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苏科版九年级数学下册 7.6 锐角三角函数的简单应用同步练习

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2022-2023年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D为CA延长线上一点，且AD＝AB．（1）求∠D的度数；（2）求tan15°的值．（保留根号）2．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）3．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．4．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）5．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）6．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）7．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）8．如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）9．如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是该图的平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们]之间的水平距离BC＝2m，折臂底座CD＝1.5m，上折臂AE＝5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，求路灯AB的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）10．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）11．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）12．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．13．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）14．如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）16．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）17．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B 处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）18．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）19．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E 之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）20．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）21．某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD．已知入口高AB＝4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB＝45°，新坡面坡角∠ADB ＝30°．（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线AE＝6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝1.3m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7）22．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：（1）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D，∵∠BAC＝30°，∠BAC＝∠ABD+∠D，∴∠D＝15°；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，AC＝BC，∵AB＝AD，∴AD＝2BC，∴CD＝CA+AD＝BC+2BC＝（+2）BC，∵∠D＝15°，∠C＝90°，∴tan15°＝＝，即tan15°的值是2﹣．2．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形AECF是矩形，∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AF＝CE＝4，由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，∴AB＝4﹣2，∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，答：垂尾模型ABCD的面积为24．3．（1）证明：如图1，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC，∴BN＝BC，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，在△ABN和△BAH中，，∴△ABN≌△BAH（AAS），∴BN＝AH，∴BC＝AH，∴BC＝2AH；（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，∴∠ABD＝∠AFE＝150°，∴△ABD∽△AFE，∴，即，∴＝，设EF＝a，则AF＝a，∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，∴CF＝a，∴6﹣a＝a，∴a＝，∴CE＝EF＝；（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，∴△ABD∽△GCA，∴，即＝，∴CG＝5m2，∵AG∥CE，∴，∴，∴m＝，∴BC＝8m＝．故答案为：．4．解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．5．解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC＝90°，AB∥DE，∴△F AB∽△FDE，∴＝，∵FB＝4米，BE＝6米，DE＝9米，∴＝，得AB＝3.6米，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝53°，cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝6米，∴AB+AC＝3.6+6＝9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．6．解：（1）∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝，∴CD＝AC sin24°＝30×0.40＝12cm；∴支撑臂CD的长为12cm；（2）过点C作CE⊥AB，于点E，当∠BAC＝12°时，∴sin12°＝＝，∴CE＝30×0.20＝6cm，∵CD＝12，∴DE＝，∴AE＝＝12cm，∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm．7．解：∵∠AOB＝150°，在Rt△ACO中，AC＝10cm，∴AO＝2AC＝20（cm），由题意得：AO＝A′O＝20cm，∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．8．解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），∵AB＝10米，∴BC＝AC﹣AB＝20（米），在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），∴广告牌ED的高度约为4.9米．9．解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥MN，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，则EF＝GB，DH＝GC，EG＝FB，HG＝DC＝1.5m，∠HDC＝90°，EF∥DH，∵∠CDE＝135°，∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°，∵EF∥DH，∴∠FED＝∠EDH＝45°，∵∠AED＝75°，在Rt△AEF中，AE＝5m，∴AF＝AE＝2.5（m），EF＝AF＝2.5（m），∴EF＝GB＝2.5m，∵BC＝2m，∴GC＝GB﹣BC＝（2.5﹣2）m，∴DH＝GC＝（2.5﹣2）m，在Rt△EDH中，EH＝DH•tan45°＝（2.5﹣2）m，∴FB＝EG＝EH+HG＝2.5﹣2+1.5＝（2.5﹣0.5）m，∴AB＝FB+AF＝2.5+2.5﹣0.5＝2+2.5≈6.3（m），∴路灯AB的高为6.3m．10．解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝45°，PQ＝1.2﹣0.2＝1米，∴DQ＝PQ＝1（米），∴PF＝AB﹣DQ＝3﹣1＝2（米），（2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，则∠DPQ＝36°，PQ＝1.6﹣0.2＝1.4（米），∴DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），∴PF＝3﹣1.022≈1.98（米），∵1.98＞1.8，∴能通过．11．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．12．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．13．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．14．解：（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，由题意得：∠∠BAM＝60°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝0.5米，∴DE＝AD＝0.25（米），∴此时点D与地面的高度为0.25米；（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，在Rt△ABK中，∠BAK＝80°，AB＝1.7米，∴BK＝AB•sin80°≈1.7×0.98＝1.666（米），∴HJ＝BK＝1.666米，∵BH∥AK，∴∠HBA＝∠BAK＝80°，∴∠CBH＝∠ABC﹣∠HBA＝10°，∵∠BHC＝90°，∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝80°，在Rt△BCH中，BC＝0.5米，∴CH＝BC•cos80°≈0.5×0.16＝0.08（米），∴CH+HJ+JG＝0.08+1.777+0.3≈2.05（米），∴最高点C与地面的距离约为2.05米，∴2.05﹣2＝0.05（米），∴他要下蹲5厘米才刚好进门．15．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．16．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，∴AB＝≈＝15（m），∴此时云梯AB的长为15m；（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE＝BC＝2m，∵AE＝19m，∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），在Rt△ABD中，BD＝9m，∴AB＝＝＝（m），∵m＜20m，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．17．解：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，设CM＝xcm，在Rt△ACM中，∠MAC＝45°，∴AM＝＝x（cm），∵AB＝60cm，∴BM＝AB﹣AM＝（60﹣x）cm，在Rt△BMC中，∠CBM＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x≈38.1，经检验：x＝38.1是原方程的根，∴CM＝38.1cm，∴点C到AB的距离为38.1cm；（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，由题意得：∠EBN＝∠ABC＝60°，在Rt△BEN中，BE＝6cm，∴EN＝BE•sin60°＝6×＝3≈5.19（cm），∴坐垫E到地面的距离为：5.19+30+38.1＝73.29（cm），∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．18．解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE＝≈≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．19．解：（1）由题意得：∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，在Rt△ACD中，CD＝7米，∴AD＝≈＝14（米），在Rt△BEF中，EF＝7米，∴BF＝＝≈4.1（米），∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），∴A，B两点之间的距离约为760米；（2）小汽车从点A行驶到点B没有超速，理由：由题意得：760÷38＝20米/秒，∵20米/秒＜22米/秒，∴小汽车从点A行驶到点B没有超速．20．解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE＝DN，DB＝NE，∵斜坡AB的坡度i＝3：4，∴＝，∴设BE＝3a米，则AE＝4a米，在Rt△ABE中，AB＝＝＝5a（米），∵AB＝75米，∴5a＝75，∴a＝15，∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，设NA＝x米，∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米），∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，∴tan22°＝＝≈0.4，解得：x＝57.5，经检验：x＝57.5是原方程的根，∴MN＝1.6x＝92（米），∴大楼MN的高度约为92米．21．解：（1）∵AB⊥BD，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4m，∠ACB＝45°，∴BC＝＝4（m），在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝＝＝4（m），∴CD＝BD﹣BC＝（4﹣4）m，∴斜坡底部增加的长度CD为（4﹣4）m；（2）延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，由题意得：∠FHG＝∠AEG＝90°，AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝30°，∴∠AGF＝90°﹣∠EAD＝60°，在Rt△AEG中，AE＝6m，∴EG＝AE•tan30°＝6×＝2（m），∵EF＝1.3m，∴FG＝EG﹣EF＝2.1（m），在Rt△FHG中，FH＝FG•sin60°＝2.1×≈1.8（m），∴限制高度约为1.8米．22．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．。

苏科版数学九年级下册7.6《用锐角三角函数解决问题》同步练习

苏科版数学九年级下册7.6《用锐角三角函数解决问题》同步练习

锐角三角函数的简单应用课前参与（一）知识整理：坡度的概念、坡度与坡角的关系如图1，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，（1）坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC， 坡度通常写成l ∶m 的形式，例如，图1中的i =1∶2.（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角.从三角函数的概念可以知道：坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.在解决实际问题时，遇到坡度，坡角的问题时，常构造如右上图所示的直角三角形。

（二）尝试练习：1、填空：（1）已知斜坡面AB 的铅垂高度为4米，水平宽度为4米，则斜坡AB 的坡度=i ，坡角α= °（2）已知斜面坡角等于30°，那么斜面的坡比是2、若一段公路的坡度为1∶26，求沿着这条公路每前进100m 所上升的高度.（精确到0.1m ）3、在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m ，测的坡道的坡度为 1∶3.5。

求相邻两树间的坡道距离。

4、如图，水库大坝的横断面是梯形，已知斜坡CD 的坡度1i =1∶1，斜坡AB 的坡度2i =1∶3，求（1）斜边AB 、CD 与地面的夹角；（2）如果坝顶AD 宽为10米，坝高20米，求坝底BC 的宽。

（结果保留根号）（三）通过预习，你学到了哪些知识？还有什么疑惑吗？课中参与 姓名：例1．如图、水库堤坝的横截面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡BC 的坡角α为30°，背水坡AD 的坡度2.1:1=i ，坝顶宽DC=2.5m ，，坝高4.5m 。

求（1）背水坡AD 的坡角β（精确到0.1°）（2）坝底宽AB 的长（精确到0.1m ） D C BAD图1拓展延伸：在第例1中，，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5m ，背水坡AD 的波度改为1：1.4.已知堤坝的总长度为5km ，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1m 3）例2．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE 与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O 的圆心O,⊙O 的半径为0.2m,AO 与屋面AB 的夹角为32°，与铅垂线OD 的夹角为40°，BF ⊥AB 于B ，OD ⊥AD 于D ，AB ＝2m,求屋面AB 的坡度和支架BF 的长.(参考数据：13121tan18,tan 32,tan 4035025≈≈≈)例3．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45，已知100OA =米，山坡坡度12i =:且O 、A 在同一条直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）课后参与 姓名： 1．斜坡的坡度3:1=i ，则坡角=α2．沿着山坡每前进100米，相应地升高60米则山坡的坡度是i = 。

苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题

苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题

7.6用锐角三角函数解决问题同步习题一．选择题1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（）m．A．40B．45C．30+D．302．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD ＝2CD，设斜坡AC的坡度为i AC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为i AB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（）A．i AC＝2i AB B．∠ACD＝2∠ABD C．2i AC＝i AB D．2∠ACD＝∠ABD 4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE 平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A．11.1米B．11.8米C．12.0米D．12.6米5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣56．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．2.7B．3.4C．2.5D．3.17．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（）A．3米B．3米C．（3﹣2）米D．（3﹣3）米8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A 处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）A．27米B．31米C．48米D．52米9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20二．填空题11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为m．12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．三．解答题16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E 的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，求大楼AB的高．17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠BDE＝30°，BD＝30m，∴BE＝BD＝15m，∵AD＝30m，∴CE＝30m，∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．故选：B．2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．3．解：斜坡AC的坡度i AC＝，斜坡AB的坡度i AB＝，∵BD＝2CD，∴i AC＝2i AB，A正确，C错误；∠ACD≠2∠ABD，B错误；2∠ACD≠∠ABD，D错误；故选：A．4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15，在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D．5．解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．6．解：根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．7．解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，则AH＝AB•sin∠ABH＝6×＝3，∵∠E＝45°，∴AE＝AH＝×3＝3，故选：A．8．解：设CE＝x米，∵斜坡BC的坡度为2：1，∴BE＝2x米，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，则＝0.7，解得，x＝21，∴DE＝39+x＝60，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE＝69，∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），故选：A．9．解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴BC＝AB＝12，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），故选：B．10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．二．填空题11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，∵cos∠A＝，∴AB＝＝＝6（m），故答案为：6．12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，故答案为：15．13．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠P AC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△P AC中，＝tan∠P AC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．三．解答题16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度，∴BG：CG＝3：4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．∵在Rt△BCF中，，∴设BF＝k，则，．又∵，∴k＝8，∴BF＝8，．∵DF＝DC+CF，∴．∵在Rt△ADF中，，∴（米）．∵AB＝AF﹣BF，∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．18．解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝16，∴BE＝x﹣16，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣16），∴2（x﹣16）＝x，解得：x＝32（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝32×＝，∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．。

