湖南省益阳市高一数学上学期期末考试试题湘教版
湖南省高一上学期期末数学试题(解析版)
【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断. 【详解】特称命题的否定是全称命题,
因此原命题的否定是: x R, x2 2x 2 0 .
故选:D.
3. 如果函数 y f (x) 在[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,那么“ f (a) f (b) 0 ”是“函数 y f (x) 在
考点:本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6. 已知函数 f x 4x 2x1 4 , x 1,1 ,则函数 y f x 的值域为( ).
A. 3,
B. 3, 4
C.
3,
13 4
D.
13 4
,
4
【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件换元,借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
则 m p ,故有 m p n .
故选:B
D. p n m
【点睛】关键点点睛:本题的关键是换底公式的应用,关键是利用换底公式,变形,比较大小.
8.
设a, b
R ,定义运算 a b
a, a b, a
b b
,则函数
f (x) sin x cos x 的最小值为(
)
A. 1
B. 2 2
故选:A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断,属于中档题.
4. 半径为 1,圆心角为 2 弧度的扇形的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件,由扇形的面积公式,可直接得出结果
【详解】半径为 1,圆心角为 2 弧度的扇形的面积是 S 1 lr 1 r2 1 12 2 1(其中 l 为扇形所对
湖南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1.已知集合,,则( ){}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A . B . {}2x x ≤-{}22x x -≤<C . D .{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得, {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选:B2.”是“”的( ) b >2a b >A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质,结合特殊值,从充分性和必要性进行分析,即可判断和选择.【详解】取,但不满足,故充分性不满足; 4,3a b ==-b >2a b >当,故满足必要性; 20a b >≥b >综上所述,”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选:B.3.函数的定义域为,则的定义域为( ) ()21y f x =-[]0,1()y f x =A . B .C .D .[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围,即得所求 x 21x -【详解】因为,所以, 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选:A.4.某同学在研究函数时,分别给出下面四个结论,其中正确的结论是( )2()||1x f x x =+A .函数是奇函数B .函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C .函数在R 上是增函数D .方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性,单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ,,故是偶函数,,不是奇函数,2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误,对于B ,当时,,由对勾函数性质知,0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数,的值域是,故B 错误,()f x ()f x [0,)+∞对于C ,当时,,由对勾函数性质知在上单调递增,0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数,故在上单调递减,故C 错误,()f x ()f x (,0)-∞对于D ,当时,,即,解得,故D 正确, 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选:D5.已知函数若,则实数的取值范围是( )()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A . B .C .D .[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性,再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为,当时单调递减,且,()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时,单调递减,且,0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减,因为,()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以,解得,即实数的取值范围为:. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选:A.6.已知函数的值域与函数的值域相同,则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =( ) A .B .(,1)-∞(,1]-∞-C .D .[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式,由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意,,22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时,,1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同,即为,()f x y x =R 需满足,解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选:B7.已知函数则下述关系式正确的是( )()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A . B . b a c >>b c a >>C . D .c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据,为偶函数,在(0,+∞)上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解:∵,||()x f x e -=∴f (x )为偶函数,且f (x )在(0,+∞)上单调递减,∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵, 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴, b a c >>故选:A.8.已知,函数在上存在最值,则的取值范围是( )0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA . B . C . D .13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为,进而根据不等式得到,由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ,【详解】当取最值时,.()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即, ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知,故. ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即.33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时,;时,; 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时,,此时在上必有最值点.32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上,所求.133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D .二、多选题9.已知函数,将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象,则( )A .的图象关于轴对称B .的最小正周期是 ()g x y ()g x πC .的图象关于点对称D .在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式,结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项,即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数,最小正周期为,则A 错误,B 正确. 2ππ2=令,,解得,,当时,, ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称,则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令,,解得,,π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时,即得在上单调递减,则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选:BCD.10.下列说法正确的是( )A .若不等式的解集为,则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B .若命题,则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C .在中,“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D .若对恒成立,则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ;由全称量词命题的否定可判断B ;由充要条件的判断可判断C ;变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A :不等式的解集为,220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根,故,1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得,所以,故A 正确; 2,4a c =-=2a c +=对于B :命题, ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为,故B 正确;p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C :由可得, sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以, sin2sin2A B =又, 0<222πA B +<所以或, π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件,故C 错误;sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D :令,由对恒成立,()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则,解得, ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为,故D 正确; x ()2,1--故选:ABD11.下列说法正确的是( )A .如果是第一象限的角,则是第四象限的角 αα-B .如果,是第一象限的角,且,则 αβαβ<sin sin αβ<C .若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为3ππ23πD .若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ;举反例判断B ;由扇形弧长、面积公式计算判断C ,D 作答. 【详解】对于A ,是第一象限的角,即,则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î,22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角,A 正确;α-对于B ,令,,是第一象限的角,且,而,B 不正确; 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ,设扇形所在圆半径为r ,则有,解得,扇形面积,C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确;对于D ,设圆心角为的扇形所在圆半径为,依题意,,扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==,D 正确. 故选:AD12.已知函数,,,有,()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是( ) A . B .1 C .D .31252【答案】CD【分析】将问题转化为当,时,,然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值,从而可求出a 的取值范围,进而可得答案【详解】,有等价于当,时,[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.()()12min min f x g x ≤当时,令,则,因为在上为增函数,在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数,所以函数在上单调递增,所以.()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为, ()22g x x x a =-+1x =∴当时,,1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴,解得. 11a ≤-2a ≥故选:CD .三、填空题13.函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式,求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义,需满足:, 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得; 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为: 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域,结合二次函数、对数函数的单调性,利用复合函数单调性的判定方法,即可求解.【详解】由题意,函数,()20.8log 43y x x =-+-令,即,解得,2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为,可得在区间单调递增,在单调递减, 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数,0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法,可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为:.(1,2]15.已知是第四象限角,且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设, sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:3-16.命题“对任意的,总存在唯一的,使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为,转化为函数与与有且仅有一个交点,依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据,,分类讨论,数形结合,求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得:;2210x x am ---=221x x am -=+当时,,则,解得:∵,,满足题意; 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时,;若存在唯一的,使得成立,则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点,在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示,由图象可知:当时,与有且仅有一个交点,∴,解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得:,则;1a <01a <<当时,,结合图象可得:,解得:,则;a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述:原命题成立的充要条件为, 11a -<<故答案为:-1<a <1.四、解答题17.设集合,.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若,求a 的值; {}2,1,6A B =- (2)若,求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】(1)求出集合,根据,即可得出,从而即得; A A B ⋃1B ∈(2)由题可知,然后分类讨论,从而得出实数组成的集合. B A ⊆a 【详解】(1)由,解得或,所以, 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为, {}2,1,6A B =- 所以,则, 1B ∈120a ⋅-=所以;2a =(2)因为,则, A B B = B A ⊆当时,; B =∅0a =当时,;{}2B =-1a =-当时,,{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18.已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若 , 求 的取值范围; ()0f x …x (2)当时, 求函数 的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1);1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用换元法令,列不等式先解出的范围,再解出的范围即可; 2log x t =t x (2)利用(1)中的换元,先得到的范围,再根据的范围求值域即可.t t 【详解】(1)令,,可整理为,则即,解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤,所以,解得, 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)当时,,因为,且当,有最小值;184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时,有最大值4; 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19.设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时的值.()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1),;(2)见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间; ()f x (2)先确定取值范围,再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】(1)函数的最小正周期为 , ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是. ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)设,则,24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知,当时,即,y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时,即, . 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值,考查基本分析求解能力,属中档题. 20.已知定义域为R 的函数是奇函数, ()221x f x a =++(1)求的值.a (2)判断函数在上的单调性并加以证明;()f x R (3)若对于任意不等式恒成立,求的取值范围. ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】(1);(2)减函数;(3)1a =-(),3-∞-【详解】试题分析:(1)可利用如果奇函数在处有意义,一定满足,代入即可解得;(2)用单调性定义证明,特别注意“变形”这一步中,需通过通分、分解因式等手段,达到能判断差式的符号的目的;(3)含参数的不等式恒成立问题,我们往往可以采用分离参数的办法,将其转化为求函数的最值问题,从而求得参数的取值范围.试题解析:(1)因为是R 上的奇函数,则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立,所以()()f x f x -=-1a =-(2)证明:设, 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为,所以,故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x (3)由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以 即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以 ,即的取值范围为3k <-k (),3∞--21.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当p t 时,曲线是二次函数图象的一部分,当时,曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳.(1)试求的函数关系式;()p f t =(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.【答案】(1)(2)1232t -≤≤【详解】【解】(1)当时, [014]t ∈,设,2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时,. [014]t ∈,21()(12)824p f t t ==--+当时,将(14,81)代入,得 [1440]t ∈,()log 583a y x =-+1.3a =于是(2)解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>,1432.t ≤<故当时,,1232t -<<()80p t >答:老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳.()1232t ∈-22.若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在,使成立,()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数;()sin ,()224x x f x x g x π-==-(1)判断函数是否为“圆满函数”,并说明理由;()y f x =(2)设,证明:有且只有一个零点,且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】(1)不是“圆满函数”,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)取特殊值,代入“圆满函数”的定义,判断是否有实数能满足123x =2x ;(2)当时,利用零点存在性定理讨论存在零点,以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时,证明在上没有零点,再化简,转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解:(1)若是“圆满函数”.取,存在,使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈,即,整理得,但是,矛盾,所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. (2)易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞,①当时,因为与在上单调递增,所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为,, 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理,存在,使得, ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时,因为单调递增,所以,因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-,所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上:有且只有一个零点. ()h x 0x 因为,即,()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以,. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减,所以,所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在,并且存在,使得,再利用,化简,利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
【湘教版】高中数学必修一期末试卷(及答案)(1)
一、选择题1.已知函数()102xx f x =+-的零点为a ,()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ,则a b +=( )A .1B .2C .3D .42.已知定义在R .上的偶函数f (x ), 对任意x ∈R ,都有f (2-x ) =f (x +2),且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时,关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,2)B .(232,2)C .23(,2)-∞(2, +∞) D .(2,+∞)3.设一元二次方程22210mx x m -++=的两个实根为1x ,2x ,则2212x x +的最小值为( ) A .178-B .154C .1D .44.如图是指数函数①y =x a ;②y =x b ;③y =c x ;④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c5.已知1()44x f x x -=+-e ,若正实数a 满足3(log )14a f <,则a 的取值范围为( )A .34a >B .304a <<或43a >C .304a <<或1a > D .1a >6.函数()log 1a f x x =+(且).当(1,0)x ∈-时,恒有()0f x >,有( ).A .()f x 在(,0)-∞+上是减函数B .()f x 在(,1)-∞-上是减函数C .()f x 在(0,)+∞上是增函数D .()f x 在(,1)-∞-上是增函数7.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩,若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+,且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则区间[,]m n 长度的最大值为( )A .1B .74C .114D .728.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数,如果()31f =-,则不等式()110f x -+≥的解集为( ) A .](2-∞,B .[)2,+∞C .[]24-,D .[]14, 9.已知函数()f x 的定义域为R ,()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅,且()112f =,如果对任意的x 、y ,都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦,那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为( )A .(][),12,-∞+∞ B .[]1,2C .()1,2D .(],1-∞10.已知集合{|0}M y y =≥,2{|1}N y y x ==-+,则M N =( )A .()0,1B .[]0,1C .[)0,+∞D .[)1,+∞11.对于非空集合P ,Q ,定义集合间的一种运算“★”:{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂.如果{111},{P x x Q x y =-≤-≤==∣∣,则P Q =★( )A .{12}x x ≤≤∣B .{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C .{01xx ≤<∣或2}x > D .{01xx ≤≤∣或2}x > 12.对于下列结论:①已知∅ 2{|40}x x x a ++=,则实数a 的取值范围是(],4-∞; ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-,则()y f x =的定义域为[)3,0-;③函数2y =(],1-∞;④定义:设集合A 是一个非空集合,若任意x A ∈,总有a x A -∈,就称集合A 为a 的“闭集”,已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆,且A 为6的“闭集”,则这样的集合A 共有7个. 其中结论正确的个数是( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题13.已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则函数()1y f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为______. 14.函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个,则实数k =__________. 15.7log 31lg 25lg 272++=________. 16.设函数()f x 满足()22221xf x ax a =-+-,且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-,则实数a 的取值范围为______.17.已知函数()1f x x x =+,()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈,[]21,1x ∃∈-,使()()12f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.18.设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数,2()()g x f x x =-,若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数,则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.19.非空集合G 关于运算⊕满足:①对任意,a b G ∈,都有a b G +∈;②存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G 是非负整数集,⊕:实数的加法;②G 是偶数集,⊕:实数的乘法;③G 是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④{},G x x a a b Q ==+∈,⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是________(请填写编号)20.已知{}2|340,{|10}A x x x B x ax a =+-==-+=,且B A ⊆,则所有a 的值所构成的集合M =_________.三、解答题21.改革开放40多年来,从开启新时期到跨入新世纪,从站上新起点到进入新时代,我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷,谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来,我们始终坚持保护环境和节约资源,坚持推进生态文明建设.扬州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护,若已知市财政下拨一项专款100(单位:百万元),分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x (单位:百万元)的函数()M x (单位:百万元),()4010xM x x=+,处理污染项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x (单位:百万元)的函数()N x (单位:百万元),()0.25N x x =.(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x (百万元),则两个生态项目五年内带来的收益总和为y ,写出y 关于x 的函数解析式和定义域;(2)生态项目的投资开始利润薄弱,只有持之以恒,才能功在当代,利在千秋,试求出y 的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?22.某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线,已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元,每生产x 百台这种仪器,需另投入成本f (x )万元,()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完,且售价为每台3万元.(1)求利润g (x )(万元)关于产量x (百台)的函数关系式; (2)当产量为多少时,该工厂所获利润最大?并求出最大利润.23.已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性; (2)用定义法证明()f x 在定义域上是增函数; (3)求不等式()()2520f x f x -+-<的解集.24.(1)计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)已知11223x x-+=,求12222x x x x --+++-的值.25.已知函数()22f x mx mx n =-+ ()0m >在区间[]1,3上的最大值为5,最小值为1,设()()=f xg x x. (1)求m 、n 的值; (2)证明:函数()g x在)+∞上是增函数;(3)若函数F ()()22xxx g k =-⋅=0,在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围.26.