两校2018届高三数学第一次联考试题文
数学---湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考试题(文)
湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}24Z B x x x =∈≤，则()R A B =ðI （ ） A ．{}03x x ≤≤ B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,2 2．若复数()()1i i a --在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()1,-+∞ 3．函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．已知,x y 满足10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 5．函数ln x x y x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列结论中正确的是（ ） A ．“π3x =”是“π1sin 22x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的必要不充分条件 B ．命题“若2340x x --=，则4x =.”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠”C ．“0a >”是“函数a y x =在定义域上单调递增”的充分不必要条件D ．命题p ：“N n ∀∈，3500n >”的否定是“0N n ∃∈，3500n ≤”7．函数()f x 是定义在()2,2-上的奇函数，当[)0,2x ∈时，()31x f x b =++，则31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3 B1 C ．1- D ．3- 8．函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A ωϕπ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．sin 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 44y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3 B．3 C．3 D．3- 10．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ϕππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()s i n c o s 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ） A．1,22⎛⎝⎭ B．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nn a -的前40项的和为（ ） A ．1920 B ．325462 C ．4184 D ．204112．设函数()323e 622e 2x x f x x x x a x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（ ） A ．312e -- B ．322e -- C ．3142e -- D ．11e-- 二、填空题：每题5分，满分20分13．已知向量,a b r r 的夹角为6π，且3a =r，()29a a ⋅=r r ，则b =r ．14．在等差数列{}n a 中，24a =，且31a +，6a ，104a +成等比数列，则公差d = ． 15．已知ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，三边分别是,,a b c ，则有cos cos a c B b C =+；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P ABC -中，ABC ∆、PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆的面积分别是123S S S S 、、、，二面角P AB C --、P BC A --、P AC B --的度数分别是,,αβγ，则S = ．16．在ABC ∆中，若222sin sin sin sin A B C A B +=，则2sin2tan A B 的最大值是 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量()1,sin a x =r ，cos 2,sin 3b x x ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，函数()1cos 22f x a b x =⋅-r r .（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； （Ⅱ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.18．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，34A π=，sin 10B =，D 为BC 边中点，1AD =.（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.19．如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，2AB =.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上. （Ⅰ）证明：BD AF ⊥；（Ⅱ）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.20．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若245n m mT -<<对一切*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围.21．已知函数()ln 1af x x x=+-，R a ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()1g x x x=+.当1a =-时，若区间[]1,e 上存在0x ，使得()()001g x m f x <+⎡⎤⎣⎦，求实数m 的取值范围.（e 为自然对数底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.23．选修4-5：不等式选讲 设函数()221f x x x =--+. （Ⅰ）解不等式()0f x ≤；（Ⅱ）R x ∀∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:CBCBB 6-10:DCADB 11-12：DC 二、填空题13．2 14．3 15．123cos cos cos S S S αβγ++ 16．3- 三、解答题17．解：（Ⅰ）()21cos 2sin cos 232f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11cos 22cos 222x x x =--+ 1sin 262x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令3222262k x k ππ+π≤+≤π+π，解得：263k k k πππ+≤≤π+， 所以函数的单调递增区间为()2,63Z k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52666x πππ≤+≤，即1sin 2126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 则()102f x -≤≤，则函数()f x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．解：（Ⅰ）ABC ∆中，∵sin 10B =，34A π=∴cos B =sin 2A =，cos 2A =-()sin sin 2C A B =+=2-==∴sinsin 102b B c C ===（Ⅱ）∵D 为BC 中点，∴2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r22242AD AB AB AC AC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即22422c b bc ⎛=++⋅- ⎝⎭化简：224b c =+①由（Ⅰ）知2b c =②，联立①②解得2b =，c =∴1sin 22ABC S bc A ∆== 19．（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90°，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，又90DAC BAC ∠+∠=︒， 所以90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥； 又AC SA A =I ，故BD ⊥平面SAC ， 因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B ABC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215*********ABCD S ABCD E ABCABC S SA V V S h h --∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯梯形， 故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12.20．解：（Ⅰ）当1n =时，21111112a a S a +⎛⎫=== ⎪⎝⎭.当2n ≥时，22111122nn n n n a a a S S +-++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得12n n a a --=，所以21n a n =-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-. 则()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以111111142231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ （Ⅲ）()()114241n n n n T T n n ++-=-++()()10412n n =>++，∴{}n T 单调递增，∴118n T T ≥=. ∵()1414n n T n =<+，∴1184n T ≤<，使得245n m m T -<<恒成立， 只需1452148mm ⎧≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解之得5542m ≤<. 21．解：（Ⅰ）()()2210a x af x x x x x-'=-=>， 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=的垂直， 所以()11f '=，即11a -=-，解得2a =. 所以()22x f x x -'=. ∴当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,2上单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()2,+∞上单调递增； ∴当2x =时，()f x 取得极小值()22ln 21ln 22f =+-=， ∴()f x 极小值为ln 2. （Ⅱ）令()()11h x x m f x x =+-+=⎡⎤⎣⎦1ln m x m x x x+-+， 则()()()211x m x h x x -++⎡⎤⎣⎦'=，欲使在区间上[]1,e 上存在0x ，使得()()00g x mf x <， 只需在区间[]1,e 上()h x 的最小值小于零. 令()0h x '=得，1x m =+或1x =-.当1e m +≥，即e 1m ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，则()h x 的最小值为()e h ，∴()1e e 0e m h m +=+-<，解得2e 1e 1m +>-， ∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1e 1m +>-；当11m +≤，即0m ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增，则()h x 的最小值为()1h ， ∴()1110h m =++<，解得2m <-，∴2m <-；当11e m <+<，即0e 1m <<-时，()h x 在[]1,1m +上单调递减，在(]1,e m +上单调递增，则()h x 的最小值为()1h m +，∵()0ln 11m <+<，∴()0ln 1m m m <+<.∴()()12ln 12h m m m m +=+-+>，此时()10h m +<不成立.综上所述，实数m 的取值范围为()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭U .22．解：（Ⅰ）设P 的极坐标为()(),0ρθρ>，M 的极坐标为()()11,0ρθρ> 由题设知OP ρ=，14cos OM ρθ==. 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()4cos 0ρθρ=> 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠.（Ⅱ）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>.由题设知2OA =，4cos B ρα=， 于是OAB ∆面积1sin 4cos sin 23B S OA AOB ρααπ⎛⎫=∠=- ⎪⎝⎭2sin 223απ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12απ=-时，S 取得最大值2所以OAB ∆面积的最大值为223．解：（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2244441x x x x -+≤++，23830x x +-≥，解得13x ≥或3x ≤-.所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x ≤-.11 （Ⅱ）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为对于R x ∀∈，使()224f x m m -≤恒成立. 所以25242m m +≥，即24850m m +-≥， 解得12m ≥或52m ≤-，∴51,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .。
3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(全解全析)
i 1 (i 1)(1 i) 2
A 复数 z 的实部为 3 ，虚部为 1
错误
B | z | (3)2 (1)2 10
26 26
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象的对称轴为 x 2kπ 4π （ k Z ）． k 0 时，对称轴方程为 x 4π ； k 1 时，对称轴方程为
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x 2π ．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移 4π 个单位长度，或向右平移 2π 个
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以 π π kπ(k Z) ， 解 得 3k 1 (k Z )． 因 为 0 3 ， 所 以 k 0 ， 1 ， 所 以
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f (x ) 2 s i n1(x π ．) 令 1 x π kπ π (k Z) ，得 x 2kπ 4π （ k Z ），所以函数 f (x) 的图
种情况，将剩下的 3 个项目全排列，安排在其他三个位置，有 A33 6 种安排方法，则此时有 3 2 6 36
种安排方案.
