=〔2*+*2〕-20，解得*1=-10〔舍去〕，*2=4．当*=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当*=2或*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．〔3〕过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2*＞*，所以点E一定在点P的左侧．假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2*-*=*2-3*．解得*1=0〔舍去〕，*2=4．由于当*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：此题考察到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开场，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N 从点C开场，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒．〔1〕当t为何值时，四边形MNCD 是平行四边形.〔2〕当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形.分析：〔1〕根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；〔2〕根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：〔1〕∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；〔2〕作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当-MD=12时，即2t-〔15-t〕=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考察了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点容．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动，设运动时间为t〔s〕．〔1〕设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；〔2〕当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.分析：〔1〕假设过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；〔2〕此题应分三种情况进展讨论，①假设PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③假设PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：〔1〕过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= 〔16-t〕×12=96-6t〔0≤t≤ 〕．〔2〕由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，假设以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①假设PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=〔16-t〕2，解得；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=〔16-2t〕2+122，由PB2=BQ2得〔16-2t〕2+122=〔16-t〕2，此方程无解，∴BP≠PQ．③假设PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=〔16-2t〕2+122得，t2=16〔不合题意，舍去〕．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．直线y=- 34*+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．〔1〕直接写出A、B两点的坐标；〔2〕设点Q的运动时间为t〔秒〕，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；〔3〕当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：〔1〕分别令y=0，*=0，即可求出A、B的坐标；〔2〕〕因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动〔或0≤t≤3〕时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；〔3〕令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．-解答：解：〔1〕y=0，*=0，求得A〔8，0〕B〔0，6〕，〔2〕∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8〔秒〕，∴点P的速度是6+108=2〔单位长度/秒〕．当P在线段OB上运动〔或O≤t≤3〕时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．〔3〕当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P〔85，245〕M1〔285，245〕，M2〔- 125，245〕，M3〔125，- 245〕点评：此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
中考数学考点复习梯形中的动点问题
1 3中考热点题中的动点问题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。
第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P 、E 、M 分别从B 、A 、D 三点同时出发，其中点P 沿BA 向终点A 运动，点E 沿AD 向终点D 运动，点M 沿DC 向终点C 运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE 、PM 、EM ，设动点P 、E 、M 运动时间为t （单位：秒），△PEM 的面积为S ．（1）判断△PAE 与△EDM 是否全等，说明理由；（2）连接BD ，求证：△EPM ∽△ABD ； （3）求S 与t 的函数关系式，并求出△PEM 的面积的最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。