已知集合{}|12A x x =-≤,集合03x a B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭(1)若1a =,求集合AB ;(2)若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-,可知函数()h x 的零点为1b -,令()0f x =,可得出102x x =-,令()0h x =可得出lg 2x x =-,在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象,利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称,并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标,进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-,由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ,则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =,可得102x x =-,令()0h x =,可得出lg 2x x =-,在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象,如下图所示:由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称,直线2y x =-与直线y x =垂直,设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ,直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ,易知点A 、B 关于直线y x =对称,直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ,且C 为线段AB 的中点,所以12a b +-=,因此,3a b +=. 故选:C. 【点睛】易错点点睛:本题考查函数零点之和,解题的关键在于利用函数10xy =、lg y x =互为反函数,这两个函数的图象关于直线y x =对称,结合对称性来求解.2.B解析:B 【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象,将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题,从而得log (22)3log (62)3a a+<⎧⎨+>⎩,进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称,所以()f x 的周期为4, 作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象,由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象, 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根, 可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点, 由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩,解得2322a <<,故选:B .【点睛】本题考查了数形结合的思想,考查了函数的奇偶性和周期性,考查了函数的零点与方程的根,考查了对数不等式的求解,属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.3.C解析:C 【分析】由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理可得到2212x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.【详解】∵一元二次方程22210mx x m -++=有两个实根,∴(()2022410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩,解得21m -≤≤且0m ≠.又122x x m+=,121m x x m +⋅=,则()2221212122x x x x x x +=+-⋅22212m m +-⨯=⎝⎭2822m m =-- 令1t m=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以12t ≤-或1t ≥,则221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭+,当12t =-时,2212x x +取得最小值2111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.4.B解析:B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ;②y =x b 为减函数,且1x =时,②y =1b <①y =1a , 所以1b a <<,根据函数图象可知函数③y =c x ;④y =d x 为增函数,且1x =时,③y =c 1>④y =d 1, 所以1c d >> 故选:B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,指数函数的图象,数形结合的思想,属于中档题.5.C解析:C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,原不等式等价于3log 14a <,分类讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <, 由1log a a =,知3log log 4a a a <,当01a <<时,log ay x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<;当1a >时,log ay x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >, 综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数,则a b <;若函数()f x 为减函数,则a b >.6.D解析:D 【解析】试题分析:根据题意,当(1,0)x ∈-时,1(0,1)x +∈,而此时log 10a x +>,所以有01a <<,从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数,在区间(1,)-+∞上是减函数,故选D .考点:函数的单调性.7.B解析:B 【分析】根据定义作出函数()f x 的解析式和图象,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可. 【详解】其中(1,1)A ,(3,3)B , 即()233,133313x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或,当3()4f x =时,当3x 或1x 时,由33|3|4x --=,得9|3|4x -=,即34C x =或214G x =,当7()4f x =时,当13x <<时,由27334x x -+=,得52E x =,由图象知若()f x 在区间[m ,]n 上的值域为3[4,7]4,则区间[m ,]n 长度的最大值为537244E C x x -=-=, 故选:B . 【点睛】 利用数形结合思想作出函数的图象,求解的关键是对最小值函数定义的理解.8.C解析:C 【分析】根据题意可得()f x 在[0,)+∞上为减函数,结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -,解出x 的取值范围,即可得答案.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数, 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数,由f (3)1=-,则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-, 解之可得24x -, 故不等式的解集为[2-,4]. 故选:C . 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相同),然后再根据单调性列不等式求解.9.B解析:B 【分析】计算出()24f -=,并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数,再由()()234f x f x-⋅≥,可得出()()232f xx f -≥-,再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-,解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ,()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==,可得()()()000f f f =⋅,且()00f >,解得()01f =. 令y x =-,则()()()01f x f x f ⋅-==,()()1f x f x -=,()()1121f f -==.()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <,则0x y -<,由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦,得()()f x f y >. 所以,函数()y f x =在R 上为减函数,由()()234f x f x-⋅≥,可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-,即2320x x -+≤,解得12x ≤≤. 因此,不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式,解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值,并利用函数的单调性进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.10.B解析:B 【解析】∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤,{|0}M y y =≥,∴[]0,1M N ⋂=,故选B.11.C解析:C 【分析】先确定,P Q ,计算P Q 和P Q ,然后由新定义得结论.【详解】由题意{|02}P x x =≤≤,{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥, 则{|0}PQ x x =≥,{|12}P Q x x =≤≤,∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >. 故选:C . 【点睛】本题考查集合新定义运算,解题关键是正确理解新定义,确定新定义与集合的交并补运算之间的关系.从而把新定义运算转化为集合的交并补运算.12.D解析:D 【分析】A .考虑方程有解的情况;B .根据抽象函数定义域求解方法进行分析;C .根据二次函数的取值情况分析函数值域;D .根据定义采用列举法进行分析. 【详解】①由∅ 2{|40}x x x a ++=可得²40x x a ++=有解,即2440a ∆=-,解得4a ≤,故①正确;②函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-,则21x ,故112x -≤+<,故()y f x =的定义域为[)1,2-,故②错误;③函数21y ==[)1,+∞,故(]2,1y =-∞,故③正确;④集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆且A 为6的“闭集”,则这样的集合A 共有{}3,{}1,5,{}2,4,{}1,3,5,{}2,4,6,{}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个,故④正确.故正确的有①③④. 故选:D . 【点睛】本题考查命题真假的判定,考查集合之间的包含关系,考查函数的定义域与值域,考查集合的新定义,属于中档题.二、填空题13.【分析】先由可求得的值再由和两种情况结合的值可求得的值即可得解【详解】下面先解方程得出的值(1)当时可得可得;(2)当时可得可得或下面解方程和①当时由可得由可得(舍去)由可得;②当时由可得由可得或由 解析:7【分析】先由()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦可求得()f x 的值,再由0x ≤和0x >两种情况结合()f x 的值,可求得x 的值,即可得解. 【详解】下面先解方程()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦得出()f x 的值.(1)当()0f x ≤时,可得()()1110f f x f x -=+-=⎡⎤⎣⎦,可得()0f x =; (2)当()0f x >时,可得()()1ln 10f f x f x -=-=⎡⎤⎣⎦,可得()f x e =或()1f x e=. 下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=. ①当0x ≤时,由()10f x x =+=可得1x =-,由()1f x x e =+=可得1x e =-(舍去),由()11f x x e =+=可得11x e=-; ②当0x >时,由()ln 0f x x ==可得1x =,由()1ln f x x e==可得1e x e =或1e x e-=,由()ln f x x e ==可得e x e =或e x e -=.综上所述,函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故答案为:7. 【点睛】方法点睛:判定函数()f x 的零点个数的常用方法:(1)直接法:直接求解函数对应方程的根,得到方程的根,即可得出结果;(2)数形结合法:先令()0f x =,将函数()f x 的零点个数,转化为对应方程的根,进而转化为两个函数图象的交点个数,结合图象,即可得出结果.14.1或【分析】作出函数的图象与函数的图象由图象求实数的值【详解】解:作出函数的图象与函数的图象如下图:当过点时成立此时;当时联立消去得解得故答案为:1或【点睛】本题考查了数学结合思想分类讨论思想属于基解析:1或54【分析】作出函数2|1|y x =-的图象与函数y x k =+的图象,由图象求实数k 的值. 【详解】解:作出函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象如下图:当过点(1,0)-时,成立,此时,1k =-;当(1,1)x ∈-时,21y x =-,联立21y x y x k⎧=-⎨=+⎩,消去y 得210x x k ++-=,()21410k ∆=--=解得 54k =, 故答案为:1或54. 【点睛】本题考查了数学结合思想,分类讨论思想,属于基础题.15.4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解:故答案为:4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析:4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】解:7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为:4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质,熟记公式,熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求,属于基础题型.16.【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数解析:⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法,可得()2221g x x ax a =-+-,然后采用等价转换的方法,可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-,最后根据二次函数的性质,可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==,所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =,且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤所以332,22a ⎡⎤⎡∈⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为:⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用,难点在于使用等价转换思想,使问题化繁为简,属中档题.17.【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为:【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化:解析:3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增, 所以当[]11,2x ∈时,()1522f x ≤≤, 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减, 所以当[]21,1x ∈-时,()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈,[]21,1x ∃∈-,使()()12f x g x ≥, 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤,解得32m ≥-,所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为:3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()[],,y f x x a b =∈,()[],,y g x x c d =∈ (1)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈,总有()()12f x g x <成立,故()()2max min f x g x <; (2)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2max max f x g x <; (3)若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2min min f x g x <; (4)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x =,则()f x 的值域是()g x 值域的子集 .18.【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解:根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析:(,2)(0,)-∞-+∞【分析】根据题意,分析可得()g x 为偶函数,进而分析可得()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>,结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>,解可得x 的取值范围,即可得答案. 【详解】解:根据题意,2()()g x f x x =-,且()f x 是定义在R 上的偶函数,则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=,则函数()g x 为偶函数, ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>,又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数,则|1|1x +>, 解可得:2x <-或0x >, 即x 的取值范围为:(,2)(0,)-∞-+∞;故答案为:(,2)(0,)-∞-+∞.【点睛】关键点睛:解题关键在于,把题目通过转化化归思想,转化为:()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>,进而分析,难度属于中档题19.①④【分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集:实数的加法是融洽集解析:①④ 【分析】逐一验证每个选项是否满足“融洽集”的两个条件,若两个都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.【详解】①对于任意的两非负整数,,a b a b +仍为非负整数, 所以a b G +∈,取0e =及任意的非负整数a , 则00a a a +=+=,因此G 是非负整数集,⊕:实数的加法是“融洽集”;②对于任意的偶数a ,不存在e G ∈, 使得a e e a a ⊕=⊕=成立, 所以②的G 不是“融洽集”; ③对于{G二次三项式},若任意,a b G ∈时,则,a b 其积就不是二次三项式,故G 不是“融洽集”;④{},G x x a a b Q ==+∈,设1,x a a b Q =+∈,212,,(,x c c d Q x x a c b d a c b d Q =+∈+=+++++∈,所以12x x G +∈;取1e =,任意,11a G a a a ∈⨯=⨯=, 所以④中的G 是“融洽集”. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查对新定义的理解,以及对有关知识的掌握情况,关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件,属于中档题.20.【分析】计算根据得到四种情况分别计算得到答案【详解】当时:此时;当时:解得;当时:解得;当时:无解;综上所述:故答案为:【点睛】本题考查了根据集合关系求参数忽略掉空集是容易发生的错误解析:110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】计算{}1,4A =-,根据B A ⊆得到B =∅,{}1B =,{}4B =-,{}1,4B =-四种情况,分别计算得到答案. 【详解】{}{}2|3401,4A x x x =+-==-,B A ⊆当B =∅时:{|10}B x ax a =-+==∅,此时0a =; 当{}1B =时:{}{|10}1B x ax a =-+==,解得12a =; 当{}4B =-时:{}{|10}4B x ax a =-+==-,解得13a =-; 当{}1,4B =-时:{}{|10}1,4B x ax a =-+==-,无解;综上所述:110,,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭故答案为:110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了根据集合关系求参数,忽略掉空集是容易发生的错误.三、解答题21.(1)()[]400.25100,0,10010xy x x x=+-∈+;(2)y 的最大值为47.5(百万元),分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为30(百万元),70(百万元). 【分析】(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100)x -百万元,得到()0.25(100)N x x =-,进而可得函数的解析式;(2)由(1)可化简的函数的解析式为4001067.5104x y x +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭,利用基本不等式,即可求解最大值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得处理污染项目投放资金为()100x -百万元, 所以()()0.25100N x x =-, ∴()[]400.25100,0,10010xy x x x=+-∈+. (2)由(1)可得,()404000.251006510104x x y x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪++⎝⎭,4001067.567.567.52047.5104x x +⎛⎫=-+≤-=-= ⎪+⎝⎭, 当且仅当40010104xx +=+,即30x =时等号成立, 此时1001003070x -=-=.∴y 的最大值为47.5(百万元),分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为30(百万元),70(百万元). 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题,以及利用基本不等式求最值的应用,其中解答中认真审题,正确求解函数的解析式,合理构造利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.22.(1)252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩;(2)产量为5000台时,该工厂获得利润最大,且最大利润为1900万元. 【分析】(1)依题意求出各段的函数解析式,再写成分段函数即可; (2)根据解析式求出各段函数的最大值,再取最大的即可; 【详解】解:(1)由题意可知,当0<x <40,100x ∈N 时,g (x )=300x -5x 2-50x -500-1000=-5x 2+250x -1500;当x ≥40,100x ∈N 时,25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭综上,252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩(2)当0<x <40,100x ∈N 时,g (x )=-5x 2+250x -1500=-5(x -25)2+1625,且当x =25时,g (x )取得最大值1625;当x ≥40,100x ∈N 时,2500()2000()1900g x x x=-+≤,当且仅当x =50时,g (x )取得最大值1900.综上,当x =50,即产量为5000台时,该工厂获得利润最大,且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.23.(1)奇函数,证明见解析;(2)证明见解析;(3)}{23x x <<. 【分析】(1)求出函数定义域,求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性; (2)任取1211x x -<<<,则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭,得出与0的大小关系即可证明;(3)根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-,结合单调性和定义域列不等式组即可得解. 【详解】(1)由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩,得11x x <⎧⎨>-⎩,即11x -<<所以函数()f x 的定义域为()1,1-.因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-, 所以()f x 是定义上的奇函数. (2)设1211x x -<<<,则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭因为1211x x -<<<,所以12011x x <+<+,21011x x <-<-, 于是12211101,0111x x x x +-<<<<+-. 则1221110111x x x x +-<⋅<+-,所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭所以()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,即函数()f x 是()1,1-上的增函数. (3)因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩,解得23x <<.所以不等式的解集为}{23x x <<.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性,利用单调性解不等式,关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法,解不等式需要注意考虑定义域. 24.(1)1615;(2)15. 【分析】(1)利用幂的运算法则计算;(2)已知式平方得1x x -+,再平方可得22x x -+,然后代入求值. 【详解】(1)原式112219112111441004310-⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1615= (2)∵11223x x-+=,∴21112227x x x x --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭,()2221249247x x x x--+=+-=-=,故122272124725x x x x --+++==+--.【点睛】本题考查幂的运算法则,整数指数幂中多项的乘法公式在分数指数幂中仍然适用.25.(1)12m n =⎧⎨=⎩;(2)证明见解析;(3)1[5]2,. 【分析】(1)二次函数()f x 的对称轴为1x =,得到()f x 为[]13,上的增函数, 从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩ 得解 (2)()()22f x g x x x x==+-,设任意的12)x x ∈+∞,且12x x <,用单调性的定义证明即可.(3)分离变量得2112()2()122x x k -=+,令 1()2x t =,换元得2112()22k t =-+ 利用函数在1[2]2,上单调递增,求得函数最大小值得解 【详解】(1)因为0m >,二次函数()f x 的对称轴为1x =, 所()f x 为[]13,上的增函数, 从而得()()11335f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩,所以()222f x x x =-+(2)()()22f x g x x x x==+-,设任意的12)x x ∈+∞,且12x x <, 则()()22121122(2)(2)g x g x x x x x -=+--+- ()21x x =-+2122()x x -=()21122(1)x x x x --=()()2112122x x x x x x --12211202x x x x x x ≤∴-<>>,,所以()()1221200x x g x g x ->->,, ()()12g x g x ∴> 所以g ()2x x x=+—2为)+∞上的增函数. (3)因为函数(20)()2x xF x g k =-⋅=, 在[]11x ∈-,上能成立即222202xx xk +--⋅= 在[]11x ∈-,有解 整理得2112()2()122x xk -=+令 1()2xt =, 因为[]111[2]2x t ∈-∴∈,,, 221122(2221)k t t t =--++=在1[2]2,上单调递增, 12t ∴=,时min 12k =,2,t =时max 5k =, 所以k 的取值范围为1[5]2,【点睛】利用函数的单调性求解函数最值的步骤:(1)判断或证明函数的单调性;(2)计算端点处的函数值;(3)确定最大值和最小值.26.(1){|11}AB x x =-<;(2)3a >. 【分析】(1)若1a =,化简集合A ,B ,即可求集合A B ;(2)若A B B ⋃=,则A B ⊆,即可求实数a 的取值范围.【详解】(1)若1a =,集合{||1|2}{|13}A x x x x =-=-, 集合0{|31}3x a B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭, {|11}A B x x ∴⋂=-<;(2)若A B B ⋃=,则A B ⊆,3a ∴>.【点睛】本题考查集合的运算,考查集合的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,比较基础.。
2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4, 5},A={2, 4},则∁U A=()A.{1, 3, 5}B.⌀C.{2, 4}D.{0, 1, 3, 5}2. 直线x−√3y−3=0的斜率是()A.√3B.√33C.−√33D.−√33. 化简:(827)−13+lg√10=()A.2B.1C.3D.44. 某长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为1,1,2,则其外接球的表面积为()A.4πB.2πC.6πD.8π5. 若直线x−y+c=0与圆x2+(y−1)2=2相切,则c的值为()A.−1或3B.±2C.2或3D.3或56. 下列函数在定义域上是减函数的是()A.f(x)=x0.5B.f(x)=x2C.f(x)=e xD.f(x)=log0.5x7. 在空间直角坐标系O−xyz中,y轴上的点M到点A(1, 0, 2)与点B(2, 2, 1)的距离相等,则点M的坐标是()A.(0, 1, 0)B.(0, −1, 0)C.(0, 0, 1)D.(2, 0, 0)8. 已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m // α,α // β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α // β⇒n⊥β;③m⊥α,n // β,α // β⇒m⊥n;④m⊥α,m // n,α // β⇒n⊥β.其中正确的是()A.②③B.①②C.①④D.③④9. 已知a=ln3,b=(ln3)2,c=ln(ln3),则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a10. 如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,BD1与平面A1AB所成角的余弦值是()A.√63B.√66C.√306D.√5511. 已知函数f(x)=ln(x2+1)−x3,则它的部分图象大致是()A. B. C. D.12. 已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2−x),且x∈[0, 1]时,函数f(x)=2x−1,函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.(19,15) B.(0,19) C.(1, 5) D.(5, 9)二、填空题:本题共4小题.直线l的倾斜角为60∘且过点A(0, 2),则直线l的方程为________.某几何体的三视图为如图所示的三个斜边为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为________.某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究,发现其中某种生物的总数y(单位:亿)与经过的时间x(单位:年)的函数关系与函数模型y=a log2(x+1)+b基本拟合.经过1年,y为3亿,经过3年,y为5亿,预计经过15年时,此种生物总数y为________亿.已知函数f(x)=(x+1)2x2+1+kx(k≠0),若f(log2(√2+1))=−1,则f(log2(√2−1))=________.三、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设集合A={x|x≤2或x≥6},B={x|−1<x<3},C={x|m−1<x<m+3}.(1)求A∩B;(2)若C⊆A,求实数m的取值范围.已知点P(2, 3),直线l:x−2y+2=0.(1)若直线l′过P点且与直线l平行,求直线l′的方程;(2)若直线PQ垂直直线l,垂足为Q,求Q点坐标.已知函数f(x)=2x+m⋅2−x是R上的偶函数.(1)求常数m的值;(2)若f(x)=52,求x的值;(3)求证:对任意x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22).如图,在三棱锥P−ABC中,PB=PC=BC=2,AB=AC=√3,D,E分别为BC,PD的中点,F为AB上一点,且AF=14AB.(1)求证:BC⊥平面PAD;(2)求证:EF // 平面PAC;(3)若二面角P−BC−A为60∘,求三棱锥P−ABC的体积.已知圆心C在直线y=x+1上的圆过两点(0, −1),(2, 1).(1)求圆C的方程;(2)若直线y=kx+2与圆C相交于A,B两点,①当|AB|=√14时,求AB的方程;②在y轴上是否存在定点M,使∠CMA=∠CMB,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.已知函数f(x)=x(4+m|x|).(1)当m=−1时,求f(x)在[−3, 2]上的最值;(2)设集合A={x|f(x+m)<f(x)},若[−1, 1]⊆A,求m的取值范围.参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题:本题共4小题.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
