2018-2019学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】先化简复数1ii+，再由复数的几何意义即可得出结果. 【详解】 因为21(1)1i i ii i i++==-，所以其对应点为(1,1)-，位于第四象限. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为（ ） A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚为5或6点，第二枚为1点 C ．第一枚为6点，第二枚为1点 D ．第一枚为1点，第二枚为6点【答案】C【解析】由题意，“4X >”即是“5X =”，利用随机事件的定义直接求解. 【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ， 所以，“4X >” 即“5X =”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”. 故选C 【点睛】本题主要考查随机事件，熟记概念即可，属于常考题型. 3．已知曲线的方程为，现给出下列两个命题：：是曲线为双曲线的充要条件，： 是曲线为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假。

【详解】若曲线C 为双曲线，则，可解得若，则，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则且m≠1，所以命题q 为假命题因而为真命题所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题。

4．二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( ) A ．20xB ．20x 和240x -C ．240x -和380xD ．380x【答案】C【解析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，进而可确定其最大值. 【详解】因为二项式()521x -展开式的各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，易知当2k =或3时，5kC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.故第三项为252522352(1)80C x x ---=；第四项为353533252(1)40C x x ---=-.故选C 【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 5．已知函数()1ln xf x x+=在区间(),2a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．[]0,1C ．[)1,0D ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先对函数求导，用导数方法判断函数()1ln xf x x+=的单调性，再结合题意，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】 因为()1ln x f x x +=（0x >），所以()11ln ln x xf x x x---'==，由()0f x '=得1x =，所以，当01x <<时，()0f x '>，即()1ln xf x x+=单调递增； 当1>x 时，()0f x '<，即()1ln xf x x+=单调递减； 又函数()1ln xf x x+=在区间(),2a a +上不是单调函数， 所以有0121a a a ≥⎧⎪<⎨⎪+>⎩，解得01a ≤<.故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在给定区间的单调性求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数方法研究函数单调性即可，属于常考题型.6．正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1BB 中点，则直线AN 与1B C 所成角的余弦值为（ ） A ．105 BCD ．1010 【答案】D【解析】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，表示出与C B 1，求两向量夹角余弦值，即可得出结果. 【详解】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,1)N ，(0,2,0)C ，1(2,2,2)B ， 则(0,2,1)AN =，1(2,0,2)B C =--， 记直线AN 与1B C 所成角为θ，则11cos 5AN B C AN B Cθ∙==故选D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型. 7．五名学生排成一队，要求其中甲、乙两名学生相邻，且都不站在排头，则不同排法的种数为（ ） A ．18 B ．24C ．30D ．36【答案】D【解析】分甲或乙站排尾、甲乙都不站排尾两种情况分别求出排法，再求和，即可得出结果. 【详解】因为甲、乙两名学生相邻，且都不站在排头，若甲或乙站排尾，则有132312C A =种排法； 若甲乙都不站排尾，则有2323224A A =种排法；故，不同的排法共有122436+=种. 故选D 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记概念，以及排列组合中的常见类型，即可求解，属于常考题型.8．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()sin f x x x =+B ．()cos xf x x=C ．()cos f x x x =D ．()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】先由函数图像，确定函数奇偶性，排除D ，再由特殊值法排除A ，B ，即可得出结果. 【详解】由图像可得，该函数关于原点对称，为奇函数， D 选项中，()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()33()2222f x x x x x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-++≠- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，所以D 排除；又由函数图像可得()0,(0)02f f π==，所以可排除A ，B ；故选C 【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数解析式的问题，熟记函数的性质，以及特殊值法的应用即可，属于常考题型. 9．已知区域(){},11,11x y x y Ω=-≤≤-≤≤，区域()[]1,0,1,12xA x y y e x -⎧⎫=≤≤∈-⎨⎬⎩⎭，在Ω内随机投掷一点M ，则点M 落在区域A内的概率是（ ） A ．1112e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1114e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1118e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11e-【答案】B【解析】先求出区域Ω对应的面积S ，和区域A 对应的面积1S ，再由几何概型，即可得出结果. 【详解】 由题意， (){},11,11x y x y Ω=-≤≤-≤≤对应区域为正方形区域，其面积为224S ==；()[]1,0,1,12xA x y y e x -⎧⎫=≤≤∈-⎨⎬⎩⎭对应区域如下图阴影部分所示：其面积为111001112()102x x x S e dx e dx e e ---⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，所以点M 落在区域A 内的概率是11111144S e P S e -⎛⎫===- ⎪⎝⎭. 