九年级数学下册第7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题7.6.1与坡度和坡角有关的问题同步练习2苏科版

九年级数学下册第7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题7.6.1与坡度和坡角有关的问题同步练习2苏科版

[7.6 第1课时 与坡度、坡角有关的问题]一、选择题1．图K －32－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h ＝6 m ，迎水斜坡AB ＝10 m ，斜坡AB 的坡角为α，则tan α的值为( )图K －32－1A.35B.45C.43D.342．2017·温州如图K －32－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是链接听课例1归纳总结( )图K －32－2A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米3．如图K －32－3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为( )图K －32－3A ．5cos α米 B.5cos α米C ．5sin α米 D.55sin α米4．某水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD ＝6 m ，坝高为24 m ，斜坡AB 的坡角是45°，斜坡CD 的坡比i ＝1∶2，则坝底BC 的长是( )A ．(30＋8 3)mB ．(30＋24 3)mC ．42 mD ．78 m 二、填空题5．如图K －32－4，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°图K－32－46．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 5米，则这个坡面的坡度为________．7．2017·天门为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图K－32－5，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12 3米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3 313，则CE的长为________米.链接听课例2归纳总结图K－32－5三、解答题8．2018·徐州如图K－32－6，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽(精确到0.1 m．9．某学校校园内有一小山坡，如图K－32－7所示，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB的长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC 的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.图K－32－710．如图K－32－8，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6米，坝高3.2米，迎水坡CD的坡度为i＝1∶2.为了提高水坝的拦水能力，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1∶2变成i′＝1∶2.5(有关数据在图上已注明)，求加高后的坝底HD的长．图K－32－811．如图K－32－9，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)链接听课例1归纳总结图K－32－912．某地的一座天桥如图K－32－10所示，天桥的高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．图K－32－10建模思想2018·泰州日照间距系数反映了房屋日照情况．如图K－32－11①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75(即EH∶FH＝1∶0.75)，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到点E的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图K－32－11详解详析[课堂达标]1．[解析] D 过点A 作AC ⊥BC 于点C ，可求得BC ＝8 m ，所以tan α＝34，故选D .2．[解析] A 如图，设AC ＝13，过点C 作CB ⊥AB 于点B.∵cos α＝1213＝ABAC，∴AB ＝12，∴BC ＝AC 2－AB 2＝132－122＝5， ∴小车上升的高度是5米． 故选A .3．[解析] B 合理选择三角函数是解决问题的关键．4．[解析] D 画出草图，作AF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BC 于点E ，由条件分别求出BF ，CE 的长即可．5．[答案] 30[解析] sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°.6．1∶2 7．[答案] 8[解析] 过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，AF ＝AB·sin B ＝6 3，∴DG ＝6 3.在Rt △DCG 中，利用勾股定理，得CG ＝18.在Rt △DEG 中，tan E ＝DG GE ＝6 3GE ＝3 313，∴GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8(米)．8．解：如图，分别过点A ，D 作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，垂足分别为F ，E ，则四边形AFED 是矩形．在Rt △CDE 中，∵sin C ＝DE CD ，cos C ＝CECD，∴DE ＝sin 30°·CD ＝12×14＝7(m )，CE ＝cos 30°·CD ＝32×14＝7 3≈12.124≈12.12(m )． ∵四边形AFED 是矩形，∴EF ＝AD ＝6 m ，AF ＝DE ＝7 m . 在Rt △ABF 中， ∵∠B ＝45°，∴BF ＝AF ＝7 m ，∴BC ＝BF ＋EF ＋CE ≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m )． 答：该坝的坝高为7 m ，坝底宽约为25.1 m .9．[解析] 因为AD ＝AC －CD ，故欲求AD ，只需先求AC ，CD.为此可先解Rt △ABC ，求出BC ，再根据坡比即可求出CD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝6米，BC ＝AB·cos ∠ABC ＝12×32＝6 3(米)．∵斜坡BD 的坡比是1∶3， ∴CD ＝13BC ＝2 3 米，∴AD ＝AC －CD ＝(6－2 3)米．答：开挖后小山坡下降的高度AD 为(6－2 3)米．10．[解析] 应把所求的HD 进行合理分割，过点E 作EF ⊥HD 于点F ，过点M 作MN ⊥HD 于点N ，HD ＝HN ＋NF ＋FD ，可利用Rt △HMN 和Rt △DEF 来求解．解：过点M 作MN ⊥HD ，过点B 作BG ⊥HD ，过点E 作EF ⊥HD ，垂足分别为N ，G ，F. ∵BG ＝3.2米，∴加高后MN ＝EF ＝5.2米， ME ＝NF ＝BC ＝6米．在Rt △HMN 和Rt △DEF 中，MN HN ＝12.5，EF FD ＝12， ∴HN ＝52MN ＝13米，FD ＝2EF ＝10.4米，∴HD ＝HN ＋NF ＋FD ＝13＋6＋10.4＝29.4(米)．答：加高后的坝底HD 的长为29.4米．11．[解析] 假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，过点D′作D′E′⊥AC 于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE ，CE ，CE ′的长，进而可得出结论．解：假设点D 移到D′的位置时，∠α＝39°.如图，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，过点D′作D′E′⊥AC ，交AC 的延长线于点E′.∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD·sin 60°＝12×32＝6 3(米)，CE ＝CD ·cos 60°＝12×12＝6(米)． ∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥CE ′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴D ′E ′＝DE ＝6 3米． ∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝D′E′tan 39°≈6 30.81≈12.8，∴EE ′＝CE′－CE ≈12.8－6＝6.8≈7(米)．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全． 12．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3， ∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝33，∴α＝30°. 答：新坡面的坡角α为30°.(2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下： 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6.∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3， ∴BD ＝CD ＝6，AD ＝6 3， ∴AB ＝AD －BD ＝6 3－6＜8， ∴文化墙PM 不需要拆除．[素养提升]解：(1)∵i EF ＝1∶0.75＝43＝EH FH ，∴可设EH ＝4x m ，FH ＝3x m ，则EF ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ＝15 m ，∴x ＝3，∴FH ＝9 m ，即山坡EF 的水平宽度FH 为9 m . (2)如图，延长BA ，FH 交于点G ，则AG ＝EH ＝12 m ，GH ＝AE ＝4 m ，∴BG ＝AB ＋AG ＝22.5＋12＝34.5(cm )．设CF ＝y m ，则CG ＝CF ＋FH ＋GH ＝y ＋9＋4＝(y ＋13)m . 由题意知CG ∶(BG －CP)≥1.25，∴y ＋1334.5－0.9≥1.25，解得y ≥29，∴底部C 距F 处至少29 m 远．。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题（附答案）1．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，≈1.7）．3．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）4．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD 的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）5．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）6．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.2877．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）8．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）9．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°条幅底端F到地面的距离FE的长度．≈0.80，tan37°≈0.75）10．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．12．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）14．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]15．如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）16．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．17．如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）18．我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）19．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）参考答案1．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．2．解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的长约为10.2m．3．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．4．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．5．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．6．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．7．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．8．解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度约为28m．9．解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．10．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．11．解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BC sin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．12．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．13．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．14．解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．答：河宽EF的长约为53m．15．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．16．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．17．解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．18．解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．19．解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，∴AB＝，∵AB+AO+OM＝31.64cm，∴AO＝12cm，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，∴点B到桌面得距离为28.78cm．。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习（附答案）一．选择题1．某人沿着斜坡前进，当他前进30米时上升的高度为15米，则斜坡的坡度i等于（）A．1：2B．1：C．1：D．2：12．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，3h后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，4h到达小岛B．则A，B 两岛的距离为（）km．A．30B．40C．50D．604．如图，某飞机于空中A处（探测的目标C的正上方），此时飞机的飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角∠DAB＝30°．则飞机A与指挥台B的距离是（）A．1200米B．1200米C．2400米D．1200米5．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC 为（）米．A．45B．60C．75D．906．如图，为了测量河岸A，B两地的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么A，B两地的距离等于（）A．B．a•tanαC．a•sinαD．a•cosα7．如图，一个小球由坡底沿着坡度为1：2的坡面前进了10米，此时小球在竖直方向上上升了（）A．4米B．米C．5米D．米8．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C 的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A．80（）米B．40（）米C．（120﹣40）米D．40（）米二．填空题9．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．（1）伸展臂PQ长为米；（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行，则灯塔P到航线AB的距离是海里（结果保留根号）；航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．11．小明用一块含有60°角（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.60m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.70）12．为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是．（结果保留根号）13．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，根据图中的数据，求得的坡角a和坝底宽AD分别为．14．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）15．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）16．如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为i＝1：2.4，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为米．三．解答题17．一艘渔船以每小时40km的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向；继续航行1h到达B处，测得灯塔C在北偏东30°方向．已知灯塔C的四周30km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？18．如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端B点出发，沿斜坡BC行走26米至坡顶C处，在C点测得该建筑物顶端A的仰角为60°，斜坡BC的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物AB的高度（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）．19．如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm．（1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？20．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，）21．如图所示，电视塔由信号发射塔AB和主楼BC两部分组成．某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点D为观测点，测得DC＝147m，信号发射塔顶A的仰角为45°，发射塔底B的仰角为33°．请你帮他们求出信号发射塔AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.83，tan33°≈0.65）．22．如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和宝塔B，我区某镇准备开发桑葚基地C，经测量C位于A北偏东60°，B的北偏东30°上，且AB＝20km．（1）求宝塔B到桑葚基地C的距离．（2）为了方便游客到桑葚基地C采摘桑葚，镇里决定由C向公路l修建一条距离最短的公路，不考虑其他因数，求出这条最短公路的长．23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处．这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）（2）请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：由题意得：某人在斜坡上走了30米，上升的高度为15米，则某人走的水平距离s＝＝15（米），∴坡度i＝15：15＝1：．故选：C．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tan A＝，则＝，解得：AC＝75，则斜坡的水平距离AC为75cm，故选：A．3．解：如图，由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵OA＝3×10＝30km，OB＝4×10＝40km，∴AB＝＝50km．故选：C．4．解：由题意可知：∠B＝30°，在Rt△ABC中，sin B＝，∴AB＝＝＝2400（m），答：飞机A与指挥台B的距离约为2400m，故选：C．5．解：∵AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝15m，∴BD＝AD•tan30°＝15×＝15（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝15m，∴CD＝AD•tan60°＝15×＝45（m），∴BC＝15+45＝60（m）．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，tanα＝，∴AB＝＝，故选：A．7．解：∵AB的坡度为1：2，∴＝．∴设BC＝x米，AC＝2x米，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝100米．即100＝x2+4x2，解得：x＝2，∴BC＝2米．故选：B．8．解：过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D，如图：设BD＝x米，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝80，解得x＝＝40（+1），答：这段河的宽度为40（+1）米．故选：B．二．填空题9．解：（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，则HQ＝MN＝0.5米，在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝32米，∴PH＝PM•sin45°＝32×＝（米），∴PQ＝PH+HQ＝（16+0.50）米，∴伸展臂PQ长为（16+0.5）米，故答案为：（16+0.5）；（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，在Rt△APQ中，PQ＝（16+0.5）米，∴AQ＝PQ•sin45°＝（16+0.5）×＝（16+）（米），∵PM＝3米，∴AM＝AP+PM＝16（米），在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），∴挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，故答案为：．10．解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝P A＝25海里，∴PC＝AC＝25海里，在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝25海里，∴BP＝PC＝25海里，故答案为：25，25．11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.60m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.60m，在Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，∴ED＝AD•tan60°＝4×＝4（m），∴CE＝ED+DC＝4+1.60≈8.4（m）答：这棵树的高度约为8.4m．故答案为：8.4．12．解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．故答案为：4米．13．解：过点B作BF⊥AD于F，则四边形BFEC为矩形，∴EF＝BC＝4.5m，BF＝CE＝4m，∵斜坡CD的坡度i＝1：，∴tanα＝＝，∴α＝30°，在Rt△ABF中，AB＝5m，BF＝4m，由勾股定理得：AF＝＝3（m），∴AD＝AF+EF+DE＝（+4）m，故答案为：30°、（+4）m．14．解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．15．解：作CH⊥DE于H，∵CD＝8cm，∠CDE＝60°，∴CH＝CD•sin∠CDE＝8×sin60°＝4（cm），故答案为：4．16．解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，AC＝12米，由勾股定理得，AB＝＝＝13（米），故答案为：13．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝40×1＝40（km），在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，∴这艘船继续向东航行安全．18．解：如图，过C作CE⊥BD于点E，作CF⊥AB于点F，则四边形BECF是矩形，∴BF＝CE，CF＝BE，∵斜坡BC的坡度i＝＝1：2.4＝，∴设CE＝5x米，则BE＝12x米，在Rt△BCE中，BC＝26米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，解得：x＝2，∴CE＝10米，BE＝24米，∴BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，tan∠ACF＝＝tan60°＝，∴AF＝CF＝24米，∴AB＝AF+BF＝24+10≈51.6（米），答：建筑物AB的高度约为51.6米．19．解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF于点N，如图：在Rt△AMB中，AB＝60cm，∠ABM＝28°，∴sin28°＝，∴AM＝AB×sin28°＝0.47×60＝28.2（cm），同理DN＝28.2cm，∴闸机通道的宽度BE＝AM+AD+DN＝28.2×2+10＝66.4（cm）；答：闸机通道的宽度是66.4cm；（2）解：设一个人工检票口每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机检票口每分钟通过的人数为2x人，由题意得：﹣＝4，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的解，∴2x＝2×30＝60（人），答：一个人工检票口每分钟检票通过30人，一个智能闸机检票口每分钟通过60人．20．解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝6（米），在Rt△ABM中，∴NE＝BM＝AB＝6（米），AM＝AB＝6（米），∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），∴CD＝CE﹣DE＝6+30﹣32＝6﹣2≈8.4（米）答：广告牌CD的高约8.4米．21．解：在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝147（m），在Rt△BDC中，，∴BC＝CD•tan33°≈147×0.65＝95.55（m），∴AB＝AC﹣BC＝147﹣95.55＝51.45≈51.5（m），所以，信号发射塔AB的高度约为51.5m．22．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝20km，即宝塔B到桑葚基地C的距离为20km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝20km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝BC＝10（km），答：这条最短公路的长为10km．23．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝120米，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，∠APO＝60°，则AO＝OP•tan∠APO＝120（米），∴AB＝AO﹣BO＝120﹣120≈87.8（米），答：点A，B之间的距离约为87.8米；（2）超过了，理由如下：此车的速度为：≈63.2（千米/小时），∵63.2＞60，∴此车超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度．。