高中数学期末质量检测湘教版必修第一册
期末质量检测考试时间:120分钟 满分:150分一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集合U ={1,2,3,4,5},S ={1,4,5},T ={2,3,4},则S ∩(∁U T)=( )A .{1,5}B .{1}C .{1,4,5}D .{1,2,3,4,5}2.sin 330°= ( )A .-32 B .32 C .-12 D .123.已知命题p :∀x>0,2x>log 2x ,则命题p 的否定为( )A .∀x>0,2x ≤log 2xB .∃x>0,2x ≤log 2xC .∃x>0,2x <log 2xD .∃x ≤0,2x≤log 2x4.二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物,是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置.根据描述,从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 ( )A .-π3B .-5π12C .5π12D .π35.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(-2,a),若α=120°,则a 的值为( )A .-2 3B .±2 3C .2 3D . 36.若a =log 54,b =log20.5,c =60.7( )A .a<b<cB .c<a<bC .a<c<bD .b<a<c7.函数f(x)=ln |x|e x -e -x的大致图象是( )8.科学研究已经证实,人的智力,情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期,按y =sin (ωx +φ)进行变化,记智力曲线为I ,情绪曲线为E ,体力曲线为P ,且现在三条曲线都处于x 轴的同一点处,那么第322天时 ( )A .智力曲线I 处于最低点B .情绪曲线E 与体力曲线P 都处于上升期C .智力曲线I 与情绪曲线E 相交D .情绪曲线E 与体力曲线P 都关于(322,0)对称二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列结论正确的是( )A .若a ,b 为正实数,a ≠b ,则a 3+b 3>a 2b +ab 2B .若a ,b ,m 为正实数,a<b ,则a +mb +m <abC .若a ,b ∈R ,则“a >b >0”是“1a <1b”的充分不必要条件D .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2时,sin x +2sin x 的最小值是2 210.若α为第二象限角,则下列结论正确的是( )A .sin α>cos αB .sin α>tan αC .sin α+cos α>0D .cos α+tan α>011.下列选项不正确的是( )A .既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R )B .函数y =1x在定义域内是减函数C .所有的周期函数一定有最小正周期D .函数f (x )=eln x和函数g (x )=1x有相同的定义域与值域12.已知f (x )=sin 2x +sin 2(x +α)+sin 2(x +β),其中α,β为参数,若对∀x ∈R ,f (x )恒为定值,则下列结论中正确的是( )A .f (x )=32B .f (x )=2C .α+β=πD .满足题意的一组α,β可以是α=π3,β=2π3三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.) 13.已知弧长为π3cm 的弧所对圆心角为π6,则这条弧所在圆的半径为________cm.14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+2,x ≤1log a (x -1),x >1,若f (f (0))=2,则实数a 的值为________.15.若函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,4上的最大值为2,最小值为m ,函数g (x )=(3+2m )x 在[0,+∞)上是增函数,则a +m 的值是________.16.若函数f (x )=sin (x +φ)+cos x (0<φ<π)的最大值为2,则常数φ的值为________.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)(1)求值:若x log 32=1,求2x+2-x的值;(2)化简:cos (α-3π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin 2α.18.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x 2-3x -4<0},B ={x |x 2+4mx -5m 2<0},其中m ∈R .(1)若B ={x |-5<x <1},求实数m 的值;(2)已知命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,若p 是q 的充分条件,且m >0,求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答. ①f (x )的最小正周期为π,且f (x )是偶函数;②f (x )图象上相邻两个最高点之间的距离为π,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0; ③x =0与x =π2是f (x )图象上相邻的两条对称轴,且f (0)=2;问题:已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π),若________. (1)求ω,φ的值;(2)将函数y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在[0,π]上的单调递减区间.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(本小题满分12分)已知cos α=-45,且π2<α<π.(1)求5sin (π+α)-4tan (3π-α)的值;(2)若0<β<π2,cos (β-α)=55,求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2β的值.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln 2-mx2+x ,m >0,且f (1)+f (-1)=0.(1)证明:f (x )在定义域上是减函数; (2)若f (x )+ln 9<f (-x ),求x 的取值集合.22.(本小题满分12分)北京时间2020年11月24日,我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空,并进入地月转移轨道.探测器实施2次轨道修正,2次近月制动后,顺利进入环月圆轨道,于12月1日在月球正面预选区域着陆,并开展采样工作.12月17日1时59分,嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆,标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成.某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪,同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料,他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时,单级火箭的最大速度v (单位:千米/秒)满足v =W lnm +MM,其中,W (单位:千米/秒)表示它的发动机的喷射速度,m (单位:吨)表示它装载的燃料质量,M (单位:吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).(1)某单级火箭自身的质量为50吨,发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时,求该单级火箭的最大速度(精确到0.1);(2)根据现在的科学水平,通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒,判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒,请说明理由.(参考数据:无理数e =2.718 28…,ln 3≈1.10)期末质量检测1.解析:集合U ={1,2,3,4,5},S ={1,4,5},T ={2,3,4},所以∁U T ={1,5},所以S ∩(∁U T )={1,5}.故选A. 答案:A2.解析:sin 330°=sin (360°-30°)=sin (-30°)=-sin 30°=-12,故选C.答案:C3.解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p :∀x >0,2x>log 2x ,则命题p 的否定为“∃x >0,2x≤log 2x ”,故选B.答案:B4.解析:根据题意,雨水是冬至后的第四个节气,故从冬至到雨水对应地球在黄道上运行了4×15°=60°.故选D.答案:D5.解析:因为终边经过点(-2,a ),且α=120°, 所以tan 120°=a-2=-3,解得a =23,故选C. 答案:C6.解析:因为0<a =log 54<log 55=1,b =log 20.5<0,c =60.7>1,所以b <a <c .故选D.答案:D7.解析:函数的定义域为{x |x ≠0},f (-x )=ln |-x |e -x -e x =-ln |x |e x -e-x =-f (x ),则函数f (x )是奇函数,图象关于原点对称,排除D ,f (1)=0,排除A ,B ,故选C.答案:C8.解析:第322天时,322除33余25, 322除28余14,322除23余0,即智力曲线I 位于2533周期处,情绪曲线E 位于12周期处,体力曲线P 刚好位于起始点处,A 项,2533>34则智力曲线I 不处于最低点,故A 错误;B 项,情绪曲线E 处于最高点,即将开始下降,故B 错误;C 项,经过n 个周期后,因为周期不同,所以智力曲线I 与情绪曲线E 不一定相交,故C 错误;D 项,(322, 0)位于体力曲线P 和情绪曲线E 的交点x 轴上,故D 正确,故选D.答案:D9.解析:对于A ,若a ,b 为正实数,a ≠b ,∵a 3+b 3-(a 2b +ab 2)=(a -b )2(a +b )>0,∴a 3+b 3>a 2b +ab 2,故A 正确;对于B ,若a ,b ,m 为正实数,a <b ,a +m b +m -a b =m (b -a )b (b +m )>0,则a +m b +m >a b ,故B 错误;对于C ,若1a <1b ,则1a-1b =b -a ab <0,不能推出a >b >0,而当a >b >0时,有b -a <0,ab >0,所以b -a ab <0成立,即1a <1b,所以“a >b >0”是“1a <1b ”的充分不必要条件,故C 正确;对于D ,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,0<sinx <1,sin x +2sin x ≥2sin x ×2sin x=22,当且仅当sin x =2∉(0,1)时取等号,故D 不正确.故选AC.答案:AC10.解析:因为α为第二象限角, sin α>0,cos α<0,tan α<0所以A ,B 正确,D 不正确;当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π4时,sin α+cos α>0,当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,π时,sin α+cos α<0,所以C 不一定正确.故选AB.答案:AB11.解析:对于A ,若y =f (x )既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f (x )=0,但不一定x ∈R ,只要定义域关于原点对称即可,故A 错误;对于B ,函数y =1x的减区间为(-∞,0),(0,+∞),但函数y =1x在定义域内不是减函数,故B 错误;对于C ,若一个函数是周期函数,那么它不一定有最小正周期,例如常数函数f (x )=1是周期函数,但无最小正周期,故C 错误;对于D ,函数f (x )=eln x定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞),函数g (x )=1x定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞),故D 正确.故选ABC.答案:ABC 12.解析:f (x )=1-cos 2x 2+1-cos (2x +2α)2+1-cos (2x +2β)2=32-12cos 2x ·(1+cos 2α+cos 2β)-sin 2x ·(sin 2β+sin 2α),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α+cos 2β=-1sin 2β+sin 2α=0,两式平方相加可得cos (2α-2β)=-12,所以f (x )=32,2α-2β=2π3+2k π或-2π3+2k π,k ∈Z .当α=π3,β=2π3时,2α-2β=-2π3符合题意,故选项A ,D 正确,B ,C 错误.故选AD.答案:AD13.解析:已知弧长为π3 cm 的弧所对圆心角为π6,因为α=l r, 所以r =l α=π3π6=2.答案:214.解析:f (0)=20+2=3,f (f (0))=f (3)=log a 2=2,即a 2=2,又a >0,且a ≠1,所以a = 2. 答案: 215.解析:当a >1时,函数f (x )=log a x 是正实数集上的增函数,而函数f (x )=log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,4上的最大值为2,因此有f (4)=log a 4=2⇒a =2,所以m =log 212=-1,此时g (x )=x 在[0,+∞)上是增函数,符合题意,因此a +m =2-1=1;当0<a <1时,函数f (x )=log a x 是正实数集上的减函数,而函数f (x )=log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,4上的最大值为2,因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=log a 12=2⇒a =22,所以m =log 224=-4,此时g (x )=-5x 在[0,+∞)上是减函数,不符合题意.答案:116.解析:因为f (x )=cos φsin x +(sin φ+1)cos x =cos 2φ+(sin φ+1)2sin (x +θ),所以cos 2φ+(sin φ+1)2=2,解得sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=π2.答案:π217.解析:(1)由题意,log 32x=1,得2x=3, 得2x +2-x=3+13=103.(2)cos (α-3π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin 2α=-cos αsin α2sin αcos α=-12.18.解析:(1)由题意,-5,1是方程x 2+4mx -5m 2=0的两根, 由韦达定理得:⎩⎪⎨⎪⎧-4m =-4-5m 2=-5,解得m =1,经检验符合条件.(2)由题意,A ={x |-1<x <4},A ⊆B , 因为m >0,则B ={x |-5m <x <m },由A ⊆B 得,⎩⎪⎨⎪⎧-5m ≤-1m ≥4,解得m ≥4.所以实数m 的取值范围是[4,+∞). 19.解析:(1)方案一:选条件① ∵f (x )的最小正周期为π, ∴T =2πω=π,∴ω=2.又f (x )是偶函数,∴sin (2x +φ)=sin (-2x +φ)恒成立, ∴sin 2x cos φ=0恒成立, ∴cos φ=0, ∴φ=k π+π2,k ∈Z .又0<φ<π, ∴φ=π2.(2)由(1)知,f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=2cos 2x , 将y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到y =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象.再将横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到g (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3的图象. 由2k π≤x 2-π3≤2k π+π,k ∈Z .当k =0时,2π3≤x ≤8π3.∵0≤x ≤π,∴2π3≤x ≤π, ∴g (x )在[0,π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,π.方案二:选条件②(1)∵函数f (x )图象上相邻两个最高点之间的距离为π,∴T =2πω=π,∴ω=2又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4+φ=0,即cos φ=0∴φ=k π+π2,k ∈Z .又0<φ<π,∴φ=π2.(2)同方案一(2)方案三:选条件③(1)∵x =0与x =π2是f (x )图象上相邻的两条对称轴,∴T 2=π2,即T =2πω=π.∴ω=2又f (0)=2sin φ=2∴sin φ=1,∴φ=2k π+π2,k ∈Z .又0<φ<π,∴φ=π2.(2)同方案一(2).20.解析:∵cos α=-45,π2<α<π,∴sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-452=35,∴tan α=sin αcos α=35-45=-34; (1)5sin (π+α)-4tan (3π-α)=-5sin α+4tan α=-5×35+4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-34=-6; (2)∵0<β<π2,π2<α<π, ∴-π<β-α<0,又∵cos (β-α)=55, ∴sin (β-α)=-1-cos 2(β-α)=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫552=-255, ∴cos β=cos [(β-α)+α]=cos (β-α)cos α-sin (β-α)sin α=55×⎝ ⎛⎭⎪⎫-45-⎝ ⎛⎭⎪⎫-255×35=2525, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2β=cos 2β=2cos 2β-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫25252-1=-117125. 21.解析:(1)∵f (1)+f (-1)=0,∴ln 2-m 3+ln (2+m )=ln 4-m 23=0, ∴m 2=1,又m >0,∴m =1, ∴f (x )=ln 2-x 2+x. 由2-x 2+x >0,解得-2<x <2, ∴f (x )的定义域为(-2,2).令g (x )=2-x 2+x =-1+42+x. 任取x 1,x 2∈(-2,2),且x 1<x 2,则g (x 1)-g (x 2)=42+x 1-42+x 2=4(x 2-x 1)(2+x 1)(2+x 2). x 2-x 1>0,2+x 1>0,2+x 2>0,∴g (x 1)-g (x 2)>0,即g (x 1)>g (x 2),又y =ln x 在(0,+∞)上是增函数,由复合函数的单调性知:f (x )在(-2,2)上是减函数.(2)∵f (-x )=ln 2+x2-x =-ln 2-x2+x =-f (x ),∴原不等式可化为2f (x )<-ln 9,即f (x )<ln 13=f (1).由(1)知,f (x )是减函数,∴x >1.又f (x )的定义域为(-2,2),∴x 的取值集合为{x |1<x <2}.22.解析:(1)∵W =3,M =50,m =100,∴v =W ln m +M M =3×ln 100+5050=3ln 3≈3.3,∴该单级火箭的最大速度为3.3千米/秒.(2)∵m M ≤9,W =2,∴m +M M =m M +1≤10.∴v =W ln m +M M ≤2ln 10.∵e 7.9>27.9>27=128>100,∴7.9=ln e 7.9>ln 100=2ln 10,∴v <7.9.∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒.。
【湘教版】高中数学必修一期末试题含答案(1)
一、选择题1.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R ,都有()()4f x f x +=,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根,至多有5个不同的实数根,则a的取值范围是( )A .⎡⎣B .()2,+∞C .()1,2D .(2.若对任意[]0,1m ∈,总存在唯一[]1,1x ∈-使得2e 0x m x a +-=成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[]1,eB .11,e e ⎛⎤+⎥⎝⎦C .(]0,e D .11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦3.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( ) A .6B .5C .4D .3 4.设()|lg |f x x =,且0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,则( ) A .(1)(1)0a c --> B .1ac >C .1ac =D .01ac <<5.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=,且当(1x ∈,3]时,4()log f x x =,则(2021)f =( )A .12B .0C .4log 3D .16.设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--,则()f x ( ) A .是偶函数,且在11(,)33-单调递增 B .是偶函数,且在1(,)3-∞-单调递增 C .是奇函数,且在11(,)33-单调递减 D .是奇函数,且在1(,)3-∞-单调递减7.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数,而函数()f x y x=在区间I 上是减函数,那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”,区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”,则()f x 的“缓增区间”I 为( )A .[)1,+∞B .[)2,+∞C .[]0,1D .[]1,28.已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是( ) A .5-B .7-C .5D .79.已知函数()f x 的定义域为R ,(1)f x -是奇函数,(1)f x +为偶函数,当11x -≤≤时,()13131x x f x +-=+,则以下各项中最小的是( )A .()2018fB .()2019fC .()2020fD .()2021f10.如图所示的韦恩图中,A 、B 是非空集合,定义*A B 表示阴影部分的集合,若x ,y ∈R ,2{|4}{|3,0}x A x y x x B y y x ==-==>,则A *B 为( )A .{|04}x x <≤B .{|01x x ≤≤或4}x >C .{|01x x ≤≤或2}x ≥D .{|01x x ≤≤或2}x >11.若集合{}2|560A x x x =-->,{}|21xB x =>,则()R C A B =( )A .{}|10x x -≤<B .{}|06x x <≤C .{}|20x x -≤<D .{}|03x x <≤12.设集合{}2110P x x ax =++>,{}2220P x x ax =++>,{}210Q x x x b =++>,{}2220Q x x x b =++>,其中a ,b ∈R 下列说法正确的是( )A .对任意a ,1P 是2P 的子集;对任意的b ,1Q 不是2Q 的子集B .对任意a ,1P 是2P 的子集;存在b ,使得1Q 是2Q 的子集C .存在a ,使得1P 不是2P 的子集;对任意的b ,1Q 不是2Q 的子集D .存在a ,使得1P 不是2P 的子集;存在b ,使得1Q 是2Q 的子集二、填空题13.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,()21,02413,224x x x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩,若关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦,a R ∈有且仅有8个不同实数根,则实数a 的取值范围是__________.14.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=+,且当01x ≤≤时,()3f x x x =+.若函数()()th x f x x=-在[)(]4,00,4-⋃上有4个不同的零点,则实数t的取值范围是_____________.15.已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减,则实数a 的取值范围为___________. 16.有以下结论:①将函数x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象; ②函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠),一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.17.已知函数()()1f x a =-[]0,2上是减函数,则实数a 的取值范围是_____.18.如果定义在区间[3+a ,5]上的函数f(x)为奇函数,那么a 的值为________. 19.已知非空集合{}|121A x m x m =+≤≤-,集合{}2|1030B x x x =+-≥,若A B =Φ,则实数m 的取值范围为__________20.若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =,且下列四个关系:(1)1a =;(2)1b ≠;(3)3c =;(4)4d ≠有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是___________.三、解答题21.对于函数()f x ,若在定义域内存在实数x ,满足()()f x f x -=-,则称()f x 为“局部奇函数”.(1)二次函数()224f x ax x a =-+(a R ∈且0a ≠).①若[)0,x ∀∈+∞,有()0f x >恒成立,求a 的取值范围; ②判断()f x 是否为“局部奇函数”?并说明理由;(2)若()1423x x g x m m +=-⋅+-为R 上的“局部奇函数”,求实数m 的取值范围.22.此前,美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令,禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品,否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效,迫于这一禁令的压力,很多家企业被迫停止向华为供货,对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要,某企业计划加大对芯片研发部的投入,据了解,该企业研发部原有100名技术人员,年人均投入a 万元,现把原有技术人员分成两部分:技术人员和研发人员,其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤),调整后研发人员的年人均投入增加4x %,技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入,求调整后的技术人员的人数最多多少人?(2)是否存在这样的实数m ,使得技术人员在已知范围内调整后,同时满足以下两个条件:①技术人员的年均投入始终不减少;②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,存在,求出m 的范围;若不存在,说明理由. 23.已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++-(1)记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域;(2)若对任意()0,2m ∈,[]0,1x ∈,都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,求实数a的取值范围.24.计算1132113321(4()40.1()ab a b ----⋅(其中0a >,0b >)25.(1)已知()()43f x x a =-+时,当实数a 为何值时,()f x 是偶函数? (2)已知()g x 是偶函数,且()g x 在[)0,+∞是增函数,如果当[]1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立,求实数a 的取值范围.26.已知集合{}02A x x =<<,{}1B x x a =<<-(1)若3a =-,求()R A B ⋃;(2)若AB B =,求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象,根据题意可得出关于实数a 的不等式组,由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】对任意x ∈R ,都有()()4f x f x +=,则函数()f x 是周期为4的周期函数,当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示:由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根,至多有5个不同的实数根,则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪+>⎨⎪>⎩,解得3212a ≤< 因此,实数a 的取值范围是312⎡⎣.故选:A. 【点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.2.B解析:B 【解析】分析:由m+x 2e x ﹣a=0成立,解得x 2e x =a ﹣m ,根据题意可得:a ﹣1≥(﹣1)2e ﹣1,且a ﹣0≤12×e 1,解出并且验证等号是否成立即可得出. 详解::由m+x 2e x ﹣a=0成立,得x 2e x =a ﹣m ,∴对任意的m ∈[0,1],总存在唯一的x ∈[﹣1,1],使得m+x 2e x ﹣a=0成立, ∴a ﹣1≥(﹣1)2e ﹣1,且a ﹣0≤12×e 1, 解得1+1e≤a≤e , 其中a=1+1e时,x 存在两个不同的实数,因此舍去, a 的取值范围是(1+1e,e]. 故选B .点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.3.C解析:C 【分析】设这种放射性物质最初的质量为1,经过x ()x N ∈年后,剩留量是y ,则有1()4xy =,然后根据物质的剩留量不超过原来的1%,建立不等关系,利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】设这种放射性物质最初的质量为1,经过x ()x N ∈年后,剩留量是y , 则有1()4xy =, 依题意得11()4100x≤,整理得22100x ≥, 解得4x ≥,所以至少需要的年数是4, 故选C. 【点睛】该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题,在解题的过程中,注意根据条件,列出相应的关系式,之后将其转化为指数不等式,结合指数函数的性质,求得结果,属于简单题目.4.D解析:D 【分析】作出()f x 的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】∵函数()|lg |f x x =,作出()f x 的图象如图所示,∵0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,∴0<a <1,c >1,即f (a )=|lga |=﹣lga ,f (c )=|lgc |=lgc ,∵f (a )>f (c ), ∴﹣lga >lgc ,则lga +lgc =lgac <0,则01ac <<. 故选:D .【点睛】关键点点睛:利用对数函数的图象和性质,根据条件确定a ,c 的取值范围.5.A解析:A 【分析】根据题意,由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数,则有(2021)f f =(2),结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意,定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=,则()f x 是周期为3的周期函数,则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=,又由当(1x ∈,3]时,4()log f x x =,则f (2)41log 22==, 故1(2021)2f =, 故选:A. 【点睛】关键点点睛:根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ,再利用函数解析式求值是解题关键.6.D解析:D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性,然后判断单调性,排除错误选项得正确结论. 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±,()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,()f x 是奇函数,排除AB ,312()lnln 13131x f x x x +==+--,11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,2310x -<-<,2231x <--,即21031x +<-,而131u x =-是减函数,∴2131v x =+-是增函数,∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,排除C .只有D 可选. 故选:D . 【点睛】结论点睛:本题考查函数的单调性与奇偶性,判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项,掌握复合函数的单调性是解题关键.