故符合题意要求的安排方案共有 36 36 48 120 种．故选 D．
方法二：
（1）丙、丁在第 1、2 两位，则甲只能在第 3 位，不同的安排方案有 A22A11A33 12 种； （2）丙、丁在第 2、3 两位，则甲只能在第 1 位，不同的安排方案有 A22A11A33 12 种； （3）丙、丁在第 3、4 两位，则甲可以在第 1 位或第 2 位，不同的安排方案有 A22A12A33 24 种；
江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集2，3，4，，集合3，，集合，则A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】由题意，因为全集，集合，所以，又因为集合，所以，故选B．2.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由复数为纯虚数，则，解得，所以是复数为纯虚数的充要条件，故选B．3.若，满足约束条件，则的最大值为（）A. 5B. 3C.D.【答案】A【解析】由约束条件不等式组，做出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，最大，所以，故选A．4.在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为中，，所以由正弦定理得，因为，所以，化简得，因此，故选D．5.定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设,，，则,,的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以函数的周期为，则，，因为，且函数在上单调递减，所以，故选C．6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环，的输出值为，故选A.7.在数列中，，，则的值为（）A. B. 5 C. D.【答案】B【解析】在数列中，，所以，所以是以为周期的周期数列，因为，故选B．8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数，由，可得，所以函数的定义域为，再由，可得，且在上为单调递增函数，故选C．9.如图，在圆心角为直角的扇形区域中，分别为的中点，在两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以为直径的圆，在扇形内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由的中点为，则，半径为，所以扇形的面积为，半圆的面积为，，两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，图中无信号部分的面积为，所以无信号部分的概率为，故选B．点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，解答的关键是求出无信号部分的面积，对于不规则图形的面积可以转化为及格不规则的图形的面积的和或差的计算，试题属于中档试题，对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件区域的几何度量，最后计算.10.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，则，画出函数的大致图象，如图所示，由图可得，当时，方程恰有三个根，由得；由得，由图可知，与点关于直线对称；点和点关于对称，所以，所以，故选D．点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.11.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，为棱的中点，最大的侧面积为，故选C．12.已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13.抛物线的焦点坐标是____________.【答案】【解析】抛物线方程焦点在轴，焦点坐标为14.已知，，，的夹角为，则__________．【答案】【解析】由题设，应填答案。
3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(参考答案)
由 0 log3 2 1 ， 可 知 b1 [3 log3 2] 2 ， b2 [2 log3 2] 1 ， b3 [1 log3 2] 0 ， … ，
b20 [16 log3 2] 17 ，（10 分）
∴数列{bn} 的前 20 项和 T20 2 1 0 (1) (17) 150 ．（12 分）
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（III）若订购 A 套餐，则这 100 位员工手机月平均使用流量的平均费用为：
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20 (0.08 0.22) 30 (0.25 0.35) 40 (0.08 0.02) 28 （元）；
5
.（3 分）
5
5
在 △ADC 中， AD
5 ， CD 1， cos ADC
5
，
5
由余弦定理可得 AC 2 2 ，（4 分）
由
S△ADC
=
1 2
AC
DE
1 2
AD CD sin
ADC
，
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可得 DE AD CD sin ADC 2 ，（5 分）
AC
2
则 CE CD2 DE2 2 ， AE AC CE 3 2 ，故 AE 3 ．（6 分）
2
2
EC
B F
A
E
C
D
（Ⅱ）（法一）如图，过点 A 作 AF BE 于点 F ，由（I）知 DE 平面 ABC ，则 DE AF ， 可得 AF 平面 BDE ，故线段 AF 的长即为所求点 A 到截面 BDE 的距离，（8 分）
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(全解全析)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCACDDCDBC1．A 【解析】(23i)(1i)22i 3i 3(23)(32)i mm m m m +-=-++=++-，依题意，得230,320,m m +=⎧⎨-≠⎩解得23m =-，故选A ．4．C 【解析】依题意，设双曲线C 的方程为22(0)49x y λλ-=≠，将(4,3)代入可得169349λ-==，故双曲线C ：2211227x y -=，则双曲线C 的实轴长为PMN △的面积132S =⨯=，故选C ．5．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，得33445q a a q +=，故225q q+=，则22520q q -+=，解得122q q ==或（舍去），则112a =，故101091101(12)(1)1221122a q Sq --===---，故选A．6．C 【解析】还原该几何体如图所示，依题意，4PN =，QN PQ ==4PM =，MN =QM =C ．7．D 【解析】运行该程序，12,2,,22S n a A ====，14,2S =继续运行，13,,44n a A ===，38,4S =继续运行，14,,88n a A ===，716,8S =继续运行，15,,1616n a A ===，153216S =，由题意观察各选项，可知选D ．9．C 【解析】方法一：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3(222T ππ=--，故4T =π，故2142ωπ==π，故1()2sin()2f x x ϕ=+，将(,2)2A π-代入1()2sin()2f x x ϕ=+中，得()1(2222k k ϕππ⨯-+=+π∈Z ，则32()4k k ϕπ=+π∈Z ，又0ϕ<<π，故34ϕπ=，即13()2sin()24f x x π=+，当[6,4]x ∈-π-π时，()f x 的最大值为2，最小值为，故所求最值之和为2-，故选C.方法二：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3()222T ππ=--，故4T =π，则求函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和可以转化为求函数()f x 在[2,4]ππ上的最值之和，根据题图，可知函数()f x 在[2,4]ππ上的最大值为2，最小值在(2,0)-中取得，故函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和(0,2)∈，观察各选项可知选C.学科*网10．D 【解析】将该三棱锥补形为一长方体，其中底面长为2，宽为1，高为2，由三棱锥四个顶点均为长方体的顶点，可知长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设长方体外接球的直径为R 2，则9221)2(2222=++=R ，解得23=R ，即长方体外接球的半径为23，故所求球的体积为3439(322π⨯=π．11．B 【解析】设椭圆方程为λ=+4922x y （0>λ），直线l 的方程为1-=my x ，联立方程消去x 得036918)49(22=-+-+λmy y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，则根据根与系数的关系，得4918221+=+m my y ，12293694y y m λ-=+.由点C 在椭圆内，得41>λ，所以120y y <，又OAC △与OBC △的面积之比为1:3，可得213y y -=，则491822221+=-=+m m y y y ，所以49922+-=m my ，则OAB OAC OBC S S S =+△△△49||18||2||21||||21||||21222121+==-=⨯⨯+⨯⨯=m m y y y y OC y OC ||4||918m m +=，又12492||4||9=⨯≥+m m ，所以183122OAB OAC OBC S S S =+≤=△△△，当且仅当||4||9m m =，即23m =±时取等号，故OAB △面积的最大值为23，故选B．13．22680【解析】依题意，2128n=，解得7n =，故7(23)x -的展开式的通项公式为777177C (2)(3)C 2(3)r r r r rr r r T x x ---+=-=-，令73r -=，解得4r =，故3x 的系数为4347C 2(3)=22680-.16．343-【解析】因为131n n a a n --=+，所以1111333n n a a n -=++，考虑构造等比数列，由111111((1)]24324n n a n a n --+=---，得111(124113(1)24n n a n a n --+=---，所以11{()}24n a n -+是一个公比为13的等比数列，将22512a =-代入2133a a -=中，解得1374a =-，故1111(10()243n n a n --+=-⨯，即111110()243n n a n -=+-⨯，又()12111111110(110()243243n n n n a a n n ----=+-⨯---⨯11120(0(2)23n n -=+⨯>≥，1233725230,0,041236=a a a =-<-<=>，所以n S 的最小值为123725344123a a +=--=-.17．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为27cos 7cos 7cos B b C c B =+，且3a =，所以9cos 7cos 7cos a B b C c B =+，即9sin cos 7sin cos 7sin cos A B B C C B =+,即()9sin cos 7sin 7sin A B B C A =+=，又sin 0A ≠，所以7cos 9B =，（2分）又22214a c b +-=及余弦定理得cos 7ac B =，则7379c ⨯=，解得3c =；由22214a c b +-=，3a =，3c =，得2b =.（6分）（II ）因为7cos 9B =，所以sin 9B ==.又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin 3A ==，（10分）所以227142102sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯.（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（I ）填写表格如下：空气质量指数3(μg/m )[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[]200,250天数4080502010（3分）故X 的分布列为：X01234P11001401001270100148010012101001（9分）（III ）依题意，任取1天空气质量指数在150以上（含150）的概率为320，由二项分布知识可知，3~(5,)20Y B ，故()335204E Y =⨯=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（I ）如图，连接PD .因为90MPA ∠=，且MPA ∠是二面角A BC D --的平面角，故平面ABC ⊥平面BCDE .（2分）因为AB AC =，P 为线段BC 的中点，故AP BC ⊥，因为平面ABC 平面BCDE BC =，AP ⊂平面ABC ，故AP ⊥平面BCDE ，因为DE ⊂平面BCDE ，故AP DE ⊥.（4分）因为1,2,3BE BC CD ===，所以DE EP DP ===，故222DE EP DP +=，即DE EP ⊥，因为AP EP P = ，所以DE ⊥平面APE .（6分）由0,0,AD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得30,220,x ty z x z --+=⎧⎨-=⎩令,x t =可得2,y z t ==，故(,2,)t t =m ；（10分）又(0,0,1)=n 为平面ABC 的一个法向量，平面ADE 与平面ABC 所成角的平面角的余弦值为14，所以14=，解得7t =（负值舍去），故7AP =.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为曲线962-+-=x x y 与x 轴相切，令0962=-+-=x x y ，得3=x ，所以曲线962-+-=x x y 与x 轴相切于点)0,3(.（1分）设圆C 的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，则依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-+-=1)()3(3222a b r b a a ，（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧===223r b a ，（4分）∴所求圆C 的标准方程为：4)2()3(22=-+-y x ．（5分）设),(),,(2211y x N y x M ，则根据根与系数的关系，得221146kk x x ++=+，22119k x x +=.（8分）因为3ON OM =，所以123x x =，所以12322(1)k x k +=+，221212232933[]2(1)1k x x x k k +===++.（10分）解得433±=k ，所以直线l的方程为34y x +=或34y x -=．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（I ）依题意，得22111()(0)px f 'x x x px px -=-=>；（2分）当0p <时，10px -<，此时21()0px f 'x px -=>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；（4分）当0p >时，当1(0,x p ∈时，()0f 'x <，故()f x 在1(0,)p 上单调递减；当1(,)x p∈+∞时，()0f 'x >，故()f x 在1(,)p+∞上单调递增.（6分）（II ）依题意，得e (ln 1)xm x x ≥+-，（8分）令()e (ln 1)xh x x x =+-，下面求函数()h x 的最小值，1()(ln 1)e 1x h'x x x =+-+，令1()ln 1m x x x =+-，结合（I ）中结论可知，()1ln 1m x x x=+-在[]1,e 上单调递增，故()()10m x m ≥=，故1ln 10x x+-≥在[]1,e 上恒成立.（10分）故()1(ln 1)e 110x h'x x x=+-+≥>，故()()e ln 1xh x x x =+-在[]1,e 上单调递增.故min [()](1)1e h x h ==-，故1e m ≥-.综上所述，实数m 的取值范围为[)1e,-+∞.（12分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（II ）设曲线C 上一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离11|2sin cos 3|+--=θθd |2cos()2|6θπ+-=，（8分）可知当cos()16θπ+=-时，d 取得最大值，且为22，即直线m 与直线l 之间的最大距离为22．（10分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（I ）3)1(|42||)42(||42|||2222++=++=++--≥+++-a a a a x a x a x a x ，（2分）由33)1(2≥++a ，得3|42|||2≥+++-a x a x ，即3)(≥x f ．（4分）（II ）当1-=a 时，21,2()|1||2|3,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.（7分）作出函数)(x f 的图象及直线5y =如图：可知所围成的图形为梯形，令5)(=x f ，得3-=x 或2，（9分）则所求图形的面积为822)53(=⨯+．（10分）。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(全解全析)
2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学I ·全解全析1．【答案】{1,0,1}-【解析】由题意，得{2,1,0,1,2,3}S =--,{|22}T x x =∈-<<R ,故{1,0,1}S T =-.2【解析】法1：由复数的乘法的运算法则得(23i)(1i)5i z =+-=+,故|||5i |z =-.法2：由复数的模的性质知|||||(23i)(1i)||23i ||1i |z z ==+-=+⋅-=. 3．【答案】692【解析】根据系统抽样方法的原理,因为在第1组中抽取到的号码为012,且分组间隔为8002040d ==,所以在第35组中应抽取的号码为12(351)20692+-⨯=.5．【答案】1(,2)4【解析】由题意,解不等式220x x +->,得12x -<<,即(1,2)A =-,而函数1()2x y =在区间(1,2)-内是单调递减的,故21111()()()222x -<<,即124y <<.故所求值域是1(,2)4.6．【答案】2或16【解析】由题意,当4x ≤时,由93x y ==,解得2x =；当4x >时,由295log y x ==+,解得16x =.综上,可得2x =或16.7．【答案】4【解析】法1：由题意,当1n =时,115a S ==；当2n ≥时,2123n n n a S S n n -=-=+-2[2(1)3(1)]n n -+-= 2(21)3n -+41n =+①.由于当1n =时,15a =也满足①式,所以41()n a n n *=+∈N .故当2n ≥法2：因为数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =+,所以由等差数列的性质可知数列{}n a 是一个等差数列,设其公差为d .因为115a S ==,12214a a S +==,所以29a =,从而可得21954d a a =-=-=.故当2n≥9．【答案】9π【解析】如图,作出圆锥的轴截面为等腰VAC △,由题意知球的轴截面是等腰VAC △的内切圆O .设圆锥的母线VA 和底面圆的直径AC 分别与圆O 相切于点B 和点1O ,连接OB ,则OB VA ⊥,连接1VO ,则1VO AC ⊥,易得5VA =,且1Rt Rt VBO VO A △∽△,则1OB VO AO VA =,即5r h rR -=,解得故所求的内切球的表面积为249S r =π=π.10．【答案】2-【解析】由题意设向量,a b 的夹角为θ（2θπ<<π）,当12t =-时,1||||2t -=+=b a a b==,则=解得21cos 4θ=,因为cos 0θ<,所以1cos 2θ=-,而||8cos θ=-a 4=.故向量a 在向量b 方向上的投影是1||cos 4()22θ=⨯-=-a .学.科.网12．【答案】[0,](,)42πππ【解析】将直线1l 的方程化为(2)2y a x =--,知斜率为a 的直线1l恒过定点(2,2)D -,作出符合条件的平面区域如图.易解得(6,2)A ,由题意,当6m ≤才有符合题意的平面区域,从而可得(,8)B m m -,且22162AD k +==-.①当26m <≤时,由于102BD mk m -=-,要使[1,7]a ∈时总有1l 与不等式组表示的平面区域有公共点,则必有267BD m k <≤⎧⎨≥⎩,解得23m <≤；②当2m ≤时,显然1l 与不等式组表示的平面区域有公共点恒成立.综上可得3m ≤.由于直线30l mx y n -+=：的斜率为3mk =,所以1k ≤,即tan 1α≤,且0α≤<π,于是0tan 1α≤≤或tan 0α<,解得[0,](,)42αππ∈π.13．【答案】【解析】设成等差数列的这六个实数依次为1234,,,,,x a a a a y ,其公差为d ,后三项之和为S ,则5y x d =+,即5y x d -=.由题意有3412331255S a a y x d y x =++=+=+①,由题意，可设5cos x θ=,5sin y θ=,代入①中得,3(4sin cos ))S θθθφ=+=+（其中cosφφ==）.因为1sin()1θφ-≤+≤,所以S -≤≤故max S =. 14．【答案】22(1,)(,1)33-- 【解析】因为()(2)f x f x =-,所以()f x 的图象关于直线1x =对称.又因为()f x 为偶函数,所以()()(2)f x f x f x -==-,所以()(2)f x f x =+,即()f x 是以2为周期的周期函数.因为当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-,此时2()23(32)0f x x x x x '=-=--<恒成立,所以()f x 在区间[1,2]上单调递减,且(1)0,(2)4f f ==-,由此作出函数()f x 的大致图象如图.15．（本小题满分14分）【解析】（1）因为,G F 分别是线段,BD BC 的中点, 所以GF 是BCD △的中位线,所以GF DC ；因为DC ⊂平面PAC ,GF ⊄平面PAC , 所以GF平面PAC .（3分）同理,因为,F H 分别是线段,BC BE 的中点, 所以FH 是BCE △的中位线,所以FHCE ,即FHCP ,因为CP ⊂平面PAC ,FH ⊄平面PAC , 所以FH平面PAC .（6分）而GF 和FH 是平面FGH 内的两条相交直线, 所以平面FGH平面PAC .（7分）（2）因为PB AB =,且D 是棱PA 的中点,所以BD PA ⊥.（8分） 因为PB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以PB BC ⊥,（10分） 而AB BC ⊥,且PB 和AB 是平面PAB 内两条相交直线,所以BC ⊥平面PAB ,而PA ⊂平面PAB ,于是得BC PA ⊥.（12分） 又BD 和BC 是平面BCD 内两条相交直线, 故PA ⊥平面BCD .（14分） 16．（本小题满分14分）（2）法1：由（1）知：2222229()()()2b c a b c bc b c bc b c +==++=+-≥+-23()4b c =+,（10分） 即2()12b c +≤,当且仅当b c =时取等号,且3b c a +>=,所以3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分）法2：由（1）及正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====,得,b B c C ==,（10分） 且03C B π=->,得03B π<<.则sin()]3b c B B π+=+-3cos B B =+=)3B π+,（12分）由2333B πππ<+<,且b c a +>,可得3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分） 17．