故选B 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式、以及微积分基本定理即可，属于常考题型.10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，.也是抛物线：的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+ =1，解出即可得出．详解：由题意可得：c==直线AF1的方程为y=x+c．联立，解得x=c，y=2c．∴A（c，2c），代入椭圆方程可得：，∴，化为：e2+=1，化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1．故答案为：B点睛：(1)本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了学生的推理能力与计算能力.(2)求离心率常用的方法是找关于离心率的方程再解方程,本题就是利用点A(c,2c)在椭圆上找到关于离心率的方程的.11．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．α B ．βC ．γD ．以上都有可能【答案】A【解析】结合题中条件，分别讨论甲对、乙对或丙对的情况，即可得出结果. 【详解】如果甲对，则β发回的照片是C ，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C 是γ发回的.得到照片A 是由β发回，照片B 是由α发回.符合逻辑，故照片B 是由α发回；如果丙对，则照片C 是由β发出，甲错误，可以推出α发出照片B ，γ发出照片A ，故照片B 是由α发出. 故选A 【点睛】本题主要考查推理分析，根据合情推理的思想，进行分析即可，属于常考题型. 12．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2019g x x =，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-.的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>【答案】C【解析】先根据“新驻点”的概念，得到1α=，()1ln 11ββ+=+，3213γγ-=，构造函数()1()ln 11t x x x =+-+，根据零点存在性定理，确定β范围；由32130γγ-=>确定γ范围，即可得出结果. 【详解】∵()2019g x '=，()11h x x '=+，()23x x ϕ'=，由题意得： 1α=，()1ln 11ββ+=+，3213γγ-=， ①令()1()ln 11t x x x =+-+，易知)(x t 在定义域内单调递增，又11(1)ln 2ln 022t =->=，(0)ln1110t =-=-<，所以)(x t 在(0,1)内存在零点， 又()1ln 11ββ+=+，所以01β<<； ②∵32130γγ-=>，∴1γ>. 综上，1γαβ>=>. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，结合题中原函数与导函数之间的关系，结合零点存在定理等，求出参数的值或范围，比较大小即可，属于常考题型.二、填空题13．已知复数z 满足()132z i i -=+，则z =_______【答案】226 【解析】先由复数的除法，化简复数z ，再由复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因为()132z i i -=+，所以32(32)(1)151(1)(1)2i i i iz i i i ++++===--+，因此z ==. 故答案为226【点睛】本题主要考查复数的运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则以及模的计算公式即可，属于常考题型. 14．设，则_______.【答案】5【解析】分析：先求出值，再赋值，即可求得所求式子的值.详解：由题易知：令，可得∴＝5故答案为：5点睛：本题考查了二项式定理的有关知识，关键是根据目标的结构合理赋值，属于中档题.15．已知直线l ：1y kx k =-+与函数()ln 1y x =-的图象恰有1个公共点，则正数．．k 的取值范围是______ 【答案】21k e >【解析】先作出函数()ln 1y x =-的图像，求出直线l ：1y kx k =-+与函数()()ln 12y x x =->相切时，切线斜率，结合图像，即可得出结果.【详解】作图分析，当直线l ：1y kx k =-+与函数()()ln 12y x x =->相切时， 不妨设切点为()()00,ln 1x x -， 于是可得切线方程为()()0001ln 11y x x x x =-+--，代入点()1,1， 解得201x e -=，∴21k e=切， 因此，由图像可得，当21k e >时， 直线l ：1y kx k =-+与函数()()ln 12y x x =->的图象恰有1个公共点. 故答案为21k e>【点睛】本题主要考查由直线与曲线交点的个数求参数的问题，熟记导数的几何意义，即可求解，属于常考题型.16．已知函数()e xf x x =，()2422x a x ag x ee --=-，若存在实数0x 使()()0011f x g x e+=--成立，则实数a 的值为________.【答案】21-【解析】先由题意得到()()2422xx ax a f x g x xe ee --+=+-，令()x h x x e =，用导数的方法求出函数()xh x xe =的最小值，再由配方法求出2422x a x a e e ---的最小值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】函数()e xf x x =，()2422x a x ag x ee --=-，所以()()2422x x a x af xg x xe e e --+=+- 令()xh x xe =，则()()1xh x ex '=+，令()0h x '=解得1x =-且当1x <-时，()0h x '<，()xh x xe =单调递减；且当1x >-时，()0h x '>，()x h x xe =单调递增，所以()min 11h e-=，又因为()224222111x a x a x a e e e ----=--≥- 所以()()11f x g x e+≥--，因此只有()xh x xe =与2422x a x a e e ---同时取最小值时，()()11f x g x e+=--才能成立；所以，当1x =-时，2422x a x a e e ---也取最小值，此时210x a e --=，即12a =-. 【点睛】本题主要考查根据导数的应用，根据函数最值求参数的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.三、解答题17．某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X 为选出的2位老师中女老师的人数，写出X 的分布列. 【答案】（1）男老师5人，女老师3人（2）见解析【解析】（1）先设男老师总共有x 人，则女老师共有8x -人，根据题意得到22818x C C -=，求解即可得出结果；（2）先由题意确定X 的可能取值，求出对应概率，即可得出分布列. 【详解】（1）不妨设男老师总共有x 人，则女老师共有8x -人，（18x ≤≤，*x N ∈）从这8位老师中选出至少1名女老师，共有()228128182x x x C C --=-=种不同的方法，即有：()120x x -=，解得5x =，83x -= 所以该支教队共有男老师5人，女老师3人 （2）X 的可能取值为0，1，2，0X =表示选派2位男老师，这时()252810028C P X C ===，1X =表示选派1位男老师与1位女老师，这时()11532815128C C P X C ===， 2X =表示选派2位女老师，这时()23283228C P X C ===， X 的分布列为：【点睛】本题主要考查由组合数求参数的问题、以及离散型随机变量的分布列，熟记定义，结合题中条件，即可求解，属于常考题型.18．设曲线()0xy e x -=≥在点(),t M e e 处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为()S t .（1）求切线l 的方程； （2）求()S t 的最大值. 