解答：解：（1）△PAE ≌△EDM ，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t ，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t （1分）∵在梯形ABCD 中，AB=DC ，∴∠PAE=∠EDM ；（2分） 又AP=DE ，AE=DM ， ∴△PAE ≌△EDM ．（3分）（2）证明：∵△PAE ≌△EDM ， ∴PE=EM ，∠1=∠2（4分）∵∠3+∠2=∠1+∠BAD ， ∴∠3=∠BAD ；（5分）∵AB=AD ，∴；（6分） ∴△EPM ∽△ABD ．（7分）（3）过B 点作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F ，过P 点作PG ⊥AD 交于G ；在Rt △AFB 中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，∴BF=AB •sin ∠4=4•sin60=∴S △ABD =． （8分） 在Rt △APG 中，PG=AP •sin ∠4=（4﹣2t ）•sin60°= （2﹣t ） ． 231423=432⨯⨯AG=AP •cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ，∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ．∵PE 2= PG 2+ GE 2∴[ （2﹣t ）]2+（2+t ）2=4t 2﹣8t+16．∵△EPM ∽△ABD ，∴ = （9分） ∴S △EPM ×=； ∴S 与S=（0≤t ≤2）（10分）即S= ∴当t=1，S 有最小值，最小值为 ．（12分）另一解法（略解）在Rt △APG 中，PG=AP •sin ∠4=（4﹣2t ）•sin60°=（2﹣t ）．AG=AP •cos ∠4=（4﹣2t ）•cos60°=2﹣t ．在Rt △MFD 中，FM=DM •sin ∠MDF=2t •sin60°=，DF=DM •cos ∠MDF=2t •cos60°=t ． ∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t ，EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t ；∴S △EPM =S 梯形PGFM ﹣S △PEG ﹣S △EFM=．（0≤t ≤2）2、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90°，AC ⊥BC ，AB=10cm ，BC=6cm ，F 点以2cm/秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5）．（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
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学科探索D i sc i pl i nesE xpl or at i on一道中考题带来的启示——直角梯形中动点问题探究刘世杰(新疆农业大学学附属中学新疆乌鲁木齐830000)摘要中考复习回归课本已是势在必行，中考试题都根植于课本，只不过是对原题引申、条件变换、移植转换、增加了解题的层次性。
说题是对中考试题的创造性研究与中考试题回归课本是相辅相成的，是我们做好中考复习的重要法宝。
关键词说题中考数学中图分类号：G633．63文献标识码：AI nspi r at i on f r om a Pr obl em i n H i gh School E nt r ance E xam i nat i on——DⅦam i c Poi nt I ss ues i n T r apezoi dalL I U Shi j i e(H i gh School A f f i l i at ed t o X i nj i ang A gr i cul t ur al U ni vers i t y,U r um qi，X i nj i ang830000)A bs t r act E xam i n at i on i s i m per at i ve t o r evi ew t he r e t ur n oft ext books，t he exa m que s t i ons ar e r oot ed i n t he t ext boo k,but i sext en ded t o t he or i gi na l ques t i on，t he c ondi t i ons c ha nge，t r anspl a nt c onve r si on，i nc re a si ng t he l e ve l of p r obl em-s ol vi ng．Sai d t he pr ob l em is t he s t udy of c rea t i vi t y exam s and exa m que s t i ons r e t ur n t ex t boo ks ar e com pl em e nt ar y,w e m a ke an i m p or t ant w eapon i n t he t es t r evi e w．K ey w or ds sai d t he pr obl em；exam i nat i on；m at hem at i cs本文以一道中考选择题为例进行说题。
说题题目：2012年乌鲁木齐数学中考试题第10题如图l，A D／／B C，Z D=：●。
90。
，A D=2，B C=5，C D=8，若在C D边上有点P，使△PA D与△PB C相似，则这样的点有()～A．1个B．2个o-：C．3个D．4个图11说试题立意及背景试题立意：动点问题是近年来中考的一个热点问题，要求学生能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，化“动”为“静”。
从数学知识点来看，动点依附于不同的载体，一般考察几何图像的判定和性质(PN 梯形，相似三角形，直角三角形等)以及函数和方程等知识，综合性很强。
考察的途径越来越复杂，对学生的读题、解题、知识迁移能力、数形结合的思维能力提出了很高的要求。
说背景：本题以直角梯形作为载体，动点P隐含其中，以相似三角形的判定为主要考点，运算上以一元方程求解为突破，得到点P的个数。
本题运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解题的关键。
主要考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用，属中考中等难度试题。
2说学情、教法说学情：学生较容易先找任一点，大致勾勒三角形，进而利用相似三角形判定列程，但在分类讨论及列程求解上容易疏漏，这里要注意，需平时加强训练。