（本小题满分14分）（2）由题意,发光材料总长度2z CD DE EF a b =++=+； 由（1）知211230(2)2()222a b a b ab a b +-+==⋅≤,且0,0a b >>,（10分） 化简得2(2)8(2)2400a b a b +++-≥, 解得220a b +≤-（舍去）或212a b +≥,当且仅当20a b =>,且230a b ab ++=,即6a =,3b =时等号成立,故min 12z =. 故发光材料总长度z 的最小值为12米.（14分） 18．（本小题满分16分）【解析】（1）法1：设1122(,),(,)M x y N x y . 当直线l 的倾斜角为45︒时,其斜率为1,因为(,0)2pF ,所以此时直线l 的方程为2py x =-,（3分） 将其代入22y px =中,消去y ,化简得22304p x px -+=,根据根与系数的关系，得123x x p +=,2124p x x =.（5分）由弦长公式得12|||416(0)MN x x p p =-=>, 所以4p =,故抛物线C 的方程为28y x =.（8分）（2）假设满足条件的点P 存在,设(,0)P a ,且由（1）可知(2,0)F .（9分） ①当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠, 代入抛物线方程28y x =中,消去y ,整理得2222(48)40k x k x k -++=,（11分）22222(48)4464640k k k k ∆=+-⨯=+>恒成立,根据根与系数的关系得212248k x x k ++=,124x x =.②当直线l 与x 轴垂直时,易知直线PM 与PN 关于x 轴对称, 此时只要点P 与焦点F 不重合就有0PM PN k k +=成立, 故此时(2,0)P -也符合题意.综上所述,存在唯一的点(2,0)P -,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零.（16分）学.科.网 19．（本小题满分16分）【解析】（1）因为{}n a 是等比数列,所以设其首项为1a ,公比为(0)q q ≠,则11n n a a q -=.（3分） 于是当3n >（n *∈N ,以下均有n *∈N ）时,有11122111()n k n k n n k n k n a a a q a q a q a --+---+=⋅==；（5分）所以236321123332211()()()()n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-+-+===, 所以由定义可知数列{}n a 是“(3)G 数列”.（7分）（2）因为数列{}n a 是“(3)G 数列”,所以当3n >时,3211n n n n a a a a ---+623n n n a a a ++=①；（8分） 因为数列{}n a 是“(2)G 数列”,所以当2n >时,42112n n n n n a a a a a --++= ②.（9分）由②得：当3n >时,41321n n n n n a a a a a ---+=③,和41231n n n n na a a a a +++-=④,将③④两式代入①,化简得4811()n n n a a a -+=,（11分） 因为数列{}n a 是正项数列,所以211(3)n n n a a a n -+=>,从而数列{}n a 从第3项起是等比数列,设其公比为11(0)q q ≠.（13分） 在②中取4n =,有423564a a a a a =,即23423313131()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即213a q a =, 从而数列{}n a 从第2项起是等比数列；同理,在②中又取3n =,有412453a a a a a =,即23412212121()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即112a q a =, 从而数列{}n a 从第1项起是等比数列. 即正项数列{}n a 是等比数列.（16分） 20．（本小题满分16分）（2）因为()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立, 即22e e ln 2x ax x x x x x ≤+-++对任意的0x >恒成立, 即2e e ln 2x x x x x a x +-+≤+对任意的0x >恒成立.（9分）令2e e ln ()(0)x x x x xF x x x +-+=>,则只需min ()2a F x ≤+；（10分）而24(e 1e ln 1)2(e e ln )()x x x x x x x x x F x x+-++-+-+'= 3e 2e (e ln )x x x x x x -+-=212e (e e ln )x x x x x=+--,0x >.（12分） 设2e ()e e ln xxh x x x=+--,易证e 0x x ->对0x >恒成立,则212e (1)()e x xx h x x x -'=--22e (1)e 0x x x xx-+-=>对0x >恒成立, 故函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,且(1)e e 2e 0h =+-=.（14分）从而,当01x <<时,()0h x <,即()0F x '<； 当1x >时,()0h x >,即()0F x '>.于是得函数()F x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以min ()(1)1F x F ==,从而得3a ≤. 故实数a 的取值范围为(,3]-∞.（16分）数学Ⅱ（附加题）·全解全析21．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）（2）因为G 是ABC △的重心,所以1122GM BG GN ==,所以GM MN =, 由（1）知ADNC ,MAG EAG ∠=∠,所以MCN MAG EAG ∠=∠=∠.在CMN △和AMG △中,MCN MAGCMN AMG MN GM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以CMN AMG △≌△, 所以1,2CM AM AC CN AG ===,（8分） 因为点E 是AB 的中点,所以12BE AE AB ==, 因为AB AC =,所以AE CM =,在CMN △和AEG △中CM AE MCN EAG CN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以CMN AEG △≌△.（10分）B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解析】（1）设矩阵1002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,易得110102B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,（2分）故10210A B --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦1002011101002⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.（5分） （2）设00(,)D x y 为曲线1M 上任意一点,它在矩阵A 对应的变换作用下变为(,)P x y , 即点P 在曲线2M 上,并有220038x y +=①. 因为00000110x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以00y x x y -=⎧⎨-=⎩,即00x y y x =-⎧⎨=-⎩,（8分）代入①得2238y x +=.故所求曲线2M 的方程为2238x y +=.（10分） C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）法2：因为直线l 的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=+⎩,令t =,则将直线l化为标准参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()s 为参数③,（3分）由2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ参数得椭圆方程为223412x y += ②. 将③代入②,整理得2487013s ++=. 因为0∆>,所以关于s 的一元二次方程有两解,设分别为12,s s .根据一元二次方程根与系数的关系得12s s +=,129148s s =.（6分）根据直线参数s 的几何意义知：所求的距离之和为1212MA MB s s s s +=+=+=（8分） 距离之积为12129148MA MB s s s s ⋅=⋅==.（10分）学.科.网 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）22．（本小题满分10分）【解析】（1）由题意,可知直线,,DB DE DA 两两垂直,分别以,,DB DE DA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图.（2）设平面ADC 的法向量为(,,)a b c =m .由（1）得DA =,(2,2,0)DC =, 由20DA c ⋅==m ,得0c =；由220DC a b ⋅=+=m ,令1b =,得a =所以平面ADC 的一个法向量为(=m .（8分）由（1）知平面ACE 的一个法向量为(=-n . 且结合图形可知,二面角D AC E --为锐二面角,即θ为锐角,故cos θ|||cos ,|||||⋅==m n m n m n .（10分）23．（本小题满分10分）（2）S T =对,m n *∈N ,且2n m ≥+成立.证明如下：（6分）法1：利用组合数性质11C C C m m m n n n -+=+,得11C C C m m mn n n -+=-, 从而111C C C m m m n n n +++=-, 1111C C C m m m n n n ++--=-, 2C m n -1112C C m m n n ++--=-,11121C C C m m m m m m +++++=-, 而11C C m m m m ++=.将上述(1)n m -+个等式左右两边分别相加,得11211C C C C C C m m m m m m n n n m m n +--+++++++=,即S T =.（10分）法2：因为11211C C C C C m mm m m n n m m m S +-+++=+++++11322C C C C C m m m m m n n m m m +-+++=+++++即S T.（10分）。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(考试版)
10．当地时间 2018 年 1 月 19 日晚，美国参议院投票否决了一项旨在避免政府停摆的临时拨款法案，美国 联邦政府非核心部门工作因此陷入停滞状态．某国家与美国计划进行 6 个重点项目的洽谈，考虑到停 摆的现状，该国代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁 必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有 A． 240 种
2
装 订
B． 188 种
2 2
C． 156 种
D． 120 种
不
11．如图，已知抛物线 y 8 x ，圆 C : x y 4 x 3 0 ，过圆心 C 的直线 l 与抛物线和圆分别交于
P, Q, M , N ，则 | PN | 9 | QM | 的最小值为
密
16．2017 年吴京执导的动作、军事电影《战狼 2》上映三个月，以 56.8 亿震撼世界的票房成绩圆满收官， 该片也是首部跻身全球票房 TOP100 的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼 2》 ，并把标识分别为 A,B,C,D 的四张电影票放在编号分别为 1,2,3,4 的四个不同盒子里，让四位好朋友 进行猜测： 甲说：第 1 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 C； 乙说：第 2 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 D； A． 32 B． 36 C． 42 D． 50 丙说：第 4 个盒子里面放的是 D，第 2 个盒子里面放的是 C； 丁说：第 4 个盒子里面放的是 A，第 3 个盒子里面放的是 C. 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测，第 4 个盒子里面放的电影票为 .