()y f x =与()y f x =-的单调性相反, 在()f x 恒为正或恒为负时,()y f x =与1()y f x =的单调性相反,若()0f x <,则()y f x =与()y f x =的单调性相反.0a >时,()y af x =与()y f x =的单调性相同.7.D解析:D 【分析】 求得()42f x x x x=+-,利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间,并求出函数()f x 的单调递增区间,取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知,函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-,则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数,在区间[)2,+∞上为增函数,下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >,即122x x >≥,()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=,122x x >≥,则120x x ->,124x x >,所以,()()12g x g x >,所以,函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数,同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此,()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查函数的新定义,求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义,结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.8.A解析:A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+,()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=,()5275f -=-=-,故选A. 9.D解析:D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=,进而得到(8)()f x f x +=,即周期为8,应用周期性结合已知区间解析式,即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数,即(1)f x -关于(0,0)对称,()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称,即(2)()0f x f x --+=.又)1(f x +为偶函数,即(1)f x +关于0x =对称,()f x ∴的图象关于直线1x =对称,即(2)()f x f x -=.(2)(2)0f x f x --+-=,(2)(2)0f x f x ∴-++=,即(8)()f x f x +=,函数()y f x =的周期为8, (2018)(2)(0)1f f f ∴===,(2019)(3)(1)0f f f ==-=,(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-,(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-,故(2021)f 最小.故选:D 【点睛】本题考查了函数的性质,根据已知奇偶性推导函数的周期,应用函数周期求函数值,进而比较大小,属于基础题.10.B解析:B 【分析】弄清新定义的集合与我们所学知识的联系:所求的集合是指将A B ⋃除去A B ⋂后剩余的元素所构成的集合.再利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A ,B ,代入可得答案. 【详解】依据定义,*A B 就是指将A B ⋃除去A B ⋂后剩余的元素所构成的集合;对于集合A ,求的是函数y 解得:{|04}A x x =≤≤;对于集合B ,求的是函数3(0)xy x =>的值域,解得{}1B y y =;依据定义,借助数轴得:*{|01A B x x =≤≤或4}x >. 故选:B . 【点睛】本小题考查数形结合的思想,考查集合交并运算的知识,借助数轴保证集合运算的准确性,属于中档题.11.B解析:B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >,{}|0B x x =>,根据集合运算,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >,{}{}|21|0x B x x x =>=>,则{}|16R C A x x =-≤≤,所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中正确求解集合,A B ,结合集合的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.B解析:B 【分析】先证得1P 是2P 的子集,然后求得b 使1Q 是2Q 的子集,由此确定正确选项.【详解】对于1P 和2P ,由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>,所以1P 的元素,一定是2P 的元素,故对任意a ,1P 是2P 的子集;对于1Q 和2Q ,根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩,即1b >时,12Q Q R ==,满足1Q 是2Q 的子集,也即存在b ,使得1Q 是2Q 的子集. 故选: B. 【点睛】方法点睛:该题主要考查子集的判断,解题方法如下:(1)利用子集的概念,可以判断出1P 的元素,一定是2P 的元素,得到对任意a ,1P 是2P 的子集;(2)利用R 是R 的子集,结合判别式的符号,存在实数1b >时,有12Q Q R ==,得到结果.二、填空题13.【分析】判断出函数的单调性求出函数的最值可得要使关于的方程有且仅有个不同实数根转化为的两根均在区间由二次函数的零点分布列出不等式组解得即可【详解】当时递减当时递增由于函数是定义域为的偶函数则函数在和解析:716,49⎛⎫⎪⎝⎭【分析】判断出函数()y f x =的单调性,求出函数的最值,可得要使关于x 的方程()()27016a f x af x ++=⎡⎤⎣⎦,a R ∈有且仅有8个不同实数根,转化为27016a t at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由二次函数的零点分布列出不等式组,解得即可. 【详解】当02x ≤≤时,214y x =-递减,当2x >时,1324xy ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭递增,由于函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,则函数()y f x =在(),2-∞-和()0,2上递减,在()2,0-和()2,+∞上递增,当0x =时,函数()y f x =取得最大值0;当2x =±时,函数()y f x =取得最小值1-.当02x ≤≤时,[]211,04y x =-∈-;当2x >时,1331,244xy ⎛⎫⎛⎫=--∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要使关于x 的方程()()27016af x af x ++=⎡⎤⎣⎦,a R ∈,有且仅有8个不同实数根,设()t f x =,则27016at at ++=的两根均在区间31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则有2704312471016937016416a a a a a a a ⎧∆=->⎪⎪⎪-<-<-⎪⎨⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎩,即为70432216995a a a a a ⎧><⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<⎪⎪⎪<⎩或,解得71649a <<.因此,实数a 的取值范围是716,49⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:716,49⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用,主要考查方程与函数的零点的关系,掌握二次函数的零点分布是解题的关键,属于中档题.14.【分析】推导出函数的周期和对称轴方程并作出函数在上的图象数形结合可得出关于的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】由得:所以函数的周期为由得所以函数关于直线对称所以函数在上单调递增在上的图象如下:函 解析:()6,2-【分析】推导出函数()y f x =的周期和对称轴方程,并作出函数()y f x =在[]4,4-上的图象,数形结合可得出关于t 的不等式,进而可求得实数t 的取值范围. 【详解】 由()()()()2f x f x f x f x ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩得:()()4f x f x +=,所以,函数()y f x =的周期为4,由()()2f x f x -=+得()()11f x f x -=+,所以,函数()y f x =关于直线1x =对称,()3f x x x =+,[]0,1x ∈,()2310f x x '=+>,所以,函数()y f x =在[]0,1x ∈上单调递增,()y f x =在[]4,4x ∈-上的图象如下:函数()()t h x f x x =-的零点,即()y f x =与()tg x x=的图象的交点. ①当0t >时,要有四个交点,则需满足()()11g f <,即2t <,此时02t <<; ②当0t <时,要有四个交点,则需满足()()33g f >,即23t>-,即60t -<<; ③当0t =时,()0g x =,即()y f x =在[)(]4,00,4-⋃上的零点,有4个,分别是4x =-、2-、2、4,满足题意.综上:()6,2t ∈-. 故答案为:()6,2-. 【点睛】本题利用函数的零点个数求参数,一般转化为两个函数的交点个数,考查分类讨论思想与数形结合思想的应用,属于中等题.15.【分析】由复合函数的单调性:同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为:【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析:3(1,]2【分析】由复合函数的单调性:同增异减,由于3u ax =-递减,因此log a y u =必须递增,即有1a >,还要考虑函数定义域,即在(1,2)x ∈时,30ax ->恒成立.【详解】∵0a >,∴3u ax =-是减函数,又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数,所以1a >, 且320a -≥,∴312a <≤. 故答案为:3(1,]2.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性,掌握复合函数单调性是解题关键,同时要考虑函数的定义域.16.②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项;②根据指对函数的对称性直接判断;③根据指数函数的图象特点判断选项;④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析:②③④ 【分析】①根据图象的平移规律,直接判断选项;②根据指对函数的对称性,直接判断;③根据指数函数的图象特点,判断选项;④先求22x x -+的范围,再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象,所以①不正确;②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称,正确;③如下图,设1a >,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标,()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标,由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,同理,当01a <<时,结论一样,故③正确;④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=,所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方,故④正确. 故答案为:②③④ 【点睛】思路点睛:1.图象平移规律是“左+右-”,相对于自变量x 来说,2.本题不易判断的就是③,首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义,再结合图象判断正误.17.【分析】根据f (x )定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论:①1<a≤2时满足条件;②a=1时不合题意;③0<a <1时不合题意;④a=0时不合题意;⑤a <0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析:012a a <<≤或【分析】根据f (x )定义在[0,2]上,且4﹣ax≥0,即可得出a≤2,然后讨论:①1<a≤2时,满足条件;②a=1时,不合题意;③0<a <1时,不合题意;④a=0时,不合题意;⑤a <0时,满足条件,这样即可求出实数a 的取值范围. 【详解】∵f (x )定义在[0,2]上;∴a >2时,x=2时,4﹣ax <0,不满足4﹣ax≥0; ∴a≤2;①1<a≤2时,a ﹣1>0;∴()(1f x a =-[0,2]上是减函数; ②a=1时,f (x )=0,不满足在[0,2]上是减函数; ∴a≠1;③0<a <1时,a ﹣1<0; ∵[0,2]上是减函数;∴()(1f x a =-[0,2]上是增函数; ∴0<a <1不合题意;④a=0时,f (x )=﹣2,不满足在[0,2]上是减函数; ∴a≠0;⑤a <0时,a ﹣1<0;[0,2]上是增函数;∴()(1f x a =-[0,2]上是减函数; ∴综上得,实数a 的取值范围为012a a <<≤或. 故答案为012a a <<≤或. 【点睛】考查函数定义域的概念,函数单调性的定义及判断.18.-8【解析】∵f(x)定义域为3+a5且为奇函数∴3+a =-5∴a =-8点睛:利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值:利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值:在定义域关于解析:-8 【解析】∵f(x)定义域为[3+a ,5],且为奇函数, ∴3+a =-5,∴a =-8.点睛:利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值:利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值,进而得解.(2)求参数值:在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)列等式,根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是:若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0)=0列式求解,若不能确定则不可用此法.19.或【分析】化简集合对集合是否为空集分类讨论若满足题意若根据条件确定集合的端点位置即可求解【详解】由得若满足题意;若可得或解得或;综上:或故答案为:或【点睛】本题考查集合间的运算不要遗漏空集情况属于中解析:4m >或2m < 【分析】化简集合B ,对集合A 是否为空集分类讨论,若A =∅满足题意,若A =∅,根据条件确定集合A 的端点位置,即可求解. 【详解】由21030x x +-≥得25,[2,5]x B -≤≤∴=-, 若,121,2A m m m =∅+>-<,满足题意; 若,A AB ≠∅=∅,可得12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩,解得4m >或m ∈∅; 综上:4m >或2m <. 故答案为:4m >或2m < 【点睛】本题考查集合间的运算,不要遗漏空集情况,属于中档题.20.6【分析】利用集合的相等关系结合(1);(2);(3);(4)有且只有一个是正确的通过分析推理即可得出结论【详解】若(1)正确则(2)也正确不合题意;若(2)正确则(1)(3)(4)不正确即则满足条解析:6 【分析】利用集合的相等关系,结合(1)1a =;(2)1b ≠;(3)3c =;(4)4d ≠有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】若(1)正确,则(2)也正确不合题意;若(2)正确,则(1)(3)(4)不正确,即1,1,3,4a b c d ≠≠≠=, 则满足条件的有序组为: 2,3,1,4a b c d ====;或3,2,1,4a b c d ====; 若(3)正确,则(1)(2)(4)不正确,即1,1,3,4a b c d ≠===, 则满足条件的有序组为: 2,1,3,4a b c d ====;若(4)正确,则(1)(2)(3)不正确,即1,1,3,4a b c d ≠=≠≠, 则满足条件的有序组为: 2,1,4,3a b c d ====或3,1,4,2a b c d ====或4,1,2,3a b c d ====, 所以符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为6 【点睛】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题.三、解答题21.(1)①1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;②()f x 不是“局部奇函数”,答案见解析;(2)[)2,-+∞. 【分析】(1)①由()00f >可得0a >;由0x >且()0f x >结合参变量分离法可得出24a x x>+,利用基本不等式求得24x x +的最大值,由此可得出实数a 的取值范围; ②利用“局部奇函数”的定义得出240ax a +=,判断该方程是否有解即可得出结论;(2)利用“局部奇函数”的定义可得出4462221x x x x m --+-=+-,换元222x x t -=+≥,求得函数281t y t -=-在区间[)2,+∞上的值域,由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】(1)①由题意可得()040f a =>,解得0a >; 当0x >时,由()0f x >,可得()242axx +>,则22244x a x x x>=++,由基本不等式可得2142x x≤=+,当且仅当2x =时,等号成立,12a ∴>.综上所述,实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭; ②若函数()224f x ax x a =-+为局部奇函数,则存在x ∈R 使得()()f x f x -=-,即()()222424a x x a ax x a ⋅-++=--+,可得出240ax a +=,0a ≠,240x +>,则等式240ax a +=不成立.因此,函数()f x 不是“局部奇函数”; (2)()14234223x x x x g x m m m m +=-⋅+-=-⋅+-为“局部奇函数”,则存在x ∈R 使得()()g x g x -=-,即()()0g x g x -+=,可得()()44222260xx x x m m --+-++-=,可得出()2221446x x x x m --+-=+-,4462221x x x xm --+-∴=+-,令222x x t -=+≥=,当且仅当0x =时,等号成立,则()2222442xx xxt --=+=++,()22178721111t t m t t t t ---∴===+----, 由于函数1y t =+和71y t =--在[)2,t ∈+∞上都为增函数,所以,函数711y t t =+--在[)2,t ∈+∞上为增函数,713741t t ∴+-≥-=--, 24m ∴≥-,解得2m ≥-. 因此,实数m 的取值范围是[)2,-+∞. 【点睛】求解二次方程在区间上有解的问题,一般利用分类讨论法与参变量分离法求解,利用分类讨论法求解时要分析二次函数的对称轴与定义域的位置关系,结合端点函数值符号以及判别式求解,本题利用参变量分离法得出2m 的取值范围即为函数711y t t =+--在区间[)2,+∞上值域问题,极大地简化了分析步骤.22.(1)75人;(2)存在,m 的范围为{7}. 【分析】(1)求出对应的100-x 名研发人员的年总投入,建立方程关系进行求解即可; (2)根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可. 【详解】(1)由题意得:(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>,解得75x ≤,所以调整后的技术人员的人数最多75人.(2)由技术人员年人均投入不减少得(ⅰ)2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,得2125x m ≥+, 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得(ⅱ)2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭,两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭,整理得100325x m x ≤++,故有2100132525x xm x +≤≤++,10033725x x ++≥=,当且仅当50x =时取等号,7m ∴≤,又因为4575x ≤≤,当75x =时,令2125xy =+取得最大值7,7m ∴≥,77m ∴≤≤,即存在这样的m 满足条件,其范围为{7}m ∈. 【点睛】本题考查了函数的应用问题,结合条件建立方程和不等式,利用参数分离法进行求解是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题. 23.(1)256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦;94a > 【分析】(1)由()()103f x g x x =+化简得()234g x x x =-++,再结合函数定义域和二次函数增减性即可求解;(2)2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,即2max ()lg 25f x m m a <--+,求得max()f x 再分离参数a ,得22a m m >-++,即()2max 2a m m >-++恒成立,求得()2max 2m m -++即可求解a 的取值范围. 【详解】(1)()()()()2()lg 2lg 2lg 4,2,2f x x x x x =++-=-∈-,则()()2()10343,2,2f x g x x x x x =+=-+∈-,()g x 对称轴为32x =,当32,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,()g x 单增,当3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()g x 单减,故()max 32524g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,当2x =-时,代入243x x -+得4466--=-,故()g x 的值域为256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦; (2)对任意()0,2m ∈,[]0,1x ∈,都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,即2max ()lg 25f x m m a <--+恒成立,当[]0,1x ∈时,()2()lg 4f x x=-单调递减,()()max02lg 2f x f ==,即22lg 2lg 25m m a <--+,化简得22a m m >-++恒成立,即()2max 2a m m >-++恒成立,当12m =时,()2max 11922424m m -++=-++=,即94a >【点睛】关键点睛:本题考查求复合函数的值域,由函数在定区间恒成立求参数取值范围,解题关键在于:(1)求复合函数值域除了正确化简表达式之外,还必须在定义域的基础之上求解对应最值;(2)恒成立问题求参数取值范围常采用分离参数法求解,关键在于能正确理解全称命题与存在命题的等价转化.24.85【分析】将小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】1113132211133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式13113322211()()(4)()410ab a b ----=原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查指数幂的运算,要熟练掌握基本的运算法则和运算性质,小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,更有利于运算. 25.(1)0a =;(2)62a -≤≤. 【分析】(1)当0a =时,由()43f x x =+判断,当0a ≠时,由()(),f a f a -的关系判断;(2)根据()g x 是偶函数,将()()6g x a g x +≤-,转化为 ()()6g x a g x +≤-,再根据()g x 在[)0,+∞是增函数,转化为[]1,2x ∈时,6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】(1)当0a =时,()43f x x =+是偶函数,当0a ≠时,a a ≠-,而()()()420f a f a a --=≠,()f x 不可能是偶函数,所以当0a =时,()f x 是偶函数;(2)由()g x 是偶函数知()()g x a g x a +=+,()()66g x g x -=-,且x a +,60x -≥,因为()g x 在[)0,+∞是增函数,及()()6g x a g x +≤-,所以当[]1,2x ∈时,6x a x +≤-恒成立, 即当[]1,2x ∈时,6x a x +≤-恒成立,即当[]1,2x ∈时,66x x a x -≤+≤-恒成立, 即当[]1,2x ∈时,662a x -≤≤-恒成立,所以62a -≤≤. 【点睛】方法点睛:函数奇偶性与单调性求参数问题,当涉及到偶函数时,要利用()()()f x f x f x -==转化为求解.26.(1){2x x <或3x ≥};(2)[)2-+∞,. 【分析】(1)3a =-时,先计算B R ,再进行并集运算即可; (2)先利用交集结果判断B A ⊆,再讨论B 是否空集使其满足子集关系,列式计算即得结果.【详解】(1)因为3a =-,所以{}13B x x =<<,=B R {1x x ≤或3x ≥}, 故()=⋃R A B {2x x <或3x ≥};(2)因为AB B =,所以B A ⊆. 若B =∅,则1a -≤,解得1a ≥-;若B ≠∅,则12a a ->⎧⎨-≤⎩,解得21a -≤<-. 综上所述,a 的取值范围为[)2-+∞,. 【点睛】易错点睛:已知B A ⊆求参数范围时,需讨论集合B 是否是空集,因为空集是任意集合的子集,直接满足B A ⊆.。
湖南省高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、单选题1.已知集合,则 {}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤M N ⋂=A . B . C . D .{}1,0,1,2,3-{}1,0,1-{}1,2{}1,2,3【答案】C【解析】根据交集的定义,找出集合M,N 的公共元素即可.【详解】因为集合 ,所以 ,故选C. {}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤{}1,2M N = 【点睛】本题考查集合的表示方法,交集的定义与运算,属于基础题. 2.已知命题,则命题的否定为( ):,21x p x x ∃∈≤+N p A . B . C . D . ,21x x x ∃∈>+N ,21x x x ∃∈≥+N ,21x x x ∀∈≤+N ,21x x x ∀∈>+N 【答案】D【分析】由特称(存在)量词命题的否定是全称量词命题直接可得. 【详解】由特称(存在)量词命题的否定是全称量词命题直接可得: 命题的否定为:. :,21x p x x ∃∈≤+N ,21x x x ∀∈>+N 故选:D3.若 且,则的终边在sin 0α>t an 0α<2αA .第一象限B .第二象限C .第一象限或第三象限D .第三象限或第四象限【答案】C【详解】由 且,知为二象限角,即.sin 0α>tan 0α<α2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭则, ,,242k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭当为偶数时,的终边在第一象限;k 2α当为奇数时,的终边在第三象限.k 2α故选C.4.设,且,则( )()35f x ax bx =+-()77f -=()7f =A . B .7 C .17 D .7-17-【分析】根据f (x )=ax 3+bx -5,可得g (x )=f (x )+5=ax 3+bx 为奇函数,根据f (-7)=7,求出g (-7)的值,再根据奇函数的性质,求出g (7)的值,进而得到f (7)的值. 【详解】令g (x )=f (x )+5=ax 3+bx ,∵g (-x )=a (-x )3+b (-x )=-ax 3-bx =-g (x ),∴g (x )为奇函数, ∵f (-7)=7,∴g (-7)=f (-7)+5=12, 又∵g (-7)=-g (7),∴g (7)=-12, 又∵g (7)=f (7)+5,∴f (7)=-17, 故选:D .5.设,,,则( )0.21(a e -=lg 2b =6cos π5c =A . B . a c b <<c<a<b C . D .b<c<a c b a <<【答案】D【分析】由指数函数的性质求得,由对数函数的性质求得,由三角函数的诱导公式,1a >(0,1)b ∈可得,即可得到答案.0c <【详解】由题意,根据指数函数的性质,可得,0.20111()()e e a ->==由对数函数的性质,可得且,即, lg 2lg101b =<=0b >(0,1)b ∈由三角函数的诱导公式,可得, 6cos cos(cos 0555c ππππ==+=-<所以. c b a <<故选:D.6.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是( ) (12)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩(,)-∞+∞a A .B .12[,2312()23,C .D .12(23,12[,)23【答案】C【分析】分段函数在R 上单调递减,即:各段上都单调递减且分界点在左边解析式的函数值大于等于分界点在右边解析式的函数值.【详解】由题意,120120123121a a a a a-<⎧⎪<<⇒<≤⎨⎪-+≥⎩7.鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病,养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂,已知该药剂融于水后每立方的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定,每立方的水中含药量不少于0.25毫克时,才能起到灭杀寄生虫的效果,则投放该杀虫剂的有效时间为( )A .4小时B .小时 C .小时 D .5小时71167916【答案】C【分析】分和两种情况令,解不等式得到的范围即可得到杀虫剂的有效时间. 01t <≤1t >14y ³t 【详解】由题图可知,34,011,12t t t y t -<≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩当时,令,即,解得;01t <≤14y ³144t ≥1116t ≤≤当时,令,即,解得, 1t >14y ³31124t -⎛⎫⎪≥⎝⎭15t <≤所以投放该杀虫剂的有效时间为小时. 17951616-=故选:C.8.已知函数y =f (x )的表达式为f (x )=|log 2x |,若0<m <n 且f (m )=f (n ),则2m +n 的取值范围为( )A .B .C .D . ()1,+∞[)1,+∞()+∞)∞⎡+⎣【答案】D【分析】根据函数的解析式和的取值范围可求出mn =1,从而利用基本不等式即可求出2m +n ,m n 的取值范围.【详解】因为f (x )=|log 2x |,0<m <n 且f (m )=f (n ), 所以,即,所以mn =1. 22log log m n =22log log m n -=∴2m +n ≥2m =n ,即时等号成立. m n ==故2m +n 的取值范围为. )⎡+∞⎣故选:D .二、多选题9.设、、为实数且,则下列不等式一定成立的是( ) a b c a b >A .B .11a b>ln ln a b >C . D .()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取,可判断A 选项;利用对数函数的基本性质可判断B 选项;利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项;利用不等式的基本性质可判断D 选项. 【详解】对于A ,若,则,所以A 错误; 0a b >>11a b<对于B ,函数的定义域为,而、不一定是正数,所以B 错误; ln y x =()0,∞+a b 对于C ,因为,所以,所以C 正确;0a b ->()20221a b ->对于D ,因为,所以,所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选:CD10.已知函数,则下列关于的判断正确的是( )()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x A .在区间上单调递增 B .最小正周期是,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭πC .图象关于直线成轴对称D .图象关于点成中心对称 6x π=,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】逐个选项进行验证,结合正切型函数的性质进行判断可得.【详解】对于选项A ,时,,此时为增函数;,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4,323x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于选项B ,的最小正周期为; ()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T ωπ==π对于选项C ,因为,,所以图象不是关于直线成轴对称;(0)(3f f π==(0)()3f f π≠6x π=对于选项D ,令,,得,令得,所以图象关于点成中32k x ππ+=Z k ∈23k x ππ=-1k =6x π=,06π⎛⎫⎪⎝⎭故选:ABD.【点睛】本题主要考查正切型函数的性质,熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.11.下列结论中正确的有( )A .若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是 x ∃∈R 240x x m ++=m ()4,+∞B .若,则“”的充要条件是“” ,,a b c ∈R 22ab cb >a c >C .“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<D .当时,的最小值为0x >2x x+【答案】ACD【分析】转化为,,计算,可得出的范围,即可判断A 项;x ∀∈R 240x x m ++≠2440m ∆=-<m 根据不等式的性质,可判断B 项;求出的等价条件为或,即可判断C 项;根据基本11a<1a >a<0不等式,即可判断D 项.【详解】对于A 项,等价于,,则,解得,故A 项正x ∀∈R 240x x m ++≠2440m ∆=-<4m >确;对于B 项,因为,显然,,所以;因为,若,则,22ab cb >20b >210b>a c >a c >0b =22ab cb =故B 项不正确; 对于C 项,,所以等价于,即,所以或.显然“”111a a a--=11a <10aa -<()10a a ->1a >a<01a >是“或”的充分不必要条件,故C 项正确; 1a >a<0对于D 项,当时,,即时,等号成立,故D 项正0x >2x x+≥2x x=x =确.故选:ACD.12.