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步达标训练(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步达标训练(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步达标训练（附答案）1．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里2．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．10米B．24米C．25米D．26米5．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（）A．2000米B．米C．4000米D．米7．如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠48．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A 的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向250米处D．南偏西60°方向250米处9．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米10．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为．11．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了米．12．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．13．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB 和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，那么坝底宽BC是米．14．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．15．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．16．如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B 的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）17．图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．18．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）19．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）20．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）21．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．22．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD ＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B 的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝0.92，tan22.8°＝0.42】24．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．25．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）参考答案1．解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．2．解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝5千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC＝（千米），故选：C．3．解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．4．解：作AB⊥CB于B，由题意得，AB＝10米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，BC＝24，由勾股定理得，AC＝＝＝26（米），故选：D．5．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．6．解：根据题意：直升飞机与上海东方明珠底部之间距离是＝＝4000米．故选：C．7．解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．故选：C．8．解：如图所示：∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，故选：A．9．解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．10．解，如图，作CH⊥AD于H．∵AC2＝DA•DC时∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，AH＝AD﹣CD•cos∠D，∴AC2＝AH2+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠D＝AD2+CD2﹣AD•CD，∵AC2＝AD•CD，∴AD2﹣2AD•CD+CD2＝0，∴（AD﹣CD）2＝0，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝＝＝2．故答案为：2．11．解：设此人升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．12．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．13．解：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，由题意可得：AD＝EF＝6m，AE＝DF＝4m，∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，∴BE＝FC＝2m，∴BC＝BE+FC+EF＝6+2+2＝10（m）．故答案为：10．14．解：作CD⊥AB于点D．∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴BD＝CD，∵∠DAC＝30°，∴tan30°＝＝＝＝，解得CD＝BD＝500+500（米）．答：该飞机与地面的高度是（500+500）米．故答案为：（500+500）．15．解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．16．解：在Rt△AMN中，AN＝MN×tan∠AMN＝MN×tan60°＝9×＝9．在Rt△BMN中，BN＝MN×tan∠BMN＝MN×tan30°＝9×＝3．∴AB＝AN﹣BN＝9﹣3＝6．则A到B的平均速度为：＝＝10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．17．解：连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，由题意得：点A、B在圆D上，∴DB＝DA，在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝75°，∠DAE＝60°，∵DA＝10米，∴AE＝5（米），∴BE＝AE×tan15°≈5×0.27＝1.35（米），∵∠EAC＝76°，∴CE＝AE×tan76°≈5×4.01＝20.05（米），∴BC＝BE+CE＝1.35+20.05≈21（米），答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．18．解：（1）如图2，过点A作AH⊥OF于H，∵sin O＝＝0.6，∴AH＝20×0.6＝12（cm），∴OH＝＝＝16（cm），∴BH＝16﹣7＝9（cm），∴AB＝＝＝15（cm）；（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，∴AH＝OH＝10（cm），∴BH＝＝＝5（cm），∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），答：时窗钩端点B与点O之间的距离为9cm．19．解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM＝，∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，∵BD＝2，CD＝3.4，∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，∴AH＝5x+2，∵∠ACD＝45°，∴AH＝CH，∴3.4﹣2x＝5x+2，解得：x＝0.2，∴PB＝1，AP＝0.4，∴AB＝＝＝（米），答：显示屏的宽AB的长为米．20．解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．21．解：如图，延长CD交AB于E，∵i＝1：2.4，∴，∴，∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，∵，∴，，答：该车库入口的限高数值为2.4米．22．解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP＝EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．23．解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴DH＝＝，在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，∴DH＝＝，∴＝，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．24．解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．25．解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB＝32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 2．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B 在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m3．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，迎水坡AB的坡角∠ABC＝45°，背水坡CD的坡比为1：，斜坡AB长8m，则背水坡CD的长为（）A．m B．m C．m D．m4．某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）．若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为α，则渠口宽AD为（）A．（2+3•tanα）m B．（2+6•tanα）mC．（2+）m D．（2+）m5．同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度为（）（参考数据：≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数）A．232m B．246m C．254m D．310m7．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（）A．a tan55°米B．米C．米D．米8．从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C海岛到观测点A的距离是（）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里二．填空题9．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°．另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学在学校资料室查出楼高AB＝15m，CD＝20m，则两幢教学楼之间的距离BD约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）10．如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是米（≈1.73，结果精确到0.1米）．11．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）12．如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为米．13．如图，防洪大堤（横断面为梯形ABCD）长150米，高7米，背水坡的坡角为45°．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比为i＝1：，则完成这项工程需要土石立方米．（结果保留根号）14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，旗杆的高度为m．结果保留小数点后一位，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）15．如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高度约为m．（结果取整数，≈1.7）16．国家的发展离不开科技的支持与创新．小明同学是一个航天迷，在一次航空博览会中，我国第五代战机歼﹣31作飞行展示，如图，该飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为53°，此时飞行路线改为沿仰角为30°方向的直线AB飞行，飞机飞行了6千米到B处时，而居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米．则观礼台C和居民区D的距离是千米．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，结果可保留根号）三．解答题（共8小题）17．2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD 的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）18．长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．（1）求∠DBC的大小；（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．19．新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”．云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”CE的高度，在楼前的平地上A外，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距22m．其中测量仪器AG＝BF＝DE＝1.5米．求“青云塔”CE的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）．20．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）21．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）22．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在河北岸C处测得对岸A处一棵树位于南偏东50°方向，B处一棵树位于南偏东57°方向，已知两树AB相距6米，求此段河面的宽度．（结果取整数．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）23．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C 点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）24．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）参考答案一．选择题1．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．2．解：由题意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tan C≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：该建筑物AB的高度约为37m．故选：C．3．解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵AD∥BC，在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝8m，∴AF＝AB•sin45°＝8×＝4（m），∴AF＝DE＝4m，在Rt△DEC中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE＝8（m），故选：D．4．解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，则BH＝CE＝3m，BC＝HE＝2m，∵四边形ABCD是一个轴对称图形，∴AH＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝α，在Rt△DEC中，DE＝＝（m），∴AH＝DE＝m，∴AD＝AH+DE+HE＝2+×2＝（2+）m，故选：D．5．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，故选：C．6．解：如图，由题意可知：AD⊥BC，AD＝100m，∠BAD＝36°，∠DAC＝60°，∴BD＝AD•tan36°≈100×0.73＝73（m），CD＝AD•tan60°＝100×＝100≈173（m），∴BC＝BD+CD＝73+173＝246（m），故选：B．7．解：连接AB，BC，由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan∠ABC＝tan55°＝，∴AB＝＝，故选：D．8．解：如图，由题意可得，∠DAB＝60°，∠DAC＝80°，∠CBF＝40°，BC＝40×2＝80（海里），∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝20°．∵AD∥EF，∴∠ABF＝∠DAB＝60°，∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝80海里．答：C海岛到观测点A的距离是80海里．故选：D．二．填空题9．解：由题意可得∠AEB＝42°，∠CED＝45°，在Rt△ABE中，tan42°＝≈0.90，解得BE≈16.7，在Rt△CDE中，∠CED＝45°，∴CD＝DE＝20m，∴BD＝BE+DE≈36.7m．故答案为：36.7．10．解：由题意得EF＝BD＝1.5米，∵ME＝7.5米，∴FM＝6米，在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，tan60°＝，解得CF＝2，在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，tan30°＝，解得DF＝6，∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），∴AB＝CD＝6.9米．故答案为：6.9．11．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．12．解：如图，设斜坡底部为点A，小车位于点B，过点B作水平面的垂线，垂足为点C，由题意得，，设BC＝x米，则AC＝米，由勾股定理得，AB＝＝2x（米），∴2x＝90，解得x＝45，∴此时该小车离水平面的垂直高度为45米．故答案为：45．13．解：过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G．则DE＝GH，EG＝DH＝7米，在Rt△ADH中，∠DAH＝45°，∴△ADH为等腰直角三角形，∴AH＝DH＝7米，在Rt△EFG中，i＝＝，解得FG＝7，由题意知DE＝GH＝3米，∴AF＝FG+GH﹣AH＝7+3﹣7＝7﹣4（米），∴梯形EDAF的面积为＝（平方米），∴完成这项工程需要土石×150＝（3675﹣525）立方米．故答案为：3675﹣525．14．解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，CD＝40m，∴BC＝CD＝40m，在Rt△ACD中，∠ADC＝50°，CD＝40m，tan50°＝≈1.192，解得AC＝47.68，∴AB＝AC﹣BC≈7.7（m）．故答案为：7.7．15．解：由题意可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解得AB≈17，∴旗杆AB的高度约为17m．故答案为：17．16．解：如图，过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，则四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝6千米，∴BF＝AB＝3（千米），∴AF＝＝＝3（千米），∵BD＝5千米，∴CE＝DF＝BD﹣BF＝2（千米），在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，∴tan∠CAE＝，∴AE＝≈＝（千米），∴EF＝AF﹣AE≈3﹣≈3.7（km），∴CD≈3.7（千米），即两个观礼台C与D之间的距离约为3.7千米，故答案为：3.7．三．解答题17．解：过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC为矩形，∴EF＝BC＝10，CF＝BE，在Rt△BAE中，sinα＝，cosα＝，则BE＝AB•sinα≈15×0.53≈8.0，AE＝AB•cosα≈15×0.85≈12.8，则CF＝BE＝8，∵斜坡CD的坡度i＝1：2.5，∴DF＝2.5×8＝20，∴AD＝12.8+10+20≈43（米），答：路基底AD的长约为43米．18．解：（1）如图，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∵步行道BD的坡度为1：，∴tan∠DBC＝＝＝，∴∠DBC＝30°；（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．19．解：设CD为xm，由题意得：∠ADC＝90°，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝xm，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan30°＝，∴AD＝CD＝xm，∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝22，解得：x＝11（+1）≈30.03，∴CE＝CD+DE≈30.03+1.5≈31.5（m），答：“青云塔”CH的高度约为31.5m．20．解：（1）∵斜坡CD的坡比为，∴＝＝，∴∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，DC＝4米，∴DE＝DC＝2（米），∴斜坡CD的高度DE为2米；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF＝AE，DE＝AF＝2米，在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∴CE＝DC•cos30°＝4×＝2（米），设BF＝x米，∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，∴DF＝＝x（米），∴AE＝DF＝x米，∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：x＝4+4，经检验：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，∴大楼AB的高度为（4+6）米．21．解：由已知可得，tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，设BF＝7a米，AF＝24a米，∴（7a）2+（24a）2＝252，解得a＝1，∴AF＝24米，BF＝7米，∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC，设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，∵tan∠DBE＝＝，∴tan60°＝，解得x≈41，答：东楼的高度DE约为41米．22．解：如图，作CD⊥AB于D．由题意可知：∠ACD＝50°，∠BCD＝57°，在Rt△ACD中，AD＝CD•tan50°≈1.192CD，在Rt△BCD中，DB＝CD•tan57°≈1.54CD，∵AB相距6米，∴DB﹣AD＝0.35CD＝6（米），∴CD＝17米，答：此段河面的宽度约为17米．23．解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠BDC＝67.5°，∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC＝≈2.3km．24．解：（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△AFD中，AF＝AD sin53°＝3.5×0.8＝2.8米，答：点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作AG⊥EC，垂足为G，则AF＝GC，AG＝CF，在Rt△AFD中，DF＝AD cos53°＝3.5×0.6＝2.1米，设CF为x米，则CD为（2.1+x）米，在Rt△BCD中，BC＝CD tan45°＝（2.1+x）米，∴GB＝GC﹣BC＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，在Rt△AGB中，tan76°＝，∴tan76°＝，∴，解得：x≈0.56，∴CF＝AG＝0.56米，∴AB＝＝≈0.6米．。