【答案】（1）()10tte x y et --+-+=（2）e2【解析】（1）先对函数求导，求出曲线在点(),tM e e 的斜率，进而可求出切线方程； （2）由（1）的结果，分别令0y =和0x =，求出切线与x 轴、y 轴的交点坐标，进而可表示出()S t ，再用导数的方法研究()S t 的单调性，求出最值即可. 【详解】 （1）令()()0xf x ex -=≥，因为()t f x e -'=-，所以切线l 的斜率为t e --故切线l 的方程为()tt y e e x t ---=--，即()10t t e x y e t --+-+=（2）由()10tte x y e t --+-+=，令0y =得1+=t x ，又令0x =得()1t y e t -=+，所以()()()()21111122t t S t t e t t e --=+⋅+=+⋅ 从而()()()1112tS t e t t -'=-+.∵当()0,1t ∈时，()0S t '>，当()1,x ∈+∞时，()0S t '<， 所以()S t 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减； 所以()S t 的最大值为()21S e=. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程、以及导数的应用，熟记导数的几何意义、会用导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型. 19．如图，在四棱锥中，，，，，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取中点，连结．先证明，再证明平面．（2）利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值．详解：（1）取中点，连结．因为点为的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面中，过作，在平面中，过作．因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，7分所以，，，设是平面的一个法向量，则即取，得．设直线与平面所成角为．则，所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：本题主要考查空间几何位置关系的证明和线面角的求法，意在考查学生位置关系的证明和线面角的计算等基础知识的掌握能力和基本运算能力. 位置关系的证明和空间角的求法都有两种方法，一是几何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和灵活运用. 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的方程；（2）过的左焦点且斜率不为的直线与相交于，两点，线段的中点为，直线与直线相交于点，若为等腰直角三角形，求的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】分析:(1)根据题意列方程，解方程得a,b,c的值即得E的方程.(2)先设直线的方程为，，，再根据已知求出k即得直线l 的方程.详解：（1）依题意，得 ，解得，所以的方程为．（2）易得，可设直线的方程为，，，联立方程组消去，整理得，由韦达定理，得，，所以，，即，所以直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率为，所以直线与恒保持垂直关系，故若为等腰直角三角形，只需，即，解得，又，所以，所以，从而直线的方程为：或．点睛：(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆是位置关系，意在考查直线和圆锥曲线的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)本题的关键是对为等腰直角三角形的转化.21．已知函数()()ln 1f x x x ax a R =-+∈. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为2.71828……）【答案】（1）见解析；（2）()2,+∞ 【解析】（1）构造函数()1ln g x x x=+，先将讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数问题，转化为讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数问题，用导数方法研究函数()1ln g x x x=+单调性，求出值域，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，由()0f x '=求出零点，得到()()11min 1a a f x f e e--==-，再由题意得到()()1113a ee a --<--成立，构造函数()()()1131x h x e e x -=+---，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果. 【详解】（1）由()ln 10f x x x ax =-+=得1ln a x x =+，令()1ln g x x x=+， 因此讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数，即是讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数，∵()22111x g x x x x-'=-=，()0g x '>在()1,+∞上恒成立， 故()1ln g x x x=+在()1,+∞上单调递增，()()1,g x ∈+∞，又()g x 连续不断，所以当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上无零点； 当1a >时，()f x 在()1,+∞上存在一个零点.（2）当1a >时，由（1）得()f x 在()1,+∞上存在一个零点， 由()ln 10f x x a '=+-=得1a x e -=， 由（1）可得()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e-+∞上单调递增；所以()()11min 1a a f x f ee--==-，又存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--成立， 所以，只需()()1113a e e a --<--成立，即()()11310a e e a -+--->不等式成立，令()()()1131x h x ee x -=+---， 则()11x h x ee -'=+-，易知()110x h x e e -'=+->在()1,x ∈+∞上恒成立，故()()()1131x h x ee x -=+---在()1,x ∈+∞上单调递增又()20h =，所以()02h x x >⇒>. 故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型. 22．已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值；设最小值为，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于（1），首先将式子进行转化，构造新函数，借助于导数来完成即可；对于（2）利用导数求函数的最值，不难得到函数的最小值为，则，再利用导数求出其值域即可. 详解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，当时，由上知，所以， 即.所以实数的取值范围为；（2）对求导得记由（1）知在区间内单调递增，又，所以存在唯一正实数，使得，∴当时，，函数在区间单调递减；时，，函数在区间单调递增；所以在内有最小值，有题设即，又因为，所以根据（1）知，在内单调递增，，所以，令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在求解的过程中，注意恒成立问题的处理方式，构造新函数，应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，进一步求解即可得结果.。