已知函数若互不相等的实数满足,则()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩123,,x x x ()()()123f x f x f x ==的值可以是( ) 123x x x ++A . B .C .D .8-7-6-5-【答案】CD【分析】首先根据题意画出函数的图象,得到,,即可得到答案.230x x +=1(7,3]x ∈--【详解】函数的图象图所示:()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩设,因为, 123x x x <<()()()123f x f x f x ==所以,230x x +=当时,,时,, 2113x --=7x =-2115x --=-3x =-所以,即. 1(7,3]x ∈--1231(7,3]x x x x ++=∈--故选:CD三、填空题13.已知,则________. 71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 8πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】15-【分析】观察出,然后利用诱导公式求解即可. 788ππααπ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】因为,所以. 71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭771cos cos cos 8885πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为:15-【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式,较简单.14.函数的定义域为,则实数的取值范围是_______________.()2lg 243y kx kx =--+R k 【答案】3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据题意,将问题转化为恒成立问题,结合二次函数的性质即可得解. 22430kx kx --+>【详解】由题意可知,恒成立, 22430kx kx --+>当时,恒成立,0k =30>当时,,解得, 0k ≠20Δ16240k k k <⎧⎨=+<⎩302k -<<综上:,故的取值范围为. 302k -<≤k 3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为:.3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦15.已知x >0,y >0,且x +2y =xy ,若不等式x +2y >m 2 +2m 恒成立,则实数m 的取值范围为________. 【答案】.()4,2-【分析】利用基本不等式求出x +2y 的最小值,进而得出m 的范围. 【详解】∵x >0,y >0,x +2y =xy , ∴1, 21x y+=∴, 2142(2)(448x y x y x y x y y x +=++=++≥+=当且仅当,即时等号成立, 4x y y x=4,2x y ==∴的最小值为8, 2x y +由解得, 228m m +<42m -<<∴ 实数的取值范围是 m ()4,2-故答案为:. ()4,2-16.已知函数,,若的最大值为,最小值())22log 31x f x e =+++[]6,6x ∈-()f x M 为,则______. m M m +=【答案】8【分析】先对变形得,再构造函数()f x ())21log 41xxe f x e -=+++,判断为奇函数,从而由奇函数的性质可得答案 )21()log 1xxe g x e -=++()g x【详解】由题意可得,()))2221log 3log 411xx xe f x e e -=++=++++令,则, )1()log xe g x -=+()()4f xg x =+[]6,6x ∈-因为 )21()log 1xxe g x e ----=++21log +1x x e e -=121log )1xxe e --=-+21[log )]()1xxe g x e -=-+=-+所以为奇函数, )21()log 1xxe g x e ----=++所以在最大值与最小值之和为0, ()g x [6,6]-所以. 8M m +=故答案为:8【点睛】关键点点睛:此题考查函数奇偶性的应用,解决本题的关键是将函数变形,得到()f x后,判断函数为奇函数,())21log 41xxe f x e-=+++)21()log 1xxe g x e-=+++考查计算能力,属于中档题四、解答题17.已知全集,集合,.U =R {}2|120A x x x =--≤{}|132B x a x a =-≤≤-(1)当时,求;3a =A B ⋂(2)若,求实数的取值范围. A B A ⋃=a 【答案】(1) {}|24A B x x =≤≤ (2) (],2-∞【分析】(1)先解二次不等式化简集合,再根据集合的交集运算即可求得答案;A (2)根据题意得到,分类讨论和两种情况,列出关于的不等式组,解之即B A ⊆B =∅B ≠∅a 可.【详解】(1)由可得, 2120x x --≤34x -≤≤所以, {|34}A x x =-≤≤又当时,, 3a ={|27}B x x =≤≤所以.{|24}A B x x ⋂=≤≤当时,,可得; B =∅321a a -<-12a <当时,,可得;B ≠∅32113324a a a a -≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩122a ≤≤综上:,即的取值范围为.2a ≤a (],2-∞18.已知函数.()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期和单调递减区间.()f x (2)若,求的值域.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1); ,.(2)T π=37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 2⎡⎤⎣⎦【解析】(1)由得到最小正周期,由,,得到的单2T πω=3222242k x k πππππ+≤-≤+k ∈Z ()f x 调递减区间;(2)由得到,从而得到的值域.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32444x πππ-≤-≤()f x 【详解】(1)函数,()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为, 22T ππ==由,, 3222242k x k πππππ+≤-≤+k ∈Z 得,,37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈k ∈Z 所以的单调递减区间为,. ()f x 37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2)因为,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,32444x πππ-≤-≤所以,sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭, ()2sin 24f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭即的值域为.()f x 2⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查求正弦型函数的周期,单调区间和值域,属于简单题. 19.已知函数为奇函数,. ()221x f x a =-+R a ∈(1)求的值;a(2)若恒成立,求实数的取值范围.()()2240f x x f x k -++--<k 【答案】(1) 1a =(2) ()2,+∞【分析】(1)根据得,再检验即可;()00f =1a =(2)先证明函数在上是增函数,再根据奇偶性得恒成立,再结合二次函数性()f x R 224x x k -+<质求解即可.【详解】(1)解:∵函数是定义在上的奇函数, ()f x R ∴,即,解得; ()00f =02021a -=+1a =∴, ()22112121x x x f x -=-=++∴,满足奇函数定义,()()21221112x xx x f x f x ----===-++-∴1a =(2)解:设是上的任意两个值,且,12,x x R 12x x <∴, ()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++∵,12x x <∴,,,, 1222x x <1211x +>2211x +>12220x x -<∴,即, ()()120f x f x -<()()12f x f x <∴在上是增函数;()f x R ∵ ()()2240f x x f x k -++--<∴,()()224f x x f x k -+<---∵为奇函数,()f x ∴,()()224f x x f x k -+<+∵为上单调递增函数,()f x R ∴,即恒成立,224x x x k -+<+224x x k -+<∴,()2max 24x x k -+<∵,()2224212x x x -+=--+∴当时,取得最大值为2,1x =224x x -+∴,即实数的取值范围为.2k >k ()2,+∞20.漳州市某研学基地,因地制宜划出一片区域,打造成“生态水果特色区”.经调研发现:某水果树的单株产量(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:W x ,且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场()2217,02()850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩2010x +售价大约为10元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).()f x (1)求函数的解析式;()f x (2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1);(2)3千克,最大利润是390元. 22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩【解析】(1)根据题意可以直接得到利润表达式;(2)根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.【详解】(1)由已知,()()10()2010f x W x x =-+∴, ()22017(2010),02()80500(2010),251x x x f x x x x ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩∴. 22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩(2)由(1)得当时,, 02x ≤≤221()2020330203252f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当时,;02x ≤≤()()2370f x f ≤=当时, 25x <≤8080()4902049020(1)2011f x x x x x ⎡⎤=--=-+-+⎢⎥--⎣⎦ 8047020(1)1x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦,470390≤-=当且仅当时,即时等号成立, ()802011x x =--3x =∵,∴当时,,370390<3x =max ()390f x =即当施用肥料为3千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是390元.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.21.已知函数的图象恒过定点,且点又在函数的()()()2110x g x a a -=++>A A ())f x x a =+图象上.(1)求实数的值并解不等式;a ()f x a <(2)函数的图象与直线有两个不同的交点时,求的取值范围.()()22h x g x =+-2y b =b 【答案】(1),不等式的解集为 1a =()1,0-(2) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)由指数函数的性质可求得定点,再将定点代入即可求得,再解()()f x x a =+a 不等式即可求得结果.()f x a <(2)由(1)求得,再求得的解析式,画出图像,由图像可得的取值范围.()g x ()h x b 【详解】(1)函数的图象恒过定点,当时,即,()g x A 20x -=2,2x y ==∴点的坐标为,又点在上,A ()2,2A ()f x ∴,解得,()()222f a =+=1a =,∴,∴,∴,()f x a <()10x +<=011x <+<10x -<<∴不等式的解集为;()1,0-(2)由(1)知,∴,()()221x g x g x -==+()()22212x h x g x b =+-=-=分别画出与的图象,如图所示:()y h x =2y b =由图象可知:,故的取值范围为. 021b <<b 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22.已知函数.2()21f x ax x =-+(Ⅰ)当时,求在区间上的值域; 34a =()f x [1,2](Ⅱ)当时,是否存在这样的实数a ,使方程在区间内有且只有一个根?12a ≤2()log 04x f x -=[1,2]若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在,. 1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102a <≤【解析】(Ⅰ)先把代入解析式,再求对称轴,进而得到函数的单调性,即可求出值域; 34a =(Ⅱ)函数在区间内有且只有一个零点,转化为函数和2()log 4x y f x =-[]1,22()log h x x =的图象在内有唯一交点,根据中是否为零,分类讨论,结合函数的性2()23g x ax x =-+[]1,2()g x a 质,即可求解.【详解】(Ⅰ)当时,, 34a =23()214f x x x =-+对称轴为:, 43x =所以函数在区间单调递减,在区间单调递增; ()f x 41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦则, ()()()min max 41,2033f x f f x f ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭所以在区间上的值域为; ()f x [1,2]1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)由, 222()log 23log 4x y f x ax x x =-=-+-令,可得,0y =2223log 0ax x x -+-=即,2223log ax x x -+=令,,,2()23g x ax x =-+2()log h x x =[]1,2x ∈函数在区间内有且只有一个零点, 2()log 4x y f x =-[]1,2等价于两个函数与的图象在内有唯一交点;()g x ()h x []1,2①当时,在上递减,0a =()23g x x =-+[]1,2在上递增,2()log h x x =[]1,2而,()()()()1101,2112g h g h =>==-<=所以函数与的图象在内有唯一交点.()g x ()h x []1,2②当时,图象开口向下,a<0()g x 对称轴为, 10x a=<在上递减,()g x []1,2在上递增,2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点,()g x ()h x []1,2当且仅当, (1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即, 10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得, 112a -≤≤所以.10a -≤<③当时,图象开口向上, 102a <≤()g x 对称轴为, 12x a=≥在上递减,()g x []1,2在上递增,2()log h x x =[]1,2与的图象在内有唯一交点,()g x ()h x []1,2, (1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩即, 10411a a +≥⎧⎨-≤⎩解得, 112a -≤≤所以. 102a <≤综上,存在实数,使函数于在区间内有且只有一个点. 11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2()log 4x y f x =-[]1,2【点睛】关键点睛:本题主要考查了求一元二次函数的值域问题,以及函数与方程的综合应用,其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题,结合函数的性质求解是解答的关键,着重考查转化思想,以及推理与运算能力.。
2024年湖南省益阳市、湘潭市高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2024年湖南省益阳市、湘潭市高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在直角ABC ∆中,2C π∠=,4AB =,2AC =,若32AD AB =,则CD CB ⋅=( ) A .18-B .63-C .18D .632.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )A .12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B .12个月的PMI 值的平均值低于50%C .12个月的PMI 值的众数为49.4%D .12个月的PMI 值的中位数为50.3%3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且80S =,33a =-,则9S =( ) A .9B .12C .15-D .18-4.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω,||2ϕπ<),将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度,得到函数()g x 的部分图象如图所示,则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,已知3,1,30a b B ===,则A 为( )A .60B .120C .60或150D .60或1206.为得到的图象,只需要将的图象( )A .向左平移个单位B .向左平移个单位C .向右平移个单位D .向右平移个单位 7.抛物线的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足23AFB π∠=,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则MN AB的最大值是( )A 3B 3C 3D 38.已知函数()ln 2f x x ax =-,()242ln ax g x x x=-,若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根,则a 的取值范围为( ) A .(]0,eB .10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C .(),e +∞D .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭9.已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=,将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象,则函数()g x 的解析式为( ) A .()2sin(2)12g x x π=- B .()2sin(2)12g x x π=+C .()2sin(2)6g x x π=-D .()2sin(2)6g x x π=+10.已知实数0a b <<,则下列说法正确的是( ) A .c c a b> B .22ac bc < C .lna lnb <D .11()()22ab<11.已知椭圆C 的中心为原点O ,(25,0)F -为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足||||OP OF =且||4PF =,则椭圆C 的方程为( )A .221255x y +=B .2213616x y +=C .2213010x y +=D .2214525x y +=12.在直角梯形ABCD 中,0AB AD ⋅=,30B ∠=︒,23AB =,2BC =,点E 为BC 上一点,且AE xAB y AD =+,当xy 的值最大时,||AE =( )A .5B .2C .302D .23二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
湖南省益阳市高一数学上学期期末考试试题
益阳市2015—2016 学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={-1,0,1},A={0,1},则=A.∅B.{-1} C.{0,1} D.{-1,0,1}2.若直线l 的斜率是3,则该直线的倾斜角为A.30° B.45° C.60° D.120°3.下列函数在(0,+∞)上是减函数的是A.y=|x|B.y=1xC.y=x3D.y=2x4.设a=10.231(),23b= ,则a ,b 的大小关系是A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定5.下列命题正确的是A.如果一条直线平行一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面B.如果一条直线平行一个平面,那么这条直线平行这个平面内的所有直线C.如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线,那么这条直线垂直这个平面D.如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线垂直这个平面内的所有直线6.如图 1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D 与C1D1所成角的余弦值是A、2B、3C、3D、67.某几何体的三视图如图2 所示,则该几何体的体积是A.4 B.5 C.6 D .88.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC 是A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形9.设函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与g (x ) =3-x 的图象的交点为( x 0 , y 0 ),则x 0所在的区间为 A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 10.设,则 f [ f (-1)]=A .12B .1C .2D .4 11.方程x 2 +y 2 +2ax -4 y +(a 2 +a ) =0表示一个圆,则 a 的取值范围是A .[4,+∞)B .(4,+∞)C .(-∞,4]D .(-∞,4)12.已知函数f (x ) = ln | x -2 | -| x -2 | ,则它的图象大致是二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共20 分,请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.以边长为2 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为 .14.已知22x x -+=3,则44x x -+= .15.已知直线 l : 2x -y +1 =0与圆(x -2)2 +y 2 =r 2相切,则 r 等于 .16.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y (小时)与储藏温度x (℃)的关系为指数 型函数y =ka x ,若牛奶在10℃的环境中保鲜时间约为64 小时,在5℃的环境中保鲜时间约为80 小时,那么在0℃时保鲜时间约为 小时.三、解答题:本大题共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10 分)已知集合A ={x |2≤x ≤8},B ={x | 1<x <6},C ={x | x >a }.(1)求A ∪B ;(2)若A ∩C ≠ ∅,求a 的取值范围.18.(本小题满分12 分)已知平面直角坐标系中,三点A (1,-1),B (5,2),C (4,m ),满足AB ⊥BC ,(1)求实数m 的值;(2)求过点C 且与AB 平行的直线的方程.19.(本小题满分12 分)已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x) =2x(1-x).(1)在图3 所给直角坐标系中画出函数f (x)的草图,并直接写出函数f (x)的零点;(2)求出函数f(x)的解析式.20.(本小题满分12 分)如图4,正方形ABCD 与正方形ABEF 有一条公共边AB,且平面ABCD⊥平面ABEF,M 是EC的中点,AB=2. (1)求证:AE∥平面MBD;(2)求证:BM⊥DC;(3)求三棱锥M -BDC的体积.21.(本小题满分12 分)已知直线l: x -y +a = 0 (a <0)和圆C: (x-3)2 + ( y-2)2 =19相交于两点A、B,且| AB |=17(1)求实数a 的值;(2)设O 为坐标原点,求证:OA⊥OB.22.(本小题满分12 分)已知函数f (x)=ln(1+x).(1)若函数g(x)=f (e4 x )+ax,且g(x)是偶函数,求a 的值;(2)若h(x) =f (x)[ f (x) +2m -1]在区间[e -1, e3 -1]上有最小值-4 ,求m 的值.。
2023-2024学年湖南省益阳市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省益阳市高一上册期末数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3A =,{}0,2B =,则A B = ()A.∅B.{}0,2 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【正确答案】B【分析】根据交集的定义直接得解.【详解】由{}0,1,2,3A =,{}0,2B =,得{}0,2A B =I ,故选:B.2.sin 60cos30cos 60sin 30- 的值是()A.12-B.12C.2D.1【正确答案】B【分析】利用两角差的正弦公式计算可得结果.【详解】()1sin 60cos30cos 60sin 30sin 6030sin 302-=-==.故选:B.3.函数()112f x x x -=+的定义域为()A.(),-∞+∞B.()(),00,∞-+∞UC.[)0,∞+ D.()0,∞+【正确答案】D【分析】化简函数解析式,根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组,由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x xx x -=+=+,则00x x ≠⎧⎨≥⎩,可得0x >,故函数()f x 的定义域为()0,∞+.故选:D.4.已知p :0xy >,q :0x >,0y >,则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由0xy >可得0x >,0y >或0x <,0y <,所以由0xy >推不出0x >,0y >,由0x >,0y >,可以推出0xy >,故p 是q 的必要不充分条件.故选:B.5.若0a b >>,R c ∈,则下列结论成立的是()A.c a c b ->- B.22ac bc > C.2b a a b+> D.11a b>【正确答案】C【分析】利用不等式的性质及基本不等式分别判断即可.【详解】因为0a b >>,所以a b -<-,所以c a c b -<-,故A 错误,当0c =时,22ac bc =,故B 错误,因为0a b >>,所以2b a a b +≥=,而a b ¹,所以2b aa b+>,故C 正确,由0a b >>,所以110a b<<,故D 错误,故选:C.6.为了得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需把函数2sin y x =的图象上所有的点()A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【正确答案】C【分析】利用三角函数图象变换可得结论.【详解】为了得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需把函数2sin y x =的图象上所有的点向左平移π3个单位长度.故选:C.7.已知函数2()e 2x f x x =-,则它的部分图像大致是()A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.【详解】因为2()e 2x f x x =-的定义域为(),-∞+∞,关于原点对称,而()()22()e 2e 2x x f x x x f x ---=--=-≠-,且()()f x f x -≠,所以函数()f x 为非奇非偶函数,故C ,D 错误,排除;当0x =时,02(0)e 201f =-⨯=,故B 错误,故选:A.8.某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为()2416C x x x =++(万元),每件商品售价为28元,假设每月所生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用()w x (万元)表示,用()w x x表示当月生产商品的单件平均利润,则下列说法正确的是()A.当生产12万件时,当月能获得最大总利润144万元B.当生产12万件时,当月能获得最大总利润160万元C.当生产4万件时,当月能获得单件平均利润最大为24元D.当生产4万件时,当月能获得单件平均利润最大为16元【正确答案】D【分析】求出()w x 的表达式,利用二次函数的基本性质可求得()w x 的最大值及其对应的x 的值,求出()w x x的表达式,利用基本不等式可求得()w x x的最大值及其对应的x 的值,即可出结论.【详解】由题意可得()()()2228241612128w x x C x x x x =-=-+-=--+,故当12x =时,()w x 取得最大值128,()2241616242416w x x x x xx x --⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当4x =时,等号成立,因此,当生产12万件时,当月能获得最大总利润128万元,当生产4万件时,当月能获得单件平均利润最大为16元.故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数()2sin 2f x x =,则()A.当π4x =时,函数()f x 取得最大值2 B.函数()f x 在π[0,2上为增函数C.函数()f x 的最小正周期为πD.函数()f x 的图象关于原点对称【正确答案】ACD【分析】代入π4x =,计算出π(24f =,A 正确;利用整体法得到2[0,π]x ∈,数形结合得到其不单调,B 错误;利用2πT ω=求出最小正周期,C 正确;先求出定义域,结合()()f x f x -=-得到D 正确.【详解】对A ,当π4x =时,函数ππ()2sin 242f ==为()2sin 2f x x =的最大值,A 正确;对B ,当π[0,2x ∈时,2[0,π]x ∈,因为sin y z =在[0,π]上不单调,故()f x 在π[0,]2上不单调,B 错误;对C ,由2ππ2T ==,故函数()f x 的最小正周期为π,C 正确;对D ,()2sin 2f x x =的定义域为R ,且()()()2sin 22sin 2f x x x f x -=-=-=-,故函数()f x 的图象关于原点对称,D 正确.故选:ACD10.已知函数()lg f x x =,则()A.()f x 是偶函数B.()f x 值域为[0,)+∞C.()f x 在(0,)+∞上递增D.()f x 有一个零点【正确答案】BD【分析】画出()f x 的函数图象即可判断.【详解】画出()lg f x x =的函数图象如下:由图可知,()f x 既不是奇函数也不是偶函数,故A 错误;()f x 值域为[0,)+∞,故B 正确;()f x 在(0,1)单调递减,在()1,+∞单调递增,故C 错误;()f x 有一个零点1,故D 正确.故选:BD.11.已知0m n >>,且1m ≠,1n ≠,则()A.1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.212mn > C.22log log m n> D.log 2log 2m n >【正确答案】BC【分析】利用指数函数的单调性可判断AB 选项;利用对数函数的单调性可判断CD 选项.【详解】因为0m n >>,且1m ≠,1n ≠,对于A 选项,函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数,则1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A 错;对于B 选项,函数2xy =为R 上的增函数,则022212mm n n -=>=,B 对;对于C 选项,函数2log y x =在()0,∞+上为增函数,则22log log m n >,C 对;对于D 选项,取4m =,2n =,则421log 2log 21log 2log 22m n ==<==,D 错.故选:BC.12.已知()f x 是定义在R 上的函数,且()()()()011f x f x f x f x +-=-=+,,则()A.函数()f x 的图象关于原点对称B.函数()f x 的图象关于点()1,0对称C.函数()f x 的图象关于直线x =1对称D.函数()f x 是以2为周期的周期函数【正确答案】ABD【分析】利用奇偶性定义和已知可判断A ;利用()()11f x f x -=+和奇偶性可判断BC ;利用()()11f x f x -=+和周期定义可判断D.【详解】因为()f x 是定义在R 上的函数,由()()0f x f x +-=可得()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数,函数()f x 的图象关于原点对称,故A 正确;因为()()11f x f x -=+,所以()()()2f x f x f x =+=--,所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称,故B 正确,C 错误;因为()()11f x f x -=+,所以()()1111f x f x +-=++,()()2f x f x =+,故D 正确.故选:ABD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.化简求值:lg 42lg 5+=__________.【正确答案】2【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.【详解】()()2lg 42lg5lg 22lg52lg 22lg52lg 2lg52lg 252+=+=+=+=⨯=.故答案为.214.如图,某地一天从6~16时的温度变化曲线近似满足函数()()sin f x A x b ωϕ=++,则这一天6~16时的最大温差是__________C ,函数()f x 的解析式中常数b 的值为__________.【正确答案】①.10②.20【分析】根据图形可得出这一天的最高温度和最低温度,可求得最大温差,根据题意可得出关于A 、b 的方程组,即可解得b 的值.【详解】由题可知,这一天6~16时的最高温度为25C ,最低温度为15C ,所以,这一天6~16时的最大温差为()251510C -=,不妨设0A >,由图象可得()()max min2515f x A b f x A b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩,解得20b =.故10;20.15.若点()1,2P -在角α的终边上,则sin 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭__________.【正确答案】55-##155【分析】根据三角函数定义式可得三角函数值,再利用诱导公式化简得解.