A． (
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B． ( ,
1 4 ] e e2
2018届四省名校(南宁二中等)高三上学期第一次大联考数学(文)试题(解析版)
2018届四省名校（南宁二中等）高三上学期第一次大联考数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合补集的定义可得：.本题选择D选项.2. 已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3. 是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（）A. 总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长B. 10月3日、4日的客流量比去年增长较多C. 10月6日的客运量最小D. 10月7日，同比去年客流量有所下滑【答案】C【解析】观察所给的条形图可知：从10月1日到10月6日，客流量每日都在逐渐增加，从10月6日到10月7日，客流量减少，则10月6日的客运量最大，选项C的说法是错误的.本题选择C选项.4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，利用二倍角公式有：.本题选择A选项.5. 设满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：易知，当目标函数经过点时，取得最小值：，目标函数没有最大值，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6. 设函数，则下列结论错误的是（）A.的一个周期为B.的图形关于直线对称C.的一个零点为D.在区间上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数的最小正周期为，则函数的周期为：，取可得函数的一个周期为；函数图象的对称轴满足：，则：，令可得函数的一条对称轴为；函数的零点满足：，则：，令可得函数的一个零点为；若，则，则函数在上不具有单调性；本题选择D选项.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：，第一次循环：成立，；第二次循环：成立，；第三次循环：成立，；第四次循环：成立，；此时不成立，不再循环，据此可得：.本题选择B选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．8. 已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】设正三棱柱的外接球半径为R，底面三角形外接圆半径为r，边长为a，则：，解得：，，结合正弦定理：.本题选择A选项.9. 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足，，则（）A. 4B. 5C. 9D. 16【答案】C【解析】由题意可得：，，则：等比数列的公比，故.本题选择C选项.10. 如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合三角形中位线的性质可得：，由平行公理可得：.本题选择C选项.11. 过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，直线的方程为，即，由直线与圆交于两个不同的点可得：坐标原点到直线的距离，即，整理可得：，解得：，又椭圆的离心率：，故：.本题选择C选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12. 已知定义在区间上的函数满足，其中是任意两个大于0的不等实数.若对任意，都有，则函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得函数在区间上单调递增，而=常数，故为常数，不妨设，则，而，据此有：，令，增函数之和为增函数，则在区间上单调递增，且，则，据此可得，故：，故：，其中：且函数在区间上连续，由函数零点存在定理可得函数的零点所在区间是.本题选择B选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，，且，则__________.【答案】-2【解析】，利用平面向量数量积的坐标运算法则可得：.【答案】2 【解析】设，若，则点的轨迹方程为：，联立圆的方程与双曲线的方程可得：，则的面积为：，结合可得.15. 已知的内角的对边分别为，且，，则__________.【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有：，，三角形内角和为，则.16. 已知函数若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由函数的解析式可得：，则：，原不等式即：，分类讨论：当时：，解得：，则此时；当时：，解得：，则此时；综上可得，实数的取值范围为，表示为区间的形式即：.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ；(2).【解析】试题分析：(1)由题中所给的递推关系可得，当时，，则∴，则时，符合上式.则数列的通项公式为.(2)结合(1)中的结论可得.裂项求和可得.试题解析：∵，①∴，当时，，②①—②，得，∴.当时，符合上式.∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，.∴.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；（2）估计该天食堂利润不少于760元的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)0.65.【解析】试题分析：(1)利用中点近似频率分布直方图的数值计算可得平均数为75.5；读取频率分布直方图可得众数为75；中位数为75.试题解析：（1）由频率分布直方图知，所以平均数为75.5；众数为75；中位数为75.（2）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.故该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.19. 在中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) 存在，使得三棱锥的体积是.【解析】试题分析：(1)由题意可得当时，是的中点，而是的中点，由几何关系有.利用面面垂直的性质定理，结合平面平面，平面平面，可得平面.(2)连接，结合(1) 结论可得平面，即是三棱锥的高，且.而，计算可得.假设存在满足题意的，则三棱锥的体积为.解得，则，即存在满足题意.试题解析：（1）在中，，即，则，取的中点，连接交于，当时，是的中点，而是的中点，∴是的中位线，∴.在中，是的中点，∴是的中点.在中，，∴，则.又平面平面，平面平面，∴平面.（2）连接，由（1）知，∴，而平面平面,平面平面.∴平面，即是三棱锥的高，且.过作于点.则，即，可得.假设存在满足题意的，则三棱锥的体积为.解得，∴，故存在，使得三棱锥的体积是.20. 已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2).【解析】试题分析：(1)由题意计算可得.则椭圆的标准方程为.(2)假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，分类讨论：当斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有：，.则.满足题意时有：.解得.此时.验证可得当斜率不存在时也满足，则存在满足条件的点，其坐标为.此时的值为.试题解析：（1）由题意知，.又当时，.∴.则.∴椭圆的标准方程为.（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，当斜率存在时，设方程为，联立，恒成立.∴，.∴，.∴.当为定值时，.∴.此时.当斜率不存在时，，，.，，.∴存在满足条件的点，其坐标为.此时的值为.21. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2) .【解析】试题分析：(1)当时，函数的定义域为，且.据此可得的单调增区间为，单调减区间为.(2)二次求导可得.分类讨论可知：①当时，对一切恒成立.②当时，对一切不恒成立.③当时，对一切不恒成立.则实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得.所以的单调增区间为，单调减区间为.（2），.①当时，，.故在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.②当时，，.当时，，当时，.所以时，.而，故.所以当时，，递减，由，知，此时对一切不恒成立.③当时，，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立.综上，实数的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线（为参数），圆（为参数）.（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)当时，的普通方程为，的普通方程为.则与的交点为.(2)由题意可得点坐标为.则点轨迹的参数方程为（为参数）.消去参数可得点的轨迹方程为.它表示圆心为，半径为的圆.试题解析：（1）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组得与的交点为.（2）的普通方程为.由题意可得点坐标为.故当变化时，点轨迹的参数方程为（为参数）.点的轨迹方程为.故点轨迹是圆心为，半径为的圆.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段求解不等式可得不等式的解集是；(2)结合题意有：，令，则.即实数的取值范围为.试题解析：（1）当时，当时，由得，解得；当时，成立；当时，由得，解得.综上，不等式的解集为.（2）由得，令知.∴实数的取值范围为.。
2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(考试版)
C • {0,2,4}D • {2,4}2•设i为虚数单位，若复数z满足丨Z |=:4 , z的实部与虚部相等且大于零，则z二IA • 1 IB • 2 2IC • . 2、2iD • 2 2 2、2i3• “3 =0 ”是关于x的方程x2 -x • a =0或ax2 - x =0有解”的A .充要条件B .充分不必要条件C •必要不充分条件D •既不充分也不必要条件1 4 •若COS2 二3:为第三象限角，则兀sin（3 ：）二厂 1 ~jf^-3<3<6V6 A • B • C • D •3333A • 16二24C • 16二48&运行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则判断框中可以填A • S —4? B • S—8? C • S—15?绝密★启用前2018年第一次全国大联考【新课标皿卷】文科数学A • b . a ：- c B • a ：：：b ：：：c（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1 •本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2•回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3•回答第n卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）C • a .. c .. bD • c ：： a ：：： b6•已知在正方形ABCD中，AE二一AB , AF = - AD，则CE在CF方向上的投影为2 422A • 4B •-5C •2\-57 •某几何体的三视图如图所示，其中正视图为一个半圆及两全等的直角三角形，则该几何体的体积为1 •设集合A ={-2,0,2,4},B={x|x=2k,k N}，则A B二A • {-2}B • {-2,0,2,4}侧视图B• 8二24D •48D • S- 32?文科数学试题第1页（共6页）文科数学试题第2页（共6页）9.若函数f（x） = 3sin（2x v） cos（2x v）TTA . f （x ）在（0,—）上单调递减4 2C. f（x^）在（0,上）上单调递增4 210•在△ ABC中，内角代B,C所对的边分别是（0 ：：： v :::二）的图象关于直线x 对称，则4B . f （x ）在（一，3）上单调递减4 4 4D . f（x ）在（二3）上单调递增4 4 4a,b,c，已知b = 2a = 6，二-A = 2B，在BC 边上取一15 .在区间［-5,5］上任取一个数k，则直线y=kx-1与抛物线y= x2 - x有交点的概率为 _______________ .16 .在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在如图所示的鳖臑A- BCD中,AB _平面BCD，且有BD _ CD , AB = BD = 2 , CD = 1，则该鳖臑的外接球体积为.1点D，满足BD ^DC ,过点D作直线l，记直线l在△ABC内的线段长为’，则’的取值范围为A.』.34]4 B.[』.34]2C.xme 11 .已知函数f（x）x （e为自然对数的底数），若f （x） 0在（0, •：：）上恒成立，则实数m的取x 值范围是A. （2,：：） 4C .（孑：：）12 .已知中心在原点D .（£：：）V5O，焦点在y轴上，且离心率为的椭圆与经过点C（ -1,0）的直线I交于A, B两点, 3 若点C在椭圆内，△ OAB的面积被x轴分成两部分，且△ OAC与△ OBC的面积之比为3:1，则△ OAB面积的最大值为A . 1 C . 33B.-2 9 D .-4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）工八3x 113 .不等式组x • y乞1表示的平面区域D的面积为___________x - y 乞1214 .过抛物线y = 2px（p 0）的焦点F（1,0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于P,Q两点，则以点F为右焦点，且过P,Q两点的双曲线的离心率为__________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分12分）已知数列｛a n｝的前n项和为Sn = 3n-1 （n N）.（I）求数列｛a n｝的通项公式；（II）记b n=［3-log3a n］，其中［x］表示不超过x的最大整数，求数列｛b n｝的前20项和T?。