2020苏教版九年级数学下册《锐角三角函数》同步练习题

2020苏教版九年级数学下册《锐角三角函数》同步练习题

【文库独家】第七章锐角函数测试1 锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''BA CB ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②=''B AC A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''CA CB ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第2题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．9．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：(1),sin ca A =∴=⋅=c A c a ,sin ______； (2),cos cb A =∴b ＝______，c ＝______；(3),tan ba A =∴a ＝______，b ＝______；(4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),53cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ．求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)17．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．(1)当BP ∶PA ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶PA ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．测试2 锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角α (精确到1″)． (1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AAA cos sin tan14．化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜α ＜90°)15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜α ≤45°，则sin2α ______2sin α cos α ．(2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H 点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．测试3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．课堂学习检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；==B A tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________．⑥直角三角形的面积公式． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3二、解答题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)测试4 解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ．求AD 的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13 )7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23 DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD (精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为1m ，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m ．问路灯高度为多少米?3到达B点，11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m 然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?拓展、探究、思考13．已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，锐角∠A＝α ．(1)BC的长；(2)△ABC的面积．14．已知：如图，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，锐角∠A＝α ，∠B＝β ．(1)求AB 的长；(2)求证：.sin sin βαb a =15．已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长．16．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长．17．已知：四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于E 点，AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α (0°＜α ＜90°)，求此四边形的面积．测试5 综合测试1．计算． (1)45tan 260tan 60cos 2- (2)60cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+⋅++2．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12．求：sin ∠ACD 及AD 的长．3．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，⋅=54cos A (1)用含m 的代数式表示BC ；(2)求m 的值；4．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，BE ＝2EC ，DM ⊥AE 于M 点．求DM 的长．5．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝30°，AB ＝2a ．求BC 的长．6．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ．AB ＝3，求BC 的长．7．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＝m ，锐角∠A ＝α ，(1)求⊙O 的半径R ；(2)求△ABC 的面积的最大值．8．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝α ． 求证：⋅⋅=αα2sin cos m EB第七章锐角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( ) A ．6B ．52C ．53D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( )A ．2sin 2αRB ．2R sin αC ．2cos 2αR D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )A ．m sin 100αB ．100sin α mC ．m cos 100βD ．100cos β m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin R B ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( )A ．a sin 2βB ．a cos 2βC ．a sin β cos βD ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC 的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )第9题图A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+ 10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图 A ．l 1 B ．l 2 C ．l 3 D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．20．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AC ＝15，BC ＝8，求PE＋PF ．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值； (2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶3，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．答案与提示第七章锐角函数测试11．△BAC ，AB ，AC ′．①ABBC，对边，斜边，固定； ②ABAC，邻边，斜边，固定值； ③ACBC，对边，邻边，固定值． 2．①∠A 的对边，,c a∠B 的对边，;c b ②∠A 的邻边，,cb ∠B 的邻边，;c a③∠A 的对边，,b a ∠B 的邻边，⋅ab3．唯一确定的值，对应，α 的函数，锐角三角函数． 4．⋅34,53,54,43,54,53,15 5．.3,1010,10103,31,10103,1010,10 6．⋅815,178,1715,158,1715,178,34 7．.3,21,23,33,23,21,60o8．⋅==∠=∠=∠==∠37tan tan ,43cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR 9．⋅===53cos ,20,16B AB AC 10．.2tan ,55cos ,552sin ===B B B 11．AB ＝2AC ＝2AO ·sin ∠AOC ＝24cm ，cm 7422=-=AC OA OC12．⋅=∠=∠==43tan ,54cos )2(;cm 332,cm 340)1(AOC AOC OC OA 13．(1)CD ＝AC ·sin A ＝4cm ；(2);cm 32212=⨯=CD AB S(3)⋅+=422tan B14．⋅=31sin B15．(1);sin Aa (2);cos ,cos AbA c ⋅ (3);tan ,tan Aa Ab ⋅ (4);3,21(5);43,54 (6)⋅1010,10103 16．P (cos α ，sin α )，C (1，tan α )．提示：作PD ⊥x 轴于D 点． 17．(1).31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠ (2),231tan ,7721cos ,7211sin =∠=∠=∠ 提示：作AE ⊥BC 于E ，设AP ＝2．测试21．2．(1)0； (2);123(3);222325-+ (4)⋅-413 3．(1)α ＝60°；(2)α ＝30°；(3)22.5°；(4)46°．4．(1)0.391；(2)1.423．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ． 列方程8x ＝16．解得x ＝2． 7．,721提示：作BD ⊥CA 延长线于D 点． 8．(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -= 9．(1)15°； (2).32tan ,426cos ,426sin -=∠+=∠-=∠BAD BAD BAD10．⋅23,13132,13133提示：作DE ∥BA ，交AC 于E 点，或延长AD 至F ，使DF ＝ AD ，连结CF ．11．提示：作CE ⊥OA 于E ，作DF ⊥OA 于F ． (3)增大， (4)减小． 12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证． 14．原式ααααcos sin 2cos sin 22-+=2)cos (sin αα-=|cos sin |αα-=⎩⎨⎧<<-<≤-=).450(sin cos ),9045(cos sinαααααα 15．(1)①～⑥略．sin2α ＝2sin α cos α ．(2),2sin 212sin 12121αα=⨯⨯=⋅=∆BE AC S ABC ,cos sin 21αα⋅=⨯=⋅=∆AD BD AD BC S ABC ∴sin2α ＝2sin α cos α ．16．不发生改变，设∠BAC ＝2α ，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422m m m S S HBCABC =⋅=⋅∆∆αα测试31．①a 2＋b 2＝c 2； ②∠A ＋∠B ＝90°； ③;,,,abb ac b c a④AD ·BD ，AD ·AB ，BD ·BA ，AB ·CD ： ⑤一半，它的外心，2c b a -+(或⋅++cb a ab) ⑥ab 21或ch 21(h 为斜边上的高)或A bc sin 21或B ac sin 21或).(21c b a r ++ (r 为内切圆半径)2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边． 3．90°－∠A ，sin A ，cos A ；;sin ,tan ,90o Aa A a A ∠- ;90,tan ,22Ab a A b ac ∠-=+=.90,sin ,22B caA a c b ∠-=-=4．(1)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝35； (2)∠A ＝60°，∠B ＝30°，c ＝4；(3);52,4==b a (4);133,6==c a(5).30,64,62,26 =∠===B c b a 5．(1)AB ＝2R ·sin α ，OC ＝R ·cos α ；(2)⋅⋅=⋅=n R r n R a n n180cos ,180sin 26．AB ≈6.40米，BC ≈5.61米，AB ＋BC ≈12.0米． 7．约为222cm ． 8．(1)318米．(2)4层，提示：设甲楼应建x 层则.2130tan 3≤x9．m 3100 10．6米．1．cm 3310,cm 3320==BC AB 2．)3515(+cm ．3．cm 25;cm )535(=-=BC AB 提示：作CD ⊥AB 延长线于D 点． 4．34cm ．5．山高m )31(50,m )31(25+=+AC 6．约为27.3海里． 7．m 33．8．约为17m ，提示：分别延长AD 、BC ，设交点为E ，作DF ⊥CE 于F 点．9．约477.13m ． 10．10m ．11．(1)AC ＝1 000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上． 12．面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．13．(1).cos 222α⋅-+=bc c b BC 提示：作CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝b ·sin α ，AD ＝b ·cos α ．再利用BC 2＝CD 2＋DB 2的关系，求出BC ． (2)a bc sin 21⋅ 14．(1)AB ＝b ·cos α ＋a ·cos β . 提示：作CD ⊥AB 于D 点．(2)提示：由b sin α ＝CD ＝a sin β 可得b sin α ＝a sin β ，从而βαsin sin ba =． 15．提示：AB ＝AD －BD ＝CD tan(90°－α )－CD tan(90°－β )＝CD 〔tan(90°－α )－tan(90°－β )〕，)90tan()90tan(βα---=∴ a CD 或⋅-=αββαtan tan tan tan a CD 16．535+或.535-提示：AB 边上的高CD 的垂足D 点可能在AB 边上(这时AB ＝)535+，也可能在AB 边的延长线上(这时535-=AB )．17．.sin 21αab1．(1);23+ (2)⋅252．⋅==∠255,855sin AD ACD 3．(1))1(2-=m m BC 或⋅=56m BC (2)⋅=725m4．⋅5185．a BC 2=．提示：作BE ⊥AD 于E 点．6．BC ＝6．提示：分别延长AB 、DC ，设它们交于E 点． 7．(1)⋅=αsin 2mR 提示：作⊙O 的直径BA ＇，连结A ＇C ． (2)⋅2tan42αm 提示：当A 点在优弧BC 上且AO ⊥BC 时，△ABC 有面积的最大值．8．提示：⋅⋅=∠⋅='=αααα2sin cos 'sin cos cos mB CA BC B A EB 答案与提示第七章锐角函数全章测试1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ． 6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ． 11．⋅23 12．60． 13．⋅54 14．20πm ． 15．.332r 16．约4.86 m ． 17．约15.9m ．18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ． 20．⋅151618提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ． ,158sin =α ⋅=⨯=+∴151618158161PF PE21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里． 22．(1)⋅=∠=53sin .25BEC AE 提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF .29x -= 由CE 2＝CF 2＋EF 2得.25=x (2)⋅475提示：.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆ 设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得⋅=215y 23．(1)A (0，1)，;33x y =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15． (4).m 5230cos ||=-=B C x x BC。