【详解】由诱导公式可知sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,又点()1,2P -在角α的终边上,所以()225cos 512α==--+,即5sin cos 25παα⎛⎫-==-⎪⎝⎭,故答案为.55-16.已知函数()222,033,02x x x x f x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩,若关于x 的方程()3y k x =-有三个不同的实数解,则实数k 的取值范围是__________.【正确答案】2,43⎛-- ⎝【分析】画出()222,033,02x x x x f x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩与()3y k x =-的图象,数形结合得到当2,43k ⎛∈-- ⎝时,满足要求【详解】画出()222,033,02x x x x f x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩与()3y k x =-图象如下:由图象可知:将()0,2代入()13y k x =-,解得:122033k ==--,()23y k x =-与()222f x x x =-+相切,故联立,得到()22223x x k x -+=-,整理得到()2222230x k x k -+++=,由()()22224230k k ∆=+-+=得:222840k k --=,解得:24k =-4+由图象可知20k <,所以24k =-当2,43k ⎛∈-- ⎝时,关于x 的方程()3y k x =-有三个不同的实数根,故2,43⎛-- ⎝四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{}1A x x =≤,{}22B x a x a =-<<+.(1)当4a =时,求A B ⋃;(2)若0a >,且A B ⋂=∅,求a 的取值范围.【正确答案】(1){}6x x <(2)(]0,1【分析】(1)当4a =时,求出集合B ,即可根据集合的并集运算得出答案;(2)由已知得出B ≠∅,即可根据A B ⋂=∅列出不等式,解出答案.【小问1详解】当4a =时,{}26B x x =-<<,{}6A B x x ∴⋃=<,【小问2详解】0a > ,B ∴≠∅,A B =∅ ,21a ∴-≥,解得:1a ≤,a ∴的取值范围为(]0,1.18.已知锐角α、β满足3sin 5α=,cos 5β=.(1)求cos 2α的值;(2)求()tan 2αβ+的值.【正确答案】(1)725(2)3841-【分析】(1)由二倍角的余弦公式可求得cos 2α的值;(2)利用同角三角函数的基本关系求出tan α、tan β的值,再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式可求得()tan 2αβ+的值.【小问1详解】解.2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】解:因为α、β均为锐角,则4cos 5α==,sin 5β==,所以,sin 3tan cos 4ααα==,sin tan 2cos βββ==,所以,2232tan 2tan 2441tan 73142ααα⨯==-⎛⎫⎪=- ⎝⎭,因此,()242tan 2tan 387tan 2241tan 2tan 41127αβαβαβ+++===---⨯.19.已知函数()254f x x x =-+,x ∈R .(1)若()0f x >,求自变量x 的取值范围;(2)设()()f x g x x=,根据定义证明()g x 在区间()0,2上单调递减.【正确答案】(1)()(),14,-∞+∞ (2)证明见解析【分析】(1)利用二次不等式的解法解不等式()0f x >,即可得解;(2)求得()45g x x x=+-,任取1x 、()20,2x ∈且12x x <,作差()()12g x g x -、因式分解后判断()()12g x g x -的符号,结合函数单调性的定义可证得结论成立.【小问1详解】解:由()0f x >,可得2540x x -+>,解得1x <或>4x ,所以,若()0f x >,自变量x 的取值范围为()(),14,-∞+∞ .【小问2详解】解:因为()()25445f x x x g x x xx x-+===+-,任取1x 、()20,2x ∈且12x x <,即1202x x <<<,所以,120x x -<,1204x x <<,所以,()()1212121212444455g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()121212*********x x x x x x x x x x x x ---=--=>,即()()12g x g x >,所以,函数()g x 在()0,2上为减函数.20.把一个热物体放在冷空气中冷却,物体的温度将会逐渐下降.假设某物体开始的温度为80℃(用1θ表示),空气的温度是20℃(用0θ表示).某研究人员每隔5min 测量一次物体的温度,得到一组如下表的数据:时间/min05101520物体温度/℃80.060.046.838.132.0为了研究物体温度θ(单位:℃)与时间t (单位:min )的关系,现有以下两种函数模型供选择:①10k t θθθ=-;②()010ek t θθθθ-=+-.(其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数).(1)根据表中提供的测量数据,选出一个最符合实际的函数模型,并说明理由;(2)根据(1)中选择的函数模型,结合表中的一对对应数据:t =5,θ=60.0,①求出k 的值;②若该物体的温度由80℃降为25℃时,需要冷却的时间约为多少min ?(精确到0.1)(参考数据:ln 20.69,ln 3 1.10≈≈)【正确答案】(1)选函数模型②,理由见解析(2)①0.082k =;②30.2分钟【分析】(1)选函数模型②.因为当热物体放在空气中冷却时,随着时间的增加,它的温度会逐渐接近空气的温度,而不会低于空气的温度可得答案;(2)①由函数模型得52e 3k -=,两边取自然对数可得答案;②当25C θ= 时,得0.0821e 12t -=,两边取自然对数得可得答案.【小问1详解】选函数模型②.因为当热物体放在空气中冷却时,随着时间的增加,它的温度会逐渐接近空气的温度,而不会低于空气的温度,而模型①中物体的温度会低于空气的温度,且数据显示不成直线下降,所以选模型②;【小问2详解】①由函数模型()010e kt θθθθ-=+-得:()560208020e k -=+-,所以:52e 3k -=,两边取自然对数得:25ln 0.69 1.100.413k -==-=-,所以0.082k =.②当25C θ= 时,()0.08225208020e t -=+-,即0.0821e 12t -=,两边取自然对数得:0.082ln12(ln 32ln 2)(1.10 1.38) 2.48t -=-=-+=-+=-,解得:30.2t ≈,故当物体的温度冷却到25C 时,需要的时间约为30.2分钟.21.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的图像过点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭且关于直线:l π4x =对称.(1)若直线:l '5π4x =是函数()f x 的图像中与直线l 相邻的一条对称轴,请确定函数()f x 的解析式;(2)若函数()f x 在区间π2π,4221⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调,求ω的最大值.【正确答案】(1)()π2sin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)13【分析】(1)根据已知条件求出周期,进而求出ω的值,根据图像上点及已知条件求出ϕ的值;(2)根据由题意得,11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈和22πππ+,Z 42k k ωϕ+=∈相减得()21212+1,Z,Z k k k k ω=-∈∈,所以ω为正奇数,然后根据函数在区间上单调,从而分析出周期,进而确定ω的值,代回已知条件检验即可.【小问1详解】由题意可知:151ππ=π244T =-,所以2π2π,=1T Tω==,又因为()f x 的图像过点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭,所以2sin 0π4ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-得ππ,Z 4k k ϕ=+∈,因为π2ϕ≤,所以π4ϕ=,所以()π2sin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,【小问2详解】由函数()f x 的图像过点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭得,11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈,①且()f x 关于直线:l π4x =对称得,22πππ+,Z 42k k ωϕ+=∈,②由②—①得:()21212+1,Z,Z k k k k ω=-∈∈,所以ω为正奇数,又因为()f x 在π2π,4221⎛⎫⎪⎝⎭上单调,所以112ππ2ππ14222142T ωωω=⨯=≥-⇒≤,因为ω为正奇数,取13ω=时,由①得1113ππ+,Z 4k k ϕ=∈,又因为π2ϕ≤,所以π4ϕ=,此时,()π2sin 134f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线π4x =是它图像的一条对称轴又因为π2π,4221x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,π47π125ππ3π13,,4848422x ⎛⎫⎡⎤+∈⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以()f x 在π2π,4221⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调,综上所述,ω的最大值为13.22.已知函数()()2ln e 1x f x ax =++.(1)若1a =-,判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由;(2)若()1,m ∈-+∞且0a >,讨论函数()()()221g x f x x m f m x =-+--在()2,4-上的零点个数.【正确答案】(1)偶函数,理由见解析(2)答案不唯一,具体见解析【分析】(1)根据奇偶性的定义直接判断函数的奇偶性;(2)利用定义法判断函数()f x 的单调性,进而可将零点个数转化为方程根的个数,分情况讨论二次方程根的个数即可.【小问1详解】当1a =-时,()()2ln e 1x f x x =+-,函数()f x 的定义域为R ,()()()()()222221e ln e 1ln ln 1e 2ln 1e e xx x x x f x x x x x x f x -+-=++=+=+-+=+-=,()f x \是偶函数;【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ,设12x x <,则()()()()21222121ln e 1ln e 1x x f x f x ax ax ⎡⎤⎡⎤-=++-++⎣⎦⎣⎦()()()212221ln e 1ln e 1x x a x x ⎡⎤=+-++-⎣⎦,21x x > ,0a >,()210a x x ∴->,2122e 1e 1x x +>+,()()2122ln e 1ln e 10x x +-+>,即()()210f x f x ->,故函数()f x 在R 上是增函数.当()()()2210g x f x x m f m x =-+--=时,()()221f x x m f m x -+=-,即221x x m m x -+=-,所以函数()g x 在()2,4-上零点的个数,等价于方程221x x m m x -+=-在()2,4-上根的个数,令()()()221h x x m x m =-+++,①当10m -<<时,()()()221h x x m x m =--++,()()22Δ24180m m m m =--+=-> ,()290h m -=->,()4950h m =+>,且()h x 的图象对称轴231,22m x -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以,函数()g x 在()2,4-上有两个不同的零点.②当0m =时,()221h x x x =-+,方程2210x x -+=只有一个根1x =,即函数()g x 在()2,4-上只有一个零点.③当0m >时,()()()221h x x m x m =-+++,()()22Δ2410m m m =+-+=> ,又()10h =,且()h x 的图象对称轴212m x +=>,当()4930h m =-=时,3m =,所以当03m <<时,()40h >,函数()g x 在()2,4-上有两个不同的零点,当3m ≥时,()40h ≤,函数()g x 在()2,4-上只有一个零点.综上所述,当10m -<<或03m <<时,函数()g x 在()2,4-上有两个不同的零点;当0m =或3m ≥时,函数()g x 在()2,4-上只有一个零点.。
湖南省益阳市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省益阳市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单选题1.已知集合{}1,3,6M =,{}1,3,5,7N =,则M N ⋂=( )A .∅B .{}1,3C .{}5,6,7D .{}1,3,5,6,7 2.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( )A .2y x =B .2y x =C .2log y x =D .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3.已知()33,0log ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,则()3f =( ) A .1 B .3 C .9 D .274.sin 20cos 40cos 20cos50︒︒+︒︒的值是( )A .12−B .12 CD .15.已知:p x A ∈,:q x A B ∈⋂,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件6.已知tan 3α=,则22sin sin 2cos ααα−=( ) A .3 B .6 C .8 D .97.已知函数()()2ln 1f x x x =−+,则它的部分图象大致是( )A .B .C .D .8.若22ln ln 2a a b b +=+,则( )A .()ln 210b a −+<B .()1ln 20a b −+<C .()ln 210b a −+> D .()1ln 20a b −+>二、多选题9.已知0a b >>,0c d >>,则( )A .a d b c −>−B .ac bd >C .c d b a >D .a c b d> 10.下列等式成立的是( )A .()()sin sin 2cos sin αβαβαβ+−−=B .8sin cos cos 2cos 4sin 8ααααα=C .cos tan 1sin 2ααα=+D .21cos 2tan 1cos 2ααα−=+ 11.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且满足()()22f x f x +=−,则下列说法正确的是( )A .()20240f =B .()2y f x =−是奇函数C .()()44f x f x −=−+D .()y f x =是周期为4的周期函数 12.已知函数()22e x x f x −=,则( )A .x ∀∈R ,()()f x f x −=B .x ∀∈R ,()1ef x ≥ C .120x x ∀<≤,则()()()12120x x f x f x −−<⎡⎤⎣⎦D .120x x ∀>≥,则()()()12120x x f x f x −−>⎡⎤⎣⎦三、填空题13.已知23a =,则4a = .14.已知1cos 3α=,则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 15.若α是锐角,π1sin()34α−=,则cos α= . 16.已知函数()22x f x x =+−,()2log 2g x x x =+−,()32h x x x =+−的零点分别为a ,b ,c ,则a b c ++= .四、解答题17.已知全集U =R ,集合{}|23A x x =−≤≤,{}21|B x x a =<−.(1)求U A ð;(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围.18.已知函数()()215f x x a x =−++,x ∈R .(1)若5a =,求使()0f x <的x 的取值范围;(2)当1a =时,设()()1f x g x x =−,求()g x 在区间()2,+∞上的最小值.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωω⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示,根据图中信息解答下列问题.(1)求函数()f x 的最小正周期T ;(2)写出函数()f x 的单调递减区间;(3)求函数()f x 的解析式.20.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =−+.(1)求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值; (2)若π2π,123x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦,求()f x 的值域; (3)若关于x 的方程()0f x a −=有三个连续的实数根123,,x x x ,且123x x x <<,31223x x x +=,求a 的值.21.医生将一瓶含量()mg a 的A 药在0.2h 内匀速注射到患者的血液中称为A 药的一次注射.在注射期间,患者血液中A 药的注入量()mg y 与注射用时()h t 的关系是y kt =,当0.2h t =时,血液中的A 药注入量达到()mg a ,此后,注入血液中的A 药以每小时10%的速度减少.(1)求k 的值;(2)患者完成A 药的首次注射后,血液中A 药含量不低于3mg 10a 的时间可以维持多少h ?(精确到0.1)(3)患者首次注射后,血液中A 药含量减少到3mg 10a 时,立即进行第二次注射,首次注射的A 药剩余量继续以每小时10%的速度减少,已知注射期间能保持患者血液中的A 药含量不低于3mg 10a ,那么,经过两次注射,患者血液中A 药的含量不低于3mg 10a 的时间是否可以维持25h ?(参考数据:lg 20.3010=,lg 30.4771=,lg13 1.114=)22.已知函数()2log 1a x f x x−=+,其中0a >,且()f x 为奇函数. (1)求a 的值;(2)若()()g x f x x =−,()()()221G x g x g x =+−,(){}|0M x G x =>,求集合M ; (3)若函数()()2f x h x =,讨论函数()()1321231x x H x h k k +=−−⋅+−(k 为常数)的零点个数.。
2019-2020学年湖南省益阳市高一上学期期末数学试题(解析版)
湖南省益阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,{}2,4A =,则U A =ð( ) A .∅ B .{}1,3,5C .{}2,4D .{}0,1,3,5【答案】D【解析】由集合的补集可得。
【详解】由题得{0,1,3,5}U A =ð. 故选:D 【点睛】本题考查求集合的补集,是基础题。
2.直线30x --=的斜率是( )A .3B C .3-D .【答案】A【解析】将直线30x --=整理成斜截式即得。
【详解】由题得,原式可化为3y x =3k =. 故选:A 【点睛】本题考查给出直线方程求直线的斜率,是基础题。
3.化简:13827-⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】根据指数函数以及对数函数的运算性质即得。
【详解】由题得,113()338131lg1022722223-⨯-⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的运算性质,是基础题。
4.某长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为1,1,2,则其外接球的表面积为( ) A .2π B .4πC .6πD .8π【答案】C【解析】球心到长方体各个顶点的距离相等,则体对角线即是球的直径,计算出长方体体对角线,再由球的表面积公式24S R π=即得。
【详解】R ,则有2R =R =,那么其外接球的表面积为22446S R πππ==⨯=.故选:C 【点睛】在计算出体对角线时,要注意,它是长方体外接球的直径,而不是半径。
5.若直线0x y c -+=与圆()2212x y +-=相切,则c 的值为( ) A .2± B .1-或3C .2或3D .3或5【答案】B【解析】直线与圆相切,那么圆心到直线的距离等于圆的半径,用点到直线的距离公式表示出这个距离关系,解出未知量c 即得。
【详解】由题得,圆心坐标为(0,1),圆的半径为r =d ==|1|2c -=,解得1c =-或3c =.故选:B 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,是基础题。
2023-2024学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={1,3,6},N={1,3,5,7},则M∩N=( )A. ⌀B. {1,3}C. {5,6,7}D. {1,3,5,6,7}2.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( )A. y=2xB. y=x2C. y=log2xD. y=(12)x3.已知f(x)={3x,x≥0log3|x|,x<0,则f(3)=( )A. 1B. 3C. 9D. 274.sin20°cos40°+cos20°cos50°的值是( )A. −12B. 12C. 32D. 15.已知p:x∈A,q:x∈A∩B,则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知tanα=3,则sin2α−sin2αcos2α=( )A. 3B. 6C. 8D. 97.已知函数f(x)=x2−ln(|x|+1),则它的部分图象大致是( )A. B.C. D.8.若lna+a2=ln2b+b2,则( )A. ln (2b−a +1)<0B. ln (a−2b +1)<0C. ln (2b−a +1)>0D. ln (a−2b +1)>0二、多选题:本题共4小题,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知a >b >0,c >d >0,则( )A. a−d >b−cB. ac >bdC. c b >d aD. a b >c d 10.下列等式成立的是( )A. sin (α+β)−sin (α−β)=2cosαsinβB. 8sinαcosαcos2αcos4α=sin8αC. cosα1+sin α=tan α2D. 1−cos2α1+cos2α=tan 2α11.已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(2+x)=f(2−x),则下列说法正确的是( )A. f(2024)=0B. y =f(x−2)是奇函数C. f(4−x)=−f(4+x)D. y =f(x)是周期为4的周期函数12.已知函数f(x)=e x 2−2x ,则( )A. ∀x ∈R ,f(−x)=f(x)B. ∀x ∈R ,f(x)≥1eC. ∀x 1<x 2≤0,则(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0D. ∀x 1>x 2≥0,则(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
湖南省益阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
湖南省益阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合{}{}0,1,2,1,2,3A B ==,则A B ⋃=()A .∅B .{}1,2C .{}0,1,2D .{}0,1,2,32.已知:sin sin ,:p x y q x y ==,则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件3.函数()()e ln 21xf x x =++的定义域为()A .(),-∞+∞B .()0,∞+C .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4.化简:1cos2cos 2xx π-=⎛⎫- ⎪⎝⎭()A .sin xB .cos xC .2sin xD .2cos x5.已知函数()2,01,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩,则()2f -=()A .6B .3C .2D .1-6.下列函数中是奇函数,且在区间()0,∞+上是增函数的是()A .3y x =B .ln y x =C .e e x xy -=+D .tan y x=7.为了得到函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只要把2sin y x =的图象上的所有的点()A .向左平移π6个单位长度B .向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度D .向右平移π3个单位长度8.已知函数()y f x =的部分图像大致如图所示,则其解析式可以是()A .()()2ln 12x f x x =+-B .()()2ln 14x f x x =+-C .()2e e x xf x x-=+-D .()3e e 2x xf x x-=--二、多选题9.已知函数()2sin f x x =,则()A .()f x 是R 上的奇函数B .()f x 的最小正周期为2πC .()f x 有最大值1D .()f x 在[]0,π上为增函数10.下列命题正确的是()A .若a b >,则22a b >B .若33a b >,则a b>C .若0,0a b >>,且6a b +=,则3ab ≤D .若1a >-,则111a a +≥+11.已知231log ,log 23a b c ===,则()A .a b >B .b c >C .a c>D .1ac <12.已知函数()()cos32lg 1f x x x x =+-+的所有非负零点从小到大依次记为12,,,n x x x ,则()A .8n =B .9n =C .121104π9n x x x -+++> D .12131π9n x x x +++>三、填空题13.计算:32916⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.14.已知点()3,4P -为角α终边上的一点,则sin α=__________.15.科学家研究发现,地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg =4.8 1.5E M +,记里氏9.0级地震、7.0级地震所释放出来的能量分别为12E E 、,则12=E E __________.16.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()1y f x =+是R 上的偶函数,且()112f =,则()()()122022f f f +++= __________.四、解答题17.(1)已知5,cos 13ABC A = ,求tan A 的值.(2)求证:1sin2cos sin cos sin xx x x x+=++.18.设集合{}251,{1}A xx B x x a =-≤=>-∣∣.(1)当2a =时,求A B ⋂;(2)若A B ⋂≠∅,求a 的取值范围.19.已知函数()222,f x x mx x =-+∈R(1)若()0f x >对一切实数x 都成立,求m 的取值范围;(2)已知2m =,请根据函数单调性的定义证明()f x 在(),2-∞上单调递减.20.已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于P 点()0,1,若123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根,且122315,88x x x x +=+=.(1)求()f x 的解析式;(2)求()f x 的单调递增区间.21.生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w 进行监测.第一次监测时的总量为0w (单位:吨),此时开始计时,时间用t (单位:月)表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据:/t 月02816/w 吨2.04.0 6.07.0为了研究该生物总量w 与时间t 的关系,甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w 与t 的变化关系:①0w dw =;②()0log 1(0a w b t w a =++>且1)a ≠.(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式;(2)根据第3,4列数据,选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型;甲发现总量w 由0w 翻一番时经过了2个月,根据你选择的函数模型,若总量w 再翻一番时还需要经过多少个月?(参考数据:lg30.48,lg17 1.23≈≈)22.已知函数()e e xxf x a =-.(1)若函数()f x 是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数()f x的在R 上的最小值是a 的值;(3)在(2)的条件下,设()()22e 4e (0x x mf x g x m m -+-=>且1)m ≠,若()g x 在[]0,4上的最小值为1,请确定m 的值.参考答案:1.D【分析】根据并集的定义和运算直接得出结果.【详解】由题意知,{0,1,2}{1,2,3}{0,1,2,3}A B == .故选:D.2.B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题.【详解】当0,πx y ==时,sin 0sin π=,但x y ≠,则命题p 推不出命题q ;当x y =时,sin sin x y =,则命题q 推出命题p ,所以命题p 是命题q 的必要不充分条件.故选:B.3.C【分析】根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域.【详解】()()e ln 21xf x x =++有意义,则12102x x +>⇒>-,所以函数定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选:C.4.C【分析】结合诱导公式和二倍角公式,逐步化简,即可得到本题答案.【详解】221cos21(12sin )2sin 2sin sin sin cos 2x x x x x x x ---===⎛⎫- ⎪⎝⎭π.故选:C 5.B【分析】将2x =-代入分段函数,即可得到()2f -的值.【详解】由题意,在()2,01,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩中,()2213f -=-+=,故选:B.6.A【分析】对选项函数的奇偶性和单调性逐个判断,即可得到本题答案.【详解】A 、D 为奇函数,B 为非奇非偶函数,C 为偶函数,排除B 、C ,tan y x =在(),R 22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增,不满足题意,排除D ,易知3y x =在区间()0,∞+上为增函数.故选:A 7.B【分析】利用三角函数图象变换可得结论.【详解】为了得到函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数2sin y x =的图象上所有的点向右平移π6个单位长度.故选:B 8.A【分析】通过分析各个函数的单调性和奇偶性,与所给图像的单调性和奇偶性进行对比,即可得出正确的解析式.【详解】解:由题意及图像可知,()00f =,函数关于x 轴对称,故为偶函数,在-∞到()1,0-的某点处单调递增,在()1,0-的某点处到0处单调递减;在0处到()0,1的某点处单调递减,在()0,1的某点处到+∞处单调递减.对于A ,在()()2ln 12x f x x =+-中,()()()()()22ln 1ln 122x x f x x x f x --=-+-=+-=,当0x <时,()()2ln 12x f x x =-+-,()21111x x f x x x x ---'=-=-+-+,当()0f x '=时,解得:x =,∴当x <0x <<时函数单调递减,当0x >时,()()2ln 12x f x x =+-,()21111x x f x x x x --+'=-=++,当()0f x '=时,解得:x∴当0x <<x >时函数单调递减,与所给图像相同,故A 正确.对于B ,在()()2ln 14x f x x =+-中,()()()()()22ln 1ln 144x x f x x x f x --=-+-=+-=当0x <时,()()2ln 14x f x x =-+-,()()2121221x x x f x x x ---'=-=-+-+,当()0f x '=时,解得:=1x -,∴当1x <-时函数单调递增,当10x -<<时函数单调递减,当0x >时,()()2ln 14x f x x =+-,()()2121221x x x f x x x --+'=-=++,当()0f x '=时,解得:1x =,∴当01x <<时函数单调递增,当1x >时函数单调递减,与图像不符,故错误.对于C ,在()2e e x xf x x -=+-中,()()()22e e e e x x x x f x f x x x ---=+-=-=+-,()020f =≠,故C 错误.对于D 项,在()3e e 2x xf x x -=--中,()()()33e e 2e e 2x x x x f x f x x x ---=--=+≠--,故D 错误.故选:A.9.AB【分析】根据正弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】A :函数的定义域为R ,且()2sin()2sin ()f x x x f x -=-=-=-,为奇函数,故A 正确;B :函数的最小值正周期为221T ππ==,故B 正确;C :1sin 1x -≤≤,得()2sin f x x =的最大值为2,故C 错误;D :函数()2sin f x x =的单调增区间为()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时,][ππππ2π,2π,2222k k ⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦,即函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,故D 错误.故选:AB.10.BD【分析】根据特例判断A ,由作差法可判断B ,由均值不等式可判断CD.【详解】对A ,01>-成立,但220(1)>-不成立,故A 错误;对B ,3333220()()0a b a b a b a ab b >⇔->⇔-++>,而22233()024b a ab b a b ++=++>(a,b 不同时为零),所以0a b ->,即a b >,故B 正确;对C,由均值不等式可得2()92a b ab +≤=,故3ab ≤不成立,故C 错误;对D,1a >- ,10a ∴+>,1121a a ∴++≥=+,即111a a +≥+,故D 正确.故选:BD 11.ACD【分析】结合对数函数的单调性可判断,b c 的大小范围,结合y =a 的取值范围,从而可判断选项A,B,C 的正误;通过比较 1.52,3的大小,可判断出33log log 31ac =<=,即可判断选项D 的正误.