2014届高三上学期第十二次月考 数学文

yx A C2013—2014学年度上学期高三一轮复习数学（文）单元验收试题（12）命题范围：导数与复数说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．设复数z 满足(1)2i z i -=,则=z （ ）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b 4．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f6．（2013年高考四川卷（文））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD．D7．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是( )8．若复数z满足方程220z+=，则3z=（）A．±B．-C．-D．±9．已知函数32()f x x ax bx c=+++有两个极值点12,x x,若112()f x x x=<,则关于x的方程23(())2()0f x af x b++=的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．-4 D．-811．已知f（x）=x³–6x²+9x–abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0。

现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0。

其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④12．已知e为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=kxexf kx,则（）A．当1=k时,)(xf在1=x处取得极小值B．当1=k时,)(xf在1=x处取得极大值C．当2=k时,)(xf在1=x处取得极小值D．当2=k时,)(xf在1=x处取得极大值第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点,则实数a的取值范围是_________。

14．（2013年上海高考数学试题（文科））设m R∈,222(1)im m m+-+-是纯虚数,其中i是虚数单位,则________m =15．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k = 。

16．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 ; 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共76分)。

17．（12分）求同时满足下列条件的所有的复数z, ①z+z 10∈R, 且1<z+z10≤6, ②z 的实部和虚部都是整数。

18．（12分）（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值. (Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围.. 19．已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.20．（12分）（2013年高考重庆卷（文））某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(Ⅰ)将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域；(Ⅱ)讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 21．（12分）设0a >,0b >,已知函数()1ax bf x x +=+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)当0x >时,称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.(i)判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列,并证明()b f f a ≤; (ii)a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数,记为H . 若()H f x G ≤≤,求x 的取值范围.22．（14分）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.参考答案一、选择题1．A ；2．B ；3．B ；4．C ；5．D ；6． B ；7．B ；8． C ；9．B ；10．A ；11．C ；12．C ； 二、填空题13． 1(0,)2； 14．1-；15．8.3；16．,p p 24。

三、解答题17．解：设z=x+yi, (x, y ∈R), 则z+z 10=x(1+2210y x +)+y(1－2210yx +)i . ∵z+z10∈R, ∴y(1－2210y x +)=0.∴y=0, 或x 2+y 2=10. 又1<z+z10≤6, ∴1< x(1+2210y x +)≤6.①当y=0时, ①可以化为1<x+x 10≤6, ②当x<0时, x+x 10<0, 当x>0时,x+x 10≥210>6. 故y=0时, ①无解. 当x 2+y 2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即21<x≤3. ∵x, y ∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1－3i ,或 3+i ,或 3－i .18．解：由2()sin cos f x x x x x =++,得()(2cos )f x x x '=+.(I)因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,所以()(2cos )0f a a a '=+=()b f a =,解得0a =,(0)1b f ==.(II)令()0f x '=,得0x =. ()f x 与()f x '的情况如下: (,0)0(0,)()0()1x f x f x -∞+∞'-+所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增,(0)1f =是()f x 的最小值.当1b ≤时,曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点;当1b >时,2(2)(2)421f b f b b b -=≥-->421b b b -->, (0)1f b =<, 所以存在1(2,0)x b ∈-,2(0,2)x b ∈,使得12()()f x f x b ==.由于函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞上均单调,所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,)+∞.。

19．解：(Ⅰ)由已知得:2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-,且(1)133331f a a =-++-=,所以所求切线方程为:1(33)(1)y a x -=--,即为:3(1)430a x y a --+-=;(Ⅱ)由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,其中44a ∆=-,当[0,2]x ∈时,(2)0x x -≤,(1)当0a ≤时,()0f x '≤,所以()f x 在[0,2]x ∈上递减,所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =,因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-; (2)当440a ∆=-≤,即1a ≥时,()0f x '≥恒成立,所以()f x 在[0,2]x ∈上递增,所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =,因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;(3)当440a ∆=->,即01a <<时,212()363011f x x x a x x '=-+=∴=-=+,且1202x x <<<,即x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,2)x2 ()f x '+ 0- 0+()f x33a-递增极大值递减极小值递增31a -所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--,且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >,所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =; 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<,所以 (ⅰ)当203a <<时,(0)(2)f f >,所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()yf x =递减,所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =,因为1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=---=,又因为203a <<,所以230,340a a ->->,所以1()(0)0f x f ->,所以max 1|()|()12(1f x f x a ==+-(ⅱ)当213a ≤<时,(2)0,(0)0f f ><,所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =,因为1()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+--+=---=,此时320a ->,当213a <<时,34a -是大于零还是小于零不确定,所以 ① 当2334a <<时,340a ->,所以1()|(2)|f x f >,所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-;② 当314a ≤<时,340a -<,所以1()|(2)|f x f <,所以此时max |()|(2)31f x f a ==- 综上所述:max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩.20．解：21．解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ ,22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时,()0f x '>,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递增;当a b <时,()0f x '<,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递减.(Ⅱ)(i)计算得(1)02a b f +=>,2()0b abf a a b=>+,0f =>.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+≥即(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.(ii)由(i)知()bf H a =,f G =.故由()H f x G ≤≤,得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时,()()b f f x f a a ===.这时,x 的取值范围为(0,)+∞;当a b >时,01ba<<,从而b a <由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式,得b x a ≤≤即x 的取值范围为,b a⎡⎢⎣;当a b <时,1ba >,从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式,bx a ≤≤,即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦.22．解：(1)由01)('≤-=a x x f 即a x ≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥x a 而由),1(+∞∈x 知x1<1 ∴1≥a 由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln >1 ∴a >e综上所述:a 的取值范围为),(+∞e(2)证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数∴0)('≥-=a e x g x即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, ∴[]min xea ≤而当),1(+∞-∈x 时,x e >e 1 ∴ea 1≤ 分三种情况:(Ⅰ)当0=a 时, xx f 1)('=>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅱ)当a <0时,a xx f -=1)('>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(aaae a ae a ef -=-=<0且a f -=)1(>0 ∴f(x)存在唯一零点(Ⅲ)当0<e a 1≤时,a x x f -=1)(',令0)('=x f 得ax 1= ∵当0<x <a 1时,x a x a x f )1()('--=>0;x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e ax ==1②当1ln --a >0时,0<ea 1≤,)(x f 有两个零点实际上,对于0<e a 1≤,由于e a e a e e f --=-=111ln )1(<0,1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0且函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a e 1,1上有存在零点 另外,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0,a x x f -=1)('>0,故)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调增,∴)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0只有一个零点 下面考虑)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 的情况,先证)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0为此我们要证明:当x >e 时,x e >2x ,设2)(x e x h x -= ,则x e x h x2)('-=,再设x e x l x 2)(-=∴2)('-=xe x l当x >1时,2)('-=xe x l >e -2>0,x e x l x2)(-=在()+∞,1上是单调增函数故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2'-=e h >0 从而2)(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数,进而当x >e时,2)(x e x h x-=>2)(e e e h e-=>0 即当x >e 时,x e >2x ,当0<a <e 1时,即1-a >e 时,)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0又1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数)(x f 在[]1,1--a e a 上的图像不间断,∴函数)(x f 在()1,1--a e a 上有存在零点,又当x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0故)(x f 在()+∞-,1a上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1a 只有一个零点综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当0<a <e1时,)(x f 的零点个数为2.。