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习（附答案）1．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）A．2千米B．2千米C．2千米D．千米2．如图，大楼AB的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离是（）（结果保留根号）A．50B．70﹣10C．70+10D．70﹣3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（）A．1：2B．1：3C．1：D．：14．如图，点P在点A的北偏东60°方向上，点B在点A正东方向，点P在点B的北偏东30°方向上，若AB＝50米，则点P到直线AB的距离为（）A．50米B．25米C．50米D．25米5．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m6．如图，某同学在山坡坡脚A处时，测得一座楼房的楼顶B处的仰角为60°，沿山坡往上走到C处时，测得这座楼房的楼顶B处的仰角为45°．已知AC＝20m，且AO⊥BO，点O、A、C、B在同一平面内，若此山坡的坡度为1：2，则这座楼房的高BO的值是（）A．（90+30）m B．（90﹣30）m C．（30﹣30）m D．（30+30）m 7．如图，在高度是90米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD是（）（结果可以保留根号）A．30（3+）米B．45（2+）米C．30（1+3）米D．45（1+）米8．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）A．40海里B．（20+10）海里C．40海里D．（10+10）海里9．如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（）A．16海里B．18海里C．8海里D．8海里10．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．611．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．12．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）13．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为米（保留根号）．14．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是m．（结果保留根号）15．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向已34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行海里．（结果保留根号）16．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为米．17．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝米（结果保留根号）．18．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为cm．19．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为海里．（结果保留根号）20．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为m．（结果保留根号）21．位于成都东郊游乐园旁边的四川电视塔是我国西部地区最高的电视塔．为了培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，某校九年级在电视塔旁边的游乐园空地上开展了测量电视塔高度的实践活动．九年级（一）班第1小组在游乐园空地A处用高为1m的测角仪测得电视塔的顶点A的仰角为45°，然后面向电视塔的方向前进了140m到达B处，在B处测得顶点A的仰角为60°，则该小组测得的四川电视塔的高度为（m）（结果保留根号）22．如图所示，在山脚C处测得山顶A仰角为30°，沿着水平地面向前300米到达点D，在D点测得山顶A的仰角为60°，则山高AB为米（结果保留根号）．23．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为m．24．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．25．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．参考答案1．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠CDB＝90°，由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝2（千米），即该建筑物离地面的高度为2千米，故选：A．2．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m﹣10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．故选：B．3．解：水平距离＝＝4，则坡度为：2：4＝1：2．故选：A．4．解：作PC⊥AB交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝30°，∠PBC＝60°，在Rt△ACP中，tan∠P AC＝，∴AC＝＝PC，在Rt△BCP中，tan∠PBC＝，∴BC＝＝PC，由题意得，PC﹣PC＝50，解得，PC＝25，即点P到直线AB的距离为25米，故选：D．5．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．6．解：∵山坡的坡度为1：2，∴CF：AF＝1：2，作CE⊥OB于E，CF⊥OD于F，则四边形EOFC为矩形，∴CE＝OF，CF＝OE，设CF＝xm，则AF＝2xm，∴AC＝xm，∵AC＝20m，∴20＝x，解得x＝20，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，则OB＝OA•tan∠BAO，在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AF，∴OB﹣20＝OA+40，∴OA＝OB﹣60，∴OB＝（OB﹣60）×解得，OB＝（90+30）m．故选：A．7．解：作AE⊥CD于点E．在直角△ABD中，∠ADB＝45°，∴DE＝AE＝BD＝AB＝90（米），在直角△AEC中，CE＝AE•tan∠CAE＝90×＝30（米）．则CD＝（90+30）米．故选：A．8．解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里），∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10（海里），∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里，故选：D．9．解：由题意得，AB＝32×＝16（海里），∠ACS＝90°，∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，∴∠ASB＝∠A，∴BS＝AB＝16（海里），在Rt△CBS中，sin∠CBS＝，∴CS＝BS•sin∠CBS＝16×＝8（海里），故选：D．10．解：由题意知，∠P AB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠P AB＝60°﹣30°＝30°，∴∠P AB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△P AC中，∵AP＝6千米，∴PC＝P A＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．11．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．12．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．13．解：设AB＝x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C＝30°，∠ADB＝45°，CD＝40，∴DB＝x，AC＝2x，∴BC＝＝x，∴∵CD＝BC﹣BD＝40，x﹣x＝40，∴x＝20（+1），故答案为：20+20．14．解：在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝20m，∴AD＝（m），在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝20（m），故答案为：20．15．解：作PC⊥AB于点C，∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以34海里/小时的速度出发，∴∠P AC＝30°，AP＝34×2＝68，∴PC＝AP×sin30°＝68×＝34．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷＝34，∴乙货船每小时航行34÷2＝17海里/小时，答：乙货船每小时航行17海里．故答案为17．16．解：如图，过A作AB⊥CB于B，由题意得，AB＝6米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得：BC＝14.4（米），由勾股定理得，AC＝＝＝15.6（米），故答案为：15.6．17．解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案为：（100+100）．18．解：过B作BF⊥AC，由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．∵tan∠BCA＝＝，∴CF＝270cm，∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．故答案为：240．19．解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH＝AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．20．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．故答案为：（30+30）．21．解：在直角三角形AMN中，∵∠MAN＝45°，∴AN＝MN设MN＝x米，在直角三角形BMN中，∵∠MBN＝60°，∴BN＝＝∵AB＝140m∴x＝140+解得：x＝210+70故答案为：210+7022．解：∵∠C＝30°，∠ADB＝60°，CD＝300米，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴AD＝CD＝300米．∵在Rt△ABD中，∠B＝90°，∠ADB＝60°，∴AB＝AD•sin∠ADB＝300×＝150（米），故答案为：．23．解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB＝＝；又∵AB＝6m，∴AC＝10m．故答案为：10．24．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．25．解：（1）作BD⊥AC于D．依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，∴＝，∴AD＝x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝＝，∴BC＝x，∵CD+AD＝30+30，∴x+x＝30+30，∴x＝30，∴AB＝2x＝60（km）；（2）第二组先到达目的地，理由：∵BD＝30km，∴BC＝x＝30km，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），∵＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第二组先到达目的地．。

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步测试(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步测试(附答案)