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全国名校大联考2018－2018学年度高三第一次联考（数学试卷）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 设全集{}6,5,4,3,2,1=U ，{}5,3,1=A ，{}4,2,1=B ，则B A C U ⋂)(等于A 、{}4,2B 、 }2,1{C 、}4,1{D 、}1{ 2、 命题p ：03,3>+∈∀x x R x ，则p ⌝是A 、03,3≥+∈∃x x R xB 、03,3≤+∈∃x x R xC 、03,3≥+∈∀x x R xD 、03,3≤+∈∀x x R x3、已知幂函数)(x f 的图象过点)22,2(，若121>>x x ，则 A 、1)()(21>>x f x f B 、)(1)(21x f x f >> C 、1)()(21<<x f x f D 、)(1)(21x f x f >< 4、若集合}2{}log |{2===kx x x P ，则实数k 等于 A 、2 B 、21 C 、4 D 、41 5、函数121-=-xy 的值域是A 、),1[+∞-B 、]1,1[-C 、()+∞-,1D 、()1,1-6、已知)(x f 为奇函数，且当0<x 时，，若当[]3,1∈x 时，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是A 、2B 、49C 、43D 、41 7、“在ABC ∆中，若︒=∠90C ，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题是A 、在ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠都不是锐角 B 、在ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠不都是锐角 C 、在ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠都不一定是锐角D 、以上都不对8、若函数x ax x f ln )(-=在()+∞,1上是增函数，则实数a 的取值范围是A 、()1,∞-B 、(]1,∞-C 、()+∞,1D 、[)+∞,19、我国股市对股票的股价实行涨跌停制度，即一个交易日内的股价较前一个交易日的股价最大涨幅均为%10，若某股票的股价变为原来的2倍，至少需要经过______个交易日。
2018届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考 文科数学试题及答案
浙江省金丽衢十二校2018届高三第一次联考数学文试题（WORD 版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是A ．1≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是A ．若a b >， 则ba11> B ．若a b >，则11ab<C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则22a b > 3. 已知{}n a 为等比数列，则“321a a a >>”是“{}n a 为递减数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若βα//,m m ⊥，则βα⊥；③若n m m //,//α则α//n ； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m ． 其中的正确命题序号是A ．③④B ．②④C ．①②D ． ①③5．函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如图 所示，则=)(x f Aπ)6x - B. )62sin(2π+xC.)32sin(2π-x D. )32sin(2π+x6.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且︒==60,1A a ,若三角形有两解,则b 的取值范围为A.()1,0错误！未找到引用源。
B. )332,1( C.错误！未找到引用源。
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广雅、华东中学、河南名校2018届高三阶段性联考（一）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|16},{|2}A x x B x x =-≤≤=≥，则()R A C B =I （ ） A ．[]1,2- B ．[1,2)- C ．(2,6] D ．[2,6]2. 双曲线22221(0)4x y a a a-=≠ 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =± C ．4y x =± D ．y = 3.547i =+ （ ） A ．471313i -+ B ．471313i -- C ．471313i + D ．471313i -4.曲线3xy e =在点(0,3)处的切线方程为 （ ） A ．3y = B ．3y x = C ．33y x =+ D ．33y x =-5. 现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ） A ．110 B ．25 C ．12 D ．7106. 将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程可以是x = （ ）A ．4π-B ．2πC ．6π-D ．3π 7. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为123451,1024n S a a a a a =，且243,,a a a 成等差数列， 则5S = （ ）A ．3316B ．3116C ．23D ．11168. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则 （ ） A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥ B ．若,,m n αββα⊂⊂⊥，则m n ⊥C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”上“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥9. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在左准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-，则AFM ∆的面积为（ ） A ．33 B ．63 C ．93 D ．12310. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．2483π+ B ．88π+ C ．3283π+ D ．32243π+11. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填 （ ） A ．60i > B ．70i > C ．80i > D ．90i >12. 已知函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4-C ．4-或2D ．2-或4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ⋅=u u u r u u u r．14. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21,3()k k S S k N +==∈，则4k S = ．16. 已知实数,x y 满足22222x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 3cos (1)22C c Aa +=.（1）求C ； （2）若6c =，求ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥ 平面ABC ，点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上，1//B C 平面1A BD .（1）求证：1BD A C ⊥；（2）若1AB =,求点B 到平面1AB C 的距离.19. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）若从乙地被抽取的8名观众中邀请2人参加调研，求参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上（含90分）的概率.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>35倍，A 是椭圆C 的左顶点，F 是椭圆C 的右焦点，点0000(,)(0,0),M x y x y N >>都在椭圆C 上. （1）若点210(D -在椭圆C 上，求的最大值； （2）若2(OM AN O =u u u u r u u u r 为坐标原点），求直线AN 的斜率.21.已知函数()1ln ,(1,]f x a x x a e x=-+∈ . （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，求实数a 的取值范围； （2）记函数()()ln xg x f x a=+，若1(0,1)x ∀∈和221(1,),()()x g x g x m ∈+∞-≤，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:20C x y y +-=，倾斜角为6π的直线l 过点(2,0)M -，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程cos()4πρθ-=（1）求1C 和2C 焦点的直角坐标；（2）若直线l 与1C 交于,A B 两点，求MA MB +的值. 23.已知函数()414f x x x a =+-+ .（1）若2a =，解关于x 的不等式()0f x x +<； （2）若x R ∃∈，使()5f x ≤-，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCC 6-10: BDDCA 11、B 12：A二、填空题13. 4 14. 17 15. 10 16. 6-三、解答题17.解：（1）因为cos cos (1)sin (1)22C C a A +=⇒+=，在ABC ∆中，sin 0A >，所以1cos 122C C -=，从而sin()16C π-=， 因为0C π<<，所以5666C πππ-<-<，所以2623C C πππ-=⇒=.（2）由（1）知23C π=，所以3sin C =，所以13sin 2S ab C ab ==， 因为22222cos 62a b c C a b ab ab+-=⇒+=-， 因为222a b ab +≥，所以2ab ≤， 所以3342S ab =≤，当且仅当2a b ==时等号成立. 18. （1）如图，连接ED ，因为1AB C I 平面11,//A BD ED B C =平面1A BD ，所以1//B C ED . 因为E 为1AB 的中点，所以D 为AC 的中点. 因为AB BC =，，由1A A ⊥平面,ABC BD ⊂平面ABC ，得1A A BD ⊥， 又1,A A AC 是平面11A ACC 所以内的两条相交直线，得BD ⊥平面11A ACC ，因为1AC ⊂平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥.（2）设点B 到平面1AB C 的距离为d ，因为11B ABC B AB C V V --=， 所以211131112)3234d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得33d =， 所以点B 到平面1AB C 的距离为3d =19. （1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是8383832+=， 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是1(70280490269036907)858⨯+⨯+⨯++++++++=. （2）依题意，从8人中任选2人，包括：()76,79,(76,80),(76,86),(76,89),(76,90),(76,97)(79,80),(79,83),(79,86),(79,89),(79,97),(80,83),(80,86),(80,89),(80,90),(80,97)(83,86),(83,90),(83,89),(83,97)，(86,89),(86,90),(86,97)，(89,90),(89,97),(90,97)，共28种选法，其中满足条件的有12种，所以所求概率为123287P ==. 20. 解：（1）依题意，5a b =，则2222159x y a a +=，将(1,3D -代入， 解得29a =，故(2,0)F ，设11(,)N x y，则1[3,3]NF x ===∈-， 故当13x =-时，NF 有最大值为5.（2）由（1）知，a b =2222159x y a a +=，即222595x y a +=， 设直线OM 的方程为11(0),(,)x my m N x y =>，由222595x my x y a =⎧⎨+=⎩，得2222222559559a m y y a y m +=⇒=+， 因为00y >，所以0y =，因为2//OM AN AN OM =⇒u u u u r u u u r，所以直线AN 的方程为x my a =-，由222595x my ax y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=，所以0y =或21059am y m =+，得121059amy m =+，因为2OM AN =u u u u r u u u r，所以0011(,)(22,2)x y x a y =+，于是012y y =，220(0)59amm m =>+，所以5m =， 所以直线AN的斜率为1m =21.解：（1）依题意()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，令()0f x '≤，故210x ax -+-≤，故1a x x≤+， 因为函数1y x x =+在[1,)+∞上单调递增，所以12x x+≥，所以2a ≤，故(1,2]a ∈，经检验，符合题意，（2）依题意()()221()()11111()ln ()1x a x a g x a x x g x a a x a x x x---'=+-+⇒=+--=， 当(1,]a e ∈时，11a a <<，所以()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a a上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，对任意1(0,1)x ∈，有11()()g x g a≥，对任意1(1,)x ∈+∞，有()2()g x g a ≤，所以()()21min1()()g x g x g a g a≤=-⎡⎤⎣⎦，所以()11111()[()ln ][()ln ]g a g a a a a a a a a a a a-=+-+-+-+ 112[()ln ](),(1,]a a a M a a e a a=+-+=∈，所以22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln ,(1,]M a a a a a e a a a a a'=-+++--=-∈，所以()0M a '>，即()M a 在(1,]e 上单调递增， 所以max 114[()]()2()2()3M a M e e e e e ==++-=，所以()M a 存在最大值4e， 故4m e≥，即实数m 的取值范围为4[,)e +∞.22.解：（1）曲线2C的极坐标方程为cos()4πρθ-=化为直角坐标系的方程为20x y +-=，联立222020x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩， 解得交点的坐标为(0,2),(1,1).（2）把直线的参数方程22(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2220x y y +-=，得2212122t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2121)40,1t t t t -+=+=， 易知点M 在圆2220x y y +-=外，所以121MA MB t t +=+=. 23.解：（1）若2a =，则不等式化为()41420f x x x x =+--+<，若14x <-，则41420x x x --+-+<，解得3x <，故14x <-； 若1142x -≤≤，则41420x x x ++-+<，解得19x <，故1149x -≤≤；若12x >，则41420x x x +-++<，解得3x <-，故无解，综上所述，关于x 的不等式()0f x x +<的解集为1(,)9-∞，（2）x R ∃∈，使()5f x ≤-等价于()min []5f x ≤-， 因为()414(41)(4)1f x x x a x x a a =+--≤+--=-， 所以()11a f x a --≤≤-，所以()f x 的最小值为1a --， 所以15a --≤-，得4a ≥或6a ≤- 所以a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞U .。
2018届高三数学第一次联考试题文
注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ⋃=；A. {}|0x x ≤B. {}|2x x ≥C. {0x ≤≤D. {}|02x x << 2、复数1i i-的虚部为( ) A. 12i B. 12i - C. 12D. 12- 3、对命题“0x R ∃∈,200240x x -+>”的否定正确的是（ ）A. 0x R ∃∈，200240x x -+>B. x R ∀∈，2240x x -+≤C. x R ∀∈，2240x x -+>D. x R ∀∈，2240x x -+≥4、下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A. 3y x =B. ln y x =C. sin y x =D. 21y x =5、函数()()ln 1f x x =-的定义域是（ ） A. [)1,2- B. ()2,1- C. (]2,1- D. [)2,1-6、如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么 在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +27、已知x R ∈，则“1x <-”是“2210x x +->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、设log a =0.013b =，ln 2c =，则( ) A. c a b << B. a b c << C. a c b << D. b a c <<9、函数f(x)＝lnx －1的零点所在的区间是( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)10、函数2ln x xy x =的图象大致是（ ）A B C D11、已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ） A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π 12、设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式2(2017)(2017)9(3)0x f x f ++-->的解集为( )A. (),2020-∞-B. (),2014-∞-C. ()2014,0-D. ()2020,0-第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三第一次联考数学(文)试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，因为全集，集合，所以，又因为集合，所以，故选B．2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由复数为纯虚数，则，解得，所以是复数为纯虚数的充要条件，故选B．3. 若，满足约束条件，则的最大值为（）A. 5B. 3C.D.【答案】A【解析】由约束条件不等式组，做出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，最大，所以，故选A．4. 在中，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为中，，所以由正弦定理得，因为，所以，化简得，因此，故选D．5. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设,，，则,,的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以函数的周期为，则，，因为，且函数在上单调递减，所以，故选C．6. 明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环，的输出值为，故选A.7. 在数列中，，，则的值为（）A. B. 5 C. D.【答案】B【解析】在数列中，，所以，所以是以为周期的周期数列，因为，故选B．8. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数，由，可得，所以函数的定义域为，再由，可得，且在上为单调递增函数，故选C．9. 如图，在圆心角为直角的扇形区域中，分别为的中点，在两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以为直径的圆，在扇形内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由的中点为，则，半径为，所以扇形的面积为，半圆的面积为，，两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，图中无信号部分的面积为，所以无信号部分的概率为，故选B．点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，解答的关键是求出无信号部分的面积，对于不规则图形的面积可以转化为及格不规则的图形的面积的和或差的计算，试题属于中档试题，对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件区域的几何度量，最后计算......................10. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，则，画出函数的大致图象，如图所示，由图可得，当时，方程恰有三个根，由得；由得，由图可知，与点关于直线对称；点和点关于对称，所以，所以，故选D．点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，为棱的中点，最大的侧面积为，故选C．12. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13. 抛物线的焦点坐标是____________.【答案】【解析】抛物线方程焦点在轴，焦点坐标为14. 已知，，的夹角为，则____________.【答案】【解析】由题设，应填答案。
四省名校(广西南宁二中等)2018届高三上学期第一次大联考数学(文)试题含答案
2018届四省名校高三第一次大联考文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5A =，{}3,6B =，则()UAB =（ )A ．{}3B ．{}1,2,5,6,7,8C ．{}1,6D ．{}2,4,7,82．已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数,()1i1i 1iz -+=+，则z 的虚部为( ）A ．12B ．12- C ．1i 2D ．1i 2-3．是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图。