说教法：从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明、代数计算问题，探究解决问题的策略，培养学生解决问题的完备性。
3说解法解法一：解：在C D上找一点P，得到△PA D和A P B C，设D P=X，则C P=8-X，若△PA D～A P B C，对应边成比例则有两种可能情况。
翻。
翻二幽3(1)寺2紊专(一元一次方程)有一个解——一个点(2’i三2÷(一元二次方程)有两个不相等解——两个点经检验，均符合题意。
答案：C解法二：从形的角度来分析(图3)，利用物理上的反射来构造相似，相对的两角相等，这只有一种情况：利用勾股定理函学科探索D i sc i pl i nes E xpl or at i on证明的图形作为背景，相对的两个角互余，但不等，互余且相等的情况不可能，图3是反例，这时，以不垂直于底的腰为直径画圆，有两个交点，这时有两种情况，总计三种即有三个点存在。
4拓展变化如图4，A D#BC，／D=90。
，A D=a，B C=b，A B=c，若在CD 边上有点P，使△P A D与△P B C相似，则这样的点有()个。
图4本题解有四种情况：以A B为直径作圆，利用梯形中位线定理和圆与直线的位置关系可解得：(1)如图4(a)，C<a+b 圆与C D无交点，只能利用反射构造相似，只有一个点(由相似对应边成比例得到的一元二次方程无解)；(2)如图4(b)，c=a+b C D<a+b反射构造相似一个点，圆与直线相切构造一个点，这两点不重合(一元二次方程有两个相等的解)；(3)如图4(c)，C>a+b C D≠a+b反射构造相似一个点，圆与直线相交构造两个点，这三点互不重合(一元二次方程有两个不相等的解)；(4)如图4(d)，C>a+b C D=a+b反射构造相似一个点，圆与直线相交构造两个点，这三点中有两点重合，总共有两点(一元二次方程有两个不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同)。
启示一：本题两种解法实际从数和形的角度出发，把一元方程解的个数与圆与直线的三种位置关系联系起来，这两个看似毫无关联的知识通过直角梯形这个载体有机统一在一起，我们在平时命题时可以有意识去尝试把代数和几何以某个特征图形为平台联系起来，去考察中考考点，让我们对题目有更加深刻的认识，而不是蜻蜒点水，浅尝辄止。
5中考链接(2013攀枝花)如图5，在平面直角坐标系中，四边形A B C D是梯形，A B／／C D，点B(10，0)，C(7，4)。
直线，经过A，D两点，且si n么厅D A B=半。
动点P在线段A B上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B—C—D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于X轴，与折线A—D—C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
设点P，Q运动的时间为t秒(t>0)，△M PQ的面积为S。
(1)点A的坐标为，直线，的解析式为：(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围：(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；(4)随着P，Q两点的运动，当点M在线段D C 上运动时，设PM的延长线与直线，相交于点N，试探究：当t为何值时，△Q M N为等腰三角形?请直接写出t的值。
思路分析：(1)利用梯形性质确定点D的坐标，利用s i n／片D A B=半特殊三角函数值，得到△A O D为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标为(-4，O)；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线，的解析、7式为Z三兰±垒。
眵z，_———一＼Cn(2)解答本问，需要弄、么。
一二二：=夕’清动点的运动过程：①当o～彳≈—≯…——jfl：<t≤l时，如图6所示；②’当l<t≤2时，如图7所图5示；③当2<t<单时，如图8所示。
，7(3)本问考查二次函数，／一一。
≥P与一次函数在指定区间上，，，j，，一+一的极值，根据(2)中求出的一49∥”5、s表达式与取值范围，逐一圈6讨论计算，最终确定S的最大值；一(4)A Q M N为等腰三D／7；善i角形的情形有两种，需要分”／。
一一，。
类讨论，避免漏解。
～z[一夤手———{—F—争_：解：以第二问为主(2)在点P、Q运动的过程中：图7①当0<t≤l时，如图6所示：过点C作C F上拼由于点F，则C F--4，B F=3，由勾股定理得B C=5。
过点Q作Q E_Lx轴于点E，则B E=1B QC O S么C B F=5t÷图8=3t。
．。
．pE=PB-B E=(14-2t)一3仁14—5t，S=÷PM PE=丁1×2t×(14—5t)=一5n14t；②当l<t≤2时，如图7所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，贝0C Q=5t-5，P E=A F—A P-EF=11-2t-(5t-5)=16-7t，s=-熹--PM PE=百-x2t×(16-7t)=-7t％16t：③当点M与点Q相遇时，D M+C Q=C D=7，即(2t一4)+(5t一5)=7，解得t=—半。
当2<t<半时，如图8所示：M Q=C D—D M-C Q=7-(2t-4)一(5t-5)=16—7t．s专PM M Q专×4×(16-7t)一14t+32。
启示二：(1)复杂的双动点问题可以通过画图呈现运动全过程，随着点的移动，与之相关的图形肯定随着变化，而且移动到不同的位置，我们研究图形可能会改变。
(2)特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊位置、特殊图形等)过渡到一般情形。
要抓住图形在动态变化中暂时静止一瞬间，将这些点锁定在某一个位置上，看满足什么样的关系，这样问题的实质就显示出来，从而得到解题方法。
(3)认真研读文字抓住其中的等量关系和变量关系。
一个问题是有关确定图形变量之间的关系时，通常建立函模型求解，当确定图形之间的特殊(下转第67页)学科探索D i sc i pl i nes E xpl or at i on2l y3t s+21．5y316+22y3m7+22．5y31s"4-23．5y319+25．5y320+25．5y32 +25．5y322+25．5y323+25．5如2。
)／89S33=(1423l+14．5232+15233+15．5缸+16235+16．5236+17237 +17．5238+18239+18．‰1+1923ll+19．52312+2023”+20．52314+212315 +21．5历16+222317+22．5勿18+23．52319+25．5历20+25．5232l+25．52322 +25．52323+25．52324)／89．5从求解结果可知，能得到的总捆数为137捆。