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．河堤的横断面如图，堤高BC是5m，迎水斜坡AB的长是10m，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：2B．1：C．1：1.5D．1：32．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，点A，C，E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（）A．600sin58°米B．600cos58°米C．600tan58°米D．米3．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60B．100C．50D．205．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝（）A．7海里B．14海里C．3.5海里D．4海里6．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C＝α（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1米，则旗杆P A的高度为（）A．米B．米C．米D．米7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km 8．如图，为了测量某栋大楼的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得大楼顶端A 的仰角为30°，向大楼方向前进100米到达F处，又测得大楼顶端A的仰角为60°，则这栋大楼的高度AB（单位：米）为（）A．B．C．51D．1019．如图航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（）A．100m B．120m C．100m D．120m10．如图，飞机飞行高度BC为1500m，飞行员看地平面指挥塔A的俯角为α，则飞机与指挥塔A的距离为（）m．A．B．1500sinαC．1500cosαD．二．填空题（共9小题，满分36分）11．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）12．如图是拦水坝的横断面．斜坡AB的坡度为1：2，BC⊥AE，垂足为点C，AC长为12米，则斜坡AB的长为米．13．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．14．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为cm．（用根式表示）15．如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B 到点C上升的高度h是m．16．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B 在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为海里．17．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．18．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB＝（结果取整数：参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）．19．如图，点B在点A的北偏西30°方向，且AB＝8km，点C在点B的北偏东60°方向，且BC＝15km，则A到C的距离为km．三．解答题（共5小题，满分44分）20．如图1是放置在水平面上的台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略），其中灯臂AC＝20cm，灯臂CD＝58cm，灯臂与底座构成∠CAB＝127°，灯臂AC与灯臂CD构成的∠DCA＝113°，求灯臂与灯罩连接处点D与桌面AB的距离？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.73）．21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走10米到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，求：1）点B距水平面AE的高度BH．2）求广告牌CD的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.414，≈1.732．22．如图（1）是超市的手推车，图（2）为其侧面简化示意图．已知前后车轮直径均为10cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC，CD所在直线与地面的夹角分别为30°，70°，AC＝60cm，CD＝50cm．求扶手前端D到地面的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）23．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CF是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）24．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB＝25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：在Rt△ABC中，AC＝＝5；斜坡AB的坡比i＝BC：AC＝5：5＝1：，故选：B．2．解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣148°＝32°，∴∠E＝180°﹣32°﹣58°＝90°，∴△BDE是直角三角形，∵BD＝600米，∴开挖点E离点D的距离DE＝600cos58°米．故选：B．3．解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．4．解：Rt△ABC中，BC＝20，tan A＝1：3；∴AC＝BC÷tan A＝60，∴AB＝＝20．故选：D．5．解：过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠P AB+∠APB，∠P AB＝90﹣75＝15°∴∠P AB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．解法二：由题意，∠P AB＝90°﹣75°＝15°，∠ABP＝150°，∴∠APB＝180°﹣15°﹣150°＝15°，∴∠P AB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．故选：A．6．解：设旗杆P A的高度为x米，则PB′＝x米，在Rt△PB′C中，sinα＝，则x﹣1＝x•sinα，解得，x＝，故选：C．7．解：作AC⊥OB于点C，如右图所示，由已知可得，∠COA＝30°，OA＝6km，∵AC⊥OB，∴∠OCA＝∠BCA＝90°，∴OA＝2AC，∠OAC＝60°，∴AC＝3km，∠CAD＝30°，∵∠DAB＝15°，∴∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴BC＝AC，∴AB＝，故选：A．8．解：设AG＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝50+1（米）．故选：A．9．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan60°＝＝＝，解得：DC＝90，故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120（m），故选：D．10．解：由题意得：Rt△ABC中，∠A＝∠α，∠C＝90°，BC＝1500m，∴sin A＝sinα＝，∴AB＝＝m．故选：A．二．填空题（共9小题，满分36分）11．解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．12．解：∵斜坡AB的坡度为1：2，∴＝，又AC＝12，∴BC＝6，∴AB＝＝6，故答案为：6．13．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．14．解：如图，过P作PM⊥AB于M．在Rt△ABP中，PB＝AB•cos30°＝8×＝4；在Rt△BPM中，PM＝PB•sin30°＝4×＝2．故此时水杯中的水深为10﹣2cm．故答案为：10﹣2．15．解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC＝135°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝45°，∴CE＝BC•sin∠CBE＝5•sin45°＝5•＝5．所以h＝5，故答案为：5．16．解：由题意得，AC＝60×0.5＝30海里，∵CD∥BF，∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，∴∠ABC＝45°，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，∴∠CAB＝90°，∴BC＝AC＝30海里，故答案为：30．17．解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE＝CD＝10m，CE＝AD＝1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE＝60°，∴BE＝AE•tan60°＝10（m），∴BC＝CE+BE＝10+1（m）．∴旗杆高BC为10+1m．故答案为：(10+1)．18．解：∵tanα＝，∴设AB＝3a，则BC＝4a，∵tan26.6°＝，解得，a＝100，∴AB＝3a＝300，故答案为：300米．19．解：根据点B在点A的北偏西30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，得到∠CBA＝90°．在直角△ACB中，根据勾股定理得AC＝＝17（km）．三．解答题（共5小题，满分44分）20．解：如图2，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CF⊥DH于F，过点A作AG⊥CF于G，∵∠AGF＝∠GFH＝∠AHF＝90°，∴四边形AEFG是矩形，∴∠HAG＝90°，∴HF＝AG，∵∠CAB＝127°，∴∠CAG＝∠CAB﹣∠HAG＝37°，在Rt△CAG中，AG＝AC•cos∠CAG＝20×cos37°≈16（cm），∴HF≈16（cm），∵∠ACG＝90°﹣∠CAG＝53°，∴∠DCF＝∠ACD﹣∠ACG＝113°﹣53°＝60°，在Rt△DCF中，DF＝CD sin∠DCF＝58×sin60°≈50.17（cm），∴HD＝DF+HF≈50.17+16≈66.2（cm）．故灯臂与灯罩连接处点D与桌面AB的距离约为66.2cm．21．解：1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝i＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝10＝5（米）；2）在Rt△ABH中，AH＝AB•cos∠BAH＝10×cos30°＝10×（米），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝，∴DE＝AE•tan∠DAE＝15×＝15米），过点B作BG⊥CE于G，则BG＝AH+AE＝（5+15 ）米，∴DG＝DE﹣EG＝（15﹣5 ）米，∵CG＝BG＝（5+15 ）米，∴CD＝CG﹣DG＝5+15﹣15﹣5 ）＝20﹣10≈2.7（米），故广告牌CD的高度改为2.7米．22．解：如图，分别过点C，D作CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为点M，N．过点C作CP ⊥DN，垂足为点P．易知四边形PCMN为矩形，∴CM＝PN，在Rt△CAM中，∠CAM＝30°，AC＝60cm，∴CM＝30cm，即PN＝30cm．∵CD所在直线与地面的夹角分别为70°，∴∠DCP＝70°，在Rt△DCP中，∠DCP＝70°，CD＝50cm，∴DP＝CD•sin70°≈50×0.94＝47（cm），∴DN＝DP+PN＝47+30＝77（cm），又∵前后车轮直径均为10cm，即AB到地面的距离为5cm，∴77+5＝82（cm），故扶手前端D到地面的距离约为82cm．23．解：据题意得tan B＝，∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝，∵AD＝9，∴DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠2＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（）2＝x2+（3x）2解得x＝（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x＝±，舍负”），∴CF＝3x＝≈2.3，∴该停车库限高2.3米．故答案为2.3．24．解：在Rt△BOE中，∠BOE＝55°，tan55°＝，∴OE＝，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，tan25°＝，∴DE＝，∴DO＝30，∴DO＝DE+OE＝+＝30，解得，BE≈10.6，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，sin25°＝，∴BD＝≈25，答：滑动支架BD的长大约为25cm．。

苏科版九年级数学下册 第7章 7.6 《用锐角三角函数解决问题》同步测试题

苏科版九年级数学下册 第7章 7.6 《用锐角三角函数解决问题》同步测试题

真情提示：题号得分轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向10A.海里A.5.2mB.6.8mC.9.4mD.17.2m二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）30∘10011. 已知某人沿着坡角是的斜坡前进了米，则他上升的高度是________米．1:2612. 在坡度为的山坡上种树，如果相邻两树间的水平距离是米，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．AH=6AB i=3:413. 如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高米，背水坡的坡度，则斜坡AB的长为________米．AB C A30∘10D14. 如图河对岸有一古塔，小敏在处测得塔顶的仰角为，向塔前进米到达，D A45∘在处测得的仰角为，则塔高为________米．B C A∠ABC=45∘∠ACB=45∘15. 如图，、是河岸边两点，是对岸岸边一点，测得，，BC=60 m A BC m，则点到对岸的距离是________．20α 1.516. 离旗杆米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为米，那么α旗杆的高为________米（用含的三角函数表示）．A60∘C200B 17. 小明从处出发，要到北偏东方向的处，他先沿正东方向走了米到达处，30∘C B C再沿北偏东方向走恰能到达目的地处．则、两地的距离为________9P30∘18. 如图，一艘轮船向正东方向航行，上午时测得它在灯塔的南偏西方向、距离120M11N灯塔海里的处，上午时到达这座灯塔的正南方向的处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是________海里/小时．P30∘20A19. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方P60∘B向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，则此时轮船与灯塔的距BP离为________海里．D C30∘200A20. 如图所示，某人在处测得山顶的仰角为，向前走米来到山脚处，测得山AC i=1:0.5坡的坡度，则山的高度为________米．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）1500m ABCD AE=0.8m 21. 如图，一段长为的水渠，其截面为等腰梯形，渠深，底AB=1.2m45∘，坡角为，那么该水渠最多能蓄水多少立方米？A B C CD122. 一天晚上，小颖由路灯下的处向正东走到处时，测得影子的长为米，当她继D DE E A45∘续向正东走到处时，测得此时影子的一端到路灯的仰角为，已知小颖的身高1.5AB为米，求那么路灯的高度是多少米？（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到。

苏科版九年级下册数学7.6用锐角三角函数解决问题同步练习(含解析)

苏科版九年级下册数学7.6用锐角三角函数解决问题同步练习(含解析)

7.6用锐角三角函数解决问题同步练习一．选择题1．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D 两点间的距离为（）A．10海里B．15海里C．30海里D．90海里2．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（）A．15米B．15米C．（15﹣15）米D．（15+15）米3．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米4．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.75．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD的距离为5m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（）m．A．5B．5C．5﹣5D．5﹣56．崇州的网红建筑“竹里”，以数学符号“∞”表达融合与无限，以高低不平的屋顶表达曲折与变换，小小布与父母一起去竹里感受当地特有的竹编民宿．当 1.6米的小小布站在自己的竹屋旁的点D时，惊喜地发现平视前方刚刚看见屋顶最低点C．此时他抬头看屋顶的最高点A 时，仰角为30°；小小布沿水平方向直线行走一段长度到达竹屋另一侧的点E，抬头看点A 的仰角为53°；A、C、D、E在同一平面内，若点A到地面的垂直高度为7.2米，则小小布水平行走了（）（sin53°≈，tan53°≈，≈1.7，结果保留一位小数）A．7.0米B．10.0米C．13.7米D．17.6米7．如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆DE，小杰从篮球场的点A处观察到旗杆顶端的仰角是15°，往前走50米到点B处，再沿着坡度为i＝1：0.75的阶梯BC走到足球场的C点，BC＝25米，测得CD之间的水平距离CD＝70米，则旗杆的高度DE为（）米（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）A．37.8米B．42.8米C．52.8米D．56.5 米8．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m9．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．tan55°＝B．tan55°＝C．sin55°＝D．cos55°＝10．为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为64°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为27°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为54°，则宣传牌的高度AB高是（）米（参考数据：sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05，sin27°＝0.45，cos27°＝0.89；tan27°＝，sin54°＝0.80，cos54°＝0.59，tan54°＝1.38，结果精确到0.1米）．A．4.4B．5.2C．4.9D．5.1二．填空题11．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．12．如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．14．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．15．人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）三．解答题16．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）17．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）18．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．（1）求A处到临皋亭M处的距离．（2）求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）．参考答案一．选择题1．解：由题意可得，AB＝BC＝60×＝30（海里），在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝15（海里），即点B、D之间的距离为15海里，故选：B．2．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•tan∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15（米）．答：无人机的飞行高度AD为15米．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．4．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．5．解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，∴BD＝BC＝5，设AC＝xm，则AB＝（x+5）m，在Rt△ABD中，tan60°＝，则＝，解得：x＝5﹣5，即AC的长度是（5﹣5）m；故选：D．6．解：如图，作AH⊥DE于H，交BF于G，则AH⊥BF，由题意得：DE＝BF，GH＝DF＝1.6，AH＝7.2，∴AG＝AH﹣GH＝7.2﹣1.6＝5.6，在Rt△ABG中，tan∠ABG＝，∴BG＝≈＝4.2，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，∴FG＝AG≈1.7×5.6＝9.52，∴DE＝BF＝BG+FG＝4.2+9.52≈13.7（米），即小小布水平行走了13.7米；故选：C．7．解：延长AB交DE于K，过点C作CF⊥BK于F．∵∠CFK＝∠CDK＝∠FKD＝90°，∴四边形CDKF是矩形，∴DK＝CF，CD＝FK＝70（米），在Rt△CFB中，∵∠CFB＝90°，BC＝25米，CF：FB＝1：0.75，∴CF＝20（米），BF＝15（米），∴DK＝CF＝20（米），∴AK＝KF+BF+AB＝70+15+50＝135（米），在Rt△AEK中，EK＝AK•tan15°≈135×0.27≈36.45（米），∴DE＝DK+EK＝20+36.45≈56.5（米），故选：D．8．解：过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），即这栋高楼高度是40m．故选：B．9．解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，故选：B．10．解：过点F作FH⊥CE于H．∵FD∥CE，∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE＝90°，∴四边形FHED是矩形，则FH＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan27°＝3（米），∴FH＝DE＝3（米）．∵CF的坡度为1：1.5，∴在Rt△FCH中，CH＝1.5FH＝4.5（米），∴EH＝DF＝10.5（米），在Rt△ADF中，AD＝DF•tan∠AFD＝10.5×1.38＝14.49，在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan64°≈12.3（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝14.49+3﹣12.3≈5.2（米），答：宣传牌AB的高度约为5.2米，故选：B．二．填空题11．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．12．解：如图：AC＝3m，∠B＝37°，∴AB＝≈＝5，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．故答案为8．13．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．14．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．15．解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），故答案为1.5．三．解答题16．解：∵AB＝20m，∴DE＝DG+EG＝20m，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝45°，∴EG＝CG，在Rt△CDG中，∵∠CDG＝30°，∠DCG＝60°，∴DG＝CG•tan60°，则DE＝CG•tan60°+CG＝20m．即DE＝CG+CG＝20．∴CG＝10﹣10．由题意知：GF＝1.5m．∴CF＝CG+GF＝10﹣10+1.5＝（10﹣8.5）（米），答：塑像CF的高为（）米．17．解：（1）延长BA交EF于点G，在Rt△AGE中，∵∠E＝23°，∴∠GAE＝67°．又∵∠BAC＝38°，∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∵∠ADC＝60°，AD＝4m，∴DH＝AD•cos∠ADC＝6cos60°＝2m，AH＝AD•sin∠ADC＝4•sin60°＝2（m）．在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝2（m），∴AC＝＝＝2（m），∴AB＝AC+CD＝2+2+2≈10（m）．答：这棵大树折断前高约10m．18．解：（1）过M作MD⊥AC于D，设MD＝x，在Rt△MAD中，∵∠MAB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝MD＝x，在Rt△MCD中，∠MCA＝90°﹣60°＝30°，∴DC＝MD＝x，∵AC＝600+400＝1000，∴x+x＝1000，解得：x＝500（﹣1），∴MD＝500（﹣1）m，∴AM＝MD＝500（﹣）（m），即A处到临摹亭M处的距离为（500﹣500）m；（2）过B作BE⊥AN于E，∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，∴∠ANB＝60°，在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，∴BE＝AE＝AB＝300，∴ME＝AM﹣AE＝500（﹣）﹣300＝500﹣800，在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，∴NE＝BE＝×300＝100，∴MN＝100﹣（500﹣800）＝（800﹣400）m，即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（800﹣400）m．。