根据图中的信息，以下结论中不正确的是( ）A ．总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长B ．10月3日、4日的客流量比去年增长较多C ．10月6日的客运量最小D ．10月7日，同比去年客流量有所下滑 4．已知1sin cos 2θθ+=，则cos 4θ=（ ）A ．18- B ．18C ．716- D ．7165．设,x y 满足约束条件330,50,840,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =+的取值范围是（）A ．[]3,9B ．[]7,9C ．[)7,+∞D ．[)9,+∞6．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的图形关于直线8x π=对称C ．()f x 的一个零点为8x π=-D ．()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为45,则输入的n 值为（ ）A ．3B ． 4C ．5D ．68．已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为823的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为( ） A 3 B ．32C ．3D ．239．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}na 的前n 项和214nSn =，*n ∈N ，等比数列{}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1610．如图，在三棱锥P ABC -中,,,,,,E F G H I J 分别为线段,,,,,PA PB PC AB BC CA 的中点,则下列说法正确的是（ ）A ．PH BG ∥B ．IE CP ∥C ．FH GJ ∥D ．GI JH ∥11．过椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点且斜率为12的直线l 与圆2222:C x y b +=交于不同的两个点，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．5⎛⎝⎭B ．5⎫⎪⎪⎝⎭C ．25⎛⎝⎭D ．25⎫⎪⎪⎝⎭12．已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()12120f x f x x x ->-，其中12,x x 是任意两个大于0的不等实数。
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江西省新余市两校2018届高三数学第一次联考试题 文1.要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像(C ) A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度2.已知函数f （x ）=3)2sin(φ-x -)2cos(φ-x （|φ|<2π）的图象关于y 轴对称，则f （x ）在区间 [-6π,3π]上的最大值为（ A ） A . 1 B .3 C .2 D . 23.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( A )A. 3B.322C.2 2D.2 34.若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( A )A.π4B.π2C.3π4D.π5. 已知,是单位向量，,的夹角为90°，若向量满足：|--|=2，则||的最大值为（ D ）A .2-2B . 2C . 2D .2+26.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( A ) A.150 B.－200 C.150或－200D.400或－507.已知213252+⨯+⨯++ 1(21)22()n n n na b c --⨯=++对一切*n N ∈都成立，则,,a b c的值为（ C ）A ．3a =，2b =-，2c =B ．3a =，2b =，2c = C.2a =，3b =-，3c = D ．2a =，3b =，3c =8.设实数x,y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+<⎨⎪≥≥⎩则max{2x+3y-1,x+2y+2}的取值范围是（ B ）A .[2,9]B .[2,9）C .[-1,8]D .以上都不对9.已知数列{}n a 中， 11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，恒有2n n n n ka a S S =- 成立，若99150S =，则k 的值是 （ B ） A ．1B. 2C. 3D. 410.已知数列{n a }满足：1+n a +n a =(n+1)cos2πn (n ≥2,n ∈N *),n S 是数列{n a }的前n 项和，若 2017S +m=1010, 1a ∙m>0, 则ma 111+的最小值为（ A ） A .2 B .2 C .22 D .2+211.在ABC ∆中，已知 9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =⋅+⋅则xy 的最大值为（ C ） A.1 B.2 C.3 D.412．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin , 0x 2 44()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．5(,1)2--B ．59(,)24--C ．9(-1)4-，D ． 599(,)(,1)244----13.若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3____________．14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若17180,0S S ><，则n S 取最大值的 9 ． 15.设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值是__－1665______.16.在ABC ∆中，()sin sin sin A B C B -=-，D 是边BC 的一个三等分点（靠近点B ），记sin sin ABDt BAD∠=∠.当t 取最大值时，则tan ACD ∠的值为 2+17. 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N +，都有T n ＜564. 17.(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明 由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎢⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎥⎤1（n ＋1）＋1n －1（n ＋2） ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2＜116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.18.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 18.解 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ， 经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .19.已知向量)1,(sin -=x ，向量)21,cos 3(-=x ，函数x f ⋅+=)()((1)求()f x 的最小正周期T ；19.解：(1)2()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++ …………2分1cos 211222x x -=++12cos 222x x =-+ sin(2)26x π=-+ …………5分因为2ω=，所以22T ππ== …………6分 (2) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+ [0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π= (8)分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b = ……10分 从而11sin 24sin 6022S bc A ==⨯⨯= ……12分20.在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2211b S +=，3329S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令1(1)2n nn na c nb --=⋅，设数列{}nc 的前n 项和为n T ，求1n n T T -（*n N ∈）的最大值与最小值．20.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则23311,2(3332)9,d q d d q +++=⎧⎨++++=⎩……………2分 解得3d =，2q =， ……………4分 所以3n a n =，12n n b -=． ……………6分 （2）由（1）得13()2nn c =-⋅-，故11()2nn T =--，……………7分 当n 为奇数时，11()2nn T =+，n T 随n 的增大而减小，所以1312n T T <≤=；…………8分当n 为偶数时，11()2nn T =-，n T 随n 的增大而增大，所以2314n T T =≤<，…………9分 令1()f x x x =-，0x >，则21'()10f x x=+>，故()f x 在0x >时是增函数． 故当n 为奇数时，1111506n n T T T T <-≤-=； ……………10分 当n 为偶数时，22117012n n T T T T >-≥-=-， ……11分 综上所述，1n nT T -的最大值是56，最小值是712-． ……12分21.已知椭圆的焦点坐标为1F (-1,0)，2F (1,0)，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ|=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21．（1） 设椭圆方程为2222x y a b+=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分由PQ|=3，可得22b a=3，解得a=2，，故椭圆方程为2243x y +=1 ……………4分（2） 设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长=4a=8，112F MN S =（MN+1F M+1F N ）R=4R 因此1F MN S 最大，R 就最大，1212121()2AMN S F F y y y y =-=-， …………6分由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)m y ++6my-9=0，得1y =，2y = ………………8分则12AMNS = AB （12y y -）=12y y -，令则t ≥1,………10分则212121313AMNt S t t t===++ ,令f （t ）=3t+1t，当t ≥1时， f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4, AMN S ≤123=3,即当t=1,m=0时，AMN S ≤123=3, AMN S =4R ，∴max R =34，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为916π…………………12分22.已知函数()2()8,x m f x e x a a R =--+∈.（1）若1m =时，函数()f x 存在两个零点，求a 的取值范围；（2）若2m =时，不等式()0f x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.22. 解：（1）'()21x f x e =-令'()0f x =得ln 2x =-………………1分……………………3分且()0f x = 有两个不等实根(ln 2)0f ∴-< 即1(ln 2)80a ---+<9ln 2a ∴<--------------------5分（2）'()22()x f x e x a =--，令()22()x h x e x a =-- 则()22x h x e '=-又0x ≥，'()0h x ∴≥，'()f x ∴在[0,)+∞在单调递增…………6分又min ()(0)2(1)f x f a ''==+①当0)1(2≥+a ，即1-≥a 时，()0f x '≥， 所以)(x f 在),0[+∞内单调递增，0)0()(≥≥f x f ，所以1a -≤≤．………………8分②当0)1(2<+a ，即1-<a 时，由)e (2)(a x x g x +-=在),0[+∞内单调递增， 且,()x f x →+∞→+∞0(0,)x ∴∃∈+∞使得'()0f x =所以的最小值为000()2e ()8f x x a =--+，又a x x -=00e，所以0020()2e (e )8x x f x =-+00(e 2)(e 4)x x =-+-，因此，要使当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，只需0)(0≥x f ，即0e 40x -≤即可．解得00ln 4x <≤，此时由a x x -=00e ，可得0e 0xx a -=．以下求出a 的取值范围．设x x x h e )(-=，(0,ln 4]x ∈， 得0e 1)(<-='x x h ，所以)(x h 在(0,ln 4]上单调递减，从而ln 441a -≤<- ……11分综上①②所述，a 的取值范围[ln 4-．………………12分。