【详解】解:因为y =在()0,∞+单调递增,<即1 1.5a <<,因为23log ,log y x y x ==在()0,∞+单调递增,所以221log log 303b ==-<,3330log 1log 2log 31c =<=<=,综上:b<c<a ,故选项B 错误,选项A 、C 正确;因为332log ac ==,且31.52223<==<=,即3<,所以33log log 31ac =<=,故选项D 正确.故选:ACD 12.BC【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题,再转化为两函数图象交点问题,故作出函数图象,数形结合判断交点个数,再由正弦型函数的对称性判断CD 选项.【详解】由()()πcos32lg 12sin(3)2lg(1)06f x x x x x x =+-+=+-+=,可得πsin(3)lg(1)6x x +=+,即πsin(3)6y x =+与lg(1)y x =+的图象在第一象限交点横坐标即为12,,,n x x x ,因为πsin(3)16y x =+≤,lg(1)1y x =+=时,9x =,如图,由图可知,共有9个符合要求的交点,所以9n =,令sin(3)16x π+=-,解得3π32π62x k π+=+,Z k ∈,即2π4π,Z 39k x k =+∈,故由图象可知124π29x x +>⨯,342π4π2()39x x +>⨯+,564π4π2()39x x +>⨯+,786π4π2()39x x +>⨯+,所以12852π104299x x x π+++>⨯= ,因为128104π9x x x +++> ,若1892131π9x x x x ++>++ ,则需927π3π9x >=,由图知,993πx <<,故不成立,综上可知,BC 正确,AD 错误.故选:BC 13.2764【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可.【详解】由题知3332932716464⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:276414.45【分析】根据三角函数的定义计算可得;【详解】解:点()3,4P -为角α终边上的一点,所以4sin 5α==故答案为:4515.310##1000【分析】把9.0和7.0代入到lg 4.8 1.5E M =+,然后两式相减,即可得到本题答案.【详解】由题可得,12lg 4.8 1.59.018.3,lg 4.8 1.57.015.3E E =+⨯==+⨯=,所以1122lg lg lg3E E E E -==,得31210EE =.故答案为:310##100016.12##0.5【分析】通过讨论函数的奇偶性、对称性和周期性,即可计算出所求的式子的值.【详解】由题意,x ∈R ,在()y f x =中,()f x 是奇函数,()1y f x =+是偶函数,∴()()f x f x =--,()()11f x f x +=-+,()00f =,∴()()()()()11112f x f x f x f x =-+=--+=-,∴()()2f x f x -=--,则()()20f x f x ++=,∴()()22f x f x -=+,即()()4f x f x =+,∴函数()f x 是以4为周期的周期函数,()()020f f +=,∴()()200f f ==,()()()13112f f f =-=-=-,()()420f f =-=,∴()()()()()()()()()111220225051234125050022f f f f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++++=⨯++=⎣⎦ .故答案为:12.17.(1)125;(2)证明见解析.【分析】(1)根据同角的基本关系求解即可;(2)根据二倍角的正弦公式及同角基本关系即可得证.【详解】(1)A 是ABC 的内角,()0,πA ∴∈,又5cos 13A =,12sin 13A ∴==,sin 12tan cos 5A A A ∴==(2)证明:左边=221sin2sin cos 2sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x x+++=++2(sin cos )cos sin x x x x+=+cos sin x x =+=右边所以等式成立.18.(1){13}A B xx ⋂=-<≤∣(2)()2,-+∞【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解;(2)结合(1),根据交集的结果即可求出参数的取值范围.【详解】(1){}{}2513A xx x x =-≤=≤∣∣当2a =时,{1}B xx =>-∣,{}3{1}{13}A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤∣∣∣;(2)由(1)知,{}3A xx =≤∣,,13A B a ⋂≠∅∴-< ,解得:2a >-,所以a 的取值范围是()2,-+∞.19.(1)((2)证明见解析【分析】(1)根据判别式小于0求解即可;(2)利用定义法证明函数的单调即可.【详解】(1)R x ∀∈ ,有()0f x >,即2220x mx -+>恒成立,2Δ480,m ∴=-<解得m <<m 的取值范围是((2)由已知有()242f x x x =-+,任取()12,,2x x ∞∈-,设12x x <,()()()()22121122121242424,f x f x x x x x x x x x -=-+-+-=-+-则()12121212,,2,0,40x x x x x x x x ∞∈-<∴-<+-< ,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >,()f x \在(),2-∞上单调递减.20.(1)()π4π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()31,Z 162162k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据三角函数的对称性求出函数的最小正周期,进而求得ω,将点P 的坐标代入求出ϕ,即可求解;(2)利用整体代换法结合正弦函数的单调增区间即可求解.【详解】(1)123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根,且122315,88x x x x +=+=,记45,x x x x ==是三根之间从左到右的两条相邻对称轴,则4515,1616x x ==,()54122T x x ∴=-=,即2π4πT ω==,再将点P 代入得:1ϕ=,且π2ϕ<得π4ϕ=,()π44f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.(2)由()πππ2π4π2πZ 242k x k k -+≤+≤+∈解之得:31162162k k x -+≤≤+,Z k ∈()f x \的单调递增区间为()31,Z 162162k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.21.(1)2w =;()32log 12w t =++(2)24个月【分析】(1)分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式,解方程组,即可得到本题答案;(2)分别把8t =和16t =代入到两个函数模型的解析式,选择数据差距较小的函数模型;然后把8w =代入到()32log 12w t =++,解出t ,即可得到本题答案.【详解】(1)将前2列数据代入解析式①得:0024dw dw =⎧⎪⎨=+⎪⎩,解之得:02dw c =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴①2w =;将前2列数据代入解析式②得:0024log 3a w b w =⎧⎨=+⎩,解之得:0322log w b a =⎧⎨=⎩,∴②()()33333log (1)2log log 122log 22log 12log a t w a t a t a+=++=⋅+=++.(2)当8t =时,模型①426w =+=,模型②32log 926w =+=;当16t =时,模型①27.66w =+≈,模型②32lg172log 17227.13lg3w =+=+≈;∴选模型②;当总量w 再翻一番时有:()382log 12t =++,解之得26t =,即再经过26-2=24个月时,总量w 能再翻一番.22.(1)1(2)2a =-(3)m 【分析】(1)根据奇函数的定义可得()()0f x f x -+=,即可求出a ,验证即可;(2)当a<0时,利用基本不等式计算即可求解;当0a ≥时,利用定义法证明函数()e e x xf x a=-在R 上单调递增,没有最小值;(3)由(2)可得()()()2()4f x mf u x x g x m m --==在[]0,4上的最小值为1,根据指数函数的性质知当01m <<时()max 0u x =,当1m >时()min 0u x =.利用换元法得()2444,2e u t t mt t -⎡⎤=--∈+⎣⎦(()t f x =),结合分类讨论的思想和二次函数的性质求出对应的m 值即可.【详解】(1)()f x 是R 上奇函数,()()0f x f x ∴-+=即1e e 0,e e x x x x a a a ---+-=∴=,经验证时1a =,符合题意,故1a =;(2)当a<0时,e 0e 0,x xa ->>,则()e e x x a f x =-≥当且仅当e e x x a =-即()ln 2a x -=时取等号,即2a =∴=-;当0a ≥时,设12,x x ∈R ,且12x x <,则12e e 0x x -<,121212121212e e )(e )(e e )0e e ((e ))(x x x x x x x x x x a f x a a f x ++----+-==<,所以()e e x xf x a =-在R 上单调递增,没有最小值;综上所述,函数()f x 在R 上的最小值是2a =-.(3)由(2)以及()f x 的单调性可知:当[]0,4x ∈时,()442e f x -⎡⎤∈+⎣⎦,()()()()()222e 4e 4222e 4e 4,x x mf x f x mf x x x f x g x m m -+----=++∴== ,记()()()24u x f x mf x =--,则()()u x g x m =在[]0,4上的最小值为1,∴当01m <<时,()u g u m =单调递减,有()[]()max 00,4u x x =∈,当1m >时,()ug u m =单调递增,有()[]()min 00,4u x x =∈,记()t f x =,则()2444,2e u t t mt t -⎡⎤=--∈+⎣⎦;①当01m <<时,()22424m m u t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,其中12m <,()u t ∴在442e -⎡⎤+⎣⎦上单调递增,()()()2444444max (e 2e )e 2e e 2e 40u t u m ---∴=+=+-+-=,解得44444e 2e 1e 2e m --=+->+(舍);②当1m >时,122m >,(a )当m ≤时,2m ≤,此时()u t 在442e -⎡⎤+⎣⎦上单调递增,()(min 840u t u ∴==--=,解得m =(b )当()442e 2e m -≥+时,44e 2e 2m -≥+,此时()u t 在442e -⎡⎤+⎣⎦上单调递减,()()()2444444min (e 2e )e 2e e 2e 40u t u m ---∴=+=+-+-=,解得()4444444e 2e 2e 2e e 2e m ---=+-<++(舍);(c )当()442e 2e m -<<+时,442e 2m -⎡⎤∈+⎣⎦,此时()u t 在2m t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,44,e 2e 2m t -⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上单调递增,()22min 40242m m m u t u ⎛⎫∴==--< ⎪⎝⎭(舍);综上所述,m =.。
湖南省高一上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1.已知集合,则( ) {}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣A B = A . B .C .D .{}1,0,1,2-{}2,0,1-{}0,1,2{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】 A B = {}0,1,2故选:C.2.已知关于的一元二次不等式的解集为,则的值是( ) x 2320x x -+<{}x m x n <<∣m n +A .3 B .4 C .5 D .6【答案】A【分析】根据三个二次的关系,再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得,分别是关于的一元二次方程的两根,根据韦达定理可,m n x 2320x x -+=得:. 3m n +=故选:A.3.下列函数是偶函数的是( ) A . B . lg y x =2x y =C . D .3y x =cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数为非奇非偶函数;函数为非奇非偶函数; lg y x =2x y =函数为奇函数,函数为偶函数. 3y x =cos y x =故选:D.4.已知则( ) 0.4231log 3,2,log 2a b c -===A . B . a b c >>b a c >>C . D .a cb >>c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,结合中间值0,1进得判断即可. 【详解】因为,,,所以. 22log 3log 21a =>=0.400221b -<=<=331log log 102c =<=a b c >>故选:A .5.若,则“”是“”的( ) ,R a b ∈a b <ln ln a b <A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件必要条件的定义即可. ln ln a b <【详解】由得, ln ln a b <0a b <<因为若,则,反之不成立, 0a b <<a b <故“”是“”的必要不充分条件, a b <0a b <<即“”是“”的必要不充分条件. a b <ln ln a b <故选:B6.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴非负半轴,若角的终边过点,则αx α12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭sin2α=( )A .B .C .D .1214【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====解决即可.sin22sin cos ααα=【详解】由题得,角的顶点为坐标原点,始边为轴非负半轴,若角的终边过点, αx α12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以, 1r OP ===所以 1sin ,cos 2y x r r αα====所以 1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝故选:A7.2021年10月16日0时23分,长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空,582秒后,神舟十三号载人飞船进入预定轨道,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下,从发射开始,火箭的最大飞行速度满足公式:v ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ,其中为火箭推进剂质量,为去除推进剂后的火箭有效载荷质量,为火箭发动机喷流相对M m w火箭的速度.当时,千米/秒.在保持不变的情况下,若吨,假设要使3M m = 5.544=v w 25m =v 超过第一宇宙速度达到千米/秒,则至少约为(结果精确到,参考数据:,8M 12e 7.389≈)( )ln 20.693≈A .吨 B .吨C .吨D .吨135160185210【答案】B【分析】根据所给条件先求出,再由千米/秒列方程求解即可. w 8v =【详解】因为当时,, 3M m = 5.544=v 所以, 5.544 5.544ln 42ln 2w ==由, 5.544ln(182ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭得,ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭所以, 21e 7.38925M+≈≈解得(吨), 159.725160M =≈即至少约为吨. M 160故选:B8.已知函数,用表示中的较小者,记为()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈()M x ()(),f x g x ,则的最大值为( )()()(){}min ,M x f x g x =()M x A . B .1C .D .1-12-12【答案】D【分析】先把写成分段函数的形式,再求最大值即可 ()M x 【详解】令,即,解得, 221x x -+>-2210x x --<1<<12x -所以,[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩当时,由在定义域内单调递减可得,1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭y x =-11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭当时,由二次函数的性质可得,[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦max 11()()22M x M =-=综上,函数的最大值为, ()M x 12故选:D二、多选题9的是( ) A . B . cos150 cos12cos42sin12sin42+ C . D .2sin15cos15 22cos 15sin 15- 【答案】BD【分析】根据诱导公式,两角差的余弦公式,二倍角公式计算各选项即可得答案.【详解】A 错误; c 3os150cos(180co 00)s3=-=-=,故B 正确; ()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====-- ,故C 错误; 12sin15cos15sin 302︒︒︒==D 正确. 22cos 15sin 1cos305︒-==故选:BD.10.下列说法正确的是( )A .命题“”的否定是“” 2R,0x x ∀∈≥2R,0x x ∀∈≤B .若正数满足,则 ,a b 1a b +=14ab ≤C .函数的最小正周期是()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πD .半径为1,圆心角为的扇形的弧长等于π3π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ;利用基本不等式可判断B ;利用三角函数的周期公式可判断C ;利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“”的否定是“”,故A 错误; 2R,0x x ∀∈≥2R,0x x ∃∈<,当且仅当时,等号成立,故B 正确;2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==函数的最小正周期,故C 正确;()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==半径为1,圆心角为的扇形的弧长为,故D 正确.π3ππ133⨯=故选:BCD.11.已知函数,则下列说法正确的是( ) ()()2222,22x x x xf xg x ---+==A .函数的图象关于轴对称 ()g x xB .函数在区间上单调递增 ()f x ()1,1-C . ()()()22f x f x g x =D . ()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ;由函数与都是上的增函数可判断B ;计算等式的2x y =2x y -=-R 两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知,函数的图象不关于轴对称,故A 错误; ()g x x 因为函数与都是上的增函数,则是上的增函数,所以函2xy =12()2xx y -=-=-R ()222x xf x --=R 数在区间上单调递增,故B 正确;()f x ()1,1-,故C 正确;22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=,,故D 错误. ()222222x xg x -+=()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选:BC.12.已知正实数满足,则( ),,x y z 236x y z ==A .B . 111x y z +=236x y z >>C . D .24xy z <4x y z +>【答案】AD【分析】令,得出.选项A ,根据换底公式计算即可判断;选项B ,结合作236x y z t ===x y z ,,差法和换底公式即可判断;选项C 、D ,利用换底公式进行化简,再结合基本不等式即可判断. 【详解】令,则,可得:,,. 236x y z t ===1t >2log x t =3log y t =6log z t =对于A ,,故A 正确; 231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===对于B ,因为,故,1t >lg 0t >,即; 232lg 3lg 2log 3log lg 2lg 323t t t x t y -=-=-()23lg lg 3lg 2lg 2lg 3t -=⋅9lg lg80lg 2lg 3t =>⋅23x y >,即,故B 错误. ()3623lg lg3lg lg 62lg 33lg 6lg 3363log 6log 0lg 3lg 6lg 3lg 6lg 3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅36y z <对于C ,,,, ()223lg lg lg log log lg 2lg 3lg 2lg 3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭lg 0t >因为,(因为所以等号不成立), ()22lg 6lg 2lg 30lg 2lg 324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭lg 2lg 3≠所以,则,即,故C 错误; ()214lg 2lg 3lg 6>⋅()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅24xy z >对于D ,,,, 23lg lg lg 6lg log log lg 2lg 3lg 2lg 3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅64lg 44log lg 6t z t ==lg 0t >因为,(因为所以等号不成立), ()22lg 6lg 2lg 30lg 2lg 324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭lg 2lg 3≠所以,则,即,故D 正确. ()214lg 2lg 3lg 6>⋅()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg2lg 3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅4x y z +>故选:AD .三、填空题13.若幂函数的图象经过点,则的值等于_________. ()y f x =(2()4f 【答案】2【解析】设出幂函数,将点代入解析式,求出解析式即可求解. ()fx x α=(2【详解】设,函数图像经过, ()f x x α=(2,解得, 2α=12α=所以, 12()f x x =所以. ()12442f ==故答案为:2【点睛】本题考查了幂函数的定义,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 14.__________.1323log 3log 28⋅+=【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解:. 1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=故答案为:3.15.若函数满足:(1)对于任意实数,当时,都有;(2)()f x 12,x x 120x x <<()()12f x f x <,则__________.(写出满足这些条件的一个函数即可) ()()()1212f x x f x f x +=()f x =【答案】(答案不唯一)2x 【分析】由条件(1)可判断函数在上单调递增;条件(2)符合指数幂的运算性质:()f x (0,)+∞,(且),即可得解. 1212x x x x a a a +=⋅0a >1a ≠【详解】由条件(1)对于任意实数,当时,都有,可得函数在12,x x 120x x <<()()12f x f x <()f x 上单调递增,(0,)+∞条件(2)符合指数幂的运算性质:,(且),1212x x x x a a a +=⋅0a >1a ≠故可选一个单调递增的指数函数:.()2xf x =故答案为:(答案不唯一).2x 16.已知,函数,若方程恰有2个实数解,则的取值范围是R t ∈()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩()40f x -=t __________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数,得函数图象,求得是所有可能的根,结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时的取值范围.()40f x -=t 【详解】解:函数,函数图象如下图所示:()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩方程,若,即;若,得,;()40f x -=40x -=34x =2340x x +-=14x =-21x =结合图象可知:当时,方程仅有一个实数解;4t ≤-()40f x -=4x =当时,方程恰有两个实数解,; 41t -<≤()40f x -=4x =-4x =当时,方程恰有三个实数解,,; 14t <≤()40f x -=4x =-1x =4x =当时,方程恰有两个实数解,;4t >()40f x -=4x =-1x =综上,若方程恰有2个实数解,则的取值范围是. ()40f x -=t (]()4,14,∞-⋃+故答案为:.(]()4,14,∞-⋃+四、解答题17.已知集合. {}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣(1)当时,求; 2a =A B ⋂(2)若,求实数的取值范围. A B ⊆a 【答案】(1) {25}xx <<∣(2) ⎡⎣【分析】(1)由交集的定义求解即可; (2)根据题意列出不等式组求解.【详解】(1)当时, 2a ={25}A x x =<<∣因为 {26}B xx =<<∣所以. {25}A B xx ⋂=<<∣(2),22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭ 恒成立,,21a a ∴<+A ∴≠∅A B ⊆,解得: 22,16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩2a ≤≤故实数的取值范围为.a ⎡⎣18.已知函数. ()()()22log 1log 1f x x x =+--(1)求函数的定义域;()f x (2)若函数,求的零点. ()()4g x f x =-()g x 【答案】(1) ()1,1-(2)零点为. 1517【分析】(1)根据函数有意义,建立不等式组,求解即可; (2)令,得,解方程即可.()0g x =()4f x =【详解】(1)由题意得,解得.1010x x +>⎧⎨->⎩11x -<<所以的定义域为.()f x ()1,1-(2)令 ()()()40,4g x f x f x =-=∴=,解得, 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--()151,117x =∈-故的零点为. ()g x 151719.(1)已知,求的值;sin 2cos 0αα+=22cos sin sin cos αααα-(2)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中sin 2cos 0αα+=sin cos αα+=并解答.已知为第四象限的角,__________.的值.α4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)(2)16【分析】(1)由题意得,所求式子弦化切代入计算即可;tan 2α=-(2)选择①:由同角的三角函数关系式求得,然后利用两角差的正弦计算即可;选择sin ,cos αα②:利用结合角的范围求得,然后利用两角差的正弦22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+sin cos αα-计算即可.【详解】(1)由,得,sin 2cos 0αα+=tan 2α=- 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==--(2)选择①:,即,sin 2cos 0αα+=tan 2α=-为第四象限的角,,αQ sin 0,cos 0αα∴<>又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sincos αα∴-=. )sin cos 4πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭选择②:,, sin cos αα+=22sin cos 1αα+=,229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=为第四象限的角,,αQ sin0,cos 0αα∴<>sin cos αα∴-=. )sin cos 4πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20.为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务,推动“一极六区”建设走深走实,郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略,加大科技创新力度,以科技创新催生高质量发展.某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中,计划该技术全年需投入固定成本600万元,每生产百件该产品,需x 另投入成本万元,且,假设该产品销售单价为万元/件,()p x 210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩0.7且每年生产的产品当年能全部销完.(1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式;()f x x (2)试求该企业全年产量为多少百件时,所获利润最大,并求出最大利润.【答案】(1) 280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时,所获利润最大,最大利润为1240万元.【分析】(1)根据题意分为,两种情况,求得函数解析式; 060x <<60x ≥(2)结合二次函数的性质和基本不等式,分段讨论得出最大值.【详解】(1)(1)当时,060x <<()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当时, 60x ≥()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 280600,060()64001400(60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)(2)若,,060x <<()()2208060000041f x x x x =-++-=--则当时,(万元) 40x =()max ()401000f x f ==若(万元), ()640060,1400140014001601240x f x x x ⎛⎫≥=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当时“=”成立.80x =则当时,(万元)80x =max ()1240f x =万元万元,1000 1240<故当年产量为8000件时,所获利润最大,最大利润为1240万元.21.已知函数的部分图象如图所示. ()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式;()f x (2)将图象上所有的点向左平移个单位长度,得到函数的图象,若对于任意的()f x 4π()y g x =,当时,恒成立,求实数的最大值.[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m 【答案】(1) ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1724π 【分析】(1)根据图像得出周期,即可根据三角函数周期计算得出,将点代入新解析ω5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭式,得,根据已知得出范围,结合三角函数的零点得出,将点代入新解析5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ϕ()0,1式,即可得出,即可得出答案;A (2)设,根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简,结合已知与函数单调性的()()()h x f x g x =-定义得出在区间上单调递减,由三角函数的单调区间解出的单调递减区间,即()h x [],m m π-()h x可根据范围结合集合包含关系列出不等式组,即可解出答案.【详解】(1)由图像可知,周期, 11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 22Tπω∴==因为点在函数图像上, 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭所以,即, 5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又, 02πϕ<<, 554663πππϕ∴<+<则,即, 56πϕπ+=6πϕ=因为点在函数图像上,所以,即,()0,1sin 16A π=2A =故函数的解析式为. ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)由题意可得, ()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设 ()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当时,恒成立,[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-即恒成立,()()()()1122f x g x f x g x -<-即恒成立,()()12h x h x <在区间上单调递减,()h x ∴[],m m π-令,解得, 32222122k x k πππππ+≤-≤+719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈因为,所以,则,m m π-<2m π>2m ππ-<故,解得, 7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩17224m ππ<≤所以最大值为. m 1724π22.已知函数为奇函数. ()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增;()f x R (2)若正数满足,求的最小值; ,a b ()()2120f a f b ++-=2212a b +++(3)解不等式. ()22220f x x -+->【答案】(1)证明见解析;(2); 165(3). (),-∞+∞【分析】(1)利用函数的奇偶性得出,然后利用函数单调性的定义证明即可;1t =(2)由已知条件求得,即,利用“1”的妙用和基本不等式求解即可; 21a b +=()2125a b +++=(3)令,易知是奇函数,且在上单调递增,又,不等式()()g x f x x =+()g x R ()00g =,从而,求解即可. ()()()22222020f x x g x g -+->⇔->220x ->【详解】(1)函数的定义域是,由题意得,解得:,则, ()f x R ()00f =1t =()2121x f x =-+,为奇函数,故, ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++ ()f x \1t =任取,且, 12,R x x ∈12x x <则, ()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++因为,且,所以,12,R x x ∈12x x <121211220,210,210x x x x ++<-+>+>所以,故, ()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-()()12f x f x <所以函数在上单调递增;()f x R (2)因为为奇函数,()()()2120,f a f b f x ++-=所以,又函数在上单调递增,()()()2122f a f b f b +=--=-()f x R 所以正实数满足,所以,,a b 21221a b a b +=-⇒+=()2125a b +++=所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦, 116855⎡⎢≥+=⎢⎣当且仅当,即时取等号, ()()24112b a a b ++=++11,42a b ==所以的最小值为. 2412a b +++165(3)令, ()()2121x x g x f x x -=+=++因为和都是奇函数,且在上单调递增,所以是奇函数,且在上单调递增.()y f x =y x =R ()g x R 又,不等式.()00g = ()()()22222020f x x g x g -+->⇔->从而,解得或.220x ->x >x <故不等式的解集为. (),-∞+∞。