苏科版九年级数学下册 7.6 锐角三角函数的简单应用同步练习

苏科版九年级数学下册 7.6 锐角三角函数的简单应用同步练习

7.6 锐角三角函数的简单应用（1）1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BC =1， 那么sin ABD 的值是________2、一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6）3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）4、如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离（结果精确到0.1）； （2）求海轮在B 处时与灯塔C 的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111）学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------参考答案：1.22 32.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．7.6 锐角三角函数的简单应用(2)1．如图，小明在M 处用高1米（DM =1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度（取≈1.73，结果保留整数）2．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为 m （结果保留根号）3．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为45°，看雕塑底部C 的仰角为30°，求塑像CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）4．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248）学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------参考答案：1. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．2. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．3. 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．4. 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．7.6 锐角三角函数的简单应用(3)1、已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．2、已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 3到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点．求 (1)A 、C 两地之间的距离；(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向?3、在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A 处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C 处)和湖东岸的山峰老君岭(D 处)的仰角都是45°，游船向东航行100米后(B 处)， 测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°. 试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(3 1.732 ，结果精确到米).4、已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------5、已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．6、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少？参考答案1、答案：山高m )31(50,m )31(25+=+AC2、答案：(1)1000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上．3、答案：137米，237米4、答案：面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．5、答案：(1)A (0，1)，;y x =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15．(4) 6、答案：24m。

苏科版九年级数学下册课时训练锐角三角函数的简单应用

苏科版九年级数学下册课时训练锐角三角函数的简单应用

7.6锐角三角函数的简单应用（1）一、选择题（每题5分，共25分）1． 如图所示，在山坡上种树，已知∠B=30°，BC=3m ， 相邻两棵树的坡面距离AB 等于（ ） A ．6m B ．3m C ．23 m D ． 22m2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ．247B ．73C ．724 D ．133．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A ．350mB100 m C ．150m D ．3100m4．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之 间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点 C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）6 8CEABDA ． m ·sin α米B ．m ·tan α米C ．m ·cos α米D ． αtan m米5．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A ．（332+）m B ．（32）m C ．3m D ．4mA BCmα二、填空题（每题5分，共25分）6．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）．7.如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 ________米。

九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 专题训练(五)应用锐角三角函数解决问题归类同步练习 (新版)苏科版

九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 专题训练(五)应用锐角三角函数解决问题归类同步练习 (新版)苏科版

(五) 应用锐角三角函数解决问题归类► 类型之一 解直角三角形在斜三角形中的应用1．2018·内江如图5－ZT －1是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34.求灯杆AB 的长度．图5－ZT －1► 类型之二 解直角三角形在正方形中的应用2．如图5－ZT －2，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．图5－ZT －2► 类型之三 解直角三角形在测量物体高度中的应用3．2018·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图5－ZT －3，用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C 的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B 处，测得雕塑顶端点C 的仰角为45°.该雕塑有多高？(测角仪的高度忽略不计，结果不取近似值)图5－ZT －34．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图5－ZT －4(示意图)，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC ＝1∶10(即EF ∶CE ＝1∶10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35 m (即CE ＝35 m )处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α＝37，升旗台高AF ＝1 m ，小明身高CD ＝1.6 m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．图5－ZT －4► 类型之四 解直角三角形在测量距离中的应用5．2017·邵阳如图5－ZT －5所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达点A 时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR ＝ 40 km ，仰角是 30° .n 秒后，火箭到达点B ，此时仰角是 45°， 则火箭在这 n 秒中上升的高度为________km .图5－ZT －5► 类型之五 解直角三角形在航海问题中的应用6．如图5－ZT －6，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处之间的距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)图5－ZT－67．2018·利州区一模如图5－ZT－7，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4 km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿航线l自东向西航行至观测点A的正南方向的E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．(结果精确到0.1 km，参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49)图5－ZT－7►类型之六解直角三角形在坡度、坡角问题中的应用8．如图5－ZT－8，建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶3，山坡上点E处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物的水平距离BC＝25米，与凉亭的距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得点E的俯角为45°，求建筑物AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图5－ZT－8详解详析1．解：如图，过点B 作BH ⊥DE ，垂足为H ，过点A 作AG ⊥BH ，垂足为G. ∵BH ⊥DE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°.在Rt △BHD 中，tan α＝BH DH ＝6，∴BH ＝6DH.在Rt △BHE 中，tan β＝BH EH ＝34，∴BH ＝34EH ，∴8DH ＝EH.∵DE ＝18，DE ＝DH ＋EH ， ∴9DH ＝18， ∴DH ＝2， ∴BH ＝12.∵∠BHD ＝∠AGH ＝∠ACH ＝90°， ∴四边形ACHG 为矩形，∴GH ＝AC ＝11，∠CAG ＝90°， ∴BG ＝BH －GH ＝12－11＝1.∵∠BAC ＝120°，∠CAG ＝90°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°， ∴在Rt △AGB 中，AB ＝2BG ＝2. 答：灯杆AB 的长度为2米．2．[解析] (1)利用正方形的性质得两三角形的斜边相等，再根据同角的余角相等得到∠1＝∠3.运用AAS 证明Rt △DCF 与Rt △ADG 全等；(2)中的锐角三角函数可利用全等三角形对应角相等，将α转化成与之相等的∠ADE ，然后放在Rt △ADE 中应用边角关系求出正确结果．解：(1)证明：如图．∵CF ⊥DE ，∴∠DFC ＝∠CFG ＝90°. ∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°.在正方形ABCD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠2＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠3.又∵DC ＝AD ，∠DFC ＝∠AGD ＝90°， ∴△DCF ≌△ADG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AD ＝AB ＝2AE.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴DE ＝5AE.∵△DCF ≌△ADG ，∴∠2＝∠DCF ＝α， ∴sin α＝AE DE ＝15＝55.3．解：设雕塑的高CD 为x 米． 在Rt △ACD 中，AD ＝xtan 30°＝3x.在Rt △BCD 中，BD ＝xtan 45°＝x.根据题意，得AD －BD ＝4，即3x －x ＝4. 解得x ＝2 3＋2.答：雕塑的高CD 为(2 3＋2)米．4．解：如图，过点D 作DG ⊥AE 于点G ， 则∠BDG ＝α，易知四边形DCEG 为矩形，∴DG ＝CE ＝35 m ，EG ＝CD ＝1.6 m .在Rt △BDG 中，BG ＝DG·tan α＝35×37＝15(m )，∴BE ＝15＋1.6＝16.6(m )．∵斜坡FC 的坡比i FC ＝1∶10，CE ＝35 m ， ∴EF ＝35×110＝3.5(m )．∵AF ＝1 m ，∴AE ＝AF ＋EF ＝1＋3.5＝4.5(m )， ∴AB ＝BE －AE ＝16.6－4.5＝12.1(m )． 答：旗杆AB 的高度为12.1 m .5．[答案] (20 3－20) [解析] 在Rt △ALR 中，根据AR ＝40 km ，∠ARL ＝30°，求出AL ＝20 km ，LR ＝20 3 km .在Rt △BLR 中，求出BL ＝LR ＝20 3 km ，所以火箭在这 n 秒中上升的高度AB ＝BL －AL ＝(20 3－20)km .6．解：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则△BCH 是等腰直角三角形．设CH＝x海里，则BH＝x海里，AH＝CH÷tan∠CAH＝3x海里．∵AB＝200海里，∴x＋3x＝200，∴x＝2003＋1＝100(3－1)，∴BC＝2x＝100(6－2)．∵两船均行驶4小时相遇，∴可疑船只航行的平均速度为100(6－2)÷4＝25(6－2)海里/时．答：可疑船只航行的平均速度是25(6－2)海里/时．7．解：在Rt△BDF中，∵∠DBF＝60°，BD＝4 km，∴BF＝BDcos60°＝8 km.∵AB＝20 km，∴AF＝20－8＝12 (km)．∵∠AEF＝∠BDF，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF，∴AEBD＝AFBF，即AE4＝128.解得AE＝6.在Rt△AEC中，CE＝AE·tan74°≈20.9 km.故这艘轮船的航行路程CE的长度约是20.9 km.8．解：如图，过点E分别作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，EN⊥AB于点N，则四边形BFEN为矩形，∴NE＝BF，BN＝EF.∵建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶3，∴设EF＝x米，则FC＝3x米．在Rt△CEF中，∵EF2＋FC2＝CE2，∴x2＋(3x)2＝400，解得x＝10，(负值已舍去)则FC＝10 3米．∵BC＝25米，∴NE＝BF＝(25＋10 3)米．在Rt△ANE中，由题意知，∠AEN＝45°，∴AN＝NE，∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋10 3＋10＝(35＋10 3)米．答：建筑物AB的高为(35＋10 3)米．。

苏科版九年级数学下册 7.6 用锐角三角函数解决问题 同步测试题

苏科版九年级数学下册 7.6 用锐角三角函数解决问题 同步测试题

7.6 用锐角三角函数解决问题同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如图，上午8时一条船从A出发（60海里/时）向正东航行，8时30分到B处，经测小岛M在A北偏东45∘，在B北偏东30∘方向，那么BM的距离为（）A.20(√3+1)海里B.30√2海里C.15(√3+1)海里D.30(√3+1)海里2. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A 的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米A.30tanα3. 如图，某一大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝6米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度i＝1:3，则坝底宽AB是（）米．A.24+8√3B.30C.30+8√3D.30+16√34. 如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.2米，若tan A=3，BC=8.44米，则楼高CD是（）A.6.3米B.7.5米C.8米D.6.5米5. 温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10√7千米的速度向东偏南30∘的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（）A.5B.6C.8D.106. 小宇想测量他所就读学校的高度，他先站在点A处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为60∘，他再站在点B处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为45∘，如图所示，若小宇的身高为1.5m，旗杆的高度为10.5cm，则AB的距离为（）A.9mB.(9−√3)mC.(9−3√3)mD.3√3m7. 飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为α，且飞机与目标A相距12千米，那么这时飞机离地面的高度为（）A.12sinαB.12cosαC.12tanαD.12cotα8. 如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30∘，D点测得∠ADB=60∘，又CD=60m，则河宽AB为（）A.30米B.60米C.30√3米D.60√3米9. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30∘方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45∘方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A.(√3−1)小时B.(√3+1)小时C.2小时D.√3小时10. 如图，学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A点坐标为（）A.(3, 3√3)B.(−3, −3√3)C.(3, −3√3)D.(−3, 3√3)二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，一个山坡的坡长AB＝400米，铅直高度BC＝150米，则坡角∠A的大小为________．（用科学计算器计算，结果精确到1∘）12. 如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30∘和60∘的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）________．13. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2√2m，则此拦水坝斜坡的坡度为________．14. 如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33∘方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）15. 若地面上的甲看到高山上乙的仰角为20∘，则乙看到甲的俯角为________度．16. 某建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50∘，观察底部B的仰角为45∘，则旗杆的高度AB=________m（精确到0.1m）．17. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．18. 如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30∘，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4:3，坡长AB＝8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________米．（结果保留根号）19. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD＝60∘，则AB的长为________米．20. 如图，客轮在海上以30km/ℎ的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80∘，测得C处的方位角为南偏东25∘．航行1ℎ后到达C处，在C处测得灯塔A的方位角为北偏东20∘，则C到A的距离是________km．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．22. 如图，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距50m，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角∠CAE的度数为20∘．从甲楼顶部A处看乙楼底部D处的俯角∠DAE的度数为35．分别求甲楼AB和乙楼CD的高为多少m（精确到1m）．（参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36，sin35∘≈0.57，cos35∘≈0.82，tan35∘≈0.70）23. 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以24海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60∘的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东30∘方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险？24. 如图，道路边有一棵树，身高1.8米的某人站在水平地面的D点处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60∘，树的底部B点的俯角为30∘，求树的高度AB．25. 如图，小芳站在地面上A处放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为23米，这时测得∠CBD=58∘，牵引底端B与地面的距离BA为1.6米，求此时风筝离地面的高度CE．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60）26. 如图，小明设计了一个“简易量角器”：在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA=30∘，…∠P8CA=80∘．（1）连接P6C，求∠AP6C的度数；（2）求线段P6P2的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50∘≈0.77，cos50∘≈0.64，tan50∘≈1.20）．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．=30（海里），∠ABM=105∘．由题意得，AB=60×12在直角△ABN中，BN=AB⋅sin45∘=15√2海里．在直角△BNM中，∠MBN=60∘，则∠M=30∘，所以BM=2BN=30√2（海里）．故选B．2.【答案】C【解答】在Rt△ABO中，∵ BO＝30米，∠ABO为α，∵ AO＝BO tanα＝30tanα（米）．3.【答案】C【解答】过D点作DE⊥AB于点E，过C点作CF⊥AB于点F，则四边形CDEF是矩形∵ CD＝FE＝6m，CF＝ED＝8m，在Rt△AED中，AE=√162−82=8√3m，∵ CF:BF＝1:3，∵ BF＝3CF＝24m，即AB＝BF+EF+AE＝24+6+8√3=(30+8√3)米．4.【答案】B【解答】解：如图，∵ 在△AEB中，∠ABE=90∘，BE=1.2米，tan A=34，∵ AB=EBtan A =1.234=1.6（米）．又∵ BC=8.4米，∵ AC=AB+BC=10米．又∵ 在直角△ACD中，∠C=90∘，tan A=34，∵ CD=AC⋅tan A=10×34=7.5（米）故选：B．5.【答案】D【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD=30∘，AB=150(km)，则AD=12设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则，在Rt△ADE中，AE=200，AD=150，则DE=√AE2−AD2=50√7，从而可得：EF=2DE=100√7，=10(ℎ)．故A镇受台风严重影响的时间为100√710√7故选D．6.【答案】C【解答】解：如图，CE=10.5−1.5=9m，=9m，在Rt△CEG中，EG=CEtan45∘=3√3m，在Rt△CEF中，EF=CEtan60∘AB=FG=EG−EF=(9−3√3)m．故选：C．7.【答案】A【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在直角三角形ABC中，∠BAC=α，AB=12，则BC=AB⋅sinα=12sinα，故选：A．8.【答案】C【解答】解：∵ ∠ACB=30∘，∠ADB=60∘，∵ ∠CAD=30∘，∵ AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD⋅sin∠ADB=60×√3=30√3(m)．2故选C．9.【答案】B【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵ ∠MAD=30∘，∵ AD=√3MD，在Rt△BDM中，∵ ∠MBD=45∘，∵ BD=MD，∵ BC=2MD，∵ BC:AB=2MD：(√3−1)MD=2:√3+1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为(√3+1)小时．故选B．10.【答案】D【解答】解：∵ 学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，∵ ∠BOA=30∘，OA=6．∵ ∠ABO=90∘，∵ AB=3，OB=3√3．即A点坐标为(−3, 3√3)．故选D．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】22∘【解答】∵ AB＝400米，BC＝150米，∵ sin∠A=BCAB =150400=0.375．∵ ∠A＝22∘．12.【答案】(2√3+1.6)m 【解答】由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A=CDAD =√33∵ CD＝2√3，又AB＝1.6m∵ CE＝CD+DE＝CD+AB＝2√3+1.6，所以树的高度为(2√3+1.6)m．13.【答案】45∘【解答】解：如图，作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，AB=6，DC=10，AF=BE=2√2．∵ AF⊥DC，BE⊥DC，ABCD为等腰梯形．∵ DF=EC=2，AB=EF=6．∵ tan C=BEEC =2√22=√2．坡角∠C=45∘．14.【答案】没有【解答】解：已知OA=40，∠O=33∘，则AB=40⋅sin33∘≈21.79>20．所以轮船没有触暗礁的危险．15.【答案】20【解答】解：若地面上的甲看到高山上乙的仰角为20∘，则乙看到甲的俯角为20∘．故答案为：2016.【答案】7.7【解答】解：根据题意：在Rt△BDC中，有BC=CD⋅tan45∘=40．在Rt△ADC中，有AC=DC×tan50∘=47.7．∵ AB=AC−BC=7.7（米）．17.【答案】8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵ ∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∵ 在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵ ∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∵ △PDC∽△PBO，∵ PDPB =CDOB，∵ PB=PD⋅OBCD =√3=10√3（米），∵ BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．18.【答案】8√3−5.5【解答】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵ i=BEAE =43，AB＝8米，∵ BE=325，AE=245．∵ DG＝1.6，BG＝0.7，∵ DH＝DG+GH＝1.6+325=8，AH＝AE+EH=245+0.7＝5.5．在Rt△CDH中，∵ ∠C＝∠FDC＝30∘，DH＝8，tan30∘=DHCH =√33，∵ CH＝8√3．又∵ CH＝CA+5.5，即8√3=CA+5.5，∵ CA＝8√3−5.5（米）．19.【答案】√3【解答】作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．∵ CD＝1，∠ACD＝60∘，．∵ DE＝BF=√32在Rt△AFB中∠A＝30∘，BF=√3，2∵ AB＝2BF=√3（米）．20.【答案】(15√2+5√6)【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D．在Rt△BCD中，∵ ∠BDC=90∘，∠C=25∘+20∘=45∘，BC=30×1=30，BC=15√2，∵ BD=CD=√22在Rt△ABD中，∵ ∠BDA=90∘，∠ABD=30∘，∵ AD=BD⋅tan30∘=5√6，∵ CA=CD+AD=15√2+5√6．即C到A的距离为(15√2+5√6)km．故答案为(15√2+5√6)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵ 在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∵ CF=DF=4．∵ 在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∵ EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∵ BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵ 在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∵ AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵ 在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∵ CF=DF=4．∵ 在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∵ EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∵ BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵ 在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∵ AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．22.【答案】甲楼的高约为35m，乙楼的高约为53m．【解答】解：由题意，得DE=AB，BD=AE=50，∠CAE=20∘，∠DAE=35∘，在Rt△ADE中，tan35∘=DEAE，∵ DE=AB≈50×0.70=35，在R t△ACE中，tan20∘=CEAE，∵ CE≈50×0.36=18，∵ CD=AB+CE=53m．23.【答案】AB=24×20=8海里．60∵ ∠PAB=30∘，∠PBD=60∘∵ ∠PAB=∠APB∵ AB=BP=8海里．=4√3海里．在直角△PBD中，PD=BP⋅sin∠PBD=8×√32∵ 4√3>6∵ 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．【解答】解：过P作PD⊥AB．=8海里．AB=24×2060∵ ∠PAB=30∘，∠PBD=60∘∵ ∠PAB=∠APB∵ AB=BP=8海里．=4√3海里．在直角△PBD中，PD=BP⋅sin∠PBD=8×√32∵ 4√3>6∵ 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．24.【答案】树的高度AB为7.2m．【解答】∵ CD=1.8m，∠CBD=30∘，∵ CB=3.6m，在Rt△ACB中，∵ ∠CAB=30∘，∵ AB=7.2m，25.【答案】此时风筝离地面的高度CE约为26.15米．【解答】解：在Rt△BDC中，CD=BC×sin∠CBD=23×sin58∘≈19.55（米），CE=CD+DE=CD+AB=19.55米+1.6米=26.15米．26.【答案】解：（1）如下图一所示：∵ 在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA= 30∘，…∠P8CA=80∘，∵ ∠P6CA=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ ∠AP6C=180∘−∠P6CA−∠A=180∘−60∘−30∘=90∘，即∠AP6C的度数是90∘；（2）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，∠AP6C=90∘，∵ AC=2P6C，∵ P6C=12cm，∵ ∠P2CA=20∘，∠A=30∘，∵ ∠CP2P6=∠P2CA+∠A=50∘，∵ tan∠CP2P6=CP6P6P2，tan50∘≈1.20，∵ P6P2=CP6tan∠CP2P6=121.20=10cm，即线段P6P2的长是10cm．【解答】解：（1）如下图一所示：∵ 在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA= 30∘，…∠P8CA=80∘，∵ ∠P6CA=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ ∠AP6C=180∘−∠P6CA−∠A=180∘−60∘−30∘=90∘，即∠AP6C的度数是90∘；（2）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，∠AP6C=90∘，∵ AC=2P6C，∵ P6C=12cm，∵ ∠P2CA=20∘，∠A=30∘，∵ ∠CP2P6=∠P2CA+∠A=50∘，∵ tan∠CP2P6=CP6P6P2，tan50∘≈1.20，∵ P6P2=CP6tan∠CP2P6=121.20=10cm，即线段P6P2的长是10cm．。

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7.6 锐角三角函数的简单应用（1）
1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BC =1， 那么sin ABD 的值是________
2、一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6）
3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
4、如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离（结果精确到0.1）； （2）求海轮在B 处时与灯塔C 的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111）
学校 班级 姓 考试
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参考答案：
1.22 3
2.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．
3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，
∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；
（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
7.6 锐角三角函数的简单应用(2)
1．如图，小明在M 处用高1米（DM =1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度（取
≈1.73，结果保留整数）
2．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为 m （结果保留根号）
3．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为45°，看雕塑底部C 的仰角为30°，求塑像CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：
）
4．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面
所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248）
学校 班级 姓 考试
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参考答案：
1. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．
答：旗杆AB的高度大约是10米．
2. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，
在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．
3. 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．
4. 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．
7.6 锐角三角函数的简单应用(3)
1、已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．
2、已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 3到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点．求 (1)A 、C 两地之间的距离；
(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向?
3、在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A 处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C 处)和湖东岸的山峰老君岭(D 处)的仰角都是45°，游船向东航行100米后(B 处)， 测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°. 试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(3 1.732 ，结果精确到米).
4、已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?
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5、已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜x C－x B｜；
(4)求B点与C点间的距离．
6、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少？
参考答案
1、答案：山高m )31(50,m )31(25+=+AC
2、答案：(1)1000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上．
3、答案：137米，237米
4、答案：面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．
5、答案：(1)A (0，1)，;y x =
(2).13323
12)3(3122++-=+--
=x x x y
(3)m 15．
(4) 6、答案：24m。

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