2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4, 5},A={2, 4},则∁U A=()A.⌀B.{1, 3, 5}C.{2, 4}D.{0, 1, 3, 5}2. 直线x−√3y−3=0的斜率是()A.√33B.√3 C.−√33D.−√33. 化简:(827)−13+lg√10=()A.1B.2C.3D.44. 某长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为1,1,2,则其外接球的表面积为()A.2πB.4πC.6πD.8π5. 若直线x−y+c=0与圆x2+(y−1)2=2相切,则c的值为()A.±2B.−1或3C.2或3D.3或56. 下列函数在定义域上是减函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=x0.5C.f(x)=e xD.f(x)=log0.5x7. 在空间直角坐标系O−xyz中,y轴上的点M到点A(1, 0, 2)与点B(2, 2, 1)的距离相等,则点M的坐标是()A.(0, −1, 0)B.(0, 1, 0)C.(0, 0, 1)D.(2, 0, 0)8. 已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m // α,α // β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α // β⇒n⊥β;③m⊥α,n // β,α // β⇒m⊥n;④m⊥α,m // n,α // β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④9. 已知a=ln3,b=(ln3)2,c=ln(ln3),则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 10. 如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,BD1与平面A1AB所成角的余弦值是()A.√66B.√63C.√306D.√5511. 已知函数f(x)=ln(x2+1)−x3,则它的部分图象大致是()A. B.C. D.12. 已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2−x),且x∈[0, 1]时,函数f(x)=2x−1,函数g(x)=f(x)−logax(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.(0,19) B.(19,15) C.(1, 5) D.(5, 9)二、填空题:本题共4小题.直线l的倾斜角为60∘且过点A(0, 2),则直线l的方程为________.某几何体的三视图为如图所示的三个斜边为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为________.某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究,发现其中某种生物的总数y(单位:亿)与经过的时间x(单位:年)的函数关系与函数模型y=a log2(x+1)+b基本拟合.经过1年,y为3亿,经过3年,y为5亿,预计经过15年时,此种生物总数y为________亿.已知函数f(x)=(x+1)2x2+1+kx(k≠0),若f(log2(√2+1))=−1,则f(log2(√2−1))=________.三、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设集合A={x|x≤2或x≥6},B={x|−1<x<3},C={x|m−1<x<m+3}.(1)求A∩B;(2)若C⊆A,求实数m的取值范围.已知点P(2, 3),直线l:x−2y+2=0.(1)若直线l′过P点且与直线l平行,求直线l′的方程;(2)若直线PQ垂直直线l,垂足为Q,求Q点坐标.已知函数f(x)=2x+m⋅2−x是R上的偶函数.(1)求常数m的值;(2)若f(x)=52,求x的值;(3)求证:对任意x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22).如图,在三棱锥P−ABC中,PB=PC=BC=2,AB=AC=√3,D,E分别为BC,PD的中点,F为AB上一点,且AF=14AB.(1)求证:BC⊥平面PAD;(2)求证:EF // 平面PAC;(3)若二面角P−BC−A为60∘,求三棱锥P−ABC的体积.已知圆心C在直线y=x+1上的圆过两点(0, −1),(2, 1).(1)求圆C的方程;(2)若直线y=kx+2与圆C相交于A,B两点,①当|AB|=√14时,求AB的方程;②在y轴上是否存在定点M,使∠CMA=∠CMB,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.已知函数f(x)=x(4+m|x|).(1)当m=−1时,求f(x)在[−3, 2]上的最值;(2)设集合A={x|f(x+m)<f(x)},若[−1, 1]⊆A,求m的取值范围.参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省益阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 D【考点】 补集及其运算 【解析】利用补集的定义即可求解. 【解答】∵ 全集U ={0, 1, 2, 3, 4, 5},A ={2, 4}, ∴ ∁U A ={0, 1, 3, 5}, 2.【答案】 A【考点】 直线的斜率 【解析】化方程为斜截式,由斜截式的特点可得. 【解答】化直线x −√3y −3=0的方程为斜截式可得:y =√33x −√3,由斜截式的特点可知已知直线的斜率为:√33. 3.【答案】 B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质【解析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解. 【解答】(827)−13+lg √10=32+12=2.4.【答案】 C【考点】球的表面积和体积 【解析】设长方体的外接球的半径为R ,可得(2R)2=12+12+22,即可得出其外接球的表面积=4πR 2.【解答】设长方体的外接球的半径为R , 则(2R)2=12+12+22=6,∴ 其外接球的表面积=4πR 2=6π. 5. 【答案】 B【考点】 圆的切线方程 【解析】由圆的方程求出圆心坐标与半径,再由圆心到直线的距离等于半径列式求解. 【解答】圆x 2+(y −1)2=2的圆心坐标为(0, 1),半径为√2, ∵ 直线x −y +c =0与圆x 2+(y −1)2=2相切, ∴ √2=√2,即c =−1或3.6.【答案】 D【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】结合二次函数,指数,对数与幂函数单调性的性质即可分别判断各选项. 【解答】根据二次函数的性质可知,y =x 2在R 上不单调,不符合题意; f(x)=x 12在定义域[0, +∞)上单调递增,不符合题意; y =e x 在R 上单调递增,不符合题意; y =log 12x 在(0, +∞)上单调递减,符合题意.7. 【答案】 B【考点】空间两点间的距离公式 【解析】设点M 的坐标是M(0, y, 0),由y 轴上的点M 到点A(1, 0, 2)与点B(2, 2, 1)的距离相等.利用两眯间距离公式能求出点M 的坐标. 【解答】设点M 的坐标是M(0, y, 0),∵ y 轴上的点M 到点A(1, 0, 2)与点B(2, 2, 1)的距离相等. ∴ √12+(0−y)2+22=√22+(2−y)2+12, 解得y =1.∴点M的坐标是(0, 1, 0).8.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理,即可得解.【解答】①应该是n⊥β或n // β或n⊂β,即①错误;②应该是n // β或n⊂β,即②错误;③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确;④∵m⊥α,m // n,∴n⊥α,∵α // β,∴n⊥β,即④正确;9.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数的单调性即可得出.【解答】1<a=ln3<b=(ln3)2,c=ln(ln3)<1,则a,b,c的大小关系是:c<a<b.10.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】根据题意,易知A₁D₁⊥平面A₁AB,∠D₁BA₁为BD1与平面A1AB所成角的平面角,求出相对于的边,求出即可.【解答】根据题意,易知A₁D₁⊥平面A₁AB,∠D₁BA₁为BD1与平面A1AB所成角的平面角,由A₁B=√1+4=√5,D1B=√1+5=√6,故cos∠D1BA1=√56=√306,11.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据是的奇偶性和极限思想进行排除即可.【解答】函数f(x)为非奇非偶函数,图象关于y轴和原点都不对称,排除A,D,当x<0且x→0时,f(x)>0,排除B,12.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.【解答】f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2−x),函数关于x=1对称,f(x)=−f(x−2),可得f(x+4)=f(x),函数的周期为4,且x∈[0, 1]时,函数f(x)=2x−1,函数的图象如图:当a>1时,函数g(x)=f(x)−logax恰有3个零点,就是方程f(x)=logax的解个数为3,可得y=f(x)与y=logax由3个交点,两个函数的图象夹在蓝色与红色,之间满足条件,所以loga5<1,并且loga9>1,解得a∈(5, 9).二、填空题:本题共4小题.【答案】y=√3x+2或√3x−y+2=0【考点】直线的点斜式方程【解析】由倾斜角得到斜率k的值,代入直线方程即可.【解答】由题意知:k=tan60∘=√3,设所求的直线方程为y=√3x+b,把A(0, 2)代入,得b=2.即:y=√3x+2或√3x−y+2=0.【答案】√23【考点】由三视图求体积【解析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果.【解答】根据几何体的三视图转换为几何体:该几何体为一个棱长为√2的一个正方体的一个沿三个相邻面的对角线切除的一个角,故:V=13×12×√2×√2×√2=√23.【答案】9【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】先由已知条件求出a ,b 的值,再把x =15代入计算即可. 【解答】由题意可得:{alog 22+b =3alog 24+b =5 ,∴ {a =2b =1 ,∴ 函数模型y =2log 2(x +1)+1,当x =15时,y =2log 216+1=9, 【答案】 3【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】根据题意,将函数的解析式变形可得f(x)=1+2xx 2+1+kx ,进而可得f(−x)=1−2xx 2+1−kx ,则有f(x)+f(−x)=2,又由log 2(√2+1)=−log 2(√2−1),据此分析可得答案. 【解答】根据题意,函数f(x)=(x+1)2x 2+1+kx =x 2+1+2x x 2+1+kx =1+2xx 2+1+kx ,则f(−x)=1−2xx 2+1−kx , 则f(x)+f(−x)=2,又由log 2(√2+1)+log 2(√2−1)=log 21=0,即log 2(√2+1)=−log 2(√2−1), 则有f (log 2(√2+1))+f (log 2(√2−1))=2,若f (log 2(√2+1))=−1,则f (log 2(√2−1))=3;三、解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】∵ A ={x|x ≤2或x ≥6},B ={x|−1<x <3}, ∴ A ∩B ={x|−1<x ≤2};∵ C ={x|m −1<x <m +3},C ⊆A ,∴ m +3≤2或m −1≥6,即m ≤−1或m ≥7, ∴ 实数m 的取值范围是{m|m ≤−1或m ≥7}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 交集及其运算【解析】(1)进行交集的运算即可;(2)根据C ⊆A 即可得出m +3≤2或m −1≥6,解出m 的范围即可. 【解答】∵ A ={x|x ≤2或x ≥6},B ={x|−1<x <3}, ∴ A ∩B ={x|−1<x ≤2};∵ C ={x|m −1<x <m +3},C ⊆A ,∴ m +3≤2或m −1≥6,即m ≤−1或m ≥7, ∴ 实数m 的取值范围是{m|m ≤−1或m ≥7}.【答案】 ∵ l ′ // l ,∴ k l ′=k l =12,又P 点在直线l ′上,∴ 直线l ′的方程是:y −3=12(x −2),即x −2y +4=0. PQ ⊥l ,∴ k PQ =−1k l=−2,∴ 直线PQ 的方程是:y −3=−2(x −2),即2x +y −7=0. 由{x −2y +2=02x +y −7=0 ,得{x =125y =115 . 即Q 的坐标为(125,115).【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】(1)先求与直线x −2y +2=0平行的直线的斜率,再根据其过点(2, 3),用点斜式求直线方程.(2)首先根据两直线垂直的性质和待定系数法求得直线PQ 的方程,然后联立方程组,求两直线交点即可. 【解答】 ∵ l ′ // l ,∴ k l ′=k l =12,又P 点在直线l ′上,∴ 直线l ′的方程是:y −3=12(x −2),即x −2y +4=0. PQ ⊥l ,∴ k PQ =−1k l=−2,∴ 直线PQ 的方程是:y −3=−2(x −2),即2x +y −7=0. 由{x −2y +2=02x +y −7=0 ,得{x =125y =115 . 即Q 的坐标为(125,115).【答案】由f(x)是R 上的偶函数.∴ f(−x)=f(x),即:2−x +m ⋅2x =2x +m ⋅2−x ,解得m =1. 由f(x)=52,得2x +2−x =52,解得2x =2或2x =12,即x =1或x =−1. 证明:因为f(x 1)+f(x 2)−2f(x 1+x 22)=2x 1+2−x 1+2x 2+2−x 2−2(2x 1+x 22+2−x 1+x 22)=2x1+2x2−2⋅2x1+x22+2−x1+2−x2−2⋅2−x1+x22=(2x12−2x22)2+(2x12−2−x22)2≥0,所以f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)≥0,即f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22).【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】(1)由偶函数的定义,化简计算可得所求值;(2)由指数方程的解法,计算可得所求值;(3)运用作差法,结合指数的运算性质,化简可得证明.【解答】由f(x)是R上的偶函数.∴f(−x)=f(x),即:2−x+m⋅2x=2x+m⋅2−x,解得m=1.由f(x)=52,得2x+2−x=52,解得2x=2或2x=12,即x=1或x=−1.证明:因为f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=2x1+2−x1+2x2+2−x2−2(2x1+x22+2−x1+x22) =2x1+2x2−2⋅2x1+x22+2−x1+2−x2−2⋅2−x1+x22=(2x12−2x22)2+(2x12−2−x22)2≥0,所以f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)≥0,即f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22).【答案】证明:连接AD,因为PB=PC,AB=AC,D是BC的中点,所以PD⊥BC,AD⊥BC,PD∩AD=D,所以,BC⊥平面PAD.证明:在AC上取一点G,使得AG=14AC,取PC的中点H连接FG、GH、HE,在△ABC中,有AF=14AB,AG=14AC,则FG∥=14BC;在△PCD中,E、H分别是PD、PC的中点,则EH // DC,EH=12DC=14BC;所以FG // =EH,所以四边形EFGH为平行四边形,所以EF // HG,又EF⊄平面PAC,HG⊂平面PAC,所以EF // 平面PAC;由(1)知BC⊥PD,BC⊥AD,所以∠PDA为二面角P−BC−A的平面角,即∠PDA=60∘,在Rt△PCD中,PC=2,CD=1,所以PD=√3,在Rt△ACD中,AC=√3,CD=1,所以AD=√2,所以,S△PAD=12×√3×√2×sin60=3√24,所以,三棱锥P−ABC的体积V=13×3√24×2=√22.【考点】直线与平面垂直直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】(1)连接AD,利用线面垂直的判定定理证明即可;(2)在AC上取一点G,使得AG=14AC,取PC的中点H连接FG、GH、HE,先证明四边形EFGH为平行四边形,得到EF // HG,再证明线面平行;(3)先判断∠PDA为二面角P−BC−A的平面角,求出三角形PAD的面积,根据横截面体积公式求出体积即可.【解答】证明:连接AD,因为PB=PC,AB=AC,D是BC的中点,所以PD⊥BC,AD⊥BC,PD∩AD=D,所以,BC⊥平面PAD.证明:在AC上取一点G,使得AG=14AC,取PC的中点H连接FG、GH、HE,在△ABC中,有AF=14AB,AG=14AC,则FG∥=14BC;在△PCD中,E、H分别是PD、PC的中点,则EH // DC,EH=12DC=14BC;所以FG // =EH,所以四边形EFGH为平行四边形,所以EF // HG,又EF⊄平面PAC,HG⊂平面PAC,所以EF // 平面PAC;由(1)知BC ⊥PD ,BC ⊥AD ,所以∠PDA 为二面角P −BC −A 的平面角,即∠PDA =60∘, 在Rt △PCD 中,PC=2,CD =1,所以PD =√3, 在Rt △ACD 中,AC =√3,CD =1,所以AD =√2, 所以,S △PAD =12×√3×√2×sin 60=3√24, 所以,三棱锥P −ABC 的体积V =13×3√24×2=√22.【答案】设圆C 的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2, 则有{b =a +1a 2+(−1−b)2=r 2(2−a)2+(1−b)2=r 2解之得a =0,b =1,r =2,所以,圆C 的方程为x 2+(y −1)2=4.①当|AB|=√14时,圆心C 到直线AB 的距离d =√4−72=√22, 又d =√1+k 2, ∴ √22=√1+k 2,解得k =±1,所以AB 的方程是:x +y −2=0或x −y +2=0. ②设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)、M(0, m),由题意知直线MA 、MB 的斜率存在,分别记为k 1、k 2, 把y =kx +2代入x 2+(y −1)2=4, 整理得(1+k 2)x 2+2kx −3=0,于是△>0,x 1+x 2=−2k1+k 2,x 1⋅x 2=−31+k 2, ∴ k 1+k 2=y 1−m x 1+y 2−m x 2=kx 1+2−mx 1+kx 2+2−mx 2=2k +(2−m)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +−2k(2−m)−3=2k(5−m)3,当且仅当m =5时,对任意的k 均有k 1+k 2=0,即有∠CMA =∠CMB .所以,存在点M(0, 5)满足要求【考点】直线与圆的位置关系 【解析】(1)设圆的标准方程,由题意可得参数的值进而求出圆的方程;(2)①根据半个弦长与圆心到直线的距离和半径构成直角三角形可得求出k 的值;②直线与圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出直线MA ,MB 的斜率,再由∠CMA =∠CMB 可得,直线MA ,MB 的斜率之和为0,求出定点M 的坐标. 【解答】 解【答案】 由题意,可知当m =−1时,f(x)=x(4−|x|)={x(4−x),x ≥0x(4+x),x <0 ={−x 2+4x,x ≥0x 2+4x,x <0 .此时函数f(x)大致图象如下:结合图象,可知函数f(x)在[−3, 2]上的最大值为f(x)max =f(2)=4; 最小值为f(x)min =f(−2)=−4. 结合图象,可知函数f(x)在[−3, 2]上的最大值为f(x)max =f(2)=4; 最小值为f(x)min =f(−2)=−4.(1)由题意,可知函数f(x)的定义域为R ,关于原点对称,且f(−x)=−f(x), 故函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,且函数f(x)的图象关于原点对称.又f(x)=x(4+m|x|)={x(4+mx),x ≥0x(4−mx),x <0 ={mx 2+4x,x ≥0−mx 2+4x,x <0 .①当m ≥0时,函数f(x)图象如下:结合图形,可知函数f(x)在R 上单调递增, ∵ m ≥0,∴ x +m ≥x ,∴ f(x +m)≥f(x),不满足题意; ②当m <0时,函数f(x)图象如下:∵ m <0,∴ x +m <x ,而f(x +m)<f(x),∴ 函数f(x)在[−1, 1]单调递增,结合图象可知,2m≥1,解得0<m ≤2.综上所述,可得m 的取值范围为(0, 2].【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】本题第(1)题将m =−1代入后将绝对值函数转化为分段函数,然后画出函数f(x)大致图象,利用数形结合法可得f(x)在[−3, 2]上的最值;第(2)题先根据题意分析函数f(x)的奇偶性,然后将绝对值函数转化为分段函数,再将参数分成m ≥0与m <0两种情况分别讨论,利用数形结合法和分析函数的单调性可得m 的取值范围. 【解答】 由题意,可知当m =−1时,f(x)=x(4−|x|)={x(4−x),x ≥0x(4+x),x <0 ={−x 2+4x,x ≥0x 2+4x,x <0 .此时函数f(x)大致图象如下:结合图象,可知函数f(x)在[−3, 2]上的最大值为f(x)max =f(2)=4; 最小值为f(x)min =f(−2)=−4. 结合图象,可知函数f(x)在[−3, 2]上的最大值为f(x)max =f(2)=4; 最小值为f(x)min =f(−2)=−4.(1)由题意,可知函数f(x)的定义域为R ,关于原点对称,且f(−x)=−f(x), 故函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,且函数f(x)的图象关于原点对称.又f(x)=x(4+m|x|)={x(4+mx),x ≥0x(4−mx),x <0 ={mx 2+4x,x ≥0−mx 2+4x,x <0 .①当m ≥0时,函数f(x)图象如下:结合图形,可知函数f(x)在R 上单调递增,∵ m ≥0,∴ x +m ≥x ,∴ f(x +m)≥f(x),不满足题意; ②当m <0时,函数f(x)图象如下:∵m<0,∴x+m<x,而f(x+m)<f(x),∴函数f(x)在[−1, 1]单调递增,≥1,结合图象可知,2m解得0<m≤2.综上所述,可得m的取值范围为(0, 2].。
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湖南省益阳市一中2012学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意,请将正确选项的序号涂在答题卡上,否则不给分。
) 1.设集合{|1}A x x =>,{|22}B x x =-<<,则A B U =( ) A .{|2}x x >-B .{|1}x x >-C .{|21}x x -<<-D .{|12}x x -<<2. 下列命题中正确的是( )A .若a b =r r ,则a b =r rB .若a b >r r,则a b >r r C .若a b =r r ,则//a b r r D .若//,//a b b c r r r r,则//a c r r3.12log 的值为( )A .BC .12-D .124.设(3,4)a =r ,(sin ,cos )b αα=r,且a b ⊥r r ,则tan α的值为( )A .34B .34-C .43D .43-5.若函数3()()f x x x R =∈,则函数()y f x =-在其定义域上是( ) A .单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数C .单调递增的偶函数D .单调递增的奇函数6. 若3tan α=,则22sin cos αα的值等于( )A .2B .3C .4D .67. 若函数()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数,且在[]6,0-上单调递减,则( )A .()()340f f +>B .()()320f f -+-<C .()()250f f -+-<D .()()410f f -->8cos 23x x a +=-中,实数a 的取值范围是 ( )A .2521≤≤a B . 21≤a C . 25>a D . 2125-≤≤-a 二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中相应的横线上) 9. 已知点()4,2A ,向量()4,3=,且2=,则点B 的坐标为 ;10. 化简015tan 115tan 1-+的值等于 ; 11.已知0a b >>,则3,3,4aba由小到大的顺序是 ;12.已知函数()313f x ax a =+-,在区间(1,1)-内存在0x ,使()00f x =,则实数a 的取值范围是 ;13.向量,a b r r 满足||3,||4,||5,a b a b ==+=r r r r 则||a b -r r= ;14. 若tan()3αβ+=,tan()24πβ-=,则tan()4πα+=________; 15. D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点,且,CB a CA b ==u u u r r u u u r r,给出下列命题:①12AD a b =--u u u u r r r;②12BE a b =-+u u u r r r ;③1122CF a b =+u u u r r r ;④0AD BE CF ++=u u u u r u u u r u u u r r ,其中正确命题的序号为 。
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)(1)已知(2,2)a =-r,求与a r 垂直的单位向量c r 的坐标;(2)已知)2,3(=,)1,2(-=,若λλ++与平行,求实数λ的值. 17.(本小题满分12分) 已知函数()f x =2sin()cos x x π-(1) 求()f x 的最小正周期; (2) 求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值。
18.(本小题满分12分)已知向量(sin ,2)a θ=-r 与(1,cos )b θ=r 互相垂直,其中(0,)2πθ∈(1) 求sin θ和cos θ的值;(2) 若5cos(),02πθϕϕϕ-=<<,求cos ϕ的值。
19. (本题满分13分)海南清水湾天然浴场,景色秀丽,海湾内水清浪小,滩平坡缓,砂质细软,自然条件极为优越,是冲浪爱好者的好去处.已知海湾内海浪的的高度y (米)是时间t (024t ≤≤,单位:小时)的函数,记()y f t =.下表是某日各时刻记录的浪高数据:经长期观测,()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.(1)根据以上数据,求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ,振幅A 及函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?20.(本题满分13分) 已知函数m x x x f -=2)(,且27)4(-=f . (1) 求m 的值;(2) 判断)(x f 在),0(+∞上的单调性,请用定义给予证明; (3) 求函数()f x 在区间[5,1]--上的最值.21.(本题满分13分)定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数. ①对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥;②当10x ≥,20x ≥,121x x +≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立. 已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数. (1)请问:函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值;(3)在(2)的条件下讨论方程(21)()()xg h x m m R -+=∈解的个数情况.湖南省益阳市一中2012学年下学期高一年级期末考试数学试题参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.A 2. C 3. C 4.D 5.B 6. D 7. D 8.A二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 9. ()12,8 10.3 11. 334b a a << 12. 16a >13. 5 14.1715.②③④三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(本小题满分12分)解:(1)设(,)c x y =r ,则有{222201x y x y -=+= ……………3分解得x y ==,c ∴=r或(c =r ………6分(2) ∵(32,21),(32,2)a b a b λλλλλλ+=+-+=+-r r r r……………8分∴(32)(2)(21)(32)0λλλλ+---+=……………10分解得1λ=±. ……………12分17.(本小题满分12分)解:(1)()sin 2f x x =Q ……………3分 所以()f x 的最小正周期π ……………6分(2)[,]2623x x ππππ∈-∴-≤≤Qsin 21x ≤≤……………9分所以 ()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值1,最小值12分18.(本小题满分12分)解:(1)∵a b ⊥r r ,∴sin 2cos 0a b θθ⋅=-=r r ,∴sin 2cos θθ= ……………2分又22sincos 1θθ+=,且(0,)2πθ∈∴sin θθ==……………6分(2)∵5cos(),θϕϕ-=即5(cos cos sin sin )θϕθϕϕϕϕ+=+= cos sin ϕϕ= ……………9分又02πϕ<<且22sin cos 1ϕϕ+= ∴cos ϕ=……………12分19. (本题满分13分) 解:(1)12T = ,6πω∴=……………2分由0, 1.5t y ==得 1.5A b +=由3, 1.0t y ==得 1.0b = 0.5A ∴=……………5分 1cos 126y t π∴=+……………6分(2)由1y ≥得cos06t π≥ ……………8分解得123123,k t k k Z -≤≤+∈ ……………10分又∵024t ≤≤,∴03t ≤≤,或915t ≤≤,或2124t ≤≤……………12分 答:一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午3:00. ……………13分20.(本题满分13分) 解:(1)由7(4)2f =-得:27442m -=-,即:44m=, 解得:1m =;…………………3分(2) 函数()f x 在),0(+∞上为减函数。
…………………4分 证明:设120x x <<,则21211221212222()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=---=-+- 12212()(1)x x x x =-+;…………………6分 ∵120x x << ∴ 12212()(1)0x x x x -+<,即21()()0f x f x -<,即21()()f x f x <, ∴ )(x f 在),0(+∞上为减函数。
…………………8分(3) 由(1)知:函数2()f x x x=-,其定义域为{|0}x x ≠。
…………9分 ∴22()()()()f x x x f x x x-=--=--=--,即函数()f x 为奇函数。
…………10分由(2)知:()f x 在[1,5]上为减函数,则函数()f x 在区间[5,1]--上为减函数。
……11分 ∴当5x =-时,()f x 取得最大值,最大值为223(5)555f -=-+=; 当1x =-时,()f x 取得最小值,最小值为(1)211f -=-+=-。
…………13分21.(本题满分13分)解:(1)2()g x x =是G 函数……………… 1分 当[0,1]x ∈时,总有2()0g x x =≥,满足条件① 当10x ≥,20x ≥,121x x +≤时,22222121212121212()()2()()g x x x x x x x x x x g x g x +=+=++≥+=+满足②∴2()g x x =是G 函数……………… 4分(2)若1a <,则(0)10h a =-<,不满足①,∴()h x 不是G 函数……… 5分 若1a ≥, ()h x 在[0,1]x ∈上是增函数,则()(0)10h x h a ≥=-≥,满足条件① 对于10x ≥,20x ≥,121x x +≤,若1212()()()h x x h x h x +≥+,则有 1212212121x x x x a a a +⋅-≥⋅-+⋅-即12[1(21)(21)]1x x a ⋅---≤又∵1201(21)(21)1xx<---≤,∴1211(21)(21)x x a ≤---当120x x ==时,12min 1[]11(21)(21)x x =---,∴1a ≤……… 7分综上得1a = ………8分 (3)根据(2)知:1a =,方程化为222xx m -=,……… 9分其中021101x x ⎧≤-≤⎨≤≤⎩,解得[0,1]x ∈……… 10分令2xt =,则[1,2]t ∈,2211()24m t t t =-=--是增函数……… 11分 由图象可知[0,2]m ∈时,t 有一解,因而x 有一解……… 12分U时,t无解,因而x无解……… 13分m∈-∞+∞(,0)(2,)。